2018年江苏省南通市高考第二次调研数学试卷及答案

（第4题）

南通市2018届高三第二次调研测试

数学Ⅰ

参考公式：柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 为柱体的底面积，h 为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．．

卡相应位置上．．．．．．

． 1．已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-，，，，，，，，则U A =ð▲． 2．已知复数12

i 34i z a z =+=-，，其中i 为虚数单位．若1

2

z z 为纯虚数，则实数a 的值

为▲．

3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[]40100，

上，其频率分布直方图如图所示，

则成绩不低于60分的人数为▲．

/分

（第3题）

4．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为▲．

5．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，以线段AC ，BC 为邻边作矩形，则该矩

形的面积

大于32 cm 2的概率为▲．

6．在ABC △

中，已知145AB AC B ===︒，，则BC 的长为▲．

7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线2

2

13

y x -=有公共的渐近线，

且经过点

()

2P -，则双曲线C 的焦距为▲．

8．在平面直角坐标系xOy 中，已知角αβ，的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点

(12)A ，，(51)B ，，则tan()αβ-的值为▲．

9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若396S S S ，，成等差数列，且83a =，则5a 的值为▲．

10．已知a b c ，

，均为正数，且4()abc a b =+，则a b c ++的最小值为▲． 11．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C

上的点都在不等式组33030

x x x ⎧⎪

+⎨⎪

+⎩≤，

≥，≥表

示的平面区域

内，则面积最大的圆C 的标准方程为▲．

12．设函数31e 02()320

x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤，，

，（其中e 为自然对数的底数）有3个不同的零

点，则实数

m 的取值范围是▲．

13．在平面四边形ABCD 中，已知1423AB BC CD DA ====，，，，则A C B D ⋅的值为▲． 14．已知a 为常数，

函数()f x =

的最小值为2-，则a 的所有值为▲．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、

证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin αα=，a ，()sin cos ββ=-，b

，

()

12=-c ．

（1）若+=a b c ，求sin ()αβ-的值；

（2）设5π6

α=，0πβ<<，且()//+a b c ，求β的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB AC ，点E ，F 分别在棱BB 1 ，CC 1

上（均异于

端点），且∠ABE

∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1．

求证：（1）平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；

（2）BC // 平面AEF ．

17．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆22221(0)y x a b a b

+=>>的短轴端

点，P 是

A

A 1

B 1

C 1

B C F

E

（第16题）

（第18题）

椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为3y x =+时，线段PB 1的长

为

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点Q 满足：11QB PB ⊥，22QB PB ⊥．求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．

18．（本小题满分16分）

将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线

l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形（B ，C 全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：

方案①：以1l 为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆

柱的两个底面；

方案②：以1l 为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形

（各边分别与1l 或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面．

（1）设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；

（2）设1l 的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按

（第17题）

方案②制成的正四棱柱的体积最大？

19．（本小题满分16分）

设等比数列a 1，a 2，a 3，a 4的公比为q ，等差数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，且

10q d ≠≠，．

记i i i c a b =+（i

，2，3，4）．

（1）求证：数列123c c c ，，不是等差数列；

（2）设11a =，2q =．若数列123c c c ，，是等比数列，求b 2关于d 的函数关系式及其定义域；

（3）数列1234c c c c ，，，能否为等比数列？并说明理由．

20．（本小题满分16分）

设函数()sin (0)f x x a x a =->．

（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围； （2）设1()()ln 1(0)2

a g x f x

b x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．

①若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；

② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <．

南通市2018届高三第二次调研测试

数学Ⅱ（附加题）