解偏微分方程(研究生课程)
研究生数学课程难度排名
研究生数学课程难度排名研究生数学课程是研究生培养计划中不可或缺的一部分，也是考验研究生数学基础和分析能力的重要环节。
随着研究生教育的不断发展，各个高校的数学课程设置也有所不同。
本文将对研究生数学课程的难度进行排名，并对每门课程的特点进行简要介绍。
我们来看排名第一的课程，即"高等数学"。
作为数学学科的基础课程，高等数学的难度不可小觑。
它主要包括微积分、线性代数和概率论等内容，涵盖了数学的基本概念和方法。
学生需要掌握复杂的计算技巧和推导方法，同时还要具备较强的数学思维能力和逻辑推理能力。
高等数学课程的难度较大，需要学生投入大量的时间和精力进行学习和理解。
第二名是"数理统计"。
数理统计是研究生数学课程中的一门重要课程，它主要研究数据的收集、分析和推断等内容。
数理统计既涉及到数学的概念和方法，又需要运用统计学的理论和模型。
学生需要掌握概率论、数理统计的基本理论和方法，能够运用统计软件进行数据分析和实证研究。
数理统计的难度在于理论和实践相结合，需要学生具备较强的数学基础和统计思维能力。
第三名是"偏微分方程"。
偏微分方程是应用数学中的一门重要课程，它主要研究物理学中的波动、传热、扩散等现象。
学生需要掌握偏微分方程的基本理论和解法，能够运用数学方法分析和解决实际问题。
偏微分方程的难度在于抽象性较强，需要学生具备较强的数学分析能力和物理直觉。
第四名是"复变函数"。
复变函数是研究生数学课程中的一门重要课程，它主要研究复数域上的函数和变换。
学生需要掌握复变函数的基本理论和解析方法，能够分析和求解复变函数相关的问题。
复变函数的难度在于具有较强的抽象性和复杂性，需要学生具备较强的数学分析能力和几何直观。
第五名是"泛函分析"。
泛函分析是现代数学的重要分支，它主要研究无穷维空间上的函数和算子。
学生需要掌握泛函分析的基本理论和方法，能够运用泛函分析的工具进行研究和应用。
应用数学专业硕士研究生课程设置表
注1：同等学力和跨一级学科的硕士生必须补修本专业本科生的骨干课程2~3门，但不计入学分。
注2：白世忠教授、谭海鸥教授、曹文胜教授、燕鹏飞教授、谢祥云教授、王奇生教授。
硕士点负责人（签字）：研究生主管领导（签字）：
（加盖学院公章）
应用数学专业硕士研究生课程设置表
学院：数学与计算科学学院班级：YS201061
课程
类别
课程代号
课程名称
考核方式
学时
学分
开课学期安排
开课学院
任课
老师
备注
1
2
3
4
5
6
学
位
课
程
公
共
课
自然辩证法
考试
36
2
√
政法学院
必
修
科学社会主义原理
考试
18
1
√
政法学院
第一外国语（英语）
考试
160
4
√
√
外语学院
应用泛函分析
2
√
数学学院
谭海鸥
离散群几何
考试
36
2
√
数学学院
曹文胜
Fuchsian群理论
考试
54
3
√
数学学院
曹文胜
复双曲空间理论
考试
72
4
√
数学学院
曹文胜
公理集合论
考试
36
2
√
数学学院
燕鹏飞
拓扑空间论
考试
72
4
√
数学学院
燕鹏飞
广义度量空间
考试
72
4
√
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，它描述了多变量函数的偏导数之间的关系。
这些方程在自然科学、工程应用和社会科学等领域都发挥着重要作用。
解决偏微分方程是一个复杂而有挑战性的过程，需要运用多种数学方法和工具来求解。
在本文中，我将为您介绍几种常见的偏微分方程的解法，并提供一些示例以帮助您更好地理解。
以下是本文的主要内容：1. 一阶线性偏微分方程的解法1.1 分离变量法1.2 特征线方法2. 二阶线性偏微分方程的解法2.1 分离变量法2.2 特征值法2.3 Green函数法3. 非线性偏微分方程的解法3.1 平移法3.2 线性叠加法3.3 变换法4. 数值方法解偏微分方程4.1 有限差分法4.2 有限元法4.3 谱方法5. 偏微分方程的应用领域5.1 热传导方程5.2 波动方程5.3 扩散方程在解一阶线性偏微分方程时，我们可以使用分离变量法或特征线方法。
分离变量法的基本思路是将方程中的变量分离，然后通过积分的方式求解每个分离后的常微分方程，最后再将结果合并。
特征线方法则是将方程中的变量替换为新的变量，使得方程中的导数项消失，从而简化求解过程。
对于二阶线性偏微分方程，分离变量法、特征值法和Green函数法是常用的解法。
分离变量法的核心思想与一阶线性偏微分方程相似，将方程中的变量分离并得到常微分方程，然后进行求解。
特征值法则利用特征值和特征函数的性质来求解方程，适用于带有齐次边界条件的问题。
Green函数法则通过引入Green函数来求解方程，其特点是适用于非齐次边界条件的情况。
非线性偏微分方程的解法则更加复杂，常用的方法有平移法、线性叠加法和变换法。
这些方法需要根据具体问题的特点选择合适的变换和求解技巧，具有一定的灵活性和创造性。
除了上述解析解法，数值方法也是解偏微分方程的重要手段。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
2024年考研数学偏微分方程题目详解与答案
2024年考研数学偏微分方程题目详解与答案在2024年的考研数学试卷中，偏微分方程题目一直是考生们关注和备考的重点。
本文将详细解析2024年考研数学偏微分方程题目，并提供详细的解答和答案。
一、第一题题目描述：给定二阶常系数线性偏微分方程 $\frac{{\delta^2u}}{{\delta x^2}} + c\frac{{\delta u}}{{\delta t}} + ku = f(x, t)$，其中 $u = u(x, t)$ 为未知函数，$c, k$ 为常数，$f(x, t)$ 为已知连续函数。
要求求解此偏微分方程。
解析：根据题目所给的偏微分方程可知，我们需要求解二阶常系数线性偏微分方程。
此类方程的典型特点是对时间 $t$ 的导数项和对空间$x$ 的二阶导数项。
我们可以采用特征线法来求解此类方程。
首先，我们设方程的通解形式为 $u(x, t) = X(x)T(t)$，其中$X(x)$ 和 $T(t)$ 分别是 $x$ 和 $t$ 的函数。
将通解带入方程中得到：$\frac{{X''}}{{X}} + c\frac{{T'}}{{T}} + k = \frac{{f(x, t)}}{{XT}}$由于方程的左侧只与 $x$ 有关，右侧只与 $t$ 有关，故两侧等于某个常数 $-\lambda$。
得到两个常微分方程：$X'' + \lambda X = 0$ 和 $T' + \left(c -\lambda\right) T = 0$对于方程 $X'' + \lambda X = 0$，根据 $\lambda$ 的值分为三种情况讨论：1. 当 $\lambda > 0$ 时，方程的通解为 $X(x) = A\cos(\sqrt{\lambda}x) + B\sin(\sqrt{\lambda}x)$。
2. 当 $\lambda = 0$ 时，方程的通解为 $X(x) = Ax + B$。
偏微分方程的几种解法
偏微分方程的几种解法偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
解决PDEs的问题是科学研究和工程实践中的一个关键任务。
本文将介绍几种常见的偏微分方程的解法。
一、分离变量法分离变量法是解偏微分方程最常用的方法之一。
其基本思想是将未知函数表示为一系列互相独立的分离变量的乘积，然后将方程两边同时关于这些变量积分。
这样就可以得到一系列常微分方程，然后通过求解这些常微分方程得到原偏微分方程的解。
例如，对于二维的泊松方程（Poisson Equation）∇²u = f，可以假设u(x, y) = X(x)Y(y)，将其代入方程后得到两个常微分方程，然后分别求解这两个常微分方程，最后将其合并即可得到泊松方程的解。
分离变量法的优点是简单易行，适用于一些特定的偏微分方程。
但也存在一些限制，例如只适用于线性齐次方程、边界条件满足一定条件等。
二、变量替换法变量替换法是另一种常见的解偏微分方程的方法。
通过合适的变量替换，可以将原方程转化为一些形式简单的方程，从而更容易求解。
例如，对于热传导方程（Heat Equation）∂u/∂t = α∇²u，可以通过变量替换u(x, t) = v(x, t)exp(-αt)将其转化为∂v/∂t = α∇²v，然后再利用分离变量法或其他方法求解新方程。
变量替换法的优点是可以将一些复杂的偏微分方程转化为简单的形式，便于求解。
但需要根据具体问题选择合适的变量替换，有时可能会引入新的困难。
三、特征线法特征线法是解一阶偏微分方程的一种有效方法。
通过寻找方程的特征线，可以将方程转化为常微分方程，从而更容易求解。
例如，对于一维线性对流方程（Linear Convection Equation）∂u/∂t + c∂u/∂x = 0，其中c为常数，可以通过特征线法将其转化为沿着特征线的常微分方程du/dt = 0，然后求解得到解。
偏微分方程解析解
偏微分方程解析解偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学中研究最广泛的领域之一，它涉及到物理、工程、金融等众多领域中的实际问题。
解析解是指通过解析方法得到的能够精确描述偏微分方程解的解析表达式。
本文将介绍偏微分方程解析解的求解方法，并通过一些具体的例子进行说明。
一、一阶线性偏微分方程1.1 一维线性传热方程考虑一维线性传热方程：$$\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = k\frac{{\partial^2 u}}{{\partialx^2}}$$其中，$u(t,x)$表示时间$t$和空间$x$上的温度分布，$k$为传热系数。
为了求解这个方程，我们引入一个新的变量，令$v(t,x) = u(t,x) -F(x)$，其中$F(x)$是由于边界条件所确定的函数。
将$v(t,x)$代入上面的方程得到：$$\frac{{\partial v}}{{\partial t}} = k\frac{{\partial^2 v}}{{\partialx^2}}$$接下来，我们可以使用分离变量法求解这个二阶偏微分方程。
假设$v(t,x)$可以表示为$v(t,x) = T(t)X(x)$的形式，则将这个表达式代入上面的方程中，得到：$$\frac{{T'(t)}}{{T(t)}} = k\frac{{X''(x)}}{{X(x)}}$$由于左边是关于$t$的表达式，右边是关于$x$的表达式，它们只能等于一个常数，即：$$\frac{{T'(t)}}{{T(t)}} = \frac{{X''(x)}}{{X(x)}} = -\lambda^2$$其中，$\lambda$是常数。
对于关于$x$的方程，我们可以得到：$$X''(x) + \lambda^2 X(x) = 0$$这是一个常微分方程，可以求解出$X(x)$的形式。
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学中一种重要的方程形式，广泛应用于物理、工程、金融等领域。
本文将介绍几种常见的偏微分方程的解法，并对其原理和应用进行详细的讨论。
一、分离变量法分离变量法是求解偏微分方程中最常用的方法之一。
该方法的基本思想是将偏微分方程中的未知函数表示为多个单变量函数的乘积，然后通过分别求解这些单变量函数的常微分方程来得到原方程的解。
以下以一个简单的例子来说明该方法的具体步骤。
考虑一个常见的一维热传导方程：\[\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \alpha \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}}\]假设 u(x,t) 可以表示为两个单变量函数的乘积形式：u(x,t) =X(x)T(t)，将其代入原方程，可以得到如下的形式：\[\frac{1}{\alpha}\cdot\frac{1}{X(x)}\cdot\frac{{d^2X}}{{dx^2}} =\frac{1}{T(t)}\cdot\frac{{dT}}{{dt}} = -\lambda\]通过解这两个单变量函数所满足的常微分方程，可以得到 X(x) 和T(t) 的解，再将其组合即可得到原方程的通解。
二、变换方法变换方法是另一种重要的求解偏微分方程的技巧。
通过对原方程进行适当的变换，可以将其转化为常微分方程或者其他更容易求解的形式。
以下介绍两种常见的变换方法。
1. 傅立叶变换法傅立叶变换法被广泛应用于分析和求解各种偏微分方程。
通过将原方程进行傅立叶变换，可以将其转化为代数方程，并通过解代数方程来得到原方程的解。
具体来说，假设原方程为：\[L[u(x,t)] = f(x,t)\]将其进行傅立叶变换，可以得到：\[L[\hat{u}(k,\omega)] = \hat{f}(k,\omega)\]然后通过解代数方程来求得 \(\hat{u}(k,\omega)\)，再进行逆傅立叶变换即可得到 u(x,t) 的解。
偏微分方程讲义
习题3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.5 极坐标系下的分离变量法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 3.5.2 由射线和圆弧所界定区域中问题的解法 . . . . . . . . . . . . . . . 周期边界条件问题的解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv 3.6.3 3.6.4 3.6.5 Legendre方程的级数解、 Legendre多项式 . . . . . . . . . . . . . . Bessel方程的级数解、 Bessel函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 圆盘中热传导方程的解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
习题1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §1.5 线性偏微分方程的叠加原理，定解问题的适定性 1.5.1 叠加原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
习题3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3.6 高维曲线坐标系下的分离变量法、球函数和柱函数 . . . . . . . . . . . . 3.6.1 3.6.2 Bessel方程和Legendre方程的导出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 二阶线性齐次常微分方程的级数解法 . . . . . . . . . . . . . . . .
数学专业研究生课程
数学专业研究生课程数学专业研究生课程数学是一门充满魅力的学科，它不仅仅是一种工具，更是一种思维方式。
作为一名数学专业的研究生，我们需要扎实的数学基础和深刻的数学思维能力。
下面我将为大家介绍一些典型的数学专业研究生课程。
一、高等代数高等代数是数学的重要基础课程之一，它研究抽象代数结构及其变换。
在这门课程中，我们将学习线性代数、群论、环论、域论等内容。
通过高等代数的学习，我们可以更好地理解和掌握数学的基本概念和方法，为我们后面的学习和研究奠定坚实的基础。
二、数学分析数学分析是一门研究数学连续性和变化性质的课程，它包括实数理论、函数论、级数论等内容。
通过学习数学分析，我们可以深入理解数学的逻辑性和推理性，培养我们的数学思维和分析问题的能力。
三、概率论与数理统计概率论与数理统计是数学的应用分支，它研究随机现象的概率规律以及利用统计方法对数据进行分析和推断。
在这门课程中，我们将学习概率论的基本概念、概率计算方法以及数理统计的基本原理和方法。
通过学习概率论与数理统计，我们可以应用数学的工具和方法解决实际问题，提高我们的数据分析能力。
四、微分方程微分方程是数学的一门重要应用课程，它研究含有未知函数及其导数的方程。
在这门课程中，我们将学习常微分方程和偏微分方程的基本理论和解法，掌握求解微分方程的基本技巧。
通过学习微分方程，我们可以了解数学在自然科学、工程技术等领域的应用，提高我们的问题建模和解决能力。
五、复变函数与积分变换复变函数与积分变换是数学中非常有趣和实用的课程，它研究复数域上的函数以及利用积分变换对信号和系统进行分析。
在这门课程中，我们将学习复数的基本性质、复变函数的解析性和复积分的计算方法。
通过学习复变函数与积分变换，我们可以更好地理解信号处理、电路分析等领域中的相关知识，提高我们的数学建模和分析能力。
综上所述，数学专业研究生课程涵盖了数学的各个分支和应用领域，通过学习这些课程，我们可以系统地学习和掌握数学的基本理论和方法，提高数学建模和问题解决能力。
研究生毕业学术论文——求解偏微分方程
研究生毕业学术论文——求解偏微分方程简介本文旨在探讨研究生毕业学术论文中的一个重要课题：求解偏微分方程。
偏微分方程在数学和物理学领域具有广泛的应用，它们描述了许多自然现象的行为。
本文将介绍偏微分方程的基本概念和求解方法，并探讨其在实际问题中的应用。
偏微分方程的基本概念偏微分方程是包含多个变量的方程，其中包含函数及其各个变量的偏导数。
它们描述了不同变量之间的关系，以及这些变量随时间的变化。
偏微分方程可分为多种类型，包括椭圆型、双曲型和抛物型方程。
每种类型的方程都具有不同的特征和求解方法。
偏微分方程的求解方法在研究生毕业学术论文中，我们关注如何有效地解决偏微分方程。
以下是一些常见的求解方法：1. 分离变量法：通过假设解可分为两个或多个变量的乘积形式，将偏微分方程转化为一系列普通微分方程，然后解决这些普通微分方程。
2. 特征线法：通过引入特征线，将偏微分方程转化为一组常微分方程，然后求解这些常微分方程。
3. 数值方法：使用数值算法近似求解偏微分方程，例如有限差分法、有限元法和谱方法等。
使用适当的求解方法取决于偏微分方程的类型和实际问题的要求。
偏微分方程在实际问题中的应用偏微分方程在各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些实际问题的例子：1. 热传导方程：描述了热能在物体中传播的行为，可以用于分析传热问题和温度分布。
2. 波动方程：描述了波动现象的行为，可以用于分析声波、光波等的传播。
3. 扩散方程：描述了物质扩散的行为，可以用于分析化学反应和溶质在流体中的传输。
4. 矩阵方程：描述了电路、管道等网络中的电流、液流等行为，可以用于分析电路和流体力学问题。
这些应用说明了偏微分方程在解决实际问题中的重要性。
结论本文介绍了研究生毕业学术论文中的一个重要课题：求解偏微分方程。
偏微分方程是描述自然现象行为的数学工具，其求解需要使用适当的数学方法。
我们讨论了偏微分方程的基本概念、常见的求解方法以及其在实际问题中的应用。
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是数学中的重要分支，在科学和工程领域具有广泛的应用。
解决偏微分方程的问题，可帮助我们理解自然界中的各种现象，如电磁场的传播、流体运动等。
本文将介绍几种常见的偏微分方程的解法。
一、分离变量法分离变量法是解偏微分方程最常见的方法之一。
我们以二阶线性偏微分方程为例，假设其形式为：A(x,y)u_{xx} + B(x,y)u_{xy} + C(x,y)u_{yy} + D(x,y,u,u_x,u_y) = 0其中u表示未知函数，A、B、C、D为已知函数。
为了使用分离变量法，我们假设解可以表示为两个函数的乘积形式：u(x,y) = X(x)Y(y)将上述形式代入方程，利用变量分离的性质，可将原方程化简为两个常微分方程。
解决这两个常微分方程，即可得到偏微分方程的解。
二、特征线法特征线法适用于一类特殊的偏微分方程，其中包含一阶偏导数和高阶偏导数的混合项。
我们以一维波动方程为例，其形式为：u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0其中c表示波速。
特征线法的思想是引入新的变量，使得原方程可以转化为一组常微分方程。
对于波动方程，我们引入变量ξ和η，定义如下：ξ = x + ctη = x - ct通过做变量替换后，原方程可以转化为常微分方程：u_{ξη} = 0这样，我们可以通过求解常微分方程得到偏微分方程的解。
三、变换方法变换方法包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等，通过引入新的变量，将原偏微分方程转化为代数方程，然后利用代数方程的解法解出未知函数。
变换方法的优势在于可以将一些常见的偏微分方程转化为代数方程，从而简化解法的步骤。
四、数值解法对于复杂的偏微分方程，解析解可能难以求得或不存在。
此时，数值解法就变得非常重要。
常用的数值解法包括差分法、有限元法、有限差分法等。
这些方法将连续的偏微分方程离散化，将其转化为差分方程或代数方程，然后使用计算机进行求解。
“偏微分方程数值解”课程教学实践
新镖叢教＜f2020耳第24期“偏微分方程数值解”课程教学实践湖南省长沙市国防科技大学文理学院数学系张弘钱旭宋松和【摘要】本文分析了理工科研究生偏微分方程数值解课程的教学特点和存在的若干问题，针对当前的教学形势，提出了精选教学内容、理论联系实践、完善实践考察的教学改革建议。
旨在提升教学质量,激发学生学习热情,提高学生的实践和思维能力，培养他们的应用意识和科研创新精神。
【关键词】偏微分方程数值解开源软件教学方法量子力学、分子动力学、天体力学、流体力学、生物化学、经济金融、航空航天工程以及人文社科领域的很多问题往往可以归结为偏微分方程模型,随时间的演化构成了复杂的动力系统，并逐渐成为现代数学领域里的研究热点。
绝大多数偏微分方程定解问题的解很难用简洁、实用的分析形式来表达，随着高性能计算的飞速发展，数值计算作为_门工具性的新学科得到了快速的发展,偏微分方程数值计算方法也得到了前所未有的重视。
随着科学与工程技术的深入发展，当前需要掌握和应用偏微分方程数值解法已不再局限于数学系的学生，大量从事于天文学、力学、物理学、化学、生物学的科研人员，以及航空、航天、电子、机械、油气勘探、地质工程等领域的专业技术从业者也把这门学科作为本领域的重要研究方法。
因此，为培养出理论基础扎实、工程应用能力强的理工科研究生,掌握此学科是十分必要的。
一、课程特点和存在的问题偏微分方程数值解是计算数学专业的重点必修课程,国内外各大学已普遍开设。
这门课程的设立对促进学生的科研创新以及提高其实践能力有着非常积极、重要的意义,有利于培养理工科研究生应用数学方法解决工程问题的能力，还可全面提高学生的综合素质。
偏微分方程数值解是本校理工科研究生的一门专业课，这门课程重点介绍了有限差分法和有限元方法O 对偏微分方程定解问题的数值方法，基本上按照①数值格式的建立,②格式的收敛性、稳定性和相容性分析，③算例与求解等3个方面展开。
通过参加本课程,学生能掌握偏微分方程数值解的基本理论和求解方法,并能使用软件针对偏微分方程进行分析和计算,用开源Octave 软件或基于Python的程序库FEniCS编写经典的有限差分或有限元程序。
偏微分方程数值解讲义
偏微分方程数值解讲义
《偏微分方程数值解讲义》是为高等院校计算数学专业高年级本科生和研究生偏微分方程数值解法课程编写的教材。
全书分为差分方法和有限元方法两个相互独立的部分。
差分方法部分的先修课程是数值分析、数值代数；有限元部分则同时要求学生对实变函数与泛函分析有初步的了解。
掌握一定的数学物理方程的理论和方法无疑有助于本课程的深入学习。
《偏微分方程数值解讲义》在选材上注重充分反映偏微分方程数值解法中的核心内容，力图展现算法构造与分析的基本思想；在内容的处理上，体现了由浅入深、循序渐进的原则；在叙述表达上，严谨精练、清晰易读，便于教学与自学。
为便于读者复习、巩固、理解和拓广所学的知识，每章之后配置了相当数量的习题，并在书后附上了大部分习题的答案或提示。
《偏微分方程数值解讲义》可作为综合大学、理工科大学、高等师范院校计算数学以及相关学科的本科生和研究生的教材或教学参考书，也可供从事计算数学、应用数学和科学工程计算研究的科技人员参考。
天津大学研究生课程-数理方程试题
一． 判断题（每题2分）.1. 2u u x y x y x∂∂+=∂∂∂是非线性偏微分方程.( ) 2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式， 则 ( )4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( )5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12u u -是0u ∆= 的解.( )二． 填空题（每题2分）.1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程.2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.5. []()____________.at m L e t s =三．求解定解问题（12分）200sin ;0,0;0.t xx xx x x l t u a u A t u u u ω===-====四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）（1） 001,0,0;1,1.xy x y u x y u y u ===>>=+= （2） 00230, 1.tt t y y y e y y =='''+-='==五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。
（12分）六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。
偏微分方程的解法
n
n
一定可以改写为如下“形式”：
d u
i
n
i x i'x i'
D D D D b ' cu ' f ' 0 x y y x iu x ' i
n i
4
根据 d i 符号的不同可以划分方程的类型如下： 有某些 di 所有 di
常系数线性偏微分方程
如果在二阶线性偏微分方程
a u
i, j
n
ij xi x j
biuxi cu f 0
i
n
中, 所有系数均为常数, 则方程可以进一步简化为:
d 'u
i i
n
xi xi
c 'u f ' 0
7
行波法 d’Alembert公式
行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进 行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有 效.
解: 本题可根据线性方程的性质,假定原问题的解可以表示为:
u u1 u2
其中 u1 是如下定解问题(弦的自由振动问题)的解:
2 u a uxx 0, x , t 0 tt u x, 0 x , ut x, 0 x
u2 是上述纯强迫振动问题的解.
15
求出问题的通解，然后再结合定解条件确定满足
相应初始条件和边界条件的特解，仅对非常有限的问
题适用，很多定解问题很难直接求出通解。更为普遍 的处理办法是把泛定方程和定解条件作为整体处理，
直接求出定解问题的解。
16
1.行波法；
偏微分方程讲义
偏微分方程讲义
付永强
2003年7月
前言
本书的内容涉及到二阶线性椭圆、抛物及双曲型偏微分方程的基本问题与理论，其中椭圆型方程部分占了较大的篇幅，它包括Schauder理论与p L理论，特别突出了对解进行各种先验估计的技巧，绝大部分的结果都给出了证明. 对抛物型方程和双曲型方程这两种发展方程，介绍了算子半群方法.
这本讲义适用于为哈尔滨工业大学数学系各专业的硕士研究生开设的《偏微分方程》课程，这门课总学时54学时. 学习这本讲义要求读者具有大学本科中《数学物理方程》、《实变函数》与《泛函分析》课程的基础. 这本讲义在自哈尔滨工业大学数学系2003级硕士研究生起的各届硕士研究生的《偏微分方程》课程的教学中一直在使用，期间多次做了小的修订，但讲义中错误和缺点一定还很多，欢迎大家给予批评指正.
付永强
2003年7月
目录
第零章偏微分方程简介 (1)
第一章线性椭圆方程的schauder理论 (4)
第二章sobolev空间 (27)
第三章线性椭圆型偏微分方程的p L理论 (32)
第四章散度型线性椭圆方程的2L理论 (48)
第五章发展方程的算子半群方法 (55)。
线性偏微分方程理论
一、教学目标和要求：在本科生所学数学物理方程基础上，系统介绍一般线性偏微分方程多种定解问题经典解的存在唯一性及弱解的存在唯一性与正则性，特征理论，要求学生掌握线性偏微半一些基本理论，方法及先验估计的技巧二、教学大纲（含章节目录）：第一章预备知识第二章极值原理及应用第三章L2理论第四章散度形式方程的解和Holder连续性第五章解的L p估计第六章Schauder估计第七章抛物型方程的极值原理和应用第八章抛物型方程第一边值问题第九章高维双曲型方程I. Teaching Goals and Requirements:on basis of Mathematical Physics equation, introduces systematically some kinds of solution problerms in linear partial differential equation,,the existation and uniqueness of classical solution and the existation and regularity properties of weak solution, eigen theory to stenents.Make the students to master some fundamental theory,methods,skills of prior estimate.II. Teaching Syllabus (chapters, including sections)chapter 1:prepared knowledgechapter 2: extremum theorem and its applicationchapter 3: L2 theorychapter 4:solution of dispersion equation and Holder continuationchapter 5: L p estimate of solutionchapter 6: Schauder estimatechapter 7: extremum theorem and its application of parabolic equation chapter 8:first boundary problem of parabolic equation。
解偏微分方程(研究生课程)
令 : x i x , t j t , r
t 2 a , 2 ( x )
i , j 0,1,2,...n 1 写成足标形式 ui , j i ui , j rui 1, j 2rui , j rui 1, j (1 2r )ui , j r ( ui 1, j ui 1, j )
（抛物线型）受热金属块的热传导
一块受热的有矩形裂纹的金属块， 金属块的左侧被加热到100摄氏度， 在右侧热量以恒定速率降低到 周围空气中，其它边界独立。 即： ⑴ u=100 左侧（dirichilet条件） ⑵ u’=-10 右侧（Neumann条件） ⑶ u’=0 其它边界（Neumann条件） Rcdao.m
（椭圆型）矩形区域的拉普拉斯方程
任意选取定解问题中参数的值,例 如取μ=1,a=1,b=1 这个问题的解析解如下
（椭圆型）矩形区域的拉普拉斯方程 解方程的操作步骤：
1.画方程求解的区域 2.设定边界条件dirichlet 边界1：sin(3*pi.*x).*cos(pi.*x) 边界2：sin(3*pi.*y) 3.选定方程的类型 Elliptic 椭圆型 f=0 Parabolic 抛物线 Hyperbolic 双曲线 Eigenmodes 特征值 4.将网格初始化和精细化 5.求解方程 6.将结果画图 7.放大视图
拉普拉斯方程 热传导方程、扩散方程 波动方程
偏微分方程工具箱（PDETOOL）
（椭圆型）单位圆盘的泊松方程
在单位圆内求解泊松方程 -ΔU=1 在单位圆的边界上U=0。 % Solve Poisson's equation 该问题的精确解为 % -div(grad(u))=1 % on the unit disk with u=0 on the boundary. 2 2 1 x y % Compare with exact solution. U ( x, y ) 4 pause % Strike any key to continue.
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偏微分方程工具箱
《数学物理方程的
MATLAB解法与可视化》 彭芳麟 清华大学出版社
详细地介绍了MATLAB 的偏微分方程工具箱与解 偏微分方程指令，还介绍 了差分方法和有限元方法。 对学习数值计算或计算物 理课程而言，这也是很实 用的参考教材。
引言：偏微分方程的主要类型
椭圆型 抛物型 双曲型
2 2 2 ( 2 2 2 ) ( x , y , z ) S ( x , y , z ) x y z
差分法解弦振动方程
一维弦振动方程： utt a 2 u xx ( 0 x 3 / 5) x 初始条件： u( x ,0) 1.5 1.5 x ( 3 / 5 x 1) ut ( x ,0) 0
波动方程可以写成差分 形式： u( x , t t ) 2u( x , t ) u( x , t t ) 2 u( x x , t ) 2u( x , t ) u( x x , t ) a 2 （ t） ( x ) 2
（抛物线型）矩形区域的有源的热传导 在矩形的四边,温度为零,在区域的中央,半径为 0.4的圆内,有个恒定的热源,其值为1.
（双曲线型）方形薄膜的横向振动的波动方程 方形薄膜左侧和右侧固定 （u=0）,前后两端自由（u’=0） 初始条件：t=0 u(0)=atan(cos(pi/2*x)) dudt(0)=3*sin(pi*x).*exp(sin(pi/2*y))
数学物理方程的Matlab解法
数学物理方程的Matlab解法
• 工程中许多问题可以归结为偏微分方程问题，这 些由偏微分方程及边界条件、初始条件等构成的 数学模型，只有在十分特殊的条件下才能求得解 析解。 • 随着计算机技术的发展，各种数值方法应运而生， 如有限元法，有限差分法、拉格朗日元法等。利 用数值法，可以求得这些问题的数值解。它不是 问题的精确解，但可以无限接近精确解。 • MATLAB采用有限元法求解偏微分方程的数值解。
（椭圆型）矩形区域的拉普拉斯方程
任意选取定解问题中参数的值,例 如取μ=1,a=1,b=1 这个问题的解析解如下
（椭圆型）矩形区域的拉普拉斯方程 解方程的操作步骤：
1.画方程求解的区域 2.设定边界条件dirichlet 边界1：sin(3*pi.*x).*cos(pi.*x) 边界2：sin(3*pi.*y) 3.选定方程的类型 Elliptic 椭圆型 f=0 Parabolic 抛物线 Hyperbolic 双曲线 Eigenmodes 特征值 4.将网格初始化和精细化 5.求解方程 6.将结果画图 7.放大视图
( t ) 2 2 令 : x i x , t j t , c a , 2 ( x ) i , j 0,1,2,...n 1 写成足标形式 ui , j i ui , j rui 1, j 2rui , j rui 1, j c( ui 1, j ui 1, j ) 2(1 c )ui , j ui , j 1
2 2 2 [ a 2 ( 2 2 2 )] ( x , y , z , t ) S ( x , y , z , t ) t x y z 2 2 2 2 [ 2 a 2 ( 2 2 2 )] ( x , y , z , t ) S ( x , y , z , t ) t x y z
拉普拉斯方程 热传导方程、扩散方程 波动方程
偏微分方程工具箱（PDETOOL）Biblioteka （椭圆型）单位圆盘的泊松方程
在单位圆内求解泊松方程 -ΔU=1 在单位圆的边界上U=0。 % Solve Poisson's equation 该问题的精确解为 % -div(grad(u))=1 % on the unit disk with u=0 on the boundary. 2 2 1 x y % Compare with exact solution. U ( x, y ) 4 pause % Strike any key to continue.
ui,j+1 rui-1,j (1-2r)ui,j rui+1,j
差分法解热传导方程
有限长细杆的热传导问 题 ut a 2 u xx u(0, t ) 0, u( l , t ) 0 u( x , t 0) ( x )
参数： l 20, t 25, a 2 10, 且
差分法解热传导方程
一维热传导方程是： ut a 2 u xx u( x , t t ) u( x , t ) t u( x x , t ) 2u( x , t ) u( x x , t ) u xx ( x ) 2 热传导方程可以写成差 分形式： u( x , t t ) u( x , t ) u( x x , t ) 2u( x , t ) u( x x , t ) a2 t ( x ) 2 由导数差分公式有： ut
即： u( x , t t ) u( x , t ) t a 2 [u( x x , t ) 2u( x , t ) u( x x , t )] 2 ( x )
令 : x i x , t j t , r
t 2 a , 2 ( x )
i , j 0,1,2,...n 1 写成足标形式 ui , j i ui , j rui 1, j 2rui , j rui 1, j (1 2r )ui , j r ( ui 1, j ui 1, j )
2-2c
差分法解弦振动方程
%两端固定的弦振动 两端固定的均匀弦的振动 clear N=4010;dx=0.0024; dt=0.0005;c=dt*dt/dx/dx; x=linspace(0,1,420)'; u(1:420,1)=0; u(181:240,1)=0.05*sin(pi*x(181:240)*7); u(2:419,2)=u(2:419,1)+c/2*(u(3:420,1)-2*u(2:419,1)+u(1:418,1)); h=plot(x,u(:,1),'linewidth',3); axis([0,1,-0.05,0.05]); set(h,'EraseMode','xor','MarkerSize',18) for k=2:N set(h,'XData',x,'YData',u(:,2)); drawnow; u(2:419,3)=2*u(2:419,2)-u(2:419,1)+c*(u(3:420,2)-2*u(2:419,2)+u(1:418,2)); u(2:419,1)=u(2:419,2); u(2:419,2)=u(2:419,3); end
（抛物线型）受热金属块的热传导
一块受热的有矩形裂纹的金属块， 金属块的左侧被加热到100摄氏度， 在右侧热量以恒定速率降低到 周围空气中，其它边界独立。 即： ⑴ u=100 左侧（dirichilet条件） ⑵ u’=-10 右侧（Neumann条件） ⑶ u’=0 其它边界（Neumann条件） Rcdao.m
( x)
1 0
(10 x 11 ) ( x 10, x 11 )
%差分法解热传导方程 cfrcd.m x=0:20;a2=10;r=a2*0.01; u=zeros(21,25); %预设矩阵以存放求得的解 u(10:11,1)=1; %初始条件 for j=1:25 %求解及作图 u(2:20,j+1)=(1-2*r)*u(2:20,j)+r*(u(1:19,j)+u(3:21,j)); plot(x,u(:,j));axis([0 21 0 1]);pause(0.1) end meshz(u)