第二章-单自由度系统的自由振动-yyt

如将坐标原点设在卡住瞬时位置，则
则振动解： x ( t )
v
0 v x0 0 ; x
n
sin(n t ) 1.28sin(19.6t ) (cm )
绳中最大张力为静张力与最大动张力之和：
Tmax W kA 1.47105 0.74105 2.21105 ( N )
刚性连接
杆的质量为：m
M
k
31
等效质量和等效刚度法：
1 V keq x 2 2
2
2l 3
l 3
1 2 T meq x 2
刚性连接
杆的质量为：m
15
•
•
2.3 单自由度无阻尼自由振动--谐波（简谐）振动
n :
A、 :
n
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2.3 单自由度无阻尼自由振动--谐波（简谐）振动
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上节课知识回顾
振动问题有哪几类，解决振动问题的方法
有哪些源自文库 单自由度无阻尼振动系统的特点是什么？
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2.3 单自由度无阻尼自由振动—实例
例1：升降机笼的质量为 m ，由钢丝绳牵挂以等速度 v0 向下运动。 钢丝 绳的刚度系数为 k ，质量可忽略不计。如果升降机运行中急刹车，钢丝绳上 端突然停止运动，求此时钢丝绳所受的最大张力。 v0
x(t ) A sin(nt )
A x 0 x n
2 0 2
k
m
振幅：
v0
k
v0
k0
固有频率
k n m
m
v0
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2.3 单自由度无阻尼自由振动—实例
例1：升降机笼的质量为 m ，由钢丝绳牵挂以等速度 v0 向下运动。 钢丝 绳的刚度系数为 k ，质量可忽略不计。如果升降机运行中急刹车，钢丝绳上 端突然停止运动，求此时钢丝绳所受的最大张力。 v0 解: x0 0 k
x(t ) A sin(nt )
振幅： A
arctan 初相位：
固有频率
x 0 x n n x0
2 0
2
x 0
n
k m
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2.3 单自由度无阻尼自由振动—实例
例2 提升机系统。重物W=1.47x105N，钢丝刚度k=5.78x104N/cm。重物以 v=15m/min的速度匀速下降，求绳的上端突然卡住时， （1）重物的振动频率；（2）绳中最大张力。 gk 解：振动（自然）频率 n 19.6 rad / s W
解: 由动量矩定理得
力矩和周期已知
O l C mg
(t ) mgl sin (t ) J o
sin
(t ) mgl (t ) 0 J o
n
mgl Jo
Jo mgl
图 用振动测量方法求
桨叶的转动惯量
mgl 2 Jo T 2 n 4
Tn 2
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x(t ) A sin(nt )
振幅 频率 初相位
振幅：
A
x 0 x n
2 0
2
简谐运动的三要素
•
n x0 arctan 初相位： 0 x
在简谐运动三要素中，哪些参数是系统的固有参数？哪些参数是依赖于外部条件 的参数？ 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 n 为振动频率的简谐振 动，并且永无休止； 初始条件是外界能量注入的一种方式，有初始位移即注入了弹性势能，有初始速 度即注入了动能。
统的振动理论就可以得到满意的结果。
3. 单自由度系统的基本概念具有普遍意义。多自由度系统和无限自由 度系统的振动，在特殊的坐标系中考察时，显示出与单自由度系 统类似的性态。
k
弹簧－质量系统就是一个典型的单自由度系统
m x
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2.2 运动微分方程
根据牛顿第二定律
(t ) F (t ) Fd (t ) Fs (t ) m x
（2）最大位移位置 T 0 ; V Vmax 机械能守恒
Tmax Vmax
2 2 max mx kxmax
即
max vmax k x n m xmax A
固有频率
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能量方法：
例 一倒置的摆，杆质量不计，假设起转动惯量为I， 求做微幅振动时摆的固有频率。
机械能守恒
kx 0 m x
振动微分方程
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能量方法：
对无阻尼系统，即无能量损失，可以根据机械能守恒原理直接推导 出系统的振动微分方程或者直接求取系统的固有频率。
证明： 考虑两个特殊位置上系统能量
（1）静平衡位置 T Tmax
1 2 max ; V 0 mx 2 1 2 kx max 2
当F(t)≠0： 强迫振动
牛顿第二定律：物体动量的变化量等于物体受到的合外力。 9
2.2 微分方程

同学们试采用达朗贝尔原理、虚位移原理及能量 守恒原理推导一下图示振动系统的运动微分方程。
F(t)
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2.2 微分方程齐次微分方程通解的求法—特征根法
(t ) bx(t ) 0 x(t ) ax
证明：动能 T 1 mx 2
2
势能 V mgx k ( x )dx mgx k x
0

x
1 2 1 2 kx kx 2 2
T V const
2 kx2 const mx
两边求导并整理： (m kx) x 0 x
不恒等于0： x
Tmax Vmax
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零平衡位置
能量方法：
解：广义坐标θ，平衡位置设置零坐标如图
显然，系统的振动方程为： (t ) cos(nt ) θ
(t ) sin( t ) 则，角速度为： n n
有 max 最大动能 Tmax
max n
2
max
1 m gl 2 2 2
ka2 m gl n I
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等效质量和等效刚度法：
2l 3 l 3
当杆件顺时针转动角度θ时， 弹簧产生压缩变形，质量块上 升，而杆件发生了转动。
刚性连接
杆的质量为：m
M
k
转动时的动能计算公式为
2l 3
l 3
1 2 T J 0 2
其中J0为杆件的转动惯量。
2.3 单自由度无阻尼自由振动—作业
水塔塔身的高度为300ft，材料为钢筋混凝土，内外径分 别为8ft和10ft，装满水时水塔的重量为6*105lbf。钢筋 混凝土的弹性模量为4*106lbf/in2 ，忽略塔身的质量。求 （1）水塔横向振动的固有频率； （2）若横向初始位移为10in，则由其引起的振动响应； （3）水塔的最大速度和加速度。
弹簧-质量-阻尼系统
4
2.1 基本概念(实际结构简化)
m
m
5
2.1 基本概念

振动方式：自由振动

系统在初始时只受到一个外界扰动，此后并不受其他 力的作用而发生的振动。
O
θ l
mg
6
7
2.1 单自由度系统的自由振动

研究的意义
1. 单自由度系统的振动是进一步学习多自由度系统振动的基础。
2. 在工程上有许多振动系统可以简化为单自由度系统，用单自由度系
sin nt
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2.3 单自由度无阻尼自由振动--谐波（简谐）振动
自由振动：
x(t ) x0 cos nt
X1 x0 A sin 0 x X2 A cos
n
0 x
sin nt
令：
n
x(t ) A sin(nt )
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2.3 单自由度无阻尼自由振动--谐波（简谐）振动
1 2 1 2 I max I 2n 2 2
最大势能含两部分：一是最大位置弹簧势能，一为m下降时失去的势能
1 k 1 Vmax1 2 ( max a ) 2 ka 2 2 2 2 2
Vmax2 m gl(1 cos max ) 2m glsin
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常数C1和C2由系统的初始条件确定。
2.2 微分方程--非齐次微分方程特解的求法
二阶常系数非齐次微分方程：
(t ) bx(t ) f (t ) x(t ) ax
其中： f (t ) sin t 或 f (t ) cos t
特解的形式：
x* (t ) t k (C1 cos t C2 sin t ) C1, C2
m
25
2.4 求单自由度无阻尼系统固有频率的方法
① 微分方程法：
运动微分方程 ② 能量方法： 系统的固有频率
Tmax Vmax
③ 等效质量和等效刚度法：
系统的固有频率
T
V
④ 静变形法：
等效质量 meq 等效刚度 keq
n
keq meq
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能量方法：
对无阻尼系统，即无能量损失，可以根据机械能守恒原理直接推导 出系统的振动微分方程或者直接求取系统的固有频率。
n
m
（振幅）
0 v0 x
0 x
m k
k
m
k
A
2 x0 (
n
) 2 v0
v0
v0
(钢丝绳最大动张力)
Td kA v0 mk
（钢丝绳总张力的最大值）
k0
T mg v0 mk
m
v0
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2.3 单自由度无阻尼自由振动—实例
例2 提升机系统。重物W=1.47x105N，钢丝刚度k=5.78x104N/cm。重物以 v=15m/min的速度匀速下降，求绳的上端突然卡住时， （1）重物的振动频率；（2）绳中最大张力。
质量元件
平动：
力矩和周期已知
O l C mg
Fm mx
Tm J
力、质量和加速度的单位分别为N、kg和m / s 2。
转动：
图 用振动测量方法求
桨叶的转动惯量 力矩、转动惯量和角加速度的单位分别为Nm、kg m 2和rad / s 2 .
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2.3 单自由度无阻尼自由振动—实例
① 当i 不是特征方程的根时，k 0 ② 当 i 是特征方程的单根时，k 1
为待定常数。
非齐次通解
=
齐次通解
＋
非齐次特解
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2.3 单自由度无阻尼自由振动--谐波（简谐）振动
对自由振动，如不计阻尼，有
(t ) kx(t ) 0 m x
或
(t ) x(t ) 0 x
1
2
授课内容
基本概念 微分方程求解方法回顾 单自由度无阻尼自由振动特性分析 求解无阻尼系统固有频率的方法 单自由度有阻尼自由振动 有阻尼自由运动微分方程的建立

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2.1 基本概念

研究对象 单自由度系统

该系统只需要一个独立坐标就可以确定系统中所有元 件的在某一瞬时的位置
x m F(t) k c o
2 n
k n m
固有频率
该二阶常系数齐次方程的通解为：
x(t ) X1 cosnt X 2 sin nt
初始条件
(0) x 0 x(0) x0 , x
X1 x0 , X 2
单位：rad/s
n
0 x
自由振动：
x(t ) x0 cos nt
n
0 x
x(t ) Cest
特解形式
(s as b)e 0
2 st
(s as b) 0
2
s1 , s2
特征值
特征方程
特征根 不相等实根 相等实根
s
s1 s2 s1 s2
通解形式
共轭复根
s1,2 i
x(t ) C1es1t C2es2t x(t ) es1t (C1 C2t ) x(t ) et (C1 cos t C2 sin t )
根据弹性和阻尼的定义，变为
F(t)
(t ) cx (t ) kx(t ) F (t ) m x
（1）二阶常系数、非齐次线性微分方程 （2）左边由m、c和k决定，反映系统本身特性；右边反映输入特性 （3）实质：对由m、c和k决定的系统，输入F(t)，会有什么样的输出x(t)？
当F(t)=0： 自由振动
由于 kA k.
v
n
v km ，要降低张力，应减小系统刚度
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2.3 单自由度无阻尼自由振动—实例
例3：直升机桨叶经实验测出其质量为m，质心C 距铰中心o 距离为l。 现 给予桨叶初始扰动，使其微幅摆动，用秒表测得多次摆动循环所用的时间， 除以循环次数获得近似的固有周期，试求桨叶绕垂直铰o 的转动惯量.
振动理论与声学原理
第二章 单自由度系统的自由振动
牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）是一 位英国物理学家、数学家、剑桥大学数学教授 、英国皇家学会主席。他在1687年发表的论文 《自然哲学与数学原理》里，对万有引力和三 大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后 三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现 代工程学的基础。