初二数学上册教案12：最短路径(学生版)

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八年级数学上册---《最短路径问题》课堂设计

八年级数学上册---《最短路径问题》课堂设计最短路径问题（第一课时）在我们的学习生活中，接触过很多“最值问题”：最多最少，最长最短。

思考以下两个问题：复习1：如图，连接A 、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？答：路线2最短，因为两点的所有连线中，线段最短，简称：两点之间，线段最短复习2：点P 是直线l 外一点，点P 与该直线l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？答：PC 最短，因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

设计意图：复习“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”，为最短路径问题做好铺垫。

通过识别，也让学生有动态的思想，在比较中，找到最短路径。

lC PA B D教师：刚刚的两个问题都是识别最短路径，接下来，我们尝试通过画图，找到最短路径。

引例1：如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短。

教师：（1）点C是直线l上的一个动点。

我们不妨先画一个一般的点C，连接CA，CB，我们的目标：找到一个点C，使得CA+CB最小。

（2）观察几何画板的演示：当C在运动的过程中，线段CA，CB也在移动，观察：什么时候线段和最短？（3）同学们可以观察到：当C是线段AB和l的交点，即ACB共线时，CA+CB 最短。

依据是：两点之间，线段最短。

作图方法：连接AB，交直线l于点C，点C即为所求。

总结：从一般的点C出发，从运动变化的角度观察图形，并用到“两点之间，线段最短”解决问题。

教师：接下来，我们用这样的方法，研究数学史上经典的“牧马人饮马问题”。

例1：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？BAl练习：有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B 的路径在地面上爬行。

小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处。

问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置。

八年级数学上册《最短路径问题》教案、教学设计

3.合作交流：分组讨论，分享各自的解题方法，互相借鉴。
4.方法指导：教师引导学生运用坐标系、网格纸等工具，将实际问题转化为数学模型。
5.课堂小结：总结解决最短路径问题的方法，提炼数学思想。
第二课时：巩固提高，解决实际问题
1.创设情境：提供一些实际生活中的问题，让学生运用所学知识解决。
2.自主探究：学生独立思考，尝试解决实际问题。
2.培养学生面对困难时，勇于挑战、积极思考的良好品质。
3.培养学生合作交流、共同解决问题的团队意识，提高沟通能力。
4.培养学生将所学知识运用到实际生活中的意识，增强学生的实践能力。
5.使学生认识到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在解决实际问题中的价值，提高学生对数学学科的认识。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于坐标系、距离计算等概念有初步的了解。在此基础上，他们对最短路径问题充满好奇心，但可能尚未形成系统性的解题思路和方法。因此，在本章节的教学中，应关注以下几个方面：
b.请学生尝试研究：在给定的条件下，如何判断两点之间是否存在最短路径？若存在，如何求解？
作业要求：
1.学生需独立完成作业，确保解题过程清晰、规范。
2.鼓励学生在解决最短路径问题时，尝试不同的方法和思路，培养创新意识。
3.做完作业后，学生应认真检查，确保答案正确，并对解题过程进行总结和反思。
4.作业完成后，及时上交，教师将进行批改和反馈。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生解决最短路径问题的能力，特布置以下作业：
1.必做题：
a.请学生绘制一幅包含五个点的坐标系图，任意指定两个点作为起点和终点，找出所有可能的最短路径，并计算出它们的长度。
b.从教材或课外资料中选择两道最短路径问题的题目，运用课堂所学方法进行解答。

课题学习最短路径问题教案人教版八年级数学上册

13.4课题学习最短路径问题【教学目标】1．知识与技能：通过对最短路径的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.2.过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径的思想方法.3.情感态度与价值观：在数学学习活动中，获得成功的体验，树立自信心.【教学重难点】重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力；难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．【教学方法】情境学习法、探究实践法.【教学过程】新课导入：创设情境，提出问题：问题1：如图，连接A，B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？答：②最短，因为两点之间，线段最短问题2：如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？答：PC最短，因为垂线段最短.“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.深入学习最短路径问题.由复习相关问题入手，为后面学习做好铺垫.新课讲授：（一）牧人饮马问题问题：如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？把实际问题抽象为数学作图问题：在直线l上求作一点C，使AC+BC最短问题.动手探究：探究1：现在假设点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？解：连接AB，与直线l相交于一点C.根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.探究2：如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探究3：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．②AC +BC= AC +B′C = AB′，② AC′+BC′= AC′+B′C′．在②AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，②AC +BC＜AC′+BC′．即AC +BC最短．例1：如图，已知点D，点E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，求BF+EF的最小值.解：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，AB=BC，BD=CD，∴点B与点C关于直线AD对称.∵点F 在AD 上，∴BF =CF ，∴BF +EF =CF +EF ，∴连接CE ，线段CE 的长即为BF +EF 的最小值.∵当CE ⊥AB 时，CE 最小，∴当CE ⊥AB 时，BF +EF 的最小值.∵12AB ·CE =12BC ·AD ，∴CE =AD =5， ∴BF +EF 的最小值是5.归纳结论：求线段和的最小值问题:找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.（二）造桥选址问题活动探究：如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN .桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？抽象出数学习题思考：N 在直线b 的什么位置时，AM +MN +NB 最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM +NB 最小时，AM +MN +NB 最小.AM 沿与河岸垂直的方向平移，点M 移到点N ，点A 移到点A ′，则AA ′ = MN ，AM + NB = A ′N + NB . 这样问题就转化为：当点N 在直线b 的什么位置时， A ′N +NB 最小？如图，连接A ′B 与b 相交于N ，N 点即为所求.试说明桥建在M ′N ′上时，从A 到B 的路径AMNB 增大.（两点之间线段最短）例2：如图，荆州古城河在CC ′处直角转弯，河宽相同，从A 处到B 处，须经两座桥：DD ′，EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB 的路程最短？解：作AF ②CD ，且AF =河宽，作BG ②CE ，且BG =河宽，连接GF ，与河岸相交于E ′，D ′.作DD ′，EE ′即为桥.理由：由作图法可知，AF //DD ′，AF =DD ′，则四边形AFD ′D 为平行四边形，于是AD =FD ′，同理，BE =GE ′，由两点之间线段最短可知，GF最小.归纳结论：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.课堂练习：A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.解：如图所示，AP+PQ+BQ最短.2.（1）如图②，在AB直线一侧C，D两点，在AB上找一点P，使C，D，P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．（2）如图②，在②AOB内部有一点P，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F，P三点组成的三角形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由．（3）如图②，在②AOB内部有两点M，N，是否在OA，OB上分别存在点E，F，使得E，F，M，N，四点组成的四边形的周长最短，找出E，F两点，并说明理由．答案：课堂小结：说一说哪些问题是线段最短问题.说一说牧民饮马问题的解决方法和原理.说一下造桥选址类问题的解决方法和原理.作业布置：1.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）答案：A2.完成本节配套习题.【板书设计】最短路径问题的解题原理：线段公理和垂线段最短.最短路径问题的分类：饮马问题和造桥选址问题.饮马问题的解题方法：轴对称知识+线段公理.造桥选址问题的解题方法：关键是将固定线段“桥”平移.【课后反思】创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，教学时，根据本课内容特点，尽可能的让学生动手实践，通过探索交流获取作图方法.。

最短路径教学设计

教学设计（1）情境导入方方和圆圆要去校医院买药，他们从数学楼出发，然后沿正德路和东环路步行去校医院，路线如下图所示。

圆圆说，数学楼和校医院之间要是有条笔直的路，我们就不用走这么远了，你知道她为什么这么说吗？教师问：依据是什么?通过日常生活中的实例，引起学生兴趣，调动其学习的积极性。

荷兰教育家弗赖登尔说“数学来源于生活，也必须植根于生活”，同时新课程标准“数学教学必须从学生熟悉的生活情境和。

利用生活中的课程资源，使他们体会到数学就在身边，感唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火,黄昏饮马傍依据：两点之间线段最短设计意图：用古诗词引入，发现文学中的数学课程资源，让学生感受到中国古典文化的魅力，对学生进行情感态度价值观的教育。

将文学内容转化为实际问题，通过实际问题建模成数学问题，让学生体会建模思想，认识到数学是刻画表达各种现象的重要方法。

由于计算机的发展，数学已不仅是一门学科，还是一门技术，增加一些小趣味，让课堂不枯燥。

那么当将军和营地在小河的同一侧时，又该如何找饮马点呢？教师问：刚才的问题和现在的问题有什么不同？学生答：一个是两点在异侧，一个是两点同侧。

教师问：那么我如何解决这个同侧问题呢？可以转化为异侧问题吗？总结思想：利用轴对称，将同侧问题转化为异侧问题。

设计意图：构建解决这类问题的数学模型，为解决后面的问题做准备。

类比思维方法是数学创造性思维中很重要的一种思维方法，法国数学家兼天文学家，普拉斯说：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。

”通过类比，总结经验。

）学以致用现在我国正加大建设农村基础设施的步伐。

如图，小河边有两个村庄A、在要在河岸边建立一个自来水厂，向两村供水。

想一想水厂建在哪里，才能使铺设管道最节省呢？关于小河边线的对称点B′，连接AB′，AB′与小河边线的交点即（学生小组合作讨论，相互交流解题经验）进一步提升学生利用已学知识解决问题的能力，逐渐加深学生思考,培养学生应用意识、创新意识、过程经验，通过这道题继续巩固本节课解题基本。

《最短路径问题》-教学设计【初中数学人教版八年级上册】

《最短路径问题》教学设计在生产和经营中为了省时省力常希望寻求最短路径，因此最短路径问题在现实生活中是经常遇到的问题.本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题“的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段和最短问题，再利用轴对称将线段和最小转化为两点之间，线段最短问题，让学生体会数学来源于生活，又服务于生活.1.能利用所学轴对称的知识解决简单的最短路径问题. 2.在探索最短路径的过程中，培养学生的探究能力、数学归纳能力，分析问题、解决问题的能力. 3. 在探索最短路径的过程中，让学生感悟转化的思想，获得成功的体验.① 【教学重点】将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法.【教学难点】探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及原理.多媒体课件、教具等.◆教材分析◆教学目标◆教学重难点◆课前准备◆教学过程一、创设情境，引入新知前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们会称它们为最短路径问题，同学们仔细回顾一下原来的知识，然后思考我们教材中的问题1.相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”.你能将这个问题抽象为数学问题吗？二、合作交流，探究新知这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线.你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）.三、运用新知如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？追问1如何将点B “移” 到l的另一侧B′ 处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB的长度相等？追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′ 吗？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C.则点C即为所求.转化为数学问题，如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点.为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC ＋CB＜AC′＋C′B如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线.因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.问题2如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？思路导引：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可.此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥.学生之间相互交流合作完成问题2的求解以及证明.四、巩固新知1. 如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是()A. (－2，0)B. (4，0)C. (2，0)D. (0，0)2. 如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径.基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR 与QR的和最小”.五、巩固小结1. 最短路径问题的类型：(1)两点一线型的线段和最小值问题；(2)两线一点型线段和最小值问题；(3)两点两线型的线段和最小值问题；(4)造桥选址问题.2. 解决最短路径问题的方法：借助轴对称或平移的知识，化折为直，利用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”来求线段和的最小值.◆教学反思略.。

八年级数学上册《学习最短路径问题》教案、教学设计

（四）课堂练习
1.设计练习题：根据教学目标和重难点，设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识。
2.独立完成：学生独立完成练习题，提高解决问题的能力。
3.教师指导：针对学生做题过程中遇到的问题，给予个别指导，帮助学生掌握解题方法。
4.评价与反馈：对学生的练习成果进行评价，及时反馈，促使学生改进和提高。
八年级数学上册《学习最短路径问题》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解最短路径问题的基本概念，了解其在现实生活中的应用，如地图导航、网络路由等。
2.学会使用数学方法求解最短路径问题，包括但不限于：欧几里得算法、迪杰斯特拉算法等。
3.能够运用所学的最短路径算法解决实际问题，并能够根据问题背景选择合适的算法。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：对本节课所学的最短路径问题、欧几里得算法、迪杰斯特拉算法等知识点进行回顾和总结。
2.学生分享：邀请学生分享自己在学习过程中的收获和感悟，提高学生的表达能力。
3.教师点评：针对学生的分享，给予积极的评价和引导学生认识到数学在解决实际问题中的价值，培养他们勇于探索、积极思考的精神，以及团队合作、尊重他人的品质。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.最短路径问题的基本概念及其在实际中的应用。
2.欧几里得算法、迪杰斯特拉算法等最短路径求解方法。
3.将实际问题转化为数学模型的能力。
4.培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识。
（二）教学难点
1.理解并掌握最短路径算法的原理和步骤。
2.将算法应用于解决实际问题，进行数学建模。
4.掌握最短路径问题的数学表达和建模方法，能够将实际问题转化为数学模型。
（二）过程与方法
在教学过程中，教师应关注以下过程与方法：

人教版初二数学上册《最短路径应用》教案

人教版初二数学上册《最短路径应用》教案一、教学目标- 理解最短路径的概念和应用场景。

- 学会使用迪杰斯特拉算法解决最短路径问题。

- 能够解决实际生活中的最短路径问题。

二、教学内容1. 最短路径的概念介绍。

2. 迪杰斯特拉算法的原理和步骤。

3. 实际案例分析和解决。

三、教学过程1. 导入新知：通过与学生讨论交通路线选择的问题，引入最短路径的概念。

2. 概念解释：向学生解释最短路径的定义和应用场景，例如如何选择最短路线来减少时间和距离。

3. 理论研究：介绍迪杰斯特拉算法的原理和步骤，让学生了解如何通过该算法求解最短路径问题。

4. 实例演示：通过一个实际案例，展示如何运用迪杰斯特拉算法来解决最短路径问题。

让学生参与其中，理解算法的运作过程。

5. 练巩固：提供一些练题目让学生自主尝试解决，并与同学共同讨论答案。

6. 拓展应用：引导学生思考最短路径在其他领域的应用，如物流配送、网络寻路等，并与学生分享一些相关实例。

7. 总结回顾：对本节课的内容进行总结，强调最短路径概念和迪杰斯特拉算法的重要性。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与和理解情况。

2. 练成绩：评估学生在完成练题目时的准确性和独立性。

3. 案例解决：考察学生对实际案例的分析和解决能力。

4. 反馈评价：根据学生对课堂内容的理解和掌握程度，给予相应的反馈和评价。

五、教学反思本节课通过引入最短路径概念和迪杰斯特拉算法，帮助学生了解了最短路径的应用场景和解决方法。

通过实例演示和练习巩固，学生对这一概念有了更深入的理解，并掌握了迪杰斯特拉算法的步骤。

在今后的教学中，可以进一步拓展最短路径的应用领域，提供更多实例让学生进行探索和思考。

最短路径教案

13.4最短路径问题一、教学内容：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。

本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。

二、教学目标1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题2、再谈岁最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。

三、教学重难点重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

四、教学问题诊断最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。

解答“当点A\B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与BC的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与直线l上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。

在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。

教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与直线l上的点的和最小”为学生搭建“脚手架”，在证明最短时，教师要适时点拨学生，让学生体会任意的作用。

五、教学过程教师引语：现实生活中经常会有这样的生活经历，比如学校虽然为我们铺设了一些石板甬路，方便同学们的行走，但是很多时候我们却并不在这些小路上行走，这样做的目的是什么呢？（学生一起回答）如果用数学知识来解释这种行为，那就是我们曾经学习的“两点之间、线段最短”或“垂线段最短”，我们称这样的问题为最短路径问题（板书课题）现实生活中经常涉及到最短路径问题，这节课我们学习的主要任务就是最短路径问题，并用所学知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。

13.4课题学习-最短路径问题教案 2022-2023学年度人教版八年级数学上册

13.4课题学习－最短路径问题教案一、教学目标1.了解最短路径问题的基本概念和特点；2.掌握最短路径问题相关的算法和求解方法；3.能够灵活运用最短路径问题的算法解决实际问题。

二、教学重点1.最短路径问题的基本概念和特点；2.最短路径问题的相关算法和求解方法。

三、教学难点能够灵活运用最短路径问题的算法解决实际问题。

四、教学内容1. 最短路径问题的概念和特点最短路径问题是图论中的一个经典问题，主要是求解两点之间经过路径长度最短的问题。

最短路径问题的特点有：•可以用图来表示，顶点表示路径的起点和终点，边表示路径；•可以是有向图或无向图；•边上可以有权值，表示路径长度。

2. 最短路径问题的相关算法和求解方法最短路径问题有多种求解方法和算法，常用的有以下几种：2.1. 迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法。

它的基本思想是从起点开始，逐步扩展最短路径，直到到达终点。

迪杰斯特拉算法的步骤如下：1.初始化起点到各个顶点的最短距离，起点到起点的最短距离为0，其他顶点的最短距离为无穷大；2.选择一个未访问且距离起点最近的顶点，标记为已访问；3.更新当前顶点的邻居顶点的最短距离，如果经过当前顶点到达邻居顶点的距离小于邻居顶点当前的最短距离，则更新最短距离；4.重复步骤2和步骤3，直到所有顶点都被访问。

2.2. 弗洛伊德算法弗洛伊德算法是一种用于求解多源最短路径问题的算法。

它的基本思想是通过计算任意两个顶点之间的最短路径，来得到整个图的最短路径。

弗洛伊德算法的步骤如下：1.初始化距离矩阵，如果两个顶点之间存在边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大；2.对于每个顶点对(i, j)，尝试经过某个中间顶点k来更新距离，如果从i到j的距离大于从i到k再到j的距离，则更新距离；3.重复步骤2，直到所有顶点对的最短路径都被计算。

2.3. 贝尔曼-福特算法贝尔曼-福特算法是一种用于求解单源最短路径问题的算法。

八年级上册数学教案《最短路径问题》

八年级上册数学教案《最短路径问题》学情分析最短路径在现实生活中经常遇到，也是数学分支——图论研究的一个经典算法问题，初中阶段，主要以“两点之间线段最短”连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短“为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变化进行研究。

教学目的1、理解利用轴对称变化解决最短路径问题的思路和原理，能够利用轴对称变化解决最短路径问题。

2、通过探究最短路径问题的过程，提升应用意识。

3、感受数学与生活的练习，提高学习数学的兴趣。

教学重点利用轴对称变化解决最短路径问题。

教学难点理解利用轴对称变化解决最短路径问题的思路和原理。

教学方法讲授法、提问法、讨论法、练习法教学过程一、回顾旧知1、什么是轴对称？对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。

2、什么是轴对称的性质？（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（2）角平分线上的点到角两边距离相等。

（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

二、探究新知1、提出问题如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。

牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？2、分析题干引导：如果把河边l近似地看成一条直线，要确定的点C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为什么问题？明确问题转化：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小。

分析：两点之间，线段最短，但要从A到B要先经过河边点C，不能直接应用。

如果C位于A，B之间，即A，B在河的两侧，则能够应用“两点之间线段最短”确定最短路径。

生：可以在直线另一侧找一个点A′或点B′代替原来的点A或点B，但A与A′或B与B′到两边任意一点C的距离要相等，A C = A′C或BC = B′C。

八年级数学上册《最短路径问题》教学设计

《13.4 课题学习最短路径问题》教学设计【教学目标】1、了解解决最短路径问题的基本策略和基本原理.2、能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的点和直线问题，使实际问题数学化.3、能利用平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用.【学情分析】学生已经有了一定的最短路径问题分析基础，但对于从实际问题抽象出数学问题还有一定的困难，解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零这一问题的分析有难度，怎样转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题存在一定的困惑.对于这一方法的直接应用问题不大，但灵活应用还有一定的挑战.【教学重难点】重点:利用平移将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题.难点:如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题.【教学过程】一、创设情景问题一：如图，某快递公司每天要派快递员从A地出发前往B地送货，途经一条笔直的街道l.快递公司想在街道上建一个中转站，请问中转站建在街道l的什么地方，可使快递员每天所走的路径最短？追问：你运用什么知识解决这个问题的？ (板书课题)二、探究新知问题二：如图，某城市要进行改造扩建，若A地和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）问题1：我们从题目中能找到哪些已知条件？从A到B的路径AMNB是指谁？问题2：如果不考虑路径最短，桥的选址有多少种情况？问题3：以我们的观察力能否直接看出桥MN的位置选在哪里，AM+MN+NB最小？（利用几何画板让点N动起来）明晰：通过几何画板的演示，观察到这样的位置确实存在，MN的长度不变。

问题4：桥建在哪里才能保证AM+NB最小，带着思考尝试画出你认为最短的路径.师生活动：学生独立思考，画图分析，组内交流作法，全班展示成果.问题5：本节课解决的中转站问题与选址造桥问题有什么共同点？有什么不同点？能否将第二个问题转化成第一个问题？什么知识能够帮助我们解决这个问题呢？(平移)师生活动：学生独立思考，尝试画图平移点A，确定桥的位置找出最短路径，全班展示成果.用几何画板再次展示作法：(1)如图，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置．问题6：我们这样找到的点N是否合理？试说明理由。

人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题》优秀教学案例

（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组选择一个最短路径问题进行研究和探究；
2.引导学生相互讨论、交流，共同解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力；
3.教师巡回指导，针对不同小组的问题，提供适当的帮助和指导，促进学生的思考和发展。
（四）总结归纳
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结自己在解决问题过程中的优点和不足；
人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题》优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题》，是在学生已经掌握了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等知识的基础上进行学习的。八年级的学生思维活跃，好奇心强，具备一定的探究能力，但同时在学习过程中容易忽视数学与实际生活的联系，对最短路径问题的理解停留在理论层面。因此，本节课的教学案例旨在通过生活实例，引导学生感受最短路径问题在实际生活中的应用，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
2.组织学生进行评价，让学生互相评价，提高学生的自我认知和评价能力；
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注学生的全面发展，给予极的反馈和鼓励。
（五）作业小结
1.教师布置与本节课相关的基础性作业和拓展性作业，巩固学生对最短路径问题的理解和掌握；
2.鼓励学生运用所学知识解决实际生活中的最短路径问题，提高学生的数学应用意识；
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用多媒体展示实际生活中的最短路径问题，如快递员送快递、旅行家规划旅行路线等，让学生感受到最短路径问题在现实生活中的重要性；
2.设计具有挑战性的问题，如学校到图书馆的最短路径是什么？引导学生思考并尝试解决；
3.创设情境，让学生扮演不同角色，如导演、导游等，规划最短路径，提高学生的参与度和积极性。

人教版初二数学上册《最短路线问题》教案

人教版初二数学上册《最短路线问题》教案一、教学目标1. 了解最短路线问题的概念和应用背景。

2. 掌握求解最短路径的方法，包括迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。

3. 能够灵活运用最短路径算法解决实际问题。

二、教学准备1. 教材：人教版初二数学上册。

2. 教具：投影仪、黑板、白板、教案、课件等。

三、教学内容及流程1. 导入（5分钟）- 利用地图等实际例子引入最短路线问题，并与学生进行讨论，激发学生的研究兴趣。

2. 知识讲解（15分钟）- 讲解最短路径的定义和应用背景，引导学生了解最短路径问题在现实生活中的重要性。

3. 方法讲解（20分钟）- 介绍迪杰斯特拉算法的基本原理和步骤，通过实例演示其具体应用方法。

- 介绍弗洛伊德算法的基本思想和具体过程，通过实例说明其求解最短路径的能力。

4. 练与应用（25分钟）- 设计一些简单的最短路径问题，让学生运用迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法进行求解。

- 提供一些实际案例，让学生运用所学知识解决实际问题。

5. 总结与反思（10分钟）- 总结所学知识要点，强调最短路径问题的重要性和实际应用价值。

- 与学生一起反思本节课的收获和不足之处，为下一步研究做好准备。

四、教学评价1. 观察学生的课堂参与情况，包括回答问题、互动讨论等。

2. 以小组或个人作业形式，设计相关的问题让学生回答。

3. 布置课后作业，要求学生运用所学知识解决一个实际的最短路径问题，并提交书面报告。

五、教学延伸为了帮助学生更好地理解最短路线问题和相关算法，教师可以组织学生进行实地考察，例如到校园周围进行最短路径的测量和求解，让学生亲自体验和实践所学知识的应用。

以上是人教版初二数学上册《最短路线问题》教案的主要内容，希望对您有所帮助。

人教版初二数学上册《最短路径算法》教案

人教版初二数学上册《最短路径算法》教案一、教学目标通过本节课的研究，学生应该能够：1. 掌握最短路径算法的基本概念；2. 理解迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法的原理；3. 能够应用最短路径算法解决实际问题。

二、教学重点最短路径算法的原理和应用。

三、教学难点学生能够熟练运用最短路径算法解决实际问题。

四、教学准备1. 教材：人教版初二数学上册；2. 多媒体设备；3. 教学课件。

五、教学过程步骤一：导入新知通过引入一个实际生活中的问题，如从学校到公园的最短路径，引起学生对最短路径算法的兴趣和思考。

步骤二：概念讲解1. 算法：对算法的定义和基本概念进行简要介绍。

2. 最短路径：解释最短路径的含义和应用场景。

3. 迪杰斯特拉算法：介绍迪杰斯特拉算法的原理和步骤，并通过实例演示其应用过程。

4. 弗洛伊德算法：解释弗洛伊德算法的原理和适用范围，并与迪杰斯特拉算法进行比较。

步骤三：应用练1. 讲解实际问题：给出一个实际情境，如在某城市中求解两个地点之间的最短路径。

2. 指导学生运用迪杰斯特拉算法解决问题，并引导学生记录解题过程。

3. 对学生的解题过程进行点评和指导。

步骤四：拓展应用引导学生思考如何将最短路径算法应用到其他实际问题中，如物流配送、网络路由等。

步骤五：归纳总结通过与学生一起总结迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法的原理和应用，强化学生对最短路径算法的理解和记忆。

六、课堂小结本节课主要介绍了最短路径算法的概念、迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法的原理及其应用。

通过实际问题的运用练，学生掌握了最短路径算法的解题方法，并能够将其应用到其他实际问题中。

七、课后作业1. 完成课堂上的应用练；2. 思考并总结迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法的优缺点。

以上为本节课的教案内容，请根据教学实际情况进行适当调整和安排。

最短路径问题八年级数学上(人教版)学习教案

B
P′ P Q′ Q
连接A′′B，与直线l交于一点即为所求点Q.
l
A′′
问题：在直线l上求作两点P，Q ，使得四边形APQB的周长最小．
练习已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P，Q （点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四边形APQB的周长最小．作法：
a A A′
B
将点A沿直线l的方向平移A′，使得AA′=a. 作A′关于直线l的对称点A′′
当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
A
Ma Nb
B
思考：问题能否简化？
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A
Ma Nb
B
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A
A
Ma Nb
B
B
思考：能否通过图形的变化（轴对称，平移等），
A
实际问题用数学语言表达.
Ma Nb
B
总结当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A
Ma Nb
B
总结当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
利用平移，实现线段的转移. 转化2：当点N在直线b的什么位置时， A′N+NB最小？
N
AM′+N′B=A′N′+N′B.
B 由两点之间，线段最短可知：

人教版八年级上册数学13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例

3.培养学生自主探究、发现问题、分析问题、解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.让学生在解决实际问题的过程中，体验数学的乐趣，提高学生学习数学的兴趣。
2.培养学生面对困难时积极思考、勇于挑战的精神，增强学生的自信心。
3.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的数学应用意识和社会责任感。
三、教学重难点
2.跨学科教学：结合其他学科的知识，如地理、信息技术等，拓宽学生的知识视野，培养学生的综合能力。
六、教学资源
1.教材：人教版八年级上册数学教材。
2.辅助材料：相关的最短路径问题的案例、练习题和拓展问题。
3.现代教育技术：多媒体课件、网络资源等。
七、教学评价
1.学生评价：通过学生的课堂表现、作业完成情况和练习成绩等方面进行评价。
（二）讲授新知
在导入新课后，我会开始讲解最短路径问题的相关知识。首先，我会向学生们介绍最短路径问题的定义，让学生们明白什么是最短路径。接着，我会讲解解决最短路径问题的基本方法，如坐标系法、函数法等。在讲解的过程中，我会结合具体的例子，让学生们更直观地理解这些方法。
（三）学生小组讨论
在讲授完新知识后，我会让学生们进行小组讨论。我会给每个小组提供一个实际问题，让他们运用所学知识，合作解决这个最短路径问题。这样的讨论，可以培养学生的团队合作精神，也可以让学生们在实践中加深对知识的理解和应用。
3.互动评价：小组之间进行互动评价，相互学习和提高。
（四）反思与评价
1.自我反思：引导学生对自己的学习过程进行反思，发现自身的优点和不足，制定改进措施。
2.同伴评价：学生之间相互评价，给予意见和建议，促进共同进步。
3.教师评价：教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的个体差异，给予鼓励和指导。

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个性化教学辅导教案
——进门测评分_____
1．如图，△ABC中，AB=AC=20，∠A=60°，则池塘的宽BC=．
2．如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB，AC，那么∠CAB的值是．
3．如图，△ABC是等边三角形，分别延长CA，AB，BC到A′，B′，C′，使AA′=BB′=CC′=AC，若△ABC的面积为1，则△A′B′C′的面积是．
1．（2014秋•沙河市月考）如图，直线1表示石家庄的太平河，点P表示朱河村，点Q表示黄庄村，欲在太平河1上修建一个水泵站（记为点M），分别向两村供水，现有如下四种修建水泵站供水管道的方案，图中实线表示修建的管道，则修建的管道最短的方案是（）
A．B．C．D．
2．如图，牧童在A处放牛，他的家在B处，l为河流所在直线，晚上回家时要到河边让牛饮水，饮水的地点选在何处，牧童所走的路程最短．．
3．如图，在正方形网格上的一个△ABC．（其中点A、B、C均在网格上）
（1）作△ABC关于直线MN的轴对称图形△A′B′C′；
（2）以P点为一个顶点作一个与△ABC全等的△EPF（规定点P与点B对应，另两顶点都在图中网格交点处）．
（3）在MN上画出点Q，使得QA+QC最小．
精准突破一
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
例题讲解：
1．如图，点A′是点A关于直线l的对称点，连接A′B并测得A′B的长为acm，那么直线l有点P，PA+PB 最短为cm．
2．如图，点M，N为△ABC的边AC，BC上的两个定点，用尺规在AB上求作一点P，使
△PMN的周长最小．
练习：
1．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小；
（3）四边形BCC1B1的面积为．
2．一犯罪分子正在两交叉公路间沿到两公路距离相等的一条小路上逃跑，埋伏在A、B两处的两名公安人员想在距A、B相等的距离处同时抓住这一罪犯．（如图）
请你帮助公安人员在图中设计出抓捕点，并说明理由．
3．如图，直线l1∥l2，A、B为两定点，M、N分别在直线l1、l2上，且MN⊥l2，请确定M、N的位置，使AM+MN+BN最小．
极限挑战:
1．如图：已知∠AOB=30°，D是OA上一点，且OD=6cm，射线OC平分∠AOB，P、Q分别是射线OC、线段OA上的动点，则PQ+PD的最小值=．
2．如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=10，点M、N分别在OA、OB上，求△PMN周长的最小值．
1．如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）
A．BC B．CE C．AD D．AC
2．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）
A．25°B．30°C．35°D．40°
3．如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）
A．50°B．60°C．70°D．80°
4．如图，在∠ABC内有一点P，问：
（1）能否在BA、BC边上各找到一点M、N，使△PMN的周长最短？若能，请画图说明；若不能，说明理由．
（2）若∠ABC=40°，在（1）问的条件下，能否求出∠MPN的度数？若能，请求出它的数值；若不能，请说明原因．
5．在定直线XY异侧有两点A、B，在直线XY上求作一点P，使PA与PB之差的绝对值最大．
最短路径问题
1、求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连
接这两点，与直线的交点即为所求．
如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，
使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．
2、求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找
到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该
直线的交点即为所求．
如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，
使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线
l与AB′的交点．
3、利用平移确定最短路径选址
选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．
解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．
【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，
地到B地的路程最短？
或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之
和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一
条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似
于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知
点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．
茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
图a 图b
运用轴对称解决距离之差最大问题
利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．
称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．
运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离
——出门测评分_____
1．如图，A、B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使△PAB的周长最小．
2．如图，等腰直角△ABC中，AB=BC，点E为AB上一定点，将△ABC沿AC翻折至△ADC，在AC上求作点P，使△PBE的周长最小．
3．如图，正方形ABCD，点M在CD上，在AC上确定点N，使DN+MN最小．
——课后作业
1．已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB 的值最小，则下列作法正确的是（）
A．B．C．D．
2．（2014春•乐清市校级月考）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）
A．①B．②
C．③D．④
3．如图，正方形ABCD，点M在CD上，在AC上确定点N，使DN+MN最小．
4．如图，∠AOB内有两点P、Q，在OA、OB上分别找一点M、N，使四边形PQMN的周长最小．
①（0，0）；②（0，1）；
③（0，2）；④（0，3）．
5．直线MN表示一条河流的河岸，在河流同旁有A、B两个村庄，现要在河边修建一个供水站给A、B供水．问：这个供水站建在什么地方，可以使铺设管道最短？请在图中找出表示供水站的点P．
6．（1）如图（1），已知∠AOB和线段CD，求作一点P，使PC=PD，并且点P到∠AOB的两边距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论）；
（2）如图（2）在道路L上键一个水坝站P，使向A′B两村送水所用水管PA+PB最短，水坝站P应建何处？
7．牧童在点A处放牛，其家在点B处，A，B到河岸l的距离分别为AC，BD，且AC=BD=300cm，测得CD=800cm．
（1）牧童从A处牵牛到河边饮水后再回家，是否有最近的路线可走？若有，请通过作图说明在何处饮水，所走的路线最短，并标出路线；
8．（2016秋•青田县月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，求∠AMN+∠ANM的度数。