附录1 截面图形的几何性质概论
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附录Ⅰ-常见截面的几何性质
取微面积dA=dzdy，则：Izy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
由 Iz 对 A y 2 称 dIy A 性 R IR z2 y ： 2 6D 44R ;2 由 y 几 2 d 何 y 关 R 4 4 系 2＝ ： 6 D y24 ;4 z2,
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的
静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，
Байду номын сангаас
则截面对该轴的静矩为零。
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二、形心公式：
yc
SAz ;zc
Sy A
.
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
Sz Ai yci; i1
z2dA;
A
圆形截面：Iy
Iz
D4 ;
64
几何关系： IP A2 d A A (y 2 z 2 ) d A I Z Iy .
四、惯性积：
Izy
zydA;
A
五、平行移轴公式：
Iz1za2A; y1 y b2A; Iz1y1 Izyab;A
特点：①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值；
②有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴；
③有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； ④无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零 的 o 角，即 形心主惯性轴。
第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
附录1 截面的几何性质
z zc
d D
I y内 I zc
y I z内
d4
64
2
64
d I zc A内 2 d 4 d 2 d 2 5 d 4 64 4 64 2
I y I y外 I y内 I z I z外 I z内
D4
I y bh 12
3
h
C
b
y
I y I yi I z I zi
i 1
n
n
i 1
13
三、惯性积： I yz yz dA
z
dA dA
y y
A
大小：正，负，0。
量纲：[长度]4
z 轴为对称轴：I yz yz dA 0
A
z
z
y y
O
图形对任一包含对称轴在内的一 对正交坐标轴的惯性矩为0。
C2
C yc , zc
10
C1
10 80 5 10 110 65 39.74 mm 10 80 10 110
120
80
y
A1 y1 A2 y2 yc A1 A2 10 80 40 10 110 5 9 19.74 mm 10 80 10 110
(2)计算Iz
S z ' A1 yC1 A2 yC 2 yc A A1 A2 500 800 400 400 550 425 500 800 400 550 369.44mm
I z I z1 I z 2 1.541010 mm4
21
[例Ⅰ-6] 电线铁塔基座采用四个等边角钢组成 L160× 10mm，a=3m，试计算基座的形心主惯性矩。
d D
I y内 I zc
y I z内
d4
64
2
64
d I zc A内 2 d 4 d 2 d 2 5 d 4 64 4 64 2
I y I y外 I y内 I z I z外 I z内
D4
I y bh 12
3
h
C
b
y
I y I yi I z I zi
i 1
n
n
i 1
13
三、惯性积： I yz yz dA
z
dA dA
y y
A
大小：正，负，0。
量纲：[长度]4
z 轴为对称轴：I yz yz dA 0
A
z
z
y y
O
图形对任一包含对称轴在内的一 对正交坐标轴的惯性矩为0。
C2
C yc , zc
10
C1
10 80 5 10 110 65 39.74 mm 10 80 10 110
120
80
y
A1 y1 A2 y2 yc A1 A2 10 80 40 10 110 5 9 19.74 mm 10 80 10 110
(2)计算Iz
S z ' A1 yC1 A2 yC 2 yc A A1 A2 500 800 400 400 550 425 500 800 400 550 369.44mm
I z I z1 I z 2 1.541010 mm4
21
[例Ⅰ-6] 电线铁塔基座采用四个等边角钢组成 L160× 10mm，a=3m，试计算基座的形心主惯性矩。
附录1-截面的几何性质 杨大方
Ix
C
2 πd 4 2d πd 2 2d πd I x 128 3π 8 3π 8
2
2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
附录Ⅰ 截面的几何性质
然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：
I x2 I x C
2d πd 2 a 3π 8
I p dA ( x y )dA
2 2 2 A A
O 二、惯性矩： 是面积与它到轴的距离的平方之积。
A A
x 2dA y 2dA I x I y
图形对x轴的惯性矩: 图形对y轴的惯性矩:
11
I x y 2 dA
A
量钢：L4
I y x 2 dA
tg2 0 2I xCyC I xC I yC
⑥求形心主惯性矩
31
I xC0 I xC I yC I xC I yC 2 2 ( ) I xCyC 2 2 I yC0
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
附录Ⅰ 截面的几何性质
例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)
附录Ⅰ 截面的几何性质
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
附录Ⅰ 截面的几何性质
Ⅰ-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式·
一、平行移轴定理： 以形心为原点，建立与原坐标轴平行 的坐标轴如图
y
y
yC x dA xC C b y x
xa xC yb yC
I x y 2 dA
A
a
( yC b) 2 dA
2
2 πd 4 2d 2 πd 2 2d πd 2 a 8 3π 8 128 3π
附录I 截面的几何性质
二、组合截面的惯性矩、惯性积
n
I
=
x
å
I xi
i= 1
n
I y = å I yi i= 1
n
I å I =
xy
xyi
i= 1
Ixi , Iyi —— 第i个简单截面对x,y轴的惯性矩、惯性积。
13
例3-1 求梯形截面对其形心轴yc的惯性矩。
解：将截面分成两个矩形截面。
zc
截面的形心必在对称轴 zc 上。
主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩。 形心主惯性轴——当一对主惯性轴的交点与截面的形 心重合时，则称为形心主惯性轴。 形心主惯性矩——截面对形心主惯性轴的惯性矩。
17
主惯性轴的位置：设为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角， 则有：
Ix- Iy 2
sin 2a 0
+
I xy
cos 2a 0
=
0
tg2a 0 =
-
xy ) = 1.093 I
x
y
I x < I y 2a 0 在第三象限
2a
=
0
227.60
a 0 = 113.80
形心主惯性轴x0 , y0 分别由x轴和y轴绕 C点逆时针转113.80 得出。形心主惯形矩为:
( ) ( ) Ix0 = Ix + I y ? 1
I y0
22
Ix
Iy
2+ 4 Ixy
附录I 截面的几何性质
1. 截面的静矩和形心 2. 极惯性矩、惯性矩、惯性积 3. 惯性矩和惯性积的平行移轴公式、组合截面
的惯性矩和惯性积 4. 惯性矩和惯性积的转轴公式、截面的主惯性
轴和主惯性矩
1
截面的几何性质
附录Ⅰ 截面的几何性质§I −1 截面的静矩和形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面，以下两积分⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z S A y S A y Az d d （I −1） 分别定义为该截面对于z 轴和y 轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。
由静力学中确定物体重心的公式可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A A z z A A y y AC ACd d利用公式（I −1），上式可写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A S A A z z A S A Ay y y AC z AC d d （I −2） 或⎭⎬⎫==C y C z Az S Ay S （I −3）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S z A S y y C z C （I −4）如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。
即：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11（I −5）式中A i 、y ci 和z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n 为简单图形的个数。
将式（I −5）代入式（I −4），得到组合图形形心坐标的计算公式为图I −1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====n i i ni ci i c ni i ni ci i c A z A z A y A y 1111（I −6） 例题I −1 图a 所示为对称T 型截面，求该截面的形心位置。
解：建立直角坐标系zOy ，其中y 为截面的对称轴。
因图形相对于y 轴对称，其形心一定在该对称轴上，因此z C =0，只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ=0.08m 2 y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m m323.008.0072.02.008.046.0072.0III IIII I I 11=+⨯+⨯=++==∑∑==A A y A y A AyA y ni ini cii c§I −2 惯性矩、惯性积和极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
附录1 截面的几何性质
tg2 0
二、主惯性矩（主矩）
图形对主轴的惯性矩Iｘ0、Iy0 称为主惯性矩，主惯性 矩为图形对过该点的所有轴的惯性矩中的最大和最小值。
Ix I y 2 2 I x0 I x I y ments of inertia: ( ) I xy I 2 2 y 0
y d yC O
I yC I rectangle xC I circle xC
x1
(1.5d )3 2d d 4 0.513d 4 12 64
2d
I xCyC 0 Therefore axes xC and yC are the
principal axes of the centroid.
y
一、截面的静矩
dS x dAy
x y 截面对x轴的静矩 dA 截面对y轴的静矩 x 量纲：［长度］3；单位：m3、cm3、mm3。
dS y dAx
S x dS x ydA
A A
S y dS y xdA
A A
o
静矩的值可以是正值、负值、或零
二、截面的形心
yC
Example
求图示图形的形心主惯性 矩(b=1.5d)
y 2d yC O
C
d
x1
解： 1 建立坐标 2 求形心 x xC
xi Ai 0 0 x A A 2 d d y A i i y 2 4 2 0.177d A 2 d 3 d 4
o
yC dA
y xC
x a xC y b yC
I x y 2 dA
A
C
x
( y C b ) dA
附录1截面几何性质精品PPT课件
解：
dA = b dy
Ix
A y2dA
h
2h
by2dy
2
bh3 12
Iy
hb3 12
Ix A y2dA
y
dy
h
y
C
Hale Waihona Puke x2021/2/3
b
15
例 2 - 2 求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。
解：因为截面对其圆心 O 的
极惯性矩为 y
I p
A
2dA
2 0
d /2
d 3d
0
d4
32
Ix Iy Iρ
轴平 行的坐 标轴（形心轴）
2021/2/3
yc
C(a,b)
xc
b
x
17
Ix , Iy , Ixy _____ 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
则平行移轴公式为
y
yc
I x I xc a2 A
Iy Iyc b2 A
Z1 80 Z2 0
所以截面的形心坐标为
ZC
A1 Z1 A1
A2 Z2 A2
46.7mm
2021/2/3
20 140
zc
20
1
yc yc1
ZC
2
y (yc2)
100
21
I1yC
1 12
20
1403
20
140
(80 46.7 )2
I
2 yC
1 12
100
203
100
20
(46.7)2
附录Ⅰ 截面的几何性质
I max I y Iz 2 Iy Iz 2 1 2 1 2
z0
z z
y0
0
O
2
y
I I
y
I z 4 I yz
2
I min
y
I z 4 I yz
2 2
三、形心主惯性轴，形心主惯性矩
特殊地：若坐标原点即为图形的形心 此时的主惯性轴称为形心主惯性轴 主惯性矩称为形心主惯性矩 形心主轴 形心主矩
y1
y
y1
dA
z α
z1
y1
α
y
O
z1
z
y1
y1 y cos z sin z1 z cos y sin
y αz
dA
z1
y1
α y
I y1
A
z1 dA
2 2 2
z cos y sin 2 dA A
2 2 A
O
cos z dA sin y dA 2 sin cos yzdA
一、转轴公式 二、主惯性轴，主惯性矩 三、形心主惯性轴，形心主惯性矩
一、转轴公式
I 已知：I y ， z ，I yz ，α
求： I y , I z , I y
1 1
1 z1
z
z1
解： α 从老轴y转至新轴 逆时针转向为正
y1 y cos z sin z1 z cos y sin
已求得 I y , I z , I y z
1 1 1 1
z1
1 1
z
y1 y
我们最感兴趣的是 I y , I z 取极值的情况。 由： 得：
z0
z z
y0
0
O
2
y
I I
y
I z 4 I yz
2
I min
y
I z 4 I yz
2 2
三、形心主惯性轴，形心主惯性矩
特殊地：若坐标原点即为图形的形心 此时的主惯性轴称为形心主惯性轴 主惯性矩称为形心主惯性矩 形心主轴 形心主矩
y1
y
y1
dA
z α
z1
y1
α
y
O
z1
z
y1
y1 y cos z sin z1 z cos y sin
y αz
dA
z1
y1
α y
I y1
A
z1 dA
2 2 2
z cos y sin 2 dA A
2 2 A
O
cos z dA sin y dA 2 sin cos yzdA
一、转轴公式 二、主惯性轴，主惯性矩 三、形心主惯性轴，形心主惯性矩
一、转轴公式
I 已知：I y ， z ，I yz ，α
求： I y , I z , I y
1 1
1 z1
z
z1
解： α 从老轴y转至新轴 逆时针转向为正
y1 y cos z sin z1 z cos y sin
已求得 I y , I z , I y z
1 1 1 1
z1
1 1
z
y1 y
我们最感兴趣的是 I y , I z 取极值的情况。 由： 得：
附录1 截面的几何性质概论
一、惯性矩和惯性积的
y
转轴公式
y1
x1
dA y1
x1
x1 x cos y sin
y1
x
sin
y
cos
y
C
E
D
oxB
x
I x1 A y12dA
x1 y1
x cos y x sin
s y
in cos
(x sin y cos)2dA A
I y sin2 Ix cos2 Ixy sin 2
形心位置为 “+” 。
y
10
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
120 10
负面积 C2 C1
80
图(b)
C1（0,0） C2（5,5）
x
x
xi Ai
x 1
A1
x 2
A2
A
A1 A2
5(70110) 20.3 1208070110
y
yi Ai
y 1
A1
y 2
A2
A
A1 A2
5(70110) 20.3
A
y 三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
Ixy xydA
A
如果 x 或 y 是对称轴，则Ixy =0
x d yA
x
例：计算矩形截面对x，y轴的
惯矩 y
Ix y2dA
A
h
2 h
2
by2dy
bh3 12
x
I y x2dA
A
b
2 b
2
hx2dx
b3h 12
Ixy 0
附录 I§1-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理
附录I 截面的几何性质
附录I 截面的几何性质
附录I 截面的几何性质
I yc I1yc b12 A1 I 2 yc b2 yc A2
101203 202 10120 70103 352 10 70
12
12
278.4 104 mm4
I xcyc a1b1A10 [45 （ 20）] (5 40)10 70
802 32
1002 2
2
100
3
80
3467104 mm4
截面对于轴的惯性矩为：
I x 5333 10 4 2 3467 10 4 12270 10 4 mm 4
16
材料力学Ⅰ电子教案
附录I 截面的几何性质
I- 4 惯性矩和惯性积的转轴定理 y
xy11xcxossinysyicnos
A1A2
x
3510110 20.3
101108010
y yi Ai 6010110 34.7 A 10110 8010
5
材料力学Ⅰ电子教案
附录I 截面的几何性质
120 110
70
y
负面积
方法二：用负面积法求解， 图形分割及坐标如图(b)
C2
C1（0,55） C2（5,60） 0
C1
x
80
y
d
yC
x1
解： ①建立坐标系如图。
2d
O
x
②求形心位置。
xC
x
xi Ai 0 0
A
A
b
y
yi Ai A
d d 2
2d
2 1.5d
4
d 2
0.177d
4
③ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy
22
材料力学-截面几何特性
IxC1 (70mm)3 10mm/12 28.58104 mm4 I yC1 70mm(10mm)3 /12 0.58104 mm4
I 0 xC 2 yC 2
IxC IxC1 A1 yc21 IxC2 A2 yc22 1104 mm4 1200mm2 (15mm)2 28.58mm4 700mm2 (25mm)2 100.33mm4
64
9 /2
Ix2 Ix2C A2 (a xc2 )2 28mm 4 (80mm )2 (100 17)2 8 3467mm4
组合截面对x轴的惯性矩为
I x I x1 2I x2 5333mm4 23467mm4 12270mm4
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 ·截面 的主惯性轴和主惯性矩
A
A ( yC b)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC 2bSxC b2 A
因为C为形心
SxC AyC 0
y
yC
x
dA
a
r
bC y
xC
x
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA I p I pC (a2 b2 ) A
C1
80
x
图(b)
x
xi
Ai
x 1
A1x
2
A2
A
A1A2
409600 45 7700 19.7mm 9600 7700
y
yi Ai
y 1
A1
y
2
A2
A
A1 A2
609600 65 7700 39.7mm 9600 7700
I 0 xC 2 yC 2
IxC IxC1 A1 yc21 IxC2 A2 yc22 1104 mm4 1200mm2 (15mm)2 28.58mm4 700mm2 (25mm)2 100.33mm4
64
9 /2
Ix2 Ix2C A2 (a xc2 )2 28mm 4 (80mm )2 (100 17)2 8 3467mm4
组合截面对x轴的惯性矩为
I x I x1 2I x2 5333mm4 23467mm4 12270mm4
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 ·截面 的主惯性轴和主惯性矩
A
A ( yC b)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC 2bSxC b2 A
因为C为形心
SxC AyC 0
y
yC
x
dA
a
r
bC y
xC
x
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA I p I pC (a2 b2 ) A
C1
80
x
图(b)
x
xi
Ai
x 1
A1x
2
A2
A
A1A2
409600 45 7700 19.7mm 9600 7700
y
yi Ai
y 1
A1
y
2
A2
A
A1 A2
609600 65 7700 39.7mm 9600 7700
材料力学 附录Ⅰ截面的几何性质
材料力学附录Ⅰ截面的几何性质随着材料科学的不断发展，材料力学成为研究材料内部结构和力学行为的重要学科之一。
在材料力学中，研究截面的几何性质是必不可少的一部分。
本文将着重介绍截面几何性质的相关知识，探讨其在材料力学中的应用。
一、截面的定义截面是指在任意平面上与某个物体相交的部分，一般用于描述杆件、梁、板等结构物体的断面形态。
材料力学中，截面的几何参数是研究杆件、梁、板等结构物体受力行为的重要基础。
二、常见截面形状和特征常见的截面形状包括矩形、圆形、三角形、梯形、T形等。
其几何参数如截面面积、惯性矩、位置矩、受压、受弯等，均是描述结构物体受力行为的重要指标。
对于矩形截面来说，其惯性矩最大的方向是短边方向，即截面中心距离短边较远的一侧。
圆形截面的惯性矩与位置矩均与截面对称轴有关。
对于三角形截面来说，其惯性矩与位置矩也是与截面对称轴有关的，而梯形截面和T形截面的惯性矩和位置矩则需要具体计算得出。
三、截面的常见计算公式在计算截面的几何性质时，需要用到一些公式。
以下是一些常见的公式：1、截面面积截面面积是截面内部曲线及其间距离所组成的面积。
不同截面形状的截面面积计算公式如下：矩形截面：A = bh圆形截面：A = πr²三角形截面：A = 1/2bh梯形截面：A = 1/2(a+b)hT形截面：A = (bh₁+ (b₂-h₂)h₂/2)2、截面惯性矩截面惯性矩是描述结构物体受弯作用时截面抵抗弯曲的能力的重要参数，其计算公式如下：Ixx = ∫(y²)dAIyy = ∫(x²)dA其中，x，y分别表示离截面中心最远的两侧点的坐标，dA表示一个面积微元。
3、位置矩位置矩是描述结构物体受纵向荷载作用时截面的抵抗能力的参数，其计算公式如下：Qx = ∫(y)dAQy = ∫(x)dA其中，x，y分别表示离截面中心最远的两侧点的坐标，dA表示一个面积微元。
四、截面几何性质在材料力学中的应用截面几何性质在材料力学中具有广泛的应用。
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一、平行移轴公式（类似于转动惯量的平行移轴定理）
以形心为原点a
b
SxC AyC 0
x
y
a b
xc yc
Ix
y 2dA
A
xc
(b
A
yC
)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC b2 A
¯x y¯
x Sy A
y Sx A
S y Ax Sx Ay
坐标轴通过形心 静矩等于零 4
当截面由若干个简单图形组成（如矩形、圆形），则有：
S y Ax Siy Ai xi Sx Ay Six Ai yi
累加式
:
x
y
xi Ai A yi Ai A
y
x
5
例 I-1-1 试确定下图的形心。
1、主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时，若
I x0 y0
Ix
Iy 2
sin 20
I xy cos 20
0
则与 0 对应的旋转轴x0 y0 称为主惯性轴；平面图形对主
轴之惯性矩称为主惯性矩。
tan 20
2I xy Ix Iy
主
惯
性
矩
：II
x0 y0
yd
S x S1x S2 x
h1 2
bh1
( h2 2
h1 ) dh2
h2
Sy x.A 0
x0
h1
x
y Sx
b
A
8
1.2 惯性矩、惯性积和惯性半径
一、惯性矩(moment of inertia)：（类似于转动惯量）
Ix y2dA A
I y x2dA A
二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。 IP r2dA Ix I y
I x1
Ix
2
Iy
Ix
Iy 2
cos 2
I xy
sin
2
19
I x1
Ix
Iy 2
Ix
Iy 2
cos 2
I xy
sin
2
I y1
Ix
Iy 2
Ix
Iy 2
cos 2
I xy
sin 2
I x1y1
Ix
2
Iy
sin
2
I xy
cos 2
I x1 I y1 I x I y
20
二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩
(mm)
组合 I z I z外 I z内
I y I y外 I y内
代入 D=80mm, d=20mm
得： I y 2.01106 mm4
I z 2.0 106 mm 4 18
1.4 惯性矩、惯性积的转轴公式
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理
x1 y1
x cos y sin x sin y cos
(mm)
50
50
15
500
C ···CC12
z
y yC外 400
z
yC内 425
y
50
50
解：选参考系 yz 确定 形心位置：
y 500800 400 400550 425 369 mm 500800 400550
500 8003
Iz外 12 500 800
yC外 y 2
16
I
z内
400
550 12
3
400 550
yC内 yC
2
Iz Iz外 Iz内 1.541010 mm4
17
例 3-3 求图示带圆孔的圆形截面 I y和 I，z D=80mm，d=20m。
zz
解：
I y外
I z外
D 4
64
d
y
I
y内
d4
64
D
I z内
d4
64
d2
4
d 2
2
1
附录1 截面的几何性质
1.1 静矩和形心 1.2 惯性矩、惯性积和惯性半径 1.3 惯性矩、惯性积的平行移轴公式 1.4 惯性矩、惯性积的转轴公式
2
1.1 静矩和形心
max
FN max A
;
T
GI P
;
max
T WP
一、截面的静矩(static moment)
dSx dA y
dSy dA x
如图（b）
负面积
CC11 C2
x
C1（0，0） C2（5，5）
x
xi Ai
x 1
A1
x
2
A2
A
A1 A2
5 (70110) 20.3 120 80 70110
图（b）
y
yi Ai
y 1
A1
y 2 A2
A
A1 A2
5 (70110) 20.3 120 80 70110
7
练习：求Sx、Sy，并求形心位置。
由于对称性
A
I xy 0
10
例 2-1 求矩形截面的惯性矩Ix、Iy，惯性积 I xy 。
y
h
解：平行X轴取一窄长条，则
dy
2 h 2
y
x
Ix
y2dA
A
h
y 2 2
h 2
bdy
bh3 12
bb 22
同理，可得：
Iy
hb 3 12
又因x、y轴皆为对称轴，故 I xy 0
11
1.3 惯性矩、惯性积的平行移轴公式
12
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA
注意！C点必须为截面形心。
13
y
d O
A
例 3-1 求图示圆对其切线AB的惯性矩. 解 ：求解此题有两种方法：一是安
定义直接积分；二是用平行移轴
x
定理等知识求。
建立形心坐标如图,求图形对形心轴
解 ： 组合图形，用正负面积法解之。
y
1、用正面积法求解，图形分割及坐标如
C2
C1（0，0） 图（a） C2（-35，60）
C1
x
x
xi Ai
x 1
A1
x 2
A2
A
A1 A2
3510110 20.3 10110 8010
图（a）
y 6010110 34.7 10110 8010
6
y
2、用负面积法求解，图形分割及坐标
Sx dSx ydA
A
A
Sy dSy xdA
A
A
3
二、形心(centriod of an area）
¯x
m x dm m
等厚 均质
A x t r d A A
xdA
Sy
trA
A
A
质心 :
等于形心坐标
¯y
m
y
dm
m
等厚 均质
A
y tr d trA
A
A y A
d
A
Sx A
的惯性矩。
B
Ip
d4
32
Ix
Iy
2Ix
Ix
Iy
d4
64
I AB
Ix
d 2 A 2
d 4
64
d 4
16
5d 4
64
14
二、组合截面的惯性矩和惯性积
Ix Ixi
I y I yi
Ixy Ixyi
例 I-3-2 计算图示箱式截面对水平形心轴 z 的惯性矩 I z 。
500
C· z
A
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
Ixy xydA A
如果 x 或 y 是对称轴，则：Ixy =0 9
例 ：求圆形截面对圆心的极惯性矩Ip，惯性矩Ix、
Iy，惯性积Ixy 。
y dA
d 4
I p 32
o
x
I p Ix I y 2Ix
d 4
I x I y 64
Ixy xydA