第五章定积分的应用01284

课堂练习题
1 . 求 由 曲 线 y = l n x , y 轴 和 直 线 y = l n a , y = l n b b > a > 0
所 围 图 形 的 面 积 .
答案
2 . 曲 线 r = 2 a c o s 所 围 图 形 面 积 S 为 多 少 ? 答案
第二节 定积分在几何中的应用
0
0
0 2 a 2 ( 1 c o s t) 2 d tx a 20 2 1 2 c o s t 1 c 2 o s 2 t d t
a23 2t2sintsin 42t0 23a2
一 般 地 , 当 曲 边 梯 形 的 曲 边 由 参 数 方 程 x y x y ( ( t t ) ) ,( t )
第五章定积分的应用0128
思考题 1 . 使 用 定 积 分 微 元 法 要 满 足 哪 些 条 件 ?
答案
2 . 请 用 定 积 分 表 示 由 曲 线 y = 1 ,y x ,x 2 所 围 图 形 的 面 积 S . x 答案
3 . 应 用 微 元 法 解 决 实 际 问 题 , 最 重 要 的 一 步 是 什 么 ? 答案
解 如 图 5 5 所 示 ,取 x 为 积 分 变 量 . 解 方 程 组 y y 2 x x 2
得交点为(0,0)与(1,1),故积分
y
区 间 为0,1,其 面 积 微 元 为 dA
( x x2 )dx.(等式右端为什么不
y2 x
能 表 示 为 (x 2 - x )dx ?)因 而 所 求
得 交 点(2, 2)与(8, 4),所 以 积
x 4 y
分 区 间 为 2, 4.其 面 积 元 素 为
dA
(
y
4)
y2 2
d
y,
故
所
求
图
形面积为
A 42(y4)y22dy
yBaidu Nhomakorabea 2x
(8 , 4 )
y x4
O (2, 2)
12y2 4y16y342 18
图5-6 例3示意图
y
例4 求摆线
5-8 )
利用微元法,取极角为积分变量,变化区间为,,在任
意子区,+d上,曲边扇形面积的部分量可用处的极径r
()为半径,以d为圆心角的扇形来近似代替,即面积的微元
为dA12r()2 d,在,上积分,得曲边扇形面积为
A
12r()2
d
r r()
a(1cos)
d
O
x
O
2a
x
图5-8 微元法求曲边扇形面积
y y f2(x)
y d x g1(y) y dy x g2(y)
a
x
xdx b x
dA y
O
y f1(x)
c
O
x
5-2 微元法求面积
5-3 微元法求面积
(3)由 左 右 两 条 曲 线 xg1(y),xg2(y),g2(y)g1(y)
及 ycyd,(cd)所 围 成 的 的 图 形 (见 图 173),其 面 积 微
图5-9 例5、例10示意图
例 5 计 算 心 形 线 = a ( 1 c o s ) , ( a 0 ) 所 围 成 的 图 形 面 积 .
解 如 图 1 7 9 所 示 , 由 于 图 形 对 称 于 极 轴 , 只 要 算 出 极 轴 以 上 部 分 图 形 的 面 积 A i, 再 乘 以 2 即 得 所 求 的 面 积 A .
一、平面图形的面积 1. 在直角坐标系下的计算
(1)根 据 第 一 节 的 分 析 可 知 ,由 曲 线 yf(x)0,xa,xb, (ab)及 x轴 所 围 成 的 图 形 (见 图 51),其 面 积 微 元 dAf(x)dx
b
面 积 A f(x)dx a (2)由 上 ,下 两 条 曲 线 yf1(x),yf2(x),f2(x)f1(x) 及 xa,xb,(ab)所 围 成 的 图 形 (见 图 5-2),其 面 积 微 b 元 dAf2(x)f1(x),面 面 积 A f2(x)f1(x)dx a
给 出 时 ,则 曲 边 梯 形 的 面 积 为 A y ( t) x '( t) d t
式 中 , y ( t ) 0 ; 与 分 别 为 曲 边 左 , 右 端 所 对 应 的 参 数 值 .
2.在极坐标系下的面积计算
设 曲 线 的 方 程 由 极 坐 标 给 出 : rr(), ,求 曲 线 rr(),半 直 线 ,所 围 成 的 曲 边 扇 形 的 面 积 (见 图
b
元 dAg2(y)g1(y),面 积 A g2(y)g1(y) c
例 1 求 抛 物 线 y 4 x 2 与 x 轴 所 围 成 的 平 面 图 形 面 积 .
解 如 图 1 7 4 所 示 ,取 积 分 变 量 为 x,为 了 确 定 平 面 图 形 所 在 范 围 ,
先 求 抛 物 线 y4 x2 与 x 轴 的 交 点 . 为 此 解 方 程 组 y4 x2 y 0
显 然 在 极 轴 以 上 部 分 的 变 化 区 间 为 0 , , 面 积 微 元 为
交点为(2,0)与(2,0),可知积分
区间为-2,2,其面积微元为dA
y 4 y 4x2
(4x2)dx故所求图形面积为
A 2(4 x 2 )d x 22 (4 x 2 )d x 3 2
2
0
3
2 O
2
x
图5-4 例1示意图
例 2 计 算 由 两 条 抛 物 线 y x 2 与 y 2 x 所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 .
x y
a(t a (1
sin t) cos t)
,
(0
t
2
)
的 第 一 拱 与 x轴 所 围 成 的 图 形
面积(见图5-7)
解 以x为积分变量,当t0时,x0;
O
2 a x
图5-7 例4示意图
当t 2时,x2.一进应用积分
的换元法得所求面积
2 a
2
A y d x a ( 1 c o s t)d a ( t s in t)
y x2
图形面积为
1
A (
0
xx2)dx 2 3x3 21 3x3 1 01 3
O
x
图5-5 例2示意图
例 3 求 由 抛 物 线 y 2 2 x 与 直 线 y x 4 所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 .
解 如 图 5 6 所 示 ,取 y 为 积 分 变 量 比 较 简 便 . 解 方 程 组 x 1 2y 2