判别式与韦达定理的应用

【学习课题】 九上 补充内容 综合应用根的判别式和韦达定理

【学习目标】 1、掌握一元二次方程根与系数的符号关系

2、利用韦达定理并结合判别式，求参数的值

【学习重点】一元二次方程根与系数的符号关系

【学习难点】利用韦达定理并结合判别式，求参数的值

【学习过程】

学习准备：（1）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 的判别式△=__________

△＞0⇔__________△=0 ⇔_____________△＜0 ⇔__________

（2）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根分别为x 1和x 2

x 1+x 2=____________, x 1x 2=_____________

解读教材：由根的判别式及韦达定理可得如下结论：

（1）若a 、c 异号 ⇒ ax 2+bx+c=0 (a ≠0)必有两个不相等的实数根；

（2）有一个根为1 ⇔ a+b+c=0 ；

（3） 有一个根为—1 ⇔ a —b+c=0；

（4）有一个根为0 ⇔ c=0

（5）有两个正根 ⇔⎪⎩⎪⎨⎧+≥0210210＞＞△x x x x （6）有两个负根 ⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧+≥0210210＞＜△x x x x (7) 有一正根一负根 ⇔⎩⎨⎧0021＜△＞x x （8）两根同号 ⇔⎩⎨⎧≥002

1＞△x x （9）两根互为相反数⇔⎩⎨⎧=⇒=+0

0021b x x △＞ （10）两根互为倒数⇔⎩⎨⎧=≥102

1x x △ （11）一根为正，一根为0 ⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒=+00002

121c x x x x ＞△＞

（12）一根为负，一根为0 ⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒=+00002

121c x x x x ＜△＞

（13）两根均为0⇔b=c=0

(14) 一根比a 大，一根比a 小⇔⎩⎨⎧--0

))(021＜（△＞a x a x 例1 已知方程（k+1）x 2—4kx+3k —1=0 的两个实数根均为正，求k 的值。

思路点拨：因为原方程两个实数根均为正，有上述结论（5）可得不等式组，解这个不

等式组即可求出k 的值。

解：由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧+≥0210210＞＞△x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧⇒ ⎪⎩

⎪⎨⎧⇒ ⇒

即时练习：

K 为何值时，方程4x 2—(k —1)x+k —7=0 的两个根具有下列关系：

（1）两根互为相反数 （2）两根互为倒数 （3）有一根为0

挖掘教材：

应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有实数根，即应首先满足△≥0这一条件。

例2、已知方程x 2+kx+k=0有两个实数根，且两根的平方和为3，求k 的值。

解：由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-=+≥302221

2121x x k

x x k x x △⇒=-+⇒32)(21221x x x x =⇒1k _______,=2k ______

当K1=_____时，△______;当K2=_____时，△______

故K 的值为______

归纳小结：二次项系数a ≠0和△≥0是实系数一元二次方程根与系数关系的前提。因此，

在做题时，应优先考虑这两点。即二次项系数与△优先的原则。

即时练习：

若方程2x 2-mx-4=0的两个实数根x 1,x 2满足11x +2

1x =2，求m 的值。

例2、已知关于x 的方程x 2-(2k-3)+k 2+1=0的两个实数根x1、x2满足：321=+x x ,求k 的值。

解：∵原方程有两个实数根，则△≥0

即［-(2k-3)］2-4(k 2+1)≥0 解之得：k______ ①

又∵x 1x 2=k 2+1>0,∴x 1与x 2同号；由：321=+x x 可得：x1+x2=±3 即 2k-3=±3 ,解之得:k1=_____,k2=______ ②

由①②可得：K=________

即时练习：

已知方程x 2-4x+6k=0两个实数根的平方差为8，求k 的值。

反思拓展：

1、 韦达定理：充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。

2、应用韦达定理的前提条件是这个方程是一元二次方程且有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须首先满足二次项系数a ≠0和判别式△≥0这两个条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。

3、应用韦达定理求根的代数式的值，一般是关于x 1,x 2的对称式，这类问题可通过变形X 1+x 2和x 1x 2表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：

（1）恰当组合 （2）根据根的定义降次 （3）构造对称式

【达标检测】

1、（广州）关于x 的一元二次方程x 2-x+a(1-a)=0有两个不相等的正根，则a 可取的值为____ (只要填写一个可能的值即可)

2、（2005年.淮安）已知关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0有两个实数根，且2x 1-x 2=7,则a=____

3、（2005年.荆州）若α、β是方程x 2+2x-2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为_____

4、在等腰三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a=3,b 和c 是关于x 的方程x 2+mx+2-2

1m=0的两个实数根，求△ABC 的周长。

5、（盐城） 已知关于x 的方程x 2+2（2-m ）x+3-6m=0

(1) 求证：无论m 取什么实数，方程总有实数根。

（2）如果方程的两实数根分别为x 1、x 2，满足x 1=3x 2，求实数m 的值。

6、（2005年.南通）已知关于x 的方程x 2-kx+k 2+n=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，且 （2x 1+x 2）2-8 (2x 1+x 2)+15=0 求证：（1）n<0 (2)试用k 的代数式表示x 1

（3）当n= - 3 时，求k 的值。

7、（2005年.天津））已知关于x 的方程x 2+2px+1=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，求实数p 的取值范围。