解偏微分方程(研究生课程)

（椭圆型）矩形区域的拉普拉斯方程
任意选取定解问题中参数的值,例 如取μ=1,a=1,b=1 这个问题的解析解如下
（椭圆型）矩形区域的拉普拉斯方程 解方程的操作步骤：
1.画方程求解的区域 2.设定边界条件dirichlet 边界1：sin(Βιβλιοθήκη Baidu*pi.*x).*cos(pi.*x) 边界2：sin(3*pi.*y) 3.选定方程的类型 Elliptic 椭圆型 f=0 Parabolic 抛物线 Hyperbolic 双曲线 Eigenmodes 特征值 4.将网格初始化和精细化 5.求解方程 6.将结果画图 7.放大视图
（抛物线型）受热金属块的热传导
一块受热的有矩形裂纹的金属块， 金属块的左侧被加热到100摄氏度， 在右侧热量以恒定速率降低到 周围空气中，其它边界独立。 即： ⑴ u=100 左侧（dirichilet条件） ⑵ u’=-10 右侧（Neumann条件） ⑶ u’=0 其它边界（Neumann条件） Rcdao.m
( x)
1 0
(10 x 11 ) ( x 10, x 11 )
%差分法解热传导方程 cfrcd.m x=0:20;a2=10;r=a2*0.01; u=zeros(21,25); %预设矩阵以存放求得的解 u(10:11,1)=1; %初始条件 for j=1:25 %求解及作图 u(2:20,j+1)=(1-2*r)*u(2:20,j)+r*(u(1:19,j)+u(3:21,j)); plot(x,u(:,j));axis([0 21 0 1]);pause(0.1) end meshz(u)
（抛物线型）矩形区域的有源的热传导 在矩形的四边,温度为零,在区域的中央,半径为 0.4的圆内,有个恒定的热源,其值为1.
（双曲线型）方形薄膜的横向振动的波动方程 方形薄膜左侧和右侧固定 （u=0）,前后两端自由（u’=0） 初始条件：t=0 u(0)=atan(cos(pi/2*x)) dudt(0)=3*sin(pi*x).*exp(sin(pi/2*y))
ui,j+1 rui-1,j (1-2r)ui,j rui+1,j
差分法解热传导方程
有限长细杆的热传导问 题 ut a 2 u xx u(0, t ) 0, u( l , t ) 0 u( x , t 0) ( x )
参数： l 20, t 25, a 2 10, 且
( t ) 2 2 令 : x i x , t j t , c a , 2 ( x ) i , j 0,1,2,...n 1 写成足标形式 ui , j i ui , j rui 1, j 2rui , j rui 1, j c( ui 1, j ui 1, j ) 2(1 c )ui , j ui , j 1
即： u( x , t t ) u( x , t ) t a 2 [u( x x , t ) 2u( x , t ) u( x x , t )] 2 ( x )
令 : x i x , t j t , r
t 2 a , 2 ( x )
i , j 0,1,2,...n 1 写成足标形式 ui , j i ui , j rui 1, j 2rui , j rui 1, j (1 2r )ui , j r ( ui 1, j ui 1, j )
偏微分方程工具箱
《数学物理方程的
MATLAB解法与可视化》 彭芳麟 清华大学出版社
详细地介绍了MATLAB 的偏微分方程工具箱与解 偏微分方程指令，还介绍 了差分方法和有限元方法。 对学习数值计算或计算物 理课程而言，这也是很实 用的参考教材。
引言：偏微分方程的主要类型
椭圆型 抛物型 双曲型
2 2 2 ( 2 2 2 ) ( x , y , z ) S ( x , y , z ) x y z
差分法解热传导方程
一维热传导方程是： ut a 2 u xx u( x , t t ) u( x , t ) t u( x x , t ) 2u( x , t ) u( x x , t ) u xx ( x ) 2 热传导方程可以写成差 分形式： u( x , t t ) u( x , t ) u( x x , t ) 2u( x , t ) u( x x , t ) a2 t ( x ) 2 由导数差分公式有： ut
2 2 2 [ a 2 ( 2 2 2 )] ( x , y , z , t ) S ( x , y , z , t ) t x y z 2 2 2 2 [ 2 a 2 ( 2 2 2 )] ( x , y , z , t ) S ( x , y , z , t ) t x y z
2-2c
差分法解弦振动方程
%两端固定的弦振动 两端固定的均匀弦的振动 clear N=4010;dx=0.0024; dt=0.0005;c=dt*dt/dx/dx; x=linspace(0,1,420)'; u(1:420,1)=0; u(181:240,1)=0.05*sin(pi*x(181:240)*7); u(2:419,2)=u(2:419,1)+c/2*(u(3:420,1)-2*u(2:419,1)+u(1:418,1)); h=plot(x,u(:,1),'linewidth',3); axis([0,1,-0.05,0.05]); set(h,'EraseMode','xor','MarkerSize',18) for k=2:N set(h,'XData',x,'YData',u(:,2)); drawnow; u(2:419,3)=2*u(2:419,2)-u(2:419,1)+c*(u(3:420,2)-2*u(2:419,2)+u(1:418,2)); u(2:419,1)=u(2:419,2); u(2:419,2)=u(2:419,3); end
差分法解弦振动方程
一维弦振动方程： utt a 2 u xx ( 0 x 3 / 5) x 初始条件： u( x ,0) 1.5 1.5 x ( 3 / 5 x 1) ut ( x ,0) 0
波动方程可以写成差分 形式： u( x , t t ) 2u( x , t ) u( x , t t ) 2 u( x x , t ) 2u( x , t ) u( x x , t ) a 2 （ t） ( x ) 2
拉普拉斯方程 热传导方程、扩散方程 波动方程
偏微分方程工具箱（PDETOOL）
（椭圆型）单位圆盘的泊松方程
在单位圆内求解泊松方程 -ΔU=1 在单位圆的边界上U=0。 % Solve Poisson's equation 该问题的精确解为 % -div(grad(u))=1 % on the unit disk with u=0 on the boundary. 2 2 1 x y % Compare with exact solution. U ( x, y ) 4 pause % Strike any key to continue.
数学物理方程的Matlab解法
数学物理方程的Matlab解法
• 工程中许多问题可以归结为偏微分方程问题，这 些由偏微分方程及边界条件、初始条件等构成的 数学模型，只有在十分特殊的条件下才能求得解 析解。 • 随着计算机技术的发展，各种数值方法应运而生， 如有限元法，有限差分法、拉格朗日元法等。利 用数值法，可以求得这些问题的数值解。它不是 问题的精确解，但可以无限接近精确解。 • MATLAB采用有限元法求解偏微分方程的数值解。