北大高微讲义第3章 一般均衡理论

2、证明的具体过程
¡ （4）关于复合映射g·f : p ’ → p’ 中的不动点和一 般均衡：
根据布劳威尔不动点原理，在g ⋅ f : p'→ p'的连续映射
过程中，必定存在一个不动点。令该不动点为p*，在该点上
有g ⋅ f : p* → p*，即
{ } pi∗ =
p
n
max =
0, pi∗ + ki ⋅ zi ( p1∗ , p2∗ L pn∗ )
pi =pi'。
的具体过程 ¡ （3）关于g: z → p 的调整过程
™再一次的价格标准化
{ } p
n
max =
0, pi' + ki ⋅ zi
n
∈ pi'
i=1,2Ln ki >0 p '∈P '
(1)
∑ pi
∑ pi
i=1
i=1
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二、一般均衡存在性证明
dD( p(t), p∗) = 0 dt
当p(t) = µ p∗
则称均衡价格向量p∗是稳定的。
（µ > 0）
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¡ 命题1的证明：
令 ： p∗为 均 衡 价 格 ， 于 是 有
z（1 p1∗,
p
∗）
2
=
z（2 p1∗,
p
∗）
2
=
0。
考 虑 p点 ， p点 是 除 由 原 点 出 发 过 p∗点 的 射 线 外 的 任 意
满足下述条件： （1）δ（a,b）≥ 0,且仅当a=b时, δ（a,b）= 0。 （2）δ（a,b）=δ（b, a） (3)δ（a,c）+δ（c,b）≥ δ（a,b）
n
∑ 在n维空间中任意两点a、b, 有δ（a,b）= (xia − xib )2 , 通常 i=1 n
∑ 写成D（a,b）= [δ（a,b）]2 = (xia − xib )2 i =1
zi∗ = 0 zi∗ ≤ 0 ⇒ zi∗ ≤ 0
if pi∗ > 0 if pi∗ = 0 pi∗ ≥ 0
zi∗ pi∗ = 0
（3） i=1,2,Ln （4）
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第四部分 一般均衡理论
二、一般均衡的存在性
1、证明的思路
¡ 布劳威尔不动点原理 在一个由闭的、有界的、凸集合到自身的连续
p2
n
,L
pn
n
)
p' ∈ P'
∑ pi ∑ pi ∑ pi
i =1
i =1
i =1
显然，标准化的价格向量集合P'是一个闭的、
2011-12-20 有界的、凸集合。
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第四部分 一般均衡理论
二、一般均衡存在性证明 2、证明的具体过程 ¡ （1）标准化价格向量集合
™“标准化”的理论基础 ¡ “标准化”可以推广到任何一个价格向量 ¡ 标准化价格向量不改变超额需求函数 ¡ 相对价格和一般均衡
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第四部分 一般均衡理论
三、一般均衡稳定性(含唯一性)的证明 4、证明稳定性命题：就是证明以下三个命题 ¡ 命题1
给定商品的总替代性，则均衡价格向量 p∗ = ( p1∗, p2∗ ) 是唯一的。
¡ 命题2
令P*为一般均衡价格。在商品总替代性和瓦
尔拉斯定理的假定下，对于任何非均衡的价格
然后证：
当
pi
=
0（
即
p
∗ i
=
0）
时
，
有
z
i
(
p
∗
)
>
0。
因为
pi
=
0（
即
p
∗ i
=
0） ， 所 以 在 不 动 点 p ∗上 ，
根据调整公式有
{ } 0 = m ax 0 , 0 + k i ⋅ zi ( p ∗ )
显 然 ， zi ( p∗ ) ≤ 0
⇒
当
pi
=
0（
即
p
∗ i
=
0）
时
，
有
z
i
(
i =1
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第二步：由（2）式可知，价格pi只有两种可能
pi =pi∗ + ki ⋅ zi ( p∗) > 0 pi =0
首先证：当pi > 0（即pi∗ > 0）时，有zi ( p∗)= 0。
由（3）式出发，因为pi > 0（即pi∗ > 0），所以在不动点p∗上，
n
∑ 根据调整公式，可将（3）式写成 ( pi∗ + ki ⋅ zi ( p∗))⋅ z（i p∗）= 0 i=1
一 点 ， 且 有 p1 =p1∗, 但 p 2 <p2∗。
于 是 ， 在 p上 有
z（1 p1,
p
）
2
<
0
z（2 p1,
p
）
2
>
0
Q 根 据 总 替 代 性 的 假 定 ， 有 ∂z1 > 0 ∂p2
Q p2 ↓ 导致z2 ↑
显 然 ，p不 是 均 衡 价 格 。
⇒ p点 是 除 由 原 点 出 发 过 p∗点 的 射 线 外 的 任 意 一 点 ，
（1）
在
P
∗时
有
最
优
商
品
供
给
向
量
Q
∗ f
=
(Q
∗ f
1、Q
∗ f
2
L
Q
∗ fn
)
其
中
Q
∗ fi
=
Q fi (P∗ )
h =1,2LH
i ， =1,2Ln 满足
n
n
∑ ∑ pi
∗Q
∗ fi
≥
pi∗Q fi
i =1
i =1
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（2）
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第四部分 一般均衡理论
一、一般均衡的特征
(3) 单种物品的均衡价格： pi∗ ≥ 0 (4) 在每一个均衡市场上：
就是一组一般均衡价格？若是，则需证明（2）式中的
不动点p∗满足一般均衡的特征，即满足：
pi∗ ⋅ zi∗ =0
zi∗ zi∗
= ≤
0, 0
当pi∗ > 0； 当pi∗ = 0。
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证明：
n
n
∑ ∑ 第一步：利用瓦尔拉斯定律 pi ⋅Qid = pi ⋅Qis，
i =1
i =1
p
∗
)
≤
0。
最 后 2011-12-20 ， 综 上 所 证 ， 不 动 点 p ∗是 一 般 均 衡 价 格 。19
第四部分 一般均衡理论
二、一般均衡存在性证明 2、证明的具体过程 ¡ （4）关于g·f : p ’ → p’ 中的不动点和一般均衡 ¡ （5）图示
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第四部分 一般均衡理论
1、证明的思路
¡ 证明的思路
™1、定义一个由价格向量集合到超额需求向量 集合的连续映射：f: P→Z
™2、再定义一个由超额需求向量集合到价格向 量集合的连续映射：g: Z → P
™3、将以上两个连续映射复合起来，构成连续
的复合映射：g ·f: P→P。 显然，这是一个
自身的连续映射。
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™瓦尔拉斯的“拍卖人假定”
™调整过程被规定为
pi = max {0, pi' + ki ⋅ z（i pi'）}
具体表现为
i =1,2Ln ki >0 p'∈P '
当zi > 0时，则 pi > pi' ;
当zi = 0时，则 pi = pi' ;
当 z 2011-12-20
i
< 0时，则 pi
<
pi'，或
三、一般均衡稳定性(含唯一性)的证明 1、引
¡ 一般均衡稳定性的概念
¡ 关于调整过程的假说 2、稳定性命题
如果所有的商品都是总替代的（gross substitutes),那么,在tatonnement process 下，会有 lim p(t) = p∗ 。
t→∞
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三、一般均衡稳定性(含唯一性)的证明 3、预备工作（知识）
故 只 有 p∗点 是 唯 一 的 均 衡 价 格 向 量 。
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¡ 命题2的证明：（命题2是为命题3的证明做准备） 令：p∗为均衡价格向量， p是非均衡价格向量，
且 p1 > p1∗, p2 <p2∗, 则有
对于均衡价格p∗有 z（1 p1∗, p2∗）= z（2 p1∗, p2∗）= 0
(
p1,
p2,
L
pn
)
=
Qis
(
p1,
p2,
L
pn
)
f =1
∗单个市场的超额需求函数为
i =1,2Ln
zi = Qid ( p1, p2, L pn ) − Qis ( p1, p2, L pn )
= zi ( p1, p2, L pn ) i=1,2Ln
∗一般均衡时价格向量为 P∗ = ( p1∗, p2∗, L pn∗ )
n
n
∑ ∑ 即
pi∗ ⋅ z（i p∗）+ ki ⋅ (zi ( p∗))2 = 0 ki >0
i=1
i=1
于是，zi ( p∗)=0