上海市闵行区2016年高三数学一模(理科含答案)

C ）.
(A) y 1 5 x 1
(B) y 1 5 x 1
(C) y 1 5 x 1
(D) y 1 5 x 1
17．△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，满足 a b c b
范围是（ B ）.
c ，则角 A 的 abc
(A) 0,
(B) 0,
(C) ,
(D) ,
18．函数 f (x) 的定义域为 1,1 ，图像如图 1 所示；函数 g( x) 的定义域为 1,2 ，图
由 2 p 16
p2 2
8
0即 p2
8
0
p
p
,,,,,,,,,,
12 分
得 p 2 2 时， OA OB ，所以，当 2 2 p 10 时，经点 A 至 P 路程最近 . 14 分
22．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题， 第 (1)小题满分 4 分，第 (2) (3)小题满分各 6 分．
已知椭圆
3
43
4
x1 y2 14 分 x1
3 (4
x22 )
4
mn
x22 y12 x22
x12 y22 x12
x22
3 (4
4
x12 ) x22
x12
3 (4
4
x12
x22 )
3 ．,,,,,,,,,
16 分
23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 (1)小题满分 4 分，第 (2) 小题满分 6 分， 第 (3) 小题满分 8 分．
10
5
的近似分数
为 . 22 7
14 ．已知数列
an 的前 n 项和为 Sn ，对任意 n
N * ， Sn
( 1)n an
1 2n
n 3且
(an 1 p)(an p) 0 恒成立，则实数 p 的取值范围是
3 11 .,
44
二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题只有一个正确答案 .考生应在答
1) ，由
y
k y2
(
x 1), 4x,
得
k
2x2
2(k2
2) x k 2
0
l 与抛物线 有两个交点， k 0 ， 16(k 2 1) 0 ，
5
则 AB
4(k 4 4k 2 4) 4k4 k2
1 k2
4(k 2 1) k2
,,,,,,,,,,
P( 1,k) 到 l 的距离 d
3k
k2
，又 S△ PAB 1
（ 3 ）已知数列 an 为“ r 关联数列”，且 a1 10 ，是否存在正整数 k, m( m k ) ，
使得 a1 a2
ak 1 ak a1 a2
不存在，请说明理由．
[ 解] （ 1） an 为“ 6 关联数列”，
C B
BC // B1C1 ，
角， ,,,,,,,,,,
BCD 或 它 的 补 角 即 为 异 面 直 线 B1C1 与 CD 所 成
2分
由 AB 2 ， BC 1 , BAC 以及正弦定理得 sin ACB ， ACB 即
BC AC ， ,,,,
4分
又 BC AA1 ， BC 面ACC1 A1 ， ,,,,
焦点，则 PF1 PF2 2PQ 的最大值为
.
2a
的左、右
12 ．已知函数 f (x)
cos x， 2
log 1 ( x 3)
4
0x 1， x
4
，若实数
4
a、 b、 c 互不相等，且满足
1
f (a) f (b) f (c) ，则 a b c 的取值范围是
.
(8，23)
13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算
yM A
l2
P
大海 N
[ 解 ]（ 1）由题意得 M (1,8) ，则 a 8 ，故曲线段 MPN 的 O
函数关系式为 y
8
，4 分
x
又得 N (10, 4 ) ，所以定义域为 5
1,10 .
,,,,,,,,,,,
l1
B
x
6分
4
y 8 k(x p)
（ 2）
P( p,
8 )
，设
AB
:
y
8
k(x p) 由
已知数列 an 的各项均为整数，其前 n 项和为 Sn ．规定：若数列 an 满足前 r 项 依次成公差为 1的等差数列，从第 r 1 项起往后依次成公比为 2 的等比数列，则称数列
an 为“ r 关联数列”．
（ 1）若数列 an 为“ 6 关联数列”，求数列 an 的通项公式； （ 2）在（ 1）的条件下，求出 Sn ，并证明：对任意 n N * ， anSn a6 S6 ；
21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题， 第（ 1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 8 分．
某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路
l1 、 l2 ，海岸边界 MPN 近似地看
成一条曲线段 . 为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道
AB ，且
直线 AB 与曲线 MPN 有且仅有一个公共点 P （即直线与曲线相切），如图所示．若曲
2
（ 1）若
3 =
， cos
2 ，求 sin 2 的值；
y
4
3
A
（ 2）证明： cos(
) cos cos sin sin ．
O
2
[ 解] （ 1）方法一 : cos
，
3
cos(2 2 ) 2 cos2 (
1
) 1=
, 3分
9
3 =
3 ，即 cos(
2)
1，
4
2
9
,,,,,,,,,,,,
． B x
6分
题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得
5 分，否则一律得零分．
15．若 a,b R ，且 ab 0 ，则“ a b ”是“ b a 2 等号成立”的（ A ）. ab
(A) 充要条件
(B) 充分不必要条件
(C) 必要不充分条件
(D) 既非充分又非必要条件
16．设 f ( x) 2 5x 10x2 10 x3 5x4 x5 ，则其反函数的解析式为（
上海市闵行区 2015-2016 学年第一学期高三一模
数 学 试 卷（理科） 2016.1
考生注意：
（满分 150 分，时间 120 分钟）
1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚． 2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿
纸、试题卷上答题无效．
x2 x1
x2 x1
x2 y1 x1y 2 x2 x1
直线 QD : y y1
y2 y1 (x x2 x1
mn
x22 y12 x22
x12 y22 ，又 x12
x12
4
x1) ，设 x 0 得 n
y1 x1( y2 y1) x2 x1
x2 y1 x2
y12 1 ，x22
y22 1
y12
3 (4
x12 ) ，y22
的
中
心
在
坐
标
原
点
，
且
经
过
点
(1,
3 )
，
它
的
一
个
焦
点
与
抛
物
线
2
: y 2 4x 的焦点重合．
（ 1）求椭圆 的方程；
（ 2）斜率为 k 的直线 l 过点 F 1, 0 ，且与抛物线 交于 A、 B 两点，设点 P( 1,k) ，
△ PAB 的面积为 4 3 ，求 k 的值； （ 3）若直线 l 过点 M 0, m （ m 0 ），且与椭圆 交于 C、 D 两点，点 C 关于 y 轴
4 3,
1 4(k 2 1) 2 k2
4k 2 3k 2 3 ，故 k
3．
,,,,,,,,,
3k k2 1
6分
43
10 分
（ 3） C x1, y1 , D x2 , y2 ，点 C 关于 y 轴的对称点为 Q( x1, y1) ，
则直线 CD : y y1
y2 y1 (x x1) ，设 x 0 得 m y1 x1( y2 y1)
3
1
sin 2
．
9
,,,,,,,,,,,,
方法二 : cos
2
3
， = ，即
3
4
2 cos
2
2 sin
2
2
， ,,,,
3
sin sin 2
cos 1
．
9
2 2 ，两边平方得， 1 sin 2 3
8
,,,,,,,,,,,
9
,,,,,,,,,,,,,
（ 2） [ 证明 ]由题意得， OA (cos , sin ) ， OB (cos ,sin )
19.（本题满分 12 分）
如图，三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧棱 AA1 底面 ABC ，
A1
C1 B1
AA1 AB 2 ， BC 1, BAC
， D 为棱 AA1中点，
证 明 异 面 直 线 B1C1 与 CD 所 成 角 为 ， 并 求 三 棱 柱 D
ABC A1B1C1 的体积．
A
[ 证明 ] 在三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧棱 AA1 底面 ABC ，
3．方程 4 x 2 x 6 0 的解为
.
x log 2 3
.2 .
cos( x) sin x
4．函数 f x
的最小正周期 T = .
sin( x) cos x
4
5．不等式
x 的解集为
.
(0,2)
x
6．若一圆锥的底面半径为 3 ，体积是 12 ，则该圆锥的侧面积等于
( ,0)
.
7 ．已知 △ ABC 中， AB 4i 3 j ， AC 3i 4 j ，其中 i、j 是基本单位向量，则
p
得
p
p
8
y
x
kpx2 (8 kp2) x 8 p 0 ， (8 kp2)2 32kp2 ( kp2 8)2 0 , ,,,,
8分
kp2 8 0, k
8 p 2 ，得直线
AB 方程为
y
8 p
8
p2 ( x p) ，
,,,
10 分
得 A(0, 16 )、 B (2 p,0) ，故点 P 为 AB 线段的中点， p
S6 6
10 ，则
lim
n
Sn
2
n
.
10．若函数 f ( x) 2 x a ( a R ) 满足 f (1 x) f (1 x) ，且 f (x) 在 [ m,
5
) 上单调
递增，则实数 m 的最小值等于
.
1
x2
y2
11．若点 P 、 Q 均在椭圆 : a 2 a2 1 1 (a 1) 上运动， F1、F2 是椭圆
25
△ ABC 的面积为
.
2
8．在 2017 年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、
历史、地理 6 门学科中选择 3 门学科参加等级考试 . 小明同学决定在生物、政治、历史
三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有
种 .10
9．若 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，且 S8 8
6分
BC CD ,,,,,,
8分
所以异面直线
B1C1与 CD 所成角的为
．,,,,,,,,
2
三棱柱 ABC A1B1C1的体积为 V
S△ ABC AA1
1 2
312
10 分
3 ． ,,,,
12 分
20.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第（1）小题满分 8 分，第（2）小题满分 6 分．
如图，点 A 、 B 分别是角 、 的终边与单位圆的交点， 0
像如图 2 所示. A x f ( g(x)) 0 , B x g( f ( x)) 0 ,则 A B 中元素的个数为（ C ）.
(A) 1
(B) 2 y 1
(C) 3
(D) 4
y
1
-1 O
1
x
-1
图1
-1 O
1
2x
2 图2
三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编 号的规定区域内写出必要的步骤．
的对称点为 Q ，直线 QD 的纵截距为 n ，证明： mn 为定值 .
x2 [ 解] （ 1）设椭圆的方程为 a 2
y2 b2
1 a b 0 ，由题设得
19
a2
4b2
1
，， 2 分
a2 b2 1
a2
4
，
椭圆
的方程是 x 2
b2 3
4
y2 1
3
,,,,,,,,,,
4分
（ 2）设直线 l : y
k(x
OA OB = cos cos sin sin
,,,,,,
又因为 OA 与 OB 夹角为
， OA OB 1
OA OB = OA OB cos( ) cos( )
,,,,,,,,,
综上 cos(
) cos cos sin sin 成立． ,,,,,,,,,,,
8分 3分 6分 8分
10 分
12 分 14 分
3．本试卷共有 23 道试题． 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸上相应编号的空格
内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分．
1．若复数 z 满足 i z 3 i （ i 为虚数单位），则 | z |
1
2．若全集 U R ，函数 y x2 的值域为集合 A ，则 eU A
法 , 其理论依据是： 设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为
b 和 d（ a,b, c,d N * ）, ac
bd
则
是 x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值
ac
. 我们知道
3.14159 ，若令
31
49
16
，则第一次用“调日法”后得
是 的更为精确的过剩近似值，即
wk.baidu.com
10
15
5
31
16
，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得
线段 MPN 是函数 y a 图像的一段， 点 M 到 l1 、l2 的距离分别为 8 千米和 1千米，点 N x
到 l 2 的距离为 10 千米，以 l1 、 l 2分别为 x、 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系 xOy ，
设点 P 的横坐标为 p . （ 1）求曲线段 MPN 的函数关系式，并指出其定义域； （ 2）若某人从点 O 沿公路至点 P 观景，要使得沿折线 OAP 比沿折线 OBP 的路程更近，求 p 的取值范围 .