高中数学必函数复习大全
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的关系f则成为对应法则，则上面两个例子中，对应法则分别是“乘以10再加20” 和“平方后乘以4.9”
1 乘以10再加20 30
2
40
3
50
4
60
5
70
6
80
7
90
8
100
1 平方后乘以4.94.9
1.5
？
2
？
3
？
5
？
6
？
7
？
8
？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、映射
通过上面的两个例子，我们说明了什么是函数，上面的两个例子都是研究的 数值的情况，那么进一步扩展，如果集合A和集合B不是数值，而是其他类型的 集合，则这种对应关系就称为映射。具体定义如下：
(1)、y x2 1 与y x 1 x 1
(2)、y x2 1与y x 1
1、求下列函数的定义域 （1）f ( x) 3x 2
(2) f ( x) 2 x2 4 x 3
(3) f ( x) 3 9 x2 ( x 1)0 x2 x
2、求下列函数的值域：
(1)y x 1 2 (2)y x 2 4x 6
平方
√1
-1
1
2
4
-2
×开方
2
4
-2
9
3
-3
3、分母不能等于零，二次根号下不能为负数，分子 分母的未知数不能随便约，根号不能随便去掉，都是 求定义域的典型考点。详见课本例题。
4、判定两个函数相同的条件：一是对应法则相同， 二是定义域和值域相同。
练习题
1、判断下列对应是否为函数 :
1 x
2 ,x x
四、开区间、闭区间和半开半闭区间
实数R的区间可以表示为（- ∞ ,+ ∞ ）
★深入理解函数表示方法的解析法
五、着重强调的几个问题及考试陷阱
1、函数是高中数学乃至大学数学中最为重要的组成部分，大部分的章节 都会与函数进行穿插出题。 2、不管是映射还是函数，都是唯一确定的对应，即对于A中的元素有且 仅有一个B中的元素与其相对应。深入的理解这句话就可以得到：可以 多对一，而不能一对多。
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，I称为f(x)的单调增区间.
那么就说在f(x)这个区间上是单调 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.
单调区间
二、函数单调性考察的主要问题
2、x 1, x 2 取值的任意性.
因此，函数就是表达了两个变量之间变化关系的一个表达式。其准确定义如 下：
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为 集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值（因变量），函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域。而对应
函数的基本性质——单调性
y
y
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于属于定义域A内某个区间I 上的任意两个自变量的值x1,x2，
如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2，
第一章：集合与函数 第二章：基本初等函数 第三章：函数的应用
第一章：集合与函数
第二节：函数
函数及其表示
一、函数的概念
小明从出生开始，每年过生日的时候都会测量一下自己的身高，其测量数据 如下：
年龄（岁） 身高（cm）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
0,x
R;
2 x y ,这里 y 2 x ,x N ,y R .
2、下列几种说法中，不正确的有：______________
A、在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应；
B、函数的定义域和值域一定是无限集合；
C、定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定；
D、若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素。
设A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合 A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之相对应，那么就称 对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射。
国家
中国 美国 韩国 日本
首都 北京
华盛顿 首尔 东京
因此，函数是映射的一 种特殊形式
三、函数的三种表示方法
解析法，图像法，列表法。详见课本P19页。
从以上两个例子，我们可以把年龄当做一个集合A，身高当做一个集合B；把 时间当做一个集合C，把下降高度当做一个集D。那么对于集合A、C中的每一个 元素，集合B、D中都有唯一的一个元素与其相对应。比如，对于A的每一个元素 “乘以10再加20”，就得到了集合B中的元素。对于集合C中的元素“平方后乘以 4.9”就得到集合D中的元素。
y
y1
x
x
y 1的单调减区间是 _(_____,_0__)__,__(0, )
x
x
讨论1：根据函数单调性的定义， 能不能说y 1 (x 0)在定义域(, 0)
x 是单调减函数?
y N
f(x2)
M
f(x1) O
I x1 x2
x
3、证明一个函数具有单调性的证明方法：从定义出发，设定任意的两个x1和x2， 且x2>x1，通过计算f(x2)—f(x1)>0或者<0恒成立。里面通常都是用因式分解的办 法，把f(x2)—f(x1)转化成（x2-x1）的表达式。最后判断f(x2)—f(x1)是大于0还是 小于0。
例1、下图为函数y=f(x), x∈[-4,7] 的图像，指出它的单调区间。 y
3
2
1
-1.5
-4 -3 -2 -1 o
12 3456
7x
-1
-2
解：单调增区间为 [-1.5，3]，[5，6] 单调减区间为 [-4，-1.5]，[3，5]，[6，7]
例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
(1) y 1 (x 0);
E、若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素。
3、求下列函数的定义域 :
1 f x x 1 ;
2 g x
x
1 1
.
4、求下列函数的值域
1 f x x 12 1 ,x 1,0,1,2,3 ; 2 f x x 12 1 .
5、判断下列各组函数是否表示同一函数？
1 乘以10再加20 30
2
40
3
50
4
60
5
70
6
80
7
90
8
100
1 平方后乘以4.94.9
1.5
？
2
？
3
？
5
？
6
？
7
？
8
？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、映射
通过上面的两个例子，我们说明了什么是函数，上面的两个例子都是研究的 数值的情况，那么进一步扩展，如果集合A和集合B不是数值，而是其他类型的 集合，则这种对应关系就称为映射。具体定义如下：
(1)、y x2 1 与y x 1 x 1
(2)、y x2 1与y x 1
1、求下列函数的定义域 （1）f ( x) 3x 2
(2) f ( x) 2 x2 4 x 3
(3) f ( x) 3 9 x2 ( x 1)0 x2 x
2、求下列函数的值域：
(1)y x 1 2 (2)y x 2 4x 6
平方
√1
-1
1
2
4
-2
×开方
2
4
-2
9
3
-3
3、分母不能等于零，二次根号下不能为负数，分子 分母的未知数不能随便约，根号不能随便去掉，都是 求定义域的典型考点。详见课本例题。
4、判定两个函数相同的条件：一是对应法则相同， 二是定义域和值域相同。
练习题
1、判断下列对应是否为函数 :
1 x
2 ,x x
四、开区间、闭区间和半开半闭区间
实数R的区间可以表示为（- ∞ ,+ ∞ ）
★深入理解函数表示方法的解析法
五、着重强调的几个问题及考试陷阱
1、函数是高中数学乃至大学数学中最为重要的组成部分，大部分的章节 都会与函数进行穿插出题。 2、不管是映射还是函数，都是唯一确定的对应，即对于A中的元素有且 仅有一个B中的元素与其相对应。深入的理解这句话就可以得到：可以 多对一，而不能一对多。
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，I称为f(x)的单调增区间.
那么就说在f(x)这个区间上是单调 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.
单调区间
二、函数单调性考察的主要问题
2、x 1, x 2 取值的任意性.
因此，函数就是表达了两个变量之间变化关系的一个表达式。其准确定义如 下：
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为 集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值（因变量），函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域。而对应
函数的基本性质——单调性
y
y
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于属于定义域A内某个区间I 上的任意两个自变量的值x1,x2，
如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2，
第一章：集合与函数 第二章：基本初等函数 第三章：函数的应用
第一章：集合与函数
第二节：函数
函数及其表示
一、函数的概念
小明从出生开始，每年过生日的时候都会测量一下自己的身高，其测量数据 如下：
年龄（岁） 身高（cm）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
0,x
R;
2 x y ,这里 y 2 x ,x N ,y R .
2、下列几种说法中，不正确的有：______________
A、在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应；
B、函数的定义域和值域一定是无限集合；
C、定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定；
D、若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素。
设A、B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合 A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之相对应，那么就称 对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射。
国家
中国 美国 韩国 日本
首都 北京
华盛顿 首尔 东京
因此，函数是映射的一 种特殊形式
三、函数的三种表示方法
解析法，图像法，列表法。详见课本P19页。
从以上两个例子，我们可以把年龄当做一个集合A，身高当做一个集合B；把 时间当做一个集合C，把下降高度当做一个集D。那么对于集合A、C中的每一个 元素，集合B、D中都有唯一的一个元素与其相对应。比如，对于A的每一个元素 “乘以10再加20”，就得到了集合B中的元素。对于集合C中的元素“平方后乘以 4.9”就得到集合D中的元素。
y
y1
x
x
y 1的单调减区间是 _(_____,_0__)__,__(0, )
x
x
讨论1：根据函数单调性的定义， 能不能说y 1 (x 0)在定义域(, 0)
x 是单调减函数?
y N
f(x2)
M
f(x1) O
I x1 x2
x
3、证明一个函数具有单调性的证明方法：从定义出发，设定任意的两个x1和x2， 且x2>x1，通过计算f(x2)—f(x1)>0或者<0恒成立。里面通常都是用因式分解的办 法，把f(x2)—f(x1)转化成（x2-x1）的表达式。最后判断f(x2)—f(x1)是大于0还是 小于0。
例1、下图为函数y=f(x), x∈[-4,7] 的图像，指出它的单调区间。 y
3
2
1
-1.5
-4 -3 -2 -1 o
12 3456
7x
-1
-2
解：单调增区间为 [-1.5，3]，[5，6] 单调减区间为 [-4，-1.5]，[3，5]，[6，7]
例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
(1) y 1 (x 0);
E、若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素。
3、求下列函数的定义域 :
1 f x x 1 ;
2 g x
x
1 1
.
4、求下列函数的值域
1 f x x 12 1 ,x 1,0,1,2,3 ; 2 f x x 12 1 .
5、判断下列各组函数是否表示同一函数？