2020年辽宁省大连八中高考数学一模试卷2 (含答案解析)
2023年辽宁省大连八中等三校联考高考数学模拟试卷+答案解析(附后)
2023年辽宁省大连八中等三校联考高考数学模拟试卷1. 已知复数z满足，则在复平面上复数z对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合，，则( )A. B. C. D.3. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度，如图2所示.已知球的半径为R，酒杯的容积，则其内壁表面积为( )A.B.C.D.4. 已知向量，满足，，，则等于( )A. B. C. D.5. 已知函数，下列说法正确的是( )A. 若，则是函数的对称轴B. 若，则将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称C. 若函数在上取到最大值，则的最小值为D. 若函数在上存在两个最值，则的取值范围6. 若二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为( )A. 32B.C. 16D.7. 已知点，，点A关于直线的对称点为点B，在中，，则面积的最大值为( )A. B. C. D.8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是( )A. B. C. D.9. 下列结论中，正确的有( )A. 数据1，2，4，5，6，8，9的第百分之60分位数为5B. 已知随机变量X 服从二项分布，若，则C. 已知回归直线方程为，且，，则D. 对变量x 与y 的统计量来说，值越小，判断“x 与y 有关系”的把握性越大10. 若正整数m ，n 只有1为公约数，则称m ，n 互素，欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数k ，且与k 互素的正整数的个数，例如：，，，下列说法正确的是( )A. B. 数列为递增数列C. D.数列的前n 项和为，则11. 已知抛物线C ：的焦点为F ，焦点到准线的距离为2，Q 为C 上的一个动点，则( )A. C 的焦点坐标为B. 若，则周长的最小值为11C. 若，则的最小值为D.在x 轴上不存在点E ，使得为钝角12. 已知正四棱台的所有顶点都在球O 的球面上，，，E 为内部含边界的动点，则( )A. 平面B. 球O 的表面积为C.的最小值为D. 若AE 与平面所成角的正弦值为，则E 点轨迹长度为13. 某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工方法共有______ 种.14. 已知定义在R 上的奇函数满足，则的一个解析式为______ .15. 曲率半径可用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆C：上点处的曲率半径公式为若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的倍，则椭圆C的离心率为______ .16. 已知过点不可能作曲线的切线，对于满足上述条件的任意的b，函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是______ . 17. 已知的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，求角A的大小；若，求的面积.18. 已知数列的前n项之积为求数列的通项公式；设公差不为0的等差数列中，，____，求数列的前n项和请从①；②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答. 19. 已知多面体ABCDEF中，，且，，证明：；若，求二面角的余弦值.20. 为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩频率分布直方图如图.用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分同一组中的数据用该组区间的中点值为代表可以认为这次竞赛成绩X近似地服从正态分布用样本平均数和标准差s分别作为，的近似值，已知样本标准差，如有的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少结果取整数？从的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测份试卷抽测的份数是随机的，若已知抽测的i份试卷都不低于90分，求抽测3份的概率.参考数据：若，则，，21.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线交C于点P，垂足为Q，，，M、N为双曲线左右顶点.求双曲线C的方程；设过点的动直线l交双曲线C右支于A，B两点在第一象限，若直线AM，BN 的斜率分别为，试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值：若不是定值，请说明理由；求的取值范围.22. 已知函数为自然对数的底数若的最小值为1，求在上的最小值；若，证明：当时，答案和解析1.【答案】A【解析】解：，故复数z对应的点位于第一象限．故答案为：运用复数除法法则计算及复数几何意义即可求得结果．本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：集合或，，，则故选：求出集合A，，利用交集定义能求出本题考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】C【解析】解：设圆柱部分的高是h，所以，所以，所以，内壁表面积为，故选：根据圆柱和球的体积公式和表面积公式即可求解．本题考查几何体的表面积的求解，化归转化思想，属基础题．4.【答案】B【解析】解：因为，所以，即，解得，所以故选：先求出，再将平方即可得解．本题主要考查平面向量的数量积运用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：对于A项，当时，，，，解得：，，令，解得：，不是的对称轴，故A项错误；对于B项，当时，，将的图象向左移个单位得到，又，为偶函数，即函数图象关于y轴对称，故B项错误；对于C项，在上取到最大值，，，，解得：，，又，当时，的最小值为，故C项错误；对于D项，当时，，要使得在上存在两个最值，则，解得：，故D项正确．故选：对于A项，先分析的对称轴，再计算，看k是否为整数即可判断；对于B项，由三角函数图象的平移规则得到平移后的解析式，研究其奇偶性即可判断；对于C项，解三角函数方程即可；对于D项，运用整体思想及解不等式即可．本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：的展开式共有项，只有第3项的二项式系数最大，，，的第项为，，令，解得：，，即：展开式中项的系数为故选：运用二项式系数最大项求出n的值，再运用二项展开式的通项公式计算即可．本题主要考查二项式定理，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：设B的坐标为，则，则B的坐标为，设，，即所以故选：先根据对称的性质求出点B的坐标，设，再由可求出点P的轨迹方程，由图可知中BC边上的高为圆的半径时，面积最大，从而可求得结果．本题主要考查了动点轨迹方程，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：，，，又，，令，则，又中，，，在R上恒成立，在R上单调递增，，即：，，即：，故选：利用中间值法比较a与c，b与c大小关系，再通过构造函数，然后通过的单调性比较a与b的大小关系．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：对于A项，，所以第百分之60分位数为6，故A项错误；对于B项，因为，所以，所以，解得，故B项正确；对于C项，回归直线必过样本中心可得：，解得：，故C项正确；对于D项，由独立性检验可知，值越大，判断“x与y有关系”的把握性越大，故D项错误．故选：运用百分位数、二项分布期望及期望运算性质、回归直线必过样本中心、独立性检验的意义依次分析每个选项即可．本题主要考查百分位数、二项分布期望及期望运算性质，属于基础题．10.【答案】ACD【解析】解：与4互素的正整数有1，3，，故A正确；，数列不为递增数列，故B错误；与互素的正整数有1，3，5，…，，共有个，，，①，②，由①-②得，，故D正确；故选：根据欧拉函数的定义可判断ABC，求出可判断D，即可得出答案．本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：选项A，抛物线C：，焦点到准线的距离为，则C：，焦点，错误；选项B，，，，设Q到准线的距离为d，M到准线的距离为，则的周长为，正确；选项C，设，，则，当时，的最小值为，正确；选项D，设，，，，，，不可能为钝角，正确．故选：利用焦准距求出抛物线C，可得焦点坐标，判断选项A；根据抛物线的定义的应用，结合周长公式，判断选项B；设，利用两点间距离公式结合二次函数的性质，求出的最小值，判断选项C；设，由数量积的坐标运算，判断出选项本题考查抛物线的几何性质，向量数量积的坐标运算，向量夹角公式的应用，化归转化思想，函数思想，属中档题．12.【答案】ABD【解析】解：对于A，如图1，设底面ABCD对角线交于点由棱台的结构特征易知与的延长线必交于一点，故A，，C，共面，又面面ABCD，而面面，面面，故，即；由平面几何易得，即；所以四边形是平行四边形，故，而面，面，所以平面，故A正确；.对于B，如图2，设为的中点，O为正四棱台外接球的球心，则，在等腰梯形中，易得，即，为方便计算，不妨设，，则由，即，即，又，解得，即O与重合，故，故球O的表面积为，故B正确；.对于C，由图2易得，，，、面，故面，不妨设E落在图处，过作，则面，故，故在中，直角边小于斜边；同理，，所以，故动点E只有落在上，才有可能取得最小值；再看图4，由关于对称点为C可知，故，故C错误；.对于D，由选项C可知，面，面，故面面，在面内过A作交于F，如图5，则面，面面，故面，故为AE与平面所成角，在中，，，，故为正三角形，即，故，在中，，，即E点在以F为圆心，为半径的圆与所交的圆弧，而，故圆弧所对圆心角为如图6所示平面图，所以轨迹长为，故D正确．故选：对于A，由条件先证线线平行，进而证得线面平行；对于B，先假设球心O的位置，利用勾股定理与半径相等建立方程组进而确定O的位置，可求得球O的表面积；对于C，先判断E落在上，再进一步判断E与O重合时，取得最小值；对于D，利用面面垂直的性质作出面，故为AE与平面所成角，再利用得出EF长，继而判断点E轨迹为圆弧．本题考查四棱台的外接球问题，与动点相关的最值问题，线面角的求解，化归转化思想，属难题．13.【答案】12【解析】解：根据题意，分3步分析：①在4人中选出一人负责清理讲台，有种情况；②在剩下的3人中选出一人负责扫地，有种情况；③剩下的2人负责拖地，有1种情况，则有种不同的分工方法．故答案为：根据题意，按照分步计数原理即可得到结果．本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．14.【答案】答案不唯一【解析】解：为R上的奇函数，，又，用“”替换“x“，，，的周期为8，的一个解析式可以为故答案为：答案不唯一根据已知条件可得到的周期为8，结合为奇函数，所以可以考虑三角函数答案不唯一本题主要考查了函数的奇偶性和周期性，属于基础题．15.【答案】【解析】解：因为点在椭圆上，故，即，则，而，所以，则，故，因为椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的倍，故，即，所以椭圆离心率为故答案为：根据椭圆中x的范围求出的取值范围，结合曲率半径的最大值是最小值的倍，求出a ，b 的关系，即可求得椭圆离心率．本题考查了椭圆的性质以及曲率半径的性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由过点不可能作曲线的切线，则点在曲线的上方，所以，则对于满足条件的b ，函数恒有两个不同的极值点，等价于恒有两个不同的变号零点，即方程有两个不同的解，令，则，即因为且，所以，可得，即直线和曲线的图象有两个交点，令，可得，即，则，所以单调递增，令，可得，当时，，可得，单调递减；当时，，可得，单调递增，因为t 趋近于0和时，均趋近于，所以，所以，又因为，可得，即，解得，又由，所以实数a 的取值范围是故答案为：根据题意求得，转化为等价于恒有两个不同的变号零点，即方程有两个不同的解，令，得到，进而转化为直线和曲线的图象有两个交点，令，求得，令，求得，得到单调递增，结合，求得的单调性和极值，得出不等式，再由，即可求得实数a 的取值范围．本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．17.【答案】解：根据题意，得，由正弦定理得，即，得，又，所以，所以，所以由，得，又，，由余弦定理可得，解得，所以【解析】由，得到，再将代入求解；由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理定理求得b，c，然后利用三角形面积公式求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形面积我刚刚那是的应用，属于中档题．18.【答案】解：，当时，，当时，，将代入得，符合上式数列的通项公式为；若选①：，设等差数列的公差为，，，，解得，，若选②：，设等差数列的公差为，，，又，则，解得，，，，故【解析】利用与其前n项之积的关系，即可得出答案；运用等差数列基本量计算求得的通项公式，再运用分组求和法，即可得出答案．本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：证明：连接BD，DF，如图所示：在中，，，，由余弦定理得，，则，即，同时，则，，，，且平面BDF，平面BDF，，平面BDF，又平面BDF，则；在中，，且，即，则，由得，，建立以D为原点的空间直角坐标系，如图所示：则，设平面ABF的法向量为，则，取，则，平面ABF的法向量为，设平面ACF的法向量为，则，取，则，，故平面ACF的法向量为，，由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为【解析】由题意得，，利用线面垂直的判定定理可得平面BDF，即可证明结论；由题意得，建立以D为原点的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案．本题考查直线与平面垂直和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：由频率分布直方图可知，平均分；由可知设学校期望的平均分约为m，则，因为，，所以，即，所以学校期望的平均分约为73分；由频率分布直方图可知，分数在和的频率分别为和，那么按照分层抽样，抽取10人，其中分数在应抽取人，分数在应抽取人，记事件：抽测i份试卷，2，3，事件B：取出的试卷都不低于90分，则，，，则【解析】根据平均数的求法求得平均数．根据正态分布的对称性求得正确答案．根据分层抽样、条件概型等知识求得正确答案．本题主要考查频率分布直方图，正态分布曲线，离散型随机变量的期望，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：因为，所以，由题意可得，所以，所以双曲线C的方程为设，，直线AB的方程为，由，消元得则，且，法一；法二由韦达定理可得，即，，即与的比为定值设直线AM：，代入双曲线方程并整理得，由于点M为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，由韦达定理得：，解得因为点A在双曲线的右支上，所以，又点A在第一象限，所以，同理可得，由中结论可知，得，所以，故，故的取值范围为【解析】运用双曲线的定义及双曲线的焦点到其渐近线的距离为b可求得a、b的值，进而求得双曲线方程．设出直线AB的方程，联立其与双曲线方程可得，法一对进行配凑得，代入计算即可；法二先由韦达定理得，再代入计算即可．设出直线AM方程，联立其与双曲线方程可求得，结合点A在第一象限且且可求得的范围，进而求得的范围．本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．22.【答案】解：因为，可得，若，则，在R上单调递减，无最小值，因此，令，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，解得，则，可得，设，则在上恒成立，所以在单调递增，即在上是增函数，又由，所以在上是增函数，所以证明：由得时，，即，从而，当时，，又因为，所以，所以在上成立，即在上成立，当时，，，，要证，只要证明，即要证，设，，，易知，所以，是增函数，所以，又时，，所以，即成立，综上，当时，【解析】求得，求得函数的单调性和，求得，得到，求得，设，由，得到在上是增函数，进而得到在上是增函数，即可求解．第21页，共21页由得时，得到，从而得到，转化为上成立，进而转化为，即证，设，利用导数求得函数的单调性，得到，进而证得成立．本题考查导数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．。
2020届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上期末数学(文)(解析版)
2020届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末数学（文）试题一、单选题1．欧拉公式：10i e π+=被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合{,,,1,0}A e i π=，则集合A 不含无理数的子集共有( )A ．8个B ．7个C ．4个D ．3个【答案】A【解析】由题得集合A 中的无理数元素有,e π，即得集合A 不含无理数的子集的个数. 【详解】由题得集合A 中的无理数元素有,e π，所以集合A 中不含无理数的子集共有328=个. 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的子集的个数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．已知ln3a =，3log 10b =，lg 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c b a << B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D【解析】根据对数的单调性，分别求得,,a b c 的范围，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据对数的单调性，可得2ln ln 3ln e e <<，即12a <<，333log 9log 10log 27<<，即23b <<，lg3lg101c =<=，即1c <，所以c a b <<，故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，其中解答中熟记对数函数的单调性，合理求解,,a b c 得范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．若,x y R +∈，且35x y xy +=，则34x y +的最小值是( ) A ．4 B ．245C ．5D ．285【答案】C【解析】由条件可得315x y+=，可得13134()(34)5x y x y x y +=++，展开后，运用基本不等式，计算即可得到所求最小值. 【详解】正数x ，y 满足35x y xy +=，即为315x y+=，可得13134()(34)5x y x y x y+=++13121(13)(13555x y y x =+++=…， 当且仅当21x y ==，可得最小值为5. 故选：C 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．“2λ>”是圆锥曲线22152y x λλ-=+-的焦距与实数λ无关的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】将曲线分为椭圆或双曲线两类，利用椭圆或双曲线的性质列不等式，由此求得λ的取值范围，进而判断出充分、必要条件.【详解】若圆锥曲线22152y x λλ-=+-，即22152y x λλ+=+-为椭圆，则()2527c λλ=+--=，即焦距与λ无关.此时502052λλλλ+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得2λ>.若圆锥曲线22152y x λλ-=+-为双曲线，则()2527c λλ=++-=，与λ无关.此时()()520λλ+->，解得52λ-<<.所以当()()5,22,λ∈-⋃+∞时，圆锥曲线22152y x λλ-=+-的焦距与实数λ无关.所以“2λ>”是圆锥曲线22152y x λλ-=+-的焦距与实数λ无关的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本小题主要考查椭圆和双曲线的几何性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查充分、必要条件的判断，属于中档题.5．函数()cos(3)f x x ϕ=-的图像关于直线4x π=对称，则ϕ的可能值为( )A ．4π-B ．3π-C ．4π D ．3π 【答案】A 【解析】由题得3,4k k Z πϕπ⋅-=∈,给k 取值即得解.【详解】 由题得3,4k k Z πϕπ⋅-=∈,k=1时，=4p j -. 故选：A 【点睛】本题主要考查余弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．已知数列{}n a 满足：11,a =13,21,n n n n n a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则6a =( )A ．16B ．25C ．28D ．33【答案】C【解析】依次递推求出6a 得解. 【详解】n=1时，2134a =+=， n=2时，32419a =⨯+=， n=3时，49312a =+=， n=4时，5212125a =⨯+=， n=5时，625328a =+=.【点睛】本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．如图，在复平面内点P 对应的复数12z i =+，将点P 绕坐标原点O 逆时针旋转6π到点Q ，则点Q 对应的复数2z 的虚部为( )A ．132-B ．31+ C ．132i ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．31i ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意求得点Q 对应的复数2z ，则其虚部可求． 【详解】设P 点对应的向量为OP uuu r，向量OP uuu r 绕坐标原点O 逆时针旋转6π得到OQ uuu r 对应的复数为(2)(cos sin )66i i ππ++3113(2)()(3)(1)22i i i =++=-++， ∴点Q 对应的复数2z 的虚部为312+．故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 8．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为'()f x ，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数'()y xf x =的图像可能是（ ）、A ．B ．C ．D ．【解析】试题分析：函数f （x ）在x =﹣2处取得极小值，所以2x <-时，()0f x '<；2x >-时，()0f x '>.所以2x <-时，()0xf x '>；20x -<<时，()0xf x '<；0x >时，()0xf x '>.选C. 【考点】导数及其应用.9．福彩是利国利民游戏，其刮刮乐之《蓝色奇迹》：如图（1）示例，刮开票面看到最左侧一列四个两位数字为“我的号码”，最上行四个两位数为“中奖号码”，这八个两位数是00至99这一百个数字随机产生的，若两个数字相同即中得其相交线上的奖金，奖金可以累加.小明买的一张《蓝色奇迹》刮刮乐如图（2），除了一个“我的号码”外，他已经刮开票面上其它所有数字，依据目前的信息，小明从这张刮刮乐得到的奖金额高于600元的概率为（无所得税）( )图（1） 图（2）A ．1100B ．150C ．3100D ．125【答案】B【解析】根据题意，获得500，100分别有100种可能，所以中500或者1000的概率为11110010050+=，根据古典概型算出即可． 【详解】根据所刮开数据，小明已经获得了200元，在剩下的数字中，可能获得的100，200，1000，500，获得500，100分别有100种可能，所以中500或者1000的概率为11110010050+=， 所以得到的奖金额高于600元的概率为150， 故选：B ． 【点睛】考查古典概型求概率公式的应用，属于基础题．10．如图圆锥PO ，轴截面PAB 是边长为2的等边三角形，过底面圆心O 作平行于母线PA 的平面，与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其顶点E 的距离为( )A ．1B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】由题可得1OE OC ==，在平面CED 内建立直角坐标系．设抛物线的方程为22(0)y px p =>，可得(1,1)C ，代入解出即可．【详解】过底面圆心O 作平行于母线P A 的平面，与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，PA ⊆平面PAB, 平面PAB 与圆锥的侧面交于OE, 所以OE||PA. 因为OA=OB ，所以OE=1=OC, 因为OP ⊥底面ABC,所以OP ⊥OC, 因为OC ⊥OE,OP,OE ⊆平面PAB,OP∩OE=0, 所以OC ⊥平面PAB,所以OC ⊥OB.在平面CED 内建立直角坐标系．设抛物线的方程为22(0)y px p =>，1(1,1),12,2C p p ∴=∴=Q ， 所以该抛物线的焦点到其顶点E 的距离为1.4故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查空间线面的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．已知A ，B 是半径为3AB 作互相垂直的两个平面,αβ，若球心到,αβ截该球所得两个截面距离平方之和为8，则线段AB 的长度是( ) A ．2 B ．2C ．22D ．4【答案】D【解析】设过AB 作互相垂直的两个平面α、β截该球所得的两个截面圆分别为圆1O ，2O ，半径分别为1r ，2r ，球半径为R ，由已知求得22212OH OO OO =+，再由勾股定理求得线段AB 的长度． 【详解】如图所示：设过AB 作互相垂直的两个平面α、β截该球所得的两个截面圆分别为圆1O ，2O ，半径分别为1r ，2r ，球半径为R ，Q 球心到α，β截该球所得两个截面距离平方之和为8，∴22128OO OO +=，则222128OH OO OO =+=，22222(23)84AB R OH ∴=-=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查了球的性质，把空间问题转化为平面问题是解题的关键，属于基础题． 12．设函数()y f x =由方程到||||14x x y y +=确定，对于函数()f x 给出下列命题： ①对任意12,,x x R ∈12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-恒成立： ②,,a b R ∃∈a b ¹，使得()b f a =且()a f b =同时成立； ③对于任意,x R ∈2()0f x x +>恒成立； ④对任意，12,,x x R ∈12,x x ≠(0,1)t ∈，都有()()[]1212(1)(1)0tf x t f x f tx t x +--+->恒成立.其中正确的命题共有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】分四类情况进行讨论，画出相对应的函数图象，由函数图象判断所给命题的真假性． 【详解】 由方程14x xy y +=知，当x≥0且y≥0时，方程为2 4 x+y2＝1；当x＜0且y＜0时，方程为24x--y2＝1，不成立；当x≥0且y＜0时，方程为24x-y2＝1；当x＜0且y≥0时，方程为24x-+y2＝1；作出函数f（x）的图象如图所示，对于①，f（x）是定义域R上的单调减函数，则对任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有()()1212f x f xx x--＜恒成立，①正确；对于②，假设点（a,b）在第一象限，则点(b,a)也在第一象限，所以22221414abba⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，该方程组没有实数解，所以该情况不可能；假设点（a,b）在第四象限，则点(b,a)在第二象限，所以22221414abba⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，该方程组没有实数解，所以该种情况不可能；同理点（a,b）在第二象限，则点(b,a)在第四象限，也不可能.故该命题是假命题.对于③，由图形知，对于任意x ∈R ，有f （x ）12-＞x ， 即2f （x ）+x ＞0恒成立，③正确； 对于④，不妨令t 12=，则tf （x 1）+（1﹣t ）f （x 2）﹣f [tx 1+（1﹣t ）x 2]＞0为 12()()2f x f x +＞f （122x x+），不是恒成立，所以④错误．综上知，正确的命题序号是①③． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了含有绝对值的函数图象与性质的应用问题，也考查了圆锥曲线的知识与数形结合思想，是中档题．二、填空题13．已知1,e r 2e r 是夹角为60︒的两个单位向量，12,a e e =-u r u u r r 12b e me =+u r u u r r ，若a b ⊥r r 则m =________.【答案】1【解析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的运算法则，求出m 的值． 【详解】∵已知1e u r ，2e u u r是夹角为60°的两个单位向量， ∴1e u r •2e =u u r 1•1•cos60°12=．而 12a e e =-ur u u r r ，12b e me =+u r u u r r ，若a b ⊥r r ，则 a b r r ⋅=（12e e -u r u u r ）•（1e +u r m 2e u u r ）21e =-u r m 22e +u u r m 1221e e e e ⋅-⋅=u r u u r u u r u r 1﹣m﹣0+0＝0， 则m ＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 14．网上购鞋常常看到下面的表格：依据表中脚长与鞋号的对应规律，计算30号童鞋对应的脚长是________mm . 【答案】200【解析】先根据已知求出函数的解析式，把30x =代入求出即得解． 【详解】由题意，脚的长度与鞋号是一次函数关系，设,y kx b =+所以220=34,5,5022535k bk b k b +⎧∴==⎨=+⎩所以函数的解析式为550y x =+， 30x =时，200y mm =，故答案为：200 【点睛】本题主要考查一次函数模型的应用，求出解析式是解题的关键，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．15．己知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和n S ，若3,S 9,S 27S 成等比数列，则93S S =________. 【答案】9【解析】设等差数列的公差为d ，由等比数列的中项性质，结合等差数列的求和公式，化简可得首项和公差的关系式，再由等差数列的求和公式，化简可得所求值． 【详解】设等差数列{}n a 的公差d 不为零，3S ，9S ，27S 成等比数列， 可得29327S S S =，即有2111(936)(33)(27351)a d a d a d +=++， 化为12d a =，则9111311193697293336S a d a a S a d a a ++===++， 故答案为：9 【点睛】本题考查等差数列的求和公式以及等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16．己知函数()ln 2f x m x x =-，若不等式(1)2x f x mx e +>-对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是________. 【答案】(,2]-∞【解析】由题意可得((1))2(1)x m ln x x x e +->+-对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 转化为则2(1)(1)x x e m ln x x +-<+-对任意(0,)x ∈+∞恒成立，再证明2(1)2(1)x x e ln x x+->+-即得解. 【详解】函数()2f x mlnx x =-，若不等式(1)2xf x mx e +>-对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即为(1)2(1)2x mln x x mx e +-+>-对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 即有((1))2(1)x m ln x x x e +->+-对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 设(1)y ln x x =+-，1111x y x x -'=-=++，0x >时，0y '<，函数y 递减，可得(1)0y ln x x =+-<，则2(1)(1)x x e m ln x x +-<+-对任意(0,)x ∈+∞恒成立，下面证明2(1)2(1)x x e ln x x+->+- 因为(1)0ln x x +-<，所以只需证明2222ln(1)2xx e x x +-<+-只需证明2ln(1)2(1)22xx x x e +-+>-当m=2时，只需证明(1)()x f x f e +>， 因为22(1)()2ln 2,()2x f x x x f x x x-'=-∴=-=， 所以函数f(x)在(0,1)单调递增，在(1+)∞，单调递减. 因为x>0，所以x+1>1,e 1x >, 所以只需证明1,xx e +< 因为1x x e +<恒成立，所以2(1)2(1)x x e ln x x+->+-. 则2m …，即m 的范围是(-∞，2]． 故答案为：(-∞，2]． 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，意在考查学生对这些问题的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题．三、解答题17．高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B 、E 、F 为山脚两侧共线的三点，在山顶A 处测得这三点的俯角分别为30︒、60︒、45︒，计划沿直线BF 开通穿山隧道，现已测得BC 、DE 、EF 三段线段的长度分别为3、1、2.（1）求出线段AE 的长度； （2）求出隧道CD 的长度. 【答案】（1）)231+（2）3【解析】（1）由已知在△AEF 中，由正弦定理即可解得AE 的值；（2）由已知可得∠BAE ＝90°，在Rt △ABE 中，可求BE 的值，进而可求CD ＝BE ﹣BC ﹣DE 的值． 【详解】（1）由已知可得EF ＝2，∠F ＝45°，∠EAF ＝60°－45°＝15°， 在△AEF 中，由正弦定理得：AE EFsin F sin EAF=∠∠，即24515AE sin sin =︒︒，解得)231AE =；（2）由已知可得∠BAE ＝180°﹣30°﹣60°＝90°， 在Rt △ABE 中，)2431BE AE ==，所以隧道长度43CD BE BC DE =--=【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．如图，等腰梯形ABCD 中，,AB CD P 1,DA AB BC ===2CD =，E 为CD 中点，将DEA △沿AE 折到1D EA V 的位置.（1）证明：1AE D B ⊥；（2）请你求出在DEA △沿AE 任意折叠过程中所得四棱锥1D ABCE -体积的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）14【解析】（1）在平面图中，连BE ，DB ，设DB 交AE 于F ，证明AE ⊥平面1D FB ，1AE D B ⊥即得证；（2）分析得到要使四棱锥体积最大，则需要平面1D AE 垂直于底面ABCE ，再求四棱锥1D ABCE -体积的最大值. 【详解】（1）在平面图中，连BE ，DB ，设DB 交AE 于F ， 由已知四边形ABED 为菱形，所以AE DB ⊥.于是得出在立体图形中，1,AE D F ⊥,AE BF ⊥1D F BF F =I ，1D F BF ⊆、平面1D FB ，所以AE ⊥平面1D FB ，1D B ⊂平面1D FB ， 故1AE D B ⊥（2）四边形ABCE 是边长为1的菱形，其面积为32；要使四棱锥体积最大，则需要平面1D AE 垂直于底面ABCE ， 此时1D F 为高，132D F =;故四棱锥体积最大值为13313224⨯⨯=.【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据： 年份x20142015201620172018足球特色学校y （百个） 0.300.601.001.401.70（1）根据上表数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y 与x 的线性相关性强弱. （已知：0.75||1r ≤≤，则认为y 与x 线性相关性很强；0.3||0.75r ≤<，则认为y 与x 线性相关性一般；||0.25r ≤，则认为y 与x 线性相关性较）：（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测A 地区2020年足球特色学校的个数（精确到个）.参考公式和数据：()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑()2110,ni i x x =-=∑()211.3,ni i y y =-=∑13 3.6056≈，()()()121ˆ,niii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑ˆˆa y bx=-. 【答案】（1）0.998 ，y 与x 线性相关性很强 （2）ˆ0.36724.76yx =-，244 【解析】（1）根据题意计算出r ，再比较即得解；（2）根据已知求出线性回归方程，再令x=2020即得解. 【详解】（1）由题得2016,x =1y =所以()()niix x y y r --=∑=3.60.9980.73.6056=≈>，∴y 与x 线性相关性很强.（2）()()()51521ˆiii ii x x y y bx x ==--=-∑∑(2)(0.7)(1)(0.4)10.420.741014-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=++++0.36=，ˆˆay bx =-120160.36=-⨯724.76=-， ∴y 关于x 的线性回归方程是ˆ0.36724.76yx =-. 当2020x =时，ˆ0.36724.76yx =- 2.44=， 即该地区2020年足球特色学校有244个. 【点睛】本题主要考查相关系数的应用，考查线性回归方程的求法和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．如图所示，取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志，为美观考虑，要求图中标记的①、②、③）三个区域面积彼此相等.（已知：椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积，即椭圆22221x y a b+=(0)a b >>面积为S ab π=椭圆）（1）求椭圆的离心率的值；（2）已知外椭圆长轴长为6，用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切，移动角尺绕外椭圆一周，得到由点M 生成的轨迹将两椭圆围起来，整个标志完成.请你建立合适的坐标系，求出点M 的轨迹方程. 【答案】（16（2）2212x y +=【解析】（1）建立如图平面直角坐标系,由对称性只需=3S S 外内，所以23bab b aππ=，化简即得椭圆的离心率的值；（2）同（1）建立如图平面直角坐标系，先求出外椭圆方程为22193x y +=，设点()00,M x y ，根据直线和椭圆相切得到2020319y x -=--，即得点M 的轨迹方程. 【详解】（1）建立如图平面直角坐标系,设外椭圆的方程为22221x y a b +=()0a b >>，因为内外椭圆有相同的离心率且共轴，所以内椭圆的方程为224221y x b b a +=. 图中标记的①、②、③三个区域面积彼此相等，由对称性只需=3S S 外内，即23b ab b aππ=223a b ∴=即()2223a a c =-所以6e . （2）同（1）建立如图平面直角坐标系，由于外椭圆长轴为6， 所以3a =，6e ，所以6c =23b =. 所以外椭圆方程为22193x y +=.设点()00,M x y ，切线方程为()00y y k x x -=-代入椭圆方程得：()()()222000013639k xk y kx x y kx ++-+--0=[Q 直线和椭圆相切()()()222200003641339k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--⎣∴⎦0=化简得()2200009230x k x y k y --+-=因为两条切线互相垂直，所以121k k =-，即2020319y x -=--， 即()22000123x y x +=≠±当两切线与坐标轴垂直时，四点()3,3,±()3,3-±也满足方程， 所以轨迹方程为2212x y +=.【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 21．已知a R ∈，函数2()x f x e ax =+.（1）()f x '是函数数()f x 的导函数，记()()g x f x '=，若()g x 在区间(,1]-∞上为单调函数，求实数a 的取值范围；（2）设实数0a >，求证：对任意实数12,x x ()12x x ≠，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立.附：简单复合函数求导法则为[()]()f ax b af ax b ''+=+. 【答案】（1）[),0,2e ⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U（2）证明见解析【解析】（1）由题得()2xg x e ax =+，再对a 分两种情况讨论结合导数得解；（2）不妨设12x x <，取1x 为自变量构造函数()()()1212122f x f x x x F x f ++⎛⎫=-⎪⎝⎭，再证明()10F x '>，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭即证得.【详解】（1）由已知得()2xf x e ax '=+，记()2xg x e ax =+，则()2xg x e a '=+.①若0a ≥，()0g x '>，()g x 在定义域上单调递增，符合题意； ②若0a <，令()0g x '=解得()ln 2x a =-，()g x '自身单调递增， 要使导函数()g x 在区间(],1-∞上为单调函数， 则需()ln 21a -≥，解得2e a ≤-， 此时导函数()g x 在区间(],1-∞上为单调递减函数.综合①②得使导函数()f x '在区间(],1-∞上为单调函数的a 的取值范围是[),0,2e ⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U . （2）因为12x x ≠，不妨设12x x <，取1x 为自变量构造函数，()()()1212122f x f x x x F x f ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其导数为()()11211222f x x x F x f '+⎛⎫''=- ⎪⎝⎭()121122x x f f x ⎡+⎤⎛⎫''=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦0a >Q ()2xf x e ax ∴'=+在R 上单调递增而且12211022x x x xx +--=>， 所以()1212x x f f x +⎛⎫''> ⎪⎝⎭， 即()10F x '>.故关于1x 的函数()1F x 单调递增，()()120F x F x <=即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭证得. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22．在极坐标系中，已知曲线1C 的方程为6sin ρθ=，曲线2C 的方程为sin()13πρθ+=．以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ．（1）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；（2）若曲线2C 与y 轴相交于点P ，与曲线1C 相交于A ，B 两点，求11PA PB+的值． 【答案】（1）曲线1C 的直角坐标方程为()2239x y +-=；曲线2C的直角坐标方程为20y +-=；（2）8. 【解析】（1）根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=即可化简两个极坐标方程，从而得到所求直角坐标方程；（2）根据2C 的直角坐标方程可得其参数方程的标准形式，代入1C 的直角坐标方程中，利用t 的几何意义，将所求问题变为求解2112t t t t -，根据韦达定理得到结果. 【详解】（1）由6sin ρθ=，得26sin ρρθ=∴曲线1C 的直角坐标方程为()2239x y +-=由sin 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得11sin cos sin cos 12222ρθθρθρθ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭ ∴曲线2C20y +-=（2）由（1）知曲线2C 为直线，倾斜角为23π，点P 的直角坐标为()0,2 ∴直线2C的参数方程为1222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入曲线()221:39C x y +-=中，并整理得280t -=设,A B 对应的参数分别为12,t t，则12t t +=，128t t =- 12128PA PB t t t t ∴===2121PA PB t t t t +=+===-11PA PB PA PB PA PB +∴+==【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、利用直线参数方程的几何意义求解线段之和或积的问题.解题关键是明确直线参数方程标准形式中t 所具有的几何意义，从而可利用韦达定理来解决. 23． 已知函数().f x x a x a =-++（Ⅰ）当2a =时，解不等式()6f x >；（Ⅱ）若关于x 的不等式()21f x a <-有解，求实数a 的取值范围 【答案】（Ⅰ）()(),33,.-∞-⋃+∞（Ⅱ）((),11.-∞-⋃+∞【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义，将不等式转化为三个不等式组，分别求解，最后求它们的并集，（2）不等式有解问题，一般转化为对应函数最值问题，即()f x 最小值小于21a -，根据绝对值三角不等式得()f x 最小值为2a ，最后解不等式221a a <-即得实数a 的取值范围试题解析：解：（Ⅰ）当2a =时，()2,222{4,222,2x x f x x x x x x >=-++=-≤≤-<-.当2x >时,可得26x >,解得3x >；当22x -≤≤时，因为46>不成立，故此时无解；当2x <-时，由26x ->得，3x <-，故此时3x <-；综上所述，不等式()6f x >的解集为()(),33,.-∞-⋃+∞ （Ⅱ）因为()2f x x a x a x a x a a =-++≥---=，要使关于x 的不等式()21f x a <-有解，只需221a a <-成立即可.当0a ≥时,221a a <-即221a a <-，解得1a >1a <； 当0a <时，221a a <-，即221a a -<-，解得1a >-，或1a <--所以的取值范围为((),11.-∞-⋃+∞。
2020届辽宁省大连市普通高中高三下学期一模考试数学(理)试题及解析
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
先根据抛物线定义可得到 点的横坐标，再代入抛物线方程即可.
【详解】设 ，
因为点 到焦点 距离为5即 ,
根据抛物线定义： ，
解得： ，
代入抛物线方程 ，
得 即
故选：C
7.设非零向量 ， 则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
（Ⅰ）写出频率分布直方图（高一）中 的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为 ， ，试比较 ， 的大小（只要求写出结论）；
（Ⅱ）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率；
（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间 服从正态分布 ．其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设 表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于 的人数，求 的数学期望．
【详解】因为对任意的 恒有 成立，
所以有： ，
又因为当 时， ，
所以 ，
所以
故答案为：
16.如图，在正方体 中，点 为线段 的中点，设点 在线段 上二面角 的平面角为 ，用图中字母表示角 为__________， 的最小值是__________．
【答案】 (1). (2).
2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x≥1}，则A∩B=()A. {x|−1≤x≤1}B. {x|x≥−1}C. {x|x>2}D. {x|1≤x<2}2.已知复数z满足(z−1)i=1+i，则z=()．A. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i3.若f(x)是R上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，则下列各式成立的是()A. f(−2)>f(0)>f(1)B. f(−2)>f(1)>f(0)C. f(1)>f(0)>f(−2)D. f(1)>f(−2)>f(0)4.等差数列{a n}的前11项和S11=88，则a3+a9=()A. 8B. 16C. 24D. 325.如图是2020年1月到10月的某公司利润(单位：千元)的折线图，利润在35千元以下为亏损，在35∼75千元为盈利，超过75千元可投资扩大生产，则下列说法错误的是()A. 这10个月中利润最低的是1月份B. 从1月份到6月份利润逐渐升高C. 这10个月中有2个月可投资扩大生产D. 这10个月中利润的中位数是436.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是()A. (6,6√2)或(6,−6√2)B. (4,4√3)或(4,−4√3)C. (3,6)或(3,−6)D. (9,6√3)或(9,−6√3)7.已知向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(2,m)，则“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数f(x)=−sin(ωx +φ)(|φ|<π,ω>0)的部分图象如图所示，则φ=( )A. π3 B. −π3 C. −2π3 D. π3或−2π39. 已知数列{a n }的前项和S n =2n 2+1,n ∈N ∗，则a 5−a 1=( )A. 13B. 14C. 15D. 1610. 已知m >2，n >0，m +n =3，则1m−2+1n 的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 611. 下列命题正确的是( )①如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合； ②若③如果直线a,b 和平面α满足④若a //α,a //β,且a ⊄α,a ⊄β, 则α //β.A. ①③B. ②④C. ③D. ① ④12. 已知P (AB )=310，P (A )=35，则P (B|A )等于( )A. 950B. 12C. 910D. 14二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x ，y 满足约束条件，则z =2x +y 的最大值为________．14. 设双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率是3，则其渐近线的方程为______．15. 已知函数f(x)={log 3x,x >02x,x ≤0，则f(f(19))=_________．16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，二面角A−D1C1−C的值为_______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=cosxcos(x−π3)−14,x∈R．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，求a的值．18.在全国第五个“扶贫日”到来之前，某省开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．A镇有基层干部60人，B镇有基层干部60人，C镇有基层干部80人，每人都走访了若干贫困户，按照分层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55]，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求这40人中有多少人来自C镇，并估计A，B，C三镇的基层干部平均每人走访多少贫困户；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从A，B，C三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为X，求X的分布列及数学期望．19.如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2正方形．(Ⅰ)求侧视图的面积；(Ⅱ)求直线AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F，且|OA|=|OF|，其中O为原点．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．21. 已知函数f (x )=2x −sinx −cosx ．(Ⅰ)求曲线y =f (x )在x =0处的切线方程；(Ⅱ)当x ∈[−π,π]时，求函数f (x )的值域．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(2+cosα,sinα)(α为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． (1)求点P 的轨迹C 的方程及直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．23.已知函数f(x)=|2x+1|(x∈R)．(1)解不等式f(x)≤1；(2)设函数g(x)=f(x)+f(x−1)的最小值为m，且a+b=m(a,b>0)，求4a +1b的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x≥1}，∴A∩B={x|1≤x<2}．故选：D．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：本题考查复数的四则运算，属于基础题．根据复数的四则运算计算即可．+1=2−i，由已知得z=1+ii故选C．3.答案：B解析：∵f(x)是R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，∵f(−2)=f(2))，且2>1>0，∴f(2)> f(1)>f(0)，即f(−2)>f(1)>f(0)．4.答案：B解析：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的求和，属于基础题．根据等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可．解：∵等差数列{a n}的前11项和S11=88，=88，∴S11=11(a1+a11)2∴a1+a11=16，根据等差数列性质：a3+a9=a1+a11=16．故选B．5.答案：B解析：本题主要考查了统计中折线图的应用，属于基础题．根据折线图中的数据判断A、B、C；由给出的数值和中位数的概念判断D．解：根据折线图知，这10个月中利润最低的是1月份的30千元，所以A正确；从1月到6月的利润是先升高后降低，再升高，所以B错误；这10个月中第6个月和第7个月利润超过75千元，可投资扩大生产，所以C正确；×(41+45)=这10个月中利润从小到大排列为：30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，其中中位数是1243，所以D正确．故选B．6.答案：A解析：解：∵抛物线方程为y2=12x，∴抛物线的焦点为F(3,0)，准线方程为x=−3．设所求点为P(m,n)，∵P到焦点F的距离为9，P到准线的距离为m+3，∴根据抛物线的定义，得m+3=9，解得m=6，将点P(6,n)代入抛物线方程，得n2=12×6=72，解之得n=±6√2，∴满足条件的点的坐标为(6,±6√2).故选A．求出抛物线焦点为F(3,0)，准线方程为x=−3.设所求点为P(m,n)，根据题意利用抛物线的定义建立关于m的等式，解出m的值后利用抛物线的方程求出n的值，即可得到满足条件的点P的坐标．本题求抛物线上满足指定条件的点P的坐标，着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．7.答案：B解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，可得b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m，即可判断出结论．解：a⃗+b⃗ =(1,3+m)，∵b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，∴b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m=−1或−2，∴“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的充分不必要条件．故选：B．8.答案：C解析：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．由函数f(x)的部分图象，即可求得T、ω和φ的值．解：由函数f(x)=−sin(ωx+φ)的部分图象知，T=4×(7π12−π3)=π，又ω>0，∴ω=2πT=2，当x=7π12时，f(7π12)=−sin(2×7π12+φ)=−1，即7π6+φ=π2+2kπ，，解得φ=−2π3+2kπ，，又|φ|<π，∴φ=−2π3．故选C．9.答案：C解析：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n ={S1,n =1S n −S n−1,n ≥2的灵活运用． 根据数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+1(n ∈N ∗)，由a n ={S1,n =1S n −S n−1,n ≥2能够求出a 5和a 1的值．解：a 5=S 5−S 4=(2×25+1)−(2×16+1)=18． a 1=S 1=3，所以a 5−a 1=18−3=15 故选C ．10.答案：B解析：本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 利用“乘1法”进行转化，然后利用基本不等式求最值． 解：因为m >2，n >0，m +n =3， 所以m −2+n =1，m −2>0，则1m−2+1n =(1m−2+1n )(m −2+n)=2+nm−2+m−2n ≥2+2=4，当且仅当nm−2=m−2n且m +n =3，即m =52，n =12时取等号，故选：B ．11.答案：C解析：本题主要考查空间平面与直线的位置关系和命题的真假判断，属于基础题． 解：①如果两个平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合；故错误； ②若α与β相交时，a ，b 可能相交，可能平行，可能重合，可能异面，故错误； ③如果直线a,b 和平面α，满足正确；④若a //α,a //β,且a ⊄α,a ⊄β,则α //β或相交；故错误； 故选C ．12.答案：B解析：本题主要考查了条件概率的求法，属于基础题． 利用P(B|A)=P(AB)P(A)进行求解即可．解：P(AB)=310，P(A)=35， 则P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=12． 故选B ．13.答案：10解析：本题考查线性规划求最值，属较易题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 解：作出可行域，化目标函数z =2x +y 为y =−2x +z ，当直线z =2x +y 经过可行域内的点A 时，z 取得最大值． 由{x +y =4y =−2解得{x =6y =−2，即A(6,−2)，故z max =2×6−2=10． 故答案为10．14.答案：x ±2√2y =0解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属基础题． 利用双曲线的离心率，先求出a ，b 的关系式，然后求渐近线方程． 解：双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率是3，可得 ca =3， 则 ab =√a 2c 2−a 2=√1c 2a 2−1=12√2． 则其渐近线的方程为y =±ab x 即x ±2√2y =0． 故答案为：x ±2√2y =0．15.答案：14解析：本题考查了分段函数和函数求值，先求内函数则f(19)的值，然后再依次求出其外函数f[f(19)]的函数值，注意函数自变量的取值范围，属于基础题． 解：∵19>0，，由已知得：；∵−2<0， ∴f(x)=2x ,x ≤0； ∴f[f(19)]=2−2=14． 故答案为14．16.答案：解析：本题主要考查了二面角，考查了利用空间向量求夹角问题，属于基础题； 如图，连接AD 1，BC 1，得到∠BC 1C 为二面角A −D 1C 1−C 的平面角，即可得解． 解：如图，连接AD 1，BC 1，因为正方体ABCD−A1B1C1D1中，，C1C,C1B⊂平面BCC1B1，所以D1C1⊥C1C，D1C1⊥C1B，则∠BC1C为二面角A−D1C1−C的平面角，等于；故答案为．17.答案：解：，由，解得，所以函数f(x)的单调递增区间．，又因为A∈(0,π)，所以，所以，所以，又，，所以b=√32由余弦定理得，所以a=√7．2解析：本题主要考查两角和与差的三角函数公式，余弦定理，属于中档题．(1)利用两角和与差的三角函数公式化简得，再根据正弦函数性质即可；(2)由，解得，再根据，解得b ，再根据余弦定理即可．18.答案：解：(1)利用分层抽样可得：这40人中有40×80200=16人来自C 镇，∵x −=10×0.15+20×0.25+30×0.3+40×0.2+50×0.1=28.5， ∴估计三镇基层干部平均每人走访28.5家贫困户．(2)由频率直方图可得：从三镇的所有基层干部中随机选取1人，其工作出色的概率为0.3+0.2+0.1=35，记这3人中工作出色的人数为X ，则X ～B(3,35)，P(X =k)=C 3k(35)k (25)3−k ，k =0，1，2，3，∴X 的分布列为： X 0 1 2 3 P8125361255412527125∴数学期望EX =3×35=95．解析：本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望、频率分布直方图的应用，考查了计算能力，属于中档题．(1)利用分层抽样可得：这40人中有40×80200=16人来自C 镇，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，进而得出x −．(2)由频率直方图可得：从三镇的所有基层干部中随机选取1人，其工作出色的概率为35，记这3人中工作出色的人数为X ，则X ～B(3,35)，即可得出P(X =k)=C 3k(35)k (25)3−k ，k =0，1，2，3，及其数学期望EX ．19.答案：解：(Ⅰ)∵三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，作出等边三角形的高后，组成直角三角形，底边的一半为1， ∴等边三角形的高为√3，由题意知左视图是一个高为2，宽为√3的矩形，∴左视图的面积为2√3；(Ⅱ)取BC 的中点O ，连接AO ，OC 1，则∠AC 1O 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成角．∵AO =√3，AC 1=2√2， ∴sin∠AC 1O =AO AC 1=√32√2=√64．解析：(Ⅰ)分析得等边三角形的高，那么侧视图的面积=等边三角形的高×侧棱长，把相关数值代入即可求解；(Ⅱ)取BC 的中点O ，连接AO ，OC 1，则∠AC 1O 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成角．本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．20.答案：解：(Ⅰ)由已知可得b =3，记半焦距为c ，由|OF|=|OA|可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18， ∴椭圆的方程为 x 218+y 29=1，(Ⅱ)：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3， 由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得(2k 2+1)x 2−12kx =0，解得x =0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为(12k2k 2+1,6k 2−32k 2+1)，∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,−3)， ∴点P 的坐标为(6 k2k 2+1,−32k 2+1)，由3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ，∴k ⋅32k 2−6k+1=−1， 整理可得2k 2−3k +1=0， 解得k =12或k =1，∴直线AB 的方程为y =12x −3或y =x −3．解析：本题中考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．(Ⅰ)根据题意可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18，即可求出椭圆方程；(Ⅱ)根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3，联立方程组，求出点B 的坐标，再根据中点坐标公式可得点P 的坐标，根据向量的知识求出点C 的坐标，即可求出CP 的斜率，根据直线垂直即可求出k 的值，可得直线AB 的方程．21.答案：解：(Ⅰ)由f (x )=2x −sinx −cosx 得f′(x )=2−cosx +sinx ，所以，f (0)=−1，f′(0)=1．所以曲线y =f (x )在x =0处的切线方程为y +1=x ，即y =x −1； (Ⅱ)因为f′(x )=2+√2sin (x −π4)>0， 所以函数y =f (x )在[−π,π]为增函数，故有f (−π)≤f (x )≤f (π)，即1−2π≤f (x )≤1+2π． 因此，当x ∈[−π,π]时，函数y =f (x )的值域为[1−2π,1+2π]．解析：本题考查了导数的几何意义和利用导数研究闭区间上函数的最值，是基础题． (Ⅰ)先求导，代入切点横坐标可得切线斜率，即可得出切线方程；(Ⅱ)由f′(x )=2+√2sin (x −π4)>0，所以函数y =f (x )在[−π,π]为增函数，可得函数f (x )的值域． 22.答案：解：(1)设点P(x,y)，所以{x =2+cosαy =sinα,(α为参数)， 消去参数，得(x −2)2+y 2=1，即P点的轨迹C的方程为(x−2)2+y2=1直线l：ρsin(θ+π4)=2√2，展开得：ρcosθ+ρsinθ=4⇒x+y=4，所以直线l的直角坐标方程为x+y−4=0．(2)由(1)，可知P点的轨迹C是圆心为(2,0)，半径为1的圆，则圆心C到直线l的距离为d=√2=√2>r=1．所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为√2+1．解析：(1)利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．23.答案：解：(1)f(x)≤1，即|2x+1|≤1,−1≤2x+1≤1，解得x∈[−1,0]，∴不等式f(x)≤1的解集为[−1,0]；(2)g(x)=f(x)+f(x−1)=|2x+1|+|2x−1|≥|2x+1−(2x−1)|=2，∴a+b=2(a,b>0)，∴4a +1b=12(a+b)(4a+1b)=12(5+4ba+ab)≥12(5+2√4ba⋅ab)=92，当且仅当4ba =ab(a,b>0)，即a=2b，又a+b=2，即a=43,b=23时等号成立，综上：4a +1b的范围为[92,+∞)．解析：本题考查了绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式以及基本不等式求最值，属中档题．(1)去掉绝对值可解得；(2)先根据绝对值不等式求出g(x)的最小值，然后根据基本不等式求出最小值，从而得值域．。
2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷(文科)(含答案解析)
2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，0，1，2，，则集合为A. 0，1，B. 0，1，C. 0，1，2，D. 0，1，2，2.若复数z满足，则z的虚部为A. B. C. i D. 13.下列函数中是偶函数，且在是增函数的是A. B. C. D.4.设为等差数列的前n项和，若，则的值为A. 14B. 28C. 36D. 485.是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即日均值在以下空气质量为一级，在空气质量为二级，超过为超标．如图是某地12月1日至10日的单位：的日均值，则下列说法正确的是A. 10天中日均值最低的是12月3日B. 从1日到6日日均值逐渐升高C. 这10天中恰有5天空气质量不超标D. 这10天中日均值的中位数是436.已知抛物线上点在第一象限到焦点F距离为5，则点B坐标为A. B. C. D.7.设，是非零向量，则“”是“的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件8.如图是函数的部分图象，则，的值分别为A. 1，B.C.D.9.设数列的前n项和为若，，，则值为A. 363B. 121C. 80D. 4010.已知，，，则的最小值为A. B. C. 2 D. 411.已知a，b是两条直线，，，是三个平面，则下列命题正确的是A. 若，，，则B. 若，，则C. 若，，，则D. 若，，则12.某人5次上班途中所花的时间单位：分钟分别为x，y，10，11，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足约束条件则的最大值为______．14.已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为______．15.定义在上的函数满足下列两个条件：对任意的恒有成立；当时，则的值是______．16.已知矩形ABCD中，点，，沿对角线BD折叠成空间四边形ABCD，则空间四边形ABCD的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设函数Ⅰ求的单调递增区间；Ⅱ在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，求b．18.某中学高三班有学生50人，现调查该班学生每周平均体育锻炼时间的情况，得到如图频率分布直方图，其中数据的分组区间为：，，，，，．Ⅰ从每周平均体育锻炼时间在的学生中，随机抽取2人进行调查，求这2人的每周平均体育锻炼时间都超过2小时的概率；Ⅱ现全班学生中有是女生，其中3个女生的每周平均体育锻炼时间不超过4小时，若每周平均体育锻炼时间超过4小时称为经常锻炼，问：有没有的把握说明，经常锻炼与否与性别有关？附：19.如图所示，三棱柱中，侧面为菱形，，A在侧面上的投影恰为的中点O，E为AB的中点．证明：平面；若AC与平面所成角为，且，求E到平面的距离．20.已知过点的曲线C的方程为．Ⅰ求曲线C的标准方程：Ⅱ已知点，A为直线上任意一点，过F作AF的垂线交曲线C于点B，D．证明：OA平分线段其中O为坐标原点；求最大值．21.已知函数，曲线在函数零点处的切线方程为．Ⅰ求k，b的值；Ⅱ当时，若有成立，求证：．22.在直角坐标系xOy中，已知点，，动点满足直线AM与BM的斜率之积为记M的轨迹为曲线以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为．Ⅰ求C和l的直角坐标方程；Ⅱ求C上的点到1距离的最小值．23.已知函数，，．Ⅰ当时，有，求实数m的取值范围．Ⅱ若不等式的解集为，正数a，b满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合，0，1，2，，集合0，1，．故选：B．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：复数z满足，，，，则z的虚部为．故选：A．利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出．本题考查了共轭复数的定义、复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：A解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，，其定义域为，关于原点对称，有，是偶函数，且在上，，为增函数，符合题意，对于B，，是余弦函数，在上不是单调函数，不符合题意；对于C，，为二次函数，在上是单调减函数，不符合题意；对于D，，为奇函数，不符合题意；故选：A．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，注意常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4.答案：D解析：解：为等差数列的前n项和，，．故选：D．可得，由此能求出结果．本题考查等差数列的求和，等差数列的性质，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：D解析：【分析】本题考查折线图，中位数，属于基础题．由折线图逐一分析数据，即可得到结果．【解答】解：由折线图可知，10天中日均值最低的是12月1日，故A错误；因为2日到3日是下降的，故B错误；因为10天中有8天空气质量不超标，故C错误；由数据分析可得日均值的中位数是43，故D正确，故选：D．6.答案：C解析：解：设，由抛物线的方程可得准线方程为：，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，所以，代入抛物线的方程可得，由B在第一象限，所以，即B的坐标，故选：C．由抛物线的方程可得准线方程，再由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，可得B的横坐标，代入抛物线的方程可得纵坐标．本题考查抛物线的性质，属于基础题．7.答案：C解析：解：若“，则平方得，即，得，即，则“”是“的充要条件，故选：C．根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的应用利用平方法是解决本题的关键．8.答案：D解析：解：由函数图象可知，，时，函数取得最大值2，可得：，可得：，即，，，．故选：D．结合函数的图象，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，属于基础题．解析：解：数列的前n项和为若，，，可得，，，，则．故选：B．通过数列的递推关系式求出数列的前5项，然后求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．10.答案：D解析：解：，，当且仅当时等号成立，的最小值为4．故选：D．根据，可以得到，展开后再运用基本不等式可求得最小值．本题主要考查基本不等式的应用．在基本不等式中要注意1的灵活运用，属于基础题．11.答案：C解析：解：若，，，则，不正确，可能相交；B.若，，则或，因此不正确；C.若，，，则，正确；证明：设，，取，过点P分别作，，则，，，，又，．D.若，，则或．故选：C．A.由于，或相交，即可判断出正误；B.由已知可得或，即可判断出正误；C.正确，利用线面面面垂直的判定与性质定理即可判断出正误；D.由已知可得或，即可判断出正误．本题考查了直线面面面垂直与平行的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.答案：D解析：解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：，，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出，设，，由得；，由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出，利用换元法来解出结果．本题是一个平均数和方差的综合题，根据所给的平均数和方差，代入方差的公式进行整理，本题是一个基础题，可以作为选择和填空出现．13.答案：4解析：解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得．由图可知，使目标函数取得最大值最大值的最优解为点A的坐标，的最大值为：4．故答案为：4．由约束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数的最优解，代入坐标求得的最小值．本题考查了简单的线性规划，体现了数形结合的解题思想方法，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．14.答案：解析：解：双曲线的渐近线方程为，可得，则，所以双曲线的离心率为：．故答案为：．利用双曲线的渐近线方程，得到a，b的关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．15.答案：2解析：解：定义在上的函数满足下列两个条件：对任意的恒有成立；当时，．．故答案为：2．直接根据定义把转化到用来表示即可求解．本题主要考查抽象函数的求值，属于基础题．16.答案：解析：解：因为将矩形ABCD中，沿对角线BD折叠成空间四边形ABCD后，始终满足：，，且BD是公共斜边，所以BD的中点O到A，B，C，D的距离相等，所以O就是外接球的球心，所以半径，空间四边形ABCD的外接球的表面积．故答案为：．因为折起来后，得到的空间四边形始终满足，，且BD是公共斜边，所以BD 的中点O到A，B，C，D的距离相等，则O即为外接球的球心．问题可解．本题考查球的性质和球的表面积的计算．抓住球心到球面上任意一点的距离相等，找到球心O是本题的关键．属于基础题．17.答案：解：．由，解得：，的单调递增区间为：．Ⅱ由，可得，B为锐角，．又，，由余弦定理可得：，解得．解析：利用倍角公式、诱导公式可得：再利用正弦函数的单调性可得：的单调递增区间．Ⅱ由，可得，B为锐角，可得B再利用余弦定理即可得出．本题考查了倍角公式、诱导公式、正弦函数的单调性、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ由已知，锻炼时间在，中的人数分别是人，人，分别记中的2人为，，中的3人为，，，则随机抽取2人调查的所有基本事件空间为：，，，，，，，，，，共10个，这2人的每周平均体育锻炼时间都超过2小时的概率为．Ⅱ由已知可知，不超过4小时的人数为人，其中女生有3人，男生有2人，经常锻炼的女生有人，男生有人，补充完整的列联表如下所示，男生女生合计经常锻炼 28 17 45不经常锻炼 2 3 5合计 30 20 50，故没有的把握说明经常锻炼与否与性别有关．解析：Ⅰ由频率分布直方图中的数据先分别算出锻炼时间在，中的人数，并分别记为，和，，，然后用列举法得出随机抽取2人调查的所有基本事件空间数，最后用古典概型求概率即可；Ⅱ不超过4小时的人数为人，其中女生有3人，男生有2人，所以经常锻炼的女生有人，男生有人，然后补充完整列联表，并根据的公式计算出其观测值，并与附表中的临界值进行对比即可作出判断．本题考查古典概型求概率、独立性检验，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．19.答案：解：证明：连接，，因为O，E分别是，AB的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为平面，所以．因为，，所以，，，．设O到平面的距离为d，因为，．，．平面，E到平面的距离为．解析：根据中位线定理，只需证出OE与平面内的直线平行即可；等积法，利用将所求的距离转化为O到平面的距离即可．本题考查空间距离的计算和线面平行的判定，利用等积法求空间距离是考查此类问题的常见思路．同时强调转化思想在立体几何证明中的应用．属于中档题．20.答案：解Ⅰ将P的坐标代入方程可得：，所以由椭圆的定义可知，曲线C的轨迹为以，为焦点，以长半轴为2的椭圆，所以曲线C的标准方程为：；Ⅱ设，，BD的中点坐标，由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，所以设直线BD的方程为：，则直线AF的方程为：，A在直线上，所以，即，将直线BD与椭圆联立，整理可得，所以，，所以，所以中点，因为，所以OA平分线段BD；，，所以，令，所以，当且仅当时取等号，所以最大值为1．解析：Ⅰ将P的坐标代入可得a的值，由题意的定义可得曲线C的轨迹为椭圆，且可知焦点坐标即长半轴长，进而求出曲线C的标准方程；Ⅱ设B，D的坐标，由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，设直线BD的方程，由题意可得直线AF的方程，将直线BD的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出BD的中点M坐标，求出直线OM的斜率，及直线OA的斜率，可得两个斜率相等可证得OA平分线段BD；求出，，进而求出的表达式，换元由均值不等式可得其最大值．本题考查求轨迹方程及直线与椭圆的综合，及弦长公式和均值不等式的应用，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ，定义域为R，则，，在R上为减函数，，，由零点存在性定理可知，在上必存在，使得，且当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，，故至多有两个零点，又，，故，是的两个零点，由，，易得两切线方程为或，或．Ⅱ证明：由Ⅰ易知，，设，，，在R上为增函数，，当时，，即在上为减函数，当时，，即在上为增函数，，即，，得证．解析：Ⅰ求导得，，进而可知存在，使得，且在上单调递增，在上单调递减，进一步可得，是的两个零点，再求得，，由此求得所求切线方程；Ⅱ先构造函数，，，可知，可证．本题考查导数的综合运用，考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化思想，考查逻辑推理能力及运算能力，属于难题．22.答案：解：Ⅰ已知点，，动点满足直线AM与BM的斜率之积为．整理得，化简得：．直线1的极坐标方程为转换为直角坐标方程为．Ⅱ把方程转换为为参数，且．所以点到直线的距离，当，所以．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：由题意得：在上恒成立，恒成立，即又，即令，若，则解集为，不合题意；若，则有，即又解集为，，解得当且仅当，即时，等号成立，此时，时的最小值为7解析：利用绝对值三角不等式性质利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解．本题考查绝对值三角不等式，以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题。
2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷和答案(理科)
2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B为（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} 2．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2，则z的虚部为（）A．﹣1B．﹣i C．i D．13．（5分）下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（）A．y＝ln|x|B．y＝cosx C．y＝﹣x2D．y＝x3 4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a5＝12，则S8的值为（）A．14B．28C．36D．485．（5分）PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35～75μg/m3空气质量为二级，超过75μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日的PM2.5（单位：μg/m3）的日均值，则下列说法正确的是（）A．10天中PM2.5日均值最低的是1月3日B．从1日到6日PM2.5日均值逐渐升高C．这10天中恰有5天空气质量不超标D．这10天中PM2.5 日均值的中位数是436．（5分）已知抛物线y2＝4x上点B（在第一象限）到焦点F距离为5，则点B坐标为（）A．（1，1）B．（2，3）C．（4，4）D．7．（5分）设，是非零向量，则“⊥”是“|+2|＝|﹣2|的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件8．（5分）如图是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，则ω，φ的值分别为（）A．1，B．C．D．9．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n．若a1＝1，a n+1＝2S n+1，n∈N*，则S5值为（）A．363B．121C．80D．4010．（5分）已知a＞0，b＞0，，则a+b的最小值为（）A．B．C．2D．411．（5分）已知a，b是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βB．若α⊥β，a⊥α，则a∥βC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥αD．若α∥β，a∥α，则a∥β12．（5分）《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件A＝“两卦的六根线中恰有两根阳线”，B＝“有一卦恰有一根阳线”，则P（A|B）＝（）A．B．C．D．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．（5分）已知x，y满足约束条件则z＝x+y的最大值为．14．（5分）双曲线的一条渐近线的方程为y＝x，则该双曲线的离心率e＝．15．（5分）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x．则f（6）的值是．16．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD 的中点．设点P在线段CC1上，二面角A1﹣BD﹣P的平面角为α，用图中字母表示角α为，sinα的最小值是．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设函数f（x）＝2sinxcosx﹣2cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝0，a＝1，c＝1，求b．18．（12分）某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（高一）中a的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为s12，s22，试比较s12，s22的大小（只要求写出结论）；（Ⅱ）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于（14.55，38.45）的人数，求X的数学期望．注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得s2＝≈11.95；②若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜z＜μ+2σ）＝0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，A在侧面BB1C1C上的投影恰为B1C的中点O，E为AB的中点．（Ⅰ）证明：OE∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若，在线段C1A1上是否存在点F （F不与（C1，A1重合）使得直线EF与平面ACC1A1成角的正弦值为．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．（12分）已知过点的曲线C的方程为．（Ⅰ）求曲线C的标准方程：（Ⅱ）已知点F（1，0），A为直线x＝4上任意一点，过F作AF 的垂线交曲线C于点B，D．（i）证明：OA平分线段BD（其中O为坐标原点）；（ii）求最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝2sinx﹣x2+2πx﹣a．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）零点处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：a．四、请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣4．记M的轨迹为曲线C．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．（Ⅰ）求C和l的直角坐标方程；（Ⅱ）求C上的点到1距离的最小值．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，g（x）＝|x+3|．（Ⅰ）当x∈R时，有f（x）≤g（x），求实数m的取值范围．（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集为[1，3]，正数a，b满足ab﹣2a﹣b＝3m﹣1，求a+b的最小值．2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）答案与解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：B．2．【分析】利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵复数z满足（1+i）z＝2，∴（1﹣i）（1+i）z＝2（1﹣i），∴2z＝2（1﹣i），∴z＝1﹣i，则z的虚部为﹣1．故选：A．3．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，有f（﹣x）＝ln|x|＝f（x），是偶函数，且在（0，+∞）上，f（x）＝lnx，为增函数，符合题意，对于B，y＝cosx，是余弦函数，在（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝﹣x2，为二次函数，在（0，+∞）上是单调减函数，不符合题意；对于D，y＝x3，为奇函数，不符合题意；故选：A．4．【分析】由等差数列的性质得S8＝＝，由此能求出结果．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝12，∴S8＝＝＝4×12＝48．故选：D．5．【分析】由折线图逐一分析数据，找出特例可判断，找出结果．【解答】解：由折线图可知A错，因为10天中PM2.5日均值最低的是12月1日；B错，因为2日到3日是下降的；C错，因为10天中有8天空气质量不超标；由数据分析可得日均值的中位数是43，故选：D．6．【分析】由抛物线的方程可得准线方程，再由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，可得B的横坐标，代入抛物线的方程可得纵坐标．【解答】解：设B（x，y），由抛物线的方程可得准线方程为：x ＝﹣1，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离x+1＝5，所以x＝4，代入抛物线的方程可得y＝±4，由B在第一象限，所以y＝4，即B的坐标（4，4），故选：C．7．【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“|+2|＝|﹣2|，则平方得||2+4||2+4•＝||2+4||2﹣4•，即4•＝﹣4•，得•＝0，即⊥，则“⊥”是“|+2|＝|﹣2|的充要条件，故选：C．8．【分析】结合函数的图象，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值．【解答】解：∵由函数图象可知T＝2×（﹣）＝π，∴ω＝2，∵x＝时，函数取得最大值2，∴可得：2sin（2×+φ）＝2，可得：2×+φ＝2kπ+，即φ＝2kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ＝．故选：D．9．【分析】通过数列的递推关系式求出数列的前5项，然后求解数列的和即可．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n．若a1＝1，a n+1＝2s n+1，n∈N*，可得a2＝3，a3＝9，a4＝27，a5＝81，则S5＝1+3+9+27+81＝121．故选：B．10．【分析】根据，可以得到a+b＝（a+b）×（），展开后再运用基本不等式可求得最小值．【解答】解：∵，∴a+b＝（a+b）×（）＝1+1+≥2+2＝4，当且仅当时等号成立，∴a+b的最小值为4．故选：D．11．【分析】A．由于α∥β，或相交，即可判断出正误；B．由已知可得a∥β或a⊂β，即可判断出正误；C．正确，利用线面面面垂直的判定与性质定理即可判断出正误；D．由已知可得a∥β或a⊂β，即可判断出正误．【解答】解：A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β，不正确，可能相交；B．若α⊥β，a⊥α，则a∥β或a⊂β，因此不正确；C．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥α，正确；证明：设α∩β＝b，α∩γ＝c，取P∈α，过点P分别作m⊥b，n⊥c，则m⊥β，n⊥γ，∴m⊥a，n⊥a，又m∩n＝P，∴a⊥α．D．若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β．故选：C．12．【分析】先分析卦数的分类，再分别求解各自对应的种数，相比即可求解结论．【解答】解：观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含3根阳线的共有1卦，还有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，∴从八卦中任取两卦，有一卦恰有一根阳线的取法有：+＝18；再此条件下：两卦的六根线恰有两根阳线的取法有：＝3种；故P（A|B）＝＝；故选：B．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．【分析】由约束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数z＝x+y的最优解，代入坐标求得z＝x+y的最小值．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2）．由图可知，使目标函数z＝x+y取得最大值最大值的最优解为点A 的坐标，∴z＝x+y的最大值为：4．故答案为：4．14．【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到ab关系式，然后求解离心率．【解答】解：双曲线的一条渐近线的方程为y ＝x，可得a＝b，则c＝，∴e＝．故答案为：．15．【分析】直接根据定义把f（6）转化到用f（）来表示即可求解．【解答】解：∵定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x．∴f（6）＝2f（3）＝4f（）＝4×（2﹣）＝2．故答案为：2．16．【分析】判断平面A1BD与平面ACC1A1垂直，即可得到二面角的平面角，然后判断P的位置，求解最小值即可．【解答】解：连接AC交BD与O，连接A1C1，由题意可知：BD ⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥OPS，所以点P在线段CC1上二面角A1﹣BD﹣P的平面角为α，用图中字母表示角α为：∠A1OP，设正方体的列出为2，则A1O＝，OC＝，A1C＝2，由题意可知P在C处时，cos∠A1OP＝＝﹣，此时sin∠A1OP＝，是最小值．故答案为：∠A1OP；．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（Ⅰ）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f（x）＝2sin2x﹣1，利用正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间．（Ⅱ）由f（）＝2sinB﹣1＝0，可得sinB＝，结合B为锐角，可得B＝，进而根据余弦定理即可求解b的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：＝sin2x ﹣[1+cos（2x+）]＝2sin2x﹣1，由2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）由f（）＝2sinB﹣1＝0，可得sinB＝，由题意可得B为锐角，可得B＝，又a＝1，c＝1，又余弦定理可得b＝＝＝1．18．【分析】（Ⅰ）写出频率分布直方图中的a，写出s12，s22的大小即可．（Ⅱ）设事件A：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件B：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件C：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间指标大于20分钟，且另一个不大于20分钟．求出P（A），P（B），通过P（C）＝P（）P（B）+P（A）P（）求解即可．（Ⅲ）＝26.5，由条件可得：Z∽N（26.5，142.75），推出X∽B（10，0.6825），求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a＝0.015．s12＞s22．（Ⅱ）设事件A：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件B：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件C：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间指标大于20分钟，且另一个不大于20分钟．则：P（A）＝0.2+0.1＝0.30，P（B）＝0.1+0.2＝0.30，P（C）＝P（）P（B）+P（A）P（）＝0.42．（Ⅲ）＝26.5，由条件可得：Z∽N（26.5，142.75），从而P（26.5﹣11.9＜Z＜26.5+11.95）＝0.6826，∴从高二中随机抽取10人，其锻炼时间值位于（14.55，38.45）的概率是0.6826．根据题意得：X∽B（10，0.6825），∴EX＝10×0.6826＝6.826．19．【分析】（I）连接BC1，AC1，利用三角形中位线定理可得：OE ∥AC1，利用线面平行的判定定理即可证明结论．（II）由AO⊥侧面BB1C1C，侧面BB1C1C为菱形，可以建立空间直角坐标系．设BC＝2，由∠CBB1＝60°，cos∠ACC1＝cos∠ACO•cos∠OCC1，可得cos∠ACO＝，AO＝1．设＝λ（0＜λ＜1），可得F（﹣，λ，λ），＝（﹣，λ，λ﹣）．设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），可得•＝•＝0．利用＝，解得λ．即可得出．【解答】（I）证明：连接BC1，AC1，∵O为B1C的中点，E为AB的中点，∴OE∥AC1，∵OE⊄平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1．∴OE⊄平面ACC1A1．（II）解：∵AO⊥侧面BB1C1C，侧面BB1C1C为菱形，∴AO⊥OB，AO⊥OB1，OB⊥OB1．∴以点O为坐标原点，OB，OB1，OA为x，y，z轴，可以建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．设BC＝2，∵∠CBB1＝60°，cos∠ACC1＝cos∠ACO•cos∠OCC1∴cos∠ACO＝，∴AO＝1．∴B（，0，0），C（0，﹣1，0），C1（﹣，0，0），A（0，0，1），A1（﹣，1，1），∴E（，0，），设＝λ（0＜λ＜1），∴F（﹣，λ，λ），∴＝（﹣，λ，λ﹣）．设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），∵＝（0，1，1），＝（﹣，1，0）．∴•＝•＝0．∴y+z＝0，﹣x+y＝0．取＝（1，，﹣）．∴＝＝，解得λ＝．∴＝．20．【分析】（Ⅰ）将P的坐标代入可得a的值，由题意的定义可得曲线C的轨迹为椭圆，且可知焦点坐标即长半轴长，进而求出曲线C的标准方程；（Ⅱ）（i）设B，D的坐标，由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，设直线BD的方程，由题意可得直线AF 的方程，将直线BD的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出BD的中点M坐标，求出直线OM的斜率，及直线OA的斜率，可得两个斜率相等可证得OA平分线段BD；（ii）求出|AF|，|BD|，进而求出的表达式，换元由均值不等式可得其最大值．【解答】解（Ⅰ）将P的坐标代入方程可得：a＝2，所以由椭圆的定义可知，曲线C的轨迹为以（﹣1，0），（1，0）为焦点，以长半轴为2的椭圆，所以曲线C的标准方程为：+＝1；（Ⅱ）（i）设B（x1，y1），D（x2，y2），BD的中点坐标M（x0，y0），由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，所以设直线BD的方程为：x＝my+1，则直线AF的方程为：y＝﹣m（x﹣1），A在直线x＝4上，所以y A＝﹣3m，即A（4，﹣3m），将直线BD与椭圆联立，整理可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，所以y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以x1+x2＝m（y1+y2）+2＝，所以中点M（，），因为k OA＝＝k OM，所以OA平分线段BD；（ii）|AF|＝3，|BD|＝＝，所以＝，令t＝≥1，所以＝＝≤1，当且仅当t＝1时取等号，所以最大值为1．21．【分析】（Ⅰ）将a＝0带入，求导得f′（x）＝2cosx﹣2x+2π，f''（x）＝﹣2sinx﹣2＜0，进而可知存在x0，使得f′（x0）＝0，且f（x）在x∈（﹣∞，x0）上单调递增，在x∈（x0，+∞）上单调递减，进一步可得x＝0，x＝2π是f（x）的两个零点，再求得f′（0）＝2+2π，f′（2π）＝2﹣2π，由此求得所求切线方程；（Ⅱ）先构造函数F（x）＝（2+2π）x﹣2sinx+x2﹣2πx，F′（x）＝2﹣2cosx+2x，F''（x）＝2sinx+2≥0，可知（2+2π）x≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2+2π）x与y＝a的交点横坐标为x3，可得；设G（x）＝（2﹣2π）（x﹣2π）﹣2sinx+x2﹣2πx，G′（x）＝2﹣4π﹣2cosx+2x，G''（x）＝2sinx+2≥0，可知（2﹣2π）（x﹣2π）≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2﹣2π）（x﹣2π）与y ＝a的交点横坐标为x4，可得，由此即可得证．【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝2sinx﹣x2+2πx，定义域为R，则f′（x）＝2cosx﹣2x+2π，f''（x）＝﹣2sinx﹣2＜0，∴y＝f′（x）在R上为减函数，∵f′（0）＝2+2π＞0，f′（π）＝﹣2π＜0，∴由零点存在性定理可知，f′（x）在x∈（0，π）上必存在x0，使得f′（x0）＝0，且当x∈（﹣∞，x0）时，f′（x）＞0，即f（x）在x∈（﹣∞，x0）上单调递增，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在x∈（x0，+∞）上单调递减，∴f（x）max＝f（x0），故f（x）至多有两个零点，又∵f（0）＝0，f（2π）＝0，故x＝0，x＝2π是f（x）的两个零点，∴由f′（0）＝2+2π，f′（2π）＝2﹣2π，易得两切线方程为y ＝（2+2π）x或y＝（2﹣2π）x﹣4π+4π2；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，x1＜x0＜x2，设F（x）＝（2+2π）x﹣2sinx+x2﹣2πx，F′（x）＝2﹣2cosx+2x，F''（x）＝2sinx+2≥0，∴y＝F′（x）在R上为增函数，∵F′（0）＝0，∴当x∈（﹣∞，0）时，F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上为减函数，当x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上为增函数，∴F（x）≥F（0）＝0，即（2+2π）x≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2+2π）x与y＝a的交点横坐标为x3，则，∵y＝（2+2π）x为增函数，∴；同理设G（x）＝（2﹣2π）（x﹣2π）﹣2sinx+x2﹣2πx，则G′（x）＝2﹣4π﹣2cosx+2x，G''（x）＝2sinx+2≥0，∴y＝G′（x）在R上为增函数，又G′（2π）＝0，∴当x∈（﹣∞，2π）时，G′（x）＜0，即G（x）在（﹣∞，2π）上单调递减，当x∈（2π，+∞）时，G′（x）＞0，即G（x）在（2π，+∞）上单调递增，∴G（x）≥g（2π）＝0，即（2﹣2π）（x﹣2π）≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2﹣2π）（x﹣2π）与y＝a的交点横坐标为x4，则，又y＝（2﹣2π）（x﹣2π）为减函数，则，故，∴a，得证．四、请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣4．整理得，化简得：（x＝±1）．直线1的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．转换为直角坐标方程为．（Ⅱ）把方程（x＝±1）转换为（θ为参数，且﹣π＜θ＜π）．所以点C（cosθ，2sinθ）到直线的距离d＝，当，所以．[选修4--5：不等式选讲]23．【分析】（1）利用绝对值三角不等式性质（2）利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解．【解答】解：（1）由题意得：∵f（x）≤g（x）在x∈R上恒成立，∴m≤|x+3|+|x﹣2|恒成立，即m≤（|x+3|+|x﹣2|）min又∵|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|＝5∴m≤5，即m∈（﹣∞，5]（2）令f（x）≥0，∴m≥||若m≤0，则解集为∅，不合题意；若m＞0，则有﹣m≤x﹣2≤m，即x∈[2﹣m，2+m]又∵解集为x∈[1，3]，∴m＝1∴ab﹣2a﹣b＝2∴b＝∵，解得a＞1∴a+b＝a++3∴a+b≥2+3＝7当且仅当a﹣1＝，即a＝3时，等号成立，此时b ＝4∴a＝3，b＝4时a+b的最小值为7。
辽宁省大连市2020届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题 含 答案
G( x) = 2 − 4 − 2cos x + 2x ， G( x) = 2sin x + 2 0 ，
G( x) = 2 − 4 − 2cos x + 2x 在 x R 上为增函数， G(2 ) = 0 ，
当 x 2 , +) 时， G( x) 0 ，即 G ( x) 在 x 2 , +) 上为增函数，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2
，
故：
x2
−
x1
x4
−
x3
=
4 a
(2 − 2 )(2 +
（Ⅱ）因为AO ⊥ 平面BB1C1C, BB1C1C为菱形，
E
如图建立空间直角坐标系O − xyz,
x
y
设BC = 2,因为CBB1 = 60 ,
cos ACC1 = cos ACO cos OCC1,
大连市高三一模数学理科参考答案第 | 页 2
所以cos ACO =
2 , 所以AO = 1, 所以B( 2
f (0) = 2 + 2 0, f ( ) = −2 0 ........................ ......2 分
由零点存在定理可知， f ( x) 在 x (0, ) 上必存在一点 x0 使 f ( x0 ) = 0 当 x (−, x0 ) 时， f ( x) 0，即 f ( x) 在 x (−, x0 ) 上为增函数，
| |
BD AF
| |
=
3t
4t 2+
1
=
4 3t + 1
1(当且仅当“t
= 1”时取得等号）.....
......11 分
t
2020大连高三第一次模拟考试数学文科(试题)试卷答案
(2 + 2 ) x2 2sin x2 − x22 + 2 x2 = (2 + 2 ) x1
x2 x1 x2 − x1 0 得证. ....... .... ....... ........... ............12 分
(22)（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
（13） 4 ； （14） 2 ； (15) 1； 16．100 .
三. 解答题 （17）(本小题满分 12 分)
解：（Ⅰ）由题意可知 f (x) = 2sin x cos x − 2 cos2 (x + ) = 2sin 2x −1，...3 分 4
由 2k − 2x 2k + (k z) ，．.. ....... .... ..................4 分
得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一．选择题 （1）（B）；（2）（A）；（3）（A）；（4）（D）；（5）（D）；（6）（C）；（7）
（C）；（8）（D）；（9）（B）； （10）（D）；（11）(C)；（12）（A）. 二.填空题
4
| AF | 3 + cos2 cos +
3
1(当且仅当cos =1时取得等号）......12 分
cos
(21)（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由题意得： f ( x) = 2sin x − x2 + 2 x ，定义域为 xR .
f ( x) = 2 cos x − 2x + 2 ，..... .......... ...............................1 分 f ( x) = −2sin x − 2 0 ， f ( x) 在 xR 上为减函数.
2020大连高三第一次模拟考试数学理科试卷 答案
16．
A1
OP ， 6 . 3
三. 解答题 （17）(本小题满分 12 分)
解：（Ⅰ）由题意可知 f (x) = 2sin x cos x − 2 cos2 (x + ) = 2sin 2x −1，...3 分 4
由 2k − 2x 2k + (k z) ，．.. ....... .... ..................4 分
所以 y + z = 0, , 所以n的一组解为n = (1, 3, - 3),9分 − 3x + y = 0
由题可得 3 = EF n =
3
, 解得= 1 ，=0(舍），
7 EF n 7 27 + 2 + ( − 1 )2
2
4ห้องสมุดไป่ตู้
2
所以 C1F = 1 . 12分 C1 A1 2
(20) （本小题满分 12 分）
2
2
所以 f (x) 的单调递增区间是[k − , k + ](k Z ) ．.. ................6 分
4
4
（Ⅱ）由
f
(B) 2
=
2 sin
B −1 = 0 ，可得 sin
B
=
1 2
，.....
...............
........8
分
由题意知 B 为锐角， B = ，. .............. ............... .......10 分 3
事件 B ：在高二学生中随机抽取 1 人，其锻炼时间不大于 20 分钟， 事件 C ：在高一、高二学生中随机抽取 1 人 ，恰有一个学生锻炼时间大于 20 分钟，
辽宁省2020届高三数学下学期一模考试试题理(含解析)
高三数学下学期一模考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 1，z 满足z 1＝﹣1﹣i ，z 1z ＝4，则复数z 在复平面内对应点的坐标为（ ） A. （2，﹣2） B. （﹣2，2）C. （2，2）D. （﹣2，﹣2） 【答案】D 【解析】 【分析】把z 1＝﹣1﹣i 代到z 1z ＝4变形后利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得z 得答案。
【详解】解：由z 1＝﹣1﹣i ，z 1z ＝4，得z ()()()1414422111i i z i i i -+====-+-----+， ∴22z i =--．则复数z 在复平面内对应点的坐标为（﹣2，﹣2）． 故选：D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lgx }，B ＝{x |﹣7＜2+3x ＜5}，则∁U （A ∪B ）＝（ ） A. {x |0＜x ＜1} B. {x |x ≤0或x ≥1}C. {x |x ≤﹣3}D. {x |x ＞﹣3} 【答案】C 【解析】 【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集、补集的运算即可． 【详解】解：A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |﹣3＜x ＜1}； ∴A ∪B ＝{x |x ＞﹣3}； ∴∁U （A ∪B ）＝{x |x ≤﹣3}． 故选：C ．【点睛】考查描述法的定义，对数函数的定义域，以及并集、补集的运算．3.已知α∈（22ππ-，），tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°，则sinα＝（ ） A.5 B. 5-C.25D. 25-【答案】A 【解析】 【分析】由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式结合角的范围求解．【详解】解：由tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°＝sin （76°﹣46°）＝sin30°12=， 且α∈（22ππ-，），∴α∈（0，2π）， 联立22121sin cos sin cos αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sinα5=． 故选：A ．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的正弦，是基础题．4.函数f （x ）221x x +=的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义，得出函数的奇偶性，以及函数值的符号，利用排除法进行求解，即可得到答案．【详解】由题意，函数满足()()22x -x 2x 1(x)2x 1f x f x e e x -+-+-==-=-+，即()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，又由当y FE AE =-22时，()f x 0>恒成立，排除A ，D ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数值的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，得出函数的奇偶性，再利用函数值排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
【附加15套高考模拟试卷】辽宁省大连市2020年高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案
7．已知 A，B，C 三点都在表面积为100 的球 O 的表面上，若 AB 4 3，ACB 60 .则球内的三棱锥
O ABC 的体积的最大值为（ ）
A． 8 3 B．10 3 C．12 3 D．16 3
8．团体购买公园门票，票价如下表：
购票人数
1~50
51~100
100 以上
门票价格
13 元/人
11 元/人
9 元/人
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票 游览公园，则共需支付门票费为 1290 元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，
则需支付门票费为 990 元，那么这两个部门的人数之差为( )
A． 20 B． 30 C． 35 D． 40
有两个不同的
实数根.若
为真命题，求实数 的取值范围；
若 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围.
22．（10 分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到
如下数据：
单价 x(元)
8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
销量 y(件)
90 84 83 80 75 68
辽宁省大连市 2020 年高三第一次模拟考试数学（理）试题
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1．若函数 f x 图象上存在两个点 A，B 关于原点对称，则点对 A, B 称为函数 f x 的“友好点对”且点
x2 2ex m 1, x 0
l
即是曲线
C1
:
y
ex
的切线，又是曲线
2024年大连市高三数学第一次模拟考试卷附答案解析
2024年大连市高三数学第一次模拟考试卷注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则U B A = ð（）A ．{2}4，B ．{16}，C ．{3}5，D ．{1}2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，xn ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．x 1，x 2，…，xn 的平均数B ．x 1，x 2，…，xn 的标准差C ．x 1，x 2，…，xn 的最大值D ．x 1，x 2，…，xn 的中位数3．方程2214x y m+=表示椭圆，则实数m 的取值范围（）A ．0m >B ．4m >C ．04m <<D ．0m >且4m ≠4．已知直线a ，b ，c 是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A ．若a c b c ⊥⊥，，则//a bB ．若////a b a α，，则//b αC ．若////a b c a αα⊥，，，且c b ⊥，则c α⊥D ．若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，则a α⊥5．将ABCDEF 六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中,A B 分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（）A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种6．若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5cos 24παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A ．43-B ．34-C ．13-D ．17．设函数3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是（）A ．(3,)+∞B ．(3),-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞8．设12F F ，是双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点，点A 是双曲线C 右支上一点，若12AF F △的内切圆M 的半径为a （M 为圆心），且λ∃∈R ，使得123AM OM F F λ+=，则双曲线C 的离心率为（）AB C ．2D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（）A ．已知a b c d ∈R ，，，，若a c b d >=，，则i i a b c d +>+B ．复数12z z ，满足12z z =，则12z z =C ．复数z 满足|i ||i |z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线D ．复数z 满足(1i)|1|+=z ，则ππcos isin 44z ⎫=-⎪⎭10．已知函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，若π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，则（）A ．()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．直线12y =+是一条切线D ．()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到函数()g x 是偶函数11．已知函数()f x 是定义域为R 的可导函数，若()()()()3f x y f x f y xy x y +=+++，且()03f '=-，则（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是减函数C ．0f=D ．1x =是()f x 的极小值点第Ⅱ卷三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸的相应位置上）12．“函数()2sin f x ax x =-是奇函数”的充要条件是实数=a ．13．在边长为4的正方形ABCD 中，如图1所示，E ，F ，M 分别为BC ，CD ，BE 的中点，分别沿AE ，AF 及EF 所在直线把AEB AFD ，和EFC 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，如图2所示，则三棱锥P AEF -外接球的表面积是；过点M 的平面截三棱锥P AEF -外接球所得截面的面积的取值范围是．14．已知实数0,0a b >>，且()84ab a b +=，则4a b +的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图多面体ABCDEF 中，面FAB ⊥面ABCD ，FAB 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，EF BC ∥，且334EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点．(1)证明：BF AD ⊥；(2)求平面BCEF 与平面FGH 所成角的余弦值；(3)作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AD 交点为P ，写出APAD的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．16．已知函数()()ln 1R f x x x ax a =++∈．(1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)当1x >时，证明：e ln e(1)x x x >-．17．一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．(1)求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率；(2)停止取球时，记总的抽取次数为X ，求X 的分布列与数学期望：(3)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个盒子中，甲盒装3个小球，其中2个白球，1个黑球：乙盒装4个小球，其中2个白球，2个黑球．采取不放回的方式先从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或者乙盒小球全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y ，求Y 的数学期望，并从实际意义解释X 与Y 的数学期望的大小关系．18．在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，已知两点()()1,21,2A B ---，，点M 满足()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r，记点M 的轨迹为G ．(1)求曲线G 的方程：(2)若P ，C ，D 为曲线G 上的三个动点，CPD ∠的平分线交x 轴于点()0(1)Q a a <-，，点Q 到直线PC 的距离为1．（ⅰ）若点Q 为PCD 重心，用a 表示点P 的坐标；（ⅱ）若PQ CD ⊥，求a 的取值范围．19．对于数列()1231:,,,1,2,3A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1(12)i i i b a a i +=-=，，且331b a a =-．这种“T 变换”记作()B T A =，继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．(1)写出数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列：(2)若123,,a a a 不全相等，判断数列123:,,A a a a 不断的“T 变换”是否会结束，并说明理由；(3)设数列A ：2020，2，2024经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值．1．C【分析】由补集和交集的定义运算.【详解】集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则{}3,5,6U A =ð，有{}3,5U B A = ð.故选：C 2．B【详解】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；平均数：反映一组数据的平均水平；方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．3．D【分析】分焦点在x 轴，y 轴两种情况讨论，写出m 范围即可.【详解】方程2214x y m+=表示椭圆，若焦点在x 轴上，40m >>；若焦点在y 轴上，4m >.综上：实数m 的取值范围是0m >且4m ≠故选：D【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算能力，属于基础题.4．D【分析】由空间中直线与平面的位置关系，对各项进行分析即可．【详解】若a c b c ⊥⊥，，则a ，b 可以是平行，也可以是相交或异面，故A 错误；若////a b a α，，则//b α或b α⊂，故B 错误；若////a b c a αα⊥，，且c b ⊥，当//a b 时，不能证明c α⊥，C 选项错误；若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，在a 上取一点P ，作PQ α⊥，由面面垂直的性质定理可得PQ β⊂且PQ γ⊂，既a 与PQ 重合，可得a α⊥，故D 正确.故选：D 5．B【分析】先平均分组，再利用全排列可求不同分配方法的总数.【详解】将余下四人分成两组，每组两人，有2242C C 2种分法，故不同的分配方法共有223423C C A 182⨯=种，故选：B.6．A【分析】先利用三角恒等变换公式化简可得1cos sin 5αα+=，结合22cos sin 1αα+=可得cos ,sin αα，进而可得tan α.【详解】由5cos 2sin 4παα⎛⎫- ⎪⎝⎭得()22225cos sin cos sin 22αααα⎫-=-⎪⎪⎭，即()()5cos sin cos sin cos sin αααααα-+=-，因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin 0αα-≠，所以1cos sin 5αα+=，结合22cos sin 1αα+=，且cos 0,sin 0αα<>，得34cos ,sin 55αα=-=，所以sin tan s 43co ααα==-.故选：A.7．C【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数()()12g x f x =+-，利用奇偶性的定义与导数说明其奇偶性和单调性，从而将所求转化为()()122g x g x -<-，进而得解.【详解】因为3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+，所以()()3333331sin ππee 13x xf x x x +---+=++---+33sin πe e 2x x x x -=-+--+，设()()3312sin πe e x xg x f x x x -=+-=-+--，显然定义域为R ，()()12g x f x -=-，又()()3333()sin πee sinπe e ()xx x x g x x x x x g x ---=--+-+=--+--=-，所以()g x 为R 上的奇函数，又33()πcos π3e 3e 1πcos 15πcos 0x x g x x x x -'=-++-≥-+=->，所以()g x 在R 上单调递增，又()(32)4f x f x +-<，则[][]()2(32)20f x f x -+--<，所以()()1220g x g x -+-<，即()()()12222g x g x g x -<--=-，所以122x x -<-，解得1x >，则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是(1,)+∞．故选：C ．8．A【分析】向量坐标化并结合双曲线定义与等面积得123,3,AF c a AF c a =+=-点点距列方程得()3,4A a a 代入双曲线求出离心率.【详解】设()(),,,M M A A M x y A x y ，由对称性不妨设A 在第一象限，此时M 也在第一象限，因为123AM OM F F λ+=uuu r uuu u u ruu r ，所以30,44M A M A M y y y y y a -+===，所以()12121124222AF F S c a AF AF c a =⋅⋅=⋅++⋅ ，又122AF AF a -=，解得()1213,3,,0AF c a AF c a F c =+=--，所以1A AF ex a=+，所以1A AF a ex =+，解得3A x a =，所以()3,4A a a ，代入双曲线方程得：2222(3)(4)1a a a b-=，解得,b c ==，所以==ce a故选：A【点睛】关键点点睛:本题考查双曲线的离心率，关键是向量坐标化并充分利用曲线定义确定A 的坐标.9．BCD【分析】根据虚数不能比较大小可知A 错误；根据共轭复数的定义可判断B ；根据复数的几何意义可判断C ；根据复数的运算法则进行计算，可判断D.【详解】对A ，虚数不能比较大小，可知A 错误；对B ，根据共轭复数的定义知，当12z z =时，12z z =，则12z z =，故B 正确；对C ，因为复数z 满足|i ||i |z z -=+，则复数z 在复平面上对应的点到()()0,1,0,1-两点间的距离相等，则复数z 在复平面上对应的点为两点构成线段的中垂线，即z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线，故C 正确；因为(1i)|1|2z +==，则()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z --====-++-，又ππ22cos isin i 1i 4422z ⎫⎫=--=-⎪⎪⎪⎭⎭，故D 正确，故选：BCD.10．BC【分析】依题意可得πT =即可求出ω，再根据函数的最大值求出ϕ，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质判断A 、B 、D ，设切点为005π,sin 26x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数的几何意义求出0x ，即可判断C.【详解】对A ，因为()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，所以()max 1f x =，又π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，所以5πππ66T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以2ππT ω==，解得2ω=，即()()sin 2f x x ϕ=+，又ππsin 163f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=+∈，解得5π2π,Z 6k k ϕ=+∈，又0πϕ<<，所以5π6ϕ=，所以()5πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时5π5π5π2,663x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又sin y x =在5π5π,63⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，所以()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故A 错误；对B ，因为7π7π5πsin 2sin 2π012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 正确；对C ，因为()5π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎝'⎪⎭，设切点为005π,sin 26x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()005π2cos 26f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭'所以05πcos 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以05π5π22π,Z 66x k k +=+∈或05π5π22π,Z 66x k k +=-+∈，解得0π,Z x k k =∈或05ππ,Z 6x k k =-+∈，又005π1sin 262x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因为05π1sin 216x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即01112-≤+≤，解得0x ≤，所以00x =，即直线12y =+是函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线，故C 正确；对D ，将()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到()π5ππsin 2sin 2366g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，显然()g x 是非奇非偶函数，故D 错误.故选：BC 11．ACD【分析】令0x y ==求出()0f ，令y x =-可确定奇偶性，将y 当作常数，x 作为变量，对原式求导，然后可通过赋值，解不等式求单调性及极值.【详解】令0x y ==，得()00f =，令y x =-，得()()0f x f x =+-，所以()f x 是奇函数，A 正确；()()()()()22233,63f x y f x f y x y xy f x y f x yx y '+=+++'∴+=++ 令()()20,03x f y f y =∴=+''，又()()()2303,33,3f f y y f y y y c '=-∴='=-∴-+ ，()()()3300,0,3,3,0f c f y y y f x x x f=∴=∴=-∴=-∴= ，令()0f x '=，1x ∴=±，()0f x '>，1x <-或()1,0,11x f x x ><-<<'()f x ∴在(),1∞--和()1,∞+上为增函数，()f x 在()1,1-上为减函数，1x ∴=是()f x 的极小值，故CD 正确，B 错误.故选：ACD.12．0【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.【详解】若函数()2sin f x ax x =-是奇函数，则当且仅当()()()()22sin sin f x ax x a x x f x ⎡⎤=-=----=--⎣⎦，也就是220ax =恒成立，从而只能0a =.故答案为：0.13．24π[]π,6π【分析】补体法确定外接球直径进而求得表面积；利用球的截面性质确定面积最值.【详解】由题意，将三棱锥补形为边长为2，2，4长方体，如图所示：三棱锥P AEF -外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径()2222222424R R =++==，所以三棱锥P AEF -外接球的表面积为24π24πS R ==，过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O 的大圆，此时截面圆的面积为22π6πR ==，最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，此时截面圆半径1r =（其中MN 长度为长方体前后面对角线长度），故截面圆的面积为2ππr =，所以过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面的面积的取值范围为[]π,6π．故答案为：24π;[]π,6π14．【分析】利用消元法得到4a b +的函数关系式，再利用导数讨论其单调性后可求最小值.【详解】()222224(4)81681616a b a ab b a a b b b b+=++=++=+，设()2416g b b b =+，其中0b >，则()()322481432b g b b b b-=-+'=，当10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g b '<，当1,2b ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g b '>，故()g b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上为减函数，故()min 1122g b g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，此时20a =-+>，故4a b +的最小值为故答案为：15．(1)证明见解析(3)14AP AD =，作图见解析【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而证明出线线垂直；（2）由面面垂直得到线面垂直，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而利用平面法向量求出面面角的余弦值；（3）作出辅助线，得到线线平行，进而得到结论.【详解】（1）在正方形ABCD 中，AD AB ⊥，∵平面FAB ⊥平面ABCD ，平面FAB 平面,ABCD AB AD =⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面FAB ，又BF ⊂平面FAB ，BF AD ∴⊥；（2） FAB 为等边三角形，设AB 中点为O ，∴OF AB ⊥，又平面FAB ⊥平面ABCD ，面FAB 面,ABCD AB OF =⊂面FAB ，则OF ⊥面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OB OG OF 为,,x y z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：因为334EF BC ==，则4BC =，则()()((()72,0,0,2,4,0,0,0,,0,3,21,,0,4,02B C F E H G ⎛ ⎝，所以(()(72,0,,0,4,0,1,,,0,4,2BF BC FH FG ⎛=-=== ⎝，设平面BCEF 的一个法向量为(),,m x y z =则020400m BF x y m BC ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⋅=⎪⎩⎩ ，取1z =得0x y ==，所以)m =，设平面FGH 的一个法向量为(),,n a b c =则7002040a b n FH n FG b ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪-=⎩⎩，取c =93,42a b =-=，所以93,42n ⎛=- ⎝ ，所以)93,42cos ,22n m n m n m⎛⋅- ⋅===-⋅，所以平面与BCEF 与平面FGH（3）如图所示：在AD 上取一点P ，使得DP EF =，连接,FP PG ，因为//EF BC ，AD //BC ，所以//EF AD ，即//EF DP ，所以EFPD 为平行四边形，故//FP ED ，因为H ，G 分别为CE ，CD 的中点，所以//GH DE ，故//GH PF ，即,,,G H P F共面，故14AP AD =.16．(1)1a ≥-(2)证明见解析【分析】（1）参变分离，构造函数，求导得到函数的单调性，从而求出最值，得到答案；（2）法一：在（1）的基础上得到()e 1e ln x xx x x ->，1x >，再构造函数得到e e xx >，得到()()e 1e 1x x x x->-，从而得到结论；法二：即证11ln e x x x -->，构造函数()11ln e x x G x x --=-，求导后再对分子求导，从而得到函数的单调性，得到()()10G x G >=，证明出结论.【详解】（1）由已知得，1ln a x x-≤+在()0,∞+上恒成立，设()()221111ln ,x g x x g x x x x x-=+=-='，()0g x '>，解得1x >，()0g x '<，解得01x <<，()g x ∴在()0,1上为减函数，在()1,∞+上为增函数，()()11g x g ∴≥=，即1a -≤，1a ∴≥-；（2）法一：由（1）知1a ≥-时，()0f x ≥恒成立，取1a =-，得1ln x x x-≥成立，1x =时取等号．所以当1x >时，()e 1e ln x xx x x->，设()()e e ,e e x xh x x h x =='--，故1x >时，()0h x '>，()e e x h x x ∴=-在()1,∞+上为增函数，()()10h x h ∴>=，e e x x ∴>．所以1x >时，e e xx>，即()()e 1e1xx x x->-．由此可证，当1x >时，()()e 1e ln e 1x x x x x x->>-，结论得证．法二：当1x >时，若证()e ln e 1xx x >-成立．即证11ln ex x x -->，1x >设()11ln ,1ex x G x x x --=->，()()()1112211e 1e 1e 2e e x x x x x x x x G x x x -------+-=-'=，设()()()1211e2,e 22e 21x x x m x x x m x x x ---=+-=+-=+-'，当1x >时，()()0,m x m x >'∴在()1,∞+上为增函数．()()()10,0m x m G x ∴>=∴>'，()G x ∴在()1,∞+上为增函数，()()10G x G >=，由此可证，当1x >时，()e ln e 1xx x >-成立．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.17．(1)335(2)分布列见解析，()275E X =(3)()409E Y =，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求A 得概率；（2）先确定X 的取值，再就每一个取值的意义结合古典概型的概率公式可求分布列，再利用公式可求期望.（3）先确定Y 的取值，再设甲盒、乙盒抽取次数分别为12Y Y 、，根据题设得到三者之间的关系，再结合古典概型的概率公式可求分布.【详解】（1）设“停止取球时盒中恰好剩3个白球”为事件A ，则()11343347C A A 3A 35P A ==；（2）X 的可能取值为3，4，5，6，()3337A 13A 35P X ===，()4113443347A C A A 44A 35P X +===，()11422334444357C A A C A A 25A 7P X +===，()11223427C C A 46A 7P X ===，所以X 的分布列为X3456P1354352747X 的数学期望()14242734563535775E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）Y 的可能取值为3，4，5，6，设甲盒、乙盒抽取次数分别为12Y Y 、，因为乙盒中两种小球个数相同，所以无论甲盒剩余小球什么颜色，乙盒只需取完一种颜色即可，()()()221224A 113123A 18P Y P Y P Y ======，()()()()()1122222212123244C A A A 12413223A A 923P Y P Y P Y P Y P Y ====+===⨯+⨯=，()()()()()121251423P Y P Y P Y P Y P Y ====+==11221122222222323444C A A A C A A 1273A A 3A 18⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，()()()11222222123244C A A A 216243A A 3P Y P Y P Y ⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭，Y 的数学期望()12714034561891839E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．18．(1)24y x=-(2)（i）334P ⎛-± ⎝，；（ii ）94a <-【分析】（1）对()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r向量坐标化，整理得曲线轨迹方程；（2）法一：由条件得PQ CD ⊥，结合斜率和重心坐标公式得P1=，平方化简得,m n 是方程()()()2220000120y t x a y t x a -+---=的两根，直线与曲线联立，结合韦达定理求出P 坐标，即可求解；法二：由圆切线方程抽方程可知直线EF 的方程为()()001x a x a y y --+=，与圆联立得()0012221y x a k k y -+=-，结合韦达定理得P 坐标，即可求解.【详解】（1）设点()()(),,1,2,1,2M x y A B ---Q ，()()()()()1,2,1,2,,,1,2,1,2MA x y MB x y OM x y OA OB ∴=---=----==-=--uuu r uuu r uuu r uu r uu u r即()()22,2,2,0MA MB x y OA OB +=---+=-uuu r uuu r uu r uu u r，MA MB ∴+==uuu r uuu r()()()2,2,0222OM OA OB x y x ⋅++=⋅-+=-+uuu r uu r uu u r，()2,22MA MB OM OA OB x +=⋅++=-+Q uuu r uuu r uuu r uu r uu u r，化简得曲线G 的方程：24y x =-；（2）（ⅰ）解法1：设()()()112200,,,,,C x y D x y P x y ，PQ 为PCD 的角平分线．Q 为PCD 重心PQ ∴为PCD 的中线，S 三线合一可得PQ CD⊥021221124,4CD PQ y y y k k y x x y y a --===-+--Q ，Q 为PCD 重心0120y y y ∴++=(14,PQ CD k k P a ⋅=-∴-± ①设直线PC 方程为：()00x x m y y -=-，直线PD 方程为：()00x x n y y -=-，PQ ∵是CPD ∠的平分线，点Q 到直线PC 的距离为1,∴点Q 到直线PD 的距离为1，1=，可得()()()2220000120y m x a y m x a -+---=同理()()()2220000120y n x a y n x a -+---=，即,m n 是方程()()()2220000120y t x a y t x a -+---=的两根，()002021x a y m n y -∴+=-，()0024x x m y y y x ⎧-=-⎨=-⎩联立可得：2004440y my x my ++-=，011044y y m y m y ∴+=-∴=--，同理()201204,42y n y y y m n y =--∴+=-+-，点Q 为PCD 重心，0120y y y ∴++=，即()()00002024401x a y m n y y y ⎛⎫--+-=--=⎪-⎝⎭，又020008144,a x y x y +⎧=⎪=-∴⎨⎪=⎩ 故点P的坐标为81,4a +⎛ ⎝②联立①②可得174a =-即33,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭（ⅱ）由（ⅰ）知()002021x a y m n y -+=-，()()()()2021*******0020214422424121CDy y y k x a y x x y y m n y a y y y -----∴=====--+-+----⨯--，020,1,4PQ PQ CD y k k k y a =⋅=---Q 22216481648,04949a a a a y a a +-+-∴=∴≥----216481,049a a a a +-<-∴≥--Q 等价于94904a a -->∴<-时满足题意．（ⅰ）解法2：PQ ∵是CPD ∠的平分线，点Q 到直线PC 的距离为1,∴点Q 到直线PD 的距离为1，∴直线PC PD 、与圆22:()1Q x a y -+=相切，设直线PC PD 、与圆的切点分别为()()1122,,,E x y F x y ，设直线PC 上任意一点坐标为(),P x y ，则0PE QE ⋅=，可得()()1111,,0x x y y x a y --⋅-=，整理得()()()11110x x x a y y y --+-=，结合2211()1x a y -+=，进一步可得直线PC 方程为：()()111x a x a y y --+=，同理直线PD 方程为()()221x a x a y y --+=，因为点()00,P x y 在两条直线上，所以可知直线EF 的方程为()()001x a x a y y --+=，代入圆方程可得：()()22200()x a y x a x a y y ⎡⎤-+=--+⎣⎦即：()()()()22220000121()0y y x a x a y y x a x a ⎡⎤----+---=⎣⎦设直线QE 的斜率1114y k x a =-，直线QF 的斜率为2224y k x a=-，()()()2220001210y y y y x a x a x a x a ⎛⎫∴---+--= ⎪--⎝⎭即()0012221y x a k k y -+=-，联立直线PC 与抛物线方程，()()21141y x x a x a y y ⎧=-⎪⎨--+=⎪⎩，可得：21114140y y y a x a x a ⎛⎫--+= ⎪--⎝⎭，014C y y k ∴+=，同理可得024D y y k ∴+=，()12042C D y y k k y ∴+=+- 点Q 为PCD 重心，00C D y y y ∴++=，即()()00120028401x a y k k y y y -+-=-=-，又020008144,a x y x y +⎧=⎪=-∴⎨⎪=⎩ 故点P的坐标为81,4a +⎛ ⎝②其余过程同解法1．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线位置关系,关键是利用角分线的意义抽方程或直线,进而得韦达定理求出P 坐标.19．(1)0，1，1(2)不会，理由见解析(3)507【分析】（1）根据数列的新定义写出经过5次“T 变换”后得到的数列即可；（2）先假设数列A 经过不断的“T 变换”结束，不妨设最后的数列123123:,,,:,,,:0,0,0D d d d E e e e F ，由F 数列往前推，则非零数量可能通过“T 变换”结束，或者数列E 为常数列，进而得到D 可能出现的情况，推出矛盾，故假设不成立，即可证明；（3）先往后推几项，发现规律，假设1次“T 变换”后得到的通项，多写几项推出规律，往后继续进行，推到使数字接近1时，再继续推，往后会发现k 次“T 变换”得到的数列是循环的，得到最小值，进而推出次数即可.【详解】（1）由题知，5次变换得到的数列依次为3，1，2；2，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；所以数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列为0，1，1.（2）数列A 经过不断的“T 变换”不会结束，设数列123123:,,,:,,,:0,0,0D d d d E e e e F ，且()(),E T D F T E ==，由题可知：2132310,0,0e e e e e e -=-=-=，123e e e ∴==，即非零常数列才能经过“T 变换”结束；设123e e e e ===（e 为非零常数列），则为变换得到数列E 的前两项，数列D 只有四种可能：111111111111:,,2;:,,;:,,2;:,,D d d e d e D d d e d D d d e d e D d d e d +++---，而以上四种情况，数列E 的第三项只能是0或2e ，即不存在数列D ，使得其经过“T 变换”变成非零常数列，故数列A 经过不断的“T 变换”不会结束；（3）数列A 经过一次“T 变换”后得到数列:2018,2022,4B ，其结构为,4,4,a a +（a 远大于4）数列B 经过6次“T 变换”后得到的数列依次为：4,,4;4,4,8;8,12,4;4,16,12;a a a a a a a a -------；20,4,16;24,20,4a a a a ----所以，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,4,4a a +”的数列，变化的是，除了4之外的两项均减小24，201824842,=⨯+ 则数列B 经过684504⨯=次“T 变换”后得到的数列为：2，6，4，接下来经过“T 变换”后得到的数列依次为：4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；至此，数列各项和的最小值为4，以后数列循环出现，数列各项之和不会变得更小，所以最快经过16842507+⨯+=次“T 变换”得到的数列各项之和最小，即k 的最小值为507．【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题.关于数列的新定义一般思路为：()1根据定义写出几项；()2找出规律；()3写成通项；()4证明结论.。
2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷(文科)
2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合{|23}A x x =-<<，{1B =-，0，1，2，3}，则集合A B I 为( ) A ．{2-，1-，0，1，2} B ．{1-，0，1，2} C ．{1-，0，1，2，3}D ．{2-，1-，0，1，2，3}2．（5分）若复数z 满足(1)2i z +=，则z 的虚部为( ) A ．1-B ．i -C ．iD ．13．（5分）下列函数中是偶函数，且在(0,)+∞是增函数的是( ) A ．||y ln x =B ．cos y x =C ．2y x =-D ．3y x =4．（5分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4512a a +=，则8S 的值为( ) A ．14B ．28C ．36D ．485．（5分） 2.5PM 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 2.5PM 日均值在335/g m μ以下空气质量为一级，在335~75/g m μ空气质量为二级，超过375/g m μ为超标．如图是某地12月1日至10日的 2.5PM （单位：3/)g m μ的日均值，则下列说法正确的是( )A ．10天中 2.5PM 日均值最低的是1月3日B ．从1日到6日 2.5PM 日均值逐渐升高C ．这10天中恰有5天空气质量不超标D ．这10天中 2.5PM 日均值的中位数是436．（5分）已知抛物线24y x =上点B （在第一象限）到焦点F 距离为5，则点B 坐标为()A ．(1,1)B ．(2,3)C ．(4,4)D ．(4,3)7．（5分）设a r，b r 是非零向量，则“a b ⊥r r ”是“|2||2|a b a b +=-r r r r 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件8．（5分）如图是函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分图象，则ω，ϕ的值分别为( )A ．1，3πB ．1,6π-C ．2,6π-D ．2,6π9．（5分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，121n n a S +=+，*n N ∈，则5S 值为() A ．363B ．121C ．80D ．4010．（5分）已知0a >，0b >，111a b+=，则a b +的最小值为( ) A ．14B ．12C ．2D ．411．（5分）已知a ，b 是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若//a α，//b β，//a b ，则//αβB ．若αβ⊥，a α⊥，则//a βC ．若αβ⊥，αγ⊥，a βγ=I ，则a α⊥D ．若//αβ，//a α，则//a β12．（5分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．（5分）已知x ，y 满足约束条件0,0,2x y x y -⎧⎪⎨⎪⎩………则z x y =+的最大值为 ． 14．（5分）已知双曲线2222(0,0)x y l a b a b-=>>的渐近线方程为y x =，则该双曲线的离心率为 ．15．（5分）定义在(1,)+∞上的函数()f x 满足下列两个条件：（1）对任意的(1,)x ∈+∞恒有(2)2()f x f x =成立；（2）当(1x ∈，2]时，()2f x x =-．则f （6）的值是 ． 16．（5分）已知矩形ABCD 中，点8AB =，6AD =，沿对角线BD 折叠成空间四边形ABCD ，则空间四边形ABCD 的外接球的表面积为 ．三、解答题，（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）设函数2()2sin cos 2cos ()4f x x x x π=-+．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()02Bf =，a =1c =，求b ．18．（12分）某中学高三（3）班有学生50人，现调查该班学生每周平均体育锻炼时间的情况，得到如图频率分布直方图，其中数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．（Ⅰ）从每周平均体育锻炼时间在[0，4]的学生中，随机抽取2人进行调查，求这2人的每周平均体育锻炼时间都超过2小时的概率；（Ⅱ）现全班学生中有40%是女生，其中3个女生的每周平均体育锻炼时间不超过4小时，若每周平均体育锻炼时间超过4小时称为经常锻炼，问：有没有90%的把握说明，经常锻炼与否与性别有关？附：22()n ad bc X -=19．（12分）如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，160CBB ∠=︒，A 在侧面11BB C C 上的投影恰为1B C 的中点O ，E 为AB 的中点． （1）证明：//OE 平面11ACC A ；（1）若AC 与平面11BB C C 所成角为45︒，且2BC =，求E 到平面11ACC A 的距离．20．（12分）已知过点3(1,)2P 的曲线C 2222(1)(1)2x y x y a -+++．（Ⅰ）求曲线C 的标准方程：（Ⅱ）已知点(1,0)F ，A 为直线4x =上任意一点，过F 作AF 的垂线交曲线C 于点B ，D ． ()i 证明：OA 平分线段BD （其中O 为坐标原点）； ()ii 求||||BD AF 最大值． 21．（12分）已知函数2()2sin 2f x x x x π=-+，曲线()f x 在函数零点处的切线方程为y kx b =+．（Ⅰ）求k ，b 的值；（Ⅱ）当0k >时，若有12()kx b f x +=成立，求证：210x x -…．请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A -，(1,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为4-．记M 的轨迹为曲线C ．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ++=．。
2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷(二)(有答案解析)
2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|（x+1）（x-2）＜0}，则A∩B=（）A. {0，1}B. {-1，0}C. {-1，0，1}D. {0，1，2}2.若的实部与虚部相等，则实数a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.下列各点中，可以作为函数y=sin x-cos x+1图象的对称中心的是（）A. （）B. （）C. （）D. （）4.执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p为（）A. 6B. 24C. 120D. 7205.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=4，a4=2，则S6=（）A. 0B. 10C. 15D. 306.已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，可以作为α∥β的充分条件的是（）A. m∥n，m⊂α，n⊂βB. m∥n，m⊥α，n⊥βC. m⊥n，m∥α，n∥βD. m⊥n，m⊥α，n⊥β7.科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A. 2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大B. 2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小C. 该企业连续12年来研发投入逐年增加D. 该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加8.已知，是两个单位向量，且夹角为，t∈R，则+t与t+数量积的最小值为（）A. -B. -C.D.9.我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为2；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π．其中正确的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 010.函数f（x）=的部分图象大致是（）A. B.C. D.11.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，若AF，BF的中点在y轴上的射影分别为M，N，且|MN|=4，则抛物线C的准线方程为（）A. x=-B. x=-2C. x=-3D. x=-412.已如函数f（x）=，若x1≠x2，且f（x1）+f（x2）=2，则x1+x2的取值范围是（）A. [2，+∞）B. [e-1，+∞）C. [3-2ln2，+∞）D. [3-2ln3，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a＞0，b＞0，且2是a，b的等比中项，则a+4b的最小值为______14.已知矩形ABCD，AB=12，BC=5，以A，B为焦点，且过C，D两点的双曲线的离心率为______．15.若8件产品中包含6件一等品，在这8件产品中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为______．16.已知数列{a n}中，a1=2，，则=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，AB=6，AC=4．（Ⅰ）若sin B=，求△ABC的面积；（Ⅱ）若=2，AD=3，求BC的长．18.某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分组）．分组频数[55，65）2[65，75）4[75，85）10[85，95]4合计20第一车间样本频数分布表（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；（Ⅱ）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中，随机抽取3人，记抽取的生产时间小于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．19.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（Ⅰ）证明：AE⊥PB；（Ⅱ）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A-PE-C的余弦值．20.已知椭圆C：=1的短轴端点为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2．（Ⅰ）求动点N的轨迹方程；（Ⅱ）求四边形MB2NB1面积的最大值．21.已知a∈R，函数f（x）=+a ln x，x∈（0，6）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x=2是f（x）的极值点，且曲线y=f（x）在两点P（x1，f（x1），Q（x2，f（x2））（x1＜x2）处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为b1，b，求b1-b2的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A（2，1）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcosθ=3，从原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|•|ON|=12，记点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．23.已知函数f（x）=|2x-1|+|x-1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，当a，b，c∈R+，且a+b+c=m时，求++的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由B中不等式解得：-1＜x＜2，即B={x|-1＜x＜2}，∵A={-1，0，1，2}，∴A∩B={0，1}，故选：A．求出集合B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a值．【解答】解：∵=的实部与虚部相等，∴a+1=1-a，即a=0．故选A．3.答案：A解析：解：∵函数y=sin x cos x+1=2sin（x-）+1，令x-=kπ，可得x=kπ+，k∈Z，故函数的图象的对称中心为（kπ+，1），故选：A．利用两角差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称中心，得出结论．本题主要考查两角差的正弦公式，正弦函数的图象的对称中心，属于基础题．4.答案：B解析：解：由已知中N=4，第一次进入循环时，p=1，此时k=1不满足退出循环的条件，则k=2第二次进入循环时，p=2，此时k=2不满足退出循环的条件，则k=3第三次进入循环时，p=6，此时k=3不满足退出循环的条件，则k=4第四次进入循环时，p=24，此时k=4满足退出循环的条件，故输出的p值是24故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算p值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法，属于基础题．5.答案：C解析：【分析】根据等差数列的性质，根据a2=4，a4=2，求出a1，d，代入等差数列的前n项和公式即可．本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式，属于基础题．【解答】解：数列{a n}是等差数列，a2=4=a1+d，a4=2=a1+3d，所以a1=5，d=-1，则S6=6a1+=15．故选C．6.答案：B解析：解：由题意知，m∥n，且m⊥α，n⊥β，则α∥β．故选：B．根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．本题考查了面面垂直的判断问题，是基础题．7.答案：D解析：【分析】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．由折线图和条形图可得答案【解答】解：由折线图和条形图可得2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大，2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小，该企业连续12年来研发投入逐年增加，该企业连续12年来研发投入占营收比，有增有减故选：D．8.答案：A解析：解：由，是两个单位向量，且夹角为，所以||=||=1，=，则（+t）•（t+）=t2+t2+（t2+1）=+2t=（t+2）2-≥-，当且仅当t=-2时取等号，则+t与t+数量积的最小值为-，故选：A．由平面向量数量积的性质及其运算得：（+t）•（t+）=t2+t2+（t2+1）=+2t=（t+2）2-≥-，当且仅当t=-2时取等号，得解．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．9.答案：A解析：解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，则四个侧面是直角三角形，故①正确；最长棱为PC，长度为，故②正确；由已知可得，PB=，，PD=，则四个侧面均不全等，故③错误；把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为，其表面积为，故④正确．∴其中正确的个数为3．故选：A．由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面ABCD 为矩形，AB=2，BC=4，然后逐一分析四个选项得答案．本题考查由三视图还原原几何体，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10.答案：B解析：【分析】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，以及函数值的变化趋势是关键，属于常规题.先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞），f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A；分别取x=1，x=2，得f（2）＜f(1)，故排除D；当x=1时，f（1）=＜0，故排除C；综上所述，只有B符合.故选B．11.答案：C解析：【分析】本题考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题．求得抛物线的焦点坐标，以及直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得p，进而得到抛物线的准线方程．【解答】解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），过F且倾斜角为120°的直线方程设为y=-（x-），联立抛物线的方程可得y2+2py-p2=0，设A的纵坐标为y1，B的纵坐标为y2，M，N的纵坐标为y1，y2，可得y1+y2=-，y1y2=-p2，由|MN|=4，得|y1-y2|=4，可得（y1+y2）2-4y1y2=192，即为+4p2=192，解得p=6，则抛物线的准线方程为x=-3．故选C．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数与导数的相关知识,属中档题．可根据题意及画出的分段函数的图象确定出x1＜1＜x2，然后可将f（x1）和f（x2）代入到确定的表达式，得到x1和x2的关系式，再用x2表示x1，则可只用x2表达x1+x2，再构造函数g（x）与x1+x2的表达式一致，通过求导方法判断出g（x）的值域即可得到x1+x2的取值范围．【解答】解：根据题意，画出分段函数f（x）图象如下：由两个函数图象及题意，可知：x1，x2不可能同时＞1．因为当x1和x2都大于1时，f（x1）+f（x2）＞2，不满足题意，∴x1，x2不可能同时＞1．而x1≠x2，∴x1＜1＜x2，∴f（x1）+f（x2）=，∵f（x1）+f（x2）=2，∴，∴x1=1-2ln x2，∴x1+x2=1+x2-2ln x2，（x2＞1）．构造函数g（x）=1+x-2ln x，（x＞1）则．①令g′（x）=0，即，解得x=2；②令g′（x）＜0，即，解得1<x＜2；③令g′（x）＞0，即，解得x＞2．∴g（x）在（1，2）上单调递减，在x=2处取得极小值，在（2，+∞）上单调递增．∴g（x）min=g（2）=3-2ln2．∴g（x）≥3-2ln2．∴x1+x2≥3-2ln2．故选：C．13.答案：8解析：解：a＞0，b＞0，且2是a，b的等比中项，故ab=4，所以a+4b≥2=8，当且仅当a=4b时取得等号，即a=4，b=1时取得最小值8．故填：8．a＞0，b＞0，且2是a，b的等比中项，故ab=4，再根据基本不等式处理即可，本题考查了等比中项的性质，基本不等式，属基础题．14.答案：解析：解：由题意可得点OA=OB=6，AC=13设双曲线的标准方程是．则2c=12，c=6，则2a=AC-BC=13-5=8，所以a=4．所以双曲线的离心率为：e==．故答案为：．由题意可得点A，B，C的坐标，设出双曲线的标准方程，根据题意知2a=AC-BC，求得a，进而求得c，则双曲线的离心率可得．本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，解答的关键是合理利用双曲线的定义解题．15.答案：解析：解：根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A，“一件上一等品，另一件不是一等品”为事件B，则P（A）=1-=1-=，P（AB）==，则P（B|A）==；故答案为：．根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A，“一件上一等品，另一件不是一等品”为事件B，分别求得P（AB）和P（A）的值，再利用条件概率的计算公式运算求得结果．本题主要考查条件概率的求法，解答此题的关键是条件概率公式的灵活运用，属于基础题．16.答案：解析：【分析】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．利用数列的递推关系式，推出{}是等差数列，然后求解数列的和即可．【解答】解：由得a n+1（n+1+2a n）=na n，即2a n a n+1+（n+1）a n+1=na n，两边同时除以n（n+1）a n a n+1，得，由累加法得，∴为等差数列，所以．故答案为：．17.答案：解：（Ⅰ）∵b=4＜6=c，∴B为锐角．∵sin B=，∴cos B==．∴=62+a2-12a×，化为：a2-4a+4=0，解得a=2．∴△ABC的面积S==4．（Ⅱ）=2，AD=3，设CD=x，则BD=2x．在△ABD与△ABC中，分别利用余弦定理可得：cos B==，解得x=．∴BC=．解析：（Ⅰ）由b=4＜6=c，可得B为锐角．可得cos B=．利用余弦定理可得a．利用面积计算公式即可得出．（Ⅱ）=2，AD=3，设CD=x，可得BD=2x．在△ABD与△ABC中，分别利用余弦定理即可得出．本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、平方关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：（I）估计第一车间生产时间小于75min的工人人数为200×=60（人），（2分）估计第二车间生产时间小于75min的工人人数为：400×（0.025+0.05）×10=300（人）．（II）第一车间生产时间平均值约为：=（60×2+70×4+80×10+90×4）=78（min）．第二车间生产时间平均值约为：=60×0.25+70×0.5+80×0.2+90×0.05=70.5（min），∵x1＞x2，∴第二车间工人生产效率更高．（III）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75min的工人有6人，其中生产时间小于65min的有2人，从中抽取3人，随机变量X服从超几何分布，X可取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X012P∴数学期望E（X）==1．解析：本题考查频数、平均值、样本频数分布表、频率分布直方图、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单简单实际问题的能力，考查运算求解能力，是中档题．（I）由样本频数分布表能估计第一车间生产时间小于75min的工人人数，由频率分布直方图能估计第二车间生产时间小于75min的工人人数．（II）分别求出第一车间生产时间平均值主第二车间生产时间平均值，由此能求出第二车间工人生产效率更高．（III）第一车间被统计的生产时间小于75min的工人有6人，其中生产时间小于65min 的有2人，从中抽取3人，随机变量X服从超几何分布，X可取值为0，1，2，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）．19.答案：（I）证明：连接BD，设AE的中点为O，∵AB∥CE，AB=CE=CD，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE，∴△ADE，△ABE为等边三角形，∴OD⊥AE，OB⊥AE，又OP∩OB=O，OP，OB⊂平面POB，∴AE⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AE⊥PB．（II）解：在平面POB内作PQ⊥平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，∴直线PB与平面ABCE夹角为∠PBO=，又OP=OB，∴OP⊥OB，∴O、Q两点重合，即PO⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），E（，0，0），C（1，，0），∴=（，0，-），=（，，0），设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），则，即，令x=得=（，-1，1），又OB⊥平面PAE，∴=（0，1，0）为平面PAE的一个法向量，设二面角A-EP-C为α，则|cosα|=|cos＜＞|===，易知二面角A-EP-C为钝角，所以cosα=-．解析：本题考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．（1）连接BD，设AE的中点为O，可证AE⊥PO，AE⊥BO，故而AE⊥平面POB，于是AE⊥PB；（II）证明PO⊥OB，建立空间坐标系，求出两平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．20.答案：解：（I）设N（x，y），M（x0，y0）（（x0≠0）．∵NB1⊥MB1，NB2⊥MB2，直线NB1的方程为：y+3=x，直线NB2的方程为：y-3=-x，相乘可得：y2-9=x2．又∵+=1，∴=-2．∴y2-9=-2x2，化为：+=1．（x≠0）．（II）设N（x1，y1），M（x0，y0）（x0≠0）．∴四边形MB2NB1面积S=|B1B2|•（|x1|+|x0|）=3×|x0|，∵≤18，当=18时，S的最大值为．解析：（I）设N（x，y），M（x0，y0）（（x0≠0）．由NB1⊥MB1，NB2⊥MB2，可得直线NB1的方程为：y+3=x，直线NB2的方程为：y-3=-x，相乘可得：y2-9=x2．又根据+=1，即可得出．（II）设N（x1，y1），M（x0，y0）（x0≠0）．四边形MB2NB1面积S=|B1B2|•（|x1|+|x0|）=3×|x0|，根据≤18，即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形面积计算公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：（Ⅰ）∵f′（x）=-+=．∴①当a≤0时，f′（x）＜0在x∈（0，6）上恒成立，∴函数f（x）在x∈（0，6）上单调递减，无单调递增区间；②当a＞0，且≥6，即时，f′（x）＜0在x∈（0，6）上恒成立，∴函数f（x）在x∈（0，6）上单调递减，无单调递增区间．③当a＞0，且＜6，即a时，函数f（x）在上，f′（x）＜0，∴f（x）此时单调递减．函数f（x）在上，f′（x）＞0，∴f（x）此时单调递增．综上：当a时，函数f（x）在x∈（0，6）上单调递减，无单调递增区间．③当a时，函数f（x）在上单调递减；函数f（x）在上，单调递增．（Ⅱ）∵x=2是函数f（x）的极值点，∴由（1）可知，=2，解得a=1设曲线在点P（x1，f（x1））处的切线方程为y-（+ln x1）=（-+）（x-x1），曲线在点Q（x2，f（x2））处的切线方程为y-（+ln x2）=（-+）（x-x2）．∴若这两条切线互相平行，则-+=-+，化为：+=．∵=-，且0＜x1＜x2＜6．∴＜-＜，∴＜，∴x1∈（3，4），两条切线在y轴上的截距：令x=0，则b1=+ln x1-1，b2=+ln x2-1．∴b1-b2=+ln x1-1-（+ln x2-1）=4（-）-ln+ln（）．令g（x）=8x-2-ln x+ln（-x），x∈．g′（x）=8--=．∴g（x）在区间上单调递减，∴g（x）∈．即b1-b2的取值范围是．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（Ⅰ）f′（x）=-+=．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．（Ⅱ）由x=2是函数f（x）的极值点，可得由（1）可知，=2，解得a=1．设曲线在点P（x1，f（x1））处的切线方程为y-（+ln x1）=（-+）（x-x1），曲线在点Q（x2，f（x2））处的切线方程为y-（+ln x2）=（-+）（x-x2）．若这两条切线互相平行，可得-+=-+，化为：+=．又0＜x1＜x2＜6．可得x1∈（3，4），两条切线在y轴上的截距：令x=0，则b1=+ln x1-1，b2=+ln x2-1．可得b1-b2=4（-）-ln+ln（）．令g（x）=8x-2-ln x+ln（-x），x∈．利用导数研究函数的单调性即可得出．22.答案：解：（Ⅰ）直线l1的参数方程为，即（t为参数）．………………………………………（2分）设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），则，即，即ρ=4cosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0（x≠0）．……………………………………………（5分）（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得，……………………………（7分）即，t1，t2为方程的两个根，∴t1t2=-3，………………（9分）∴|AP|•|AQ|=|t1t2|=|-3|=3．………………………………………（10分）解析：（Ⅰ）直接由已知写出直线l1的参数方程，设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得，即ρ=4cosθ，然后化为普通方程；（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，再由参数t的几何意义可得|AP|•|AQ|的值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.答案：解：（Ⅰ）f（x）≤4⇔或或，解得-≤x≤2，故不等式f（x）≤4的解集为{x|-≤x≤2}（Ⅱ）∵f（x）=，∴f（x）min=，即m=，又a，b，c∈R+且a+b+c=，z则2a+2b+2c=1，设x=，y=，z=，∵x2+y2≥2xy，2xy≤x2+y2=2a+1+2b+1=2a+2b+2，同理：2yz≤2a+2c+2，2xz≤2c+2a+2，∴2xy+2yz+2xz≤2a+2b+2+2b+2c+2+2c+2a+2=8，∴（x+y+z）2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz≤2a+1+2b+1+2c+1+8=12，∴x+y+z≤2，即++≤2，当且仅当a=b=c=时，取得最大值2．解析：（Ⅰ）分3段去绝对值解不等式，在相并；（Ⅱ）先求得m=，再设x=，y=，z=，然后利用重要不等式以及不要等式的性质可得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
2020届 辽宁省大连市第八中学 高三第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2020届辽宁省大连市第八中学高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题 1．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先求出集合U ，再根据补集的定义求出结果即可． 【详解】 由题意得，∵，∴．故选C ． 【点睛】本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合和熟悉补集的定义，属于简单题．2．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ） A ．3 B ．5C 3D 5【答案】D【解析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可. 【详解】() 125i z i -=（i 是虚数单位）可得()125i z i -= 解得5z = 本题正确选项：D 【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力. 3．221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】设cos {sin cos sin cos cos sin sin(+)1sin a a b b αθθθαθαθαα=⇒+=+=≤= 成立；反之，0a b ==满足 sin cos 1a b θθ+≤，但221a b +≠，故选A.4．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a bb ab a b a >>> C ．1log log b ab aa ab b >>>D ．1log log a bb aa b a b >>>【答案】D【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log abb aa b a b >>>；故选D.5．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m =，例如112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）．A ．21B ．22C ．23D ．24【答案】C【解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.6．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A ．240 B ．320C ．180D ．120【答案】C【解析】在所有两组至少都是3人的分组中减去3名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果. 【详解】两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4，又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为432882221180C C A A ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题. 7．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为( )A ．1-B ．34C D ．14【答案】A【解析】求出满足条件的正ABC ∆的面积，再求出满足条件的正ABC ∆内的点到顶点A 、B 、C 的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案． 【详解】满足条件的正ABC ∆如下图所示：其中正ABC ∆的面积为23443ABC S ∆=⨯=， 满足到正ABC ∆的顶点A 、B 、C 的距离均不小于2的图形平面区域如图中阴影部分所示，阴影部分区域的面积为21222S ππ=⨯⨯=. 则使取到的点到三个顶点A 、B 、C 的距离都大于2的概率是31143P π=-=-. 故选：A. 【点睛】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题． 8．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】画出曲线与围成的封闭区域，表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，然后结合图形求解可得所求范围．【详解】 画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示．表示封闭区域内的点和定点连线的斜率， 设，结合图形可得或， 由题意得点A,B 的坐标分别为，∴，∴或，∴的取值范围为．故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题．952，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ）A 25B 45C ．3D ．4【答案】C【解析】分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解P 的位置，推出结果即可.52，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，P 在底面的射影为O ；543SA =+=，OA SO >，过SA 的轴截面如图：90ASQ ∠>︒，过Q 作QT SA ⊥于T ，则QT QS <，在底面圆周，选择P ，使得90PSA ∠=︒，则P 到SA 的距离的最大值为3，故选：C点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题．10．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，2AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 【答案】B【解析】分别取BD 、CD 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，利用二面角的定义转化二面角A BD C --的平面角为23AMN π∠=，然后分别过点M 作平面ABD 的垂线与过点N 作平面BCD 的垂线交于点O ，在Rt OMN ∆中计算出OM ，再利用勾股定理计算出OA ，即可得出球O 的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案． 【详解】 如下图所示，分别取BD 、CD 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，由于ABD ∆是以BAD ∠为直角等腰直角三角形，M 为BD 的中点，AM BD ∴⊥，2CBD π∠=Q，且M 、N 分别为BD 、CD 的中点，所以，//MN BC ，所以，MN BD ⊥，所以二面角A BD C --的平面角为23AMN π∠=， 2AB AD ==Q ，则222BD AB AD =+=，且2BC =，所以，112AM BD ==，112MN BC ==， ABD ∆Q 是以BAD ∠为直角的等腰直角三角形，所以，ABD ∆的外心为点M ，同理可知，BCD ∆的外心为点N ，分别过点M 作平面ABD 的垂线与过点N 作平面BCD 的垂线交于点O ，则点O 在平面AMN 内，如下图所示，由图形可知，2326OMN AMN AMO πππ∠=∠-∠=-=， 在Rt OMN ∆中，3cos MN OMN OM =∠=233OM ∴==， 所以，2221OA OM AM =+=， 所以，球O 的半径为21R =，因此，球O 的表面积为2221284433R πππ⎛=⨯= ⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题．11．在ABC V 中，已知9AB AC ⋅=uu u r uuu r，sin cos sin B A C =，6ABC S =V ，P 为线段AB上的一点，且CA CB CP x y CA CB=⋅+⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则11x y +的最小值为（ ） A．712+B ．12C ．43D．512+【答案】A【解析】在ABC V 中，设AB c =，BC a =，AC b =，结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cos 0C =，可得2C π=，再由已知条件求得4a =，3b =，5c =，考虑建立以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4312x y +=，然后利用基本不等式可求得11x y+的最小值. 【详解】在ABC V 中，设AB c =，BC a =，AC b =，sin cos sin B A C =Q ，即()sin cos sin A C A C +=，即sin cos cos sin cos sin A C A C A C +=，sin cos 0A C ∴=，0A π<<Q ，sin 0A ∴>，cos 0C ∴=，0C π<<Q ，2C π∴=，9AB AC ⋅=u u u r u u u r Q ，即cos 9cb A =，又1sin 62ABC S bc A ==V ，sin 4tan cos 3bc A aA bc A b∴===，162ABCS ab ==V Q ，则12ab =，所以，4312a b ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得43a b =⎧⎨=⎩，5c ∴=. 以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则()0,0C 、()3,0A 、()0,4B ，P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()()()3,43,401AP AB λλλλλ==-=-≤≤u u u r u u u r，()33,4CP CA CB λλ∴=+=-u u u r u u u r u u u r，设1CA e CA =u u u r u r u u u r ，1C e B CB=u u u r u r u u u r ，则121e e ==u r u u r ，()11,0e ∴=u r ，()20,1e =u r ， ()12,CA CB CP x y xe ye x y CA CB =⋅+⋅=+=u u u r u u u ru u u r u r u u r Q u u u r u u u r ，334x y λλ=-⎧∴⎨=⎩，消去λ得4312x y +=，134x y∴+=，所以，117737234341234121211x y x y x y x x y y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当32x y =时，等号成立， 因此，11x y +的最小值为37312+.故选：A. 【点睛】本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解CA CAu u u ru u u r 是一个单位向量，从而可用x 、y 表示CP u u u r，建立x 、y 与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由33x λ=-，4y λ=发现4312x y +=为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属于难题. 12．已知函数21()(1)()2x f x ax x e a R =--∈若对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有123()()()f x f x f x +≥，则实数a 的取值范围是( ）A ．[]12， B ．[]e,4C ．[]14， D ．[)[]12,4e ⋃， 【答案】C【解析】分析：先求导,再对a 分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥，得到关于a 的不等式组，再解不等式组得到实数a 的取值范围.详解：由题得()[(1)]()x x x x f x ax e x e ax xe x a e =-+-=-=-'.当a ＜1时，()0f x '<，所以函数f （x ）在[]01，单调递减， 因为对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(1)(1)(0)f f f +≥， 所以111,22a a +≥ 故a ≥1，与a ＜1矛盾，故a ＜1矛盾.当1≤a<e 时，函数f(x)在[0,lna]单调递增，在(lna,1]单调递减. 所以2max 1()(ln )ln ln ,2f x f a a a a a a ==-+ 因为对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(0)(1)(ln )f f f a +≥，所以2111ln ln ,22a a a a a a +≥-+ 即211ln ln 1022a a a a a -+-≤令211()ln ln 1,(1)22g a a a a a a a e =-+-≤<，所以21()(ln 1)0,2g a a =-<'所以函数g(a)在（1，e ）上单调递减， 所以max 1()(1)02g a g ==-<， 所以当1≤a<e 时，满足题意. 当a e ≥时，函数f(x)在(0,1)单调递增,因为对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(0)(0)(1)f f f +≥, 故1+112a ≥， 所以 4.a ≤ 故 4.e a ≤≤综上所述，a ∈[]14，. 故选C.点睛：本题的难点在于“对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥”的转化.由于是函数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口.二、填空题13．设n S 为等比数列{}n a 的前项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a = .【答案】.【解析】试题分析：∵，，成等差数列，∴，又∵等比数列，∴.【考点】等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.14．已知0t >，记122337788888880()(1248...128256)tf t C x C x C x C x C x dx =-+-+-+⎰，则()f t 的展开式中各项系数和为__________． 【答案】19【解析】根据定积分的计算，得到()911(12)1818f t t =--+，令1t =，求得()119f =，即可得到答案． 【详解】根据定积分的计算，可得122337788888880()(1248...128256)tf t C x C x C x C x C x dx=-+-+-+⎰89001(12)(12)|18tt x dx x =-=--⎰911(12)1818t =--+，令1t =，则()91111(121)18189f =--⨯+=， 即()f t 的展开式中各项系数和为19.【点睛】本题主要考查了定积分的应用，以及二项式定理的应用，其中解答中根据定积分的计算和二项式定理求得()f t 的表示是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则AB DE +的最小值为__________． 【答案】16.【解析】由题意可知抛物线2:4C y x =的焦点():1,0F ，准线为1x =- 设直线1l 的解析式为()1y k x =- ∵直线12,l l 互相垂直 ∴2l 的斜率为1k-与抛物线的方程联立()21{4y k x y x=-=，消去y 得()2222240k x k x k -++=设点()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y由跟与系数的关系得212224k x x k++=，同理23421241k x x k ++= ∵根据抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离 ∴1211AB x x =+++，同理3411DE x x =+++∴2222221242444848161k k AB DE k k k k+++=++=++≥+=，当且仅当21k =时取等号.故答案为16点睛：（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径；（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件． 16．已知函数()y f x =为R 上的奇函数，满足()2f x '>-.则不等式()()()2132ln 312f x x x x -<-+-的解集为________.【答案】()0,1【解析】构造函数()()()()2132ln 312g x f x xx x =-----，利用导数判断出函数()y g x =的单调性，再将所求不等式变形为()()1g x g <，利用函数()y g x =的单调性即可得解. 【详解】设()()()()2132ln 312g x f x xx x =-----，则()()14ln 46g x f x x x x ''=-+-+，设()4ln 46h x x x x =-+，则()4ln h x x '=.当01x <<时，()0h x '<，此时函数()y h x =单调递减；当1x >时，()0h x '>，此时函数()y h x =单调递增.所以，函数()y h x =在1x =处取得极小值，也是最小值，即()()min 12h x h ==，()12f x '->-Q ，()2h x ≥，()()10f x h x '∴-+>，即()0g x '>，所以，函数()y g x =在()0,∞+上为增函数，Q 函数()y f x =为R 上的奇函数，则()00f =，()()10330g f =-+=Q ，则不等式()()()2132ln 312f x x x x -<-+-等价于()()1g x g <，又0x Q >，解得01x <<. 因此，不等式()()()2132ln 312f x x x x -<-+-的解集为()0,1.故答案为：()0,1. 【点睛】本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．三、解答题17．已知函数()22cos cos sin f x x x x x =+-.（1）求函数()y f x =的最小正周期以及单调递增区间；（2）已知ABC ∆，若()1f C =，2c =，()sin sin 2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）最小正周期为π，单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2.【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求得函数()y f x =的最小正周期，解不等式()222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可求得该函数的单调递增区间；（2）由()1f C =求得3C π=，由()sin sin 2sin 2C B A A +-=得出2A π=或2b a =，分两种情况讨论，结合余弦定理解三角形，进行利用三角形的面积公式可求得ABC ∆的面积. 【详解】（1）()22cos cos sin 2cos 22sin 26f x x x x x x x x π⎛⎫=⋅+-=+=+⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==， 由()222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得()36k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 因此，函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）由()1f C =，得2sin 216C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2266C k πππ∴+=+或52266C k πππ+=+，C k π∴=或()3C k k Z ππ=+∈， ()0,C π∈Q ，3C π∴=，又()()()sin sin sin sin 2sin cos C B A B A B A B A +-=++-=Q ，2sin cos 2sin 2B A A ∴=，即sin cos 2sin cos B A A A =.①当cos 0A =时，即2A π=，则由3C π=，2c =，得sin 3c a C ==，则123b a ==，此时，ABC ∆的面积为12ABC S bc ∆== ②当cos 0A ≠时，则sin 2sin B A =，即2b a =，则由222cos 122a b c C ab +-==，解得a =b =1sin 2ABC S ab C ∆∴==.综上，ABC ∆的面积为3ABC S =V . 【点睛】本题考查正弦型函数的周期和单调区间的求解，同时也考查了三角形面积的计算，涉及余弦定理解三角形的应用，考查计算能力，属于中等题.18．《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布(60,169)N ． （1）求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望． （附：若随机变量()2~,N ξμσ，则()0.682P μσξμσ-<<+=，(22)0.954P μσξμσ-<<+=，(33)0.997P μσξμσ-<<+=）【答案】（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析．【解析】（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间()47,86分为()47,60和()60,86两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间()47,86内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为25，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，由此可得X的分布列和数学期望． 【详解】（Ⅰ）因为物理原始成绩()260,13N ξ~，所以(4786)(4760)(6086)P P P ξξξ<<=<<+≤<11(60136013)(6021360213)22P P ξξ=-<<++-⨯≤<+⨯ 0.6820.95422=+0.818=．所以物理原始成绩在（47，86）的人数为20000.8181636⨯=（人）． （Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为25． 所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0,1,2,3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， 所以()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，()2132354155125P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， ()2232336255125P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为X0 1 2 3P27125 54125 36125 8125所以数学期望()26355E X =⨯=． 【点睛】（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布．19．如图，四边形ABCD 中，2ADC π∠=，2AD AB BC CD ===，AE EC =，沿对角线AC 将ACD ∆翻折成ACD ∆'，使得BD BC '=.（1）证明：BE CD ⊥'；（2）求直线BE 与平面ABD '所成角的正弦值. 【答案】（1）见证明；（23【解析】（1）取CD '的中点K ，连,EK BK .可证得EK CD ⊥'，BK CD ⊥'，于是可得CD '⊥平面BKE ，进而可得结论成立．（2）运用几何法或向量法求解可得所求角的正弦值．【详解】（1）证明：取CD '的中点K ，连,EK BK .∵AE EC =， ∴//EK AD '． 又AD CD '⊥'， ∴EK CD ⊥'.在BCD ∆'中，BC BD ='， ∴BK CD ⊥'． 又EK BK K ⋂=， ∴CD '⊥平面BKE ， 又BE ⊂平面BKE ， ∴BE CD ⊥'.（2）解法1：取AD '的中点F ，连结,EF BF ，∵AE EC =， ∴//EF CD ', 又CD AD '⊥'， ∴AD EF '⊥．又由题意得ABD 'n 为等边三角形， ∴AD BF '⊥， ∵BF EF F ⋂=， ∴AD '⊥平面BEF ．作EH BF ⊥，则有EH ⊥平面ABD '， ∴EBF ∠就是直线BE 与平面ABD '所成的角． 设1CD '=，则12EF =， 在等边ABD 'n中，3232BF =⨯=． 又在ABC n 中，2,AC 5AB BC ===，故2251122BE ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭． 在EBF n 中，由余弦定理得()22211132233cos 11232EBF ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯，∴3sin EBF ∠=， ∴直线BE 与平面ABD '所成角的正弦值为3．解法2：由题意可得EB ACD ⊥'平面，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz .不妨设1CD =，则在直角三角形ACD '中，可得2,AC 5AD ='=， 作D G AC '⊥于G ，则有平面几何知识可得535510D G EG EC CG ==-='， ∴3525D ⎛' ⎝⎭． 又可得50,A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，11B ⎫⎪⎪⎝⎭.∴AD ⎛= '⎝⎭u u u u v,2AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ．设平面ABD '的一个法向量为(),y,m x z =v，由0022m AD y z m AB x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩'u u u u v v u u u v v，得2x y z y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，令y =，则得(m =-v．又,0,02EB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，设直线BE 与平面ABD '所成的角为θ，则sin cos ,||m EB m EB m EBθ===u u uv v u u uv v u u v u u u v n 所以直线BE 与平面ABD '【点睛】利用向量法求解直线和平面所成角时，关键点是恰当建立空间直角坐标系，确定斜线的方向向量和平面的法向量．解题时通过平面的法向量和直线的方向向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角．求解时注意向量的夹角与线面角间的关系．20．已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆()22222:10y x C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C的公共弦的长为（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线与1C 相交于A 、B 两点，与2C 相交于C 、D 两点，且AC u u u r 与BD u u u r同向，设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形；（3）P 为2C 上的动点，1A 、2A 为2C 长轴的两个端点，过点O 作2A P 的平行线交椭圆于点R ，过点O 作1A P 的平行线交椭圆于点S ，请问ORS ∆的面积是否为定值，并说明理由.【答案】（1）22198y x +=；（2）证明见解析；（3）是，理由见解析. 【解析】（1）根据两个曲线的焦点相同，得到221a b -=，再根据1C 与2C 的公共弦长为26229614a b+=，可求出2a 和2b 的值，进而可得出曲线2C 的方程； （2）设点()11,A x y ，根据导数的几何意义得到曲线1C 在点A 处的切线方程，求出点M 的坐标，利用向量的数量积得出0FA FM ⋅>u u u r u u u u r，则问题得以证明；（3）设直线1:OR y k x =，直线2:OS y k x =，()33,R x y 、()44,Q x y 、()00,P x y ，推导出1298k k =-以及()123412ORS S k k x x ∆=-，求出23x 和24x ，通过化简计算可得出24ORS S ∆为定值，进而可得出结论.【详解】（1）由21:4C x y =知其焦点F 的坐标为()0,1，F Q 也是椭圆2C 的一个焦点，221a b ∴-=，①又1C 与2C 的公共弦的长为26，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为24x y =， 由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为36,2⎛⎫± ⎪⎝⎭，229614a b ∴+=，② 联立①②，得29a =，28b =，故2C 的方程为22198y x +=；（2）如图，()11,A x y ，由24x y =得2x y '=， 1C ∴在点A 处的切线方程为()1112x y y x x -=-，即21124x x x y =-，令0y =，得12x x =，即1,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,12x FM ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭u u u u r ，而()11,1FA x y =-u u u r ，于是2211111024x x FA FM y ⋅=-+=+>u u u r u u u u r ，因此AFM ∠是锐角，从而MFD AFM π∠=-∠是钝角. 故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形；（3）设直线1:OR y k x =，直线2:OS y k x =，()33,R x y 、()44,Q x y 、()00,P x y ，则20200012220000999339988x y y y k k x x x x --+--=⋅===-， 设向量OR uuu r 和OS u u u r的夹角为θ，则ORS ∆的面积为1sin 2ORSS OR OS θ∆=⋅=u u u r u u u r==()23414312343443112122x y x y k x x k x x k k x x =--==-， 由221198y x y k x⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可得23217298x k =+，同理可得24227298x k =+， 故有()()()222121221222222212121272722727249898647281ORSk k k k S k k k k k k k k ∆⨯+-=-⋅⋅=+++++. 又1298k k ⋅=-，故()()()()2222121212122222221212727227272247216296472818ORS k k k k k k k k S k k k k ∆⨯+-⨯+-==++⎛⎫⨯-+++ ⎪⎝⎭()()()22221212222212129727272721624727216272162k k k k k k k k ⎛⎫⨯++ ⎪⎡⎤⨯++⎝⎭⎣⎦===++++， 则218ORS S ∆=，因此，ORS ∆的面积为定值【点睛】本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，考查钝角三角形的判定以及三角形面积为定值的求解，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于斜率的方程，计算量大，属于难题．21．已知函数()2xf x xe x ax b =+++，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为4230x y --=()1求a ，b 的值； ()2证明：()ln f x x >．【答案】（1）31,2a b ==-；（2）见解析 【解析】分析：第一问结合导数的几何意义以及切点在切线上也在函数图像上，从而建立关于,a b 的等量关系式，从而求得结果；第二问可以有两种方法，一是将不等式转化，构造新函数，利用导数研究函数的最值，从而求得结果，二是利用中间量来完成，这样利用不等式的传递性来完成，再者这种方法可以简化运算.详解：（1）解：()()12xf x x e x a '=+++，由题意有()()012302f a f b ⎧=+=⎪⎨==-'⎪⎩，解得31,2a b ==-（2）证明：（方法一）由（1）知，()232xf x xe x x =++-.设()2ln x h x xe x x x =++- 则只需证明()32h x >()()1121x h x x e x x =+++-' ()112xx e x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，设()12x g x e x =+-则()210xg x e x =+>'， ()g x ∴在()0,+∞上单调递增 1412404g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭Q ，1312303g e ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭Q011,43x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得且当()00,x x ∈时，()0g x <，当()0,x x ∈+∞时，()0g x >∴当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增()()0minh x h x ∴== 020000ln x x e x x x ++-，由00120xe x +-=，得0012x e x =-，()00012h x x x ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭2000ln x x x +- 20001ln x x x =-+-，设()21ln x x x x φ=-+-，11,43x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()121x x x φ'=-- ()()211x x x+-=∴当11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x φ'<，()x φ在11,43⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，∴ ()()00h x x φ=> 21133φ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111ln 33⎛⎫-+- ⎪⎝⎭ 73ln392=+>，因此()32h x >（方法二）先证当0x ≥时，()232xf x xe x x =++-322x ≥-，即证20x xe x x +-≥ 设()2xg x xe x x =+-，0x ≥则()()121xg x x e x '=++-，且()00g '=()()220x g x x e '=++>，()g x ∴'在[)0,+∞单调递增，()()00g x g ''≥= ()g x ∴'在[)0,+∞单调递增，则当0x ≥时，()()200x g x xe x x g =+-≥=（也可直接分析233222xxe x x x ++-≥- ⇔ 20x xe x x +-≥ ⇔ 10x e x +-≥显然成立）再证32ln 2x x -≥ 设()32ln 2h x x x =--，则()1212x h x x x ='-=-，令()0h x '=，得12x =且当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增. ∴ ()32ln 2h x x x =-- 11ln2022h ⎛⎫≥=-+> ⎪⎝⎭，即32ln 2x x ->又()233222xf x xe x x x =++-≥-，()ln f x x ∴> 点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的综合问题，在求解的过程中，涉及到的知识点有导数的几何意义，有关切线的问题，还有就是应用导数证明不等式，可以构造新函数，转化为最值问题来解决，也可以借用不等式的传递性，借助中间量来完成. 22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程是2cos {sin x y θθ==（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=. （1）写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知点1M 、2M 的极坐标分别为12π⎛⎫⎪⎝⎭，和(20)，，直线12M M 与曲线2C 相交于P ，Q 两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求2211||||OA OB +的值.【答案】（1）线1C 的普通方程为2214x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为22(1)1y x +-=；（2）22115||||4OA OB +=. 【解析】试题分析：（1）（1）利用cos 2θ+sin 2θ=1，即可曲线C 1的参数方程化为普通方程，进而利用x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩即可化为极坐标方程，同理可得曲线C 2的直角坐标方程；（2）由12M M 过()2211x y +-=的圆心，得OP OQ ⊥得OA OB ⊥，设()1A ρθ，，22B ，πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2222121111||||OA OB ρρ+=+代入2222cos sin 14ρθρθ+=中即可得解. 试题解析：（1）曲线1C 的普通方程为2214x y +=，化成极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+=曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y +-=（2）在直角坐标系下，()101M ，，()220M ，，12:220M M x y +-= 恰好过()2211x y +-=的圆心，∴90POQ ∠=︒由OP OQ ⊥得OA OB ⊥ A ，B 是椭圆2214x y +=上的两点，在极坐标下，设()1A ρθ，，22B ，πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭分别代入222211cos sin 14ρθρθ+=中， 有222211cos sin 14ρθρθ+=和222222cos 2sin 142πρθπρθ⎛⎫+⎪⎛⎫⎝⎭++= ⎪⎝⎭ ∴22211cos sin 4θθρ=+，22221sin cos 4θθρ=+ 则22121154ρρ+=，即22115||||4OA OB +=。
2020年辽宁省大连市开发区第八高级中学高三数学文上学期期末试题含解析
2020年辽宁省大连市开发区第八高级中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列区间中，函数，在其上为增函数的是（A） (B)(C) (D)参考答案：D2. 函数的定义域是（）A．B． C．D．参考答案：B略3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．C．2 D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是同底的两个四棱锥，AQDP是边长为2的正方形，ABCD是矩形，且与底面垂直，如图所示．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是同底的两个四棱锥，AQDP是边长为2的正方形，ABCD是矩形，且与底面垂直，如图所示：该几何体的体积V==．故选：D．4. 函数的单调增区间是( ）（A），（B），（C）（D）参考答案：A5. 已知△ABC为锐角三角形，且A为最小角，则点位于A.第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：【知识点】三角函数 C2A 解析：由题意可知角A小于，，又因为，所以P点的横纵坐标都为正值，所以A正确.【思路点拨】由三角之间的关系可求判定P点的位置.6. 设数列{a n}的前n项和为S n，若2，S n，，成等差数列，则的值是A. -81B. -80C. -64D. -63参考答案：B【分析】由题意首先确定数列为等比数列，然后结合等比数列前n项和公式可得的值. 【详解】据题意得，当时，，所以；当时，由可得，两式相减得，即，即．所以数列是首项，公比的等比数列，所以，选B．【点睛】本题主要考查由递推关系确定数列的性质，等比数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 已知y=f(x)是偶函数，而y=f(x+1)是奇函数，且对任意，都有，则的大小关系是（）A.c<b<aB.c<a<b D.a<c<b D.a<b <c参考答案：B8. 设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q={3，4，5}，则P∩（C U Q）=A.{1，2，3，4，6}B.{1，2，3， 4，5}C.{1，2，5}D.{1,2}参考答案：D9. 下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；④命题“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0＜0”．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：C【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】由函数y=x﹣sinx的单调性，即可判断①；由若p则q的逆否命题：若非q则非p，即可判断②；由复合命题“命题p∧q为真”则p，q都是真，则“命题p∨q为真”，反之不成立，结合充分必要条件的定义即可判断③；由全称命题的否定为特称命题，即可判断④．【解答】解：①由y=x﹣sinx的导数为y′=1﹣cosx≥0，函数y为递增函数，若x＞0，则x＞sinx恒成立，故①正确；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”，由逆否命题的形式，故②正确；③“命题p∧q为真”则p，q都是真，则“命题p∨q为真”，反之不成立，则“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；④命题“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，故④不正确．综上可得，正确的个数为3．故选：C．10. 若在区间[0，e]内随机取一个数x，则代表数x的点到区间两端点距离均大于的概率为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】几何概型．【分析】根据几何概型计算公式，用区间[e，e]的长度除以区间[0，e]的长度，即可得到本题的概率．【解答】解：解：∵区间[0，e]的长度为e﹣0=e，x的点到区间两端点距离均大于，长度为，∴在区间[0，e]内随机取一个数x，则代表数x的点到区间两端点距离均大于的概率为P=故选：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知全集，在中任取四个元素组成的集合记为，余下的四个元素组成的集合记为，若，则集合的取法共有种.参考答案：31略12. 一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率是_______。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年辽宁省大连八中高考数学一模试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={x|x≥0}，A={x|x≥1}，则∁U A=()A. φB. {x|x<1}C. {x|0≤x<1}D. {x|x≥0}=1−2i,求 | z|=()2.已知ziA. √3B. √5C. 3D. 5≥1成立的充要条件是()3.不等式|a+b||a|−|b|A. |a|>|b|B. |a|≥|b|C. |a|<|b|D. |a|≤|b|4.实数a=30.4，b=log432，c=log550的大小关系为A. c>b>aB. b>c>aC. a>c>bD. b>a>c5.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为，例如如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的n等于A. 20B. 21C. 22D. 236.西部某县委将7位大学生志愿者(4男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有()A. 36种B. 68种C. 104种D. 110种7.如图，正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是()A. 35B. 38C. 310 D. 3208. 点P(a,a +1)在不等式x +ay −3>0所表示的平面区域内，则a 的取值范围为( ) A. (−3,1) B. (−∞,−3)∪(1,+∞) C. (−1,3)D. (−∞,−1)∪(3,+∞)9. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点P 是AA 1的中点，点Q 是△BDC 1内的动点，若，则点Q 到平面A 1B 1C 1D 1的距离的范围是( )A. [1,2]B. [2,3]C. [3,4]D. [1,3]10. 在四面体ABCD 中，AB =AC =2√3，BC =6，AD ⊥底面ABC ，△DBC 的面积是6，若该四面体的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是( )A. 24πB. 32πC. 46πD. 49π 11. 在△ABC 中，AB ⊥AC ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2−1)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4√2，则|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 1B. √2C. 2D. 2√212. 设0<m ≤2，已知函数f(x)=x3−12x+5016m，对于任意x 1，x 2∈[m −2,m]，都有|f(x 1)−f(x 2)|≤1，则实数m 的取值范围为( )A. [53,2]B. [43,2]C. [13,1]D. [23,1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知等比数列{a n }中，a 1=1，且2a 2，3a 3，4a 4成等差数列，则a 3=________． 14. 已知n =∫1x dx e 61，那么(x−3x )n展开式中含x 2项的系数为________．15. 已知抛物线C ：x 2=8y ，直线l ：y =x +2与C 交于M ，N 两点，则MN =__________． 16. 定义在R 上的函数f(x)满足f(1)=1，且对任意x ∈R ，都有f′(x )<12，则不等式f(x 2)>x 2+12的解集为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=2cos x 2(√3cos x 2−sin x2)．(1)设，且f(θ)=√3+1，求θ的值；(2)若，求函数f(x)值域；(3)在△ABC 中，AB =1，f(C)=√3+1，且△ABC 的面积为√32，求sinA +sinB 的值．18.某教育主管部门到一所中学检查高一年级3000名学生的体质情况，从中分别抽取了100名男生和100名女生的体育成绩(满分100分)，由男生的体育成绩得到了如图所示的频率分布直方图，由女生的体育成绩知其服从正态分布N(72,102).(1)根据学生体质标准，成绩大于92的为特别优秀，则样本中男生、女生特别优秀的大约各多少人？(2)试问本次体育成绩男生和女生的平均成绩哪个较高，并说明理由；(男生中每组数据以区间的中点值为代表)(3)将得到的频率视为概率，从该校所有男生中随机抽取3人，体育成绩位于[50,80]的人数为Y，求Y的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)≈0.68，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)≈0.96，P(μ−3σ<X≤μ+3σ)≈0.99．19.如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，△ABE为AB=1．等边三角形，且CE=√5,CD=BC=12(Ⅰ)求证：AB⊥DE；(Ⅱ)求CE与平面ABCD所成角的正弦值；+y2=1下顶点为E，过原点且异于y轴直线交⊙O:x2+ 20.如图，平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x24y2=1于两点，直线EA与椭圆的另一个交点为D，直线EB与椭圆的另一个交点为F.设直线EA的斜率为k．(1)当k=1时，①求点D的坐标；②设以DF为直径的圆为⊙C1，Q在P上移动，P在椭圆P上移动，求PQ的最大值；(2)设ΔEAB的面积为S1，ΔEDF面积为S2，求S1的最大值．S221.已知函数f(x)=e x+ax+b，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为ex−y−2=0．(1)求函数f(x)的解析式，并证明：f(x)≥x−1．(2)已知g(x)=kx−2，且函数f(x)与函数g(x)的图象交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，且线段AB的中点为P(x0,y0)，证明：f(x0)<g(1)<y0．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C：为参数，φ∈[0,2π))，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C的普通方程；(2)若点B是射线l：θ=α(ρ≥0,α∈[0,π))与曲线C的公共点，当|OB|=3√3时，求α的值及点B的直角坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵U={x|x≥0}，A={x|x≥1}；∴∁U A={x|0≤x<1}．故选：C．进行补集的运算即可．考查描述法的定义，以及补集的定义及运算．2.答案：B解析：【分析】本题主要考查复数的四则运算法则及模，首先利用复数的运算法则化简复数，再求模即可，是基础题．【解答】=1−2i，所以z=i−2i2=2+i，解：因为zi所以|z|=√22+12=√5，故选B．3.答案：A解析：【分析】本题考查充分条件、必要条件与充要条件的判断，考查不等式的性质，属基础题．根据不等式的性质判断充分性和必要性即可．【解答】≥1，则|a|−|b|>0;解：因为|a+b|>0，|a+b||a|−|b|≥1；若|a|−|b|>0，由|a+b|≥|a|−|b|，则|a+b||a|−|b|≥1⇔|a|−|b|>0，故|a+b||a|−|b|故选A．4.答案：B解析： 【分析】本题主要考查了对数函数和指数函数及其大小比较，考查计算能力和推理能力，属于基础题． 根据对数函数和指数函数的性质即可推出a ，b ，c 的范围，从而得到它们之间的关系． 【解答】解：∵b =log 432=52，bc =52log550=522+log 52=54+log 54， ∵log 54<log 55=1，∴4+log 54<5， ∴bc >1，即b >c ，∵a =30.4<30.5=√3，而c =log 550=2+log 52>2， ∴c >a ， 综上，b >c >a ． 故选B ．5.答案：C解析： 【分析】此题考查程序框图的循环结构，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：模拟程序的运行， 可得n =11，11=2(mod3)，满足循环条件，则n =12，12=0(mod3)，满足循环条件，则n =13，13=1(mod3)，13=3(mod5)，…可知，n 满足条件n =1(mod 3)且n =2(mod 5)， 则n =22，退出循环，输出n 的值为22． 故选C ．6.答案：C解析：【分析】本题考查排列组合的应用，属于中档题．由题意，第一类，一组3人，一组4人，有(C73−1)⋅A22种分配方案;第二类，一组5人，一组2人，有(C72−C32)⋅A22种分配方案，根据分类加法计数原理即可求解．【解答】解：本题考查排列组合问题及计数原理.依题意，得有两类分配方案：第一类，一组3人，一组4人，有(C73−1)⋅A22=68种不同的分配方案;第二类，一组5人，一组2人，有(C72−C32)⋅A22=36种不同的分配方案，根据分类加法计数原理，共有68+36=104种不同的分配方案．故选C．7.答案：C解析：【分析】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．根据几何概型的概率公式求出阴影部分的面积与两个正方形面积和的比即可．【解答】解：如图所示，正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a和a，∴S阴影=S正方形ABFG+S△BCE−S△ACG=a2+12⋅2a⋅2a−12⋅a⋅3a=32a2；∴该平面图形内随机取一点P，则点P来自阴影部分区域的概率是P=32a2a2+(2a)2=310．故选：C．8.答案：B解析：【分析】。