第二章⑤有理数的乘方科学计数法混合运算

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《有理数的乘方》讲义

《有理数的乘方》讲义一、引入同学们，在数学的世界里，我们经常会遇到各种各样的运算，加法、减法、乘法、除法，而今天我们要一起学习一种新的运算——有理数的乘方。

想象一下，你有一张非常薄的纸，假设它的厚度只有 01 毫米。

如果把这张纸对折 1 次，它的厚度会变成 02 毫米；对折 2 次，厚度变成04 毫米；对折 3 次，厚度变成 08 毫米……那么对折 10 次、20 次甚至更多次，这张纸的厚度会是多少呢？要解决这个问题，就需要用到有理数的乘方知识。

二、乘方的概念乘方是指同一个数相乘若干次的简便运算形式。

比如，2×2×2 可以写成 2³，读作“2 的 3 次方”或者“2 的 3 次幂”。

其中，2 叫做底数，3 叫做指数，而乘方的结果叫做幂。

再举几个例子，3×3×3×3 可以写成 3⁴，底数是 3，指数是 4；（－5)×（－5)×（－5)可以写成(－5)³，底数是-5，指数是 3。

需要注意的是，指数为 1 时，通常省略不写，比如 5×5 可以写成 5²，但 5×1 就直接写成 5。

三、乘方的运算1、正数的乘方正数的任何次幂都是正数。

例如，2²＝ 4，2³＝ 8，2⁴＝ 16 等等。

2、负数的乘方负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

比如，（－2)³＝－8，因为 3 是奇数；（－2)⁴＝ 16，因为 4 是偶数。

3、 0 的乘方0 的任何正整数次幂都是 0。

但 0 的 0 次幂没有意义。

四、乘方的规律1、底数为 10 的乘方10 的 n 次幂，在 1 后面就有 n 个 0。

例如，10³＝ 1000，10⁵＝100000 。

2、底数为-10 的乘方－10 的偶次幂是正数，在 1 后面有偶数个 0；－10 的奇次幂是负数，在 1 后面有奇数个 0。

第二章有理数及其运算(知识归纳+题型突破)(解析版)

第二章有理数1.了解具有相反意义的量，正负数的概念；2.理解有理数、相反数、绝对值、倒数的概念，能正确解题；3.理解数轴的概念，并能正确画出数轴,，在数轴上表示数；4.理解有理数加法、减法、乘法、除法法则、；5.理解有理数乘方定义及运算；6.能掌握加法、减法的运算定律和运算技巧，熟练计算；能掌握乘法的运算定律和运算技巧，熟练计算；7.通过将减法转化成加法和将除法转化成乘法，初步培养学生数学的归一思想8.进一步掌握有理数的五则混合运算；9.理解科学记数法，了解近似数；10.能运用科学记数法表示较大的数.知识点1 正数和负数1.概念正数：大于0的数叫做正数。

负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。

注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。

（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。

）2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。

知识点2：有理数1.概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。

分数：正分数、负分数统称分数。

（有限小数与无限循环小数都是有理数。

）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。

2.分类：两种⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数知识点3：数轴1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

三要素：原点、正方向、单位长度2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。

比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

3.应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。

（注意不带“+”“—”号）知识点3 ：相反数1.概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。

（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。

2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。

(五四制)六年级上册数学第二章有理数及其运算知识点

六年级上册数学期末复习知识梳理第二章有理数及其运算2.1 有理数重点：有理数的意义，用正负数表示相反数意义的量难点：按不同的标准对有理数进行分类解题技巧在用正数和负数表示一对具有相反意义的量时,“正”和“负”是相对而言的,用“正”来表示其中的一个量,就用“负”来表示另一个与之意义相反的量,但我们一般把“增加”“上涨”“盈利”“高于”等记为“正”,把与它们有相反意义的量记为“负”此外,在用正负数表示一对具有相反意义的量时,不要少了后面的单位。

知识点拨。

③相反意义的量包含两个要素:一是它们的意义要相反;二是它们都是数量。

④意义相反的量中的两个量必须是同类量,如节约汽油3t与浪费1t水就不是具有相反意义的量。

2.2 数轴重点：用数轴表示有理数难点：利用数轴表示有理数的大小解题方法1.在数轴上表示有理数的方法:在数轴上,对于不为零的有理数,可以先由这个数的符号确定它在数轴上原点的哪一边,再在相应的方向上确定它与原点相距几个单位长度,然后标上相应的点。

2.找出数轴上的点对应的有理数的步骤:(1)确定点与原点的位置关系(负左正右);(2)确定点与原点的距离。

知识方法要点：1.数轴上表示的两个数，右边的总是比左边大。

2.正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

2.3 绝对值重点：相反数和绝对值的概念及应用。

难点：利用绝对值的概念比较两个负数的大小。

a （a>0）|a| 0 （a=0）互为相反数的两个数绝对值等于0a （a<0）解题方法1.利用数轴确定一个数的绝对值时,首先确定这个数在数轴上表示的点,然后确定这个点到原点的距离即可。

2.对于绝对值的计算,首先要判断这个数是正数、零,还是负数.如果绝对值里面的数是非负数,那么这个数的绝对值就是它本身;如果绝对值里面的数是负数,那么这个数的绝对值就是它的相反数。

知识点拨比较两个负数的大小,可以运用绝对值法,根据“两个负数,绝对值大的反而小”来比较大小;也可以运用数轴法,把要比较大小的两个负数在数轴上表示出来,右边的数总大于左边的数”来判断。

七年级数学-有理数的乘方、混合运算、科学记数法

一、选择题1、下列运算中正确的是（）. A. a 2·a 3=a 6 B.=2 C. |（3-π）|=－π－3 D. 32=-92、下列各判断句中错误的是（） A.数轴上原点的位置可以任意选定B.数轴上与原点的距离等于317个单位的点有两个C.与原点距离等于-2的点应当用原点左边第2个单位的点来表示D.数轴上无论怎样靠近的两个表示有理数的点之间，一定还存在着表示有理数的点。

3、a 、b 是有理数，若a ＞b 且b a ，下列说法正确的是（）A.a 一定是正数B.a 一定是负数C.b 一定是正数D.b 一定是负数 4、两数相加，如果比每个加数都小，那么这两个数是（）A.同为正数B.同为负数C.一个正数，一个负数D.0和一个负数 5、两个非零有理数的和为零，则它们的商是（）A.0B.-1C.+1D.不能确定 6、一个数和它的倒数相等，则这个数是（）A.1B.-1C. ±1D. ±1和0 7、如果|a|=-a ，下列成立的是（）A.a>0B.a<0C.a>0或a=0D.a<0或a=0 8、（-2）11+（-2）10的值是（）A.-2B.（-2）21C.0D.-2109、已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有16个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水（） A. 3瓶 B. 4瓶 C. 5瓶 D. 6瓶 10、在下列说法中，正确的个数是（） ⑴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 ⑵数轴上的每一个点都表示一个有理数 ⑶任何有理数的绝对值都不可能是负数 ⑷每个有理数都有相反数A 、1B 、2C 、3D 、411、如果一个数的相反数比它本身大，那么这个数为（） A 、正数 B 、负数C 、整数D 、不等于零的有理数12、下列说法正确的是（）A 、几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负；B 、几个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负；C 、几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；D 、几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个；二、填空题 1、在有理数-7，43-，-（-1.43），312--，0，510-，-1.7321中，是整数的有_____________，是负分数的有_______________。

有理数的混合运算及科学计数法

授课类型C有理数的混合运算C科学记数法T运用能力教学目标有理数的混合运算和科学记数法教学内容有理数的混合运算1．有理数的运算级别：级别名称运算顺序第一级运算加、减第二级运算乘、除第三级运算乘方（目前）2．有理数的运算顺序：（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。

（2）同级运算，按照从左至右的顺序进行。

（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。

例题：例1：分析：这是有理数的加、减混合运算，若按括号顺序做加减，则通分非常麻烦。

应当把算式中的减法化成加法后，应用加法交换律重新结合，把分母为17的分数和分母为3、6的分数先分别相加，可简化计算。

例2：3 22143655314⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-÷-练一练（1）、（-0.75）+0.125+243+1873+⎪⎭⎫ ⎝⎛-816-⎪⎭⎫ ⎝⎛-7410（2）、3-+（-3.5）-⎪⎭⎫⎝⎛-21+()25.0--⎪⎭⎫ ⎝⎛-411. 正确运用运算律例3：计算21-49.5+10.2-2-3.5+19．解：原式=21+19+10.2-49.5-3.5-2=〔(21+19)+10.2〕+〔(-49.5-3.5)-2〕 =50.2-55=-4.8说明运用加法的交换律、结合律，把正数和负数分别结合在一起再相加，比较简便。

说明：正确应用乘法的分配律。

2. 把小数化成分数计算：（1）、（-1.4）×1111×⎪⎭⎫⎝⎛-321×（-5.5）×74（2）、16×（-72.8）×0×⎪⎭⎫ ⎝⎛-328（3）科学记数法（1）定义：一个大于10的数记成na 10⨯的形式。

其中n a ,101<≤是正整数。

像这样的记数法叫做科学记数法。

（2）10的指数n 确定方法：①等于原数的整数位数减1；②等于小数点向右移动的位数。

（3）一般的，10的n 次幂，在1的后面有n 的0。

第二章有理数及其运算章节复习

第二章有理数及其运算章节复习【知识要点及课标要求】本章的知识要点：有理数的意义和有理数的运算两部分内容，其课标要求是：理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数和绝对值；理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；理解有理数的运算律，并能灵活使用运算律简化运算；能运用有理数的运算解决简单的问题；会用科学记数法表示较大的数．【知识结构图】有理数有理数的概念及分类有理数的有关概念数轴相反数绝对值有理数的大小比较有理数的运算加法和减法统一成加法乘法和除法统一成乘法乘方——科学记数法用计算器进行数的简单运算混合运算⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪【重点难点】重点：有理数的意义及运算；难点：负数概念的建立以及对有理数运算法则的理解．【考点分析】本章内容是中考命题的重要内容之一，是初中数学的基础知识，在中考中占有一定的比例，它通常以填空、选择、计算的形式出现，这部分试题难度不大，主要是考查了学生对概念的理解及基础知识的运用能力，以后的试题在考查基础知识、基本技能、基本方法的同时，会加强考查运用所学知识的分析能力，解决简单实际问题的能力．【典型例题】题型一绝对值例1 如果a与3互为相反数，那么|a +2|等于( )A．5 B．1 C．-1 D．-5例2 若(a-1)2+|b+2|＝0，则a+ b＝.题型二有理数的运算例3 (-1)2 011的相反数是( )A．1 B．-1 C．2 011 D．-2 011例4 计算：(1)2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯÷⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1211(-8)-9-1452； (2)()41⎡⎤⎛⎫⎡⎤---⨯⨯⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦2110.52-(-3)3．题型三运用运算律简化运算过程例5 计算下列各题．(1) 21-49.5+10.2-2-3.5+19； (2) 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭311113121121324-42434(-0.2)；(3) 32323⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3351914321251943252.题型四利用特殊规律解有关分数的计算题例6 计算下列各题． (1)⎛⎫⎛⎫--⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3173155959595212777； (2)++++++++1111111112612203042567290； (3)++++++111111 (24816)5121 024；题型五有理数运算的应用例7 有8箱橘子，以每箱15千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，现记录如下(单位：千克)：1．2，-0．8，2．3，1．7，-1．5，-2．7，2，-0．2，则这8箱橘子的总重量是多少?例8 一货车为一家摩托车配件批发部送货，先向南走了8千米，到达“华能”修理部，又向北走了3．5千米，到达“捷达”修理部，继续向北走了7．5千米，到达“万和”修理部，最后又回到批发部．(1)以批发部为原点，以向南方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，你能够在数轴上表示出“华能”“捷达”“ 万和”三家修理部的位置吗?(2)“万和”修理部距“捷达”修理部多远? (3)货车一共行驶了多少千米?题型六探索数字规律例9 某种细菌在繁殖过程中，每半小时分裂一次，由一个分裂成两个，2．5小时后，这种细菌可分裂为( )A ．8个B ．16个C ．32个 D. 64个例10 观察右图，寻找规律，在“?”处应填上的数字是( )A ．128B ．136C ．162D ．188 【数学思想方法归纳】1．数形结合思想例1 |a |＞|b |，a ＞0，b ＜O ，把a 、b 、-a 、-b 按由小到大的顺序排列．例2 有理数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示，则必有( ) A ．a + b ＞0 B ．a - b ＜o C ．a b ＞0 D.a b＜02．分类讨论思想例3 比较2 a 与-2 a 的大小．例4 若|a|=5，|b|=3，ab<0,求a+b 的值.3．转化思想例5 计算：l 3+23+33+43+…+993+1003的值．4．用“赋值法”解题（或“特殊值法”）例6 如果a ＞0，b ＜0，|a |＞| b |，那么a + b 0，a - b 0．(填“＞”或“＜”) 例7 若x y x y+-中的x ，y 都扩大到原来的5倍，则x y x y+-的值( )A ．缩小，B ．不变 C. 扩大到原来的5倍 D ．缩小到原来的15【能力提升】例1. 阅读下面材料：点 A 、B 在数轴上分别表示数a 、b ，A 、B 两点之间的距离可表示为|AB|，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1－2－4所示，|AB|=|BO|=|b|=|a －b|；当A 、B 两点都不在原点时，①如图1－2－5所示，点A 、B 都在原点的右边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=b －a=|a －b|； ②如图1－2－6所示，点A 、B 都在原点的左边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=－b －(－a)=|a －b|；③如图1－2－7所示，点A 、B 在原点的两边，|AB|=|BO|+|OA|=|b|+|a|=a+(－b)=|a －b|综上，数轴上 A 、B 两点之间的距离|AB|=|a －b| 回答下列问题：① 数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______.② 数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是________，如果 |AB|=2，那么x 为_________． ③ 当代数式|x+1|+|x －2|=3 取最小值时，相应的x 的取值范围是_________. 例2. 你能比较两个数20092008和20082009的大小吗？为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较1n n + 和(1)n n +的大小（n 为自然数）．然后，我们从分析n = 1， n = 2，n = 3，…，这些简单情形入手，从中发现规律．经过归纳，猜想出结论．（1）通过计算，比较下列各组中的两个数的大小（在空格中填写“>”“=”“<”号）①12______21， ②23_______32 ， ③34_______43 ，④45______54 ， ⑤56_______65…… （2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想出1n n + 和(1)nn +的大小关系是______________________．（3）根据上面归纳猜想到的一般结论，试比较20092008和20082009的大小．【试卷真题】1.（11—12期末）－2012的倒数是（）A. 2012B. －2012C.20121 D. 20121-2.（10—11期末）2010年10月10号，上海世博会人数达到56.28万人，56.28万人用科学记数法表示为（）A.0.5628×106人B.5628×102人C.5.628×104人D.5.628×105人 3.（11—12期末）a 、b 为有理数，0,0<>b a 且ba <，如果数a 、b 、—a 、—b 在数轴上所对应的点分别为A 、B 、C 、D ，那么这四个点在数轴上从左到右的顺序依次为（） A. BCAD B. CDBA C. BACD D. BDCA4. （外国语）有一数列，第一个数为 a 1 ，第二个数为 a 2 ，第三个数为 a 3 ，......，第 n 个数为 a n ，若a 1=-12，从第二个数起，每个数都等于“1 与它前面的那个数的倒数的差”，则 a 2012 的值为 .5.（外国语）已知 a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，且 m 的绝对值是 2，求24321a b m cd m ++-+的值.【课后作业】一、填空题：1、若向南走 2m 记作-2m ，则向北走 3m 记作：2、比较大小：-(-2) -|-2|3、已知(2x + 1)2+|y - 3| = 0 ，那么 2x - y =4、墨尔本与北京的时差是+3 小时（即同一时刻墨尔本时间比北京时间早 3 小时），班机从墨尔本飞到北京需要 12 小时，若乘坐从墨尔本 8：00（当地时间）起飞的航班，到达北京机场时，当地时间是二、选择题：1、下列各组数中，互为相反数的是（）A ．2 和-2 B.-2 和12C.-2 和12-D. 12和 22、已知 a,b 两数在数轴上的位置如图所示,则下列结果错误的是( )A. a ＞0B. a ＞1C. b ＜-1D. a ＞b 3、下列各数：()2122,3,,,335⎛⎫-+------ ⎪⎝⎭中，负数的个数是（）A ．2 个B ．3 个C ．4 个 D.5 个4、河南省交通厅道路运输局局长吕全德在工作会议上说道：“2012 年春运期间道路运输客流量在 2011年 1.48亿人次的基础上增长 7%左右，达到 1.59 亿人次。

(6)有理数的乘方及其混合运算、科学计数法---金雨欣

教师姓名学生姓名年级上课日期学科数学课题名称有理数的乘方及其混合运算计划时长2h教学目标教学重难点一、教学设计：活动1下图是细胞分裂示意图，当细胞分裂到第10次时，细胞的个数是多少？由活动1和活动2我们是否可以推断出：4m m m m m =⨯⨯⨯65mm m m m m m m m m m m m =⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯?m m m m m m n=⨯⨯⨯⨯ΛΛ （n 个m 相乘）把m 换成其他的数，它还成立么？知识点一、有理数的乘方定义：求n 个相同同因数的运算表示：一般n 个a 相乘，记作na ，读作a 的n 次方，也可以读作a 的n 次幕，a 叫做底数，n 叫做指数，乘方的结果叫做幂。

例如1：744444444=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ，读作4的七次方，也叫4的7次幕，4是底数，7是指数8515151515151515151⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，读作51的8次方，也叫51的8次幕，51是底数，8是指数()()()()()433333-=-⨯-⨯-⨯-，读作-3的4次方，也叫-3的4次幕，-3是底数，8是指数尝试把下列各式写成na 形式，读出来，并指出它的底数和指数例题2： ①写出指数是8，底数是2的幕：13. 21122()(2)2233-+⨯-- 14. 199711(10.5)3---⨯15. 2232[3()2]23-⨯-⨯-- 20. 666(5)(3)(7)(3)12(3)777-⨯-+-⨯-+⨯-21. 235()(4)0.25(5)(4)8-⨯--⨯-⨯- 22. 23122(3)(1)6293--⨯-÷-知识点四：科学计数法1．10n的特征101=10，102=100，103=1000，104=10000， (1010)=10000000000。

提问：10n中的n 表示n 个10相乘，它与运算结果中0的个数有什么关系?与运算结果的数位有什么关系? (1)10n=321Λ00100个n ，n 恰巧是1后面0的个数；(2) 10n=321Λ位)1(0100+n ，比运算结果的位数少1。

有理数的乘方知识点以及分类练习(含解析)

有理数的乘方知识点以及分类练习【知识点1：有理数的乘方的概念和计算】1. 定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：na a a an⋅⋅⋅=个.在a n中，a叫做底数， n叫做指数．2. 有理数的乘方特点（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．3.符号法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如a n≥0．【知识点1：有理数的乘方的概念和计算练习】1. 比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（） A ．它们底数相同，指数也相同 B ．它们底数相同，但指数不相同C ．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同D ．虽然它们底数不同，但运算结果相同 2. 下列说法中，正确的是（）．A ．一个数的平方一定大于这个数B ．一个数的平方一定是正数C ．一个数的平方一定小于这个数D ．一个数的平方不可能是负数 3. 一个数的平方是它的倒数，那么这个数是（） A ．1B ．0C ．1或0D ．1或1-4. 计算()23-的结果是（） A ．9-B ．9C ．6-D ．65. 下列说法正确的是（） A ．-23的底数是2- B ．23读作：2的3次方 C ．27的指数是0 D ．负数的任何次幂都是负数6. ﹣12020＝（） A ．1B ．﹣1C ．2020D ．﹣20207. 对于式子（-2）3，下列说法不正确的是：（） A ．指数是3B ．底数是2-C ．幂为6-D ．表示3个2-相乘8. 下列各组数中，互为相反数的有（）①(2)--和|2|-- ②2(1)-和21- ③32和23 ④3(2)-和32- A ．④B ．①②C ．①②④D ．①③④9. 下列每对数中，相等的一对是（） A ．（-1）3和-13 B ．-（-1）2和12 C ．（-1）4和-14D ．-|-13|和-（-1）310. 下列各组数中互为相反数的是（） A ．2与0.5B ．（-1）2与1C ．-1与（-1）2D ．2与|-2|11. 下列各组数中，结果相等的是（） A ．52与25 B ．﹣22与（﹣2）2 C ．﹣24与（﹣2）4 D ．（﹣1）2与（﹣1）2012. 下列运算中错误的是（） A ．（-2）4＝16 B ．233=827 C ．（-3）3＝-27 D ．（-1）104＝113. 式子−435的意义是（）．A ． 4与5商的立方的相反数B ．4的立方与5的商的相反数C ．4的立方的相反数除5D ．−45的立方 14. （﹣1）2016的值是（） A ．1 B ．﹣1 C ．2016 D ．﹣2016 15. 下列说法中，正确的个数为( )．①对于任何有理数m ，都有m 2＞0； ②对于任何有理数m ，都有m 2＝(－m)2；③对于任何有理数m 、n(m≠n)，都有(m －n)2＞0； ④对于任何有理数m ，都有m 3＝(－m)3． A ．1 B ．2C ．3D ．016. 在(-2)4中，指数是________，底数是________，在-23中，指数是________，底数是________，在235中底数是________，指数是________． 17. 计算：﹣（﹣3）2＝．18. -（-3）＝；-25＝；−(−13)3= ；225= ．19. -[-（-3）]3＝ .20. 已知a ＜2，且|a-2|＝4，则a 3的倒数的相反数是．【知识点：有理数的混合运算】 1.有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．2.在运算过程中注意运算律的运用．【知识点：有理数的混合运算练习】 1. 计算(-1)2+(-1)3＝( )A ．-2B ．- 1C ．0D ．22. 计算（﹣2）2015+（﹣2）2014所得的结果是（） A ．﹣2 B.2 C ．﹣22014D ． 220153. 若(a −1)2+|b −2|=0，则(a −b)2020的值是（） A ．-1B ．1C ．0D ．20184. 1×2+2×3+3×4+…+99×100＝（） A ．223300B ．333300C ．443300D ．4333005. 计算(－2)2009＋3×(－2)2008的值为( ) A ．－22008B ．22008C ．(－2)2009D ．5×220086. 计算−32×(−13)2−（−2）3÷（−12）2的结果是（）． A ．-33 B ．-31 C ．31 D ．337. 如果()()01122=-++b a ，那么()2a b -的值为( ) ．A ．0B ．4C ．－4D ．28. 已知n 表示正整数，则 n n 1(1)(1)2+-+- 的结果是（）A ．0B ．1C ．0或1D ．无法确定，随n 的不同而不同9. 若a ，b ，c 均为整数，且20212020||||1a b c a -+-=，则||||||a c c b b a -+-+-的值为（）A ．2B ．3C ．2020D ．202110. 设三个互不相等的实数，既可表示为1，,a b a +的形式，又可表示为0，,bb a的形式，则20192020a b +的值是（） A ．0 B ．1- C ．1D ．211. 如果有理数m 、n 满足m ≠0，且m ＋2n ＝0，则−(n m )2= ． 12. 看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这两个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空…假设悟空一连变了30次，那么会有个孙悟空． 13. 若|a ＋1|＋（b －2）2＝0，则（a ＋b ）2＋a 2003＝． 14. 如图是一个计算程序，若输入的值为﹣1，则输出的结果应为．15. 阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式（2x+3）x+2016＝1成立的x 的值为． 16. 计算：（1）4×（﹣12−34+2.5）×3﹣|﹣6|；（2）（﹣1）3×（﹣12）÷[（﹣4）2+2×（﹣5）]．17. 计算：（1）-14－（1－0.5）×13－[2－（-3）2]（2）（-2）4÷（-4）×（12）2－1218. 计算：（1）-81÷214-（-94）÷（-16）（2）-15-213+415÷（-3）×（-521）（3）（-2）3×214+（-32）2÷（-12）3 （4）-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)（5）（-1）5-[-3×（-23）2-113÷（-2）2]19.用简便方法计算：(1)（35−12−712）×（60×37−60×17+60×57）(2)[113×（1-14）2－（-112）2×316]×（-513）20.某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次（由1个分裂成2个）．若经过4小时，100个这样的细菌可分裂成多少个？a⨯的形式（其中a是整数数位只有一位的数，1.把一个大于10的数表示成10nl≤|a|＜10，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如：42000000＝4.2×107.2.负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其它与正数一样，如：-3000＝-3×103；3.把一个数写成a×10n形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.【知识点：科学计数法练习】1.国家统计局的相关数据显示，2018年我国国民生产总值(GDP)超过90万亿元，将这个数据用科学记数法表示为( )A．9×1013元B．9×1012元C．90×1012万元D．9×10142.据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口760.57万人，其中760.57万人用科学记数法表示为（）A．7.6057×105人 B．7.6057×106人C．7.6057×107人 D．0.76057×107人3.计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（）A．0.1×107B．0.1×106C．1×107D．1×1064.全球平均每年发生雷电次数约为16000000次，将16000000用科学记数法表示是____________．5.用科学记数法表示：（1）3870000000；（2）3000亿；（3）-287.6.（1）___________（2）________（3）___________1.探索规律的一般方法：（1）从具体的，实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；（2）由此及彼，合理联想；（3）善于类比，从不同事物中发现其相似或相同点；（4）总结规律，大胆猜想，做出结论，并验证结论正确与否；S（5）在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，收到事半功倍的效果。

有理数的乘方、混合运算、科学计数法及近似数

第二章有理数第二讲有理数的乘方、混合运算、科学计数法及近似数 ※知识要点：一、乘方及相关概念1、求几个相同因数的积的运算叫做乘方，其运算的结果叫做幂；2、在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数；3、正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。

二、有理数的混合运算有理数的混合运算顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先算括号里面的。

三、科学计数法把一个数记成10n a ⨯的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n 是整数。

四、近似数近似地表示某一个量准确值的数，叫做这个量准确值的近似数。

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

※思维驿站例1、计算：（1） 23(4)⨯-（2） ()()3432-⨯-（3） 2222133⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭（4） ()()()2212012111n n +---+-例2、有一张厚度为0.1mm 的纸片，将它对折1次后，厚度为0.1×2mm ，对折两次后，厚度是毫米，如果对折20次后，厚度为毫米。

练习：一个面积为2平方米的正方形纸片，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第5次剩下的面积是多少平方米？第10次呢？例3、计算：（1） ()2411322272⨯+-⨯÷（2）()()()115551010---⨯÷⨯- （3） ()2411236⎡⎤--⨯--⎣⎦（4） 111135532114⎛⎫⨯-⨯÷ ⎪⎝⎭ 练习：（1） 3778141283⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()21110.5233⎡⎤⎛⎫⎡⎤--⨯⨯-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 例4、（1）用科学计数法表示下列各数127 000 000， -70 600 000 000（2）写出下列用科学计数法表示的原数中国森林面积有1.28×108公顷。

一天共有1.2863×104s 。

北师大版初中数学七年级上册第2章第4讲有理数的乘方和科学计数教材

（2）计算：13 23 33 9933 10025 日有 700 多位来自全国各地的知名企业家聚首湖北共同签约项目，共投
资总额 909260000000 元。将 909260000000 元用科学记数法表示
（保留 3 个有效数
字）
2. 某种细胞开始时有 2 个，1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个，2 小时后分裂成 6 个并死去 1
考点 2. 有理数的科学计数法
知识点链接
1.科学记数法把一个数写成 a 10n 的形式（其中1 a 10 ，n 是整数），这种记法叫做科学记数法．如：将 200000 用科学记数法为 200000 2105 的形式．10200000 用科学计数法表示为1.02 107 ． 2.近似数与有效数字（1）近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫近似值．（2）有效数字：从一个数的左边第一个非 0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数
10个
【例 1】计算：（1）- 34 ；（2） 34 ；（3） - 3 3 ；（4） 33 ；（5）- 1 101 ；（6）1 1 3
4
4
2
变式训练 1. 已知 a 2 25，b3 27 ，求 a b 的值
2. 观察下列等式：31 3，32 9，33 27，34 81 ......，解答下列问题：31 32 33 34 32018 的末位数字是
变式训练 1. 一根长 1m 的绳子,第一次剪去一半,第二次剪下剩下的一半,如此剪下去,第六次剪后剩下的绳子长度是
考点 5. 有理数的乘方的综合
【例 5】探索研究：
（1）观察一列数 2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个
常数，这个常数是______；根据此规律．如果 n．（n 为正整数）表示这个数列的第 n 项，

第二章第六讲有理数的乘方(教案)

-举例：2的3次方表示3个2相乘，-2的3次方表示3个-2相乘，零的任何正整数次方均为0。
-有理数乘方的运算法则：熟练掌握同底数乘方、不同底数乘方以及幂的乘除法的运算规则。
-举例：a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方。
-有理数乘方的实际应用：学会将乘方应用于解决实际问题，拓展乘方的概念，如科学计数法等。
在讲授过程中，我尝试通过日常生活中的实例来帮助学生理解负整数乘方的意义，例如，温度下降时摄氏度的变化。这样的例子似乎有助于他们建立起负数乘方的直观感受。未来，我可能需要准备更多的这类实例，以便更有效地帮助学生克服这一难点。
我也注意到，在实践活动和小组讨论中，学生们对于将乘方应用于解决实际问题的兴趣很高。他们通过分组讨论和实验操作，不仅加深了对有理数乘方的理解，还学会了如何将理论知识应用到具体问题中。这一点让我感到非常欣慰，因为它体现了学生们的实践能力和团队合作精神。
3.通过实际问题的引入和解决，培养数学在实际生活中的应用意识，提高数学应用素养。
4.在探索乘方的过程中，激发学生的数学探究兴趣，培养创新意识和团队合作精神。
5.通过对有理数乘方的学习，使学生形成对数学严谨性和逻辑性的认识，提高数学审美和鉴赏能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-有理数乘方的定义及其性质：理解正整数、负整数和零的乘方意义，掌握乘方的运算规则。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《有理数的乘方》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算多次相同数相乘的情况？”（如：计算一个正方体的体积）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索有理数乘方的奥秘。

4、有理数乘方、混合运算、科学记数法-学生版

1、有理数的乘方：（1）求几个相同因数的积得运算，叫做乘方.乘方的结果叫做幂。

在n n aa a a a a ⨯⨯⨯⨯=个中，a 叫做底数，n 叫做指数.读作a 的n 次方.n a 看作是a 的n 次方的结果时，读作a 的n 次幂；特别地，11n =，00n=（n 为正整数）；（2）正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；任何数的偶次幂都是非负数，即20a ≥，20n a ≥；2、有理数的混合运算：（1）有理数混合运算的顺序：先乘方，后乘除，再加减；按从左到右的顺序运算；如果有括号，先算小括号，后算中括号，再算大括号。

（2）括号前带负号，去掉括号后，括号内各项要变号，即：()a b a b ++=+，()a b a b -+=--；（3）运算时，可合理运用运算律，使运算简便。

3、科学记数法：（1）把一个数写成10na ⨯（其中110a ≤<，n 是正整数），这种形式的计数方法叫做科学记数法；（2）在10na ⨯中，n 由这个数的整数位数来确定.即：n =整数位数-1；二、例题精讲：例1、指出下列各幂的底数和指数并计算下列各幂：（1）512⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）512⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）512⎛⎫- ⎪⎝⎭；（4）512⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（5）2211(0.2)5⎛⎫--+- ⎪⎝⎭；例2、20147的个位数字是多少？例3、计算： 220131111{1[3()]30}(1)654---⨯-⨯÷-例4、小强家卖给国家10袋稻谷，重量分别如下：61千克，59千克，60千克，62千克，58千克，58千克，61千克，63千克，59千克，60千克，问平均每袋重多少千克？（用两种方法解）例5、来了一批外星人，他们的“乘法”记为☆，并且对任意两个有理数a 、b ，a ☆b =32a b -。

（1）求2☆5；（2）若a ☆4=0，求a ；（3）对于给定的b ，求a 使得a ☆b =b ；例6、用科学记数法表示下列各数：（1）2560000000 （2）-300000000 （3）2508.45例7、写出下列各数的原数：（1）65.0810⨯ （2）47.5210-⨯ （3）51.20654810⨯例8、我国宇航员杨利伟乘神舟“五号”绕地球飞行了14圈，飞行轨道可近似看作圆，其半径约为6710千米，问总航程约为多少千米？（π取3.14，结果用科学记数法表示）例9、求2014201320122222221------的值；例10、已知552a =，443b =，334c =，225d =，比较a b c d 、、、的大小，并用“<”连接。

《有理数的乘方》讲义

《有理数的乘方》讲义一、引入在我们的数学世界中，有理数的运算有着丰富多样的形式，其中有理数的乘方是一个重要且有趣的概念。

想象一下，将相同的有理数不断相乘，这就引出了乘方的运算。

二、什么是有理数的乘方有理数的乘方是指将一个有理数乘以自身若干次的运算。

一般地，n 个相同的有理数 a 相乘，记作aⁿ，读作“a 的 n 次方”。

其中，a 叫做底数，n 叫做指数，乘方的结果叫做幂。

例如，2×2×2×2 可以记作 2⁴，其中 2 是底数，4 是指数，2⁴的结果 16 就是幂。

乘方有着其独特的表示形式和运算规则，它为我们解决很多数学问题提供了便利。

三、有理数乘方的运算规则1、正数的任何次幂都是正数比如，3²＝ 9，3³＝ 27 。

2、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数例如，（－2)³＝－8，（－2)²＝ 4 。

3、 0 的任何正整数次幂都是 00²＝ 0，0³＝ 0 。

在进行有理数乘方运算时，要特别注意底数和指数的关系，以及符号的变化规律。

四、有理数乘方的运算1、简单的乘方运算先确定符号，再计算绝对值。

例如，计算（－3)²，先确定符号为正，然后计算 3²＝ 9 ，所以（－3)²＝ 9 。

再如，（－5)³，符号为负，5³＝ 125 ，所以（－5)³＝－125 。

2、乘方的混合运算先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里的。

例如，计算 2 ＋ 3² ×（－1) ，先算 3²＝ 9 ，式子变为 2 ＋ 9 ×（－1) ，再算乘法 9 ×（－1) ＝－9 ，最后算加法 2 ＋（－9) ＝－7 。

五、有理数乘方的应用1、计算面积和体积在计算正方形的面积和正方体的体积时，会用到乘方。

比如，正方形的边长为 5 ，则面积为 5²＝ 25 ；正方体的棱长为 3 ，则体积为 3³＝ 27 。

有理数的乘方和科学计数法

天天学教育学员个性化辅导教案学生姓名辅导科目数学所在年级六年级所在课次授课教师付老师教案编号教材版本授课时间课题名称有理数的乘方和科学计数法教学重点教学难点有理数乘方的运算和用科学计数法表示一个数；有理数的乘方以及混合运算教学过程有理数的乘方一、情景设置折纸游戏：将一张纸对折，记下每次的层数。

设问：你知道对折100次、1000次后有多少层吗？二、活动：活动一：观察刚才记下的数据，讨论，找出规律。

给出乘方的意义及相关概念。

意义：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

幂指数底数活动二：结合所学的知识举一些乘方的例子活动三：说出23，32，（－2）5，（－5）2的底数、指数和幂，并读出来。

活动四：说出（－4）2，－42的不同之处，读出来并说出其结果。

活动五：计算：（1）33，24，53（2）（－2）4，（－3）2，（－5）2（3）（－2）5，（－3）3，（－21）3活动六：观察刚才做的题目，讨论，发现规律，请学生用自己的话说出来。

（乘方的运算法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

）三、达标反馈：1、判断（1）∵23=2⨯3=6；32=3⨯2=6；∴23=32an（2）∵（－3）2=－3⨯3=－9；－32=－3⨯3=－9；∴（－3）2=－32 （3）∵（－2）3=－23；∴（－2）3与－23表示的意义一样2、填空（1）、（－131）2= ，（2）、105= ，（3）、－0.13= ，（4）、1n = （n 为正奇数）（5）、－24+（－2）4= ，（6）、（－2.5⨯4）3 ， (7)、（－3）2+（－32）= ，（8）、（－1）2004= 。

（9）、324= （10）、（32）43、填空（1）、（）2=9 （2）、（）5=－32 （3）（）4=161 （4）、（）3=－0.001（4）、若a ＜0，那么7a 0 （5）、若5a ＞0，那么a 0（6）、当为自然数时，（－1）n 2＋（－1）12+n = 。

有理数加减乘除、乘方、科学计数法

一、（一）有理数的加法法则：1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，如：(3)(9)(________)_______+++=+= (2)(5)(________)_______-+-=-=2、绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，如：(5)(7)__________________-++== (10)(8)__________________-++==3、互为相反的两个数相加得零。

如：(4)(4)_______-++=4、一个数与零相加，仍得这个数。

如：(6)0_______-+=（二）有理数加法仍然可以灵活运用加法运算律进行简化运算。

1、加法交换律：可用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a 。

如：由(5)(7)______-+-=，(7)(5)______-+-=，所以：(5)(7)____(7)(5)-+--+-2、加法结合律：可用字母表示为：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )。

如：[][](2)(4)(9)(2)(4)(9)(2)(4)(9)__________-+-++=-+-++=-+-++=二、经典归纳考点一有理数加法【例1】计算：（1）)12()1(+++（2）)19()4(-+-（3）)9()4(++-【例2】41-的相反数与绝对值等于41的数的和应等于（）。

A ．21B ．0C ．21-D ．21或0【例3】若x 是-3的相反数，y =5，求x +y 的值。

【例4】若320a b ++-=，则a+b 的值为（） A ．5B ．-1C ．1D ． -5考点二简便计算【例1】利用运算律，用简便方法计算下列各题：（1）(6)539(4)(7)+++++---解：原式=[])935()7()4()6(+++-+-+-（2）4)5.0()5.2()7.3()5.2(+-+++-+-解：原式=考点三实际应用【例】出租车司机小张某天下午营运全是在东西走向的大道上行驶的，如果规定向东为正，向西为负，这天下午行车里程如下：（单位：千米）＋11， -2，＋15， -12，＋10， -11，＋5， -15，＋18， -16 （1）当最后一名乘客送到目的地时，距出车地点的距离为多少千米？（2）若每千米的收费标准为7元，这天下午的营业额为多少？（与路程有关，与方向无关）（3）若成本为1.5元/千米，这天下午他盈利为多少元？有理数减法和加减混合运算一、知识清单（一）探索新知在上一讲中，同学们已经学习了有理数的加法。

第二章⑤有理数的乘方科学计数法混合运算

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第二章 有理数及其运算(知识归纳+题型突破)(解析版)

(五四制)六年级上册数学第二章有理数及其运算知识点

七年级数学-有理数的乘方、混合运算、科学记数法

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有理数的乘方、混合运算、科学计数法及近似数

北师大版初中数学七年级上册 第2章 第4讲 有理数的乘方和科学计数 教材

第二章第六讲有理数的乘方(教案)

4、有理数乘方、混合运算、科学记数法-学生版

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