幻方的研究
人教版七年级上册(新) 第1张 有理数 幻方 研究课 教案
幻方研究课教案第一课时幻方（一）一、内容和内容解析1.内容幻方的基本知识2.内容解析幻方是本章的选学内容，是学生初次接触组合数学，也是小学“找规律”问题的二维提升，也是提升学生数学兴趣的一次好机会。
本节内容结合学生前期自己查资料绘制的小报汇总出关于幻方的中外故事，从而引出关于三阶幻方的唯一性讨论、方程思想填数字、某些简单的填幻方的方法，进而为下节课做出铺垫。
本节课的重点是方程思想的应用。
二、目标和目标解析1.目标知识技能：（1）了解幻方的历史背景和演变；（2）体会奇偶分析在整数问题中的使用；数学思考：（3）会用方程思想解决问题；问题解决：（4）在预习作业和课堂讨论的过程中体会数学的神奇和解决问题的成就感；情感态度：（5）通过讨论问题和同学讲解，体会分享和倾听的收获；（6）对数学产生浓厚的兴趣，养成钻研思考的好习惯。
2.目标解析目标（1）是对学生数学文化的丰富，也是对学生前期作业的肯定；由目标（1）引出问题，通过教师引导、学生讨论汇总达成目标（2）（3）；而后目标（4）（5）也就顺水推舟般实现了。
三、教学问题诊断分析本节难点是三阶幻方唯一性的证明。
四、教学过程设计1.背景故事汇总《周易》之一：“河图”（伏羲氏、衍生出八卦）《周易》之二：“洛书”（大禹、城市建筑规划的风水问题）印度寺庙“完美幻方”名画《忧郁》中的4阶幻方西班牙巴塞罗那圣家堂外星人的礼物杨辉《续古摘奇算法》之“对易法”九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。
14 27 5 38 692. 神秘问题科学化（1） 幻方的定义：将2n 个数填入n×n 的方阵中，使每行、每列、以及每条对角线上的n 个数之和相等（幻和），这个方阵称为n 阶幻方。
一般地，研究1, 2, 3, (2)n 构成的幻方，该幻方的幻和S= （2） 三阶幻方的唯一性讨论：幻和：S=15 中心数字：（方法1）若中心数小于等于4，则无论1填在周围何处，1和中间数组成的行或列或对角线之和最大不超过14，与幻和为15矛盾；同样的道理，若中心数大于等于6，则无论9填在何处都不行。
幻方的原理和应用
幻方的原理和应用什么是幻方？幻方是一种特殊的方阵，它的特点是每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
幻方最早出现在中国古代数学书籍《周髀算经》中，被称为“洛书”。
幻方按照数字的奇偶性可以分为奇阶幻方和偶阶幻方。
奇阶幻方的阶数为奇数，偶阶幻方的阶数为偶数。
奇阶幻方更为常见，因为奇阶幻方的构造方法更为简单。
下面将分别介绍奇阶幻方和偶阶幻方的构造方法。
奇阶幻方的构造方法奇阶幻方的构造方法有多种，其中最著名的是三阶幻方的构造方法，即“阳线法”。
阳线法的步骤如下：1.将1放在第一行的中间位置；2.下一个数字（2）放在上一个数字（1）的右上方；3.若右上方已有数字，将下一个数字放在上一个数字的正下方；4.若已到达了第一行，将下一个数字放在最后一行的下一列；5.若已到达了最后一列，将下一个数字放在前一列的同一行；6.重复上述步骤，直到填满整个方阵。
三阶幻方的构造方法比较简单，而对于更高阶的奇阶幻方，可以通过一些变形和旋转的方法得到。
偶阶幻方的构造方法与奇阶幻方相比，偶阶幻方的构造方法更加复杂。
最常见的偶阶幻方是四阶幻方，也被称为“Dürer方阵”。
下面介绍四阶幻方的构造方法：1.将1放在第一行的中间位置；2.下一个数字（2）放在上一个数字的正右上方；3.若右上方已有数字，将下一个数字放在上一个数字的正下方；4.若已到达了第一行，将下一个数字放在第四行的下一列；5.若已到达了第四列，将下一个数字放在前一列的第一行；6.若已到达了第一行且第四列，将下一个数字放在前一列的第四行。
其他偶阶幻方的构造方法与四阶幻方类似，采用类似的规则和变形即可获得。
幻方的应用幻方不仅仅是一种有趣的数学结构，还有一些实际应用。
以下是一些幻方应用的例子：1.密码学：幻方可以用作加密和解密的基础。
通过将明文编码为幻方中的数字，可以实现简单的加密算法。
2.游戏设计：幻方可以用作游戏中的谜题或迷宫的基础。
在游戏中，玩家可能需要解决幻方中的数字组合，以获得进一步的线索或通向下一关卡。
探索神奇的幻方实践报告
探索神奇的幻方实践报告1. 理论基础1.1 幻方的定义幻方是大小相等的正整数方阵，其中的每个元素都是不同的，并且每一行、每一列以及对角线上的数之和都相等。
例如，一个3阶幻方可以表示为：```2 7 69 5 14 3 8```其中，每一行、每一列和每一对角线上的数之和都等于15。
1.2 幻方的分类根据幻方的阶数（即方阵的大小），幻方可以分为奇阶幻方和偶阶幻方两种类型。
奇数阶幻方指的是方阵的大小为奇数的幻方，而偶数阶幻方指的是方阵的大小为偶数的幻方。
1.3 幻方的特性幻方具有许多神奇的特性，如每一行、每一列和每一对角线的数字和都相等、转置幻方仍为幻方等等。
此外，研究人员还发现了许多其他有趣的幻方属性，如魔方（Magic Cube）和多维幻方等。
2. 实践研究在进行幻方的实践研究中，我们选择了一些经典的幻方进行分析和探索，并尝试生成新的幻方。
2.1 3阶幻方首先，我们生成了一个3阶幻方：```2 7 69 5 14 3 8```接着，我们对这个幻方进行了一系列的操作，如翻转、旋转等，发现其仍然保持幻方的性质。
2.2 4阶幻方接下来，我们尝试生成一个4阶幻方。
通过一系列的试验和计算，我们成功地生成了一个4阶幻方：```1 15 14 412 6 7 98 10 11 513 3 2 16```同样地，我们对这个幻方进行了各种操作，验证了其幻方的性质。
2.3 其他尝试除了以上的实践研究外，我们还尝试了一些其他类型的幻方，如5阶、6阶幻方等。
在这些尝试中，我们遇到了一些挑战，但最终还是成功地生成了对应的幻方，并验证了其性质。
3. 结论与展望通过对幻方的实践研究，我们发现了幻方的神奇之处，并深入探索了其相关知识。
值得一提的是，幻方不仅仅是一个数学谜题，更是一种艺术和哲学的表达方式。
未来，我们将继续探索幻方的更多属性和特性，以进一步揭示其奥秘，并探索幻方在现代科学和技术中的应用。
综上所述，幻方具有着独特的魅力和神秘的属性，它不仅仅是一种数学谜题，更是一种思维和创造力的体现。
人教版七年级(上册)实验与探究 探索神奇的幻方
（3）幻方中每一个数先扩大相同的倍数，再同时 加、减同一个数所得方格仍是幻方
活动四：知识拓展，开阔视野 • 既然历史上这么多人研究幻方，那么幻方
到底有什么研究价值呢？
1。幻方具有智力开发功能：围棋盘是一个19阶方阵，象 棋盘是一个八阶方阵，它们的走法原理均同幻方的布局原理 相关。电脑上的“挖地雷”游戏同幻方也密切相关
3 46
16 10 2
构造三阶幻方方法：定义法 完成三阶幻方的步骤：
①把9个数从小到大排列，找出中位数a,填 在幻方中心 ②求出幻和3a ③先选取“两对”数分别填写在对角线上 ④根据幻和填其它数 ⑤根据定义验证，如不符合，返回步骤③。
活动三：介绍杨辉法三阶幻方的制作方法
大数学家杨辉的构造方法：
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进 行了系统的研究。他称这种图为“纵横 图”，他提出了一个构造三阶幻方的秘诀：
拓展：有人发现将原来三阶幻方中每个数加1就得到 新的的幻方，将每个数减少3也可以得到新的幻方. 一般地，原来幻方中的每个数分别增加任意一个相 同的数，还构成一个幻方吗？
如果每个数同时扩大相同的倍数呢？
如果先扩大相同的倍数，再同时增加另一个数呢？
归纳升华
（1）幻方中每一个数都加或减同一个数字，所得 方格仍是幻方。
2。幻方应用在科学技术中：在计算机技术飞速发展的今 天，如数码编排、程序设计、实验设计、人工智能、组 合分析以及工艺美术等领域，幻方均有应用。随着科学 技术的不断发展，幻方的应用会更加广泛 .
活动四：知识拓展，开阔视野
幻方的起源
幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期 《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就 已经知道了幻方的排列规律。而在国外，直到公元 130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。我国不仅拥有 幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国 家。我国数学家杨辉早在公元13世纪就已经编制出 3－10阶幻方，我们为祖先的成就感到自豪 ！同时我 们更应该传承先辈的探索精神。
神奇的幻方小课题研究报告
神奇的幻方小课题研究报告神奇的幻方小课题研究报告【导语】幻方，是指一个矩阵中的每一行、每一列和每一条对角线上的数字之和都相等的特殊矩阵。
它以其独特的数学性质和趣味性，吸引了众多数学爱好者的关注。
本文将深入探讨幻方的原理、发展以及应用，帮助读者全面了解这一神奇的数学现象。
【概述】幻方最早可以追溯到中国古代的《周髀算经》中，其中详细介绍了3阶幻方的构造方法。
随后，幻方的研究逐渐发展起来，并在各个国家和时期都有所贡献。
幻方独特的数学性质使其成为数学和逻辑的重要研究对象，同时也被广泛应用于密码学、游戏以及图像处理等领域。
【主体】一、幻方的基本原理幻方的基本原理是通过排列数字，使得矩阵中的每一行、每一列和每一条对角线上的数字之和都相等。
在初步了解幻方之后，我们可以通过以下步骤来构造一个简单的3阶幻方：1. 将数字1放在矩阵中间的行、最左侧的列。
2. 将数字2放在数字1的上方。
3. 将数字3放在数字2的右上方。
4. 依次类推，将数字4至9依次放入矩阵中，直至填满整个矩阵。
二、幻方的发展历程幻方最早出现在中国古代，《周髀算经》中记载了3阶幻方的构造方法。
在随后的历史中，欧洲的数学家也开始对幻方进行研究，如德国数学家Euler以及瑞士数学家Lagrange等。
在18世纪，Lagrange提出了一个重要的定理——拉格朗日定理，即任何一个正整数都可以表示为4个平方数之和。
而这一定理与幻方之间的联系被后来的数学家进一步研究和发展。
三、幻方的应用领域1. 密码学：幻方可用于密码学中的加密和解密过程，通过将明文和密文映射到一个幻方上，实现信息的保密性。
2. 游戏：幻方被广泛用于各类数字游戏中，如数独、魔方等。
通过排列和填充数字，玩家需要根据幻方的规则来达到游戏目标。
3. 图像处理：幻方可以用于图像生成和编码，通过将图像的像素值与幻方矩阵的数字对应，实现图像的压缩和解压缩。
【总结与回顾】通过本文的探讨，我们对幻方的原理、发展和应用有了更深入的理解。
肖岩钧的幻方研究
肖岩钧的幻方研究No.1 简介方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法,它是一种汉族传统游戏。
旧时在官府、学堂多见,是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。
No.2奇阶幻方奇阶幻方是最常见的一种幻方，它的特点是：行、列、主对角线各数之和相等。
关于奇阶幻方的组成方法，有两种：杨辉法（针对三阶幻方）：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进。
幻176852349图 2罗伯法:1（最小数）居上行正中央--数字1 放在首行最中间的格子中依次斜填切莫忘--向右上角斜行，依次填入数字上出框界往下写--如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中右出框时左边放--同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字平移至最左列对应的格子中重复便在下格填--如果数字{N} 右上的格子已被其它数字占领，就将{N+1} 填写在{N}下面的格子中右上重复一个样--如果朝右上角出界，和"重复"的情况做同样处乘幻方指一个幻方行列、对角线各数乘积相等。
四阶乘幻方方法如下：1）以1-16依次作四行排列,2）打两条对角线,被对角线穿过的数字不动,3）其他数字,按对角线的交点为对称中心,对称对调.反幻方的定义：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和不相等，具有这种性质的图表，称为“反幻方”。
反幻方与正幻方最大的不同点是:正幻方所有幻和都相同，而反幻方所有幻和都不同。
完美反幻方是指将连续的n^2个数字填到n*n的正方格中，使其中任意一行、任意一列、任意一条对角线上的数字之和都不相等。
并且各个方格内的自然数必须首尾相连，成为螺旋的形状。
当代美国科普作家加德纳（M．Gardner，1914~）发现，符合上述条件的反幻方只有两个琅琊路小学四（6）肖岩钧版权所有，违者必究！。
为什么要研究六十四卦八阶幻方？
为什么要研究六十四卦八阶幻方？
展开全文
作者：郭顺红
我们知道幻方最早诞生于中国，中国古代称幻方为“纵横图”，三阶幻方（纵横图）的数字排列顺序始见于《大戴礼记·明堂篇》，其中有：“二九四，七五三，六一八”，通常认为《大戴礼记》著于春秋（有学者认为是战国）时期。
1977年在安徽阜阳双古堆西汉汝阴侯墓出土的西汉早期的太乙九宫占盘，提供了比较早期幻方的实物证据。
汉朝也把三阶幻方称做“九宫算”，九宫算是：“二、四为肩，六、八为足，左三、右七，戴九、履一，五居其中”，这说明在西汉时期三阶幻方已经得到广泛应用。
宋代将“二九四，七五三，六一八”这组由黑白点构成的阵列图与历史上传说中的“洛书”联系起来，并将之视为“洛书”。
朱熹《周易本义》中的“洛书”图
八阶幻方与三阶幻方一样，具有类似的数学特征，八阶幻方具有64个数字，与六十四卦能够完全对应，因此八阶幻方成为研究六十四卦关系的重要方法之一。
由于八阶幻方具有数学上的变化规律，因此可以用错综相邻的八阶六十四卦幻方验证、检验卦序的走向规律与合
理性具有一定的意义。
例如，我们前面就使用八阶对称幻方检验出遯大壮与革鼎在卦序中存在换位的问题（当然其它方法也可以检验）。
可以这样说，今天用幻方研究《易经》六十四卦是回归中国古老传统的方法之一。
如果三阶幻方称为“洛书”，那么符合一定规则并与卦序有一定对应性的八阶完美对称幻方，应该是真正意义上的高阶“洛书”，该“洛书”是真正意义上的“书”，其中不仅有对称互补的数字，还有阴阳互补、平衡对应的卦符文字（卦符与卦名对应），可以说是真正意义的上的“天书”，这个“天书”能够演绎出无穷无尽的内涵（其中包含了易卦的内涵和易序的内涵等）。
七年级幻方心得体会
七年级幻方心得体会幻方是一种古老而有趣的数学游戏，我在七年级的数学课上学习了这一主题。
通过研究幻方，我不仅深入了解了数学中的运算规律，还锻炼了自己的逻辑思维和解决问题的能力。
下面是我对幻方的心得体会。
首先，我了解了什么是幻方。
幻方是一个正方形矩阵，其中每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
幻方的最常见的形式是3×3的幻方，其中有1到9九个不同的数字，每个数字只出现一次。
此外，幻方还有更大的规模和更多的数字，例如4×4或5×5的幻方。
在学习幻方的过程中，我发现了一些规律和技巧。
首先，每一个幻方都有一个中心数字。
在3×3的幻方中，中心数字是5；在4×4的幻方中，中心数字是8。
不管幻方的规模有多大，其中心数字都是所有数字的平均数。
其次，我发现了幻方中数字的排列规律。
例如，在3×3的幻方中，数字1和数字9在对角线上，数字2和数字8在中间列上，数字3和数字7在中间行上。
这种排列规律可以帮助我更快地解决幻方问题。
我还学会了如何根据已知数字来确定幻方中其他数字的位置。
此外，我还学会了一些解决幻方问题的技巧。
首先，我学会了如何使用“差值法”来填写幻方。
比如在3×3的幻方中，如果已知中间行的数字分别是2、5和8，那么我可以计算出该行的差值为3。
再通过这个差值和已知数字，我可以确定幻方中其他行的数字。
另外一个解决幻方问题的技巧是“对角线法”。
在3×3的幻方中，对角线上的数字之和等于15。
通过这个规律，我可以根据已知数字计算出其他对角线上的数字，从而填写幻方。
通过学习幻方，我不仅仅是纯粹地记住了一些规律和技巧，更重要的是锻炼了我的逻辑思维和解决问题的能力。
在解决幻方问题时，我需要观察数字的位置和关系，并提出合理的推理和解决方案。
这种逻辑思维的训练对我来说是非常有益的，不仅在数学上有帮助，而且在其他学科和生活中都可以运用。
总的来说，学习幻方是一次有意思的经历。
初一数学幻方的历史与解法数学小报
初一数学幻方的历史与解法数学小报初一数学幻方的历史与解法幻方是指由n × n的方阵组成，其中每个格子都填入了不同的数字，使得每行、每列和对角线的数字之和都相等。
幻方具有神秘而吸引人的特性，不仅在数学中被广泛研究，还被认为拥有一定的神秘力量。
幻方的历史可以追溯到中国古代。
早在公元650年左右，中国古代数学家杨辉就研究过幻方的特性和构造方法，他发现了一些特殊的幻方，如"阶四幻方"和"边三幻方"。
这些幻方除了满足基本的行、列和对角线之和相等的条件外，还具有一些独特的特点。
欧洲的数学家们也对幻方产生了浓厚的兴趣。
在16世纪，德国数学家冯·冯西特尔和法国数学家达德尼分别提出了一种构造幻方的方法，被称为"杨辉三角法"和"达德尼方法"。
这些方法可以通过一定的规则来构造出各种不同阶数的幻方。
在近代，科学家们开始运用更先进的技术来研究幻方。
通过计算机的帮助，他们发现了许多新奇的幻方，如"庞加莱幻方"和"帕斯卡幻方"。
这些幻方不仅满足基本的条件，还具有更多的特殊性质，如旋转对称、变换对称等。
解决幻方的方法有很多种。
最常见的方法是通过数学推理和试错来找出合适的数字填入每个格子中。
另外，还可以利用一些特殊的技巧和规律来简化解题过程。
例如，对于奇数阶的幻方，可以利用杨辉三角法和达德尼方法来构造；对于偶数阶的幻方，可以利用调整法和变换方法来生成。
总的来说，幻方是一门充满魅力和挑战的数学课题。
它不仅展示了数学的美妙和深刻，还激发了人们对数学的兴趣和研究欲望。
无论是古代还是现代，数学家们都在不断探索和创造新的幻方，为这个神秘的数学世界增添了更多的色彩和魅力。
神奇的幻方心得体会600
神奇的幻方心得体会600在数学领域中，有一个非常有趣而又神奇的概念，那就是幻方。
幻方，顾名思义，是一种可以给人带来神奇感觉的数学方阵。
幻方由整数构成，且每一行、每一列以及对角线之和都相等。
在我学习数学的过程中，我曾经尝试研究幻方这个有趣的数学问题，并希望能够分享一些我对幻方的心得体会。
首先，幻方的起源可以追溯到古代中国，早在公元前2200年左右的商朝时期，古代的中国数学家就开始研究幻方了。
他们认为幻方有着一种神秘的力量，可以给人们带来好运和吉祥。
这使得幻方成为了古代文化和数学的一部分，它在古代壁画、青铜器以及文化艺术品等方面都有广泛的运用。
幻方的研究不仅仅是对数学的探索，也是对智力的挑战。
幻方是一个极具难度的问题，需要我们通过各种方法和技巧来寻找有效的解决方案。
在我研究幻方时，我发现了一些解题的技巧和策略。
首先，我发现了几个基本的幻方，如3阶幻方、4阶幻方等。
通过对这些基本幻方的研究，我可以借鉴它们的一些特点和规律，从而更好地解决更复杂的幻方问题。
其次，我学会了使用代数和数学公式来解决幻方问题。
在研究幻方时，我们可以将幻方的每个元素表示为变量，然后通过建立等式和方程组的方式来解决问题。
这种方法可以使幻方的问题变得更加具体而且可计算，从而提高解决问题的效率。
此外，我还发现幻方与其他数学问题之间的联系和相似性。
例如，幻方与数学中的另一个有趣问题——魔方有许多相似之处。
它们都是通过整数构成的矩阵，并且需要满足一定的限制条件。
因此，在解决幻方问题时，我们可以借鉴魔方的求解方法，从而更好地解决问题。
通过对幻方的研究，我不仅仅学到了数学知识，还提高了自己的逻辑思维和问题解决能力。
在解决幻方问题时，我们需要分析问题、寻找规律，并进行适当的推理和判断。
这培养了我良好的思考习惯和解决问题的能力，对我个人的成长和发展具有积极的影响。
此外，幻方也给我带来了一种挑战和快乐的感觉。
解决一个复杂的幻方问题需要花费大量的时间和精力，但当最终找到答案时，那种成就感是无法言喻的。
多维幻方的研究B
多维幻方的研究（下）一、关于多维幻方分类还是三个档次合理，简单，标准，完美。
在多维幻方中，很多阶都存在完美，但有些阶就没有完美，仅是标准，阶数较低的一些连标准都达不到，只能称为简单。
在简单中有一些更接近标准，这也是存在的。
但是我要再一次申明:1、能做出完美，同时也能做出标准或简单的，我们归类为完美；做不出完美，但能做出标准，也可做出简单的，我们归类为标准；做不出完美，也做不出标准的，仅能做出简单的，我们归类为简单。
在上述严格归类后，还有没有你说的比简单更好一些，又比标准稍差一些的这类呢？在三维幻方中，3，4阶只能是简单，5，6，10，……当初也有很多人认为这些阶达不到标准，但又可以做出比简单好，更接近标准。
最后的事实证明，除3，4证明了只能是简单，不可能达到标准，而其它达不到完美的全部可达到标准。
在四维幻方中，3，4，5，6，7阶估计全部能证明达不到标准，只能是简单，这些阶它们的所有平面剖面的主对角线都是不可能全部达到要求的。
8，9，11，13阶这几个所有的平面对角线可以达到要求，但三维空间的对角线用我的公式达不到要求。
好象这几个就是你说的中间一类，但我的公式做不出标准，不能说用其它办法做不出来，我估计这些标准幻方是存在的。
就象5阶幻立方一样是存在的。
2、如果非要将他们归为一类，那么四维就出现了四类了。
完美，标准，新的一类，简单，五维怎么办，就要出现五类了，m维怎么办，就要出现m类了!这样分类就复杂了，让其它人就更难明白了?鉴于这些情况，我同意李文先生的划分，给出以下分类的定义：⑴n阶m维幻方分为简单，标准，完美三个档次。
如果m维幻方仅有所有直线形（行，列，竖，……）及m维对角线上的n数之和满足于幻和，则称它是一个简单m维幻方。
如果简单幻方所有的二维到n-1维对角线也满足于幻和，那么它为一个标准m维幻方。
标准m 维幻方满足于平移后仍为标准，则称之为完美m维幻方。
⑵四维以上在简单到标准之间有了较大距离，我建议添入：稍好，好，大好三个层次，来形容品质。
研究性学习报告之神奇的幻方
竭诚为您提供优质文档/双击可除研究性学习报告之神奇的幻方篇一：综合与实践—探寻神奇的幻方七年级数学上册综合与实践《探寻神奇的幻方》第1课时课型：新授课时间：12月19日主备人：黄国有审核人：一、学习目标：（1分钟）1.运用有理数混合运算、字母表示数及其运算，探索三阶幻方的本质特征2.会构造简单的三阶幻方二、学习过程：情景创设：（3分钟）背诵古诗：“四海三山八仙洞，九龙王子一枝莲。
二七六郎赏月半，周围十五月团圆。
”自学指导一：（7分钟）构造三阶幻方方法介绍一、阶梯法（如图）。
口诀为“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”二、杨辉法：以方阵中间一行最上方的一格为出发点，再向右上方依序填入数字，若右上格已有数字则往下退一格，再继续往下填数字，直到填完为止，若超出格子便跳到方阵的另一头。
三、方阵斜线对换法：例1、将2、4、6、8、10、12、14、16、18填入到3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
自学检测：（9分钟）1、自行选取一组数构造一个三阶幻方，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于60.2、试将-2、-1、0、1、2、3、4、5、6填入到3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
让我们的每一份作业都超出日本同龄人的水平！例1自学指导二：5分钟仔细观察p189图1中的幻方，先独立思考议一议问题，然后小组讨论你没有解决的问题，7分钟后，每个小组选派一名代表展示你们的答案，比一比哪一个小组完成的更好！总结：性质1：“幻和”的3倍等于这九个数之和；性质2：所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于正中间的数字。
自学检测：10分钟1、如图所示，方格中的格子被填上了数，每一行，每一列以及两条对角线中所填的数字之和均相等，则x的值为（）。
2、请完成下面的三阶幻方：第2题三、课堂小结：（2分钟）1.本节课主要学习了什么知识？你有哪些收获？回顾两个目标：（1）幻方的特点：（2）构造幻方的方法：四、课堂评价：1.学案、节清是否按时完成：是（）否（）2.本节学案任务总数难入手的任务个数3.请划出本节难入手的问题并修改。
幻方定义和规律
幻方定义和规律幻方是一种特殊的方阵，具有独特的数学规律和定义。
在幻方中，每个格子都填有不同的数字，而且每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
这种特殊性使幻方成为了数学界的研究热点之一。
幻方的定义非常简单，即一个n阶幻方就是一个n×n的方阵，其中每个格子中填有1到n²之间的不同整数。
对于奇数阶的幻方，填数字的规则是从第一行的中间开始，依次向右上方填充；对于偶数阶的幻方，则是从第一行的左边开始，依次向右上方填充。
幻方的规律和性质也是数学家们感兴趣的研究方向之一。
幻方的最基本规律是每行、每列以及对角线上的数字之和都相等，这个相等的和被称为幻方的“幻和”。
这个幻和的计算方法是将1到n²的所有数字相加，然后除以n，即(n × (n² + 1)) / 2。
除了这个基本规律外，幻方还有一些其他的规律。
例如，对于奇数阶幻方，每个数字在整个幻方中所出现的次数都是相等的；而对于偶数阶幻方，每个数字在整个幻方中所出现的次数都是相等的，除了中心数字出现的次数为2。
另一个有趣的幻方规律是对称性。
幻方通常具有不同的对称性，包括水平对称、垂直对称和对角线对称。
这些对称性可以通过幻方的排列方式来实现，使得整个幻方看起来更加美观。
幻方还有一些特殊的性质和变种。
例如，拉丁方是一种特殊的幻方，其中每行和每列都包含1到n的所有数字，且每个数字只出现一次。
还有一种称为魔方的幻方，其中除了每行、每列和对角线的和相等外，每个小正方形的四个角的和也相等。
幻方不仅仅是数学的研究对象，还有一些应用价值。
例如，在密码学中，幻方可以用于生成随机数或者加密信息。
在游戏设计中，幻方可以用作谜题或者解谜的元素。
总结一下，幻方是一种特殊的方阵，具有独特的数学规律和定义。
它的基本规律是每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
幻方还具有对称性和其他特殊的性质和变种。
幻方不仅是数学的研究对象，还有一些实际应用。
通过研究和探索幻方，我们可以进一步了解数学的奥秘和美妙。
幻方的应用价值
五、幻方在数学教学中的影响。
幻方中数字把数学教 材中的各个内容联系起 来。如方程幻方， 根式 幻方，分数幻方，黑洞 数幻方等。
当今的<奥林匹克数 学>书中，幻方是一个 重要内容。
六、幻方对科学的启迪。
美国自动控制论的发明 人是通过研究中国的“三 三迷宫图”(三阶幻方的 联线图)突发奇想。
河南傅熙如运用洛书 研究哥德巴赫猜想。
幻方的奥秘博大精深 那么，
为什么这么多人要研究幻方呢？ 研究幻方能带给人类什么价值呢？
一、幻方应用于哲理思想的研究。
易学来源于河图洛书， 而洛书就是三阶幻方， 幻方的布局规律，构 造原理蕴涵着一种概 括天地万物的生存结 构，是说明宇宙产生 和发展的数学模型。
二、幻方应用于美术设计。
幻方能组成许多美丽而奇特的图案, 这些图案被应用于轻工业品,封面包装设 计中对论>， 运用了11个公式推算时 空相对增减元数，而河 洛数对他很有启发。
自动化控制装置
七、幻方应用于科学技术之中。
幻方已应用于“建路”， “爵当曲线”，“七座桥” 等的位置解析学及组合解 析学中。
七座桥
幻方引出了拉普拉斯的导引系数和哥斯 定理，格里定理，斯笃克 定理，还引出了 普生，布鲁汀两氏的电子方程式。
三、幻方的美学价值。
每个幻方是一个艺术佳品，它们以 整齐划一，均衡对称，和谐统一的特性， 迸发出耀人的数学美的光辉，具有很高 的美学价值。
四、幻方的智力开发功能。
围棋盘是一个19阶方阵，象棋盘是一个八 阶方阵(其将帅宫是一个三阶方阵)， 它们的 走法原理均同幻方的布局原理相关。
电脑上的“挖地雷”游戏，同九宫图密 切相关。
七、幻方应用于科学技术之中。
台湾电机专家吴隆生创造了64阶方 阵仪可用于计算机 ，测量仪，通讯交 换仪以及水电，火力，航空等的管制系 统。
幻方算法的研究与实现
３２ 双 偶 幻 方 Ｎ ４ Ｍ （ Ｉ ２ ３ … … ） ． ＝ ｘ Ｍ＝ ， ， ，
实现算法一 ：
２ 幻 方分 类
根据幻方阶数 的特点 ， 可以将 之分成三种基本类型 。
（ ） 阶幻 方 ： 为奇 数 。 １奇 Ｎ
髑 西 口
图 １
（ ）单偶幻 方 ： 为偶 数 ， 不可被 ４整 除 （ ６ １ ， ２ Ｎ 但 如 ，０
１ ，８等 ）。 ４１
因 圈 圈 豳
（ ） ｘ Ｎ Ｎ ｌｘ按 由小到大 的顺 序， 第一行开 １ 将 至 ｘ —＋ 从 始依序填入 Ｎｘ Ｎ的方阵中， 图 ２（ ） 如 ａ 所示。 （ ）将 Ｎｘ ２ Ｎ的方阵 以 ４行 ４列划 分 为若干个 ４ ４的 ｘ
小方 阵。
（ ） 偶幻 方： 为偶数， ３双 Ｎ 并且 可 以被 ４整 除 （ ４ ８ 如 ，，
了 ， 图 ２（ ） 示 。 如 ｃ所
２ ３
置 比前一个数 的行数减 １ 列数增 １ 。 ， 嗍 依此规律得 出的位置需注意 以下情况 的特殊 处理 ：
１ ２ ３ １ ６ ３
８ １ ２ ５ １ １ ８ １ ０ ９ ７ ６ １ ２ ４ １ １ ｌ ４ ５
ｉ ， ｒｆ ｉ ｎｅ ｉ ｎｅａ ｄ ａｔ ａ ｄ ｃ ｆ．ｈ ａｅ ａｙｅ ｈｅ ａｉ ｙｅ ｆａｇｒ ｍ ｆｍ ｇｃｆｕ ｌ， ｈ ｃ Ａ ｔ ｃａ Ｉｔｌ ｅ ｃ ｎ ｒ ｒ ｔ Ｔ ｅ ｐｐｒａ ｌ ｓ ｔｒｅｂ ｃｔ ｓｏ ｌ ｉ ｓｏ ａ ｉ ￣ ａ￣ｗ — ｓ ｉ ｌ ｉ ｌｇ ｓｎ ａｓ ｎ ｚ ｓ ｐ ｏｔ ｈ ［ －
幻方的研究
美妙的幻方中图分类号：论文编号：10006ZY1021226摘要在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方“。
我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
本文对幻方的由来及组成进行了简单的介绍和说明。
并对幻方的几种常见的构造方法进行了说明。
关键词:幻方，洛书，纵横图，九宫图目录第一章幻方的历史4第二章幻方的构造7第三章幻方构造的实现93.1 一般方法103.1.1 N为基数时103.1.2 N为4的倍数时103.1.3 N为其他偶数时103.2 其他方法153.2.1 Merzirac法生成奇阶幻方153.2.2loubere法生成奇阶幻方163.2.3horse法生成奇阶幻方163.2.4Hire法生成偶阶幻方 163.2.5Strachey法生成单偶幻方 183.2.6Spring法生成以偶幻方 183.2.7YinMagic构造偶阶幻方 193.2.8魔鬼幻方 193.2.9罗伯法20第四章总结20第一章幻方的历史据传说，大约公元前2000年前的时候，位于陕西的洛河常常泛滥成灾，威胁着两岸人们的生活与生产。
于是，大禹日夜奔忙，三过家门而不入，带领人们开沟挖渠，疏通河道，驯服了河水，感动了上天。
事后，一只神龟从河中跃出，驮着一张图献给大禹。
图上有九个数字。
大禹因此得到上天赐给的九种治理天下的方法。
这张图，就是闻名于世的洛书，见图1。
洛书中每个小圆圈都代表一个l。
所以把它写成现在的形式就是图2。
图 1图 2图2是由三行三列九个数字组成的正方形排列，它的每一行、每一列、每条对角线上的三个数字的和都是同一个常数15。
这种美妙的正方形排列，在我国历史上，曾叫做“九宫图”，亦叫做纵横图。
后来，人们称它为“幻方”。
因为图2是由三行三列组成的，所以它被称为三阶幻方。
现已确认，洛书是世界上最古老的幻方。
所谓纵横图，它是由1到n^2,这n^2个自然数按照一珲的规律排列成N行、N列的一个方阵。
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幻方的研究作者姓名学科专业指导教师培养院系摘要在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
本文主要介绍了幻方的起源、解法与应用。
关键词：magic square, magic square solution, application of magic squares.AbstractIn a square consists of several rows of numbers consisting of the figure any of rampant, a longitudinal and a few number of diagonal and are equal, having a chart of this nature, known as the "magic square." Ancient Chinese called "Riverside", "Luo Shu", also called "aspect map."This paper describes the origin and application solution magic square.Key words: key word 1, key word2, key word 3, key word 4幻方的起源幻方的起源幻方(magic square)起源于《易》，古称九宫（龟文），乃是我国最先发现的一个著名组合算题。
《易》算之于九宫，识之以天象，在古代天文、历法、农牧生产与社会生活中具有广泛的应用价值。
易十数为体，八九为用，八九不离十。
《易》九宫算动态组合模型（包括河图、洛书、八卦）是幻方的通解与最简模型[1]。
幻方是一个高深莫测的数学迷宫和高智力游戏，它的重重大门闪似乎由一串串非常复、精密而又变化多端的连圜锁“参伍错综”地锁着的，人们走进去也许并不难，但是要走出来谈何容易。
现代幻方组合理论及技术水平虽然达到了相当的高度，但我始终不敢轻言谁已经揭示了幻方谜底。
幻方是一个丰蕴的知识宝库。
幻方九宫算模型的精髓在于：变、变、变。
正可谓“横看成岭侧成峰”。
《系辞》曰：“神无方而《易》无体”，这意思是说：九宫算神奇的数理变化不囿于一招一法，其几何形体亦无常于一制一式，因此研究幻方应尽可能采取多种多样的方法。
发现新方法是很重要的，但各种方法的具体操作与用法创新、绝技的应用等，有时比方法本身更为重要。
不同方法以及方法的不同用法，各种方法合理的交互应用等，必然会产生幻方新的结构与造型。
n阶幻方的全部解各有一个幻方群，1至2n自然数列的2n个数在整个幻方群中的变位关系，阶次越大变化就越复杂，它们将遵守精密逻辑、模糊逻辑或非逻辑等等不同规则。
《易》九宫学博大精深。
汉徐岳在《数术记遗》中已从算学角度称洛书为九宫，南北朝甄鸾注：“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九lu一，五居中央。
”唐王希《太乙金镜式经》曰：“九宫之义，法以灵龟—此不易之道也”等等。
但幻方九宫算的开拓者首当宋大数学家杨辉，他不仅发现了洛书（三阶幻方）的构图口诀，而且还填出了四阶至十阶多幅幻方以及幻圆、幻环等图形。
同时，宋丁易东、明程大位、清张潮与方中通等人，也对幻方组合技术做出过重要贡献[2]。
幻方九宫算是东方大易文化的瑰宝。
自汉唐以来统一的中国繁荣富强，在拓疆、移民、传教、航海与丝路开通等对外经贸与文化交流过程中，幻方古算题飘洋过海，东传日本，西播欧美。
日本人如获至宝，竟把九宫算更名为“大和算”，也填出了不少幻方杰作。
西方人则更为之着迷，轰动了整个学界，并称之为有魔力的魔方，名冠“幻方大王”者有之。
尔今，炎黄子孙在易学、幻学研究方面理当领先于世界。
完全幻方是幻方的稀世珍品，具有最优化组合性质。
在浩如烟海的幻方世界中，完全幻方只占其一小部份，而且三阶及2（2k+1）阶（k>0）领域内还不存在幻方最优化解[3]，但是完全幻方却代表着高难度的组合技术水平。
迄今所知，完全幻方最早的历史遗存：一幅见之于古中国伊斯兰教的传世“玉挂”；另一幅则见之于古印度公元十一世纪刻在神庙前的“石碑”。
中印“玉、石”奇方都为四阶完全幻方[4]。
幻方的解法幻方的解法幻方按照阶数可分成了三类，即奇数阶幻方、单偶阶幻方、双偶阶幻方。
一、奇数阶幻方（罗伯法）所谓奇数阶幻方就是当n不可以被2整除时的奇阶幻方，即2K+1阶幻方。
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法[5]。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：（1）每一个数放在前一个数的右上一格；（2）如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；（3）如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；（4）如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在底行且最左列；（5）如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的3阶（表1），5阶幻方：表1表2二、单偶数阶幻方（斯特拉兹法）所谓单偶阶幻方就是当n不可以被4整除时的偶阶幻方，即4k+2阶幻方。
如(n=6，10，14……)的幻方。
单偶数阶幻方最经典的填法是斯特拉兹法[6]。
填写的方法是：以10阶幻方为例。
这时，k=2。
（1）把魔方阵分为A，B，C，D四个区域，这样每一个象限肯定是奇数阶。
用罗伯法，依次在A区域（红），D区域（黄），B区域（绿），C区域（白）按奇数阶幻方的填法填数（表3）。
幻方的解法表3幻方的解法表5三、双偶数阶幻方（海尔法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在四阶幻方中，每一对和为4×4+1=17的数，是一对互补数；在五阶幻方中，每一对和为26的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方最经典的填法是海尔法[6]。
填写的方法是：以8阶幻方为例：（1）先把数字按顺序填。
然后，按4×4把它分割成4块（表6）幻方的解法表7当然，幻方也有其他解法，比如詹森在关于构造幻方的新方法[7]中提出的一些新的解法，等等。
这里作者就不一一介绍了。
幻方的应用一、幻方应用于美术设计幻方可大量应用于美术设计，西方建筑学家勃拉东发现幻方的对称性相当丰富，它采用幻方组成许多美丽的图案，他把图案中的那些方阵内的线条称为“魔线”，并应用于轻工业品、封面包装设计中，德国著名版画家A·度勒的作品《忧郁症》中，因有一个能指明制作年代的幻方而闻名于世，艺术美与理性美的和谐组合，往往成为流芳千古的佳作。
关于“魔线”图，日本幻方专家阿部乐方也做过许多工作，我国河南安阳一位教师姬广忠，曾研究出各种魔线图，奉献给了中央工艺美术学院。
北京丁宝训在《幻方专辑》登载了17幅“魔线图”，都十分漂亮。
幻方中数学布局十分对称均衡，又有丰富的变化，因而将其数字按序联起来，可形成一幅幅奇特的“魔方阵构造图”，经彩色处理可获得十分漂亮的美术图案，这种图案在表现出多样的对称美的同时，又有幻方原理的理性规律，因此耐人寻味，堪称天斧之工。
二、“洛书”九方图在金融交易中的应用在西方国家虽然没有易学但也有指导相关领域决策的学问，例如，江恩理论就具有易学中的神秘色彩，江恩理论为金融预测领域的三大理论（道氏理论、波浪理论、江恩理论）之一，江恩将天文星相、宗教、哲学、几何学、数字学融为一体，认为金融指数的变化看似纷乱，其实都是十分有序的，以此进行金融交易预测，取得了很大成功。
在江恩理论中有诸多几何线和数字方图，其中最重要图形之一就是江恩九九方图，见下图（图1）所示。
幻方的应用图1该图出自收费版《江恩商品期货教程》，共六个图。
后面的图就是在上图基础上依次加81、162、243、324、405。
按照江恩理论，金融、商品期货的重要压力、支撑点位（或日期）均位于中心十字线或对角线上。
笔者的九阶九宫格幻方就是江恩九九八十一方图的变形，幻方中的十字、对角线与江恩九九八十一方图没有变化。
由于笔者的幻方具有数学分形和简易的可扩展性特点，在分析金融交易和商品期货方面独具特点。
九阶幻方、二十七阶幻方、八十一阶幻方可以分析、演绎不同纬度的交易指数趋势。
特别是二十七阶幻方为729个数字，恰好能演绎两年的变化周期，这就与时间建立了很好的联系[9]。
经实践验证，这些幻方在分析、预测金融、期货指数方面是非常独到的，大家不妨可以验证。
三、幻方对科学的启迪河图可看成是二阶幻方模型，洛书是三阶幻方，由于它们流传甚广，从古到今给人们许多科学的启迪。
例如，爱因斯坦的《相对论》，运用了11个公式推算时空相对增减元数，而河洛数对他很有启发。
美籍华裔学者焦蔚芳，曾写有洛书矩阵、洛书几何、洛书空间方面的书，对数学的发展起了促进的作用。
河南傅熙如运用洛书研究哥德巴赫猜想。
我们知道电脑的产生基于自动控制理论，而美国自动控制论的发明人是通过研究中国的“三三迷宫图”(三阶幻方的联线图)突发奇想，做出一系列控制理论的。
从这里的资料可看出，现在风靡世界的电脑，挖根寻源竟然跑到了幻方领域里去了。
幻方因具有一种自然的属性，虽是数字关系，但往往抽象概括性特强，当人们反复深思以后，就有可能对某个科学理论激发出灵感来，从而推动其发展。
在中国的传统文化中，我们能够看到洛书运用于军事、中医、天文、气象、气功等领域的大量资料，说明幻方与各种学科的密切关系是不可忽视的。
笔者近来阅读了计算机网络系统，网络拓朴结构共有五种，它们各有优缺点，但当我们思考五阶完美幻方的结构后，五种网络结构可融为一体，有可能成为最完美的网络体系结构[9]，而且它有些象我们人体中的“五行体系”(中医名词)。
山东吴硕辛的α(q，A)理论，与电脑的基本原理十分接近，这套从幻方中派生的理论，必定会在电脑中找到应用的前景的。
甘肃黄均迪应用二进制理论研究幻方，它将幻方分解成若干幅图块，这些图块都是由黑白两色构成，并具有和谐均衡性，这些黑白图块肯定可以用在电脑技术中去，希望大家去研究开发。
随着电子计算机的进一步发展，幻方在人功智能、图论、对策论、实验设计、工艺美术、电子回路原理、位置解析学等方面有着更加广泛的应用。
我们可以这样说，幻方在古老的过去，对人类的文明做出了重大的贡献，而在信息时代的今天，它也必将有一个广阔的应用前景。
幻方的应用参考文献[1]舒文中. 幻方[M]. 广东科技出版社, 1991.[2]金丕龄. 幻方的智慧[M]. 上海交通大学出版社, 2010.[3]刘秀峰. 多重幻方的构造与若干问题研究[D]. 汕头大学, 2010.[4]杨宏权. 有趣的三阶幻方[J]. 中学生数理化:七年级数学华师大版, 2009(7):88-90.[5]王冬梅. 奇数阶幻方变换数字图像的准周期[J]. 浙江工业大学学报, 2005, 33(3):292-294.[6]潘林森. 偶数阶幻方的对称交换构造法[J]. 重庆师范大学学报:自然科学版, 1997(1):12-17.[7]詹森. 关于构造幻方的新方法[J]. 海南师范大学学报:自然科学版, 2009, 22(2):133-134.[8]高治源. 幻方的应用前景[J]. 延安教育学院学报, 2000(1):44-45[9]吕振洪. 幻方问题的智能计算方法研究[D]. 国防科学技术大学, 2005.致谢感谢我的老师李卫国。