多元Copula_GARCH模型及其在金融风险分析上的应用
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运用两阶段极大似然估计法 [ 11] , 容易估计得到多元 C opu la - GARCH 模型中各变量的边 缘分布以及描述变量间相关结构的 Copu la函数, 进而求出投资组合 VaR 的值。假定投资总额 一定, 随机变量 X (或 Y )代表将全部资金投入资产 X (或 Y )时的金融损失, 它们的边缘分布分 别为 F ( x )和 G ( y ), 具有 Copula函数 C (F (x ), G ( y ) ), 则投资组合超过一定阈值的概率进而 投资组合的风险测度 VaR 的值很容易求出 [ 12 ] :
2007 年 5 月 第 26卷 第 3 期
数理统计与管理 A pp lication of Statist ics and M anagem en t
M ay1, 2007 V ol1 26 N o1 3
文章编号: 1002- 1566( 2007) 03- 0432- 08
多元 Copu la- GARCH 模型及其在金融 风险分析上的应用
GARCH - GED模型中的任意一种模型来描述, 同一 Copu la- GARCH 模型中各变量的边缘分
43 4
数理统计与管理
第 26卷 第 3期 2007年 5月
布可以是相同的, 也可以是不同的, 由于 Copu la- GARCH 模型不限制其变量边缘分布的选择, 因此在实际应用中更灵活, 与现实更贴切。
( 1)
Ent =
h N 1 /2 nt n t
q
p
hnt
=
wn
+
E
i=
1
Ani
E2 n t-
i
+
E
i= 1
Bni
hnt-
i
( N1t, ,, NN t ) |It- 1 ~ C t (F1 ( N1t ) ), ,, FN ( NN t ) |It- 1 )
( 2)
其中 Ct ( # , ,, # | # )为任 意的一个 N 元 Copula 分布, It- 1 为 t - 1 时刻的信息 集, F1
( vn
),
n=
1,
,, N
( 4)
其中:
C (u 1, ,, un - 1) ( un ) = P { Un [
un
| ( U1,
,,
Un- 1 ) }
=
9 C ( u , n - 1
( u1, ,, un- 1)
1
9 C ( u , n - 1
( u1, ,, un- 1)
1
,, un, 1, ,, un, 1,
本文提出了可用于资产投资组合 VaR 分析的多元 Copu la- GARCH 模型, 重点研究了几 种重要 Copula 模 型的 M on te Carlo 仿真 技术, 并运 用具 有不 同边 缘分 布 的多 元 Copu la GARCH 模型, 结合 M onte C arlo模拟法, 对上海股市进行了实证研究。
分布的参数, 如正态分布中的均值和方差, 然后利用随机模拟来产生未来资产收益的可能情景
集, 再根据置信水平得到 VaR 值。在资产投资组合 V aR的计算中, 多个资产服从一个联合分
布, 因此随机数不能单单由变量的边缘分布产生, 而应当由多个资产的联合分布产生。运用
M onte Carlo模拟法计算资产投资组合 V aR值的关键在 Copula函数的仿真技术上。
在运用 Copula模型计算投资组合的 VaR 时, VaR的解析式一般不容易求出, 因此常常运 用 M onte C arlo模拟法来计算 V aR 的值 [ 13- 14] 。M onte Carlo模拟法利用历史数据对未来情景进
行模拟, 但不是直接模拟市场因子或资产的未来价格, 而是首先根据其历史数据得到未来概率
中图分类号: F 830
文献标识码: A
M u ltivariate C opula- GARCH M odel and Its A pp lication s in Financial R isk A nalysis
W E I YanOhua, ZHANG Sh iOy ing
( Schoo l o fM anag em ent, T ianjin U nivers ity, T ianjin 300072, China) Abstrac t: Com bined copula techn iques w ith GARCH m ode,l mu ltivar ia te Copu la - GARCH m ode l is prov ided to avo id defects o f c lassica l r isk analysis models. N ot only is non- linear dependence betw een financia lm arke ts able to be caught, but also flex ible m ultivariate distribution which can be use to ana lyze portfo lio V alue - at- R isk is ab le to rece ive from th ism ode .l M onte Car lo techn iques o f po rtfo lio based on copula techniques are fu lly d iscussed in th is paper. T he emp irical resu lts g etting from Shangha i stock m arke ts ind ica te that Copu la- GARCH m ode l w ith d iffe rent m arg ina l distributions and M on te Car lo techn iques g iven in this paper is feasible and effec tive. K ey word s: M ultiva riate Copu la - GAR CH M ode;l r isk ana lysis in finance; portfo lio V a lue - a t- R isk; M onte C arlo.
金融时间序列的波动多呈现时变、聚类等特性, 波动的这些特性对刻画金融市场随时间演进的
动态行为和进行风险分析都具有非常重要的意义。多元 GARCH 模型常用来分析多个市场之
间相关关系, 但多元 GARCH 模型在参数估计、多元分布假设等问题上存在一定的局限性。因
此, 需要在 GARCH 模型的基础上, 引入 Copula技术。
u la模型将传统的多元分布假设如多元正态分布假设替换为更为灵活的多元 Copula分布假
设, 由于 Copula模型不限制边缘分布的选择, 因此具有更广泛的适用性。
结合 C opu la技术和 GARCH 模型, 本文提出 多元 Copula- GARCH 模型的一般形式:
Rnt = Lnt + Ent n= 1, ,, N; t = 1, ,, T
0 引言
迄今国际上 Copula技术在金融风险分析的应用上取得了长足的进展。最早将 Copula技 术引入金融风险分析的是 Em brechts, M cN eil and Straum ann( 1999[ 1] ), 随后很多学者都对这一 领域进行了更深入的研究, 如 C lem ente和 R om ano ( 2003) [ 2] 结合极值理论和 Copu la技术研究
可以通过随机变量的条件分布生成服从指定 N 元 Copu la函数 C ( # , ,, # )的随机数序 列 ( u1, ,, un, ,, uN ), BouyÜ、Durrlem an 和 N ikeghba li( 2000) 等 [ 15] 对多元 Copu la函数的仿真
技术作了介绍, 具体仿真程序为:
1 金融风险模型 ) 多元 Copu la- GARCH 模型
在金融市场中, 不同市场之间, 或者不同的资产之间, 往往存在着相互影响和波动的相关
关系。同时为了分散、化解金融风险, 需要对多个资产进行组合, 进行风险的对冲和规避, 这些
都是建立在对多个市场之间相关特性进行分析的基础之上的。波动是金融市场的重要特征,
Sklar[ 10 ] 指出, 若变量 x1, ,, xn, ,, xN 的边缘分布分别为 F 1 ( # ), ,, FN ( # ), 那么存在 一个 Copu la函数 C, 使: ( x1, ,, xn, ,, xN ) ~ C (F1 ( x1 ), ,, Fn ( xn ), ,, FN ( xN ) ), 这个 Copu la 函数完全描述了变量间的相关结构。事实上, 所有 Copu la模型都是在此基础上构造的。 C op-
分布进而用于资产投资 组合 V aR 分 析。在详细 探讨了 基于 Copula 技术的资 产投资 组合 的 M onte
Carlo仿真技术的基础上, 运用具有不同边缘分布的多元 Copula- GARCH 模型, 对上海股市进 行了
研究, 结果证实了所提模型和方法的可行性和有效性。
关键词: 多元 Copula- GARCH 模型; 金融风险分析: 投资组合 V aR; M onte Car lo
P { DX + ( 1- D) Y > C} = dC (F ( x ), G (y ) )
( 3)
Dx + ( 1- D) y> C
wenku.baidu.com
其中 D代表资产 X 在投资组合中的权重, C为限定值, 它与置信水平 A有对应关系。
2 资产投资组合的仿真与投资组合 V aR的计算
211 基于 Copula技术的投资组合的 M on te Carlo仿真
( # ), ,, FN ( # )分别表示标准正态分布、均值为 0、方差为 1的正规化 t- 分布或正规化 GED
- 分布中的任意一种分布函数, 即 N1t, ,, NN t的条件分布为标准正态分布、均值为 0、方差为 1 的正规化 t - 分布或正规化 GED - 分布中的任意一种分布形式。
这样, C opu la- GARCH 模 型中变量的边 缘分布可以由 GARCH - Norm a、l GARCH - t或
韦艳华 张世英
(天津大学 管理学院, 天津 300072)
摘要: 针对传统风 险 分析 模 型的 不 足, 结 合 Copula 技 术和 GARCH 模 型, 提 出 了 多元 Copula -
GARCH 模型。指出该模型不仅可以捕捉 金融市 场间的 非线性相 关性, 还可 以得到 更灵 活的多 元
( 1)生成包含 N 个服从 [ 0, 1]独立均匀分布的变量的随机数序列 ( v1, ,, vn, ,, vN ); ( 2)根据以下递归式生成服从指定 N 元 Copu la函数 C ( # , ,, # )的随机数序列 ( u1, ,,
un, ,, uN ):
un =
C- 1 ( u 1, ,, un - 1)
收稿日期: 2005年 12月 2日 基金项目: 国家自然科学基金资助项目 ( 70471050)
韦艳华, 张世英: 多元 Copula- GARCH 模型及其在金融风险分析上的应用
4 33
了意人利的资本市场, 并运用 M onte Carlo 仿真方法计算了对多个资本进行投资组合得到的 V aR值, 后验检验结果表明基于极值理论的 C opu la模型优于多元条件正态分布假设下的传统 的 V aR 模型。 R osenberg和 Schuerm ann( 2004) [ 3] 采用 V aR 作为风险测度, 运用 Copula技术研 究了市场风险、信用风险和运作风险的风险聚合问题, 并与其他模型进行了对比, 结果表明由 Copula模型计算得到的 V aR 值最接近经验 V aR。国内的一些学者如张尧庭 [ 4 ] 、史道济等 [ 5 ] 、 韦艳华等 [ 6- 9] 等对 Copu la技术及其在相关性和金融风险分析上的应用作过探讨, 但总的来说 国内对 Copula技术及其应用研究还不多。
,, 1) ,, 1)
( 5)
其中:
9n ( u1,
,,
un)
C
(#
,
,,
#
)=
9nC ( # , ,, # 9u1 , 9un
2007 年 5 月 第 26卷 第 3 期
数理统计与管理 A pp lication of Statist ics and M anagem en t
M ay1, 2007 V ol1 26 N o1 3
文章编号: 1002- 1566( 2007) 03- 0432- 08
多元 Copu la- GARCH 模型及其在金融 风险分析上的应用
GARCH - GED模型中的任意一种模型来描述, 同一 Copu la- GARCH 模型中各变量的边缘分
43 4
数理统计与管理
第 26卷 第 3期 2007年 5月
布可以是相同的, 也可以是不同的, 由于 Copu la- GARCH 模型不限制其变量边缘分布的选择, 因此在实际应用中更灵活, 与现实更贴切。
( 1)
Ent =
h N 1 /2 nt n t
q
p
hnt
=
wn
+
E
i=
1
Ani
E2 n t-
i
+
E
i= 1
Bni
hnt-
i
( N1t, ,, NN t ) |It- 1 ~ C t (F1 ( N1t ) ), ,, FN ( NN t ) |It- 1 )
( 2)
其中 Ct ( # , ,, # | # )为任 意的一个 N 元 Copula 分布, It- 1 为 t - 1 时刻的信息 集, F1
( vn
),
n=
1,
,, N
( 4)
其中:
C (u 1, ,, un - 1) ( un ) = P { Un [
un
| ( U1,
,,
Un- 1 ) }
=
9 C ( u , n - 1
( u1, ,, un- 1)
1
9 C ( u , n - 1
( u1, ,, un- 1)
1
,, un, 1, ,, un, 1,
本文提出了可用于资产投资组合 VaR 分析的多元 Copu la- GARCH 模型, 重点研究了几 种重要 Copula 模 型的 M on te Carlo 仿真 技术, 并运 用具 有不 同边 缘分 布 的多 元 Copu la GARCH 模型, 结合 M onte C arlo模拟法, 对上海股市进行了实证研究。
分布的参数, 如正态分布中的均值和方差, 然后利用随机模拟来产生未来资产收益的可能情景
集, 再根据置信水平得到 VaR 值。在资产投资组合 V aR的计算中, 多个资产服从一个联合分
布, 因此随机数不能单单由变量的边缘分布产生, 而应当由多个资产的联合分布产生。运用
M onte Carlo模拟法计算资产投资组合 V aR值的关键在 Copula函数的仿真技术上。
在运用 Copula模型计算投资组合的 VaR 时, VaR的解析式一般不容易求出, 因此常常运 用 M onte C arlo模拟法来计算 V aR 的值 [ 13- 14] 。M onte Carlo模拟法利用历史数据对未来情景进
行模拟, 但不是直接模拟市场因子或资产的未来价格, 而是首先根据其历史数据得到未来概率
中图分类号: F 830
文献标识码: A
M u ltivariate C opula- GARCH M odel and Its A pp lication s in Financial R isk A nalysis
W E I YanOhua, ZHANG Sh iOy ing
( Schoo l o fM anag em ent, T ianjin U nivers ity, T ianjin 300072, China) Abstrac t: Com bined copula techn iques w ith GARCH m ode,l mu ltivar ia te Copu la - GARCH m ode l is prov ided to avo id defects o f c lassica l r isk analysis models. N ot only is non- linear dependence betw een financia lm arke ts able to be caught, but also flex ible m ultivariate distribution which can be use to ana lyze portfo lio V alue - at- R isk is ab le to rece ive from th ism ode .l M onte Car lo techn iques o f po rtfo lio based on copula techniques are fu lly d iscussed in th is paper. T he emp irical resu lts g etting from Shangha i stock m arke ts ind ica te that Copu la- GARCH m ode l w ith d iffe rent m arg ina l distributions and M on te Car lo techn iques g iven in this paper is feasible and effec tive. K ey word s: M ultiva riate Copu la - GAR CH M ode;l r isk ana lysis in finance; portfo lio V a lue - a t- R isk; M onte C arlo.
金融时间序列的波动多呈现时变、聚类等特性, 波动的这些特性对刻画金融市场随时间演进的
动态行为和进行风险分析都具有非常重要的意义。多元 GARCH 模型常用来分析多个市场之
间相关关系, 但多元 GARCH 模型在参数估计、多元分布假设等问题上存在一定的局限性。因
此, 需要在 GARCH 模型的基础上, 引入 Copula技术。
u la模型将传统的多元分布假设如多元正态分布假设替换为更为灵活的多元 Copula分布假
设, 由于 Copula模型不限制边缘分布的选择, 因此具有更广泛的适用性。
结合 C opu la技术和 GARCH 模型, 本文提出 多元 Copula- GARCH 模型的一般形式:
Rnt = Lnt + Ent n= 1, ,, N; t = 1, ,, T
0 引言
迄今国际上 Copula技术在金融风险分析的应用上取得了长足的进展。最早将 Copula技 术引入金融风险分析的是 Em brechts, M cN eil and Straum ann( 1999[ 1] ), 随后很多学者都对这一 领域进行了更深入的研究, 如 C lem ente和 R om ano ( 2003) [ 2] 结合极值理论和 Copu la技术研究
可以通过随机变量的条件分布生成服从指定 N 元 Copu la函数 C ( # , ,, # )的随机数序 列 ( u1, ,, un, ,, uN ), BouyÜ、Durrlem an 和 N ikeghba li( 2000) 等 [ 15] 对多元 Copu la函数的仿真
技术作了介绍, 具体仿真程序为:
1 金融风险模型 ) 多元 Copu la- GARCH 模型
在金融市场中, 不同市场之间, 或者不同的资产之间, 往往存在着相互影响和波动的相关
关系。同时为了分散、化解金融风险, 需要对多个资产进行组合, 进行风险的对冲和规避, 这些
都是建立在对多个市场之间相关特性进行分析的基础之上的。波动是金融市场的重要特征,
Sklar[ 10 ] 指出, 若变量 x1, ,, xn, ,, xN 的边缘分布分别为 F 1 ( # ), ,, FN ( # ), 那么存在 一个 Copu la函数 C, 使: ( x1, ,, xn, ,, xN ) ~ C (F1 ( x1 ), ,, Fn ( xn ), ,, FN ( xN ) ), 这个 Copu la 函数完全描述了变量间的相关结构。事实上, 所有 Copu la模型都是在此基础上构造的。 C op-
分布进而用于资产投资 组合 V aR 分 析。在详细 探讨了 基于 Copula 技术的资 产投资 组合 的 M onte
Carlo仿真技术的基础上, 运用具有不同边缘分布的多元 Copula- GARCH 模型, 对上海股市进 行了
研究, 结果证实了所提模型和方法的可行性和有效性。
关键词: 多元 Copula- GARCH 模型; 金融风险分析: 投资组合 V aR; M onte Car lo
P { DX + ( 1- D) Y > C} = dC (F ( x ), G (y ) )
( 3)
Dx + ( 1- D) y> C
wenku.baidu.com
其中 D代表资产 X 在投资组合中的权重, C为限定值, 它与置信水平 A有对应关系。
2 资产投资组合的仿真与投资组合 V aR的计算
211 基于 Copula技术的投资组合的 M on te Carlo仿真
( # ), ,, FN ( # )分别表示标准正态分布、均值为 0、方差为 1的正规化 t- 分布或正规化 GED
- 分布中的任意一种分布函数, 即 N1t, ,, NN t的条件分布为标准正态分布、均值为 0、方差为 1 的正规化 t - 分布或正规化 GED - 分布中的任意一种分布形式。
这样, C opu la- GARCH 模 型中变量的边 缘分布可以由 GARCH - Norm a、l GARCH - t或
韦艳华 张世英
(天津大学 管理学院, 天津 300072)
摘要: 针对传统风 险 分析 模 型的 不 足, 结 合 Copula 技 术和 GARCH 模 型, 提 出 了 多元 Copula -
GARCH 模型。指出该模型不仅可以捕捉 金融市 场间的 非线性相 关性, 还可 以得到 更灵 活的多 元
( 1)生成包含 N 个服从 [ 0, 1]独立均匀分布的变量的随机数序列 ( v1, ,, vn, ,, vN ); ( 2)根据以下递归式生成服从指定 N 元 Copu la函数 C ( # , ,, # )的随机数序列 ( u1, ,,
un, ,, uN ):
un =
C- 1 ( u 1, ,, un - 1)
收稿日期: 2005年 12月 2日 基金项目: 国家自然科学基金资助项目 ( 70471050)
韦艳华, 张世英: 多元 Copula- GARCH 模型及其在金融风险分析上的应用
4 33
了意人利的资本市场, 并运用 M onte Carlo 仿真方法计算了对多个资本进行投资组合得到的 V aR值, 后验检验结果表明基于极值理论的 C opu la模型优于多元条件正态分布假设下的传统 的 V aR 模型。 R osenberg和 Schuerm ann( 2004) [ 3] 采用 V aR 作为风险测度, 运用 Copula技术研 究了市场风险、信用风险和运作风险的风险聚合问题, 并与其他模型进行了对比, 结果表明由 Copula模型计算得到的 V aR 值最接近经验 V aR。国内的一些学者如张尧庭 [ 4 ] 、史道济等 [ 5 ] 、 韦艳华等 [ 6- 9] 等对 Copu la技术及其在相关性和金融风险分析上的应用作过探讨, 但总的来说 国内对 Copula技术及其应用研究还不多。
,, 1) ,, 1)
( 5)
其中:
9n ( u1,
,,
un)
C
(#
,
,,
#
)=
9nC ( # , ,, # 9u1 , 9un