同济版大一高数第十章第三节三重积分

方法3. 先二后一” 方法 截面法 (“先二后一”) 先二后一
z
以Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为 b
z
该物体的质量为
Dz
Ω
y
a
x
=∫
记作
( ∫∫ f (x, y, z) d x d y) dz a D
b
Z
∫a dz∫∫D
b
f (x, y, z)dxdy
11
Z
例3. 计算三重积分
z D z c z
dv = ρ dρ dθdz
19
例4. 计算
1 2 其中 Ω由z = (x + y2 ), z = 1, z = 4围成. 2
解: 利用对称性
z
4
1 2 2 = ∫∫∫ ( x + y ) d x d y d z 2 Ω 1 4 = ∫ d z∫∫ ( x2 + y2 ) d x d y Dz 2 1 2π 2z 3 1 4 π = ∫ d z∫ dθ ∫ r d r = 21 0 0 2 1
Ω
面及平面 x + 2 y + z = 1 所围成的闭区域 .
0 ≤ z ≤ 1− x − 2 y
解: Ω : 0 ≤ y ≤ 1 (1− x) 2
z
1
1 2
0 ≤ x ≤1
∴ ∫∫∫ x d x d y d z
Ω
y
∫0
= ∫ x d x∫
0 1
1(1−x) 2
1−x−2 y
dz
1 x
0
(1− x − 2y)dy
8 2 = a 9
16
µ ( x. y, z) = x2 + y2 . 所围成的物体的质量. 物体的密度为
解:
例2: 求由圆柱面 x2 + y2 =16 及平面z = 0 y + z = 4
0 ≤ z ≤ 4 − y Ω: Dx y : 0 ≤ ρ ≤ 4 0 ≤ θ ≤ 2π
M = lim ∑µ(ξk ,ηk ,ζ k )∆vk
λ→0
k =1
n
∆vk
(ξk ,ηk ,ζ k )
3
任意分割: 任意分割 定义. 定义 设 f (x, y, z) , (x, y, z) ∈Ω, 若对 Ω 作任意分割 下列 任意取点 “乘积和式” 极限
λ→0 k =1
lim ∑ f (ξk ,ηk ,ζ k )∆vk
小结: 小结 三重积分的计算方法 方法1. 三次积分 三次积分” 方法 “三次积分”
b y2 ( x) z2 ( x, y)
= ∫ d x∫
a
y1( x)
d y∫
z1( x, y)
f (x, y, z)d z
方法2. 先一后二 先一后二” 方法 “先一后二”
= ∫∫ dxdy∫
D
z2 ( x, y)
8
1 1 1 2 3 = ∫ (x − 2x + x )dx = 4 0 48
方法2. 先一后二” 方法 投影法 (“先一后二” ) 先一后二 z1(x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y) Ω : (x, y) ∈ D 细长柱体微元的质量为
z = z2 (x, y)
z
z = z1(x, y)
6
方法1. 方法 三次积分法 设区域 Ω :
z = z2 (x, y)
z1(x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y)
z
z = z1(x, y)
y1(x) ≤ y ≤ y2 (x) (x, y) ∈ D : a ≤ x ≤b 利用投影法结果 , 把二重积分化成 二次积分即得:
x
= ∫ dx ∫
微元线密度≈
记作
∫∫D dxdy∫z (x, y)
1
z2 ( x, y)
f (x, y, z) dxdy
9
f (x, y, z)dz
例2: 计算 I =
π 及抛物面 y = x 所围成的区域. y =0 z =0 x+ z = 2 解法一:采用先对z 积分,将 Ω区域投影到xoy面上 解法一 . 0 ≤ z ≤ π − x z π
a
2
解: Ω :
−c ≤ z ≤ c
x y z Dz : 2 + 2 ≤ 1− 2 a b c
2
c
by
2
2
x
用“先二后一 ”
∴
∫∫∫Ω
z d x d y d z = 2∫0 z2 d z ∫∫D d xd y
z
= 2∫
2 c 2 z z π ab(1− 2 )dz 0 c
4 = π abc3 15
12
1 o
Dz
y
20
x
3. 利用球坐标计算三重积分
设M(x, y, z) ∈R3, 其柱坐标为(ρ,θ , z), 令 OM = r, ∠ZOM = ϕ, 则(r,θ ,ϕ) 就称为点M 的球坐标.
直角坐标与球面坐标的关系
x = rsinϕ cosθ y = r sinϕ sinθ z = r cos ϕ
n
记作
∫∫∫Ω f (x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在Ω上的三重积分 三重积分. 三重积分 体积元素, 体积元素 dv称为体积元素 在直角坐标系下常写作 dxdydz. 由定义可知,引例中物体的质量为:
M = ∫∫∫ µ( x, y, z) d v
特别若在 Ω上 f ( x, y, z) = 1 那么三重积分在数值上 就等于区域 Ω的体积即: V = ∫∫∫ dV
0 ≤ ρ ≤ 2cosθ 解: 在柱面坐标系下 Ω : 0 ≤ θ ≤ π 2 0≤ z ≤a
原式 = ∫∫∫ z ρ 2 d ρdθd z
Ω
z a
o
y
= ∫ zdz ∫
0
a
π
0
2 dθ
∫0
2cosθ
ρ2 d ρ
=
2 π 4a
2 ρ = 2cosθ x dv = ρ dρ dθdz
3
∫0
2 cos3θ dθ
∫∫∫Ω f (x, y, z) d v = f (ξ,η,ζ )V
5
二、三重积分的计算 1） 利用直角坐标计算三重积分 ） 先假设连续函数 f (x, y, z) ≥ 0, 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法: 方法1 . 三次积分法 方法 方法2 方法 . 投影法 (“先一后二”) 方法3. 方法 截面法 (“先二后一”) 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
22
例1.求曲面 (x2 + y2 + z2 )2 = a3z (a > 0)所围立体体积. 解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部, 且关于 xoz yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为
Ω : 0 ≤ r ≤ a 3 cos ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π 2 , 0 ≤ θ ≤ 2π
Ω
4
Ω
三重积分存在定理: 当函数 f ( x, y, z) 在闭区域Ω上连续时, f ( x, y, z) 在区域 Ω 上的三重积分必定存在,此时称函数
f ( x, y, z) 在Ω上是可积的 .
性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 性质 中值定理. 中值定理 在有界闭域 Ω 上连续, V 为Ω 的 体积, 则存在 (ξ ,η,ζ ) ∈Ω, 使得
z2 ( x, y) f (x, y, z)dz dxdy ∫z ( x, y) 1 该物体的质量为
∫∫∫Ω f (x, y, z) d v z ( x, y) f (x, y, z)dz dxdy = ∫∫ ∫ D z ( x, y)
2 1
பைடு நூலகம்
x
D
y
d xd y
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为
因此
d v = ρ d ρ dθd z ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz
Ω
z
z
ρ dθ dρ
ρ d ρdθ dz
其中 F(ρ,θ , z) = f (ρ cosθ , ρ sinθ , z )
x
ρ
o
dz
θρ
y
dθ 1) 积分域 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 方程简单 积分域由抛物面、圆柱面、球面所围成。
坐标面分别为
0 ≤ r < +∞ 0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ϕ ≤π
球面 半平面 锥面
z z
ϕr o ρ xθ
M
y
r = 常数
θ = 常数 ϕ = 常数
M(r,θ ,ϕ)
ρ = r sinϕ z = r cos ϕ
21
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为
z
dθ
d v = d r r dϕ r sin ϕ dθ d v = r 2 sinϕd rdϕ dθ
因此有
dr
∫∫∫Ω f (x, y, z)dxdydz
Ω
ϕ
o x
r
θ
dθ
dϕ
= ∫∫∫ F(r,θ ,ϕ) r 2 sinϕ d r dϕ dθ
y
其中 F(r,θ ,ϕ) = f (r sinϕ cosθ , r sinϕ sinθ , r cosϕ ) 适用范围: 适用范围 1) 积分域 积分域表面用球面坐标表示时方程简单 方程简单; 方程简单 积分域是由球面、锥面所围成。 2) 被积函数 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离 变量互相分离. 变量互相分离 被积函数中含有 x2 + y2 + z2 的因子。
2π
2 h
h
18
o
y
例3. 计算三重积分
其中Ω由抛物面
x2 + y2 = 4z 与平面 z = h (h > 0)所围成 .
解: 用先二后一
z
h
DZ : x2 + y2 ≤ 4 z
I = ∫ d z ∫0
0
h
h
2π
dθ
∫
2
2 Z
0
ρ dρ 2 1+ ρ
x
o
Dz y
= π ∫ ln(1+ ρ ) 2 z d z 0 0
高等数学
第十七讲
1
第三节 三重积分的概念和计算方法
一、三重积分的概念 三重积分的概念 二、三重积分的计算
第十章
2
一、三重积分的概念
引例: 引例 设在空间有限闭区域 Ω 内分布着某种不均匀的 物质, 密度函数为 µ(x, y, z) ∈C,求分布在 Ω 内的物质的 质量 M . 解决方法: 解决方法 类似二重积分解决问题的思想, 采用 “大化小 常代变 近似和 求极限” 大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 大化小 可得 Ω
2π
0
y
17
x
例3. 计算三重积分
其中Ω由抛物面
x2 + y2 = 4z 与平面 z = h (h > 0)所围成 .
解: 在柱面坐标系下
z
h
ρ x dρ ∫ρ2 d z θ 原式 = ∫ d ∫0 0 4 1+ ρ 2 dv = ρ dρ dθdz 2 2 h ρ ρ = 2π ∫ (h − ) d ρ 2 0 4 1+ ρ
D 2π
D
M = ∫∫∫ x2 + y2 d v = ∫∫∫ ρ ρ d ρ d θ d z
z
= ∫ d θ ∫0 ρ d ρ ∫
2
4
4−ρ sinθ
0
0
dz
ρ =4 4 3 1 4 = ∫ ρ − ρ sin θ d θ 0 4 3 ρ =0 2π 256 d θ 512 =∫ − 64sinθ = π 0 3 3
适用范围: 适用范围
dρ
2) 被积函数 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离 变量互相分离. 变量互相分离
x2 + y2 , x2 + z2 等因子。 被积函数表达式中含有
15
例1. 计算三重积分
其中Ω为由
柱面 x2 + y2 = 2x 及平面 z = 0, z = a (a > 0), y = 0 所围 成半圆柱体.
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
x = ρ cosθ y = ρ sinθ z=z
坐标面分别为
0 ≤ ρ < +∞ 0 ≤ θ ≤ 2π − ∞ < z < +∞
z
z
M(x, y, z)
ρ = 常数 θ = 常数
z = 常数
圆柱面 半平面 平面
14
o y θ (x, y,0) x ρ
z1( x, y)
f (x, y, z)d z
方法3. 先二后一 先二后一” 方法 “先二后一”
= ∫ d z∫∫
a
b
DZ
f (x, y, z)dxdy
三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择.
13
2. 利用柱坐标计算三重积分
（ 设M(x, y, z) ∈R3,将x, y用极坐标ρ,θ 代替, 则 ρ,θ , z)
Ω
∫∫∫ ysin ( x + z) d x d y d z 其中Ω是由平面
2 Ω: 0 ≤ y ≤ x Dx y : π 0 ≤ x ≤ 2
2
π
I=
∫
π
2 0
dx
π
∫0
x
yd y
x
∫02
π
−x
sin ( x + z) d z
2
0
y
x
10
= ∫2 d x ∫ 0
0
1 y cos x d y = (π − 2) 4
a b y2 ( x) y1 ( x)
D
y = ϕ2 (x)
y
dy ∫
z2 ( x, y)
y
f (x, y, z)dz
z1 ( x, y)
投影法
= ∫∫ dxdy∫
D
z2 ( x, y)
z1( x, y)
f (x, y, z)dz
D y = ϕ1(x) o a x bx
7
例1. 计算三重积分 ∫∫∫ xdxdydz, 其中Ω 为三个坐标