幻方的研究

幻方的研究

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摘要

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。

本文主要介绍了幻方的起源、解法与应用。

关键词：magic square, magic square solution, application of magic squares.

Abstract

In a square consists of several rows of numbers consisting of the figure any of rampant, a longitudinal and a few number of diagonal and are equal, having a chart of this nature, known as the "magic square." Ancient Chinese called "Riverside", "Luo Shu", also called "aspect map."

This paper describes the origin and application solution magic square.

Key words: key word 1, key word2, key word 3, key word 4

幻方的起源

幻方的起源

幻方(magic square)起源于《易》，古称九宫（龟文），乃是我国最先发现的一个著名组合算题。《易》算之于九宫，识之以天象，在古代天文、历法、农牧生产与社会生活中具有广泛的应用价值。易十数为体，八九为用，八九不离十。《易》九宫算动态组合模型（包括河图、洛书、八卦）是幻方的通解与最简模型[1]。

幻方是一个高深莫测的数学迷宫和高智力游戏，它的重重大门闪似乎由一串串非常复、精密而又变化多端的连圜锁“参伍错综”地锁着的，人们走进去也许并不难，但是要走出来谈何容易。现代幻方组合理论及技术水平虽然达到了相当的高度，但我始终不敢轻言谁已经揭示了幻方谜底。

幻方是一个丰蕴的知识宝库。幻方九宫算模型的精髓在于：变、变、变。正可谓“横看成岭侧成峰”。《系辞》曰：“神无方而《易》无体”，这意思是说：九宫算神奇的数理变化不囿于一招一法，其几何形体亦无常于一制一式，因此研究幻方应尽可能采取多种多样的方法。发现新方法是很重要的，但各种方法的具体操作与用法创新、绝技的应用等，有时比方法本身更为重要。不同方法以及方法的不同用法，各种方法合理的交互应用等，必然会产生幻方新的结构与造型。n阶幻方的全部解各有一个幻方群，1至2n自然数列的2n个数在整个幻方群中的变位关系，阶次越大变化就越复杂，它们将遵守精密逻辑、模糊逻辑或非逻辑等等不同规则。

《易》九宫学博大精深。汉徐岳在《数术记遗》中已从算学角度称洛书为九宫，南北朝甄鸾注：“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九lu一，五居中央。”唐王希《太乙金镜式经》曰：“九宫之义，法以灵龟—此不易之道也”等等。但幻方九宫算的开拓者首当宋大数学家杨辉，他不仅发现了洛书（三阶幻方）的构图口诀，而且还填出了四阶至十阶多幅幻方以及幻圆、幻环等图形。同时，宋丁易东、明程大位、清张潮与方中通等人，也对幻方组合技术做出过重要贡献[2]。

幻方九宫算是东方大易文化的瑰宝。自汉唐以来统一的中国繁荣富强，在拓疆、移民、传教、航海与丝路开通等对外经贸与文化交流过程中，幻方古算题飘洋过海，

东传日本，西播欧美。日本人如获至宝，竟把九宫算更名为“大和算”，也填出了不少幻方杰作。西方人则更为之着迷，轰动了整个学界，并称之为有魔力的魔方，名冠“幻方大王”者有之。尔今，炎黄子孙在易学、幻学研究方面理当领先于世界。

完全幻方是幻方的稀世珍品，具有最优化组合性质。在浩如烟海的幻方世界中，完全幻方只占其一小部份，而且三阶及2（2k+1）阶（k>0）领域内还不存在幻方最优化解[3]，但是完全幻方却代表着高难度的组合技术水平。迄今所知，完全幻方最早的历史遗存：一幅见之于古中国伊斯兰教的传世“玉挂”；另一幅则见之于古印度公元十一世纪刻在神庙前的“石碑”。中印“玉、石”奇方都为四阶完全幻方[4]。

幻方的解法

幻方的解法

幻方按照阶数可分成了三类，即奇数阶幻方、单偶阶幻方、双偶阶幻方。

一、奇数阶幻方（罗伯法）

所谓奇数阶幻方就是当n不可以被2整除时的奇阶幻方，即2K+1阶幻方。奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法[5]。填写的方法是：

把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：（1）每一个数放在前一个数的右上一格；

（2）如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；

（3）如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；

（4）如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在底行且最左列；

（5）如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

例，用该填法获得的3阶（表1），5阶幻方：

表1

表2

二、单偶数阶幻方（斯特拉兹法）

所谓单偶阶幻方就是当n不可以被4整除时的偶阶幻方，即4k+2阶幻方。如(n=6，10，14……)的幻方。

单偶数阶幻方最经典的填法是斯特拉兹法[6]。填写的方法是：

以10阶幻方为例。这时，k=2。

（1）把魔方阵分为A，B，C，D四个区域，这样每一个象限肯定是奇数阶。用罗伯法，依次在A区域（红），D区域（黄），B区域（绿），C区域（白）按奇数阶幻方的填法填数（表3）。