新人教A版必修二 平面向量章末复习课 课件(25张)

归纳升华 模相等且不共线的两向量的和与两向量的差垂直． [变式训练] 如图所示，半圆的直径 AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于 A，B 的任意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则 (P→A＋P→B)·P→C的最小值是________．
解析：因为点 O 是 AB 的中点，所以P→A＋P→B＝2P→O， 设|P→C|＝x，则|PO|＝1－x(0≤x≤1)，所以(P→A＋P→B)·P→C＝
A．向量 a＋b 与 a－b 垂直 B．向量 a－b 与 a 垂直 C．向量 a＋b 与 a 垂直 D．向量 a＋b 与 a－b 共线 解析：如图所示，作O→A＝a，O→C＝b，以 OA 和 OC 为邻边作▱OABC.由于|a|＝|b|≠0，则四边形 OABC 是菱形，所以必有 AC⊥OB. 又因为 a＋b＝O→B，a－b＝C→A，所以(a＋b)⊥(a－b)． 答案：A
2a－4b＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)， 所以(k－6，2k＋4)＝λ(14，－4)． 所以k2－ k＋6＝ 4＝14－λ，4λ，解得λk＝＝－－121，. 即实数 k 的值为－1. 法二 因为 k a＋2b＝k(1，2)＋2(－3，2)＝(k－6， 2k＋4)， 2a－4b＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)，
又B→C2＝16，所以|B→C|＝4， 所以|A→M|＝2. (2)a＝(0，－1)，b＝(cos x，sin x)， 所以 a＋b＝(cos x，sin x－1)． 所以|a＋b|＝ cos2x＋（sin x－1）2＝ 2－2sin x＝ 2（1－sin x）. 因为－1≤sin x≤1，所以 0≤|a＋b|≤2. 答案：(1)C (2)[0，2]
解析：P→Q＝O→Q－O→P＝－3a－b， |P→Q|2＝P→Q·P→Q＝(－3a－b)2＝9a2＋6a·b＋b2. 因为|a|＝|b|＝2，a·b＝|a||b|cos 60°＝2， 所以|P→Q|2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×4＋6×2＋4＝52. 所以|P→Q|＝2 13. 答案：2 13
专题四 数形结合思想 平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法 则、运算律的推导中都渗透了数形结合的思想．引入向 量的坐标表示，使向量运算完全代数化，将数和形紧密 结合起来．运用数形结合的思想解决了三点共线，两条 线段平行、垂直、夹角、距离、面积等问题． [例 4] 已知向量 a 与 b 不共线，且|a|＝|b|≠0，则下 列结论正确的是( )
[例 3] (1)设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线
BC 外，B→C2＝16，|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，则|A→M|＝( )
A．8
B．4
C．2
D．1
(2)设向量 a＝(0，－1)，向量 b＝(cos x，sin x)，则|a
＋b|的取值范围为________．
解析：(1)法一 因为B→C2＝16，所以|B→C|＝4.
2P→O·P→C＝－2x(1－x)＝2x－122－12，所以当 x＝12时，(P→A ＋P→B)·P→C取得最小值，为－12.
答案：－12
C．a·b＝1
D．(4a＋b)⊥B→C
解析：(1)由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0， 即 3a2－a·b－2b2＝0.又因为|a|＝232|b|，
设〈a，b〉＝θ， 即 3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0， 所以83|b|2－232|b|2·cos θ－2|b|2＝0. 所以 cos θ＝ 22.又因为 0≤θ ≤π，所以 θ＝π4.
又|A→B－A→C|＝|C→B|＝4， 因为 M 为 BC 的中点，所以B→M＝－C→M.
所以A→M＝A→B＋B→M＝A→C＋C→M， 所以A→M＝12(A→B＋A→C)， 所以|A→M|＝12|A→B＋A→C|＝12×4＝2. 法二 如右图所示，四边形 ABDC 是平行四边形，又|A→B ＋A→C|＝|A→B－A→C|， 所以|A→D|＝|C→B|，所以四边形 ABDC 是矩形， 所以|A→M|＝12|B→C|，
2a·b＝6.
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝( 3)2－6＋22＝1，
所以|a－b|＝1.
所以 cos θ＝（a＋|a＋b）b|·|（a－a－b| b）＝ a12－3×b21＝
（
3）2－22＝－ 13
13 13 .
归纳升华 1．已知平行四边形的一组邻边和对角线的长，求两 对角线构成的向量的夹角，可通过模的平方，沟通向量 的模与向量内积之间的联系． 2．两个向量的夹角与两条直线的夹角取值范围是不 同的．
归纳升华 解答向量的模的问题的关键点
1．根据题意寻找或画出三角形或平行四边形，观察 图形以便直观地得出一些结论．
2．利用三角形法则、平行四边形法则求有关的向量， 并注意一些公式性质的运用，例如模与向量的平方的关 系，相反向量的和为 0 等．
3．数形结合法的运用可使解题简捷．
[变式训练] 已知向量 a 和 b 的模都是 2，其夹角为 60°，又知O→P＝a＋2b，O→Q＝－2a＋b，则|P→Q|＝________．
cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
.
[例 2] 已知向量 a，b 满足|a|＝ 3，|b|＝2，|a＋b|
＝ 13，求向量 a＋b 与 a－b 的夹角 θ 的余弦值．
解：由已知|a|＝ 3，|b|＝2，|a＋b|＝ 13，
所以(a＋b)2＝13.
所以 a2＋2a·b＋b2＝13，则( 3)2＋2a·b＋22＝13，得
[警示·易错提醒] 1．有关向量的注意点 (1)零向量的方向是任意的． (2)平行向量无传递性，即 a∥b，b∥c 时，a 与 c 不 一定是平行向量． (3)注意数量积是一个实数，不再是一个向量． 2．向量运算的注意点 (1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对 于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个
[变式训练] 平面内给定三个向量 a＝(3，2)，b＝(－ 1，2)，c＝(4，1)．
(1)求满足 a＝m b＋n c 的实数 m、n； (2)若(a＋k c)∥(2b－a)，求实数 k. 解：(1)因为 a＝mb＋nc， 所以(3，2)＝(－m＋4n，2m＋n)． 所以－2mm＋＋n4＝n＝2，3，解得mn＝＝8959.，
实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边 同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量 不能相除(相约)．
(2)向量的“乘法”不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c).
专题一 有关向量共线问题 有关向量平行或共线的问题，常用共线向量定理：a ∥b⇔a＝λ b(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. [例 1] 已知 a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若 k a＋2b 与 2a－4b 平行，求实数 k 的值． 解：法一 向量 k a＋2b 与 2a－4b 平行，则存在唯 一实数 λ，使 k a＋2b＝λ(2a－4b)． 因为 k a＋2b＝k(1，2)＋2(－3，2)＝(k－6，2k＋4)．
(2)在△ABC 中，由B→C＝A→C－A→B＝2a＋b－2a＝b， 得|b|＝2. 又|a|＝1，所以 a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，所以(4a＋ b)·B→C＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b)⊥B→C. 答案：(1)A (2)D
专题三 有关向量的模的问题 利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要 掌握此类问题的处理方法： (1)|a|2＝a2＝a·a； (2)|a±b|2＝a2±2a·b＋b2； (3)若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2； (4)应用三角形或平行四边形法则．
ka＋2b 与 2a－4b 平行， 所以(k－6)(－4)－(2k＋4)×14＝0. 解得 k＝－1.
归纳升华 1．向量与非零向量 a 共线⇔存在唯一实数 λ 使 b＝ λa. 2．在解有关向量共线问题时，应注意运用向量共线 的坐标表达式，a＝(x1，y1)与 b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1 ＝0.
(2)因为(a＋k c)∥(2b－a)，a＋k c＝(3＋4k，2＋k)， 2b－a＝(－5，2)． 所以 2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，即 k＝－1163.
专题二 有关向量的夹角、垂直问题
非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的夹角为 θ，则
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，
[变式训练] (1)若非零向量 a，b 满足|a|＝232|b|，且
(a－b)⊥(3a＋2b)，则 a 与 b 的夹角为( )
A.π4
B.π2
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C.34π
D．π
(2)△ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a，b
满足A→B＝2a，A→C＝2a＋b，则下列结论正确的是( )
A．|b|＝1
B．a⊥b