追及问题相遇问题
《追及相遇问题》课件
验证：验证计算结果是否符合物理规律，如速度、加速度、时间等是否合理
物理模型法
● 追及相遇问题的定义：两个物体在同一直线上运动，一个物体追赶另一个物体，最终相遇的问题。 ● 物理模型法的基本步骤： a. 确定研究对象：确定追及相遇问题的两个物体。 b. 建立物理模型：根据题目要求，建立追及相遇问
碰撞问题
火车相撞：火车在行驶过程 中，两列火车发生碰撞
飞机相撞：飞机在飞行过程 中，两架飞机发生碰撞
汽车追尾：汽车在行驶过程 中，后车与前车发生碰撞
船舶碰撞：船舶在航行过程 中，两艘船舶发生碰撞
追及相遇问题的实例解 析
追及问题实例解析
实例1： 汽车追及 问题
实例2： 火车追及 问题
实例3： 飞机追及 问题
0 4
速度是描述物体运动过程的一个参数，通常用v表示
0 时间、距离和速度之间的关系是：s=vt，其中s是距 5 离，v是速度，t是时间
0 在追及相遇问题中，时间、距离和速度的关系容易混淆， 6 需要仔细分析题目中的条件，正确理解三者之间的关系。
对加速度和初速度的理解不够深入
加速度：物体速度的变化率，与速度方向无关
● 物理模型法的优缺点： a. 优点：能够直观地描述追及相遇问题，便于理解和求解。 b. 缺点：需要一定的物理知识，对于复杂的 追及相遇问题，可能需要多次尝试才能找到合适的物理模型。 • a. 优点：能够直观地描述追及相遇问题，便于理解和求解。 • b. 缺点：需要一定的物理知识，对于复杂的追及相遇问题，可能需要多次尝试才能找到合适的物理模型。
实例4： 船舶追及 问题
实例5： 跑步追及 问题
实例6： 自行车追 及问题
追及相遇问题
1 1 t1 , d S C. t′ 2 2
D. t′=
1 3 t1 , d S 2 4
例5.甲乙两车在公路上沿同一方向做直线运 动，它们的v-t图象如图所示。两图象在t=t1 相交于P点，P在横轴上的投影为Q，△OPQ 的面积为S。在t=0时刻，乙车在甲车前面， 相距为d。已知此后两车相遇两次，且第一 次相遇的时刻为t′，则下面四组t′和d的 组合可能是（ ） 1 1 A. t′＝t1 d=S B. t′= t1 , d S
后车
分 析 同 上 一 页
后车
t
③ ④
t
⑤
t
练习一 匀速运动追匀减速运动的情况（开始时v1< v2）：v1< v2时，两 者距离变大；v1= v2时，两者距离最远；v1>v2时，两者距离变小， 相遇时满足 X2=X1+L 全程只相遇一次。 例1、当汽车B在汽车A前方7m时，A正以vA =4m/s的速度向前 做匀速直线运动，而汽车B此时速度vB =10m/s，并关闭油门向 前做匀减速直线运动，加速度大小为a=2m/s2。此时开始计时， 则A追上B需要的时间是多少？
以下情况都属于快车追慢车，快车先快后慢的情况
②后车减速，前车匀速 ③后车加速，前车加速 a1<a2 ④后车减速，前车减速 a1>a2 ⑤后车减速，前车加速
v
后车
前车 ②
t
v后车
前车
v
后车
v 后车
前车
分 析 同 上 一 页
前车
t
③ ④
t
⑤
t
练习二 匀减速运动追匀速运动的情况（开始时v1> v2）：v1> v2时， 两者距离变小；v1= v2时，①若满足x1-x2<L，则永远追不上 ，此时两者距离最近；②若满足x1-x2=L，则恰能追上，全 程只相遇一次；③若满足x1-x2>L，则后者超越前者，全程 要相遇两次。 例 2汽车正以10m/s的速度在平直公路上前进，突然发现正前方 有一辆自行车以4m/s 的速度做同方向的匀速直线运动，汽车 立即关闭油门做加速度大小为 6 m/s2的匀减速运动，汽车恰好 不碰上自行车。求关闭油门时汽车离自行车多远？
追及与相遇问题
见全品练习册，20页的13题
方法一：设：经过时间t，人与车速度相等，
因
人追不上车。人车间的最小距离为
方法二：设：经过时间t，人与车相距S，
则S= S0+S车 - S人=25 + 0.5 t2 - 6 t 令S=0，既假设人能追上车，0.5 t2 - 6 t+25=0 因b2-4ac = （-6）2 -4×0.5×25=-14＜0,方程无 解,故人追不上车 当t=人车间的最小距离为 s =25 + 0.5×62 - 6× 6=7m 时，s有最小值
追及与相遇问题
一、追及问题：二者速度相等时相距最远 （或者最近） 1、后面加速，前面匀速，二者相距x 。一定 能追上，二者速度相等时相距最远 。
2、后面匀速，前面从静止加速，二者相距x 。 不一定能追上，二者速度相等时相距最远近。
2 例6、车从静止开始以1m/s 的加
速度前进，车后相距s0为25m处， 某人同时开始以6m/s的速度匀速 追车，能否追上？若追不上，求 人、车间的最小距离。
相遇问题与追及问题指的是什么
.相遇问题与追及问题指的是什么？怎样解答这类问题？行路方面的相遇问题，基本特征是两个运动的物体同时或不同时由两地出发相向而行，在途中相遇。
基本关系如下：相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）总路程=（甲速+乙速）×相遇时间甲、乙速度的和-已知速度=另一个速度相遇问题的题材可以是行路方面的，也可以是共同工作方面的。
由于已知条件的不同，有些题目是求相遇需要的时间，有些题目是求两地之间的路程，还有些题目是求另一速度的。
相应地，共同工作的问题，有的求完成任务需要的时间，有的求工作总量，还有的求另一个工作效率的。
追及问题主要研究同向追及问题。
同向追及问题的特征是两131 个运动物体同时不同地（或同地不同时）出发作同向运动。
在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度要慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。
在日常生活中，落在后面的想追赶前面的情况，是经常遇到的。
基本关系如下：追及所需时间=前后相隔路程÷（快速-慢速）有关同向追及问题，在行路方面有这种情况，相应地，在生产上也有这种情况。
例1：甲、乙两地相距710千米，货车和客车同时从两地相对开出，已知客车每小时行55千米，6小时后两车仍然相距20千米。
求货车的速度？分析：货车和客车同时从两地相对开出，6小时后两车仍然相距20千米，从710千米中减去20千米，就是两车6小时所行的路。
又已知客车每小时行55千米，货车的速度即可求得。
计算：（710-20）÷6-55=690÷6-55=115-55=60（千米）答：货车时速为60千米。
例2：铁道工程队计划挖通全长200米的山洞，甲队从山的一侧平均每天掘进1.2米，乙队从山的另一侧平均每天掘进1.3米，两队同时开挖，需要多少天挖通这个山洞？计算：200÷（1.2+1.3）=200÷2.5=80（天）答：需要80天挖通这个山洞。
例3：甲、乙两个学生从学校到少年活动中心去，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米。
(完整版)相遇问题与追及问题
相遇与追及问题一、学习目标1.理解相遇与追及的运动模型，掌握相遇与追及这两种情况下路程、时间、速度这三个基本量之间的关系.会利用这个关系来解决一些简单的行程问题.2.体会数形结合的数学思想方法.二、主要内容1.行程问题的基本数量关系式：路程二时间X速度；速度二路程F时间；时间二路程F速度.2．相遇问题的数量关系式：相遇路程二相遇时间X速度和；速度和二相遇路程F相遇时间；相遇时间二相遇路程F速度和.3.追及问题的数量关系式：追及距离二追及时间X速度差；速度差二追及距离F追及时间；追及时间二追及距离F速度差.4.能熟练运用路程、时间、速度这三个基本量的关系，结合图形分析，解决一些简单的行程问题.三、例题选讲例1两辆汽车同时分别从相距500千米的A,B两地出发，相向而行，速度分别为每小时40千米和每小时60千米.求几小时后两车相遇.例2甲车在乙车前200千米，同时出发，速度分别为每小时40千米与60千米.问多少小时后，乙车追上甲车.例3一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距598千米的两地相向而行.公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行52千米，问几小时后两车相距138千米？例4甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇.求东、西两地相距多少千米？例6一辆卡车和一辆摩托车同时从A、B两地相对开出，两车在途中距A地60千米处第一次相遇•然后，两车继续前进，卡车到达B地，摩托车到达A地后都立即返回，两车又在途中距B地30千米处第二次相遇.求A、B两地相距多少千米？例7甲、乙、丙三人进行100米赛跑•当甲到达终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有40米.如果甲、乙、丙赛跑的速度都不变，那么当乙到达终点时，丙离终点还有多远？例8小明步行上学，每分行75米，小明离家12分后，爸爸骑单车去追，每分行375米.问爸爸出发多少分后能追上小明？例9解放军某部快艇追击敌舰，追到A岛时，敌舰已逃离该岛15分钟，已测出敌舰每分钟行驶1000米，解放军快艇每分钟行驶1360米，在距离敌舰600米处可开炮射击.问解放军快艇从A岛出发经过多少分钟就可以开炮射击敌舰？例10甲、乙两人在环形跑道上以各自的不变速度跑步，如果两人同时从同地相背而行乙跑4分钟后两人第一次相遇，已知甲跑一周需6分钟，那么乙跑一周需要多少分钟？例11两名运动员在湖周围环形道上练习长跑，甲每分跑250米，乙每分跑200米，两人同时从两地同向出发，经过45分甲追上乙，如果两人同时同地反向出发，经过多少分两人相遇？例12甲、乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米，如果她们同时分别从直路两端点出发，跑了6分，那么，这段时间内，两人共迎面相遇了多少次？巩固练习:1、甲、乙两站相距980千米，两列火车由两站相对开出，快车每小时行50千米，慢车每小时行多少千米，两车经10小时能相遇？2、甲车每小时行60千米，1小时后，乙车紧紧追赶，速度为每小时80千米，几小时后乙车可追上甲车？3、早晨6时，有一列货车和一列客车同时从相距360千米的甲、乙两城相对开出，中途相遇，这期间，货车停车一次60分钟，客车停车两次各30分钟，已知货车每小时行42千米，客车每小时行78千米，问两车在几点钟相遇？4、东、西两镇相距240千米，一辆客车从上午8时从东镇开往西镇，一辆货车在上午9时从西镇开往东镇，到正午12点，两车恰好在两镇间的中点相遇，如果两车都从上午8时由两地相向开出，速度不变，到上午10时，两车还相距多少千米？5、骑单车从甲地到乙地，以每小时10千米的速度行进，下午1点到，以每小时15千米的速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进呢？6、某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行了12小时，再换骑自行车行9小时，恰好到达乙地.如果他从甲地先骑自行车行了21小时，再换骑摩托车行8小时，也恰好到达乙地.问：全程骑摩托车需要多少小时才能到达乙地？7、兄妹两人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门口时，发现忘了带课本，立即沿原路返回去取，行至离校门口180米处与妹妹相遇，他们家离学校多少米？8、兄妹两人在周长300米的圆形水池边玩.从同一地点同时背向饶水池而行.哥哥每分钟走13米，妹妹每分钟走12米.他们第5次相遇时，哥哥共走了多长的路？课后作业:1.甲以每小时4千米的速度步行去学校,乙比甲晚4小时骑自行车从同一地点出发去追甲,乙每小时行12千米,乙多少小时可追上甲？2.小张从家到公园,原打算每分钟走50米,为了提早10分钟到,他把速度加快,每分钟走75米.小张家到公园有多少米？3.父亲和儿子都在某厂工作,他们从家里出发步行到工厂,父亲用40分钟,儿子用30分钟.如果父亲比儿子早5分钟离家,问儿子用多少分钟可赶上父亲?4.解放军某部小分队,以每小时6千米的速度到某地执行任务,途中休息30分后继续前进,在出发5.5小时后,通讯员骑摩托车以56千米的速度追赶他们。
相遇问题追及问题公式
相遇问题追及问题公式
在物理学和工程学中，相遇问题和追及问题是经常遇到的两类运动问题。
这两类问题涉及到物体（通常是点或者车辆）在空间中的运动，其中一个物体试图追上另一个物体或者它们在某个时间和位置相遇。
1. 相遇问题：相遇问题涉及两个物体（A和B）从不同位置出发，在相同的方向上移动，目的是找到它们相遇时的时间和位置。
一般来说，如果两个物体以速度 (v1) 和 (v2) 向相同方向运动，它们相遇的时间 (t) 可以用以下公式表示：。
t = d
v1 + v2
其中，(d) 是两个物体之间的初始距离。
2. 追及问题：追及问题通常涉及一个物体（A）试图追上另一个物体（B），在这种情况下，它们通常是在相反的方向上运动。
如果物体 A 以速度 (v a) 追赶物体 B，而物体 B 以速度 (v b) 逃离，它们相遇的时间 (t) 和位置可以通过以下公式表示： t=d。
va + vb
其中，(d) 是初始距离，如果 (v a> v b)，它们将在 (t) 时间后相遇。
这些公式是基于最简单的情况，实际问题可能涉及更复杂的情况，比如加速度、方向变化等因素。
追及相遇问题
(2)匀速运动的物体甲追赶同方向做匀 加速运动的物体乙时，恰好追上或恰好 追不上的临界条件是两物体速度相等， 即v甲＝v乙． 判断此种追赶情形能否追上的方法是： 假定在追赶过程中两者在同一位置，比 较此时的速度大小，若v甲>v乙，则能追上； v甲<v乙，则追不上，如果始终追不上，当 两物体速度相等即v甲＝v乙时，两物体的 间距最小．
(3)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速 度小者(如匀速运动) ①两者速度相等，追者位移仍小于被追者 位移，则永远追不上，此时二者间有最小距 离． ②若速度相等时，有相同位移，则刚好追 上，也是二者相遇时避免碰撞的临界条件． ③若位移相同时追者速度仍大于被追者的 速度，则被追者还能有一次追上追者，二者 速度相等时，二者间距离有一个最大值．
变式训练
3．汽车正以10 m/s 的速度在平直 的公路上前进，突然发现正前方有一 辆自行车以4 m/s的速度做同方向的匀 速直线运动，汽车立即关闭油门做加 速度大小为6 m/s2的匀减速运动，汽车 恰好不碰上自行车，求关闭油门时汽 车离自行车多远？
解析：汽车和自行车运动草图如下：
类型三
例3
追及相遇问题的求解方法
一小汽车从静止开始以3 m/s2的 加速度行驶，恰有一自行车以6 m/s的 速度从车边匀速驶过． (1)汽车从开动后在追上自行车之 前，要经多长时间两者相距最远？最 远距离是多少？ (2)什么时候追上自行车，此时汽 车的速度是多少？
(2)由图知，t＝2 s以后，若两车位移相 等，即v－t图象与时间轴所夹的“面积”相 等． 由几何关系知，相遇时间为t′＝4 s，此 时v汽＝2v自＝12 m/s. 【答案】 (1)2 s 6 m (2)4 s 12 m/s 【方法总结】 解决追及相遇问题时， 主要从以下三个方面分析：(1)明确每个物 体的运动性质，(2)确定两物体运动时间的 关系，(3)确定两物体的位移关系．
追及和相遇问题
追击和相遇问题两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。
因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系而解出。
一、追及问题1、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。
若甲2⑴⑵⑶3⑴⑴⑵例1以5m s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：（1）什么时候它们相距最远？最远距离是多少？（2）在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？分析：分析过程，合理分段，画出示意图，并找出各段之间的连接点解题过程：例2、在某市区内，一辆小汽车在公路上以速度v 1向东行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路。
汽车司机发现游客途经经14.01．甲乙两个质点同时同地向同一方向做直线运动，它们的v —t 图象如图所示，则 （ ）A．乙比甲运动的快B．2 s乙追上甲C．甲的平均速度大于乙的平均速度D．乙追上甲时距出发点40 m远２．汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时起动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速运动，经过30 s 后以该时刻的速度做匀速直线运动．设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始（）A．A车在加速过程中与B车相遇B．A、B相遇时速度相同C．相遇时A车做匀速运动D．两车不可能再次相遇3．两辆完全相同的汽车,沿水平直路一前一后匀速行驶,速度均为V0,若前车突然以恒定的加速度刹车,在它刚停住时,后车以前车刹车时的加速度开始刹车.已知前车在刹车过程中所行的距离为s,若要保证两辆车在上述情况中不相撞,则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为：（）A．s B．2s C．3s D．4s4．A与B两个质点向同一方向运动,A做初速为零的匀加速直线运动,B做匀速直线运动.开始计时时,A、B位于同一位置,则当它们再次位于同位置时:A．两质点速度相等．B．A与B在这段时间内的平均速度相等．C．A的即时速度是B的2倍．D．A与B的位移相等．5．汽车甲沿平直公路以速度V做匀速直线运动，当它经过某处的另一辆静止的汽车乙时，乙开始做初速度为零的匀加速直线运动去追甲。
追及和相遇问题
第四讲追及和相遇问题1．追及问题的三种情况(1)初速度为零的匀加速直线运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙时，一定能追上，在追上前两者有最大距离的条件是两者速度相等。
(2)匀速运动的物体甲追赶同方向做匀加速运动的物体乙时，两物体速度相等时是否处在同一位置是解决该问题的关键。
（3）速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀加速直线运动）A.两者速度相等，追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时有最小距离。
B.若速度相等时，有相同的位移，刚好追上，也是避碰的临界条件。
C.若位移相同时追者的速度仍大于被追者的速度，则被追者还能有一次追上追者，速度相等时二者有最大距离。
2．相遇问题的两类情况(1)同向运动的两物体追及即相遇．(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．1．甲、乙两车某时刻由同一地点沿同一方向开始做直线运动，若以该时刻作为计时起点，得到两车的x－t的图象如图所示，则下列说法正确的是()A．t1时刻乙车从后面追上甲车B．t1时刻两车相距最远C．t1时刻两车的速度刚好相等D．0到t1时间内，乙车的平均速度小于甲车的平均速度2．(多选)甲、乙两辆汽车沿平直公路从同一地点同时由静止开始向同一方向运动的v －t图象如图所示，则下列说法正确的是()A．0～t时间内，甲的平均速度大于乙的平均速度B．0～2t时间内，甲的平均速度大于乙的平均速度C．t时刻两车再次相遇D．在t～2t时间内的某时刻，两车相遇3．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车运动的v－t图象中(如图所示)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s的运动情况．关于两车之间的位置关系，下列说法中正确的是()A．在0～10 s内两车逐渐靠近B．在10～20 s内两车逐渐远离C．在5～15 s内两车的位移相等D．在t＝10 s时两车在公路上相遇4．物体甲的位移与时间图象和物体乙的速度与时间图象分别如图甲、乙所示，则这两个物体的运动情况是()A．甲在整个t＝6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零B．甲在整个t＝6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 mC．乙在整个t＝6 s时间内有来回运动，它通过的总位移为零D．乙在整个t＝6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m5.甲、乙两物体由同一位置出发沿一直线运动，其速度—时间图象如图所示，下列说法正确的是()A．甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动B．两物体两次相遇的时刻分别是在2 s末和6 s末C．乙在前2 s内做匀加速直线运动，2 s后做匀减速直线运动D．2 s后，甲、乙两物体的速度方向相反6．如图所示的位移(x)—时间(t)图象和速度(v)—时间(t)图象中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是()A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动B．0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程C．0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等7.如图所示，是一辆汽车做直线运动的x－t图象，对线段OA、AB、BC、CD所表示的运动，下列说法中正确的是()A．OA段汽车运动速度最大B．AB段汽车做匀速运动C．CD段汽车的运动方向与初始运动方向相反D．汽车运动4 h的位移大小为30 km8．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车．问：(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？(2)什么时候汽车追上自行车？此时汽车的速度是多少？9．甲车以10 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4 m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动，甲车经过乙车旁边开始以0.5 m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求：(1)乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离；(2)乙车追上甲车所用的时间。
追及和相遇问题
追及和相遇问题当两个物体在同一条直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的 距离会不断发生变化，两物体间距越来越大或越来越小时，就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题．一、时间关系1、同时出发，在俩者运动中追击，A B t t =。
2、同时出发，在一个运动中，一个静止追击，A B t t t =+∆。
二、出发地点关系1、同地追击，同一地点出发，最后追击相遇A B x x =2、异地追击，不在同一地点，最后追击相遇A B x x x =+∆三、位移关系1、A 为汽车B 为自行车，俩物体的相距x ∆，追上时A 走过的位移A x ， B 走过的位移B x ，则A B x x x =∆+。
四、追击过程的距离极值问题1、在追击过程中，当A B v v =，A ，B 俩物体之间达到距离的极值，可能为最大或最小，具体问题具体分析。
五、追击过程中的恰好不相碰问题1、追上的瞬间位移关系：A B x x x =∆+2、追上的瞬间速度关系：A B v v =六、追上的瞬间比较加速度，分析二次追击问题1、追上的瞬间位移关系：A B x x x =∆+2、追上的瞬间速度关系：A B v v ≥，3、追上时的加速度关系：,,A B A B a a a a ≥⎧⎨<⎩不会发生二次追击会发生二次追击七、讨论有无二次追击的可能已知A ，B 俩物体相距0x ，A 追击B ，讨论追击可能发生的相关问题。
1.当A 的瞬时速度1A v 与B 的瞬时速度1B v 相等时，即1A v =1B v ，A 的位移为A x ，B 的位移为B x ，则A B x x x ∆=-2.讨论0x 与x ∆的关系，000,,,,A B A B A B A B a a AB x x a a AB x x AB a a AB x x a a AB ⎧≤⎧∆<⎪⎨>⎩⎪⎪∆=⎨⎪<⎧⎪∆>⎨⎪≥⎩⎩不会发生追击问题。
会发生追击问题,且一次。
追及相遇问题自己整理
追及相遇问题涉及到物理、数学等多个学科的知识，未来可能会有更多的跨学科研究和应用，推动相关学科的发展和 融合。
实际问题应用
追及相遇问题在实际生活中有很多应用，如交通、航空、航天等领域。未来可能会有更多的实际问题需 要运用追及相遇问题的知识和方法来解决。
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划。
自然界中的捕食与被捕食
在自然界中，捕食者和被捕食者之间的追逐和逃避是一种常见的现象。利用追及相遇问 题的原理，可以分析捕食者和被捕食者之间的速度、距离和逃避策略等因素，揭示自然
选择和生物进化的规律。
06
总结与展望
解题技巧归纳
仔细审题
在解决追及相遇问题时，首先要仔细阅读题目， 明确已知条件和未知量，理解问题的背景和情境 。
在追及相遇问题中，通常涉及到速度、时间、路程等物理量，需 要运用运动学公式进行求解。
追及相遇类型
01
匀加速追匀速
后面物体做匀加速直线运动，前面物体做匀速直线运动，当两物体速度
相等时，它们之间的距离最远；当后面物体追上前面物体时，它们之间
的距离为零。
02
匀速追匀减速
后面物体做匀速直线运动，前面物体做匀减速直线运动，当两物体速度
不同类型曲线运动中的追及相遇
两个物体分别做不同类型的曲线运动（如螺旋运动、摆线运动等），当它们之间的相对位置满足一定 条件时，可认为发生追及相遇。此时，需要根据两物体的运动轨迹、速度以及加速度等条件，判断何 时何地能够相遇。
04
多物体追及相遇问题
两物体间的追及相遇
01
追及相遇的条件
当两物体在同一直线上运动，且 后面的物体速度大于前面的物体 时，会发生追及相遇现象。
追及和相遇问题
（4)求解此类问题的方法，除了以上所述根据 追及的主要条件和临界条件解联立方程外，还 有利用二次函数求极值，及应用图象法和相对 运动知识求解．
1、《走向高考》：P15—例证3 2、备考P9例6
3、备考P12例9
4、如图所示，A、B两物体相距 S=7米，A正以VA=4米/秒的速度向 右做匀速直线运动，而物体B此时 A 速度VB=10米/秒，方向向右做匀减 速直线运动，加速度大小a=2米/秒， 从图示位置开始，问经多少时间A 追上B？
3、匀速物体追赶匀加速物体：当追者速 度等于被追赶者速度时恰好追上，只有一 次相遇机会。当第一次追上时追者速度大 于被追者速度，有两次相遇机会。 4、匀速物体追匀减速物体：必能追上且 只有一次相遇机会，注意分析匀减速物体 何时停下来。
二、相遇问题
相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情 形，其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标 相同．
提醒：遇到匀速运动物体追赶匀减速运动物体的 问题时，特别要注意匀减速的物体何时停下来！
追及问题小结： 1、初速为零的匀加速物体追赶同向匀速物体 时，追上前两者具有最大距离的条件：追赶者 的速度等于被追赶者的速度。 2、匀减速物体追赶同向匀速物体时，恰能追 上或恰好追不上的临界条件是：即将靠近时追 赶者的速度等于被追赶者的速度。
VA
B S
VB
解：设经时间t ,A追上B，由运动学公式列方 程得：
VA t=S+VB t-a t2/2
即：t2-6t-7=0
对吗？
解得 t=7s
正确解法：根据Vt=V0+at得 B停下来的时间tB=VB/a=10/2=5(s), 这段时间B的位移 SB=VtB=VBtB/2=10×5/2=25(m) 由 VAtA=S+SB 得： tA=(S+SB)/VA=(7+25)/4=8(s)
小升初行程问题 相遇问题 追及问题
行程问题（一）相遇问题追及问题【基本公式】1、路程=速度X时间2、相遇问题：相遇路程=速度和X相遇时间3、追及问题：相差路程=速度差X追及时间行程问题（一）相遇问题1、甲、乙两辆车同时从相距675千米的两地对开，经过5小时相遇。
甲车每小时行70千米，求乙车每小时行多少千米？2、快、慢两车同时从两城相向出发，4小时后在离中点18千米处相遇。
已知快车每小时行70千米，问慢车每小时行多千米？3、甲、乙两车同时从相距1313千米的两地相向开出，3小时后还相距707千米，再经过几小时两车相遇？4、两城相距564千米，两列火车同时从两城相对开出，6小时相遇，已知第一列火车的速度比第二列火车的速度每小时快2千米，两列火车的速度各是多少？5、小斌骑自行车每小时行15千米，小明步行每小时行5千米。
两人同时在某地沿同一条线路到30千米外的学校去上课。
小斌到校后发现忘了带钥匙，就沿原路回家去拿，在途中与小明相遇。
问相遇时小明共行了多少千米？6、A、B两地相距380千米。
甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，原计划甲每小时行36千米，乙每小时行40千米，但开车时，甲改变了速度，也以每小时40千米的速度行驶。
这样相遇时乙车比原计划少走了多少千米？7、东、西两地相距90千米，甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行。
甲每小时行的路程是乙的2倍。
5小时后两人相遇，两人的速度各是多少？8、甲、乙两车从相距360千米的两地相向而行，甲车时速70千米，乙车时速50千米，几小时后两车相距120千米？9、甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，4小时相遇，相遇后甲车继续行驶3小时到达B地，乙车每小时行54千米，问A、B两地相距多少千米？10、甲从A地、乙从B地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇A地6千米，继续前进,到达对方起点后立即返回，在离B地3千米处第二次相遇，问A、B两地相距多少千米？11、A大学的小李和B大学的小孙分别从自已的学校同时出发，不断往返于A、B两校之间。
追及与相遇问题
体在该时刻相遇。
2.追及：（1）若追及过程中，前者速度小于后者速度，
两物体距离越来越近； （2）若追及过程中，前者速度大于后者速度， 两物体距离越来越近。 （3）若后者能追上前者，则速度一定不小于前 者。
3.临界：速度相等时是物体距离极大值或极小值的时
例2、A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现
前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以 v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为 a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足 什么条件？
例3、A、B两车在平直的公路上分别以v1=10 m/s和v2=20 m/s的速度匀速行驶，两车相距 10m处，从该时刻起，前方的B车以2m/s2的 恒定加速度开始刹车，求A车何时追上B车？
例4、甲、乙两汽车在一条平直的单行道上乙前甲
后同向匀速行驶．甲、乙两车的速度分别为v1=40 m/s和v2=20 m/s ，当两车距离接近到250 m时两车 同时刹车，已知两车刹车时的加速度大小分别为 a1=1 m/s2和a2=1/3 m/s2问甲车是 Nhomakorabea会撞上乙车?
刻———速度相等往往是追及过程中两物体能 否相遇的临界条件。
追及与相遇问题
解题思路 1.分析相互追及的两物体运动情况，画出运动示意图；
2.由运动示意图找出两物体位移关系；
3.根据位移关系由位移公式列方程求解或利用速度时间图 像求解。
例1、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时
汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一 辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽 车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前 经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？汽 车在第几秒追上自行车？
追及和相遇问题
△x
x
v自t
1 2
at 2
6t
3 2
t2
x自
当t
6 2 (
3)
2s时
xm
62 4( 3)
6m
2
2
那么，汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度是多
大?汽车运动的位移又是多大？
x
6T
3 2
T
2
0 x汽
T 4s
1 aT 2＝24m 2
v汽
aT
12m /
s
方法四：相对运动法
选自行车为参照物，则从开始运动到两车相距最远这段过程中，
v自T
1 2
aT 2
T 2v自 4s a
v汽 aT 12m / s
x汽
1 2
aT 2＝24m
方法二：图象法
解：画出自行车和汽车的速度-时间图线，自行车的位移x自等于 其图线与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移x汽则等于其 图线与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图
中矩形的面积与三角形面积的差，不难看出，当t=t0时矩形与三 角形的面积之差最大。
x汽
△x
x自
方法一：公式法
当汽车的速度与自行车的速度
x汽
相等时，两车之间的距离最大。设
经时间t两车之间的距离最大。则
△x
v汽 at v自
t v自 6 s 2s
x自
xm
x自
a
x汽
3
v自t
1 2
at 2
6 2m
1 2
3 22 m
6m
那么，汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车的速度是
多大?汽车运动的位移又是多大？
相遇问题和追及问题的公式
相遇问题和追及问题可以使用以下公式来解决：
1. 相遇问题：
设A和B两地之间的距离为D，A和B同时从各自的地点出发，速度分别为Va和Vb。
假设A和B相遇的时间为t，则相遇时两者所走的路程分别为Va*t和Vb*t，根据题所给条件，有Va*t+Vb*t=D，可以解得t=D/(Va+Vb)。
2. 追及问题：
设A和B相距D，A是追赶者，B是被追赶者。
A的速度为Va，B的速度为Vb。
假设A能在t时间内追上B，即追及时间为t，则据题目所给条件，有Va*t=D+Vb*t，可以解得t=D/(Va-Vb)。
需要注意的是，在相遇问题中，两者速度的和应该使用Va+Vb，而在追及问题中，两者速度的差应该使用Va-Vb。
追及相遇问题
追及相遇问题1.追及和相遇问题的特点追及和相遇问题是常见的运动学问题，从时间和空间的角度来讲，相遇是指同一时刻到达同一位置。
可见，相遇的物体必然存在以下两个关系：一是相遇位置与各物体的初始位置之间存在一定的位移关系。
若同地出发，相遇时位移相等为空间条件。
二是相遇物体的运动时间也存在一定关系。
若物体同时出发，运动时间相等；若甲比乙早出发△t，则运动时间关系为t甲=t乙+△t。
要使物体相遇必须满足位移关系和运动时间关系。
2.相遇问题的情况⑴速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速直线运动）：①两者速度相等，追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时二者间有最小距离。
②若速度相等时，有相同位移，则刚好追上，也是二者相遇时避免碰撞的临界条件。
③若位移相同时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还能有一次追上追者，二者相等时，二者间距有一个较大值。
⑵速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（如匀速直线运动）：①当两者速度相等时二者间有最大距离。
②当二者位移相等时，即后者追上前者。
所以，追及和相遇的临界条件：追和被追的两物体速度相等（同向运动），是能追上、追不上、两者距离有极值的临界条件。
3.追及相遇问题的求解方法首先分析各个物体的运动特点，形成清晰的运动图景；再根据相遇位置建立物体间的位移关系方程；最后根据物体的运动特点找出运动时间关系。
方法1：利用不等式求解。
思路有二，其一是先求出在任意时刻t，两物体间的距离y=f（t）。
若对任意t，均存在y=f（t）〉0，则两物体永远不能相遇；若存在t，使y＜=f （t），则这两个物体可能相遇。
其二是根据几何关系列出关于t的方程f（t）=0，若方程无正实数解，则不能相遇；若方程存在正实数解，则说明两物体可能相遇。
方法2：利用图像法求解。
其思路是用位移图像求解，分别作出两个物体的位移时间图像，如果有交点，则说明两物体相遇。
说明：因为位移时间图像不好作，故一般作速度时间图像，并用图像与坐标轴的面积表示位移来分析。
2 追及相遇问题
25
例4、摩托车先由静止开始以 1 6 的加速度做匀加速运动， 后以最大行驶速度25m/s匀速运动，追赶前方以15m/s的速度同 向匀速行驶的卡车。已知摩托车开始运动时与卡车的距离为 1000m，则： （1）追上卡车前二者相隔的最大距离是多少？ （2）摩托车经过多少时间才能追上卡车？
m/s
2
（四）解题思路：一图三关系（一图三式） 一图：运动示意图 三关系：时间关系，速度关系，位移关系。
（二）结论 1、追上的标志：二者处在同一位置。
2、追上的条件：能否追上取决于追者和被追着的速度大小
关系，二者速度相等是能否追上、二者相距最远或最近的临 界条件。
例1、甲车以6m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，从某时刻 起，前方50m处的乙车由静止开始以0.5m/s2的加速度做匀加速 直线运动。问：甲车能否追上乙车，若追不上，二者间距有最 大值还是最小值，求出这个值。
专题一
追及相遇问题
一、追及问题
（一）几种情形 1、匀速追匀速（追着速度为v1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ被追着速度为v2) x0 v2 v1
若v1=v2，一定追不上，两者间距保持不变
若v1<v2，一定追不上，两者间距增大
若v1>v2，一定追上，两者间距减小，当二者到达空间同一 位置时追上，此后不再相遇。
2、速度小者（加速）追速度大者（匀速） （1）一定能追上。 （2）若二者速度相等时仍未追上，则此时二者之间距离最 大。 3、匀速追匀加速 （1）若速度相等时仍未追上，则永远追不上。 （2）若追上时追者速度仍大于被追者速度，则追着超
例2、甲车以10m/s的速度在平直的公路时匀速行驶，乙车以 4m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动，甲车经过乙车旁 边开始以0.5m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求： （1）乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离。 （2）乙车追上甲车所用的时间。
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典例研析
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解法一：后车刹车后虽做匀减速运动，但在其速度减小至和V2 相等之前，两车的距离仍将逐渐减小；当后车速度减小至小于
前车速度，两车距离将逐渐增大．可见，当两车速度相等时，
两车距离最近．若后车减速的加速度过小，则会出现后车速度
减为和前车速度相等之前即追上前车，发生撞车事故；若后车 加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍未过 上前车，根本不可能发生撞车事故；若后车加速度。 大小为某值时，恰能使两车在速度相等时后车追上前车．这正
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1、追及问题的分析思路 （1)根据追赶和被追赶的两个物体的运动性质，列出两个 物体的位移方程，并注意两物体运动时间之间的关系． （2)通过对运动过程的分析，画出简单的运动情景图，找 出两物体的运动位移间的关系式．追及的主要条件是两个 物体在追上时位置坐标相同．
S梯一S钉= h 式中S梯＝vt十? at 2，S钉＝vt－? gt2
可得t= 2h /?g ? a ?
V0、a
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? 【例4】火车以速度Vl匀速行驶，司机发现 前方同轨道上相距S处有另一火车沿同方向 以速度V2（对地、且V1＞V2）做匀速运 动．司机立即以加速度a紧急刹车．要使两 车不相撞，a应满足什么条件？
对于追及问题的处理，要通过两质点的速度比 较进行分析，找到隐含条件（即速度相同时， 而质点距离最大或最小）。再结合两个运动的 时间关系、位移关系建立相应的方程求解，必 要时可借助两质点的速度图象进行分析。
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大 设s1 ?值猎v21 t1，豹即从可静求止开x的始范匀围加。速奔跑60m达到最大速度用时间t2，则
t1
?
2s1 v1
?
2 ? 60 30
?
4s
羚羊从静止开始匀加速奔跑50m达到最大速度用时间t1，则
s2
?
v2 2
t2
t2
?
2s2 v2
?
2 ? 50 25
? 4s
猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，则猎豹减速前的匀速运 动时间最多4s，而羚羊最多匀速3s而被追上，此x值为最大值， 即x=S豹－S羊=[ （60＋30×4）－（50＋25×3）]=55m，所以应取 x<55m 。
? ? S/= V02/2a= （V1－V2）2/2a≤S，得a≥ V2 ? V1 2
2S
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追及相遇问题例析
例1、
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? 例3、高为h的电梯正以加速度 a匀加速上升，忽 然天花板上一颗螺钉脱落．螺钉落到电梯底板 上所用的时间是多少？
V0、a
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解析：此题为追及类问题，依题意画出反映这一过程的 示意图，如图2— 27所示．这样至少不会误认为螺钉作自 由落体运动，实际上螺钉作竖直上抛运动．从示意图还可 以看出，电梯与螺钉的位移关系：
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? 【例2】羚羊从静止开始奔跑，经过50m能 加速到最大速度25m/s ，并能维持一段较长 的时间；猎豹从静止开始奔跑，经过60 m 的距离能加速到最大速度 30m/s ，以后只能 维持此速度4.0 s.设猎豹距离羚羊xm 时开 时攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0 s才
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追及问题和相遇问题
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自主整合ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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一、相遇、追及与避碰问题
(3)寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶 速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减 速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离，等 等．利用这些临界条件常能简化解题过程． （4)求解此类问题的方法，除了以上所述根据追及的主要 条件和临界条件解联立方程外，还有利用二次函数求极值， 及应用图象法和相对运动知识求解．
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课时训练
解法二：要使两车不相撞，其位移关系应为 V1t－at 2/2 ≤S＋V2t 即at 2/2＋（V2－V1）t＋S≥0 对任一时间t，不等式都成立的条件为 Δ＝（V2－V1）2－2as≤0
由此得a≥ ?V2 ? V1 ?2
2S
解法三：以前车为参照物，刹车后后车相对前车做初速度 V0= V1－V2，加速度为a的匀减速直线运动．当后车相对前 车的速度成为零时，若相对位移S/≤S，则不会相撞．故由
是两车恰不相撞的临界状态，此时对应的加速度即为两车不相
撞的最小加速度．综上分析可知，两车恰不相撞时应满足下列
? ? 两方程：
V1t－a0t2/2＝V2t＋S V1—a0t=V2 解之可得：a0=
V2 ? V1
2
．所以当a≥ ?V2 ? V1 ?2
2S
2S
时，两车即不会相撞
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开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分 别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑， 求：猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊， x值应在什么范围？
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解析：先分析羚羊和猎豹各自从静止匀加速达到最大速度所用 的时间，再分析猎豹追上羚羊前，两者所发生的位移之差的最