上海市闵行区2016年高三数学一模(理科含答案)
上海市闵行区届高考数学一模试卷(文科)(解析版)
２01６年上海市闵行区高考数学一模试卷(文科）一、填空题（本大题满分５６分)本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得４分,否则一律得零分．１．若复数z满足（ｉ为虚数单位），则｜z| ．A=.2.若全集U＝Ｒ，函数的值域为集合A，则∁Ｕ3.方程4x﹣2x﹣６=0的解为．4.函数的最小正周期t＝．5．不等式的解集是．６.已知圆锥的底面半径为３,体积是12π,则圆锥侧面积等于．7.已知△ABC中，，,其中是基本单位向量，则△ABC的面积为．８.在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有种．9.若Ｓ是等差数列{a n}的前ｎ项和，且，则=．ｎ１０．若函数f(x）=2|ｘ﹣1|且ｆ(x）在［m,＋∞）上单调递增,则实数m的最小值等于．1１.若点P、Q均在椭圆（a>1)上运动，F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，则的最大值为.12．已知函数,若实数ａ、b、c互不相等,且满足f(ａ）=f(b）＝f(c),则a＋b＋c的取值范围是.13.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a,b，c,d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π=3.1４１59…,若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为.1４.数列{a n｝的前n项和为Sｎ，若对任意n∈Ｎ*,都有,则数列{a２n﹣１}的前n项和为.二、选择题(本大题满分20分）本大题共有4题,每题只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分,否则一律得零分.１５．若a,ｂ∈Ｒ,且ａb>０，则“a=b”是“等号成立”的（)A．充要条件ﻩB.充分不必要条件Ｃ．必要不充分条件ﻩD.既非充分又非必要条件1６.设f（x)=2+5x+10x2+10x3+5x4+ｘ5,则其反函数的解析式为（）A.ﻩB．ﻩＣ．Ｄ.17．△ABＣ的内角A，Ｂ，C的对边分别为a，ｂ,c，满足，则角Ａ的范围是() A.B.ﻩC.ﻩD．1８．函数f（x）的定义域为[﹣1，1],图象如图1所示；函数g(x)的定义域为[﹣１，2]，图象如图2所示．A=｛x|f（g(x））＝0}，Ｂ={x|ｇ(f(x)）＝0},则Ａ∩B中元素的个数为()A.1ﻩB.2ﻩC.3ﻩD.４三、解答题(本大题满分74分)本大题共有５题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.1９．如图,三棱柱ＡＢC ﹣A 1Ｂ1C 1中,侧棱ＡA １⊥底面ＡＢC ，AA １=ＡＢ＝2，BC=1，，D 为棱ＡＡ１中点，证明异面直线B 1Ｃ1与ＣＤ所成角为,并求三棱柱A ＢC ﹣A 1B 1C 1的体积.2０．如图，点A 、B 分别是角α、β的终边与单位圆的交点,．（1)若,，求si ｎ2β的值;(2）证明:ｃos(α﹣β)＝ｃo ｓαc ｏｓβ+sin αsin β.21．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路ｌ1、ｌ2，海岸边界M ＰN 近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB ，且直线AB 与曲线MPN 有且仅有一个公共点P （即直线与曲线相切)，如图所示．若曲线段MP Ｎ是函数图象的一段,点M到l 1、l 2的距离分别为8千米和1千米,点N 到l ２的距离为10千米,点P 到l 2的距离为２千米.以ｌ1、l 2分别为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系ｘＯy. (１）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域;(2)求直线AB 的方程，并求出公路AB 的长度(结果精确到１米)．２２．已知椭圆Γ的中心在坐标原点,且经过点,它的一个焦点与抛物线E:ｙ2=4x 的焦点重合，斜率为ｋ的直线l 交抛物线Ｅ于Ａ、B 两点,交椭圆Γ于Ｃ、Ｄ两点． （１）求椭圆Γ的方程；（２）直线ｌ经过点F(1,0)，设点Ｐ（﹣1,k ）,且△PAB 的面积为,求ｋ的值;(３)若直线l 过点M(0，﹣1),设直线OC,ＯＤ的斜率分别为ｋ１,k ２,且成等差数列，求直线l 的方程．2３．已知数列｛ａn }的各项均为整数,其前n 项和为S ｎ.规定：若数列{a n }满足前r 项依次成公差为１的等差数列,从第ｒ﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{ａn }为“r 关联数列”. (１)若数列{a n }为“6关联数列”，求数列｛a n }的通项公式； （2)在（1)的条件下,求出Ｓn ,并证明:对任意n ∈N *，a n S n ≥a 6S 6;（３）若数列｛a n }为“６关联数列”，当n ≥6时，在a n 与a n+1之间插入n 个数,使这n+2个数组成一个公差为d ｎ的等差数列，求d n ,并探究在数列{ｄn }中是否存在三项d m ,d ｋ，d p （其中m ，ｋ,ｐ成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的三项;若不存在，说明理由.2016年上海市闵行区高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、填空题(本大题满分５6分)本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若复数z满足(i为虚数单位),则|z| 2 ．【考点】复数求模．【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数．【分析】根据复数的四则运算先化简复数,然后计算复数的长度即可【解答】解:∵，∴﹣z=i+1，∴z=﹣1﹣i，∴|z｜==2,故答案为：2．【点评】本题主要考查复数的计算，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式,比较基础.2．若全集U=R,函数的值域为集合A，则∁U A=（﹣∞,0).【考点】补集及其运算.【专题】计算题.【分析】求出函数的值域确定出A,根据全集U＝R,找出A的补集即可.【解答】解：函数y＝x≥0，得到A=[0,+∞),∵全集U＝Ｒ，∴∁U A=（﹣∞，0).故答案为：(﹣∞,0)【点评】此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3.方程４x﹣２x﹣6=0的解为log2３.【考点】指数式与对数式的互化;二次函数的性质.【专题】计算题.【分析】由４ｘ﹣2x﹣６=0,得(2x)2﹣２ｘ﹣6＝０,由此能求出方程４x﹣2ｘ﹣6=０的解．【解答】解：由4x﹣2x﹣6=０,得(2x)2﹣2x﹣6=0,解得2ｘ=３，或2x=﹣2(舍去）,∴ｘ=ｌｏｇ3．２故答案为：lｏg2３.【点评】本题考查指数方程的解法,解题时要认真审题，注意指数式和对数式的互化.4.函数的最小正周期t＝π .【考点】二阶行列式的定义；三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；转化思想;综合法；三角函数的求值;矩阵和变换.【分析】利用二阶行列式展开式法则和余弦函数二倍角公式求解.【解答】解：函数=ｃoｓ（π﹣ｘ)ｃosｘ﹣ｓin（π+x)ｓinx=﹣cos2x+siｎ2x=﹣cｏs2x，∴函数的最小正周期ｔ＝＝π.故答案为:π.【点评】本题考查三角函数的最小正周期的求法,是基础题,解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用．5．不等式的解集是(0,２) ．【考点】其他不等式的解法.【专题】不等式的解法及应用．【分析】移项、通分，化为等价的不等式，即可求出分式不等式的解集．【解答】解：∵>，∴﹣＞0，通分得＞0,即＜0;等价于２x(x﹣２)<0，解得0＜x＜2.故答案为：(0，2)．【点评】本题考查了分式不等式的解法与应用问题，解题时通常化为等价的不等式进行解答，是基础题．6.已知圆锥的底面半径为3,体积是12π,则圆锥侧面积等于15π.【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台)．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据圆锥的体积计算出圆锥的高,以及圆锥的母线，进而求出圆锥的侧面积.【解答】解:设圆锥的高为ｈ，底面半径为ｒ，∵圆锥的底面半径为3,体积是1２π，∴，即h＝4,∴圆锥的母线长l＝,∴圆锥的侧面积S=πrｌ＝3×5π＝1５π，故答案为：15π.【点评】本题主要考查圆锥的体积和侧面积的计算,要求熟练掌握圆锥的体积和侧面积公式.7.已知△ABC中,，，其中是基本单位向量,则△ＡBＣ的面积为．【考点】三角形的面积公式.【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】根据平面向量的数量积以及坐标运算,求出向量的模长，判断三角形是直角三角形，求出面积即可．【解答】解：根据题意，得:=（4，3）,=（﹣3，4）,∴=﹣=（﹣7,1），∴2=4２＋32=25,2＝（﹣３)２+4２=25,2＝(﹣７）２+12=50;∴｜|2＝|｜2+｜|2,△ABC是直角三角形，它的面积为Ｓ=×5×5=.故答案为:．【点评】本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据平面向量的数量积以及坐标运算,进行解答,是基础题.8．在20１7年的上海高考改革方案中,要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理６门学科中选择３门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门,那么小明同学的选科方案有10 种．【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题；方程思想;综合法；排列组合．【分析】分类讨论:选择两门理科学科,一门文科学科;选择三门理科学科，即可得出结论.【解答】解:选择两门理科学科,一门文科学科,有Ｃ32Ｃ3１=9种；选择三门理科学科,有1种，故共有10种.故答案为:１0．【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础.9.若Ｓn是等差数列｛a}的前n项和,且,则=５．ｎ【考点】等差数列的前n项和.【专题】方程思想；极限思想；定义法;等差数列与等比数列．【分析】设等差数列{a n}的公差为d,由已知可得的表达式，求极限可得.【解答】解:设等差数列｛a n}的公差为ｄ,则由可得=＋５,解得d=10，故＝＝＝５+，∴=（５＋)＝5故答案为：5【点评】本题考查等差数列的求和公式,涉及极限的运算,属基础题.1０．若函数f（x）=2|x﹣１|且ｆ（x)在［m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值等于1．【考点】分段函数的应用；指数函数单调性的应用．【专题】函数的性质及应用.【分析】先将函数解析式化为分段函数的形式,进而求出函数的单调递增区间，结合已知可得答案. 【解答】解：函数f（x）=２|ｘ﹣１|=，则函数ｆ（ｘ)的单调递增区间为[1，+∞），若函数ｆ(x)=2|x﹣1｜且f（x）在［m，+∞）上单调递增,则[m,+∞）⊆[1,＋∞)，即m≥1,即实数m的最小值等于1，故答案为:1.【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,指数函数的图象和性质,复合函数的单调性，单调性的性质,难度中档．11．若点Ｐ、Q均在椭圆（a＞1)上运动,F1、F是椭圆Γ的左、右焦点,则２的最大值为2a.【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用向量的平行四边形法则可得：=2，代入再利用向量的三角形法则、椭圆的性质即可得出．【解答】解：∵=2，∴==２≤２ａ,∴的最大值为２a,故答案为:２a.【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程、向量的平行四边形法则与三角形法则,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．1２.已知函数，若实数a、b、ｃ互不相等,且满足f(a)=f(ｂ）=f(ｃ)，则ａ+ｂ＋c的取值范围是（8，10) .【考点】分段函数的应用．【专题】计算题;函数思想;数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作出f(ｘ)的函数图象，由三角函数的对称性可知a＋b＝4，由交点个数可得４<ｃ＜６. 【解答】解:作出f（x）的函数图象如图:∵ｆ(a)=ｆ（ｂ)=f（c),不妨设a<b<ｃ,根据余弦函数的对称性可得a＋ｂ=4．且４＜c<6．∴a+b+c＝4＋ｃ．∴8＜a+b+c<10.故答案为（8,１0）．【点评】本题考查了分段函数的函数图象,三角函数的对称性,零点的个数判断,属于基础题．1３．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（ａ,b,c，d∈N*)，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道π=3.14159…,若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为．【考点】归纳推理．【专题】计算题；方程思想;综合法;推理和证明．【分析】利用“调日法”进行计算,即可得出结论．【解答】解:第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π<；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即<π<，第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即<π＜,故答案为:【点评】本题考查“调日法”,考查学生的计算能力，比较基础．14．数列{aｎ}的前n项和为S n，若对任意n∈N*，都有，则数列{a2ｎ﹣1}的前ｎ项和为﹣﹣3+2n .【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列.【分析】，由ａ1=﹣a1++1﹣3,解得a1＝．当n＝2ｋ﹣１≥３，k∈N*时，a2ｋ﹣１＝S2k﹣1﹣S2k﹣３，变形为﹣2＝,利用等比数列的通项公式可得a2k﹣1,再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解:∵，∴a1＝﹣ａ1++1﹣3,解得a1＝．当n=2ｋ﹣1≥３,ｋ∈N ＊时,a 2k ﹣1=Ｓ2k ﹣1﹣S 2ｋ﹣3=﹣a 2k ﹣1++(2k ﹣1)﹣3﹣化为:2ａ2ｋ﹣1=a ２k ﹣3﹣+2．变形为﹣2=，∴数列{﹣2}是等比数列,公比为,首项为﹣２. ∴﹣2＝,∴a 2ｋ﹣1=﹣+2．∴数列｛ａ2n ﹣1}的前n 项和=﹣＋2n=﹣﹣3+2ｎ.故答案为：﹣﹣3＋2ｎ．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、选择题(本大题满分20分）本大题共有４题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑，选对得5分,否则一律得零分. １5.若a,b ∈R ，且ａｂ＞0,则“ａ=b ”是“等号成立”的( ）A.充要条件ﻩB ．充分不必要条件C.必要不充分条件 D .既非充分又非必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】定义法；不等式的解法及应用;简易逻辑.【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合基本的性质进行判断即可． 【解答】解:∵a ｂ>０，∴＞0,当a ＝b,则+＝1+1＝2，此时等号成立， ＋≥２=2，当且仅当＝，即ａ=b 时取等号，故“a＝b”是“等号成立”的充要条件，故选:A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据基本不等式的性质是解决本题的关键.1６．设f(x)=2+5x＋10ｘ2+10x３＋5x4+x5，则其反函数的解析式为( ）A.ﻩB.ﻩC．Ｄ.【考点】反函数.【专题】定义法；函数的性质及应用;二项式定理.【分析】根据二项式定理：（1＋x）５=1+５x+10x2+１０x3+5x４+x5,原函数可写成y=1+(１+x）5,再求其反函数即可.【解答】解：因为ｙ＝f（x）=２+５x+1０x2+１0x３+５x４+x5=１+［1+５x+１0x2+１0x３+5x4＋x５]＝１+（1+ｘ）５，即ｙ=1+（1+ｘ)5，所以,１+x=,因此,x＝﹣1＋，再交换ｘ,y得，y=﹣1+,所以,f（x）的反函数的解析式为f﹣1（x）=﹣１+，x∈Ｒ，故答案为:C.【点评】本题主要考查了反函数及其解法,涉及二项式定理的应用，根式的运算和函数定义域与值域的确定,属于中档题．17.△AＢC的内角A,B，C的对边分别为a,b，ｃ,满足，则角A的范围是() A．Ｂ.ﻩC．ﻩＤ．【考点】余弦定理.【专题】计算题;数形结合;分析法；解三角形.【分析】由已知可得（a﹣b+c)（a+ｂ﹣ｃ)≤ｂｃ,整理可得：ｂ２＋c2﹣a２≥ｂｃ,利用余弦定理可得c ｏsA=≥＝，利用余弦函数的图象和性质即可得解A的范围.【解答】解：∵,又∵由于三角形两边之和大于第三边，可得ａ+ｃ﹣b>０,a+b﹣c＞0,且b,c＞0,∴（a﹣ｂ+c)(a+b﹣c）≤ｂc，整理可得：b２+c2﹣a２≥ｂc,∴ｃosＡ=≥=,∵A∈（０,）.故选：Ｂ.【点评】本题主要考查了余弦定理，余弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和数形结合能力，属于中档题．１8．函数ｆ（x)的定义域为［﹣1,１],图象如图1所示;函数g(x）的定义域为［﹣1，2],图象如图2所示．A={x|f(g（x）)=０},B={x|g（ｆ（x))＝０}，则A∩B中元素的个数为（)Ａ.1ﻩB．２ﻩC．３ﻩＤ．4【考点】函数的图象;交集及其运算.【专题】数形结合;定义法；函数的性质及应用;集合.【分析】结合图象，分别求出集合A,B，再根据交集的定义求出A∩B,问题得以解决.【解答】解：由图象可知,若f（g（x）)=0，则g(x）＝０或g（ｘ）=１,由图2知，g(x)=0时，x＝0,或x＝２,g(x）=1时，x＝１或ｘ=﹣1故A={﹣1，０,1,2｝,若g（f（ｘ））=0，由图1知，f（x）=0，或f（ｘ)=2(舍去），当f(ｘ）=0时，x=﹣１或0或１， 故B=｛﹣1,0，１}, 所以Ａ∩B={﹣１，0，1}， 则A ∩B 中元素的个数为3个. 故选：Ｃ.【点评】本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．1９.如图,三棱柱AB Ｃ﹣Ａ1B １C 1中,侧棱ＡA 1⊥底面ABC ，ＡA 1=ＡＢ=2，BC=１,,D 为棱AA 1中点，证明异面直线B 1Ｃ1与CD 所成角为,并求三棱柱ABC ﹣A 1Ｂ1C １的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离．【分析】在△ＡBC 中使用正弦定理得出∠A ＣB=90°，即ＡC ⊥ＢC ，又AA 1⊥平面ＡB Ｃ得A Ａ1⊥ＢC ，故ＢC ⊥平面ACC 1A 1,于是ＢC ⊥CD,由BC ∥Ｂ1C 1得出Ｂ1C 1⊥ＣＤ,利用棱柱的体积公式求出棱柱的体积．【解答】证明:在△ABC 中,由正弦定理得,即,∴s ｉn ∠A ＣB=1,即,∴ＢC ⊥AC ．∵AA １⊥平面A ＢC ，B Ｃ⊂平面ABC ，∴BC ⊥AA 1，又A Ｃ⊂平面ＡCC １A １,ＡＡ１⊂平面AC Ｃ1A 1,AA 1∩A Ｃ=A, ∴ＢC ⊥平面平面ACC 1Ａ1，ＣD ⊂平面ＡCC 1Ａ1， ∴BC ⊥C Ｄ，∵ＢC ∥B 1C 1，∴B1C１⊥CＤ，∴异面直线Ｂ１Ｃ１与CD所成角为.∵AB＝2，BC=1,∠AＣＢ=，∴AＣ=.∴三棱柱AＢＣ﹣A1B1C1的体积Ｖ=S△AＢＣ•AA1=＝.【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱柱的结构特征,棱柱的体积计算,属于中档题.２0.如图,点A、Ｂ分别是角α、β的终边与单位圆的交点，．（1）若,，求sｉn２β的值;(２)证明：cｏｓ(α﹣β)=cosαcosβ+ｓｉnαsinβ．【考点】两角和与差的余弦函数;任意角的三角函数的定义.【专题】转化思想；综合法;三角函数的求值.【分析】(1）由条件利用二倍角公式，诱导公式,求得sin2β的值．(2）由条件利用两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义,证得公式成立．【解答】解:（1）由,可得cｏs(2α﹣2β）＝２cos2（α﹣β)﹣1＝﹣,∵,∴cos(﹣2β）=﹣，∴sｉｎ2β=.（２）由题意可得，||=|｜=１，且与的夹角为α﹣β，=(cosα,sinα),＝(cosβ，sｉnβ), =cosαcｏsβ＋sinαsinβ=1×１×cos（α﹣β)，∴ｃos(α﹣β)=ｃosαcosβ+ｓiｎαsinβ成立．【点评】本题主要考查二倍角公式，诱导公式的应用，两个向量的数量积的运算,属于中档题．21．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l１、ｌ2,海岸边界MＰＮ近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源,需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AＢ，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切)，如图所示.若曲线段MPN是函数图象的一段,点Ｍ到l1、l ２的距离分别为8千米和1千米,点N到l2的距离为10千米，点P到l２的距离为2千米．以l1、l２分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOｙ．（1)求曲线段ＭPN的函数关系式，并指出其定义域；（２）求直线AB的方程,并求出公路AB的长度（结果精确到1米）.【考点】根据实际问题选择函数类型;函数解析式的求解及常用方法.【专题】应用题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】(1）由题意得Ｍ(1，8),则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为,可得其定义域；(2）根据直线和曲线相切,利用判别式△=0进行求解即可.【解答】解：（1）由题意得M（1,8),则a=8,故曲线段MPＮ的函数关系式为，又得，所以定义域为［1，10］．（2)由(1）知Ｐ（２,4),设直线方程为y﹣4=ｋ(ｘ﹣２）,联立方程，得ｋｘ2+2(2﹣k)x﹣8=0，由判别式△=0得4(2﹣k）2+3２k＝4(k＋2）２=0，得ｋ=﹣２,即直线AＢ的方程为y=﹣2x+8，当x=0时，y=8,当y=０时，ｘ＝4,即Ａ（０,８），B(4,0)，则AＢ==4≈8９44米．【点评】本题考查函数的应用问题，利用数学知识解决实际问题,考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键.22．已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点,它的一个焦点与抛物线E：ｙ2=４ｘ的焦点重合,斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点,交椭圆Γ于Ｃ、Ｄ两点.(1）求椭圆Γ的方程；(2)直线ｌ经过点F（１,０）,设点P（﹣1，ｋ），且△PAＢ的面积为，求k的值;(3)若直线ｌ过点Ｍ(0,﹣1),设直线OC，OD的斜率分别为k1，k2，且成等差数列,求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想;综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】（１）设椭圆方程为=1（a>ｂ＞0)，由椭圆Γ的中心在坐标原点,且经过点，它的一个焦点与抛物线E：y2＝４ｘ的焦点重合,列出方程组求出ａ,b,由此能求出椭圆Γ的方程. （２）设直线l:y=k（x﹣1）,由，得ｋ2ｘ2﹣2（k2+２）ｘ+k2=０,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出k的值.（3）设直线ｌ：y=kx﹣1，代入椭圆，得（4k2＋3)x2﹣8kx﹣8=０，由此利用M（0，﹣1)在椭圆内部,得l与椭圆恒有两个交点，根据韦达定理、等差数列的性质,结合已知条件能求出直线ｌ的方程. 【解答】解:(1）设椭圆方程为＝1（ａ＞b＞0），由题设,解得a2＝4,ｂ2＝3，∴椭圆Γ的方程为．（2）设直线l：y=k（x﹣1），由,得k2ｘ2﹣2(k２+２)x+k２=0,l与抛物线E有两个交点,k≠0,△=16（k2+1）>0，则|AＢ|=•=,P(﹣1,k）到ｌ的距离d=,又,∴•＝４，即４k2=3ｋ2+3，解得k＝.(3）设直线ｌ：ｙ＝kx﹣1，由,得(4ｋ２＋3)x2﹣８ｋx﹣８＝0,Ｍ（0,﹣１)在椭圆内部，∴l与椭圆恒有两个交点,设C（x１,y1)，Ｄ（ｘ２,ｙ２),则,,由成等差数列,得==＝====，解得ｋ＝,∴直线ｌ的方程为y＝.【点评】本题考查椭圆方程、直线斜率、直线方程的求法,是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，等差数列等知识点的合理运用．23.已知数列｛a n}的各项均为整数,其前n项和为Sｎ.规定：若数列{aｎ}满足前r项依次成公差为1的等差数列,从第ｒ﹣１项起往后依次成公比为2的等比数列,则称数列{aｎ}为“r关联数列”．(1)若数列{a n｝为“6关联数列”，求数列{ａn}的通项公式;（2)在（１）的条件下,求出Ｓn，并证明：对任意n∈N＊，ａn S n≥a6Ｓ6;(3）若数列{ａｎ}为“6关联数列”,当n≥６时,在a n与a n+１之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，求d n,并探究在数列{dｎ}中是否存在三项d m,d k，dｐ（其中ｍ,k,p成等差数列)成等比数列？若存在,求出这样的三项；若不存在,说明理由.【考点】数列的应用；等比数列的通项公式.【专题】综合题;转化思想；综合法；等差数列与等比数列.【分析】（１)若数列｛a n}为“6关联数列”,｛a n}前6项为等差数列，从第５项起为等比数列，可得a６＝a1＋5,a5=a1+4,且=2,解得ａ１,即可求数列｛a n}的通项公式．(2）由(1)得,可见数列｛a nＳn｝的最小项为a6S６＝﹣６，即可证明：对任意n∈N*，ａnＳn≥ａ6S6．(3)由(1）知,当ｎ≥6时,,由此能求出.假设在数列{dｎ}中存在d m,ｄk，d p(其中m,ｋ，p成等差数列),则(d k)2=d mｄｐ，推导出k=m=p,这与题设矛盾.故在数列{ｄｎ}中不存在三项dｍ,d k,ｄp(其中ｍ，k，p成等差数列)成等比数列．【解答】解:（１）∵数列{a n｝为“6关联数列”,∴{a n}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，∴a６=ａ1+5，a5=a1+4，且==2，解得a1＝﹣3，∴．（２）由（１)得，｛a n｝:﹣3,﹣2，﹣1,0，１,２，22,23，２４，2５，…,{Ｓｎ｝：﹣３,﹣5，﹣6,﹣6，﹣５，﹣3,１,9,２5，…｛aｎS n}:9，10,6,0,﹣5,﹣6，4，7２，40０，…,可见数列｛ａn Sｎ}的最小项为a6S6=﹣6,---- 证明:a ｎS ｎ=，列举法知当n ≤5时，(ａn Ｓｎ)ｍin =a 5S ５＝﹣5;当ｎ≥6时,a ｎS n =２•(２n ﹣5）2﹣7•2ｎ﹣5,n ≥６,设t=2n ﹣５,则ａn S n ＝2t 2﹣7t=2(t ﹣）2﹣7t=2(ｔ﹣）2﹣≥2•2２﹣7•2=﹣6.(3）由(1)知，当n ≥6时，， ∵a n+１=a n +（n+2﹣1）d ｎ,2ｎ﹣４=２n ﹣5+(n+１）d n ,∴． 假设在数列｛d n }中存在ｄm ,ｄｋ，d p (其中m,k ，p 成等差数列)，则（d k )2=d m d p ,∴（)2=,，（*）∵m,p ，k 成等差数列，∴m+p ＝2k,(*)式可化简为（k+1)2=(m+1）(p+1），即k ２=mp ，∴k=ｍ=p ，这与题设矛盾.∴在数列｛d n ｝中不存在三项d m ,d ｋ，d p (其中m ，ｋ，p 成等差数列)成等比数列．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明,考查满足条件的三项是否存在的判断与求法，是中档题,解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用.。
2016年上海市闵行区中考数学一模试卷含答案解析
2016年上海市闵行区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（）A．=B．=C．=D．=2．将二次函数y=x2﹣1的图象向右平移一个单位，向下平移2个单位得到（）A．y=（x﹣1）2+1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x+1）2+33．已知α为锐角，且sinα=，那么α的余弦值为（）A．B．C．D．4．抛物线y=ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0，c=0 B．a＞0，b＜0，c=0 C．a＜0，b＞0，c=0 D．a＜0，b＜0，c=05．在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是（）A．2000000cm2B．20000m2C．4000000m2D．40000m26．如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2=6．若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）A．3次B．4次C．5次D．6次二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．如果，那么=．8．如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们的相似比是．9．已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么BP的长是厘米．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点F在边AC的延长线上，且FD⊥AB，垂足为点D，如果AD=6，AB=10，ED=2，那么FD=．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=2，那么BC=．12．已知一条斜坡，向上前进5米，水平高度升高了4米，那么坡比为．13．过△ABC的重心作DE∥BC，分别交AB于点D，AC于点E，如果=，=，那么=．14．方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为﹣3和1，那么抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，以点A为圆心作⊙A，要使B、C两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么⊙A的半径长r的取值范围为．16．已知⊙O1与⊙O2内切，⊙O1的半径长是3厘米，圆心距O1O2=2厘米，那么⊙O2的半径长等于厘米．17．闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1）如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水珠的高度）y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣x2+4x+，那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在水池外．18．将一副三角尺如图摆放，其中在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°．点D为边AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°）后得△E′DF′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，那么的值为．三、解答题（本大题共7小题，满分78分）19．如图，已知Rt△ABC的斜边AB在x轴上，斜边上的高CO在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2，求经过A、B、C三点的二次函数解析式．20．已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果∠BAD=30°，且BE=2，求弦CD的长．21．如图，已知四边形ABCD，点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，设=，=．（1）试用，的线性组合表示向量；（需写出必要的说理过程）（2）画出向量分别在，方向上的分向量．22．如图，一只猫头鹰蹲在树AC上的B处，通过墙顶F发现一只老鼠在E处，刚想起飞捕捉时，老鼠突然跑到矮墙DF的阴影下，猫头鹰立即从B处向上飞至树上C处时，恰巧可以通过墙顶F看到老鼠躲在M处（A、D、M、E四点在同一条直线上）．已知，猫头鹰从B点观测E点的俯角为37°，从C点观察M点的俯角为53°，且DF=3米，AB=6米．求猫头鹰从B处飞高了多少米时，又发现了这只老鼠？（结果精确到0.01米）（参考数据：sin37°=cos53°=0.602，cos37°=sin53°=0.799，tan37°=c ot53°=0.754，cot37°=tan53°=1.327）．23．如图，已知在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F在边AB上，点E在线段DF的延长线上，且∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，且∠EBM=∠C．（1）求证：EB•BD=BM•AB；（2）求证：AE⊥BE．24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形，求点P的坐标．（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P 的坐标．25．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，对角线AC、BD交于点G，已知AB=BC=3，tan∠BDC=，点E是射线BC上任意一点，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，交射线AC于点M，射线DC于点H．（1）当点F是线段BH中点时，求线段CH的长；（2）当点E在线段BC上时（点E不与B、C重合），设BE=x，CM=y，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）连接GF，如果线段GF与直角梯形ABCD中的一条边（AD除外）垂直时，求x的值．2016年上海市闵行区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（）A．=B．=C．=D．=【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【解答】解：∵=，∴DE∥BC，选项A不符合题意；∵=，∴DE∥BC，选项B不符合题意；∵=，∴DE∥BC，选项C不符合题意；=，DE∥BC不一定成立，选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边2．将二次函数y=x2﹣1的图象向右平移一个单位，向下平移2个单位得到（）A．y=（x﹣1）2+1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x+1）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再利用点平移的规律，点（0，﹣1）平移后的对应点的坐标为（1，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向右平移一个单位，向下平移2个单位得到对应点的坐标为（1，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣3．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．3．已知α为锐角，且sinα=，那么α的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数的关系．【专题】计算题．【分析】利用平方关系得到cosα=，然后把sinα=代入计算即可．【解答】解：∵sin2α+cos2α=1，∴cosα===．故选D．【点评】本题考查了同角三角函数的关系：sin2A+cos2A=1．4．抛物线y=ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0，c=0 B．a＞0，b＜0，c=0 C．a＜0，b＞0，c=0 D．a＜0，b＜0，c=0【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】先根据图象经过象限的情况判断出a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理．【解答】解：∵抛物线经过原点，∴c=0，∵抛物线经过第一，二，三象限，可推测出抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧∴a＞0，∵对称轴在y轴左侧，∴对称轴为x=＜0，又因为a＞0，∴b＞0．故选A．【点评】解决此类题目，可现根据条件画出函数图象的草图再做解答．5．在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是（）A．2000000cm2B．20000m2C．4000000m2D．40000m2【考点】比例线段．【专题】常规题型．【分析】先根据面积的比等于比例尺的平方求出实际面积，然后再进行单位转化．【解答】解：设实际面积是x，则=（）2，解得x=200 000 000cm2，∵1m2=10000cm2，∴200 000 000cm2=20000m2．故选B．【点评】本题主要考查了比例线段中的比例尺，利用面积的比等于比例尺的平方是解题的关键，本题单位换算容易出错，需要特别注意．6．如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2=6．若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）A．3次B．4次C．5次D．6次【考点】直线与圆的位置关系．【专题】分类讨论．【分析】根据题意作出图形，直接写出答案即可．【解答】解：如图，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现4次，故选：B．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．如果，那么=．【考点】比例的性质．【分析】由，根据比例的性质，即可求得的值．【解答】解：∵，∴==．故答案为：．【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形．8．如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们的相似比是2：3．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形周长的比是2：3，∴两个相似三角形相似比是2：3，故答案为：2：3．【点评】本题考查的是相似三角形性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．9．已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么BP的长是﹣1厘米．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金比是进行计算即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜BP，∴BP=AB=﹣1厘米．故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点F在边AC的延长线上，且FD⊥AB，垂足为点D，如果AD=6，AB=10，ED=2，那么FD=12．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据垂直的定义得到∠BDE=∠ADF=90°，根据三角形的内角和得到∠F=∠B，推出△ADF∽△BDE，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．【解答】解：∵FD⊥AB，∴∠BDE=∠ADF=90°，∵∠ACB=90°，∠CEF=∠BED，∴∠F=∠B，∴△ADF∽△BDE，∴，即，解得：DF=12，故答案为：12．【点评】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=2，那么BC=4．【考点】解直角三角形．【分析】根据∠C=90°，得出cosA=，再根据AC=2，求出AB，最后根据勾股定理即可求出BC．【解答】解：∵∠C=90°，∴cosA==，∵AC=2，∴AB=6，∴BC===4．故答案为：4．【点评】本题考查了解直角三角形，用到的知识点锐角三角函数、勾股定理，关键是根据题意求出AB．12．已知一条斜坡，向上前进5米，水平高度升高了4米，那么坡比为1：0.75．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】先求出水平方向上前进的距离，然后根据坡比=竖直方向上升的距离：水平方向前进的距离，即可解题．【解答】解：如图所示：AC=5米，BC=4米，则AB==3米，则坡比===1：0.75．故答案为：1：0.75．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．13．过△ABC的重心作DE∥BC，分别交AB于点D，AC于点E，如果=，=，那么=﹣．【考点】*平面向量；三角形的重心．【分析】由过△ABC的重心作DE∥BC，可得=，再利用三角形法则求解即可求得答案．【解答】解：∵过△ABC的重心作DE∥BC，∴=，∴==（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识以及三角形重心的性质．注意掌握三角形法则的应用．14．方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为﹣3和1，那么抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣1．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根及两根之和公式来解决此题．【解答】解：∵函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，∵x1+x2=﹣3+1=﹣=﹣2．则对称轴x=﹣=×（﹣）=×（﹣2）=﹣1．【点评】要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．（利用二次函数的对称性解答更直接）15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，以点A为圆心作⊙A，要使B、C两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么⊙A的半径长r的取值范围为12＜r＜13．【考点】点与圆的位置关系．【分析】熟记“设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内”即可求解，【解答】解：如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r＞12，点B在圆A外，则r＜13，因而圆A半径r的取值范围为12＜r＜13．故答案为12＜r＜13．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．16．已知⊙O1与⊙O2内切，⊙O1的半径长是3厘米，圆心距O1O2=2厘米，那么⊙O2的半径长等于5或1厘米．【考点】圆与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】设⊙O2的半径为r，根据内切的判定方法得到r﹣3=2或3﹣r=2，然后解方程即可．【解答】解：设⊙O2的半径为r，∵⊙O1与⊙O2内切，∴r﹣3=2或3﹣r=2，∴r=5或r=1．故答案为5或1．【点评】本题考查了圆和圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R、r：两圆外离⇔d＞R+r；两圆外切⇔d=R+r；两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切⇔d=R﹣r（R＞r）；两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．17．闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1）如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水珠的高度）y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣x2+4x+，那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在水池外．【考点】二次函数的应用．【分析】根据二次函数的解析式求得抛物线与x轴的交点坐标的横坐标，即为所求的结果．【解答】解：当y=0时，即﹣x2+4x+=0，解得x1=，x2=﹣（舍去）．答：水池的半径至少米时，才能使喷出的水流不落在水池外．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的应用，注意抛物线的解析式的三种形式在解决抛物线的问题中的作用．18．将一副三角尺如图摆放，其中在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°．点D为边AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°）后得△E′DF′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，那么的值为．【考点】旋转的性质．【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD=AD=DB，则∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，由于∠EDF=90°，可利用互余得∠CPD=60°，再根据旋转的性质得∠PDM=∠CDN=α，于是可判断△PDM∽△CDN，得到=，然后在Rt△PCD中利用正切的定义求解．【解答】解：∵点D为斜边AB的中点，∴CD=AD=DB，∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，∵∠EDF=90°，∴∠CPD=60°，∴∠MPD=∠NC D，∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），∴∠PDM=∠CDN=α，∴△PDM∽△CDN，∴=，在Rt△PCD中，∵tan∠PCD=tan30°=，∴=tan30°=．故答案是：．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．三、解答题（本大题共7小题，满分78分）19．如图，已知Rt△ABC的斜边AB在x轴上，斜边上的高CO在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2，求经过A、B、C三点的二次函数解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】由同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，得到三角形AOB与三角形AOC 相似，由相似得比例，求出OC的长，即可确定出C坐标；由B与C坐标设出抛物线的二根式，将A坐标代入求出a的值，确定出抛物线解析式即可．【解答】解：∵∠AOC=∠ACB=90°，∴∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠ABC=90°，∴∠ACO=∠ABC，又∵∠AOC=∠COB=90°，∴△ACO∽△CBO，∴=，即OC2=OB•OA，∵OA=1，OC=2，∴OB=4，则B（4，0），∵A（﹣1，0），C（0，2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），将C（0，2）代入得：2=﹣4a，即a=﹣，则过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2，【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质以及用待定系数法求二次函数的解析式等知识，难度适中．20．已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果∠BAD=30°，且BE=2，求弦CD的长．【考点】垂径定理；解直角三角形．【分析】连接OD，设⊙O的半径为r，则OE=r﹣2，再根据圆周角定理得出∠DOE=60°，由直角三角形的性质可知OD=2OE，由此可得出r的长，在Rt△OED中根据勾股定理求出DE的长，进而可得出结论．【解答】解：连接OD，设⊙O的半径为r，则OE=r﹣2，∵∠BAD=30°，∴∠DOE=60°，∵CD⊥AB，∴CD=2DE，∠ODE=30°，∴OD=2OE，即r=2（r﹣2），解得r=4；∴OE=4﹣2=2，∴DE===2，∴CD=2DE=4．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．21．如图，已知四边形ABCD，点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，设=，=．（1）试用，的线性组合表示向量；（需写出必要的说理过程）（2）画出向量分别在，方向上的分向量．【考点】*平面向量．【分析】（1）由点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，直接利用三角形中位线的性质，即可求得==﹣，==，再利用三角形法则求解即可求得答案；（2）利用平行线四边形法则求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，∴==﹣，==，∴=+=﹣+；（2）如图：与即为所求．【点评】此题考查了平行向量的知识．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用．22．如图，一只猫头鹰蹲在树AC上的B处，通过墙顶F发现一只老鼠在E处，刚想起飞捕捉时，老鼠突然跑到矮墙DF的阴影下，猫头鹰立即从B处向上飞至树上C处时，恰巧可以通过墙顶F看到老鼠躲在M处（A、D、M、E四点在同一条直线上）．已知，猫头鹰从B点观测E点的俯角为37°，从C点观察M点的俯角为53°，且DF=3米，AB=6米．求猫头鹰从B处飞高了多少米时，又发现了这只老鼠？（结果精确到0.01米）（参考数据：sin37°=cos53°=0.602，cos37°=sin53°=0.799，tan37°=cot53°=0.754，cot37°=tan53°=1.327）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据猫头鹰从B点观测E点的俯角为37°，可知∠E=37°，在△DEF中，已知DF的长度即可求得DE的长度，然后证得D是AE的中点，从而求得AE的长度，根据猫头鹰从C点观察M点的俯角为53°，可知∠AMC=53°，进而求得DM，即可求得AM，在△AMC中，根据余切函数求得AC，即可求得BC．【解答】解∵DF=3，∠E=37°，cot37°=，∴DE=3•cot37°，∵DF=3米，AB=6米，AC∥DF，∴D是AE的中点，∴AE=2DE=6•cot37°，∵cot53°=，∴DM=3•cot53°，∴AM=AD+DM=3（cot37°+cot53°），∵cot37°=，∴AC=AM•cot37°，∴BC=AC﹣6≈2.28（米）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形，利用三角函数求解相关线段，难度一般．23．如图，已知在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F在边AB上，点E在线段DF的延长线上，且∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，且∠EBM=∠C．（1）求证：EB•BD=BM•AB；（2）求证：AE⊥BE．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，由已知条件得到∠EBM=∠C，等量代换得到∠EBM=∠ABC，求得∠ABE=∠DBM，推出△BEA∽△BDM，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论；（2）连接AD，由等腰三角形的性质得到AD⊥BC，推出△ABD∽△EBM，根据相似三角形的性质得到∠ADB=∠EMB=90°，求得∠AEB=∠BMD=90°，于是得到结论．【解答】证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠EBM=∠C，∴∠EBM=∠ABC，∴∠ABE=∠DBM，∵∠BAE=∠BDF，∴△BEA∽△BDM，∴，∴EB•BD=BM•AB；（2）连接AD，∵AB=AC，点D为BC边的中点，∴AD⊥BC，∵，∠ABD=∠EBM，∴△ABD∽△EBM，∴∠ADB=∠EMB=90°，∴∠AEB=∠BMD=90°，∴AE⊥BE．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握转化思想与数形结合思想的应用．24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式．（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形，求点P的坐标．（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P 的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据菱形的对角线互相垂直平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3）分类讨论：①当∠PCB=90°，根据互相垂直的两条直线的一次项系数互为负倒数，可得BP的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；根据勾股定理，可得BC，CP的长，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；②当∠BPC=90°时，根据相似三角形的性质，可得P点的坐标，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案．【解答】解：（1）将B、C点代入函数解析式，得，解得，这个二次函数y=x2+bx+c的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）四边形POP′C为菱形，得OC与PP′互相垂直平分，得y P=﹣，即x2﹣2x﹣3=﹣，解得x1=，x2=（舍），P（，﹣）；（3）∠PBC＜90°，①如图1，当∠PCB=90°时，过P作PH⊥y轴于点H，BC的解析式为y=x﹣3，CP的解析式为y=﹣x﹣3，设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），将点P代入代入y═x2﹣2x﹣3中，解得m1=0（舍），m2=1，即P（1，﹣4）；AO=1，OC=3，CB==3，CP==，此时==3，△AOC∽△PCB；②如图2，当∠BPC=90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D，BC的解析式为y=x﹣3，CP的解析式为y=﹣x﹣3，设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），CH=﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+2m，PH=m，PD=3﹣m，BD=﹣（m2﹣2m﹣3）．△CHP∽△PDB，=，即=，解得m=，m=（不符合题意，舍），此时，==≠=3，以P、C、B为顶点的三角形与△AOC不相似；综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质得出P点的坐标是解题关键；利用相似三角形的判定与性质得出关于m的方程是解题关键．25．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，对角线AC、BD交于点G，已知AB=BC=3，tan∠BDC=，点E是射线BC上任意一点，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，交射线AC于点M，射线DC于点H．（1）当点F是线段BH中点时，求线段CH的长；（2）当点E在线段BC上时（点E不与B、C重合），设BE=x，CM=y，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）连接GF，如果线段GF与直角梯形ABCD中的一条边（AD除外）垂直时，求x的值．【考点】相似形综合题．【分析】（1））根据题意可先求出CD=6，根据BF⊥DE和F为线段BH中点的条件，由等腰三角形三线合一的性质得到△BHD为等腰三角形，从而求出BD=HD=3，再求CH=3﹣6；（2）设BE=x，CM=y，要求y关于x的函数解析式，先利用AB∥CH，得到成比例线段=，得到=，再根据△BCH∽△DCE，得到==，则可以用含x的式子表示CH=，代入=中，整理化简可得y=（根据点E在线段BC上，则可得到0＜x＜3）（3）①如下图2，当GF⊥BC时，此时GF∥AB∥CD，根据平行线等分线段定理得到==，根据题意易证△BCH∽△DCE，根据其相似比得BF=BH=DE，再根据△BFE∽△DCE的相似比=得到=，解方程即可得x=21﹣6（根据x=21+6＞3，舍去）②当E在射线BC上时（图3），GF∥BE，设GF与CD交点为K，先根据①中条件可求出GK=2，DK=4，设KF=a，则可得==，分别用含a的式子表示KH=，HC=，再利用tan∠KDF=tan∠CBH作为等量关系列方程=可解得a=（a=＜0故舍去）易求出CE=a=从而求出BE=CE+3=，再综合①②可知x的值为21﹣6或．【解答】解：（1）∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°∴∠DCB=90°∵AB=BC=3，tan∠BDC=∴CD=6∵BF⊥DE∴当F为线段BH中点时，△BHD为等腰三角形，∴BD=HD==3CH=DH﹣DC=3﹣6（2）∵AB∥CH，∴=又∵AC==3，∴=在△BCH与△DCE中，∠BCH=∠DCE=90°，∠HBC=∠EDC=90°﹣∠DHB，∴△BCH∽△DCE，∴==，则CH=，∴=，化简整理得：y=（0＜x＜3）；（3）①（图2）当GF⊥BC时，此时GF∥AB∥CD，==此时==∵△BCH∽△DCE∴===∴BF=BH=DE∴△BFE∽△DCE∴=∴=∴DE2=36x=（3﹣x）2+62，解得x=21﹣6（x=21+6＞3，故舍去）②当E在射线BC上时（图3），GF⊥DC即GF∥BE，设GF与CD交点为K，由①可知===，则GK=×3=2，DK=4设KF=a，则==，∴KH=，HC=，∵∠BCD=∠DKF=90°∴∠KDF=∠CBH∴tan∠KDF=tan∠CBH∴=解得a=（a=＜0故舍去）∵==∴CE=a=，BE=CE+3=综上可知：x的值为21﹣6或【点评】本题主要考查了平行线等分线段定理的应用和相似三角形的相似比作为等量关系列方程解方程的方法．（1）中根据条件判断出△BHD为等腰三角形是解题的关键；（2）中则主要是利用了相似三角形和平行线等分线段定理中的成比例线段作为等量关系，得到x与y之间的等量关系，整理即可得到y关于x的函数关系式；（3）中主要是根据线段GF与直角梯形ABCD中的一条边（AD 除外）垂直时的两种情况分类讨论，GF⊥BC和GF⊥DC时分别都有对应的相似三角形，根据相似三角形中的成比例线段作为等量关系列方程解方程即可．。
2016年上海闵行区高三一模试卷
2016年上海闵行区高三一模试卷一阅读（80分）（一）阅读下文，完成第1-6题（17分）说自己和说别人赵汀阳①去年以来，有些最具知名度的大导演或娱乐明星纷纷表达了这样的观点，认为文化没什么雅俗之分，甚至认为没有雅的范本，其实全都俗。
这是一个重要的信号。
如果说俗文化受众多，更为火爆，这不奇怪，但是如果俗文化成为主旋律之后，还要进一步彻底否定雅文化的存在，问题就有点大了。
有位西方著名学者比较关心中国，他对中国当下文化的“不健康．．．”感到吃惊，中国现在的艺术家和导演往往用很猥亵很脏的眼光去看人、看生活、看各种事物。
②现代社会有一个特征叫做平等，平等就要向某种标准对齐，古人说要见贤思齐，这是往更高更好的的事物看齐而形成的平等，比如说，优秀作品应该成为社会公共资源，让一切人有机会看到优秀作品，良好的教育不能被某些人霸占，应该是开放的、平等的，人人有机会得到优化的的平等，像现在这种向低看齐，向下看齐的平等是一种集体堕落的平等。
看来文化重建这个问题值得考虑。
③文化重建是个大问题，有两件事情值得关心，一是重新说自己，重建中国自己的思想和文化叙事，另一方面要去说别人，要面对世界，用中国思想去解释世界各种事情。
④说自己，中国自身的思想和文化重构，目前还是初步的，从目前的话语主流来说，还是用西方的观念看中国的多，这是替西方人看中国，不是中国自己独立思想，现在已经有一些中国学者开始创作新的中国观念，或者重构中国叙事，比如汪晖重新叙述的中国思想史，还有许多人的工作，诸如此类的努力，观点都可以商榷，但关键是要把事情做起来。
⑤说别人，也是很重要的事情。
目前，说自己不多，说别人就更少了。
按照西方人的想法说西方人的故事，这还是等于翻译。
问题是我们关于西方有什么自己的独立见解。
假如中国的事情用西方观点看，西方的事情乃至世界的事情也用西方观点看，那我们自己在做什么？最多就是西方观点的编译工作。
这也是一种文化工作，但显然不是文化重建工作。
闵行区2016学年第一学期高三质量调研考试
闵行区 2016 学年第一学期高三质量调研考试均匀52物理试卷考生注意：1．第 I 卷（ 1—12 题）由机器阅卷，答案一定所有涂写在答题纸上。
考生应将代表正确答案的小方格用 2B 铅笔涂黑。
注意试题题号和答题纸上编号一一对应，不可以错位。
答案涂写在试卷上一律不给分。
2．第 II 卷（ 13— 20 题）由人工网上阅卷。
考生应用蓝色或黑色的钢笔或圆珠笔将第 II 卷所有试题的答案写在答题纸上，（作图可用铅笔）。
3．第 18、19、20 题要求写出必需的文字说明、方程式和重要的演算步骤。
只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不可以得分。
相关物理量的数值计算问题，答案中一定明确写出数值和单位。
4．全卷共 6 页。
满分 100 分。
考试时间60 分钟。
第 I卷（共 40分）一、单项选择题（共40 分，每题有且只有一个正确答案，1-8 题每题 3分， 9-12 题每题 4分）1．教科书中这样表述牛顿第必定律：全部物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这类状态为止。
此中“改变这类状态” 指的是改变物体的（）（ A ）加快度（ B）速度（ C）地点（D）受力2．以下图是一个玩具陀螺，a、 b 和 c 是陀螺表面上的三个点 . 当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω 稳固旋转时，以下表述正确的选项是（）ω（ A ）a、 b 和 c 三点的线速度大小相等ab （ B ） a、b 两点的线速度一直相同（ C） a、b 两点的角速度比 c 的角速度大c（ D ）a、 b 两点的加快度比 c 点的加快度大3．以下图，欲使在粗拙斜面上匀速下滑的木块 A 停下，可采纳的方法是（）（ A ）增大斜面的倾角A（ B ）对木块 A 施加一个垂直于斜面向下的力（ C）对木块 A 施加一个竖直向下的力θ（ D ）在木块 A 上再叠放一个重物4．以下实验中不属于用模拟法进行实验的是（）．．．（ A ）用导电纸描述静电场中平面上的等势线（ B ）用铁屑显示通电导线四周的磁感线散布（C）将一桶钢珠连续倒在一台秤上，以台秤上显示连续的压力来说明气体压强的成因（D ）用油膜法估测分子直径5．如图，张口向下的玻璃管竖直插在水银槽中，管内关闭了必定质量的气体，管内液面高于水银槽中液面。
2016年上海市闵行区中学考试数学一模试卷含问题详解解析汇报
实用文档2016年上海市闵行区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（）=D ．．A =．B =．= C2）．将二次函数2y=x﹣1的图象向右平移一个单位，向下平移2个单位得到（2222+3 ．+1 B．y=（x+1）+1 Cy=（x﹣1）﹣3 D．y=（x+1）．Ay=（x﹣1），那么α的余弦值为（）．已知α为锐角，且sinα=3．D．．．C BA2 4．抛物线y=ax）的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（+bx+cc=0 0，．，c=0 Da＜0，b＜00＜＞c=0 ＞0，B．a0，b0，c=0 C．a＜，b＞baA．＞0，2：）10000的地图上，一块面积为2cm的区域表示的实际面积是（5．在比例尺为1222240000mD．BA．2000000cm ．20000m C．4000000m若．=6OABO，O⊥于点P，O的半径为为矩形的中心，，6如图，6．矩形ABCD的长为，宽为3点O⊙O1212112与矩形的边只有一个公共点的情况一共出按顺时针方向旋转P360°，在旋转过程中，⊙OO⊙绕点22）现（A．3次B．4次C．5次D．6次二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分），那么= 7 ．如果．8．如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们的相似比是．9．已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么BP的长是厘米．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点F在边AC的延长线上，且FD⊥AB，垂足为点D，如果AD=6，AB=10，ED=2，那么FD= ．实用文档．，那么BC= Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AC=211．在．12．已知一条斜坡，向上前进5米，水平高度升高了4米，那么坡比为．，那么= =于点DE∥BC，分别交ABD，AC于点E，如果，=ABC13．过△的重心作22）的对称轴是直0和1，那么抛物线y=ax+bx+c（a≠（14．方程ax+bx+c=0a≠0）的两根为﹣3 ．线两点中的一点在圆外，B要使、CBC=5△15．在RtABC中，∠C=90°，AC=12，，以点A为圆心作⊙A，．的取值范围为另一点在圆内，那么⊙A的半径长r与⊙16．已知⊙OO内切，⊙O的半径长是3 的半径长等于厘米，那么⊙O =2厘米，圆心距OO212112厘米．最远的一条水流表示落点B离点O）如果曲线17．闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1APB 2，那么y，其上的水珠的高度）（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为+4x+﹣xy=2（如图）米时，才能使喷出的水流不落在水池外．圆形水池的半径至少为°，∠EDF=90△在RtEDF中，∠其中在Rt△ABC中，ACB=90°，∠B=60°，18．将一副三角尺如图摆放，顺时针方向旋转角D，将△EDF绕点于点ACP，DF经过点C的中点，°．点∠E=45D为边ABDE交．的值为NBCDFMACDEDFE°）°＜α＜（α060后得△′′，′交于点，′交于点，那么实用文档78分）三、解答题（本大题共7小题，满分，OC=2轴的正半轴上，且OA=1，在x轴上，斜边上的高CO在yAB19．如图，已知Rt△ABC的斜边三点的二次函数解析式．B、C求经过A、，求弦°，且BE=2EAB，垂足为点，如果∠BAD=3020．已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径CD的长．=．，ABACQ，点21．如图，已知四边形ABCDP、、R分别是对角线、BD和边=的中点，设，（需写出必要的说理过程）的线性组合表示向量；（1）试用，方向上的分向量．2（）画出向量分别在实用文档22．如图，一只猫头鹰蹲在树AC上的B处，通过墙顶F发现一只老鼠在E处，刚想起飞捕捉时，老鼠突然跑到矮墙DF的阴影下，猫头鹰立即从B处向上飞至树上C处时，恰巧可以通过墙顶F 看到老鼠躲在M处（A、D、M、E四点在同一条直线上）．已知，猫头鹰从B点观测E点的俯角为37°，从C点观察M点的俯角为53°，且DF=3米，AB=6米．求猫头鹰从B处飞高了多少米时，又发现了这只老鼠？（结果精确到0.01米）（参考数据：sin37°=cos53°=0.602，cos37°=sin53°=0.799，tan37°=cot53°=0.754，cot37°=tan53°=1.327）．23．如图，已知在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F在边AB上，点E在线段DF 的延长线上，且∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，且∠EBM=∠C．（1）求证：EB?BD=BM?AB；（2）求证：AE⊥BE．2点的坐标为BB两点，轴交于+bx+c的图象与xA、24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x BC下方抛物线上的任意一点．），点P是直线（0），与y轴交于点C0，﹣33（，2的解析式．）求这个二次函数y=x+bx+c（1为菱形，求点C，如果四边形′CPOP′轴对折，得到四边形，并将△）连接（2PO，PCPOC沿yPOP 的坐标．P的相似，请求出此时点B为顶点的三角形与△AOCP、、在运动过程中，能使得以）如果点（3PPC 坐标．实用文档25．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，对角线AC、BD交于点G，已知AB=BC=3，tan BDC=，点E是射线BC上任意一点，过点B作BF⊥∠DE，垂足为点F，交射线AC于点M，射线DC于点H．（1）当点F是线段BH中点时，求线段CH的长；（2）当点E在线段BC上时（点E不与B、C重合），设BE=x，CM=y，求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）连接GF，如果线段GF与直角梯形ABCD中的一条边（AD除外）垂直时，求x的值．实用文档2016年上海市闵行区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判定DE∥BC的是（）=．= CDA．．= B．=【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．=，∴DE∥BC【解答】，选项解：∵A不符合题意；，∴DE∵∥=BC，选项B不符合题意；，∴DE∥BC∵，选项=C不符合题意；，DE∥BC不一定成立，选项D=符合题意．故选：D．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边2）1的图象向右平移一个单位，向下平移2个单位得到（2．将二次函数y=x﹣2222+3 ）x+1．y=（x﹣1）﹣3 D）1（x﹣）+1 B．y=（x+1+1 C．y=（y=A．二次函数图象与几何变换．【考点】几何变换．【专题】2再利用点平移的规律，），0的顶点坐标为（，﹣1【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y=x﹣1 ），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．）平移后的对应点的坐标为（1，﹣30点（，﹣12）向右平移一个单位，向下平0，﹣10﹣1的顶点坐标为（，﹣1），把点（y=x【解答】解：抛物线2﹣1）3．x）个单位得到对应点的坐标为（移21，﹣3，所以平移后的抛物线解析式为y=（﹣故选C．不变，所以求本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a【点评】平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．）α．已知α为锐角，且3sin= ，那么α的余弦值为（实用文档．CAD．B．．【考点】同角三角函数的关系．【专题】计算题．=代入计算即可．=，然后把sin【分析】利用平方关系得到cosαα22 =1，sinα+cosα【解答】解：∵=．∴cosα== 故选D．22．本题考查了同角三角函数的关系：sinA+cosA=1【点评】2）4．抛物线y=ax+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（c=0 ，b＜0＜b，．c=0 Ba＞0，b＜0c=0 C．a＜0，＞0，c=0 D．a0，00A．a＞，b＞，【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．的符号，然后轴的交点判断ca【分析】先根据图象经过象限的情况判断出的符号，由抛物线与y x轴交点情况进行推理．根据对称轴及抛物线与解：∵抛物线经过原点，【解答】，∴c=0 ∵抛物线经过第一，二，三象限，可推测出抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧∴，＞0a 轴左侧，∵对称轴在y，∴对称轴为＜x=0又因为a ＞0，∴b＞0．故选A．【点评】解决此类题目，可现根据条件画出函数图象的草图再做解答．2）：10000的地图上，一块面积为2cm的区域表示的实际面积是（15．在比例尺为2222．40000m．4000000m D2000000cmA．B．20000m C 【考点】比例线段．常规题型．【专题】先根据面积的比等于比例尺的平方求出实际面积，然后再进行单位转化．【分析】2），则=，（解：设实际面积是【解答】x2解得x=200 000 000cm，22∵1m=10000cm，22∴200 000 000cm=20000m．故选B．【点评】本题主要考查了比例线段中的比例尺，利用面积的比等于比例尺的平方是解题的关键，本题单位换算容易出错，需要特别注意．实用文档6．如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O为矩形的中心，⊙O的半径为1，OO⊥AB于点P，OO=6．若212121⊙O绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O与矩形的边只有一个公共点的情况一共出22现（）A．3次B．4次C．5次D．6次【考点】直线与圆的位置关系．【专题】分类讨论．【分析】根据题意作出图形，直接写出答案即可．【解答】解：如图，⊙O与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现4次，2故选：B．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）=，那么7．．如果【考点】比例的性质．，根据比例的性质，即可求得的值．由【分析】【解答】，解：∵=．=∴故答案为：．【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形．8．如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们的相似比是2：3 ．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形周长的比是2：3，∴两个相似三角形相似比是2：3，故答案为：2：3．【点评】本题考查的是相似三角形性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．实用文档厘1 ），那么BP的长是﹣BP已知线段AB的长为2厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP ＜9．米．【考点】黄金分割．根据黄金比是进行计算即可．【分析】，AP＜BP解：∵点P是线段AB的黄金分割点，【解答】厘米．∴﹣BP=1AB=．﹣1故答案为：本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较【点评】）叫做黄金比．短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（，如果AD=6，垂足为点D，F在边AC的延长线上，且FD⊥ABACB=9010．如图，在△ABC中，∠°，点12 ．ED=2，那么FD= AB=10，【考点】相似三角形的判定与性质．∽ADF∠B，推出△根据垂直的定义得到∠BDE=∠ADF=90°，根据三角形的内角和得到∠F=【分析】BDE，代入数据即可得到结论．，根据相似三角形的性质得到△，【解答】解：∵FD⊥AB °，∴∠BDE=∠ADF=90 CEF=°，∠∠BED，∵∠ACB=90 F=∠B，∴∠∽△BDE，∴△ADF∴，即，，解得：DF=12 12故答案为：．本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和【点评】性质是解题的关键．4 ．BC= AC=2°，中，∠△．在11RtABCC=90cosA=，，那么实用文档【考点】解直角三角形．cosA=，再根据AC=2，求出AB°，得出根据∠C=90，最后根据勾股定理即可求出BC．【分析】C=90°，【解答】解：∵∠∴=cosA=，，∵AC=2 ∴AB=6，=4∴．BC==4．故答案为：【点评】本题考查了解直角三角形，用到的知识点锐角三角函数、勾股定理，关键是根据题意求出AB．12．已知一条斜坡，向上前进5米，水平高度升高了4米，那么坡比为1：0.75 ．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】先求出水平方向上前进的距离，然后根据坡比=竖直方向上升的距离：水平方向前进的距离，即可解题．【解答】解：如图所示：AC=5米，BC=4米，AB==3米，则==1则坡比：=0.75．故答案为：1：0.75．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．=，那么﹣ED，DE∥BC分别交AB于点，AC于点，=如果，=的重心作过△13．ABC．【考点】*平面向量；三角形的重心．DEABC由过△【分析】的重心作=BC∥，可得，再利用三角形法则求解即可求得答案．实用文档【解答】解：∵过△ABC的重心作DE∥BC，=，∴﹣=﹣）∴=．= （故答案为：．﹣【点评】此题考查了平面向量的知识以及三角形重心的性质．注意掌握三角形法则的应用．22x=的对称轴是直线（a≠0）0）的两根为﹣3和1，那么抛物线y=ax+bx+c14．方程ax+bx+c=0（a≠ 1 ．﹣x轴的交点．【考点】抛物线与22的根及两根之和公x轴的交点的横坐标就是方程ax+bx+c=0【分析】根据函数y=ax+bx+c的图象与式来解决此题．22 +bx+c=0的根，【解答】解：∵函数y=ax+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax=﹣3+1=．﹣=﹣2+x∵x21．=×（﹣2）则对称轴x=﹣==﹣×（﹣）1【点评】要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．（利用二次函数的对称性解答更直接）15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，以点A为圆心作⊙A，要使B、C两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么⊙A的半径长r的取值范围为12＜r＜13 ．【考点】点与圆的位置关系．【分析】熟记“设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内”即可求解，【解答】解：如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r＞12，点B在圆A外，则r＜13，因而圆A半径r的取值范围为12＜r＜13．故答案为12＜r＜13．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．16．已知⊙O与⊙O内切，⊙O的半径长是3厘米，圆心距OO=2厘米，那么⊙O的半径长等于5211122或1 厘米．【考点】圆与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】设⊙O的半径为r，根据内切的判定方法得到r﹣3=2或3﹣r=2，然后解方程即可．2【解答】解：设⊙O的半径为r，2∵⊙O与⊙O内切，21∴r﹣3=2或3﹣r=2，∴r=5或r=1．故答案为5或1．实用文档：两圆外离rd，两圆的半径分别为R、【点评】本题考查了圆和圆的位置关系：设两圆的圆心距为；两圆）R＞rd=Rr）；两圆内切?﹣r（；两圆相交R+r；两圆外切?d=R+r?R﹣r＜d＜R+r（R≥?d ＞．＞r）d＜R﹣r（R内含?最远的一条水流B表示落点离点O17．闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1）如果曲线APB2，那么+4x+（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣x（如图2），其上的水珠的高度）y圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在水池外．二次函数的应用．【考点】轴的交点坐标的横坐标，即为所求的结果．根据二次函数的解析式求得抛物线与x【分析】2，y=0时，即﹣x+4x+=0【解答】解：当=．﹣解得x（舍去）=，x21米时，才能使喷出的水流不落在水池外．答：水池的半径至少故答案为：．本题考查了二次函数的应用，注意抛物线的解析式的三种形式在解决抛物线的问题中的作【点评】用．°，中，∠EDF=90∠B=60°，在Rt△EDFRt18．将一副三角尺如图摆放，其中在△ABC中，∠ACB=90°，顺时针方向旋转角D经过点DFC，将△EDF绕点的中点，∠E=45°．点D为边ABDE交AC于点P，BC′交于点N ，那么的值为．MDEE0α（°＜α＜60°）后得△′DF′，′交AC于点，DF【考点】旋转的性质．【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD=AD=DB，则∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，由于∠EDF=90°，可利用互余得∠CPD=60°，再根据旋转的性质得∠PDM=∠CDN=α，于是可判断△=，然后在Rt△CDNPDM∽△，得到PCD中利用正切的定义求解．实用文档【解答】解：∵点D为斜边AB的中点，∴CD=AD=DB，∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，∵∠EDF=90°，∴∠CPD=60°，∴∠MPD=∠NCD，∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），∴∠PDM=∠CDN=α，∴△PDM∽△CDN，=，∴=PCD=tan30°中，∵tan∠，在Rt△PCD=．=tan30°∴故答案是：．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．三、解答题（本大题共7小题，满分78分）19．如图，已知Rt△ABC的斜边AB在x轴上，斜边上的高CO在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2，求经过A、B、C三点的二次函数解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】由同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，得到三角形AOB与三角形AOC相似，由相似得比例，求出OC的长，即可确定出C坐标；由B与C坐标设出抛物线的二根式，将A坐标代入求出a的值，确定出抛物线解析式即可．【解答】解：∵∠AOC=∠ACB=90°，∴∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠ABC=90°，实用文档∴∠ACO=∠ABC，又∵∠AOC=∠COB=90°，∴△ACO∽△CBO，2 OA，OC=OB∴?=，即∵OA=1，OC=2，∴OB=4，则B（4，0），∵A（﹣1，0），C（0，2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），﹣，a= 2=﹣4a，即，将C（02）代入得：2，x+x+2（x﹣4）=﹣、则过A、BC三点的抛物线的解析式为y=）﹣（x+1【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质以及用待定系数法求二次函数的解析式等知识，难度适中．20．已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果∠BAD=30°，且BE=2，求弦CD的长．【考点】垂径定理；解直角三角形．【分析】连接OD，设⊙O的半径为r，则OE=r﹣2，再根据圆周角定理得出∠DOE=60°，由直角三角形的性质可知OD=2OE，由此可得出r的长，在Rt△OED中根据勾股定理求出DE的长，进而可得出结论．【解答】解：连接OD，设⊙O的半径为r，则OE=r﹣2，∵∠BAD=30°，∴∠DOE=60°，∵CD⊥AB，∴CD=2DE，∠ODE=30°，∴OD=2OE，即r=2（r﹣2），解得r=4；实用文档∴OE=4﹣2=2，=2，=∴DE=CD=2DE=4∴．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．=．的中点，设= 分别是对角线Q、RAC、BD和边AB，．如图，已知四边形21ABCD，点P、，的线性组合表示向量1；）试用（需写出必要的说理过程）（，方向上的分向量．（2分别在）画出向量【考点】*平面向量．【分析】（1）由点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，直接利用三角形中位线的性质，=，即可求得，再利用三角形法则求解即可求得答案；== =﹣（2）利用平行线四边形法则求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，==∴﹣，，====∴﹣++；2（即为所求．）如图：与实用文档【点评】此题考查了平行向量的知识．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用．处，刚想起飞捕捉时，老发现一只老鼠在E上的B处，通过墙顶F22．如图，一只猫头鹰蹲在树AC看到老恰巧可以通过墙顶F处向上飞至树上C处时，鼠突然跑到矮墙DF的阴影下，猫头鹰立即从B 四点在同一条直线上）．M、EM处（A、D、鼠躲在求米．DF=3米，AB=6点观察M 点的俯角为53°，且B已知，猫头鹰从点观测E点的俯角为37°，从C°sin370.01米）（参考数据：猫头鹰从B处飞高了多少米时，又发现了这只老鼠？（结果精确到．=1.327），cot37°=tan53°°cos37=sin53°=0.799，tan37°=cot53°=0.754=cos53°=0.602，仰角俯角问题．解直角三角形的应用-【考点】的长度即中，已知DF°，可知∠E=37°，在△DEF37【分析】根据猫头鹰从B点观测E点的俯角为点的俯点观察M的中点，从而求得AE的长度，根据猫头鹰从C可求得DE的长度，然后证得D是AE，即中，根据余切函数求得ACAM，在△AMC角为53°，可知∠AMC=53°，进而求得DM，即可求得．可求得BC°，=解∵DF=3，∠E=37°，cot37【解答】°，∴DE=3?cot37 ，米，AC∥DF米，∵DF=3AB=6 D是AE的中点，∴AE=2DE=6?cot37°，∴=，∵cot53°°，DM=3?cot53∴°），+cot53∴AM=AD+DM=3（cot37°，cot37°=∵°，?cot37AC=AM∴．≈2.28（米）6BC=AC∴﹣本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形，利【点评】用三角函数求解相关线段，难度一般．实用文档23．如图，已知在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F在边AB上，点E在线段DF 的延长线上，且∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，且∠EBM=∠C．（1）求证：EB?BD=BM?AB；（2）求证：AE⊥BE．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，由已知条件得到∠EBM=∠C，等量代换得到∠，根据相似三角形的性质得到，于是得到∽△BDMABE=∠DBM，推出△BEAEBM=∠ABC，求得∠结论；（2）连接AD，由等腰三角形的性质得到AD⊥BC，推出△ABD∽△EBM，根据相似三角形的性质得到∠ADB=∠EMB=90°，求得∠AEB=∠BMD=90°，于是得到结论．【解答】证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠EBM=∠C，∴∠EBM=∠ABC，∴∠ABE=∠DBM，∵∠BAE=∠BDF，∴△BEA∽△BDM，∴，∴EB?BD=BM?AB；（2）连接AD，∵AB=AC，点D为BC边的中点，∴AD⊥BC，∵，∠ABD=∠EBM，∴△ABD∽△EBM，∴∠ADB=∠EMB=90°，∴∠AEB=∠BMD=90°，∴AE⊥BE．实用文档此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数【点评】等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握转化思想与数形结合思想的应用．2点的坐标为两点，B轴交于的图象与xA、B24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x+bx+c BC下方抛物线上的任意一点．），点P是直线（0），与y轴交于点C0，﹣33（，2的解析式．1）求这个二次函数y=x+bx+c（为菱形，求点POP′C，如果四边形POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，并将△（2）连接PO，PC P的坐标．的相似，请求出此时点P、P、CB为顶点的三角形与△AOC（3）如果点P在运动过程中，能使得以坐标．二次函数综合题．【考点】）根据待定系数法，可得函数解析式；（1【分析】点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P2）根据菱形的对角线互相垂直平分，可得（答案；的°，根据互相垂直的两条直线的一次项系数互为负倒数，可得PCB=90BP（3）分类讨论：①当∠的长，根据，CP解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；根据勾股定理，可得BC 两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；点的坐标，根据两组对边对应成比例且夹角相°时，根据相似三角形的性质，可得P②当∠BPC=90 等的两个三角形相似，可得答案．点代入函数解析式，得、CB【解答】解：（1）将，解得，22；﹣32x+bx+c这个二次函数y=x的解析式为y=x﹣为菱形，得POP）四边形′C2（′互相垂直平分，得与OCPP实用文档2﹣2x﹣y3==，﹣，即x﹣P=解得；（舍），Px（，﹣，x）=12（3）∠PBC＜90°，1，①如图当∠PCB=90°时，过P作PH⊥y轴于点H，BC的解析式为y=x﹣3，CP的解析式为y=﹣x﹣3，设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），2中，﹣3y═x﹣2x代入代入将点P ；4）P（1，﹣m解得m=0（舍），=1，即21，=CP=AO=1，OC=3，CB=，=3=3，△AOC∽△PCB此时；=2，②如图当∠BPC=90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D，BC的解析式为y=x﹣3，CP的解析式为y=﹣x﹣3，22 m+2m，﹣m﹣2m﹣3）=﹣（，3P设点的坐标为（m，﹣﹣m）CH=﹣32．2m﹣﹣3）BD=PD=3PH=m，﹣m，﹣（m，=，，即=∽△△CHPPDB m=（不符合题意，舍），解得m=，实用文档，此时，≠==3= 不相似；为顶点的三角形与△AOCP、C、B以．4）相似，此时点P的坐标（1，﹣综上所述：P、C、B为顶点的三角形与△AOC点的P【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质得出的方程是解题关键．坐标是解题关键；利用相似三角形的判定与性质得出关于mtan，，已知AB=BC=3、BD交于点GABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，对角线AC25．如图，在直角梯形DCM，射线F，交射线AC于点BC上任意一点，过点B作BF⊥DE，垂足为点∠是BDC=，点E射线H．于点CH的长；F是线段BH中点时，求线段（1）当点的函数解析式，并关于xCM=y，求yB、C重合），设BE=x，2（）当点E在线段BC上时（点E不与x的取值范围；指出的值．AD除外）垂直时，求xABCD）连接GF，如果线段GF与直角梯形中的一条边（（3相似形综合题．【考点】中点的条件，由等腰三角形三BH和F为线段CD=6，根据BF⊥DE）根据题意可先求出【分析】（1）；﹣为等腰三角形，从而求出，再求BD=HD=36CH=3线合一的性质得到△BHD，得到，得到成比例线段AB∥CH=x（2）设BE=x，CM=y，要求y关于的函数解析式，先利用，代入，得到=CH==，则可以用含x的式子表示=，再根据△BCH∽△DCE3）＜x＜（根据点中，整理化简可得y==E在线段BC上，则可得到0，根据平行线等分线段定理得到CD 时，此时BCGF∥AB∥=（=，根据3）①如下图2，当GF⊥的相似比=得到，再根据△BFE∽△题意易证△BCH∽△DCE，根据其相似比得DCEBF=BH=DE，）（图3②当E在射线BC上时舍去）解方程即可得=，x=21﹣6 （根据x=21+6＞3，=KF=设DK=4GK=2，交点为与设BEGF=，∥，GFCDK先根据①中条件可求出，，a则可得，实用文档=CBH可作为等量关系列方程再利用tan∠KDF=tan分别用含a的式子表示，KH=∠HC=，a=易求出CE=解得，a=（＜a=0故舍去）从而求出BE=CE+3=6﹣的值为21或．再综合①②可知x【解答】解：（1）∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°∴∠DCB=90°BDC=∠∵AB=BC=3，tan∴CD=6∵BF⊥DE∴当F为线段BH中点时，△BHD为等腰三角形，=3 ∴BD=HD=DC=3﹣CH=DH﹣6（2）∵AB∥CH，= ∴AC= 又∵=3，= ∴在△BCH与△DCE中，∠BCH=∠DCE=90°，∠HBC=∠EDC=90°﹣∠DHB，∴△BCH∽△DCE，CH=，==，则∴y=（0＜x＜3）；∴=，化简整理得：（3）①（图2）实用文档，= =⊥BC时，此时GF∥AB∥CD当GF==此时DCE BCH∽△∵△==∴=DE BF=BH=∴DCE ∽△∴△BFE∴=∴=222 +6，3﹣x）（∴DE=36x=，故舍去）x=21+6＞解得x=21﹣36 （，3）在射线②当EBC上时（图，由①可知CD交点为K，设即GF⊥DCGF∥BEGF与DK=4，×===，则GK=3=2实用文档=，，则=设KF=a HC=，∴KH=，∵∠BCD=∠DKF=90°∴∠KDF=∠CBH∴tan∠KDF=tan∠CBH= ∴a=＜0解得故舍去）a=（∵==a=CE=，BE=CE+3= ∴ 6 21或﹣综上可知：x 的值为【点评】本题主要考查了平行线等分线段定理的应用和相似三角形的相似比作为等量关系列方程解方程的方法．（1）中根据条件判断出△BHD为等腰三角形是解题的关键；（2）中则主要是利用了相似三角形和平行线等分线段定理中的成比例线段作为等量关系，得到x与y之间的等量关系，整理即可得到y关于x的函数关系式；（3）中主要是根据线段GF与直角梯形ABCD 中的一条边（AD除外）垂直时的两种情况分类讨论，GF⊥BC和GF⊥DC时分别都有对应的相似三角形，根据相似三角形中的成比例线段作为等量关系列方程解方程即可．。
上海市闵行区2016届高三数学质量调研考试(二模)试卷-理(含解析)
闵行区2015-2016学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 理试 卷考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分。
考试时间120分钟。
2．本考试分设试卷和答题纸。
试卷包括三大题，第一大题为填空题，第二大题为选择题，第三大题为解答题。
3．答卷前，务必在答题纸上填写学校、姓名、准考证号。
4．作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。
第二大题的作答必须涂在答题纸上相应的区域，第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数3log (1)y x =-的定义域是 .2．集合{}2|30A x x x =-<，{}2B x x =<，则U A B 等于 . 3．若复数1i 11i 2b ++-（i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数b 的值为 . 4．已知函数3log 1()21x f x =，则1(0)f-= .5．若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍.6．平面向量a r 与b r 的夹角为60︒，1a =r ，(3,0)b =r ，则2a b +=r r.7．已知ABC △的周长为4，且sin sin 3sin A B C +=，则AB 边的长为 .8．若6x ⎛ ⎝的展开式中的3x 项大于15，且x 为等比数列{}n a 的公比，则1234limnn na a a a a a →∞+++=+++L L .9．若0m >，0n >，1m n +=，且1t m n+（0t >）的最小值为9，则t = . 10．若以x 轴正方向为始边，曲线上的点与圆心的连线为终边的角θ为参数，则圆2220x y x +-=的参数方程为 .1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（02θ≤<π）11．若AB 是圆22(3)1x y +-=的任意一条直径，O 为坐标原点，则OA OB ⋅u u u r u u u r的值为 ．12．在极坐标系中，从四条曲线1:1C ρ=，2:C θπ=3（0ρ≥），3:cos C ρθ=，4:sin 1C ρθ=中随机选择两条，记它们的交点个数为随机变量ξ，则随机变量ξ的数学期望E ξ= .13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，22|2016|n S n a n =+-（0a >），则使得1n n a a +≤（n ∈*N ）恒成立的a 的最大值为 .14． (理科）若两函数y x a =+与212y x =-的图像有两个交点A 、B ，O 是坐标原点，OAB △是锐角三角形，则实数a 的取值范围是 .二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．如果a b >，那么下列不等式中正确的是（ ）. (A)11a b> (B) 22a b > (C) ()()lg 1lg 1a b +>+ (D) 22a b > 16．若l m 、是两条直线，m ⊥平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）. (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1PD PE 、与底面ABCD 所成的角分别为12θθ、（12θθ、均不为0)．若12θθ=，则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分（ ）.(A)直线 (B)圆 (C) 椭圆 (D) 抛物线18．将函数()2sin 2f x x =的图像向右平移ϕ（0ϕ<<π）个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12()()4f x g x -=的12x x 、，有12x x -的最小值为π6．则ϕ=（ ）. （A ）π3 (B) π6 （C ）π3或2π3 (D) π6或5π6三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）ABC DPPABCD P ABCD复数21sin i cos2z x x =+⋅，22sin i cos z x x =+⋅（其中x ∈R ，i 为虚数单位）. 在复平面上，复数1z 、2z 能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．如图，在直角梯形PBCD 中，//PB DC ，DC BC ⊥，22PB BC CD ===，点A 是PB 的中点，现沿AD 将平面PAD 折起，设PAB θ∠=． （1）当θ为直角时，求异面直线PC 与BD 所成角的大小； （2）当θ为多少时，三棱锥P ABD -的体积为6．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型()n ∈*N ：以8122002000,(18)()36033000,(932)32400720,(3345)n n n f n n n n -⋅+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-⋅≤≤⎪⎩表示第n 个时刻进入园区的人数；以0,(118)()5009000,(1932)8800,(3345)n g n n n n ≤≤⎧⎪=⋅-≤≤⎨⎪≤≤⎩表示第n 个时刻离开园区的人数．设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即1=n ；9点30分作为第2个计算单位，即2=n ；依次类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天14点至15点这一小时内，进入园区的游客人数(21)(22)(23)(24)f f f f +++、离开园区的游客人数(21)(22)(23)(24)g g g g +++各为多少？（2）从13点45分（即19n =）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分．已知椭圆Γ：22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点． （1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥， 求证：2211OA OB+为定值； （3）设点C 在椭圆Γ上运动，OC OD ⊥，且点O 到直线CD 的距离为常数d ()02d <<，求动点D 的轨迹方程．23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．已知n ∈*N ,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-． （1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，证明：若存在k ∈*N ，使得k a 、k b 为整数，且()k f x 有两个整数零点，则必有无穷多个()n f x 有两个整数零点．参考答案与评分标准一、填空题（第1题至第14题）每题正确得4分，否则一律得0分．1．()1,+∞； 2．()2,3-； 3．2；4．9； 5．3； 6 7．1； 8．1； 9．4； 10．1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（02θ≤<π）、 11．8； 12．113．12016 14．,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、 二. 选择题（第15题至18题）每题正确得5分，否则一律得0分． 15．D ； 16．C ； 17．B ； 18． C 三、解答题（第19题至23题） 19.（本题满分12分）解：设复数1z ，2z 能表示同一个点，则cos2cos x x = ……………………3分 解得cos 1x =或1cos 2x =-， ………………………………7分 当cos 1x =时，得2sin 0x =，此时12i z z ==； ……………9分当1cos 2x =-时，得23sin 4x =，此时1231i 42z z ==-； ……………11分PA BCD综上，复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-． ……………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．解：理:（1）当θ为直角时,即,,AB AD AP 两两互相垂直，以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 为坐标轴建立空间直角坐标系, ………………1分则(1,0,0)(1,2,0)(0,2,0)(0,0,1)B C D P ,(1,2,1)PC =-u u u r ,(1,2,0)BD =-u u u r……3分设异面直线PC 与BD 所成角为α,则cos PC BDPC BD α⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r 10= (5)分 故异面直线PC 与BD 所成角为．…7分（2）Θ沿AD 将平面PAD 折起的过程中，始终 有PA AD ⊥，AB AD ⊥，AD PAB ∴⊥面，由PAB D ABD P V V --=得 ……………………9分 163PAB S DA =⋅⋅△11211sin 32θ=⋅⋅⋅⋅⋅，sin 2θ∴= ……………………12分 4πθ∴=或34π． ……………………………14分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 解：（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为(21)(22)(23)(24)f f f f +++1314151612121212360[3333]30004=⨯++++⨯17460≈（人） …………………3分离开园区的人数(21)(22)(23)(24)=9000g g g g +++（人） ………………6分 （2）（理）当0)()(≥-n g n f 时，园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时，园内游客人数递减． ………………7分 ①当1932n ≤≤时，由812()()3603500120000n f n g n n --=⋅-+≥，可得：当1928n ≤≤时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分 当3229≤≤n 时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少； ……11分 （049.246)28()28(>=-g f ；013.38)29()29(<-=-g f ）②当4533≤≤n 时，由()()72023600f n g n n -=-+递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． ………………13分综上，当天下午16点时（28n =）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人. ………………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分． 解：（1）由条件可得b c ==2a =， …………………………3分椭圆Γ的方程为22142x y +=．………………………………………………………5分 （2）设00(,)A x y ，则OB 的方程为000x x y y +=，由2y =得02(,2)y B x -…7分 ∴22222000201111=44y OA OB x y x ++++22002222000044=4()4(2)2x x x x y x ++=++-12=．…10分 （3）设00(,),(,)C x y D x y ，由OC OD ⊥得000x x y y += ①又C 点在椭圆上得：2200142x y += ② 联立①②可得222200222244,22y x x y x y x y ==++ ③ …………………………12分由OC OD ⊥得=OC OD CD d ⋅⋅，即22222=(+)OC OD OC OD d ⋅⋅ 可得222111d OC OD=+， ………………………………………………………14分 将③代入得：22222220011111d OC OD x y x y =+=+++2222222222221124444()22x y x y x y x y x y x y ++=+=+++++， 化简得D 点轨迹方程为：22221111()()124x y d d -+-=.…………………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．解： （1）n a n =， ………………………………………………………………2分Θ1122n n n n nb b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- …………………4分1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分 （2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分(3)由解方程得：x =()0k f x =两根x = 为整数，则k c ∆=必为完全平方数，不妨设2()k c m m =∈N ， …………12分此时2k a mx -±==为整数，∴k a 和m 具有相同的奇偶性，………13分 由（2）知{}n c 是公差为1的等差数列，取21n k m =++∴()222121211k m k c c m m m m ++=++=++=+ ………………………………15分此时(21)(1)2k a m m x -++±+==Θk a 和m 具有相同的奇偶性，∴21k a m ++和1m +具有相同的奇偶性， …17分所以函数21()k m f x ++有两个整数零点.由递推性可知存在无穷多个()n f x 有两个整数零点.………………………………18分2016年闵行区高考数学二模卷一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的有关概念. 【参考答案】(1,)+∞【试题分析】依题意可知，10x ->，即1x >，所以函数3log (1)y x =-的定义域为(1,)+∞，故答案为[1,)+∞.2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，并集，补集；方程与代数/不等式/一元二次不等式（组）的解法、含有绝对值的不等式的解法. 【参考答案】(2,3)-【试题分析】集合2{|30}{|03}A x x x x x =-<=<<，{|||2}{|22}B x x x x =<=-<<， 所以{|23}A B x x =-<<U ，故答案为(2,3)-.3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复数的概念、复数的四则运算. 【参考答案】2【试题分析】复数21i 1(1i)11i 1i 2(1i)(1i)22b b b +++=+=+--+，因为复数的实部与虚部相等，则有112b =，解得2b =，故答案为2. 4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/反函数；方程与代数/矩阵与行列式初步/二阶、三阶行列式. 【参考答案】9【试题分析】函数33log 1()log 221x f x x ==-，令()0f x =，解得9x =.根据互为反函数的两个函数之间的关系可知1(0)9f -=，故答案为9.5.【测量目标】空间想象能力/能根据图形想象出直观形象. 【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体. 【参考答案】3【试题分析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，依题意有，3l r =，则圆锥的底面积为2πS r =底，圆锥的侧面积为212π3π2S l r r =⋅⋅=侧，所以圆锥的侧面积与底面积的比为223π3πS r S r==侧底，故答案为3. 6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.【试题分析】因为(3,0)b =r ，所以||3b =r ，又因为||1a =r ，||a r 与||b r的夹角为60°，所以3||||cos602a b a b ⋅=⋅=or r r r .因为222|2|4419a b a a b b +=+⋅+=r r r r r r，所以|2|a b +=r r ，7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理. 【参考答案】1【试题分析】因为sin sin 3sin A B C +=,所以3a b c +=,又ABC △的周长为4，即4a b c ++=，所以43,1c AB c -===.8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理: 方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限. 【参考答案】1【试题分析】6x ⎛+ ⎝的展开式中第r 项为3662166C C rr r r r r T x x --+⎛=⋅=，令3632r -=得2r =，所以展开式的第2项为2336C 1515x x =>，1x >，因为x 为等比数列{}n a 的公比，所以121222341+(1)11lim lim =lim +1(1)n nn n n n n n n a a a a x x x a a a xa x x x x -→∞→∞→∞⎛⎫++---=⋅ ⎪ ++---⎭⎝…… =221lim 11n n x x x →∞⎛⎫--= ⎪-⎭⎝. 9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/基本不等式. 【参考答案】4【试题分析】因为1m n +=，所以11()()11t t nt mm n t t m n m n m n+=++=+++++≥=211)t ++=，当22m nt =时，取等号，又因为1t m n+的最小值为9，即21)9=，所以4t =，故答案为4.10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程和几何性质; 图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程. 【参考答案】1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(02π)θ≤≤【试题分析】圆2220x y x +-=化为标准方程为22(1)1x y -+=，所以圆心(1,0)，半径为1，所以圆上的点的坐标为(1cos ,sin )θθ+，(02π)θ≤≤,所以圆的参数方程为1cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),故答案为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(02π)θ≤≤.11.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积. 【参考答案】8【试题分析】由圆的标准方程知，圆的圆心在y 轴上且圆心坐标为（0,3），半径为1，因为AB 是圆的任意一条直径，不妨假设AB 是位于y 轴上的一条直径，则1(0,)A y ，2(0,)B y ，所以1212(0,)(0,)OA OB y y y y ==u u u r u u u r g g ，又因为当0x =时，122,4y y ==， 所以128OA OB y y ==u u u r u u u r g ，故答案为8.12.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/极坐标:数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】1【试题分析】曲线1234,,,C C C C 的极坐标方程化为普通方程分别为221x y +=，y =(0)x ≥，2211()24x y -+=，1y =，从四条曲线中随机选取两条，可能的结果及它们的交点个数为：12(,)C C ,1;13(,)C C ,1;14(,)C C ,1;23(,)C C ,1;24(,)C C ,1;34(,)C C ,1;所以1111116E ξ+++++==.13.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求. 【知识内容】方程与代数/数列和数学归纳法/简单的递推数列. 【参考答案】12016【试题分析】因为22224032,120162|2016|24032,2017n n an a n S n a n n an a n ⎧-+⎪=+-=⎨+-⎪⎩≤≤≥，所以212(1)2(1)4032,22017(1)2(1)4032,2018n n a n a n S n a n a n -⎧---+⎪=⎨-+--⎪⎩≤≤≥，所以1n n n a S S -=-= 212,22016,4033+2,2017,212,2018n a n a n n a n --⎧⎪=⎨⎪-+⎩≤≤≤,1140301a S a ==+,因为+1n n a a ≤恒成立，所以122016201720172018,,,a a a a a a ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤即4030132,403124033+2,4033+240352a a a a a a+-⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≤解得1,20161,2a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≥-，又0a >，所以102016a <≤，故答案为12016. 14.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【参考答案】(,33【试题分析】函数y[22-，值域为[0,)+∞，联立两函数的方程,y x a y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去x 得2234210y ay a -+-=，y =,因为两函数的图像有两个交点，所以222(4)43(21)0,210,4023a a a a⎧⎪∆=-⨯->⎪-⎨⎪-⎪->⨯⎩≥,解得，设1122(,),(,)A x y B x y ，则124=3a y y +,212213a y y -=,22121212121()()()=3a x x y a y a y y a y y a -=--=-++,因为OAB △是锐角三角形，所以1212221121120,0,0,0x x y y OA OB x x x y y y OA BA ⎧+>⎧⋅>⎪⇒⎨⎨-+->⋅>⎪⎩⎩u u u r u u u r u u u r u u u r 即222320,32313a a ⎧->⎪⎪⎨-⎪+>⎪⎭⎝⎩,a <<,所以a的取值范围为，故答案为. 二、填空题15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/不等式的性质及其证明. 【正确选项】D【试题分析】选项A 中，若a b ＞＞1，则有11a b＜，所以A 不正确；选项B 中，若0a b ＞＞，且||||a b ＜，则22a b ＜，所以B 不正确；同理选项C 也不正确，选项D 中，函数是R 上的增函数，所以有22ab ＞，所以D 正确，故答案为D.16.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系; 方程与代数/集合与命题/充分条件，必要条件，充分必要条件. 【正确选项】C【试题分析】因为m ⊥平面α，若l m ⊥，则l α∥或l α⊂，所以充分性不成立，若l α∥，则有l m ⊥，必要性成立，所以“l m ⊥”是“l α∥”的必要不充分条件，故答案为C. 17. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系; 图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念. 【正确选项】B【试题分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ,11D D A A ∥,所以112,DPD EPD θθ=∠=∠,因为12θθ=，所以1tan tan DPD EPD ∠=∠，即1D DAE AP DP=,因为E 为1A A 的中点，所以2DPAP=,设正方体边长为2，以DA 方向为x 轴，线段DA 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的坐标系，则(1,0),(1,0)D A -,因为2DPAP=，所以2222(1)2(1)x y x y ++=-+，化简得22525()39x y -+=，所以动点P 的轨迹为圆的一部分.第17题图 apnn218.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论述的能力.【知识内容】函数与分析/三角函数/正弦函数和余弦函数的性质. 【正确选项】C【试题分析】函数()2sin 2f x x =的图像向右平移ϕ个单位得到函数()2sin 2()g x x ϕ=-的图像，则1212|()()|2sin 22sin 2()f x g x x x ϕ-=--1212=4cos()sin())=4x x x x ϕϕ+--++，所以12sin()=1x x ϕ-++，因为12π||6x x -=，所以12π6x x -=±，当12π6x x -=时，πsin()16ϕ-=，22ππ()3k k ϕ=+∈Z ,又因为0πϕ<<，所以2π=3ϕ，同理，可得12π6x x -=-时，π=3ϕ，所以2π3ϕ=或π3，故答案为C.三、解答题19.（本题满分12分）【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复平面；函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【参考答案】设复数1z ，2z 能表示同一个点，则cos2cos x x =, ……………………3分 解得cos 1x =或1cos 2x =-. ………………………………7分 当cos 1x =时，得2sin 0x =，此时12i z z ==. ……………9分当1cos 2x =-时，得23sin 4x =，此时1231i 42z z ==-. ……………11分综上，复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-． ……………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分． 【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. （2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. 【知识内容】（1）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角. （2）图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【参考答案】（1）当θ为直角时,即,,AB AD AP 两两互相垂直，以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 为坐标轴建立空间直角坐标系, ………………1分 则(1,0,0)(1,2,0)(0,2,0)(0,0,1)B C D P ,(1,2,1)PC =-u u u r ,(1,2,0)BD =-u u u r……3分设异面直线PC 与BD 所成角为α,则cos PC BDPC BDα⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r 3010=………………5分 故异面直线PC 与BD 所成角为30arccos10．…7分MHLD1第19题图（1）（2）Θ沿AD 将平面PAD 折起的过程中，始终 有PA AD ⊥，AB AD ⊥，AD PAB ∴⊥面，由PAB D ABD P V V --=得 ……………………9分 2163PAB S DA ∴=⋅⋅△11211sin 32θ=⨯⨯⨯⨯⨯，2sin 2θ∴= ……………………12分 π4θ∴=或3π4． ……………………………14分MHLD2第19题图（2）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.（2）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义. 【知识内容】（1）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用. （2）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用. 【参考答案】（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为(21)(22)(23)(24)f f f f +++1314151612121212360[3333]30004=⨯++++⨯17460≈（人）…………………3分离开园区的人数(21)(22)(23)(24)=9000g g g g +++（人） ………………6分 （2）当()()0f n g n -≥时，园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时，园内游客人数递减． ………………7分 ①当1932n ≤≤时，由812()()3603500120000n f n g n n --=⨯-+≥，可得：当1928n ≤≤时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分 当2932n ≤≤时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少； ……11分 （049.246)28()28(>=-g f ；013.38)29()29(<-=-g f ）②当3345n ≤≤时，由()()72023600f n g n n -=-+递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． ………………13分综上，当天下午16点时（28n =）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人. ………………14分 22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分． 【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题. 【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. （2）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. （3）图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【参考答案】（1）由条件可得b c ==2a =， …………………………3分椭圆Γ的方程为22142x y +=．………………………………………………………5分（2）设00(,)A x y ，则OB 的方程为000x x y y +=，由2y =得02(,2)y B x -………7分 ∴2222200021111=44y OA OB x y x ++++22002222000044=4()4(2)2x x x x y x ++=++-12=．…10分 （3）设00(,),(,)C x y D x y ，由OC OD ⊥得000x x y y += ①又C 点在椭圆上得：2200142x y += ② 联立①②可得222200222244,22y x x y x y x y ==++ ③ …………………………12分由OC OD ⊥得=OC OD CD d ⋅⋅，即22222=(+)OC OD OC OD d ⋅⋅ 可得222111d OC OD=+， ………………………………………………………14分 将③代入得：22222220011111d OC OD x y x y=+=+++ 2222222222221124444()22x y x y x y x y x y x y ++=+=+++++， 化简得D 点轨迹方程为：22221111()()124x y d d -+-=.…………………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分． 【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行探究，寻求数学对象的规律和联系；能正确地表述探究过程和结果，并予以证明. 【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列. （2）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列；函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】（1）n a n =， ………………………………………………………………2分Θ1122n n n n nb b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- …………………4分1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分 （2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分(3)由解方程得：x =由条件，()0k f x =两根x =为整数，则kc ∆=必为完全平方数，不妨设2()k c m m =∈N ， …………12分此时2k a mx -±==为整数，∴k a 和m 具有相同的奇偶性，………13分 由（2）知{}n c 是公差为1的等差数列，取21n k m =++∴()222121211k m k c c m m m m ++=++=++=+ ………………………………15分此时(21)(1)2k a m m x -++±+==Θk a 和m 具有相同的奇偶性，∴21k a m ++和1m +具有相同的奇偶性， …17分所以函数21()k m f x ++有两个整数零点.由递推性可知存在无穷多个()n f x 有两个整数零点.………………………18分。
2016年上海市闵行区高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2016年上海市闵行区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则|z|＝．2．（4分）若全集U＝R，函数的值域为集合A，则∁U A＝．3．（4分）方程4x﹣2x﹣6＝0的解为．4．（4分）函数的最小正周期t＝．5．（4分）不等式的解集是．6．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于．7．（4分）已知△ABC中，，，其中是基本单位向量，则△ABC的面积为．8．（4分）在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有种．9．（4分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，且，则＝．10．（4分）若函数f（x）＝2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．11．（4分）若点P、Q均在椭圆（a＞1）上运动，F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，则的最大值为．12．（4分）已知函数，若实数a、b、c互不相等，且满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围是．13．（4分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为．14．（4分）数列{a n}的前n项和为S n，若对任意n∈N*，都有，}的前n项和为．则数列{a2n﹣1二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则“a＝b”是“等号成立”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）设f（x）＝2+5x+10x2+10x3+5x4+x5，则其反函数的解析式为（）A．B．C．D．17．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则角A的范围是（）A．B．C．D．18．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣1，2]，图象如图2所示．A＝{x|f（g（x））＝0}，B＝{x|g（f（x））＝0}，则A∩B中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1＝AB＝2，BC＝1，，D为棱AA1中点，证明异面直线B1C1与CD所成角为，并求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．20．（14分）如图，点A、B分别是角α、β的终边与单位圆的交点，．（1）若，，求sin2β的值；（2）证明：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．21．（14分）某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，点P到l2的距离为2千米．以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）求直线AB的方程，并求出公路AB的长度（结果精确到1米）．22．（16分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线E：y2＝4x的焦点重合，斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点，交椭圆Γ于C、D两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）直线l经过点F（1，0），设点P（﹣1，k），且△P AB的面积为，求k 的值；（3）若直线l过点M（0，﹣1），设直线OC，OD的斜率分别为k1，k2，且成等差数列，求直线l的方程．23．（18分）已知数列{a n}的各项均为整数，其前n项和为S n．规定：若数列{a n}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{a n}为“r关联数列”．（1）若数列{a n}为“6关联数列”，求数列{a n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出S n，并证明：对任意n∈N*，a n S n≥a6S6；（3）若数列{a n}为“6关联数列”，当n≥6时，在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，求d n，并探究在数列{d n}中是否存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．2016年上海市闵行区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则|z|＝2．【解答】解：∵，∴﹣z＝i+1，∴z＝﹣1﹣i，∴|z|＝＝2，故答案为：2．2．（4分）若全集U＝R，函数的值域为集合A，则∁U A＝（﹣∞，0）．【解答】解：函数y＝x≥0，得到A＝[0，+∞），∵全集U＝R，∴∁U A＝（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）3．（4分）方程4x﹣2x﹣6＝0的解为x＝log23．【解答】解：由4x﹣2x﹣6＝0，得（2x）2﹣2x﹣6＝0，解得2x＝3，或2x＝﹣2（舍去），∴x＝log23．故答案为：x＝log23．4．（4分）函数的最小正周期t＝π．【解答】解：函数＝cos（π﹣x）cos x﹣sin（π+x）sin x＝﹣cos2x+sin2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期t＝＝π．5．（4分）不等式的解集是（0，2）．【解答】解：∵＞，∴﹣＞0，通分得＞0，即＜0；等价于2x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2．故答案为：（0，2）．6．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于15π．【解答】解：设圆锥的高为h，底面半径为r，∵圆锥的底面半径为3，体积是12π，∴，即h＝4，∴圆锥的母线长l＝，∴圆锥的侧面积S＝πrl＝3×5π＝15π，故答案为：15π．7．（4分）已知△ABC中，，，其中是基本单位向量，则△ABC的面积为．【解答】解：根据题意，得：＝（4，3），＝（﹣3，4），∴＝﹣＝（﹣7，1），∴2＝42+32＝25，2＝（﹣3）2+42＝25，2＝（﹣7）2+12＝50；∴||2＝||2+||2，△ABC是直角三角形，它的面积为S＝×5×5＝．8．（4分）在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有10种．【解答】①在生物、政治、历史三门选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有：＝9种选法；②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有＝1种选法；共有选法：9+1＝10种．9．（4分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，且，则＝5．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则由可得＝+5，解得d＝10，故＝＝＝5+，∴＝（5+）＝5故答案为：510．（4分）若函数f（x）＝2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1．【解答】解：因为f（1+x）＝f（1﹣x），所以，f（x）的图象关于直线x＝1轴对称，而f（x）＝2|x﹣a|，所以f（x）的图象关于直线x＝a轴对称，因此，a＝1，f（x）＝2|x﹣1|，且该函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，又因为函数f（x）在[m，+∞）上单调递增，所以，m≥1，即实数m的最小值为1．故答案为：1．11．（4分）若点P、Q均在椭圆（a＞1）上运动，F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，则的最大值为2a．【解答】解：∵＝2，∴＝＝2≤2a，∴的最大值为2a，故答案为：2a．12．（4分）已知函数，若实数a、b、c互不相等，且满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围是（8，10）．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图：∵f（a）＝f（b）＝f（c），不妨设a＜b＜c，根据余弦函数的对称性可得a+b＝4．且4＜c＜6．∴a+b+c＝4+c．∴8＜a+b+c＜10．故答案为（8，10）．13．（4分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为．【解答】解：第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，故答案为：14．（4分）数列{a n}的前n项和为S n，若对任意n∈N*，都有，则数列{a2n﹣1}的前n项和为﹣﹣3+2n．【解答】解：∵，∴a1＝﹣a1++1﹣3，解得a1＝．当n＝2k﹣1≥3，k∈N*时，a2k﹣1＝S2k﹣1﹣S2k﹣3＝﹣a2k﹣1++（2k﹣1）﹣3﹣化为：2a2k﹣1＝a2k﹣3﹣+2．变形为﹣2＝，∴数列{﹣2}是等比数列，公比为，首项为﹣2．∴﹣2＝，∴a2k﹣1＝﹣+2．∴数列{a2n}的前n项和＝﹣+2n﹣1＝﹣﹣3+2n．故答案为：﹣﹣3+2n．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则“a＝b”是“等号成立”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵ab＞0，∴＞0，当a＝b，则+＝1+1＝2，此时等号成立，+≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故“a＝b”是“等号成立”的充要条件，故选：A．16．（5分）设f（x）＝2+5x+10x2+10x3+5x4+x5，则其反函数的解析式为（）A．B．C．D．【解答】解：因为y＝f（x）＝2+5x+10x2+10x3+5x4+x5＝1+[1+5x+10x2+10x3+5x4+x5]＝1+（1+x）5，即y＝1+（1+x）5，所以，1+x＝，因此，x＝﹣1+，再交换x，y得，y＝﹣1+，所以，f（x）的反函数的解析式为f﹣1（x）＝﹣1+，x∈R，故选：C．17．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则角A的范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，又∵由于三角形两边之和大于第三边，可得a+c﹣b＞0，a+b﹣c＞0，且b，c＞0，∴（a﹣b+c）（a+b﹣c）≤bc，整理可得：b2+c2﹣a2≥bc，∴cos A＝≥＝，∵A∈（0，）．故选：B．18．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣1，2]，图象如图2所示．A＝{x|f（g（x））＝0}，B＝{x|g（f（x））＝0}，则A∩B中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由图象可知，若f（g（x））＝0，则g（x）＝0或g（x）＝1，由图2知，g（x）＝0时，x＝0，或x＝2，g（x）＝1时，x＝1或x＝﹣1故A＝{﹣1，0，1，2}，若g（f（x））＝0，由图1知，f（x）＝0，或f（x）＝2（舍去），当f（x）＝0时，x＝﹣1或0或1，故B＝{﹣1，0，1}，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，则A∩B中元素的个数为3个．故选：C．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1＝AB＝2，BC＝1，，D为棱AA1中点，证明异面直线B1C1与CD所成角为，并求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【解答】证明：在△ABC中，由正弦定理得，即，∴sin∠ACB＝1，即，∴BC⊥AC．∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥AA1，又AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，∴BC⊥平面平面ACC1A1，CD⊂平面ACC1A1，∴BC⊥CD，∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥CD，∴异面直线B1C1与CD所成角为．∵AB＝2，BC＝1，∠ACB＝，∴AC＝．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V＝S△ABC•AA1＝＝．20．（14分）如图，点A、B分别是角α、β的终边与单位圆的交点，．（1）若，，求sin2β的值；（2）证明：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．【解答】解：（1）由，可得cos（2α﹣2β）＝2cos2（α﹣β）﹣1＝﹣，∵，∴cos（﹣2β）＝﹣，∴sin2β＝．（2）由题意可得，||＝||＝1，且与的夹角为α﹣β，＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），＝cosαcosβ+sinαsinβ＝1×1×cos（α﹣β），∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ成立．21．（14分）某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，点P到l2的距离为2千米．以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）求直线AB的方程，并求出公路AB的长度（结果精确到1米）．【解答】解：（1）由题意得M（1，8），则a＝8，故曲线段MPN的函数关系式为，又得，所以定义域为[1，10]．（2）由（1）知P（2，4），设直线方程为y﹣4＝k（x﹣2），联立方程，得kx2+2（2﹣k）x﹣8＝0，由判别式△＝0得4（2﹣k）2+32k＝4（k+2）2＝0，得k＝﹣2，即直线AB的方程为y＝﹣2x+8，当x＝0时，y＝8，当y＝0时，x＝4，即A（0，8），B（4，0），则AB＝＝4≈8944米．22．（16分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线E：y2＝4x的焦点重合，斜率为k的直线l交抛物线E于A、B两点，交椭圆Γ于C、D两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）直线l经过点F（1，0），设点P（﹣1，k），且△P AB的面积为，求k 的值；（3）若直线l过点M（0，﹣1），设直线OC，OD的斜率分别为k1，k2，且成等差数列，求直线l的方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为＝1（a＞b＞0），由题设，解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆Γ的方程为．（2）设直线l：y＝k（x﹣1），由，得k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，l与抛物线E有两个交点，k≠0，△＝16（k2+1）＞0，则|AB|＝•＝，P（﹣1，k）到l的距离d＝，又，∴•＝4，即4k2＝3k2+3，解得k＝．（3）设直线l：y＝kx﹣1，由，得（4k2+3）x2﹣8kx﹣8＝0，M（0，﹣1）在椭圆内部，∴l与椭圆恒有两个交点，设C（x1，y1），D（x2，y2），则，，由成等差数列，得＝＝＝＝＝＝＝，解得k＝，∴直线l的方程为y＝．23．（18分）已知数列{a n}的各项均为整数，其前n项和为S n．规定：若数列{a n}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{a n}为“r关联数列”．（1）若数列{a n}为“6关联数列”，求数列{a n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出S n，并证明：对任意n∈N*，a n S n≥a6S6；（3）若数列{a n}为“6关联数列”，当n≥6时，在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，求d n，并探究在数列{d n}中是否存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵数列{a n}为“6关联数列”，∴{a n}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，∴a6＝a1+5，a5＝a1+4，且＝＝2，解得a1＝﹣3，∴．（2）由（1）得，{a n}：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，22，23，24，25，…，{S n}：﹣3，﹣5，﹣6，﹣6，﹣5，﹣3，1，9，25，…{a n S n}：9，10，6，0，﹣5，﹣6，4，72，400，…，可见数列{a n S n}的最小项为a6S6＝﹣6，证明：a n S n＝，列举法知当n≤5时，（a n S n）min＝a5S5＝﹣5；当n≥6时，a n S n＝2•（2n﹣5）2﹣7•2n﹣5，n≥6，设t＝2n﹣5，则a n S n＝2t2﹣7t＝2（t﹣）2﹣7t＝2（t﹣）2﹣≥2•22﹣7•2＝﹣6．（3）由（1）知，当n≥6时，，∵a n+1＝a n+（n+2﹣1）d n，2n﹣4＝2n﹣5+（n+1）d n，∴．假设在数列{d n}中存在d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列），则（d k）2＝d m d p，∴（）2＝，，（*）∵m，p，k成等差数列，∴m+p＝2k，（*）式可化简为（k+1）2＝（m+1）（p+1），即k2＝mp，∴k＝m＝p，这与题设矛盾．∴在数列{d n}中不存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．。
上海市闵行区2016届高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2016上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若复数z满足（i为虚数单位），则|z|．2．若全集U=R，函数的值域为集合A，则∁U A=．3．方程4x﹣2x﹣6=0的解为．4．函数的最小正周期t=．5．不等式＞|x|的解集为．6．已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于．7．已知△ABC中，，，其中是基本单位向量，则△ABC的面积为．8．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有种．9．若S n是等差数列{a n}的前n项和，且，则=．10．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．11．若点P、Q均在椭圆（a＞1）上运动，F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，则的最大值为．12．已知函数，若实数a、b、c互不相等，且满足f（a）=f （b）=f（c），则a+b+c的取值范围是．13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π=3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为．14．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，且（a n+1﹣p）（a n ﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．若a，b∈R，且ab＞0，则“a=b”是“等号成立”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分又非必要条件16．设f（x）=2+5x+10x2+10x3+5x4+x5，则其反函数的解析式为（）A．B．C．D．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则角A的范围是（）A．B．C．D．18．函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣1，2]，图象如图2所示．A={x|f（g（x））=0}，B={x|g（f（x））=0}，则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=AB=2，BC=1，，D 为棱AA1中点，证明异面直线B1C1与CD所成角为，并求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．20．如图，点A、B分别是角α、β的终边与单位圆的交点，．（1）若，，求sin2β的值；（2）证明：cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ．21．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．22．已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线E：y2=4x的焦点重合．（1）求椭圆Γ的方程；（2）斜率为k的直线l过点F（1，0），且与抛物线E交于A、B两点，设点P（﹣1，k），△PAB 的面积为，求k的值；（3）若直线l过点M（0，m）（m≠0），且与椭圆Γ交于C、D两点，点C关于y轴的对称点为Q，直线QD的纵截距为n，证明：mn为定值．23．已知数列{a n}的各项均为整数，其前n项和为S n．规定：若数列{a n}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{a n}为“r关联数列”．（1）若数列{a n}为“6关联数列”，求数列{a n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出S n，并证明：对任意n∈N*，a n S n≥a6S6；（3）已知数列{a n}为“r关联数列”，且a1=﹣10，是否存在正整数k，m（m＞k），使得a1+a2+…+a k﹣1+a k=a1+a2+…+a m﹣1+a m？若存在，求出所有的k，m值；若不存在，请说明理由．2016上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若复数z满足（i为虚数单位），则|z|2．【考点】复数求模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】根据复数的四则运算先化简复数，然后计算复数的长度即可【解答】解：∵，∴﹣z=i+1，∴z=﹣1﹣i，∴|z|==2，故答案为：2．【点评】本题主要考查复数的计算，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，比较基础．2．若全集U=R，函数的值域为集合A，则∁U A=（﹣∞，0）．【考点】补集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出函数的值域确定出A，根据全集U=R，找出A的补集即可．【解答】解：函数y=x≥0，得到A=[0，+∞），∵全集U=R，∴∁U A=（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3．方程4x﹣2x﹣6=0的解为log23．【考点】指数式与对数式的互化；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】由4x﹣2x﹣6=0，得（2x）2﹣2x﹣6=0，由此能求出方程4x﹣2x﹣6=0的解．【解答】解：由4x﹣2x﹣6=0，得（2x）2﹣2x﹣6=0，解得2x=3，或2x=﹣2（舍去），∴x=log23．故答案为：log23．【点评】本题考查指数方程的解法，解题时要认真审题，注意指数式和对数式的互化．4．函数的最小正周期t=π．【考点】二阶行列式的定义；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；矩阵和变换．【分析】利用二阶行列式展开式法则和余弦函数二倍角公式求解．【解答】解：函数=cos（π﹣x）cosx﹣sin（π+x）sinx=﹣cos2x+sin2x=﹣cos2x，∴函数的最小正周期t==π．故答案为：π．【点评】本题考查三角函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用．5．不等式＞|x|的解集为（0，2）．【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】不等式即＞0，显然x＜0时不成立．当x＞0时，根据＜0，求得不等式的解集．【解答】解：当x＜0时，＞﹣x，即＞0，显然x＜0时不成立．当x＞0时，＜0，解得0＜x＜2，所以不等式的解集为（0，2），故答案为：（0，2）．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．6．已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于15π．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据圆锥的体积计算出圆锥的高，以及圆锥的母线，进而求出圆锥的侧面积．【解答】解：设圆锥的高为h，底面半径为r，∵圆锥的底面半径为3，体积是12π，∴，即h=4，∴圆锥的母线长l=，∴圆锥的侧面积S=πrl=3×5π=15π，故答案为：15π．【点评】本题主要考查圆锥的体积和侧面积的计算，要求熟练掌握圆锥的体积和侧面积公式．7．已知△ABC中，，，其中是基本单位向量，则△ABC的面积为．【考点】三角形的面积公式．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】根据平面向量的数量积以及坐标运算，求出向量的模长，判断三角形是直角三角形，求出面积即可．【解答】解：根据题意，得：=（4，3），=（﹣3，4），∴=﹣=（﹣7，1），∴2=42+32=25，2=（﹣3）2+42=25，2=（﹣7）2+12=50；∴||2=||2+||2，△ABC是直角三角形，它的面积为S=×5×5=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据平面向量的数量积以及坐标运算，进行解答，是基础题．8．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有10种．【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题；方程思想；综合法；排列组合．【分析】分类讨论：选择两门理科学科，一门文科学科；选择三门理科学科，即可得出结论．【解答】解：选择两门理科学科，一门文科学科，有C32C31=9种；选择三门理科学科，有1种，故共有10种．故答案为：10．【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．9．若S n是等差数列{a n}的前n项和，且，则=5．【考点】数列的极限．【专题】方程思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的求和公式，计算可得d=10，再由=0，计算即可得到所求值．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，即有S n=na1+n（n﹣1）d，即=a1+d（n﹣1），由，可得a1+d=a1+d+10，解得d=10，则==5+，即有=（5+）=5+=5+0=5．故答案为：5．【点评】本题考查等差数列的求和公式的运用，考查数列极限的求法，注意运用数列极限公式，属于中档题．10．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1．【考点】抽象函数及其应用．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】先由f（1+x）=f（1﹣x）得到f（x）的图象关于直线x=1轴对称，进而求得a=1，再根据题中所给单调区间，求出m≥1．【解答】解：因为f（1+x）=f（1﹣x），所以，f（x）的图象关于直线x=1轴对称，而f（x）=2|x﹣a|，所以f（x）的图象关于直线x=a轴对称，因此，a=1，f（x）=2|x﹣1|，且该函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，又因为函数f（x）在[m，+∞）上单调递增，所以，m≥1，即实数m的最小值为1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了指数型复合函数的图象与性质，涉及该函数图象的对称性和单调区间，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．11．若点P、Q均在椭圆（a＞1）上运动，F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，则的最大值为2a．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用向量的平行四边形法则可得：=2，代入再利用向量的三角形法则、椭圆的性质即可得出．【解答】解：∵=2，∴==2≤2a，∴的最大值为2a，故答案为：2a．【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程、向量的平行四边形法则与三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知函数，若实数a、b、c互不相等，且满足f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（8，23）．【考点】余弦函数的对称性；分段函数的应用．【专题】综合题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】作出函数f（x）的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），确定a，b，c的范围，即可得出a+b+c 的取值范围．【解答】解：作出f（x）的函数图象，如图：令log（x﹣3）+1=1，解得x=4．令log（x﹣3）+1=﹣1，解得x=19．设a＜b＜c，则a+b=4，4＜c＜19．∴8＜a+b+c＜23．故答案为（8，23）．【点评】本题以三角函数和对数函数为例，考查了函数的零点与方程根个数讨论等知识点，利用数形结合，观察图象的变化，从而得出变量的取值范围是解决本题的关键．13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π=3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为．【考点】归纳推理．【专题】计算题；方程思想；综合法；推理和证明．【分析】利用“调日法”进行计算，即可得出结论．【解答】解：第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，故答案为：【点评】本题考查“调日法”，考查学生的计算能力，比较基础．14．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，且（a n+1﹣p）（a n ﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．【考点】数列递推式．【专题】综合题；函数思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由数列递推式求出首项，写出n≥2时的递推式，作差后对n分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数（n为正奇数）为减函数，最大值为，函数（n 为正偶数）为增函数，最小值为．再由（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立求得实数p的取值范围．【解答】解：由，得；=当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=．若n为偶数，则，∴（n为正奇数）；若n为奇数，则==，∴（n为正偶数）．函数（n为正奇数）为减函数，最大值为，函数（n为正偶数）为增函数，最小值为．若（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则a1＜p＜a2，即．故答案为：．【点评】本题考查数列递推式，考查了数列通项公式的求法，体现了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．若a，b∈R，且ab＞0，则“a=b”是“等号成立”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】定义法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合基本的性质进行判断即可．【解答】解：∵ab＞0，∴＞0，当a=b，则+=1+1=2，此时等号成立，+≥2=2，当且仅当=，即a=b时取等号，故“a=b”是“等号成立”的充要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解决本题的关键．16．设f（x）=2+5x+10x2+10x3+5x4+x5，则其反函数的解析式为（）A．B．C．D．【考点】反函数．【专题】定义法；函数的性质及应用；二项式定理．【分析】根据二项式定理：（1+x）5=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5，原函数可写成y=1+（1+x）5，再求其反函数即可．【解答】解：因为y=f（x）=2+5x+10x2+10x3+5x4+x5=1+[1+5x+10x2+10x3+5x4+x5]=1+（1+x）5，即y=1+（1+x）5，所以，1+x=，因此，x=﹣1+，再交换x，y得，y=﹣1+，所以，f（x）的反函数的解析式为f﹣1（x）=﹣1+，x∈R，故答案为：C．【点评】本题主要考查了反函数及其解法，涉及二项式定理的应用，根式的运算和函数定义域与值域的确定，属于中档题．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则角A的范围是（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【专题】计算题；数形结合；分析法；解三角形．【分析】由已知可得（a﹣b+c）（a+b﹣c）≤bc，整理可得：b2+c2﹣a2≥bc，利用余弦定理可得cosA=≥=，利用余弦函数的图象和性质即可得解A的范围．【解答】解：∵，又∵由于三角形两边之和大于第三边，可得a+c﹣b＞0，a+b﹣c＞0，且b，c＞0，∴（a﹣b+c）（a+b﹣c）≤bc，整理可得：b2+c2﹣a2≥bc，∴cosA=≥=，∵A∈（0，）．故选：B．【点评】本题主要考查了余弦定理，余弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和数形结合能力，属于中档题．18．函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣1，2]，图象如图2所示．A={x|f（g（x））=0}，B={x|g（f（x））=0}，则A∩B中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的图象；交集及其运算．【专题】数形结合；定义法；函数的性质及应用；集合．【分析】结合图象，分别求出集合A，B，再根据交集的定义求出A∩B，问题得以解决．【解答】解：由图象可知，若f（g（x））=0，则g（x）=0或g（x）=1，由图2知，g（x）=0时，x=0，或x=2，g（x）=1时，x=1或x=﹣1故A={﹣1，0，1，2}，若g（f（x））=0，由图1知，f（x）=0，或f（x）=2（舍去），当f（x）=0时，x=﹣1或0或1，故B={﹣1，0，1}，所以A∩B={﹣1，0，1}，则A∩B中元素的个数为3个．故选：C．【点评】本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1=AB=2，BC=1，，D 为棱AA1中点，证明异面直线B1C1与CD所成角为，并求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】在△ABC中使用正弦定理得出∠ACB=90°，即AC⊥BC，又AA1⊥平面ABC得AA1⊥BC，故BC⊥平面ACC1A1，于是BC⊥CD，由BC∥B1C1得出B1C1⊥CD，利用棱柱的体积公式求出棱柱的体积．【解答】证明：在△ABC中，由正弦定理得，即，∴sin∠ACB=1，即，∴BC⊥AC．∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥AA1，又AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，AA1∩AC=A，∴BC⊥平面平面ACC1A1，CD⊂平面ACC1A1，∴BC⊥CD，∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥CD，∴异面直线B1C1与CD所成角为．∵AB=2，BC=1，∠ACB=，∴AC=．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC•AA1==．【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱柱的结构特征，棱柱的体积计算，属于中档题．20．如图，点A、B分别是角α、β的终边与单位圆的交点，．（1）若，，求sin2β的值；（2）证明：cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ．【考点】两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）由条件利用二倍角公式，诱导公式，求得sin2β的值．（2）由条件利用两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义，证得公式成立．【解答】解：（1）由，可得cos（2α﹣2β）=2cos2（α﹣β）﹣1=﹣，∵，∴cos（﹣2β）=﹣，∴sin2β=．（2）由题意可得，||=||=1，且与的夹角为α﹣β，=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=cosαcosβ+sinαsinβ=1×1×cos（α﹣β），∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ成立．【点评】本题主要考查二倍角公式，诱导公式的应用，两个向量的数量积的运算，属于中档题．21．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．【考点】两点间距离公式的应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）由题意得M（1，8），则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为，可得其定义域；（2），设与联立求出A，B的坐标，即可求出最短长度p 的取值范围．【解答】解：（1）由题意得M（1，8），则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为，又得，所以定义域为[1，10]．…（2），设由得kpx2+（8﹣kp2）x﹣8p=0，△=（8﹣kp2）2+32kp2=（kp2+8）2=0，…∴kp2+8=0，∴，得直线AB方程为，…得，故点P为AB线段的中点，由即p2﹣8＞0…得时，OA＜OB，所以，当时，经点A至P路程最近．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键．22．已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线E：y2=4x的焦点重合．（1）求椭圆Γ的方程；（2）斜率为k的直线l过点F（1，0），且与抛物线E交于A、B两点，设点P（﹣1，k），△PAB 的面积为，求k的值；（3）若直线l过点M（0，m）（m≠0），且与椭圆Γ交于C、D两点，点C关于y轴的对称点为Q，直线QD的纵截距为n，证明：mn为定值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设椭圆的方程为，由题设得，解出即可得出．（2）设直线l：y=k（x﹣1），与椭圆方程联立可得k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，l与抛物线E有两个交点，k≠0，△＞0，利用根与系数的关系可得|AB|，P（﹣1，k）到l的距离，又，解出即可得出．（3）由C（x1，y1），D（x2，y2），点C关于y轴的对称点为Q（﹣x1，y1），则直线，设x=0得m；直线，设x=0得n，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（1）设椭圆的方程为，由题设得，∴，∴椭圆Γ的方程是．（2）设直线l：y=k（x﹣1），由，得k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，l与抛物线E有两个交点，k≠0，△=16（k2+1）＞0，则，P（﹣1，k）到l的距离，又，∴，∴4k2=3k2+3，故．（3）∵C（x1，y1），D（x2，y2），点C关于y轴的对称点为Q（﹣x1，y1），则直线，设x=0得直线，设x=0得，∴，又，，∴，，∴．【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、轴对称问题、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．23．已知数列{a n}的各项均为整数，其前n项和为S n．规定：若数列{a n}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{a n}为“r关联数列”．（1）若数列{a n}为“6关联数列”，求数列{a n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出S n，并证明：对任意n∈N*，a n S n≥a6S6；（3）已知数列{a n}为“r关联数列”，且a1=﹣10，是否存在正整数k，m（m＞k），使得a1+a2+…+a k﹣1+a k=a1+a2+…+a m﹣1+a m？若存在，求出所有的k，m值；若不存在，请说明理由．【考点】数列的应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）若数列{a n}为“6关联数列”，{a n}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，可得a6=a1+5，a5=a1+4，且，即，解得a1，即可求数列{a n}的通项公式；（2）由（1）得（或，可见数列{a n S n}的最小项为a6S6=﹣6，即可证明：对任意n∈N*，a n S n≥a6S6；（3），分类讨论，求出所有的k，m值．【解答】解：（1）∵数列{a n}为“6关联数列”，∴{a n}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，∴a6=a1+5，a5=a1+4，且，即，解得a1=﹣3…∴（或）．…（2）由（1）得（或）…，{S n}：﹣3，﹣5，﹣6，﹣6，﹣5，﹣3，1，9，25，…{a n S n}：9，10，6，0，﹣5，﹣6，4，72，400，…，可见数列{a n S n}的最小项为a6S6=﹣6，证明：，列举法知当n≤5时，（a n S n）min=a5S5=﹣5；…当n≥6时，，设t=2n﹣5，则．…（3）数列{a n}为“r关联数列”，且a1=﹣10，∵∴…①当k＜m≤12时，由得（k+m）（k﹣m）=21（k﹣m）k+m=21，k，m≤12，m＞k，∴或．②当m＞k＞12时，由2k﹣11﹣56=2m﹣11﹣56得m=k，不存在…③当k≤12，m＞12时，由，2m﹣10=k2﹣21k+112当k=1时，2m﹣10=92，m∉N*；当k=2时，2m﹣10=74，m∉N*；当k=3时，2m﹣10=58，m∉N*；当k=4时，2m﹣10=44，m∉N*；当k=5时，2m﹣10=25，m=15∈N*；当k=6时，2m﹣10=22，m∉N*；当k=7时，2m﹣10=14，m∉N*；当k=8时，2m﹣10=23，m=13∈N*；当k=9时，2m﹣10=22，m=12舍去；当k=10时，2m﹣10=2，m=11舍去当k=11时，2m﹣10=2，m=11舍去；当k=12时，2m﹣10=22，m=12舍去…综上所述，∴存在或或或．…【点评】本题考查数列的应用，考查新定义，考查数列的通项，考查分类讨论的数学思想，难度大．。
2016年上海市闵行区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
＝
．
9．（5 分）若 m＞0，n＞0，m+n＝1，且
（t＞0）的最小值为 9，则 t＝
．
10．（5 分）若以 x 轴正方向为始边，曲线上的点与圆心的连线为终边的角 θ 为参数，则圆
x2+y2﹣2x＝0 的参数方程为
．
11．（5 分）若 AB 是圆 x2+（y﹣3）2＝1 的任意一条直径，O 为坐标原点，则
动点，设 PD1、PE 与地面 ABCD 所成的角分别为 θ1、θ2（θ1、θ2 均不为 0），若 θ1＝θ2， 则动点 P 的轨迹为哪种曲线的一部分（ ）
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．抛物线
18．（5 分）若函数 f（x）＝2sin2x 的图象向右平移 φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数 g（x）
的图象，若对满足|（f x1）﹣g（x2）|＝4 的 x1、x2，有|x1﹣x2|的最小值为 ，则 φ＝（ ）
B．a2＞b2
C．lg（|a|+1）＞lg（|b|+1）
D．2a＞2b
16．（5 分）若 l、m 是两条直线，m⊥平面 α，则“l⊥m”是“l∥α”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．既非充分又非必要条件
17．（5 分）如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 是的 AA1 中点，P 为地面 ABCD 内一
2016 年上海市闵行区高考数学二模试卷（理科）
一、填空题
1．（5 分）函数 y＝log3（x﹣1）的定义域为
．
2．（5 分）集合 A＝{x|x2﹣3x＜0}，集合 B＝{x||x|＜2}，则 A∪B＝
．
3．（5 分）若复数
上海市闵行区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷--含答案
闵行区2016学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考生号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有21道试题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果． 1. 方程()3log 212x +=的解是 ． 2. 已知集合{}{}11,1,0,1,M x x N =+≤=-则MN = ．3. 若复数122,2z a i z i =+=+（i 是虚数单位），且12z z 为纯虚数，则实数a =．4. 直线23x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩t 为参数）对应的普通方程是 ．5. 若()1(2),3n n n x x ax bx c n n -*+=++++∈≥N ，且4b c =，则a 的值为 ．6. 某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积是 ．7. 若函数()2()1xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 ．8. 在约束条件123x y ++-≤下，目标函数2z x y =+的最大值为 ．9. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ．10. 已知椭圆()222101y x b b+=<<，其左、右焦点分别为12F F 、，122F F c =．若此椭圆上存在点P ，使P 到直线1x c=的距离是1PF 与2PF 的等差中项，则b 的最大值为 ．11. 已知定点(1,1)A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP '=，O 是坐标原点，则PQ 的取值范围是 ．12. 已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =___．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 设a b 、分别是两条异面直线12l l 、的方向向量，向量a b 、的夹角的取值范围为A ，12l l 、所成的角的取值范围为B ，则“A α∈”是“B α∈”的 ( )(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 14. 将函数sin 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位，得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则( )(A) 12t =，s 的最小值为6π(B) t =，s 的最小值为6π(C) 12t =，s 的最小值为12π (D) 2t =，s 的最小值为12π15. 某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如下图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则 ( )(A) ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） (B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） (C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） (D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）16. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题： （1）若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； （2）若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数； （3）若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数； （4）若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点．其中正确的命题共有 ( ) (A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AC AB ⊥，2==AC AB ，41=AA , M 是侧棱1CC 上一点，设h MC =．（1）若C A BM 1⊥，求h 的值；（2）若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．18. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设函数()2xf x =，函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称． （1）若()4()3f x g x =+，求x 的值；（2）若存在[]0,4x ∈，使不等式(+)(2)3f a x g x --≥成立，求实数a 的取值范围．BMBA B CPQ D19. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中120=∠PAQ ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB 和AC的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？20. (本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)设直线l 与抛物线24y x =相交于不同两点A B 、，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．(1) 若AOB △是正三角形（O 为坐标原点），求此三角形的边长；(2) 若4r =，求直线l 的方程；(3) 试对()0,r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（只需直接写出结果）．21. (本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分)已知()y f x =是R 上的奇函数，(1)1f -=-，且对任意(),0x ∈-∞，()11x f x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭都成立． (1) 求12f ⎛⎫-⎪⎝⎭、13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2) 设1()n a f n n*=∈N ，求数列{}n a 的递推公式和通项公式；(3) 记121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++，求1limn n nT T +→∞的值．闵行区2016学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．4x =； 2．{1,0}-； 3．1； 4．10x y +-=； 5．16； 6．； 7．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 8．9； 9．29； 10．2； 11．； 12．1009；二. 选择题 13．C ； 14．A ； 15．B ； 16．B ． 三. 解答题17．[解]（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则)0,0,2(B ,)4,0,0(1A ，)0,2,0(C ，),2,0(h M ……………………2分),2,2(h -=，)4,2,0(1-=C A ……………………4分由C A BM 1⊥得01=⋅C A BM ，即0422=-⨯h解得1=h ． ……………………6分 (2) 解法一：此时(0,2,2)M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-……………8分设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =由00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x y z =⎧⎨+=⎩所以(0,1,1)n =- ……………………10分 设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ则11sin 52n BA n BA θ⋅===⋅ ……………12分 所以arc θ= 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为arc ………………14分 解法二：联结1A M ，则1AM AM ⊥， 1,AB AC AB AA ⊥⊥，AB∴⊥平面11AAC C …………………8分 1AB A M ∴⊥1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； ……………………10分 在1A BM Rt △中，11A M A B ==所以111sin 5A M A BM AB ∠===……………………12分所以1arcsin5A BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM所成的角为arc ………………14分 18．[解]（1）由()4()3f x g x =+得2423xx-=⋅+ ……………………2分223240x x ⇒-⋅-=所以21x =-（舍）或24x =， ……………………4分 所以2x = ……………………6分 （2）由()(2)3f a x g x +--≥得2223a xx +-≥ ……………………8分2223a x x +≥+2232a x x -⇒≥+⋅ ……………………10分而232xx-+⋅≥，当且仅当[]4232,log 30,4x x x -=⋅=∈即时取等号…12分所以2a ≥211log 32a ≥+．………………………………14分 19．[解]（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=， 即23000x y +=， ………………………………2分1sin1202ABC S x y ∆=⋅⋅y x ⋅⋅=43 …………………………4分 y x ⋅⋅=28322283⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤y x=2m 当且仅当y x =2，即750,1500x y ==时等号成立，所以当ABC △的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米……6分 （2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m ==． 由2133AD AB AC =+ …………………………8分 得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22919494AC AC AB AB +⋅+= …………………………10分 2244117507501500()15009929=⨯+⨯⨯⨯-+⨯250000= ||500AD ∴=， …………………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 解法二：在ABC ∆中， 120cos 222AC AB AC AB BC ⋅-+==7750= ………8分在ABD ∆中，ACAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222775075021500)7750(750222⨯⨯-+=772= …………………………10分 在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 222⋅-+=772)7250(7502)7250(75022⋅⨯⨯-+==500 …………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,750(B)120sin 1500,120cos 1500( C ,即)3750,750(-C ，设),(00y x D ………8分由2CD DB =，求得⎪⎩⎪⎨⎧==325025000y x ，所以(D …………10分所以，22)03250()0250(||-+-=AD 500=……………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分20．[解] (1)设AOB △的边长为a ，则A的坐标为1,)2a ±………2分所以214,2a ⎛⎫±= ⎪⎝⎭所以a =此三角形的边长为 ……………………………4分 (2)设直线:l x ky b =+当0k =时，1,9x x ==符合题意 ……………………………6分当0k ≠时，224404x ky by ky b y x =+⎧⇒--=⎨=⎩…………………8分222121216()0,4,42(2,2)k b y y k x x k b M k b k ∆=+>+=+=+⇒+11,AB CM AB k k k k⋅=-= 2223225CM k k k b k k b ∴==-⇒=-+- 22216()16(3)003k b k k ∴∆=+=->⇒<<4r ===()230,3k ∴=∉，舍去综上所述，直线l 的方程为：1,9x x == ……………………………10分 (3)(][)0,24,5r ∈时，共2条；……………………………12分()2,4r ∈时，共4条； ……………………………14分[)5,r ∈+∞时，共1条． ……………………………16分21．[解]（1）对等式()11x f x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭， 令11(1)12x f f ⎛⎫=-⇒-=-=-⎪⎝⎭所以112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ……………………………2分 令1111222233x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以1132f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭……………………………4分 （2）取1x n =-，可得111()()1f f n n n =--+，………………6分 即111()()1f f n n n=+，所以11()n n a a n n *+=∈N1(1)(1)1,a f f ==--=所以数列{}n a 的递推公式为1111,()n n a a a n n*+==∈N ……………………………8分 故()13212211111111221!n n n n n a a a a a a a a a a n n n ---⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=--- ………………10分 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)!n a n =-． …………………12分（3）由（2）1(1)!n a n =-代入121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++得111110!(1)!1!(2)!2!(3)!3!(3)!(1)!0!n T n n n n n =+++++⋅-⋅-⋅-⋅--⋅……14分1(1)!(1)!(1)!(1)!11(1)!1!(2)!2!(3)!3!(3)!(2)!1!n n n n n T n n n n n ⎡⎤----⇒=++++++⎢⎥-⋅-⋅-⋅--⋅⎣⎦101232111111112(1)!(1)!n n n n n n n n n n T C C C C CCn n ---------⎡⎤⇒=++++++=⎣⎦--……16分12!nn T n +⇒=则12limlim 0n n n nT T n +→∞→∞== ……………………………18分。
2016年上海市闵行区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2016年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则|z|＝．2．（4分）若全集U＝R，函数的值域为集合A，则∁U A＝．3．（4分）方程4x﹣2x﹣6＝0的解为．4．（4分）函数的最小正周期t＝．5．（4分）不等式＞|x|的解集为．6．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于．7．（4分）已知△ABC中，，，其中是基本单位向量，则△ABC的面积为．8．（4分）在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有种．9．（4分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，且，则＝．10．（4分）若函数f（x）＝2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．11．（4分）若点P、Q均在椭圆（a＞1）上运动，F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，则的最大值为．12．（4分）已知函数，若实数a、b、c互不相等，且满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围是．13．（4分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为．14．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n，对任意n∈N*，S n＝（﹣1）n a n++n ﹣3且（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则“a＝b”是“等号成立”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）设f（x）＝2+5x+10x2+10x3+5x4+x5，则其反函数的解析式为（）A．B．C．D．17．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则角A的范围是（）A．B．C．D．18．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣1，2]，图象如图2所示．A＝{x|f（g（x））＝0}，B＝{x|g（f（x））＝0}，则A∩B中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1＝AB＝2，BC＝1，，D为棱AA1中点，证明异面直线B1C1与CD所成角为，并求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．20．（14分）如图，点A、B分别是角α、β的终边与单位圆的交点，．（1）若，，求sin2β的值；（2）证明：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．21．（14分）某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．22．（16分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线E：y2＝4x的焦点重合．（1）求椭圆Γ的方程；（2）斜率为k的直线l过点F（1，0），且与抛物线E交于A、B两点，设点P （﹣1，k），△P AB的面积为，求k的值；（3）若直线l过点M（0，m）（m≠0），且与椭圆Γ交于C、D两点，点C关于y轴的对称点为Q，直线QD的纵截距为n，证明：mn为定值．23．（18分）已知数列{a n}的各项均为整数，其前n项和为S n．规定：若数列{a n}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{a n}为“r关联数列”．（1）若数列{a n}为“6关联数列”，求数列{a n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出S n，并证明：对任意n∈N*，a n S n≥a6S6；（3）已知数列{a n}为“r关联数列”，且a1＝﹣10，是否存在正整数k，m（m＞k），使得a1+a2+…+a k﹣1+a k＝a1+a2+…+a m﹣1+a m？若存在，求出所有的k，m 值；若不存在，请说明理由．2016年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）若复数z满足（i为虚数单位），则|z|＝2．【解答】解：∵，∴﹣z＝i+1，∴z＝﹣1﹣i，∴|z|＝＝2，故答案为：2．2．（4分）若全集U＝R，函数的值域为集合A，则∁U A＝（﹣∞，0）．【解答】解：函数y＝x≥0，得到A＝[0，+∞），∵全集U＝R，∴∁U A＝（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）3．（4分）方程4x﹣2x﹣6＝0的解为x＝log23．【解答】解：由4x﹣2x﹣6＝0，得（2x）2﹣2x﹣6＝0，解得2x＝3，或2x＝﹣2（舍去），∴x＝log23．故答案为：x＝log23．4．（4分）函数的最小正周期t＝π．【解答】解：函数＝cos（π﹣x）cos x﹣sin（π+x）sin x＝﹣cos2x+sin2x＝﹣cos2x，∴函数的最小正周期t＝＝π．故答案为：π．5．（4分）不等式＞|x|的解集为（0，2）．【解答】解：当x＜0时，＞﹣x，即＞0，显然x＜0时不成立．当x＞0时，＜0，解得0＜x＜2，所以不等式的解集为（0，2），故答案为：（0，2）．6．（4分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于15π．【解答】解：设圆锥的高为h，底面半径为r，∵圆锥的底面半径为3，体积是12π，∴，即h＝4，∴圆锥的母线长l＝，∴圆锥的侧面积S＝πrl＝3×5π＝15π，故答案为：15π．7．（4分）已知△ABC中，，，其中是基本单位向量，则△ABC的面积为．【解答】解：根据题意，得：＝（4，3），＝（﹣3，4），∴＝﹣＝（﹣7，1），∴2＝42+32＝25，2＝（﹣3）2+42＝25，2＝（﹣7）2+12＝50；∴||2＝||2+||2，△ABC是直角三角形，它的面积为S＝×5×5＝．故答案为：．8．（4分）在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有10种．【解答】①在生物、政治、历史三门选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有：＝9种选法；②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有＝1种选法；共有选法：9+1＝10种．9．（4分）若S n是等差数列{a n}的前n项和，且，则＝5．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，即有S n＝na1+n（n﹣1）d，即＝a1+d（n﹣1），由，可得a1+d＝a1+d+10，解得d＝10，则＝＝5+，即有＝（5+）＝5+＝5+0＝5．故答案为：5．10．（4分）若函数f（x）＝2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1．【解答】解：因为f（1+x）＝f（1﹣x），所以，f（x）的图象关于直线x＝1轴对称，而f（x）＝2|x﹣a|，所以f（x）的图象关于直线x＝a轴对称，因此，a＝1，f（x）＝2|x﹣1|，且该函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，又因为函数f（x）在[m，+∞）上单调递增，所以，m≥1，即实数m的最小值为1．故答案为：1．11．（4分）若点P、Q均在椭圆（a＞1）上运动，F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，则的最大值为2a．【解答】解：∵＝2，∴＝＝2≤2a，∴的最大值为2a，故答案为：2a．12．（4分）已知函数，若实数a、b、c互不相等，且满足f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c的取值范围是（8，23）．【解答】解：作出f（x）的函数图象，如图：令log（x﹣3）+1＝1，解得x＝4．令log（x﹣3）+1＝﹣1，解得x＝19．设a＜b＜c，则a+b＝4，4＜c＜19．∴8＜a+b+c＜23．故答案为（8，23）．13．（4分）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，若令，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为．【解答】解：第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，故答案为：14．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n，对任意n∈N*，S n＝（﹣1）n a n++n（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．﹣3且（a n+1﹣p）【解答】解：由，得；当n≥2时，a n＝S n﹣S n＝﹣1＝．若n为偶数，则，∴（n为正奇数）；若n为奇数，则＝＝，∴（n为正偶数）．函数（n为正奇数）为减函数，最大值为，函数（n为正偶数）为增函数，最小值为．若（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则a1＜p＜a2，即．故答案为：．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）若a，b∈R，且ab＞0，则“a＝b”是“等号成立”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵ab＞0，∴＞0，当a＝b，则+＝1+1＝2，此时等号成立，+≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故“a＝b”是“等号成立”的充要条件，故选：A．16．（5分）设f（x）＝2+5x+10x2+10x3+5x4+x5，则其反函数的解析式为（）A．B．C．D．【解答】解：因为y＝f（x）＝2+5x+10x2+10x3+5x4+x5＝1+[1+5x+10x2+10x3+5x4+x5]＝1+（1+x）5，即y＝1+（1+x）5，所以，1+x＝，因此，x＝﹣1+，再交换x，y得，y＝﹣1+，所以，f（x）的反函数的解析式为f﹣1（x）＝﹣1+，x∈R，故选：C．17．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则角A的范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，又∵由于三角形两边之和大于第三边，可得a+c﹣b＞0，a+b﹣c＞0，且b，c＞0，∴（a﹣b+c）（a+b﹣c）≤bc，整理可得：b2+c2﹣a2≥bc，∴cos A＝≥＝，∵A∈（0，）．故选：B．18．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣1，2]，图象如图2所示．A＝{x|f（g（x））＝0}，B＝{x|g（f（x））＝0}，则A∩B中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由图象可知，若f（g（x））＝0，则g（x）＝0或g（x）＝1，由图2知，g（x）＝0时，x＝0，或x＝2，g（x）＝1时，x＝1或x＝﹣1故A＝{﹣1，0，1，2}，若g（f（x））＝0，由图1知，f（x）＝0，或f（x）＝2（舍去），当f（x）＝0时，x＝﹣1或0或1，故B＝{﹣1，0，1}，所以A∩B＝{﹣1，0，1}，则A∩B中元素的个数为3个．故选：C．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1＝AB＝2，BC＝1，，D为棱AA1中点，证明异面直线B1C1与CD所成角为，并求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【解答】证明：在△ABC中，由正弦定理得，即，∴sin∠ACB＝1，即，∴BC⊥AC．∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥AA1，又AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，∴BC⊥平面平面ACC1A1，CD⊂平面ACC1A1，∴BC⊥CD，∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥CD，∴异面直线B1C1与CD所成角为．∵AB＝2，BC＝1，∠ACB＝，∴AC＝．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V＝S△ABC•AA1＝＝．20．（14分）如图，点A、B分别是角α、β的终边与单位圆的交点，．（1）若，，求sin2β的值；（2）证明：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．【解答】解：（1）由，可得cos（2α﹣2β）＝2cos2（α﹣β）﹣1＝﹣，∵，∴cos（﹣2β）＝﹣，∴sin2β＝．（2）由题意可得，||＝||＝1，且与的夹角为α﹣β，＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），＝cosαcosβ+sinαsinβ＝1×1×cos（α﹣β），∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ成立．21．（14分）某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．【解答】解：（1）由题意得M（1，8），则a＝8，故曲线段MPN的函数关系式为，（4分）又得，所以定义域为[1，10]．…（6分）（2），设由得kpx2+（8﹣kp2）x﹣8p＝0，△＝（8﹣kp2）2+32kp2＝（kp2+8）2＝0，…（8分）∴kp2+8＝0，∴，得直线AB方程为，…（10分）得，故点P为AB线段的中点，由即p2﹣8＞0…（12分）得时，OA＜OB，所以，当时，经点A至P路程最近．（14分）22．（16分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线E：y2＝4x的焦点重合．（1）求椭圆Γ的方程；（2）斜率为k的直线l过点F（1，0），且与抛物线E交于A、B两点，设点P （﹣1，k），△P AB的面积为，求k的值；（3）若直线l过点M（0，m）（m≠0），且与椭圆Γ交于C、D两点，点C关于y轴的对称点为Q，直线QD的纵截距为n，证明：mn为定值．【解答】解：（1）设椭圆的方程为，由题设得，∴，∴椭圆Γ的方程是．（2）设直线l：y＝k（x﹣1），由，得k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，l与抛物线E有两个交点，k≠0，△＝16（k2+1）＞0，则，P（﹣1，k）到l的距离，又，∴，∴4k2＝3k2+3，故．（3）∵C（x1，y1），D（x2，y2），点C关于y轴的对称点为Q（﹣x1，y1），则直线，设x＝0得直线，设x＝0得，∴，又，，∴，，∴．23．（18分）已知数列{a n}的各项均为整数，其前n项和为S n．规定：若数列{a n}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{a n}为“r关联数列”．（1）若数列{a n}为“6关联数列”，求数列{a n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出S n，并证明：对任意n∈N*，a n S n≥a6S6；（3）已知数列{a n}为“r关联数列”，且a1＝﹣10，是否存在正整数k，m（m＞k），使得a1+a2+…+a k﹣1+a k＝a1+a2+…+a m﹣1+a m？若存在，求出所有的k，m 值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵数列{a n}为“6关联数列”，∴{a n}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，∴a6＝a1+5，a5＝a1+4，且，即，解得a1＝﹣3…（2分）∴（或）．…（4分）（2）由（1）得（或）…（6分），{S n}：﹣3，﹣5，﹣6，﹣6，﹣5，﹣3，1，9，25，…{a n S n}：9，10，6，0，﹣5，﹣6，4，72，400，…，可见数列{a n S n}的最小项为a6S6＝﹣6，证明：，列举法知当n≤5时，（a n S n）min＝a5S5＝﹣5；…（8分）当n≥6时，，设t＝2n﹣5，则．…（10分）（3）数列{a n}为“r关联数列”，且a1＝﹣10，∵∴…（12分）①当k＜m≤12时，由得（k+m）（k﹣m）＝21（k﹣m）k+m＝21，k，m≤12，m＞k，∴或．②当m＞k＞12时，由2k﹣11﹣56＝2m﹣11﹣56得m＝k，不存在…（14分）③当k≤12，m＞12时，由，2m﹣10＝k2﹣21k+112当k＝1时，2m﹣10＝92，m∉N*；当k＝2时，2m﹣10＝74，m∉N*；当k＝3时，2m﹣10＝58，m∉N*；当k＝4时，2m﹣10＝44，m∉N*；当k＝5时，2m﹣10＝25，m＝15∈N*；当k＝6时，2m﹣10＝22，m∉N*；当k＝7时，2m﹣10＝14，m∉N*；当k＝8时，2m﹣10＝23，m＝13∈N*；当k＝9时，2m﹣10＝22，m＝12舍去；当k＝10时，2m﹣10＝2，m＝11舍去当k＝11时，2m﹣10＝2，m＝11舍去；当k＝12时，2m﹣10＝22，m＝12舍去…（16分）综上所述，∴存在或或或．…（18分）。
上海市七校联考高考数学一模试卷（理科）含答案解析
上海市2016年七校联考高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．方程4x=2x+1﹣1的解是．2．增广矩阵对应方程组的系数行列式中，元素3的代数余子式的值为．3．在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是．（用数字作答）4．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．5．若，则它的反函数是f﹣1（x）=．6．设抛物线x2=py的焦点与双曲线的上焦点重合，则p的值为．7．已知数列，则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=．8．已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为．9．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=．10．曲线y=Asin2ωx+k（A＞0，k＞0）在区间上截直线y=4与y=﹣2所得的弦长相等且不为0，则A+k的取值范围是．11．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为．12．设ξ为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱异面时，ξ=1；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离，则数学期望Eξ=．13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．14．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A，P两点间的球面距离为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（）A．B．C．D．17．数列{a n}满足，，则的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．318．在直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作同一组），函数g（x）=，关于原点的中心对称点的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．20．设在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F依次为C1C，BC的中点．（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点B1到平面AEF的距离．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．23．设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）计算a1，a2，a3，并归纳出数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n}，求b5+b100的值；（3）设A n为数列的前n项积，若不等式A n＜f（a）﹣对一切n ∈N*都成立，求a的取值范围．2016年上海市七校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．方程4x=2x+1﹣1的解是x=0．【分析】由已知得（2x）2﹣2×2x+1=0，由此能求出原方程的解．【解答】解：∵4x=2x+1﹣1，∴（2x）2﹣2×2x+1=0，解得2x=1，∴x=0．故答案为：x=0．【点评】本题考查方程的解的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质的合理运用．2．增广矩阵对应方程组的系数行列式中，元素3的代数余子式的值为5．【分析】根据余子式的定义可知，M21=﹣，计算即可得解．【解答】解：由题意得：M21=﹣=5，故答案为：5．【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行行列式的运算，是一道基础题．3．在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是15．（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2，即可求解含x3的项的系数【解答】解：（1+）6展开式的通项为T r+1=C6r（）r=C6r，令r=4得含x2的项的系数是C64=15，∴在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是：15．故答案为：15【点评】本题考查二项展开式上通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．4．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．【分析】由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（ m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根．根据韦达定理便可分别求出m和a的值．【解答】解：由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（ m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根由韦达定理得：，解得：m=，a=1．【点评】本题考查一元二次不等式的解法．5．若，则它的反函数是f﹣1（x）=．【分析】由y=（x≤0），解得：x=﹣，把x与y互换即可得出．【解答】解：由y=（x≤0），解得：x=﹣，把x与y互换可得：y=﹣．故答案为：．【点评】本题考查了反函数的求法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．设抛物线x2=py的焦点与双曲线的上焦点重合，则p的值为8．【分析】利用双曲线和抛物线的简单性质直接求解．【解答】解：∵双曲线，∴c==2，∴双曲线的两个焦点坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），∵抛物线x2=py的焦点F（，0）与双曲线的上焦点重合，∴==2，∴p=8．故答案为：8．【点评】本题考查抛物线中参数的求法，是基础题，解题时要注意双曲线和抛物线的简单性质的合理运用．7．已知数列，则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=5000．【分析】由已知条件可得数列的奇数项是以0为首项，以2为公差的等差数列、偶数项以2为首项，2为公差的等差数列，分别代入等差数列的前n项和公式计算．【解答】解：a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）=（0+2+4+...+98）+（2+4+ (100)=49×50+51×50=5000故答案为5000．【点评】本题主要考查等差数列的求和公式，分组求和的方法，考查学生的运算能力．8．已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为{x|0≤x ≤1，或x=2} ．【分析】结合函数的图象可得，若f[f（x）]=2，则f（x）=2 或 0≤f（x）≤1．若f（x）=2，由函数f（x）的图象求得x得范围；若 0≤f（x）≤1，则由f（x）的图象可得x的范围，再把这2个x的范围取并集，即得所求．【解答】解：画出函数f（x）=的图象，如图所示：故函数的值域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．由f[f（x）]=2 可得 f（x）=2 或 0≤f（x）≤1．若f（x）=2，由函数f（x）的图象可得 0≤x≤1，或 x=2．若 0≤f（x）≤1，则由f（x）的图象可得x∈∅．综上可得，使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为{x|0≤x≤1，或x=2}，故答案为{x|0≤x≤1，或x=2}．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合与分类讨论的数学思想，属于中档题．9．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=4．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．当n=2时，当n=3时，，此时n+1=4．故答案为：4【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．曲线y=Asin2ωx+k（A＞0，k＞0）在区间上截直线y=4与y=﹣2所得的弦长相等且不为0，则A+k的取值范围是（4，+∞）．【分析】根据曲线的方程可求得函数的周期，进而根据被直线y=4和y=﹣2所截的弦长相等且不为0，推断出k==1，A＞=3．答案可得．【解答】解：曲线y=Asin（2ωx+ϕ）+k（A＞0，k＞0）的周期为T==，被直线y=4和y=﹣2所截的弦长相等且不为0，结合图形可得k==1，A＞=3．则A+k＞4，故答案为：（4，+∞）．【点评】本题主要考查了三角函数图象和性质，对y=Asin（ωx+ϕ）+B（A＞0，ω＞0），周期为T=，平衡位置为y=B，y max=A+B，y min=﹣A+B，属于中档题．11．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为18+12．【分析】求出外接圆圆心，建立平面直角坐标系，将表示成θ的三角函数，求出最．大值【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴三角形的外接圆半径为2，以外接圆圆心O为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），B（﹣，3）．设M（2cosθ，2sinθ），则，．∴=﹣18cosθ+6sinθ+18=12sin（θ﹣）+18．∴的最大值是18+12．故答案为18+12．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量积运算，数形结合的解题思想，属于中档题．12．设ξ为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱异面时，ξ=1；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离，则数学期望Eξ=．【分析】从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，共有种方法，若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，共有8对相交棱，两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，由此能求出数学期望Eξ．【解答】解：若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有8对相交棱，∴P（ξ=0）==，若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，∴P（ξ=）==，P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=，∴随机变量ξ的数学期望E（ξ）=1×+×=．故答案为：．【点评】本题考查数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间几何体的性质的合理运用．13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．【分析】根据条件确定a n+1﹣a n=nπ，利用叠加可求得{a n}的通项公式．【解答】解：∵a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（x﹣a1）|=|sinx|，x∈[0，a2]，又∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a2=π∴f1（x）=sinx，x∈[0，π]，a2=π又f2（x）=|sin（x﹣a2）|=|sin（x﹣π）|=|cos|，x∈[π，a3]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a3=3π…（5分）又f3（x）=|sin（x﹣a3）|=|sin（x﹣3π）|=|sinπ|，x∈[3π，a4]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a4=6π…（6分）由此可得a n+1﹣a n=nπ，∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n）=0+π+…+（n﹣1）π=﹣1∴故答案为：【点评】本题考查数列与三角函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，具有一定的综合性，属于中档题．14．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A，P两点间的球面距离为．【分析】由题意求出AP的距离，然后求出∠AOP，即可求解A、P两点间的球面距离．【解答】解：半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，所以CD⊥平面AOB，因为∠BOP=60°，所以△OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=R，E为BO的中点，AE==R，AP==R，AP2=OP2+OA2﹣2OPOAcos∠AOP，∴（R）2=R2+R2﹣2RRcos∠AOP，∴cos∠AOP=，∠AOP=arccos，∴A、P两点间的球面距离为．故答案为：．【点评】本题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】分别求出不等式成立的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当b=﹣1，a=1时，满足，但不成立．若，则，∴，∴成立．∴“”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．16．已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性排除不满足题意的选项，根据函数的表达式确定函数的最值与周期的关系，推出正确结果．【解答】解：函数f（x）=acosax，因为函数f（﹣x）=acos（﹣ax）=acosax=f（x），所以函数是偶函数，所以A、D错误；结合选项B、C，可知函数的周期为：π，所以a=2，所以B不正确，C正确．故选C【点评】本题是基础题，考查视图能力，发现问题解决问题的能力，排除方法的应用，函数的周期与最值的关系是解题的关键，好题．17．数列{a n}满足，，则的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由题意可知，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）从而得到，通过累加得：m=+…+=﹣=2﹣，a n+1﹣a n=≥0，a n+1≥a n，可得：a2017≥a2016≥a3≥2，，1＜m＜2，故可求得m的整数部分．【解答】解：由题意可知，a n+1﹣1=a n（a n﹣1），，∴m=+…+=﹣═2﹣，a n+1﹣a n=≥0，a n+1≥a n，∴a2017≥a2016≥a3≥2，，1＜m＜2，故可求得m的整数部分1．故答案选：B．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用数列的递推式．18．在直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作同一组），函数g（x）=，关于原点的中心对称点的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用定义，只要求出g（x）=sin，x≤0，关于原点对称的函数h（x）=sin，x＞0，观察h（x）与g（x）=log2（x+1），x＞0的交点个数，即为中心对称点的组数．【解答】解：由题意可知g（x）=sin，x≤0，则函数g（x）=sin，x≤0，关于原点对称的函数为h（x）=sin，x＞0，则坐标系中分别作出函数h（x）=sin，x＞0，g（x）=log2（x+1），x＞0的图象如图，由图象可知，两个图象的交点个数有1个，所以函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为1组．故选：B【点评】本题主要考查函数的交点问题，利用定义先求出函数关于原点对称的函数，是解决本题的关键．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．【分析】（1）利用同角三角函数关系求得cosα的值，分别代入函数解析式即可求得f （α）的值．（2）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间．【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，=×（+）﹣=．（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．20．设在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F依次为C1C，BC的中点．（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点B1到平面AEF的距离．【分析】（1）连接C1B，因为C1B∥EF，异面直线A1B、EF所成角与C1B、A1B所成角相等．（2）利用平面AEF的一个法向量，建立空间坐标系，求出求点B1到平面AEF的距离．【解答】解：以A为原点建立如图空间坐标系，则各点坐标为A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0）（2分）（1），，∴（6分）（2）设平面AEF的一个法向量为，∵，由得令a=1可得（10分）∵，∴（13分）∴点B1到平面AEF的距离为．（14分）【点评】此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．【分析】（1）由题意可得a=2b，b=1，解得a=2，进而得到椭圆方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l的方程和椭圆方程，运用韦达定理，可得Q的坐标，由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即有，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意知，a=2b，b=1，解得a=2，可得椭圆的标准方程为：；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立，消去y，得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，（*）依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），此点为椭圆的左顶点，所以x1=﹣2，y1=0 ①，由（*）式，②，得y1+y2=k（x1+x2）+4k③，由①②③，可得，由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即．．即，整理得20k2﹣4k﹣3＜0，解得．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查实数的取值范围，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查点在圆内的条件：点与直径的端点的张角为钝角或平角，运用数量积小于0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．【分析】（1）将a=代入，结合正比例函数和反比例函数的图象和性质，可得函数的单调区间；（2）利用导数法，分类讨论，不同情况下y=f（x）的单调性，进而求出满足条件的实数a，t的范围；（3）韦达定理可得x1，x2，x3，x4两两互为倒数，结合等比数列的性质，结合韦达定理，可用a表示t．【解答】解：（1）当a=时，函数f（x）=（x+）﹣|x﹣|=．故y=f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞）；（2）f（x）=a（x+）﹣|x﹣|=，f′（x）=，当a≤1时，y=f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞），不合题意．当a＞1时，f（x）在（0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，在[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，又由f（）=f（）=，f（1）=2a，∴方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4时，a，t应满足的条件为：＜t＜2a，a＞1；（3）f（x）=t即，或，即（a+1）x2﹣tx+a﹣1=0，或（a﹣1）x2﹣tx+a+1=0，由韦达定理可得两方程的根分别互为倒数，设四个解从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x2x3=1，x1x4=1，∴x1x2x3x4=1，若x1，x2，x3，x4成等比数列，则x1=x23，∴x1x2=x24=，x1+x2=，∴x2=，∴+（）3=，解得：t=+（a＞1）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，根的存在性及判断，函数的单调性，与函数的极值，数列的性质，综合性强，转化困难，属于难题．23．设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）计算a1，a2，a3，并归纳出数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n}，求b5+b100的值；（3）设A n为数列的前n项积，若不等式A n＜f（a）﹣对一切n ∈N*都成立，求a的取值范围．【分析】（1）由已知可得，即．分别令n=1，n=2，n=3，代入可求a1，a2，a3，进而猜想a n（2）由a n=2n可得数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数，所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列，公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．代入可求（3）因为，，若成立设，则只需即可利用g（n）的单调性可求其最大值，从而可求a的范围【解答】解：（1）因为点在函数的图象上，故，所以．令n=1，得，所以a1=2；令n=2，得，所以a2=4；令n=3，得，所以a3=6．由此猜想：a n=2n．（2）因为a n=2n（n∈N*），所以数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故 b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以 b100=68+24×80=1988．又b5=22，所以b5+b100=2010（3）因为，故，所以．又，故对一切n∈N*都成立，就是对一切n∈N*都成立．设，则只需即可．由于=，所以g（n+1）＜g（n），故g（n）是单调递减，于是．令，即，解得，或．综上所述，使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a的取值范围是．【点评】本题综合考查了利用函数的解析式求解数列的递推公式进而求解数列的项，等差数列的求和公式的应用，及利用数列的单调性求解数列的最大（小）项问题的求解，属于函数与数列知识的综合应用的考查。
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10
5
的近似分数
为 . 22 7
14 ．已知数列
an 的前 n 项和为 Sn ，对任意 n
N * ， Sn
( 1)n an
1 2n
n 3且
(an 1 p)(an p) 0 恒成立，则实数 p 的取值范围是
3 11 .,
44
二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题只有一个正确答案 .考生应在答
S6 6
10 ，则
lim
n
Sn
2
n
.
10．若函数 f ( x) 2 x a ( a R ) 满足 f (1 x) f (1 x) ，且 f (x) 在 [ m,
5
) 上单调
递增，则实数 m 的最小值等于
.
1
x2
y2
11．若点 P 、 Q 均在椭圆 : a 2 a2 1 1 (a 1) 上运动， F1、F2 是椭圆
题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得
5 分，否则一律得零分．
15．若 a,b R ，且 ab 0 ，则“ a b ”是“ b a 2 等号成立”的（ A ）. ab
(A) 充要条件
(B) 充分不必要条件
(C) 必要不充分条件
(D) 既非充分又非必要条件
16．设 f ( x) 2 5x 10x2 10 x3 5x4 x5 ，则其反函数的解析式为（
25
△ ABC 的面积为
.
2
8．在 2017 年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、
历史、地理 6 门学科中选择 3 门学科参加等级考试 . 小明同学决定在生物、政治、历史
三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有
种 .10
9．若 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，且 S8 8
线段 MPN 是函数 y a 图像的一段， 点 M 到 l1 、l2 的距离分别为 8 千米和 1千米，点 N x
到 l 2 的距离为 10 千米，以 l1 、 l 2分别为 x、 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系 xOy ，
设点 P 的横坐标为 p . （ 1）求曲线段 MPN 的函数关系式，并指出其定义域； （ 2）若某人从点 O 沿公路至点 P 观景，要使得沿折线 OAP 比沿折线 OBP 的路程更近，求 p 的取值范围 .
的对称点为 Q ，直线 QD 的纵截距为 n ，证明： mn 为定值 .
x2 [ 解] （ 1）设椭圆的方程为 a 2
y2 b2
1 a b 0 ，由题设得
19
a2
4b2
1
，， 2 分
a2 b2 1
a2
4
，
椭圆
的方程是 x 2
b2 3
4
y2 1
3
,,,,,,,,,,
4分
（ 2）设直线 l : y
k(x
C B
BC // B1C1 ，
角， ,,,,,,,,,,
BCD 或 它 的 补 角 即 为 异 面 直 线 B1C1 与 CD 所 成
2分
由 AB 2 ， BC 1 , BAC 以及正弦定理得 sin ACB ， ACB 即
BC AC ， ,,,,
4分
又 BC AA1 ， BC 面ACC1 A1 ， ,,,,
4 3,
1 4(k 2 1) 2 k2
4k 2 3k 2 3 ，故 k
3．
,,,,,,,,,
3k k2 1
6分
43
10 分
（ 3） C x1, y1 , D x2 , y2 ，点 C 关于 y 轴的对称点为 Q( x1, y1) ，
则直线 CD : y y1
y2 y1 (x x1) ，设 x 0 得 m y1 x1( y2 y1)
像如图 2 所示. A x f ( g(x)) 0 , B x g( f ( x)) 0 ,则 A B 中元素的个数为（ C ）.
(A) 1
(B) 2 y 1
(C) 3
(D) 4
y
1
-1 O
1
x
-1
图1
-1 O
1
2x
2 图2
三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编 号的规定区域内写出必要的步骤．
C ）.
(A) y 1 5 x 1
(B) y 1 5 x 1
(C) y 1 5 x 1
(D) y 1 5 x 1
17．△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，满足 a b c b
范围是（ B ）.
c ，则角 A 的 abc
(A) 0,
(B) 0,
(C) ,
(D) ,
18．函数 f (x) 的定义域为 1,1 ，图像如图 1 所示；函数 g( x) 的定义域为 1,2 ，图
x2 x1
x2 x1
x2 y1 x1y 2 x2 x1
直线 QD : y y1
y2 y1 (x x2 x1
mn
x22 y12 x22
x12 y22 ，又 x12
x12
4
x1) ，设 x 0 得 n
y1 x1( y2 y1) x2 x1
x2 y1 x2
y12 1 ，x22
y22 1
y12
3 (4
x12 ) ，y22
3
43
4
x1 y2 14 分 x1
3 (4
x22 )
4
mn
x22 y12 x22
x12 y22 x12
x22
3 (4
4
x12 ) x22
x12
3 (4
4
x12
x22 )
3 ．,,,,,,,,,
16 分
23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 (1)小题满分 4 分，第 (2) 小题满分 6 分， 第 (3) 小题满分 8 分．
由 2 p 16
p2 2
8
0即 p2
8
0
p
p
,,,,,,,,,,
12 分
得 p 2 2 时， OA OB ，所以，当 2 2 p 10 时，经点 A 至 P 路程最近 . 14 分
22．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题， 第 (1)小题满分 4 分，第 (2) (3)小题满分各 6 分．
已知椭圆
已知数列 an 的各项均为整数，其前 n 项和为 Sn ．规定：若数列 an 满足前 r 项 依次成公差为 1的等差数列，从第 r 1 项起往后依次成公比为 2 的等比数列，则称数列
an 为“ r 关联数列”．
（ 1）若数列 an 为“ 6 关联数列”，求数列 an 的通项公式； （ 2）在（ 1）的条件下，求出 Sn ，并证明：对任意 n N * ， anSn a6 S6 ；
上海市闵行区 2015-2016 学年第一学期高三一模
数 学 分，时间 120 分钟）
1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚． 2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿
纸、试题卷上答题无效．
（ 3 ）已知数列 an 为“ r 关联数列”，且 a1 10 ，是否存在正整数 k, m( m k ) ，
使得 a1 a2
ak 1 ak a1 a2
不存在，请说明理由．
[ 解] （ 1） an 为“ 6 关联数列”，
法 , 其理论依据是： 设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为
b 和 d（ a,b, c,d N * ）, ac
bd
则
是 x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值
ac
. 我们知道
3.14159 ，若令
31
49
16
，则第一次用“调日法”后得
是 的更为精确的过剩近似值，即
10
15
5
31
16
，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得
2
（ 1）若
3 =
， cos
2 ，求 sin 2 的值；
y
4
3
A
（ 2）证明： cos(
) cos cos sin sin ．
O
2
[ 解] （ 1）方法一 : cos
，
3
cos(2 2 ) 2 cos2 (
1
) 1=
, 3分
9
3 =
3 ，即 cos(
2)
1，
4
2
9
,,,,,,,,,,,,
． B x
6分
6分
BC CD ,,,,,,
8分
所以异面直线
B1C1与 CD 所成角的为
．,,,,,,,,
2
三棱柱 ABC A1B1C1的体积为 V
S△ ABC AA1
1 2
312
10 分
3 ． ,,,,
12 分
20.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第（1）小题满分 8 分，第（2）小题满分 6 分．
如图，点 A 、 B 分别是角 、 的终边与单位圆的交点， 0
3
1
sin 2
．
9
,,,,,,,,,,,,
方法二 : cos
2
3
， = ，即
3
4
2 cos
2
2 sin
2
2
， ,,,,
3
sin sin 2
cos 1
．
9
2 2 ，两边平方得， 1 sin 2 3
8
,,,,,,,,,,,
9
,,,,,,,,,,,,,