七年级数学下册分式 分式方程及其解法练习浙教版

5.5 分式方程第1课时 分式方程及其解法知识点1 分式方程的定义只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程． 1．下列方程中，哪些是整式方程？哪些是分式方程？ (1)x －40.2－x ＋30.5＝1.6；(2)2－6－x 2＝2x ；(3)8x 2－1＋1＝x ＋8x －1；(4)x ＋3＋1x ＋1＝4＋1x －1.知识点2 解分式方程解分式方程的步骤：(1)分式方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程；(2)解这个整式方程，得出未知数的值；(3)检验所得到的值是不是原分式方程的根；(4)写出答案．使分式方程的分母为零的根是增根，增根使分式方程无意义，应该舍去． [注意] 检验是解分式方程的一个十分重要的步骤，切不可省略． 2．解分式方程2x －3＝3x的步骤：(1)去分母，方程两边同乘________，得整式方程____________； (2)解这个整式方程，得x ＝________；(3)检验：把x ＝________代入最简公分母x(x －3)，得x(x －3)________(填“＝0”或“≠0”)，所以x ＝________是原分式方程的解．一 解分式方程教材例2变式题] 解下列方程： (1)2x ＝3x ＋1；(2)x 3x －1＝2－11－3x ； (3)x x －1－2x 2－1＝1. [归纳总结] 解分式方程时，要注意以下几点：①不要忘记验根；②去分母时不要漏乘整式项；③当分式的分子是多项式时，去分母后不要忘记添括号．探究 二 利用分式方程的增根求字母系数的值[教材例题补充题] 若关于x 的分式方程2x －3＋x ＋m3－x＝2有增根，则m 的值是( )A ．m ＝－1B ．m ＝0C ．m ＝3D ．m ＝0或m ＝3[归纳总结] 利用分式方程的增根求待定字母的值，可按如下步骤进行：(1)先将分式方程转化为整式方程；(2)令最简公分母为0确定增根；(3)将增根代入所得的整式方程，求出待定字母的值．探究 三 利用分式方程根的取值范围确定字母系数的取值范围[教材例题补充题] [2015·荆州] 若关于x 的分式方程m －1x －1＝2的解为非负数，则m 的取值范围是( )A ．m>－1B ．m ≥1C ．m>－1且m≠1D ．m ≥－1且m≠1[归纳总结] 确定根的取值范围时，要去掉使分式方程产生增根的情况．[反思] 下面是小马虎同学解分式方程的步骤，你认为他的解法正确吗？如果不正确，请指出错在哪里，然后写出正确答案．解方程：2x 2x －1＝1－2x ＋2.解：原方程可化为2x 2x －1＝x ＋2x ＋2－2x ＋2，即2x 2x －1＝xx ＋2. 方程两边约去x ，得22x －1＝1x ＋2. 去分母，得2x ＋4＝2x －1. 所以此方程无解．一、选择题1．在方程x ＋53＝7，－3x ＝2，x ＋12－x －13＝4，3x －9x＝1中，分式方程有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．把分式方程2x ＋4＝1x转化为一元一次方程时，方程两边需同乘( )A ．xB ．2xC ．x ＋4D ．x(x ＋4)3．2015·济宁解分式方程2x －1＋x ＋21－x＝3时，去分母后正确的为( )A ．2＋(x ＋2)＝3(x －1)B ．2－x ＋2＝3(x －1)C ．2－(x ＋2)＝3D ．2－(x ＋2)＝3(x －1)4．若x ＝3是关于x 的分式方程a －2x －1x －2＝0的根，则a 的值是( )A ．5B ．－5C ．3D ．－35．[2015·常德] 分式方程2x －2＋3x2－x＝1的解为( )A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝13D ．x ＝06．分式方程1x －1－2x ＋1＝4x 2－1的解是( )A ．x ＝0B ．x ＝－1C ．x ＝±1D ．无解7．下列分式方程中，有解的是( ) A .x ＋1x 2－1＝0 B .x 2＋1x －1＝0 C .x ＋1x －1＝1 D .（x －1）2x －1＝1 8．对于非零的两个实数a ，b ，规定a b ＝1b －1a.若1(x ＋1)＝1，则x 的值为( )A .32 B .13 C .12 D ．－12二、填空题9．解分式方程1x －1－1x ＋1＝1x 2－1去分母时，两边都乘______________．10．2016·湖州方程2x －1x －3＝1的根是x ＝________．11．若关于x 的分式方程2（x －a ）a （x －1）＝－25的解为x ＝3，则a 的值为________．12．已知关于x 的方程a x ＋1－3x 2－1＝1有增根，则a 的值等于________．三、解答题 13．解分式方程：(1)2016·连云港解方程：2x －11＋x ＝0；(2)2016·绍兴解分式方程：x x －1＋21－x＝4.14．是否存在实数x ，使得代数式x －2x ＋2－16x 2－4的值与代数式1＋4x －2的值相等？15．若关于x 的分式方程ax a ＋1－2x －1＝1的解与方程x ＋4x＝3的解相同，求a 的值．16．当k 取何值时，关于x 的分式方程6x －1＝x ＋k x （x －1）－3x 有解？17．若关于x 的分式方程x －m x －1－3x ＝1无解，求m 的值．1．[规律探索题] 已知：11×2＝1－12，12×3＝12－13，13×4＝13－14，…(1)根据这个规律写出第n个式子是________________________________________________________________________；(2)利用这个规律解方程：1x （x ＋1）＋1（x ＋1）（x ＋2）＋…＋1（x ＋9）（x ＋10）＝1x ＋10.2.阅读下面一段话：关于x 的分式方程x ＋1x ＝c ＋1c 的解是x ＝c 或x ＝1c ；关于x 的分式方程x ＋2x ＝c ＋2c 的解是x ＝c 或x ＝2c ；关于x 的分式方程x ＋3x ＝c ＋3c 的解是x ＝c 或x ＝3c ；…(1)写出方程x ＋1x ＝52的解：________；(2)猜想关于x 的分式方程x ＋m x ＝c ＋mc (m≠0)的解，并将所得解代入方程检验．详解详析【预习效果检测】1．[解析] 分式方程与整式方程的区别在于分母中是否含有未知数． 解：(1)(2)是整式方程，(3)(4)是分式方程． 2．(1)x (x －3) 2x ＝3(x －3) (2)9 (3)9 ≠0 9 【重难互动探究】例1 [解析] 首先确定各分母的最简公分母，然后去分母，解整式方程．解：(1)方程两边同时乘x(x ＋1)，得2(x ＋1)＝3x ，解得x ＝2.经检验，x ＝2是原分式方程的解．(2)方程两边同时乘(3x －1)，得x ＝2(3x －1)＋1，解得x ＝15.经检验，x ＝15是原分式方程的解．(3)方程两边同乘(x －1)(x ＋1)，得 x(x ＋1)－2＝(x －1)(x ＋1)． 去括号，得x 2＋x －2＝x 2－1. 移项、合并同类项，得x ＝1.检验：当x ＝1时，(x －1)(x ＋1)＝0， 所以x ＝1是原分式方程的增根． 所以原方程无解．例2 A [解析] 方程两边都乘(x －3)，得2－x －m ＝2(x －3)．因为分式方程有增根，所以x ＝3，所以2－3－m ＝2(3－3)，解得m ＝－1.故选A .例3 D [解析] 去分母，得m －1＝2x －2，解得x ＝m ＋12.由题意得m ＋12≥0且m ＋12≠1.解得m ≥－1且m≠1.故选D .【课堂总结反思】[反思] 小马虎的解答不正确，错在“方程两边约去x”这一步． 正解：原方程可化为2x 2x －1＝xx ＋2. 去分母，得2x(x ＋2)＝x(2x －1)． 去括号，得2x 2＋4x ＝2x 2－x. 解得x ＝0.经检验，x ＝0是原方程的解． 【作业高效训练】 [课堂达标]1．[解析] B 方程－3x ＝2和3x －9x ＝1中的分母含有未知数，是分式方程．故选B .2．D 3.D 4.A 5.A 6.D7．[解析] D 选项A 中，当x ＋1＝0时，x ＝－1，而当x ＝－1时，分母的值等于0，所以该方程无解；选项B 中，因为x 取任意值，x 2＋1≥0恒成立，所以方程无解；选项C 中，因为x 取任意值，x ＋1的值总不等于x －1的值，所以分式x ＋1x －1的值总不等于1，方程无解；选项D 中，方程的解为x ＝2.8．[解析] D 由规定知，1(x ＋1)＝1可化为1x ＋1－1＝1，即1x ＋1＝2，解得x ＝－12.∵－12＋1≠0，∴符合条件．故选D .9．[答案] (x ＋1)(x －1) 10．[答案] －2 11．[答案] 5[解析] 因为关于x 的方程2（x －a ）a （x －1）＝－25的解为x ＝3，所以2（3－a ）a （3－1）＝－25，即3－a2a＝－15.解这个方程得a＝5.经检验，a＝5满足题意．12．[答案] －32[解析] 方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得a(x－1)－3＝(x＋1)(x－1)．∵原方程有增根，∴最简公分母(x＋1)(x－1)＝0，∴增根是x＝1或x＝－1.当x＝－1时，a＝－32；当x＝1时，a无解．13．(1)x＝－2 (2)x＝2314．解：根据题意，得x－2x＋2－16x2－4＝1＋4x－2，去分母，得(x－2)2－16＝x2－4＋4(x＋2)，去括号，得x2－4x＋4－16＝x2－4＋4x＋8，移项、合并同类项，得8x＝－16，解得x＝－2.经检验，x＝－2是原方程的增根，故原分式方程无解．所以不存在满足条件的实数x.15．解：由x＋4x＝3，得x＝2.∵关于x的分式方程axa＋1－2x－1＝1的解与方程x＋4x＝3的解相同，∴把x＝2代入方程axa＋1－2x－1＝1中，得2aa＋1－22－1＝1，即2aa＋1＝3，解得a＝－3.经检验，a＝－3是方程2aa＋1－22－1＝1的根，∴a＝－3.16．解：6x －1＝x ＋k x （x －1）－3x ，方程两边同乘x(x －1)，得 6x ＝x ＋k －3(x －1)， ∴k ＝8x －3. ∵原分式方程有解，∴x ≠0且x －1≠0，即x≠0且x≠1 ∴8x －3≠3且8x －3≠5，∴当k≠－3且k≠5时，原分式方程有解．17．解：去分母，得x(x －m)－3(x －1)＝x(x －1)，－mx －3x ＋3＝－x ， 整理，得(2＋m)x －3＝0.∵关于x 的分式方程x －m x －1－3x ＝1无解，∴x ＝1或x ＝0.当x ＝1时，2＋m －3＝0，解得m ＝1. 当x ＝0时，－3＝0，无解．当2＋m ＝0时，方程(2＋m)x －3＝0无解，此时m ＝－2. ∴m ＝1或m ＝－2. [数学活动] 1．解：(1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1(2)原方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1－1x ＋2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9－1x ＋10＝1x ＋10， 即1x －1x ＋10＝1x ＋10，解得x ＝10. 当x ＝10时，原分式方程的最简公分母不为0. 所以x ＝10是原分式方程的解．2．解：(1)方程x ＋1x ＝52可化为x ＋1x ＝2＋12，可得该方程的解为x ＝2或x ＝12.(2)猜想：方程的解为x ＝c 或x ＝m c .分别将x ＝c 和x ＝mc 代入原方程可得方程的左边＝右边，故方程x ＋m x ＝c ＋m c (m≠0)的解为x ＝c 或x ＝mc .。