北京市东城区汇文中学2021届高三下学期开学考试数学试题(无答案)

高三数学开学测试

2021.2.26

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}

13x A x ∈-=R ≤≤，{}

24x B x =∈

A .1

B .1-

C .i

D .i -

3.在6

2⎛⎫

⎝的二项展开式中，2x 的系数为（） A .

1516 B .1516- C .316 D .316

- 4.已知平面向量(

)

3,1a =

-，4b =，且()

2a b a -⊥，则a b =-（）

A .2

B .3

C .4

D .5 5.如图，AB 是

O 的直径，PA 垂直于O 所在平面，C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点，且

2AB =，PA BC ==A BC P --的在大小为（）

A .30︒

B .45︒

C .60︒

D .90︒

6.已知()()21

sin 022

x f x x ωωω=

+->，则下列说法错误的是（） A .若()f x 在()0,π内单调，则2

03ω<≤ B .若()f x 在()0,π内无零点，则1

06

ω<≤

C .若()y f x =的最小正周期为π，则2ω=

D .若2ω=时，直线23

x π

=-

是函数()f x 图象的一条对称轴

7.数列{}n a 的前n 项和记为n S ，则“数列{}n S 为等差数列”是“数列{}n a 为常数列”的（） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 8.设抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，点P 在C 上，17

4

PF =

，若以线段PF 为直径的圆过点()1,0，则C 的方程为（）

A .2

x y =或2

8x y = B .2

2x y =或2

8x y = C .2

x y =或2

16x y = D .2

2x y =或2

16x y =

9.在ABC ∆中，a =cos 3sin A a B =，则ABC ∆面积的最大值是（）

A .

B .

C .

D .10.已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，关于()f x 有下述四个结论：

①()f x 的一个周期是2π；②()f x 是偶函数；

③()f x ()f x 在()0,π单调递减. 其中所有正确结论编号是（）

A .①②

B .①③

C .①④

D .②④ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案全部填写在答题卡上.

11.某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行抽查，在抽取的样本中有青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为 .

12.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，已知2416a a ⋅=，632a =，记1n n n b a a +=+，则数列{}n b 的前六项和6S 为 .

13.已知F 是双曲线C ：2

2

18

y x -=的右焦点，P 是双曲线C 上的点，(A ， ①若点P 在双曲线右支上，则AP PF +的最小值为 ； ②若点P 在双曲线左支上，则AP PF +的最小值为 .

14.已知函数()

31,0

1

ln 2,0

kx x f x x x kx x ⎧⎪+-=⎨-+->⎪⎩≤，若()f x 恰有4个零点，则实数k 的取值范围为

.

15.某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投投票，投票要求见选票，如图所示.这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为 .

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.（本题13分）

已知ABC ∆中，cos 0b A c ->.

（Ⅰ）ABC ∆中是否必有一个内角为钝角，说明理由. （Ⅱ）若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个： ①sin 2A =

；②sin C =2a =；④c =请证明使得ABC ∆存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b 的值. 17.（本题13分）

如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，M 分别是线段AD ，BD ，AC 的中点，90ABD BCD ∠=∠=︒，

EC =2AB BD ==.

（Ⅰ）证明：EM ∥平面BCD ； （Ⅱ）证明：EF ⊥平面BCD ；

（Ⅲ）若直线EC 与平面ABC 所成的角等于30︒，求二面角A CE B --的余弦值. 18.（本题14分）

某企业发明了一种新产品，其质量指标值为[]()

70,100m m ∈，其质量指标等级如下表：

为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试产生.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m 的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：

（Ⅰ）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率； （Ⅱ）若从质量指标值85m ≥的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品中任取3件产品，求[)90,95m ∈的件数X 的分布列及数学期望；

（Ⅲ）若每件产品的质量指标值m 与利润y （单位：元）的关系如下表（14t <<）：

试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t 为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：ln 20.7≈，ln5 1.6≈）.