附录1 截面图形的几何性质概论

一、平行移轴公式（类似于转动惯量的平行移轴定理）
以形心为原点a
b
SxC AyC 0
x
y
a b
xc yc
Ix
y 2dA
A
xc
(b
A
yC
)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC b2 A
¯x y¯
x Sy A
y Sx A
S y Ax Sx Ay
坐标轴通过形心 静矩等于零 4
当截面由若干个简单图形组成（如矩形、圆形），则有：
S y Ax Siy Ai xi Sx Ay Six Ai yi
累加式
:
x
y
xi Ai A yi Ai A
y
x
5
例 I-1-1 试确定下图的形心。
1、主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时，若
I x0 y0
Ix
Iy 2
sin 20
I xy cos 20
0
则与 0 对应的旋转轴x0 y0 称为主惯性轴；平面图形对主
轴之惯性矩称为主惯性矩。
tan 20
2I xy Ix Iy
主
惯
性
矩
：II
x0 y0
yd
S x S1x S2 x
h1 2
bh1
( h2 2
h1 ) dh2
h2
Sy x.A 0
x0
h1
x
y Sx
b
A
8
1.2 惯性矩、惯性积和惯性半径
一、惯性矩(moment of inertia)：（类似于转动惯量）
Ix y2dA A
I y x2dA A
二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。 IP r2dA Ix I y
I x1
Ix
2
Iy
Ix
Iy 2
cos 2
I xy
sin
2
19
I x1
Ix
Iy 2
Ix
Iy 2
cos 2
I xy
sin
2
I y1
Ix
Iy 2
Ix
Iy 2
cos 2
I xy
sin 2
I x1y1
Ix
2
Iy
sin
2
I xy
cos 2
I x1 I y1 I x I y
20
二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩
(mm)
组合 I z I z外 I z内
I y I y外 I y内
代入 D=80mm, d=20mm
得： I y 2.01106 mm4
I z 2.0 106 mm 4 18
1.4 惯性矩、惯性积的转轴公式
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理
x1 y1
x cos y sin x sin y cos
(mm)
50
50
15
500
C ···CC12
z
y yC外 400
z
yC内 425
y
50
50
解：选参考系 yz 确定 形心位置：
y 500800 400 400550 425 369 mm 500800 400550
500 8003
Iz外 12 500 800
yC外 y 2
16
I
z内
400
550 12
3
400 550
yC内 yC
2
Iz Iz外 Iz内 1.541010 mm4
17
例 3-3 求图示带圆孔的圆形截面 I y和 I，z D=80mm，d=20m。
zz
解：
I y外
I z外
D 4
64
d
y
I
y内
d4
64
D
I z内
d4
64
d2
4
d 2
2
1
附录1 截面的几何性质
1.1 静矩和形心 1.2 惯性矩、惯性积和惯性半径 1.3 惯性矩、惯性积的平行移轴公式 1.4 惯性矩、惯性积的转轴公式
2
1.1 静矩和形心
max
FN max A
;
T
GI P
;
max
T WP
一、截面的静矩(static moment)
dSx dA y
dSy dA x
如图（b）
负面积
CC11 C2
x
C1（0，0） C2（5，5）
x
xi Ai
x 1
A1
x
2
A2
A
A1 A2
5 (70110) 20.3 120 80 70110
图（b）
y
yi Ai
y 1
A1
y 2 A2
A
A1 A2
5 (70110) 20.3 120 80 70110
7
练习：求Sx、Sy，并求形心位置。
由于对称性
A
I xy 0
10
例 2-1 求矩形截面的惯性矩Ix、Iy，惯性积 I xy 。
y
h
解：平行X轴取一窄长条，则
dy
2 h 2
y
x
Ix
y2dA
A
h
y 2 2
h 2
bdy
bh3 12
bb 22
同理，可得：
Iy
hb 3 12
又因x、y轴皆为对称轴，故 I xy 0
11
1.3 惯性矩、惯性积的平行移轴公式
12
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA
注意！C点必须为截面形心。
13
y
d O
A
例 3-1 求图示圆对其切线AB的惯性矩. 解 ：求解此题有两种方法：一是安
定义直接积分；二是用平行移轴
x
定理等知识求。
建立形心坐标如图,求图形对形心轴
解 ： 组合图形，用正负面积法解之。
y
1、用正面积法求解，图形分割及坐标如
C2
C1（0，0） 图（a） C2（-35，60）
C1
x
x
xi Ai
x 1
A1
x 2
A2
A
A1 A2
3510110 20.3 10110 8010
图（a）
y 6010110 34.7 10110 8010
6
y
2、用负面积法求解，图形分割及坐标
Sx dSx ydA
A
A
Sy dSy xdA
A
A
3
二、形心(centriod of an area）
¯x
m x dm m
等厚 均质
A x t r d A A
xdA
Sy
trA
A
A
质心 :
等于形心坐标
¯y
m
y
dm
m
等厚 均质
A
y tr d trA
A
A y A
d
A
Sx A
的惯性矩。
B
Ip
d4
32
Ix
Iy
2Ix
Ix
Iy
d4
64
I AB
Ix
d 2 A 2
d 4
64
d 4
16
5d 4
64
14
二、组合截面的惯性矩和惯性积
Ix Ixi
I y I yi
Ixy Ixyi
例 I-3-2 计算图示箱式截面对水平形心轴 z 的惯性矩 I z 。
500
C· z
A
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
Ixy xydA A
如果 x 或 y 是对称轴，则：Ixy =0 9
例 ：求圆形截面对圆心的极惯性矩Ip，惯性矩Ix、
Iy，惯性积Ixy 。
y dA
d 4
I p 32
o
x
I p Ix I y 2Ix
d 4
I x I y 64
Ixy xydA