整体代入法巧解数学难题-非常实用-完整版

初中数学思想方法专题讲座——整体思想解题策略

整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．

一．数与式中的整体思想

【例1】 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( )

A ．18

B ．12

C ．9

D ．7

相应练习：

1. 若代数式2425x x -+的值为7，那么代数式2

21x x -+的值等于（ ）．

A ．2

B ．3

C ．－2

D ．4 2.若3a 2-a-2=0,则 5+2a-6a 2=

3.先化简，再求值222142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中a 满足a 2－2a －1=0．

总结：此类题是灵活运用数学方法解题技巧求值的问题，首先要观察已知条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解。

【例2】.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab

---+的值等于（ ） A.6 B.6- C.

125 D.27- 分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出

11a b

-的形式，再整体代入求解．

【例3】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．

总结：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．

【例4】逐步降次代入求值：已知m 2-m -1=0，求代数式m 3-2m +2005的值．

相应练习：1、已知m 是方程2250x x +-=的一个根，求32259m m m +--的值.

2、已知m 是方程2310x x -+=的根，求代数式10214+-m m 的值.

总结：此类题目通常为初中阶段很少接触到得三次方程甚至更高次的方程，那么用初中阶段的知识直接解题时肯定行不通的，所以这个时候我们就要考虑如何降次的问题。通常来讲技巧性还是蛮强的。

二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想

【例4】已知24122x y k x y k +=+⎧⎨

+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是

【例5】已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨

+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y 的二元一次方程组3()()5()11

x y a x y x y b x y +--=⎧⎨

++-=⎩的解为为

说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．

【例6】．解方程 22523423x x x x +-=+ 分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．

总结：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设2234y x x =+-，将方程变形为54

y y =+来解． （2）利用整体换元，我们还可以解决形如22315122

x x x x -+=-这样的方程，只要设21

x y x =-，从而将方程变形为，再转化为一元二次方程 来求解．原方程的解为

对于形如2()5011x x x x +-=--这样的方程只要设1

x y x =-，从而将方程变形为一元二次方程

来求解，原方程的解为 。

三．函数与图象中的整体思想

【例7】已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数）

（1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-

1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式

总结：在解方程组时，单独解出k 、m 、n 是不可能的，也是不必要的．故将k n m +看成一个整体求解，从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法．

四．几何与图形中的整体思想

【例8】．如图， 123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=

分析：由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出的．利用三角形的性质，我们将

12∠+∠视为一个整体，

那么应与△ABC 中BAC ∠的外角相等，同理34∠+∠，56∠+∠分别与ABC ∠，ACB ∠的外角相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了．

说明：整体联想待求式之间的关系并正确应用相关性质是解决此类问题的关键．

【例9】．如图，菱形ABCD的对角线长分别为3和4，P是对角线AC上任一点（点P不与A，C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则图中阴影部分的面积为．

说明：本题中，△OAF与△OAE虽然并不全等，但它们等底同高，面积是相等的．因而，可以将图中阴影部分的面积转化为△ABC的面积．我们在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．

【例10】．如图，在正方形ABCD中，E为BC边的中点，AE平分BAF

∠，试判断AF 与BC CF

+的大小关系，并说明理由．

说明：证明一条线段等于另外两条线段的和差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题，本题中我们利用三角形全等将BC CF

+转化为FG这一整体，从而达到了解决问题的目的．

用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程．同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功．

课堂练习：

1．当代数式a-b的值为3时，代数式2a-2b+1的值是 ( )

A．5 B．6 C．7 D．8

2．用换元法解方程(x2+x) 2+2(x2+x)－1=0，若设y=x2+x，则原方程可变形为 ( )

A．y2+2y+1=0 B．y2－2y+1=0 C．y2+2y－1=0 D．y2－2y－1=0

3．当x=1时，代数式a x3+bx+7的值为4，则当x=－l时，代数式a x3+bx+7的值为( ) A．7 B．10 C．11 D．12

4．若方程组

31,

33

x y k

x y

+=+

⎧

⎨

+=

⎩

的解x，y满足0

A．－4－4

5．(08芜湖)已知11

3

x y

-=，则代数式

2142

2

x xy y

x xy y

--

--

的值为_________．