第五章不定积分
第五章_不定积分
微积分
（三）不定积分的几何意义 的原函数的图形称为 的积分曲线 . 的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
f ( x) dx 的图形
y
O
x0
x
微积分
例3. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
sin x 2、设 f x ，则 x
f x dx
sin x x
x2
3、 f x dx e
x2
C，
则 f x 2 xe
微积分
5.3、 基本积分表
x x 1 x x dx 实例 C. 1 1 ( 1)
(也称配元法 , 凑微分法)
微积分
例1. 求 解: 令 u a x b , 则 d u ad x , 故 原式 = u
m
1 1 1 m 1 du u C a a m 1
注意换回原变量
注: 当
时
微积分
例2. 求 解:
sin x dcos x cos xdx cos x
e xd x e x C
ax x C (7 ) a d x ln a
微积分
dx (8) sec 2 xd x tan x C cos 2 x dx (9) 2 csc 2 xd x cot x C sin x (10) sec x tan xdx sec x C
（二）不定积分的运算性质
1.
k f ( x) dx k f ( x)dx (k 0) 2. [ f ( x ) g ( x )] dx f ( x )dx g ( x ) d x
微积分(第五章)
dx 1、 1 3 sin x dx 3、 2 sin x cos x 5
§3 分部积分法
第二节
一 、 降次法
例1 求下列积分
分部积分法
1、 x cos xdx
2 x x 3、 e dx
2、 xe x dx
第五章 不定积分
§3 分部积分法
二 、 转换法
例2
1、
求下列积分
x ln xdx
2、 x arctan xdx
3、 arcsin xdx
第五章 不定积分
§3 分部积分法
三 、 循环法
x e sin xdx
例3
求
第五章 不定积分
§3 分部积分法
四 、 递推法
例4
n I (ln x ) dx 的递推公式（其中 n 为正整 求 n 3 (ln x ) dx 。
数，且 n 2 ），并用公式计算 例5 求下列积分
3 sec xdx 1、
dx
2 2
a x dx 3、 3x 2 5、 x 1 x 2 dx
dx 7、 2 a x2
2、 4、
2 cos 2 xdx
6、
xe dx tan xdx
x2
dx 8、 2 x a2 dx dx arctanx 9、 e 10、 2 x(1 2 ln x) 1 x dx dx 11、 cos x sec xdx 12、 x ln x ln ln x
第五章 不定积分
§1
§2 §3 §4
不定积分的概念、性质
高等数学第五章 不定积分
例 6 求下列积分：
(1)
x2
1
a2
dx；(2)
3 x dx；(3) 4 x2
1 1 ex
dx；
(4) sin 2
xdx；
(5)
1
1 cos
x
dx；(6)
sin
5x
cos
3xdx．
解 本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被
积函数做适当变形．
1
x
2
1
a
2
dx
1 2a
x
1
a
x
1
(
2
x
1)31
C.
例 4 求 cos2 x sin xdx.
解 设u cos x,得du sin xdx,
cos2 x sin xdx u2du 1 u3 C 1 cos3 x C.
3
3
方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微 分成积分公式的形式．
例4
求 x
dx ． 1 ln2 x
2 sin xdx 3 cos xdx
2cos x 3sin x C (C 为任意常数).
例 9 求下列不定积分:
（１）
x 1 x
1
x
dx；（２）
x2 x2
1dx 1
．
解（1）
x 1 x
1 x
dx
x
x x 1
1 x
dx
x
xdx xdx 1dx
1 dx x
2
f (u )du
回代
F (u ) C
F [ ( x )] C .
这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫 第换一元积分法，也称凑微分法．
不定积分法
第五章 不定积分法基本要求1、正确理解原函数与不定积分的概念．2、牢记基本积分公式．3、牢固掌握并能熟练运用换元积分法与分部积分法．重点与难点重点：原函数与不定积分的概念，基本积分公式，换元积分法与分部积分法． 难点：换元积分法．例题与例题分析一、填空题l 、若)(x f 为连续函数，且)()(x f x F ='则⎰=dx x f )( . 2、若⎰='x dx x f ln ))((，则=)(x f ．3、若C x F dx x f +=⎰)()(，而)(x u ϕ=，则⎰=du u f )( .4、已知2xe -是)(xf 的一个原函数，则⎰=dx x tgx f 2sec )( .5、⎰='dx xf x)2(12. 6、设)(x f 的一个原函数是xx cos ，则⎰='dx x f x )( .7、⎰=-dx x 131 .8、⎰=+dx x2491 .9、设C xdx x f +=⎰2sin2)(2，则=')6/(πf .10、设x 2sin 是)(x f 的一个原函数，则=)(x f . 二、单项选择题1、若)(x f 在（a ，b ）内连续，则在),(b a 内)(x f （ ）（A ）必有导函数 （B ）必有原函数 （C ）必有界 （D ）必有极值2、若)(x f 的一个原函数是)2ln(x ，则=')(x f （ ）（A ）21x-（B ）x1 （C ）x ln （D ）x x 2ln -3、下列各对函数中，是同一函数的原函数的是（ ）（A ）arctgx 和arcctgx （B ）)2ln(+x 和2ln ln +x（C ）2ln /2x 和2ln 2+x （D ）2)(x x e e --和x x e e 22-+4、若⎰⎰=)()(x dg x df ，则下列各式中不成立的是（ ）（A ）)()(x g x f = （B ）)()(x g x f '='（C ）)()(x dg x df = （D ）⎰⎰'='dx x g d dx x f d )()(5、若22/1)(x x f ='（0>x ），则=)(x f （ ）（A ）c x +2 （B ）c x +ln （C ）c x +2 （D ）c x+16、若x e x f 2)(-=，则⎰='dx xx f )(ln （ ） （A ）c x+21 （B ）c x+-21 （C ）c x +-ln （D ）c x +ln7、设x sin 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x xf )(（ ）（A ） c x x x +-cos sin （B ）c x x x ++cos sin （C ）c x x x +-sin cos （D ）c x x x ++sin cos8、如果函数)(x f 在区间I 内连续，则在I 内)(x f 的原函数（ ） （A ）有唯一的一个存在 （B ）有有限多个存在 （C ）有无穷多个存在 （D ）不一定存在 三、计算与证明题 1、计算下列不定积分 （1）⎰-dx ax221（2）⎰dx xx 22cossin1 （3）⎰+++dx xx x x 321分析 计算不定积分首先考虑能否直接利用不定积分的运算性质和基本积分公式或经过恒等变形后应用基本积分公式计算积分。
第五章不定积分习题课
(15) cot xdx lnsin x C
(22)
(16) sec xdx ln(sec x tan x) C
x2
1
a 2 dx
1 2a
ln
x x
a a
C
a2
1
x 2 dx
1 2a
ln
a a
x x
C
(17)
csc xdx ln(csc x cot x) C (23)
第五章 不定积分
第15页
（2） 三角函数有理式的积分
定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
令u tan x 2
sin
x
1
2u u2
x 2arctan u
cos
x
1 1
u2 u2
2 dx 1 u2 du
R(sin
第五章 不定积分
第1页
第五章 不定积分 习题课
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第五章 不定积分
第2页
一、主要内容
原函数
不定积分
选
择 u
分部 积分法
积分法
直接 积分法
基 本
有
积
效 方 法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数的积分
分 表
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第五章 不定积分
第3页
1、原函数
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第五章 不定积分
高等数学之不定积分
tan x sec x tan2 x sec xdx tan x sec x (sec2 x 1) sec xdx tan x sec x sec3xdx sec xdx
I tan x sec x I ln sec x tan x
I
sec3
xdx
1 2
tan x sec x ln sec x tan x
x 1
ex
C；②解原式
2
x
2
x
1
x
4dx
2
x
1
4d
x arctan x C 2
③解原式 sin 2 xd (cos x) (1 cos2 x)d (cos x) 1 cos3 x cos x C
3
（二）第二类换元积分法（有根号，平方和差）
x (t)可导且(t) 0
（1）定理2 f (x)dx f (t)(t)dt g(t)dt G(t) C G 1(x) C
a 1
(6) cos xdx sin x C
(9) sec x tan xdx sec x C (10) csc x cot xdx csc x C
(13)
1 dx arcsin x C 1 x2
3：不定积分的性质
(3)
1 x
dx
ln
x
C
(7) sec2 xdx tan x C
cos t sin 2 cos
t
dt
1 sin 2
t
dt
csc2
tdt
cot
t
C
按x sin t作辅助三角形（如右图）则原式 x C 1 x2
t
1 x2
1
x
三：分部积分法
不定积分 定积分讲义
第五章不定积分学习目标：1．理解原函数、不定积分的概念2．掌握不定积分的性质及基本积分表3．理解第一类换元法的基本思想4．掌握第一类换元法的内容及其证明方法5．掌握凑微分的技巧和方法6．掌握第二类换元法的内容及其证明7．会用第二类换元法计算不定积分8．熟练地应用分部积分法计算不定积分学习重点：1.不定积分的性质2.第一类换元积分法3.凑微分4.用第二类换元法计算不定积分学习难点：1．第一类换元积分法2．凑微分3．第二类换元法中的变量替换4．分部积分公式中u与dv的选取教学方法：讲授法，辅以练习计划学时：10学时新课导入：上一章我们学习了已知原函数求导数的运算，这一章我们进行已知导函数求原函数——不定积分的运算问题。
§5.1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念1定义 设)(x f 是定义在区间I 上的函数，如果存在函数)(x F ，对于I x ∈∀,都有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(=,则称函数)(x F 为函数)(x f 在区间I 上的一个原函数.例如，x sin 是x cos 的原函数,因为 x x cos )(sin =' .又因为x x 2)(2=',x x 2)1(2='+ ,所以2x 和12+x 都是2x 的原函数.2．问题1：一个函数若有原函数，原函数是否唯一？（不唯一，无数多个）问题2：同一函数的无数多个原函数之间是什么关系？如果)(x F ，)(x G 为函数)(x f 在区间I 上的任意两个原函数, )())((x f x F =' ,)())((x f x G =',于是有 0)()()()())()((=-='-'='-x f x f x F x G x F x G . 所以 C x F x G =-)()(,或C x F x G +=)()( .回答：任意两个原函数相差一个常数。
第五章不定积分
第五章 不定积分一元函数积分学包括两个重要的基本概念，即不定积分与定积分．本章我们先从微分法的逆运算引出不定积分的概念，讨论它的性质与求不定积分的方法．而在下一章专门讲述定积分的基本内容．§5.1 原函数与不定积分 1. 原函数概念在第三章，我们利用速度问题和切线问题引出了导数的概念．这两个问题都归结为要从已知函数求出它的导数，也就是微分法问题．现在我们要研究与之相反的问题，即研究从已知函数的导数求出原来的函数．解决这个逆问题不仅是数学理论本身的需要，更主要地是它出现在许多实际问题中．例如，已知速度)(t v ，求路程)(t s ；已知加速度)(t a ，求速度)(t v ；已知曲线上每一点切线的斜率，求曲线方程等．我们把这类由已知)(x f '求)(x f 的运算称为积分法．下面先阐述原函数的概念．定义5.1.1 设)(x F 与)(x f 在区间I 上有定义，若在I 上)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数．例如331x 是2x 在区间),(+∞-∞上的一个原函数，因为23)31(x x ='；又如x 2sin 是x 2sin 在),(+∞-∞上的一个原函数，因为x x 2sin )(sin 2='．在下一章中我们将证明：凡在区间I 上连续的函数都有原函数。
由于初等函数是连续函数，因此说初等函数在其定义区间上都有原函数．从定义5.1.1可知，若)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，则对任意常数C ，C x F +)(也是)(x f 在I 上的原函数，因为在I 上总有)()(])([x f x F C x F ='='+． 又如果)(x G 也是)(x f 在I 上的一个原函数，则在I 上 0)()()()(])()([=-='-'='-x f x f x F x G x F x G ， 从而推知)()(x F x G -在I 上是一个常数C ，即C x F x G =-)()( 或C x F x G +=)()(．上述结果表明，如果)(x f 在I 上有一个原函数)(x F ，则它就有无穷多个原函数，而且全体原函数具有C x F +)(的形式，其中C 为任意常数．于是有下述定理：定理5.1.1 (原函数的结构) 若)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，则)(x f 在I 上的全体原函数为∈+C C x F )({R }． (1.1) 2. 不定积分的定义定义5.1.2 函数)(x f 在区间I 上的全体原函数称为)(x f 在I 上的不定积分，记作⎰dx x f )(，其中⎰为积分号，)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量．由定义可知，不定积分与原函数是整体与个体的关系．确切地说，如果)(x F 是)(x f 在I 上的一个原函数，则)(x f 在I 上的不定积分就是由集合(1.1)表示的一族函数．但为了书写方便，通常写作C x F dx x f +=⎰)()(，并且把C x F +)(称为)(x f 的原函数的一般表达式，其中C 遍取一切实数值，称它为积分常数．例如C x dx x +=⎰332， C x x +=⎰2s i n 2s i n ．今后我们总假定不定积分是对其被积函数连续的区间来考虑的，不再指明有关区间．图 5—1设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x F y =在平面上表示一条曲线，称它为)(x f 的一条积分曲线．于是)(x f 的不定积分表示一族积分曲线，它们是由)(x f 的某一条积分曲线沿着y 轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x 的点处有互相平行的切线，其斜率都等于)(x f ．在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式C x F y +=)(，再从中确定一个满足条件 00)(y x y = (称为初始条件)的原函数)(x y y =．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点),(00y x 的积分曲线．例 1 设曲线通过点)1,0(，且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，求此曲线的方程．解 设所求曲线的方程为)(x y y =，按题意有 2x y ='． 于是C x y +=33．因为这曲线通过点)1,0(，代入上式可得1=C ．故所求曲线的方程为133+=x y ．3. 基本积分表根据不定积分的定义，若)()(x f x F ='，则 C x F dx x f +=⎰)()(，从而)()())(())((x f x F C x F dx x f ='='+='⎰， 或dx x f dx dx x f dx x f d )())(())((='=⎰⎰． (1.2)又如果)(x f 是可导函数，则对)(x f '求不定积分就有 ⎰+='C x f dx x f )()(，或⎰+=C x f x df )()( (1.3)从(1.2)和(1.3)两式不难看出，如果不考虑积分常数C ，则微分符号d 与积分符号⎰相继使用于某一函数)(x f ，不论先后次序，结果不变，也就是说，它们的作用恰好互相抵消，这正说明微分法与积分法是互为逆运算的关系．于是我们可以在微分法的基础上反过来得出积分法，把求导的基本公式反过来就得出积分的基本公式，列表如下：(1) C kx kdx +=⎰ (k 为常数)；(2) C x dx x ++=+⎰11μμμ(1-≠μ)； (3)C x x dx+=⎰ ln ；(4) C e dx e x x +=⎰；(5) ⎰+=C aa dx a xxln ； (6) ⎰+-=C x xdx cos sin ； (7) ⎰+=C x xdx sin cos ； (8) ⎰+=C x xdx tan sec 2； (9) ⎰+-=C x xdx cot csc 2； (10) ⎰+=⋅C x xdx x sec tan sec ； (11) ⎰+-=⋅C x xdx x csc cot csc ； (12) C x xdx +=-⎰arcsin 12；(13)⎰+=+C x x dxarctan 12．这些公式都是从基本初等函数的求导公式直接反过来得出的．当然我们也可以利用一些已知的导数公式直接写出相应的积分公式．例如从§3.2例5知道)()() )( ln (x f x f x f '=' (0)(≠x f 且)(x f 可导)， 于是C x f dx x f x f +=⎰)( ln )()(． 特别取x x f sin )(=及x x x f tan sec )(+=时就有C x dx x +=⎰ sin ln cot ， C x x dx x ++=⎰ tan sec ln sec ．以后我们还会利用一些求导法则去推出相应的不定积分法则，从而获得更多的积分公式．4. 不定积分的线性性质定理 5.1.2 若函数)(x f 和)(x g 在区间I 上有原函数，则)(x kf (0≠k 为常数)和)()(x g x f ±在I 上也都有原函数，且(1) ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()( (1.4) (2) ⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([ (1.5) 证：设1)()(C x F dx x f +=⎰，其中)(x F 是)(x f 在I 上的一个原函数，1C 为任意常数．则 C x kF dx x f k +=⎰)()(， 且1kC C =为任意常数．由于在I 上)()(])([x kf x F k x kF ='='， 所以C x kF +)(是)(x kf 在I 上的原函数的一般表达式．因此有⎰⎰=+=dx x f k C x kF dx x kf )()()(，(1.4)式成立．类似可证)()(x g x f ±在I 上有原函数，且(1.5)式成立． 定理5.1.2的更一般的结论是∑⎰⎰∑===ni i i ni i idx x f k dx x f k11)()(，其中)(x f i (n i ,2 ,1=)在区间I 上的原函数都存在，)(x k i (n i ,2 ,1=)为常数．例1. 求下列不定积分： (1)⎰-dx xx )1(2； (2) ⎰++dx x x 1124；(3) dx xx e e x xx⎰-- ) 2(3； (4)dx x x ⎰ sin cos 122；(5)⎰+ cos 1x dx； (6)⎰+-dx xx11． 解： (1) 原式dx xx x ⎰+-= 212d x x d x x d x x ⎰⎰⎰+-=-2321212C x x x ++⋅-=252321523222C x x x ++-=)52342(2． (2) 原式⎰++-=dx xx )121(22 C x x x ++-=a r c t a n 2313．(3) 原式dx x e x])2[(34⎰--=C x e e x++=-313)2l n ()2(C xe x x +++=332ln 12． (4) 原式dx xx xx ⎰+= sin cos cos sin 2222⎰⎰+=dx x dx x csc sec 22C x x +-=cot tan (5) 原式⎰-=dx xxsin cos 12⎰-=dx x x x )cot csc (csc 2C x x ++-=csc cot (6) 因为 21111xxx x --=+-， 且221)1(xx x --='-，所以 原式⎰⎰--+-=dx xx xdx 1122C x x +-+=21arcsin§ 5.2 换元积分法如何求原函数或不定积分？只会利用基本积分表和积分的性质，显然是不够的．必须探寻更加切实可行的方法．本节我们把微分法中的链式法则反过来用于求不定积分，所得出的积分法则称为换元积分法．1. 第一换元法 (凑微分法)定理5.2.1 设)((x u ϕ=在区间I 上可导，)(u f 在{} ),( 1I x x u u I ∈==ϕ上有原函数)(u F ，则dx x x f )()]([ϕϕ'⎰在I 上存在，且C x F dx x x f +='⎰)]([ )()]([ϕϕϕ． (2.1)证 根据复合函数导数的链式法则，有)()]([)()()()(F )]([)()(x x f x u f x u x F dxdx u x u ϕϕϕϕϕϕϕ'='=''===． 所以(2.1)式成立．具体求积分可按如下方式进行⎰⎰⎰='=)()]([)()](([)(x d x f dx x x f dx x g ϕϕϕϕ (令)(x u ϕ=)⎰+=+==C x F C u F du u f )]([)()(ϕ．这里⎰dx x g )(不是表 (指基本积分表) 中的积分，我们先设法把被积表达式dx x g )(变形为)()]([)()]([)(x d x f dx x x f dx x g ϕϕϕϕ='=，即从)(x g 中分出一部分因式与dx 结合，凑成)(x d ϕ(所以第一换元法又称为凑微分法)．再令u x =)(ϕ，得到表中的积分⎰+=C u F du u f )()(．最后代回原变量．例1 求⎰xdx tan ． 解 ⎰⎰⎰-==xx d dx x x xdx cos )(cos cos sin tan (令x u cos =) C u udu+-=-=⎰ln C x +-= cos ln ． 例2 求⎰dx xe x 22．解 ⎰⎰=)(2222x d e dx xe x x (令2x u =) C e C e du e x u u +=+==⎰2．运算中的换元过程在熟练之后可以省略，即不必写出换元变量u ． 例3 求下列不定积分．(1) ⎰xdx x 54cos sin ； (2) ⎰xdx 2cos ； (3) ⎰xdx 4cos ； (4) ⎰xdx x 3cos 2sin ； (5) ⎰xdx csc ； (6) ⎰xdx 4sec ． 解(1) ⎰⎰=)(sin cos sin cos sin 4454x xd x xdx x⎰-=)(s i n )s i n 1(s i n 224x d x x ⎰+-=)(s i n )s i n s i n 2(s i n 864x d x x xC x x x ++-=975s i n 91s i n 72s i n 51． (2) ⎰⎰+=dx x xdx )2cos 1(21cos 2⎰⎰+=)2(2c o s 4121x xd dxC x x ++=42s i n 2．类似求出C xx dx x +-=⎰42sin 2 sin 2．(3) ⎰⎰+=dx x xdx 24)22cos 1(cos⎰++=dx x x )2cos 412cos 2141(2)2(2c o s 81)2(2c o s 41412x d x x xd dx ⎰⎰⎰++=C x x x x ++++=)4s i n 41(812s i n 4141C x x x +++=4s i n 3212sin 4183．(4) ⎰⎰-=dx x x x x )sin 5(sin 213cos 2sin⎰⎰-=dx x x xd sin 21)5(5sin 101C x x ++-=c o s 215c o s 101．(5) ⎰⎰⎰==2cos2sin 2sin csc x x dxxdx xdx ⎰⎰==2t a n )2(t a n 2c o s 2t a n )2(2x x d x x x d C x+= 2t a n ln ．由于x x xx x cot csc sin cos 12tan-=-=，所以 ⎰xdx csc C x x +-= cot csc ln ．(6)⎰⎰⎰+==)(tan )tan 1()(tan sec sec 224x d x x xd xdxC x x ++=3t a n 31t a n ．例4 求下列不定积分．(1) )0( 22≠+⎰a xa dx； (2) )0( 22≠-⎰a a x dx；(3))0( 22>-⎰a x a dx ； (4) ⎰-dx x x 12；(5) ⎰+)4(6x x dx； (6) ⎰+14x dx．解(1) c a xa d a xa dx a x a x +=+=+⎰⎰arctan 1)(1)(1222． (2)dx a x a x a a x dx )11(2122⎰⎰+--=-C a x a x a++--=) ln ln (21 C ax a x a ++-=ln 21． (3)C a xd x a dx a x a x+=-=-⎰⎰arcsin )(1)(222． (4) )1( 121 1222x d x dx x x ---=-⎰⎰C x +-⋅-=23)1(32212C x +--=23)1(312．(5) dx x x x x x x dx )4(441)4(6666⎰⎰+-+=+dx x x x )41(4165⎰+-= ⎰⎰++-=4)4(2414166x x d x dx C x x ++-=4 ln 241ln 416C x x ++=4ln 24166．(6) dx x x x x x dx )1111(21142424+--++=+⎰⎰dx x dx x x x x x 121 1212222121121⎰⎰+--++=⎰⎰-++-+--=2)()(212)()(21211211x x x x x x d x x d C x x x x xx ++++---=1212ln 24121arctan221222．例5 求下列不定积分．(1) ⎰+xe dx1； (2) dx x x x 1)1ln(22⎰++； (3) dx x x x )1(arctan ⎰+； (4)dx x x)ln(sin cot ⎰．解(1) ⎰⎰⎰----++-=+=+xx x x x e e d e dx e e dx 1)1(11 C e x ++-=-)1ln(．(2) )1( 1)1ln(21 1)1ln(22222x d xx dx x x x +++=++⎰⎰ ⎰++=)1ln( )1ln(2122x d xC x ++=)1(ln 4122． (3) )( 1arctan 2 )1(arctan x d xxdx x x x ⎰⎰+=+ )(arctan arctan 2x d x ⎰=C x +=2)(arctan ．(4)⎰⎰=)ln(sin )ln(sin )ln(sin cot x x d dx x xC x += )ln(sin ln ．2. 第二换元法定理 5.2.2 设函数)(t x ϕ=在区间1I 上可导，且0)(≠'t ϕ，)(x f 在{}1),( I t t x x I ∈==ϕ上有定义，并设)()]([t t f ϕϕ'有原函数)(t F ，则dx x f )(⎰在I 上存在，且C x F dx x f +=-⎰)]([ )(1ϕ．(2.2) 证 因为)(t x ϕ=在1I 上可导，且0)(≠'t ϕ，所以反函数)(1x t -=ϕ在对应区间I 上严格单调、可导且)(1])([1t x ϕϕ'='-．根据复合函数和反函数的求导法则就有)()(1)()]([])()[()]([11x f t t t f x t F x F dx d ='⋅'=''=--ϕϕϕϕϕ， 所以(2.2)式成立．这里dx x f )(⎰不是表中的积分，也看不出对被积表达式变形，达到凑微分换元的效果．于是另辟蹊径，通过变量代换)(t x ϕ=将被积表达式dx x f )(写成dt t t f )()]([ϕϕ'， 使得)()]([t t f ϕϕ'的原函数)(t F 容易求出．由假设可知，换元)(t x ϕ=应在单调区间1I 上进行．例6 求)0(22>-⎰a dx x a ． 解 令t a x sin = )2(π<t ，则t a x a cos 22=-，dt t a dx cos =．于是⎰⎰⎰=⋅=-dt t a dt t a t a dx x a cos cos cos 2222C t t t a C t t a ++=++=)cos sin (2)42sin 2(22C x a x a x a +-+=2222arcsin 2． 例7 求)0( 22>+⎰a xa dx ．解 令t a x tan = )2(π<t ，则t a x a sec 22=+，dt t a dx sec 2=，于是⎰⎰⎰==+dt t dt t a ta x a dxsec sec sec 2221 tan sec ln C t t ++=122ln C axa x a +++= )l n ( l n 122a C C C x a x -=+++=．例8 求)0( 22>-⎰a ax dx ．解 令t a x sec = )20(π<<t ，则,tan 22t a a x =-dt t t a dx tan sec =，于是⎰⎰⎰==-dt t dt ta tt a a x dx sec tan tan sec 221 tan sec ln C t t ++=122 ln C aa x ax +-+=)ln ( ln 122a C C C a x x -=+-+=．从上面三个例子看到，当被积函数含有根式：22x a -，22x a +，22a x - 时，可利用三角恒等式换元，分别令t a x sin = )2(π<t ，t a x tan = )2(π<t ，t a x sec =)20(π<<t ，以消去根号，使被积表达式简化．如果被积函数中含有不同根指数的同一个函数的根式，我们可以取各不同根指数的最小公倍数作为这函数的根指数，并以所得根式为新的积分变量t ，从而同时消除了被积函数中的这些根式．例9 求⎰+3xx dx ．解 令)0( 6>=t t x ，则⎰⎰+=+23536t t dtt x x dxdt tt t )111(62⎰+-+-=C t t t t ++-+-=))1ln(23(623C x x x x ++-+-=)1ln(6 6 32663．有时为了消去被积函数分母中的变量因子n x ，常采用倒代换法换元． 例10 求dx x x 142⎰-． 解 令)0( 1>=t t x ，则t t x 1122-=-，dt tdx 12-=，于是dt t t dx xx 1 1242⎰⎰--=- )1( 12122---=⎰t d t t C t +-⋅-=232)1(3221C xx +--=32323)1(． 下面的例子表明，换元法虽然也有些规律可循，但在具体运用时十分灵活．不定积分的求出在很大程度上依赖于我们的实际经验、运算技巧和机智．例11 求下列不定积分： (1)dx x x xln ln 1⎰+； (2) dx x x x x ln 12⎰++；(3)dx xe x x x )1(1⎰++； (4)94dx 2⎰+x x．解 (1) 令t x =+ln 1，则2ln 1t x =+，tdt dx x21=，原式⎰⎰-+=⋅-=dt t tdt t t )111(22122C t t t ++-+= 11ln 2 C x x x +++-+++= 1ln 11ln 1ln ln 12．(2) 令t x =ln ，则dt e dx e x t t == ,，原式⎰⎰++=⋅++=dt t e e dt e te e e t t tttt 112 C t e te t e d t tt ++=++=⎰ ln )( C x x ++= ln ln ．(3) 令t xe x =，则dt dx e x x =+)1(，原式⎰⎰+=++=)1()1()1(t t dtdx xe xe e x x x x C ttdt t t ++=+-=⎰ 1 ln )111( C xe xe xx++= 1 ln ． (6) 令2( tan 32π<=t t x ，则tdt dx t x 22sec 23,sec 394==+， 原式⎰⎰=⋅=tdt t t tdt csc 31sec 3tan 23sec 232 C t t +-= cot csc ln 31． 由 32tan xt =(图5—2)，可得xx t 294csc 2+=， xt 23cot = 所以原式C x x +-+= 239ln312．图5—2例12 求⎰-24xx dx ．解法一： 令) 2( sin 2π<=t t x ，则原式⎰⎰==tdt dt t t t csc 21cos sin 4cos 2C t t +-=⎰cot csc ln 21C xx +--= 42ln 212． 解法二： 令)21( 1>=t t x ，则原式dt tt t ⎰-⋅-=)1(14222 C t t t dt+-+-=--=⎰142 ln 211422C xx +-+-= 42ln 212． 解法三： 令) 20 ( 42<<=-t t x ，则dt dx xx =--24，原式C t t t dt x x xdx ++-=-=-=⎰⎰22ln 4144222 C x x ++---= 2424ln 4122． 本例采用三种不同的方法换元，其结果形式虽然不同，但均可互相转化．此外，本例还可采用其它方法换元，如令 ) 41( 12>=t t x ，) 0 ( 22>=-+t t xx等．从而进一步说明换元积分法的灵活性．我们只有在熟记基本公式的基础上，通过做大量的练习去积累经验，才能做到熟中求巧，运用自如．§ 5.3 分部积分法积分法中另一个重要方法是分部积分法，它对应于微分法中乘积的求导法则． 定理5.3.1 若函数)(x u 与)(x v 可导，且不定积分⎰'dx x v x u )()(存在，则⎰'xdx v x u )(也存在，并有dx x v x u x v x u dx x v x u )()()()()()(⎰⎰'-=' (3.1)证：根据乘积的求导法则有)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='， 或)()(])()([)()(x v x u x v x u x v x u '-'='． 将上式两边求不定积分就得到(3.1)式．公式(3.1)称为分部积分公式，且简单地写作⎰⎰-=v d u uv udv ． (3.2) 上式表明，当积分⎰⎰='udv dx v u 不易求出时，可以考虑将其中的u 与v 互相交换，如果所得积分⎰⎰='vdu dx u v 容易求出，则利用公式(3.1)或(3.2)，即求出原来的积分⎰'dx v u ．例1 求⎰xdx x cos ． 解⎰⎰⎰-==x d x x x x xd xdx x sin sin sin cosC x x x ++=cos sin ．若令 x u cos =，则得⎰⎰⎰+==xdx x x x x xd xdx x sin 2cos 22cos cos 222，反而使所求积分更加复杂．可见使用分部积分的关键在于被积表达式中的u 和dv 的适当选择．分析基本初等函数的导数会发现，反三角函数或对数函数的导数为代数函数(即有理函数或无理函数)，变得简单了．幂函数n x (∈n N +)的导数1-n nx 则降了一次幂，而指数函数和三角函数的导数仍为类型相同的函数．因此，有人提出“反对幂指三”的经验顺序．它告诉我们：如果被积函数中出现基本初等函数中两类函数的乘积，则次序在前者为u ，在后者为v '(进入微分号为v )．具体地说，若出现反三角函数或对数函数与幂函数的乘积，则幂函数进入微分号为v ，称为升幂方法；若出现幂函数与指数函数或三角函数的乘积，则令幂函数为u ，使用分部积分后能使幂函数降幂一次，称为降幂方法；若出现指数函数与三角函数(指正弦函数与余弦函数)的乘积，则u ，v 可以任选(选定后就应固定下来)，经过两次或两次以上分部积分后，会出现与原来积分相同的项，经过移项、合并后即可求出积分，称为循环方法．例2 求下列不定积分： (1) ⎰xdx x ln ； (2) ⎰xdx arcsin ；(3)⎰dx e x x 2； (4)⎰xdx x 2sin ． 解 (1) ⎰⎰=2ln ln 2x xd xdx x ⎰⋅-=dx xx x x 12ln 222 ⎰-=xdx x x 21ln 22 C x x x +-=4ln 222． (2) ⎰⎰-⋅-=21arcsin arcsin xdx x x x xdxC x x x +-+=21a r c s i n (3)dx xe e x dex dx e x x x xx ⎰⎰⎰-==2222dx e xe e x xde e x x x x x x ⎰⎰+-=-=22222 C e x x x ++-=)22(2． (4)⎰⎰-=dx xx xdx x 22cos 1sin 2⎰⎰-=x xd xdx 2sin 4121 ⎰+-=x d xx x x 2s i n 412s i n 41412 C x x x x +--=2c o s 812s i n 41412例3 求⎰≠=)0( sin ab bxdx e I ax ．解：⎰⎰-==bxdx e a b bx e a bxde a I ax ax axcos sin 1sin 1 ⎰-=ax ax bxde abbx e a cos sin 12I ab bx e a b bx e a ax ax 222cos sin 1--=， 所以C bx b bx a ba e I ax+-+=)cos sin (22． 类似求出C bx b bx a b a e bxdx e axax+++=⎰)sin cos (cos 22．值得注意的是，分部积分法的使用远非限于上述几种函数乘积的形式．对它的灵活运用会大大扩充其适用范围．例4 求)0( 22>+⎰a dx a x ． 解：⎰⎰+⋅-+=+dx ax x x a x x dx a x 222222dx ax a a x a x x )(2222222⎰+-+-+=⎰++++-+=)ln(2222222a x x a dx a x a x x所以⎰+++++=+C a x x a a x x dx a x )ln(222222222．类似求出⎰+-+--=-C a x x a a x x dx a x ln 222222222．例5 求⎰xdx 3sec ． 解： ⎰⎰=x xd xdx tan sec sec 3 ⎰⋅-=x d xx x x x t a n s e c t a n t a n s e c ⎰--=xdx x x x sec )1(sec tan sec 2 ⎰⎰+-=xdx xdx x x sec sec tan sec 3，所以⎰⎰+=xdx x x xdx sec 21tan sec 21sec 3C x x x x +++= tan sec ln 21tan sec 21．例6 求⎰-dx x x 235)2(．解： 2131)2(33235--=-⎰⎰x d x dx x x ⎰-+--=231)2(33333x d xx x C x x x +-+--= 2 ln 31)2(3333． 例7 求⎰+=nn a x dx I )(22 (∈n N +，0≠a )的递推公式，并计算2I ． 解 当1=n 时，C a xaa x dx I +=+=⎰arctan 1221．当1>n 时，⎰⎰+⋅-++=+=---dx a x xn x a x x a x dx I nn n n )(2)1()()(221221221⎰+-++=-dx a x x n a x x nn )()1(2)(222122 ))(1(2)(21122n n n I a I n a x x--++=-- 从上式解得])32()([)1(2111222---++-=n n n I n a x xa n I ． 所以C a x aa x x a I +++=]arctan 1)([212222． 求不定积分有时需要兼用换元法与分部积分法． 例8 求⎰dx xe x ．解 令t x =，则tdt dx t x 2 ,2==．⎰⎰⎰-==dt e t e t dt e t dx xet t t x233622⎰+-=dt te e t e t t t t 126223C e te e t e t t t t t +-+-=12126223C ex x x x x+-+-=)663(2．在以上两节求积分的例子中，我们曾多次把一些积分所得结果直接代入运算中作为公式应用．现在将这些结果汇总起来，作为对基本积分表的补充：(14)⎰+-=C x xdx cos ln tan ；(15) ⎰+=C x xdx sin ln cot ； (16) ⎰++=C x x xdx tan sec ln sec ； (17) ⎰+-=C x x xdx cot csc ln csc ；(18) ⎰+-=C x x xdx 4sin 2sin 2； (19) ⎰++=C xx xdx 4sin 2cos 2；(20) ⎰+=+C a xa xa dx arctan 122； (21)⎰+-+=-C x a x a a x a dx ln 2122； (22)⎰++-=-C a x a x a a x dx ln 2122；(23)⎰+=-C axx a dx arcsin22； (24)⎰+++=+C x a x x a dx )ln(2222；(25)⎰+-+=-C a x x a x dx ln 2222；(26)C a x a x a x dx x a ++-=-⎰arcsin 2222222；(27)C x a x a x a x dx x a +++++=+⎰)ln(222222222；(28)C a x x a a x x dx a x +-+--=-⎰ln 222222222．例9 设N M ,，p ，q 都是常数，且042<-q p ．求⎰+++=dx qpx x NMx I 2． 解 ⎰⎰-+++-++++=)4()2()2()2(22222p q p x px d MpN dx q px x p x M IC pq px p q Mp N q px x M +-+--+++=22242arctan 42 ln 2．例10 求dx xx ⎰--2491．解⎰⎰⎰--+-=--222249)49(8149)2(21491x x d x x d dx x xC x x +-+=2494132a r c s i n 21． 例11 求dx x x ⎰+2． 解)21( 41)21( 22+-+=+⎰⎰x d x dx x xC x x x x x x ++++-++=21ln 24122122C x x x x x x ++++-++=21ln 8141222．§ 5. 4 几种特殊的可积分类型如下几种特殊类型的积分总可以按照一定的步骤把它求出来．1. 有理函数的积分有理函数是指两个多项式的商所表示的函数，其一般形式是：mm m nn n b x b x b a x a x a x g x f ++++++=-- 110110)()(， (4.1) 其中n ，m 都是自然数，n a a a ，，， 10与m b b b ，，， 10都是实数，并且00≠a ，00≠b ．若m n <，则称它为真分式，若m n ≥，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式可以化为一个多项式与一个真分式的和．而多项式的积分是容易计算的，故只需研究真分式的积分．为此，我们总假设(4.1)为真分式，而且)(x f 与)(x g 没有公因子．下面我们先陈述代数学中的两个定理：定理5.4.1 (实系数多项式的因式分解定理)实系数多项式)(x g 总可以唯一地分解成实系数的一次因式和二次因式的乘积，即μλ)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x g l k ++++--= ， (4.2)其中00≠b ，，k …，，l ，λ…μ,为正整数，m l k =+++++)(2μλ ，，042<-q p ， 042<-s r ．定理5.4.2 (部分分式定理) 若)(x g 已写成(4.2)式，则真分式)()(x g x f 可以唯一地分解为下列部分分式：)]()()()([1)()(0x V x U x B x A b x g x f +++++= ， 其中,)()()(221kk a x A a x A a x A x A -++-+-=， ll b x B b x B b x B x B )()()(221-++-+-=， ,)()()(22222211λλλq px x Q x P q px x Q x P q px x Q x P x U ++++++++++++=， μμμ)()()(22222211s rx x S x R s rx x S x R s rx x S x R x V ++++++++++++= ， , , , ,21 k A A A ，l B B B ,, ,21 ； ,, ,, ,11λλQ P Q P ，μμS R S R , ,, ,11 都是实数，,k ，λ ,l ，, μ都是正整数，且042<-q p ，…，042<-s r ．于是任何真分式的积分都归结为求下述两种类型的积分： (Ⅰ)⎰-dx a x Ak )(； (Ⅱ)⎰+++dx q px x NMx k )(2，其中A, M, N, q p a , ,都是实数，k 为正整数，且042<-q p ．对于类型(Ⅰ)，当1=k 时，C a x A dx a x Ak +-=-⎰ ln )(．当1>k 时，C a x k Adx a x A k k+--=--⎰1))(1()(． 对于类型(Ⅱ)，当1=k 时，§5.3例9已算出它的积分．当1>k 时，令t px =+2，并记224a p q =-，B Mp N =-2，得⎰⎰⎰⎰+++=++=+++k k k k a t dtB dt a t t M dt a t B Mt dx q px x N Mx )()()()(2222222，这里右边的第一个积分C a t k M a t a t d Mdt a t t M k k k++⋅-=++=+-⎰⎰122222222)(1)1(2)()(2)(．而右边的第二个积分已由§5.3例7导出递推公式，经k 次递推即可求出积分．因此我们有下述定理：定理5.4.3 凡有理函数的不定积分一定能表示成有理函数、对数函数、反正切函数的代数和．例1 求⎰+++dx x x x 6532． 解 因为)3)(2(652--=++x x x x ，被积函数可分解成326532-+-=+++x Bx A x x x ， 其中B A ,为待定常数．等式两边同乘以)3)(2(--x x ，得)2()3(3-+-=+x B x A x (4.3)即)23()(3B A x B A x +-+=+．比较等式两边同次幂的系数有⎩⎨⎧=+-=+3)23(1B A B A 由此可确定6,5=-=B A ．所以C x x dx x x dx x x x +---=---=+++⎰⎰ 2 ln 5 3 ln 6)2536(6532．例1中 求常数B A ,的方法称为比较系数法．有时若用下述方法确定常数B A ,，可能更简便些．例如在(4.3)中令2=x ，得5-=A ；令3=x ，得6=B ，与上面所得结果相同．例2 求⎰-2)1(x x dx． 解 22)1(1)1(1-+-+=-x Cx B x A x x ， 则Cx x Bx x A +-+-=)1()1(12．上式中令0=x ，得1=A ；令1=x ，得1=C ；令2=x ，得122=++C B A ，算出1-=B ．所以dx x x x x x dx ])1(1111[)1(22⎰⎰-+--=-C x x x +----=111 ln ln C x x x x +---=11ln ． 虽然我们已经从理论上阐明有理函数的积分一定能用初等函数来表达，并且积分可以按程序进行．但是，这种常规的做法并不简便，其中分解部分分式就不是一件容易的事．因此，即使是有理函数的积分，我们也应当首先应用换元法或部分积分法去探求．如果难以奏效，还可以考虑对分子进行加、减、分、凑，造出分母中的因式进行拆项分解．例 3 求下列不定积分：(1)⎰--22x x dx； (2)⎰+--+dx x x x x x 223246)1(24；(3)⎰+)1(24x x dx； (4)dx x x x )1)(1(122⎰+-+．解 (1) 原式⎰---=22322121)()()(x x dC x x ++---= )()( ln 3123212321 C x x ++-= 12ln 31． (2) 原式⎰⎰++-+=dx x x x dx x x 22322)1(241⎰++-+=d x x x x x x 22432)(24)1l n (21 C xx x ++++=2421)1l n (21． (3) 原式dx x x x x x x ⎰+++--= )1()1()(242244⎰⎰⎰+-+=4221xdxx dx x dx C xx x +-+=3311a r c t a n ．(4) 因为222222)1)(1(1)1)(1(1+--++=+-+x x x x x x x x 222)1()1)(1(1+-+-=x xx x 22222)1()1)(1()1()1(21+-+---+=x x x x x x 222)1()1(21)1(21+-++--=x xx x x所以 原式⎰⎰⎰⎰+-+-+--=dx x xx dx dx x x x dx )1(221 121 1241)1(212222C x x x x +++-+--=)1(21arctan 21)1ln(41 1 ln 2122．2. 三角函数有理式的积分用),(v u R 表示由函数)( ),(x v v x u u ==与常数经有限次四则运算所得的函数，称它为v u ,的有理式．因为三角函数中正切、余切、正割和余割都可以用正弦、余弦表示，所以我们把三角函数有理式记作)cos ,(sin x x R ．考虑积分⎰dx x x R )cos ,(sin ．注意到2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 2sin 222x x x x x x x +=+=， 2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos cos 222222x x x x x x x +-=+-=， 若令t x=2tan(称为半角代换)，则 212sin ttx +=， 2211c o s t t x +-=． 且由t x arctan 2=，得dt tdx 212+=． 所以⎰⎰++-+=dt tt t t t R dx x x R 222212)11,12()cos ,(sin ． 这样，我们就把三角函数有理式的积分化成有理函数的积分．从而推知，三角函数有理式的积分也是一定可以积出的．例4 求⎰-x dxcos 45．解 令t x=2tan ，则原式⎰⎰+=+--+=dt t t t dt t2222912114512C t t t d +=+=⎰3arctan 32)3(1)3(322C x+=)2tan 3arctan(32． 半角代换虽然是普遍适用的，但对以下几种特殊情形，可选择更简便的代换： (1) 若)cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R -=-，则令t x =cos ； (2) 若)cos ,(sin )cos ,(sin x x R x x R -=-，则令t x =sin ； (3) 若)cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R =--，则令t x =tan ．例5 求dx xx⎰ cos sin 32． 解 令t x =sin ，则dt dx x = cos ．原式⎰⎰⎰---=-=-=222222121)1(21121)1(t dtt t t td t dt t C ttt t +-+--=11 ln 41)1(22C x xx x +-+-= s i n1s i n 1 ln 41cos 2sin 2．形如dx xb x a xx cos sin cos sin ⎰++βα的积分(其中b a , ,,βα都是常数，且022≠+b a )，可设)sin cos ()cos sin (cos sin x b x a B x b x a A x x -++=+βα，比较系数得βα=+=-Ba Ab Bb Aa ,．从以两式中定出B A ,，则原式C x b x a B Ax +++= cos sin ln ． 例6 求dx xx xx cos 3sin 2cos 2sin 3⎰++．解 令)sin 3cos 2()cos 3sin 2(cos 2sin 3x x b x x a x x -++=+， 有 223 ,332=+=-b a b a ．解得 1312=a ， 135-=b ． 所以原式C x x x ++-=cos 3sin 2 ln 1351312． 例7 求⎰-+21xx dx ．解 令)2( sin π<=t t x ，则原式dt t t tt t t t t tdt cos sin sin cos cos sin 21cos sin cos ⎰⎰+-++=+=C t t t +++= c o s s i n ln 2121C x x x +-++= 1 ln 21arcsin 212．3. 简单无理式的积分对于被积函数为无理式的不定积分，我们总是设法通过变形或变量代换将它转化为有理函数的积分．形如dx d cx b ax x R )(⎰++，的积分，可令t dcx bax =++．形如dx c bx ax x R )(2⎰++，的积分，先对c bx ax ++2进行配方，转化为dt t t R )(22⎰±α，及dt t t R )(22⎰-α，的积分，再作三角代换，化为三角函数的有理式的积分．当然我们也应该想到寻找更简便的方法，以尽量避免这种一般化的程序．例8 求下列不定积分 (1)⎰-+342)1()1(x x dx； (2)dx xx 14⎰+；(3)dx x x 122⎰+； (4)⎰+++-211x x dx．解 (1)11)1()1()1(2342+--=-+x x x x x ． 令t x x =+-11，则3311t t x -+=，2332)1(41t t x -=-，dt t t dx )1(6232-=． 原式⎰⎰=-⋅-=223242323 )1(64)1(t dt dt t t t tC x x C t +-+-=+-=11 2323． (2) 令t x =+341，则43)1(-=t x ， 原式⎰⎰-=-⋅-=dt t t dt t t t t )1(12)1(12)1(3333223 C t t +-=473712 C x x ++-+=344374)1(3)1(712(3) 原式dx x x ⎰+-+=)111(22C x x x x x x +++-++++=)1l n ()1l n (2112222． C x x x x +++-+=)1l n (211222．(4) 原式dx xx x ⎰--++-=2122)11(dx xx x ⎰---++=)121111(212 C x x x +---+=a r c s i n 2111现在我们已经体会到．换元积分法和分部积分法是我们求不定积分的基本方法，初等函数的积分公式以及随后补充的积分公式组成基本积分表．我们进行积分运算主要依赖于这两法一表来完成．但是在任何场合，我们不能忽视对不定积分定义的理解，对积分线性性质的利用以及对被积函数的改造与变形，由此并通过基本积分表完成积分运算的方法也称为直接积分法(参看§5.1例2)．另外需要说明的是，我们所说求不定积分，其实是说用初等函数把这个积分表示出来．在这种意义下，不是所有初等函数的积分都可以求出来的．例如下列积分⎰dx e x 2，⎰x dxln ， ⎰dx x x sin虽然存在，但它们都是求不出来的，即不能用初等函数来表示．由此看出，初等函数的导数仍是初等函数，但初等函数的不定积分却不一定是初等函数，而可以超出初等函数的范围．习 题 五1. 已知曲线经过点 (1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点的横坐标的2倍，求此曲线的方程．2. 一物体由静止开始运动，在t 秒时刻的速度为23t (米/秒)，问： (1) 经过3秒时间物体离开出发点的距离是多少？ (2) 物体走完360米需要多少时间？ 3. 求下列不定积分：(1) dx xx ⎰--)131(2； (2) dx x x x ⎰+-+)1)(1(； (3) dx x x x ⎰+++1133224； (4) ⎰+dx x e x )32(； (5) dx xxxx ⎰+)32(33； (6) ⎰-dx x x x )tan (sec sec ；(7) ⎰dx x 2cos 2； (8) ⎰-x dx2cos 1； (9) ⎰-dx xx xsin cos 2cos ； (10) ⎰xdx 2cot ．4. 求下列不定积分： (1)⎰+9)32(x dx； (2)dx x ⎰- 31；(3)dx e x ⎰-2； (4) ⎰+221x dx；(5)⎰-)24(sin 2x dx π； (6)dx tt ⎰cos ；(7)dx x x⎰+ )31(22； (8)⎰-223x dx； (9)dx x x x ⎰+)sec tan 10(2102； (10)dx x x⎰+2cos 2sin ；(11)⎰+)tan 1(cos 2x x dx； (12)⎰dx xxln ； (13)⎰-232x xdx ； (14)⎰)ln(ln ln x x x dx；(15)⎰xdx 3cos； (16) ⎰xdx 4sin ；(17)⎰+)21(x x dx； (18)dx xx⎰+21arctan ； (19)⎰xdx x 5sin 3sin ； (20) ⎰dx xx 2cos cos ； (21) ⎰xdx 4cos ； (22) ⎰-dx e x x 32； (23) ⎰-+xx ee dx； (24) dx e x x x )1(2)11(+⎰-； (25) dx x x ⎰)2cot(32； (26) ⎰++322x x dx； (27)⎰-+dx x x 211； (28)⎰-+223x x dx；(29)⎰xdx x sec tan 3； (30) dx xx⎰+-2121． 5. 求下列不定积分： (1)dx x x ⎰-231； (2) dx x x ⎰-21； (3)⎰++tdt 11； (4)dx x a x ⎰-22； (5)dx x xx ⎰+222； (6) ⎰+1xe dx ；(7)⎰-dx e x 21； (8) dx x ⎰-32)1(； (9) ⎰-12x xdx ； (10)dx xx⎰+21411；(11)⎰+dx xx xln ln 1； (12)⎰-dx e e xx 232；xa -(15)⎰-+211x dx ； (16)⎰-232)1(x dx；(17) ⎰+21xxdx ； (18)⎰+221x x dx；(19)⎰--)2)(1(x x dx ； (20)⎰+)1(3x x dx．6. 求下列不定积分： (1) ⎰xdx arccos ； (2) ⎰xdx x arcsin ；(3)⎰dx x x )ln(ln ； (4) ⎰dx x 2)(ln ；(5) ⎰-dx e x x 2； (6) dx exx ⎰ sin ；(7) ⎰+dx x x)1ln(2； (8) ⎰xdx x 4sin ；(9)⎰dx x xx 3sin cos ； (10) ⎰dx x )sin(ln ；(11) ⎰xdx x23ln ； (12) dx x x ⎰++)1ln(2；(13) ⎰+-dx x x x 11ln； (14) dx x x⎰ arcsin 2；(15)⎰⋅dx x x )ln(tan sin ； (16) ⎰-dx x 1arctan 2； (17) ⎰+xdx x x arctan 122； (18) ⎰dx x x2cos sin ln ；(19)dx x x ⎰)ln(sin )2(sin ； (20) xdx xx arcsin 12⎰-．7. 求下列不定积分：(1) dx x x ⎰-34)1(； (2) ⎰+)21(2x x dx；(3) dx x x x x⎰+++ )3)(2)(1(； (4) ⎰--+dx x x x x 48345；(5)dx x x x 43523⎰+--； (6) ⎰-dx x x13；(9) dx x x x )23(222⎰+-； (10) ⎰-dx x x 102)1(；(11)dx x x ⎰+- cos 1cos 1； (12) ⎰+x dxsin 2； (13) ⎰xx dx 44cos sin ； (14) ⎰+x x dxcos sin ； (15) ⎰++dx x x x sin cos 1； (16) ⎰++dx xx x cos 1sin ；(17)⎰+dx x x sin cos 1； (18) ⎰+xdxtan 21；(19)x dxx x ⎰+-11； (20)dx x xx ⎰+11；(21)⎰+++32)1(2x x x dx ； (22)dx x x 12⎰++； (23)⎰+xx dx2； (24) ⎰-x x dx 2；(25)dx x x x ⎰-+221； (26)⎰-222xa xdx(0>a )．8. 设n m ,为正整数，求下列不定积分的递推公式：(1) ⎰=xdx x I n n cos ； (2) ⎰=xdx x I m n m n ln ,，并由此计算3I 和2,2I ．9. 证明下列各式： (1)C a xx a xdx x a x +--=-⎰arcsin )(2223222；(2)C x a x x a x dx x a x +-+++-=+⎰)ln()(222223222；(3)C a x x a x x dx a x x +-++--=-⎰ln )(222223222．。
不定积分
第五章 不定积分第一节 不定积分的概念及性质思考题：1. 在不定积分的性质x x f k x x kf d )(d )(⎰=⎰中，为何要求0≠k ？答：因为0=k 时，C x x x kf =⎰=⎰d 0d )(（任意常数），而不是0. 2. 思考下列问题：(1) 若C x x x f x ++=⎰sin 2d )(，则)(x f 为何？ 答：x x x f x f x cos 2ln 2)d )(()(+='⎰=. (2) 若)(x f 的一个原函数为3x ，问)(x f 为何？ 答：233)()(x x x f ='=(3)若)(x f 的一个原函数的x cos ，则dx x f )('⎰为何？答：C x C x f x x f x x x f +-=+='⎰-='=sin )(d )(,sin )(cos )(. 习作题：1. 已知曲线)(x f y =过点（0，0）且在点（y x ,）处的切线斜率为132+=x k ，求该曲线方程.解：依题意，132+=='x k y ，故C x x x x y ++=+⎰=32d )13(，又0)0(=y ，故0=C ，从而曲线方程为x x y +=3.2. 计算下列不定积分：（1）x x d 5⎰, （2）x xd 2⎰, （3）xe x d 1+⎰, （4）x x x d )sin (cos -⎰,（5）x x d 122+⎰,（6）x xd 122--⎰,（7）x xe x d )(3+⎰,（8）x x x d )cos 1sin 1(22+⎰. 解：（1）C x C x x x +=++=⎰+651d 6515. （2）C x xx+=⎰2ln 2d 2. （3）C C x x x x x x +=+=⎰=⎰++11e ee d e e d e.（4）C x x x x x x x x x ++=-⎰+⎰=-⎰cos sin d )sin (d cos d )sin (cos . （5）C x x x x x +=+=+⎰⎰arctan 2d 112d 1222.（6）C x x xx x+-=--=--⎰⎰arcsin 2d 11)2(d 1222.（7）C x C xx x x x x xxxx++=+++=⎰+⎰=+⎰+3431131343e 311e d d e d )e (. （8）C x x x x x x x xx ++-=⎰+⎰=+⎰tan cot d sec d csc d )cos 1sin 1(2222. 第二节 不定积分的积分方法思考题：1. 第一换元法（即凑微分法）与第二换元法的区别是什么？答：第一换元法与第二换元法的区别在于置换的变元不同，前者将被积函数)()]([x x f ϕϕ'中的中间变量)(x ϕ作为新的积分变量，而后者将原积分变量x 替换成函数)(t ϕ，以t 作为新的积分变量.2. 应用分部积分公式u v uv v u d d ⎰-=⎰的关键是什么？对于积分x x g x f d )()(⎰，一般应按什么样的规律设u 和v d ？答：应用分部积分公式的关键是恰当的选择u 和v d ，对于积分x x g x f d )()(⎰，一般应按如下的规律去设u 和v d ：（1）由v d 易求得v ；（2）u v d ⎰应比v u d ⎰容易积出. 3. 第二换元法有何规律可寻？ 答: 一般地，若被积函数中含有22a x ±或22x a -，则可利用三角函数的平方关系化原积分为三角函数的积分；若被积函数中含有n b ax +，则可令n b ax +=t ，将原积分化为有理函数的积分. 习作题1. 计算下列积分：（1）)sin d(sin 5x x ⎰, （2）x x d cos 3⎰, （3）⎰+x xx x d )sin (,（4）x xe x d 2⎰, （5）⎰-21d xx x , （6）⎰-41d xx x ,（7）⎰x x x d 2ln , （8）x x d )32(2+⎰, （9）⎰-⋅dx x x 211arcsin 1,（10）⎰+x x x d arctan )1(12, （11）⎰+22d x x , （12）⎰-24d x x .解：（1）C xx x +=⎰6sin )sin d(sin 65.（2）x x x x x d cos )sin 1(d cos 23-⎰=⎰ =)sin d()sin 1(2x x -⎰=)sin d(sin )sin d(2x x x ⎰-⎰ =C xx +-3sin sin 3. （3）x x x x x xx x d sin 2d d )sin (⎰+⎰=+⎰=C x x +-cos 222. （4）C x x x x x x +=⎰=⎰222e 21)(d e 21d e 2. （5）C x x x x x x+--=--⎰-=--⎰2221221)1(d )1(21d 1.（6）C x x x x xx +=-=-⎰⎰22224arcsin 21)(1)(d 211d .（7）C x x x x x x x x x +=⎰==⎰⎰2ln 21)2ln d(2ln )2(d 22ln d 2ln 2. （8）C x x x x x ++=++⎰=+⎰322)32(61)32(d )32(21d )32(.（9）C x x x x x x +==-⋅⎰⎰|arcsin |ln )arcsin d(arcsin 1d 11arcsin 12.（10）C x x x x x x +==+⎰⎰|arctan |ln )arctan d(arctan 1d arctan )1(12.（11）C x x x x x x x +=+=+=+⎰⎰⎰22arctan 22)2(d )2(1121)2(1d 212d 222. （12）⎰2-4d x x =⎰2)2(-12d x x=)2(d )2(-112xx⎰=C x +2arcsin .2. 计算下列积分：(1)⎰x x d 2ln , (2)⎰x x d 2arctan , (3) ⎰x x x d e 4,(4)⎰x x x d 4sin e 5, (5) ⎰x x x d 100sin , (6) ⎰x x x d 2arctan .解：（1）)2ln d(2ln d 2ln x x x x x x ⎰-=⎰=x xx x x d 222ln ⋅⎰- =C x x x +-2ln .（2）⎰x x d 2arctan =)d(arctan22arctan x x x x ⎰- =x x x x x d )2(122arctan 2+⋅⎰-=⎰+-2241)(d 2arctan xx x x =)41(d 411412arctan 22x xx x ++-⎰ =C x x x ++-)41ln(412arctan 2.（3）x x x x x x x xx d e 41e 41de 41d e 4444⎰-==⎰⎰=C x xx +-44e 161e 41. （4）5555e 1e e sin 4d sin 4d()e sin 4d(sin 4)555x xxx x x x x x ⎰=⎰=-⎰ =x x x xxd 4cose 544sin e5155⎰-=5e d 4cos 544sin e 5155xx x x ⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰)4cos d(5e 4cos 5e 544sin e 51555x x x xx x=x x x x xx xd 4sine 25164cos e 2544sin e 51555⎰--, 移项合并，得C x x x x xx+-=⎰)4cos 44sin 5(e 411d 4sin e55. （5）⎰---=-⎰=⎰x xx x x x x x x d )100100cos (100100cos )100100cos (d d 100sin =C xx x +-100100cos 10000100sin . （6）⎰x x x d 2arctan =⎰)2d(2arctan 2x x=⎰-)2(arctan d 22arctan 222x x x x =x x x x x d )2(1222arctan 2222⎰+⋅- =x x x x d )4111(412arctan 222⎰+-- =C x x x x ++-2arctan 8142arctan 22. 3. 计算下列不定积分：（1）x x d 162-⎰, （2）⎰+232)4(d x x .解：（1）令)2π2π(sin 4<<-=t t x ，则t x cos 4162=-，t t x d cos 4d =， 于是 t t t t t x x d )2cos 1(8d cos 4cos 4d 162+⎰=⋅⎰=-⎰ =C t t ++2sin 48.由右图所示的直角三角形，得81641642cos sin 22sin 22xx x x t t t -=-⋅⋅==, 故 C xx x dx x +-+⋅=-⎰2164arcsin81622. （2）令)2π2π(tan 2<<-=t t x ，则t t x t x d sec 2d ,sec 8)4(23232==+,于是C t t t t t tx x +==⋅=+⎰⎰⎰2sin d 2cos d sec 2sec 41)4(d 23232. 由右图所示的直角三角形，得24sin xx t +=故 C xx x x ++=+⎰223242)4(d .xx2。
第五章 不定积分
例题） 第一节 不定积分的概念（例题） 例.
5 求过点 (1, 2 ) ，且在其上任意一点 (x
, y) 处的切线
的曲线方程． 斜率为 x 的曲线方程． 解：设所求曲线方程为 y=F(x)，则 F ′( x ) = x . ，
1 2 y = F ( x ) = ∫ xdx = x + C 2
5 将 x = 1，y = 代入上式： 代入上式： 2 5 1 2 = ×1 + C ⇒ C = 2 2 2 1 2 故 y = x + 2为所求曲线方程 . 2
y o
F ( x)
F ( x) + C2
F(x) 是 f(x) 的一条 积分曲线． 积分曲线．
x
x
个单位， 将 F(x) 沿 y 轴平移 C 个单位，即得关于 f(x) 的 积分曲线族． 积分曲线族． 积分曲线族中的所有曲线在横坐标相同的点处的 积分曲线族中的所有曲线在横坐标相同的点处的 所有曲线 切线互相平行． 切线互相平行．
y=∫
x
已知固定成本为1000元 已知固定成本为1000元， 即当 x=0时, y=1000. 1000 = = 000. 因此有C=1000， 因此有 =1000，于是可得
y = 7 x + 50 x + 1000 ,
25 y′dx = ∫ (7 + )dx = 7 x + 50 x + C . x
x u= a
x =u a
1 1 1 du = arctan u + C = ∫ 2 a a 1+ u
1 x = arctan + C . a a
dx d( ) = a a
1 dx x ∫ a2 + x2 = a arctan a + C.
《高等数学》第五章不定积分练习题
第五章不定积分班级专业：姓名：学号：第一节不定积分的概念第二节不定积分的性质第三节基本积分公式一、判断1.一个已知函数的原函数有无穷多个.（）2.如果()F x ，()G x 都是()f x 的原函数，则()()F x G x C -=.（）3.()()d f x x f x '⎡⎤=⎣⎦⎰（）4.()()d f x dx f x dx =⎰（）5.()()F x dx F x C '=+⎰（）6.()()d F x F x C =+⎰（）二、选择1.若()22x f x dx x e C =+⎰，则()f x =()22xA xe ()24xB xe ()222xC x e ()22(1)x D xe x +2.已知2y x '=，且1x =时2y =，则y =()2A x ()2B xC +()21C x +()22D x +3.sin darc =⎰()arcsin A ()arcsin B C ()C ()D C+4.若2ln cos 23x 是()tan f x k x =的一个原函数，则k =()23A ()23B -()43C ()43D -5.设()f x 的导数为sin x ，则下列选项中是()f x 的原函数的是()1sin A x +()1sin B x -()1cos C x+()1cos D x-6.下列函数中有一个不是()1f x x=的原函数，它是()()ln ||A F x x =()()ln ||B F x Cx =(C 是不为零且不为1的常数)()()ln ||C F x C x =(C 是不为零且不为1的常数)()()ln ||D F x x C=+(C 是不为零的常数)7.设()f x '存在，则()df x '=⎡⎤⎣⎦()()A f x ()()B f x '()()C f x C +()()D f x C'+三、求不定积分1.421x dx x +⎰2.221x dxx +⎰3.211t t e dte --⎰第四节换元积分法（第一换元积分法）1.21x dx x +⎰ 2.2(ln )x dx x⎰3.12xe dx x⎰4.⎰5.⎰6.2⎰7.2213x dx x x --+⎰8.ln dt t t⎰9.1xxe dx e +⎰10.211x dxx -+⎰11.sin3xdx⎰12.2cos 3xdx⎰13.2sin 3xdx⎰14.sin cos xe xdx⎰15.cos x xe e dx ⎰16.3sin xdx⎰17.dx⎰18.2ln x x dxx+⎰19.22(arctan )1x dx x+⎰20.xdx⎰第二换元积分法1.⎰2.⎰3.4.dx⎰5.⎰第五节分部积分法1.x xe dx ⎰ 2.sin x xdx⎰3.arctan xdx⎰ 4.2ln(1)x dx +⎰5.cos x xdx⎰ 6.arctan x xdx⎰第六节综合杂例22156x dxx x --+⎰。
不定积分概念与性质
本章的教学基本要求是： 本章的教学基本要求是： 1、理解原函数和不定积分的定义，掌握 、理解原函数和不定积分的定义， 原函数和不定积分的性质； 原函数和不定积分的性质； 2、熟练掌握不定积分的基本公式及凑微 、 分法； 分法； 3、熟练掌握不定积分的换元积分法和分 、 部积分法。 部积分法。y来自0x0x
三、 基本积分表
′ x xµ+1 实例 = xµ ⇒ ∫ xµdx = + C. µ +1 µ + 1 (µ ≠ −1)
µ+1
能否根据求导公式得出积分公式？ 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式. 因此可以根据求导公式得出积分公式
1 dx . 例8 求积分 ∫ 1 + cos 2 x 1 1 解： ∫ 1 + cos 2 x dx = ∫ 1+ 2cos2 x −1dx
1 1 1 dx = tan x + C . = ∫ 2 2 2 cos x
说明： 说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒 等变形，才能使用基本积分表. 等变形，才能使用基本积分表
F . 说明 ( x) + c是f ( x)的全部原函数
定义 不定积分(indefinite integral)的定义： 的定义：
在区间 I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意
常数项的原函数 称为 f ( x ) 在区间 I 内的
不定积分， 不定积分，记为 ∫ f ( x )dx .
被 ∫积 f (被 x )dx = F ( x原 ) + C任 积 分 号 积 函 数 积 表 达 式 分 变 量 函 数 意 常 数
第五章 不定积分与微分方程
f (x)dx f (x) 或 d f (x)dx f (x)dx F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C
af (x)dx a f (x)dx (a 0)
f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx
f [(x)](x)dx F[(x)] C [ f (u)du]u(u)
这个公式称为第一换元积分法，也称为凑微分法．
LOGO 正文.第五章
第 二 节
不不
定定
积积
分分
的 积 分
的 换 元 积
方分
法法
例1 求 (1 进行配凑，因为 dx 1 d(2x) 1 d(1 2x) ，所以
微 分 方 程
引 例
解
设所求曲线方程为 y=f(x)，由题意有
dy dx
3x2
，两边积分有
y dy 3x2dx x3 C
当 x=1时，y=2 ，代入上式得C=1 ． 因此所求曲线方程为
y x3 1
LOGO 正文 . 第五章
第 21 页
第 三微 节分
方
微程 分的 方基 程本
du exdx ，v sin x ，所以
从而 故
I ex cos x ex cos xdx ex cos x ex sin x ex sin xdx
I ex cos x ex sin x I
I 1 ex (sin x cos x) C 2
6
sin xdx cos x C
8
1 sin2
x
dx
cs c2
xdx
理科第五章不定积分
第五章不定积分一、本章主要教学内容1．原函数与不定积分的概念、不定积分的性质、基本积分公式；2．直接积分法；第一换元积分法；分部积分法；查表法等。
二、教学目的1．理解原函数与不定积分的概念；2．掌握不定积分的性质，熟记基本积分公式；3．熟练掌握各种积分法。
三、教学重点、难点重点：直接积分法；第一换元积分法；第二换元积分法；分部积分法。
难点：第一换元积分法；第二换元积分法；分部积分法。
第一节、不定积分的概念与性质教学目标：理解原函数与不定积分的概念；掌握不定积分的性质，熟记基本积分公式。
教学重点：不定积分的定义与基本积分公式。
教学难点：不定积分的定义与基本积分公式。
教学手段：课堂讲解一、原函数的概念定义 已知)(x f 是一个定义在区间I 内的函数，如果存在着函数)(x F ， 使得对I 内任何一点x ，都有 )()('x f x F = 或 dx x f x dF )()(=，那么函数)(x F 就称为)(x f 在区间I 内的原函数。
例 F x x ()sin =是f x x ()cos =在区间I =-∞+∞(,)上的原函数。
原函数存在定理 如果函数)(x f 在区间I 内连续，那未在区间I 内它的原函数一定存在，即：存在)(x F ，对一切的x I ∈，均有'=F x f x ()()。
即：连续函数一定有原函数。
若)(x F 是)(x f 在区间I 内的一个原函数，即'=∀∈F x f x x I ()()，那么对于任意常数c ，由于 [()]()F x c f x +'=，于是，函数族c x F +)(中的任何一个函数也一定是)(x f 在区间I 内的原函数。
由此可知：如果)(x f 有原函数，那么原函数的个数为无限多个。
二、不定积分概念定义 在区间I 内，函数)(x f 的带有任意常数项的原函数称为)(x f 在区间I 内的不定积分，记作f x dx ()⎰ 其中：⎰称为积分号， )(x f 称为被积函数，f x dx ()称为被积表达式，x 称为积分变量。
第5章不定积分
比求导困难得多。
有些初等函数如e-x2 ,
等,原
函数必然存在,但由于其原函数不是初等函
数,我们并不能求其积分。
通过上节的学习,我们可以求一些简单 的积分,为了解决复合函数、函数的乘积等 这些复杂一些的积分问题,本节我们将学习 换元积分法和分部积分法。
5.2.1 第一换元积分法
我们先分析如何计算积分∫sin2xdx。 该积分不能直接用积分公式∫sintdt=cost+C,若想把2x 看成t 的话,被积表达式 中必须有d2x。
一些含有根式的积分如 虽然表达式很简单,但基本积
分公式和凑微分法都不能解决这类问题。 我们常用的办法是通过合适的换元把
根式去掉,从而简化计算,这就是我们要学习 的第二换元积分法。
第二换元积分法也可称作直接换元法, 通过直接代换x =φ(t),把表达式中不利于计 算的因素去掉(根式、分母复杂)。
换元时注意x=φ(t)的单调性(保证 t=φ-1(x)的存在),要把积分表达式中每一个 x 代换,积分结果要求变量回代。
其中“∫”为积分符号,x 为积分变量, f(x)为被积函数,f(x)dx 为被积表达式,C 为积 分常数。
由定义可知,求被积函数的不定积分只 须找到它的一个原函数,然后再加上任意常 数C。
5.1.3 不定积分的性质
根据不定积分的定义,我们不难得到不 定积分的以下几条性质。
(1)不定积分与导数和微分互逆性
(2)G(x)也是f(x)的一个原函数,则必 存在一个常数C0,使得G(x)=F(x)+C0这 是
因为(G(x)-F(x))'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 由微分学知识可知,G(x)-F(x)必为某一常 数C0,即G(x)-F(x)= C0 。
第五章不定积分sect51不定积分的概念和性质说课材料
一、原函数与不定积分的概念
定义 若在 I 上恒有 F(x)=f(x)（即 dF(x)=f(x)dx），
称 F(x) 为 f(x) 在 I 上的一个原函数。
例 sx in cx o , s x ( , ) ,
sixn 是 co x在 sI (, )上 的 原一 。 函个 数
基 本
(1)0se xtca xn d sx excC;
积 (1)1cs xcco xtd x csx cC ;
分 表
(1)2exdx ex C;
(1)3axdx lna
x
a
C
;
(14) shxdxchxC;
(15) chxdxshxC.
求不定积分的基本思想（仍然）是化繁为简— —将所求积分化为基本积分表中的积分。
ln|x|1 (x0),
x ln| x|是1在(0, )上的一个原 , 函数
x 也是1在( ，0)上的一个原函数。
x
考虑原函数的表达式：
设F(x)为f(x)在I上的一个原函 G(x)数 为， f(x)在I上的一个 原函数 G(x)f(x)F(x) xI
(G (x ) F (x )) 0 G (x)F (x)C
x12dx11x2dx1 xarctxa C n.
例9
1c1os2xdx
1 2cos2
x
dx
12co1s2
dx x
1 2
se c2 xdx1tanxC. 2
例10 cot2 xdx (cs2xc1)dx cs2cxdxdx co xx t C .
例11
5x 3ex 2x1
dx
(1(5)x(3)(e)x)dx 22 2 2
第五章 不定积分
第五章不定积分参考学时 12学时主要内容 原函数与不定积分的概念，积分基本公式。
不定积分的运算法——直接积分法、换元积分法、分步积分法等积分法。
几种可以积出的函数类。
重点 不定积分的积分法。
难点 换元积分法及分步积分法。
教案一§5.1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分1．定义 设()'F x =()()()f x dF x f x dx =或，则称F （X ）为f(x)在I 上的一个原函数。
例如因()()()'22222,2,2,2.xx x x x c x c x c x =+=+则为的原函数又为常数则也为的原函数又因()'sin cos ,sin x x x =故是cosx的原函数, 又()'sin cos ,sin cos .x c x x c x +=+则也是的原函数以上现象我2．原函数结构问题 定理()()()()()()()()',,x I Fx f x F x f x F x c f x c f x ∈=++若当时即是的原函数则也是的原函数且F x 包含了的全部原函数.证()()()()()()()()()()()()'',,,0.c fx x f x x fx x F x +ΦΦ=Φ-=Φ⎡⎤⎣⎦因F x 也是的原函数又设也是的原函数则于是有第四章第一节中拉格郎日中值定理的推论知x =F x +c,这就说明f x 的全部原函数都能写成F x +c的形式.3。
不定积分的意义 定义()()()()()()()()(),,,"",,,,dx fx dx F x cfx f x x c =+⎰⎰⎰设F x 是f x 在区间I上的一个原函数则它的全部原函数F x +c 称为f x 在I上的不定积分记作: f x 即其中为积分号为被积函数dx为被积表达式为积分变量为积分常数.有定义知22;cos sin xdx x c dx x c =+=+⎰⎰例1 求4x dx ⎰解 因'544511,55x x x dx x c ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰例2 求1dx x⎰解 当x>0时，()()'11ln ,ln ,0x dx x c x xx==+>⎰所以当x<0时，()()'11ln ,;0ln x x dx x c xx-=<=-+⎡⎤⎣⎦⎰故当时；故当x ≠0时1lndx x c x =+⎰例3 ()117P二、不定积分的性质。
高等数学B第五章-不定积分的概念和性质
简言之：连续函数一定有原函数. 因此初等函数在其定义域内都有原函数 . (但原函数不一定是初等函数)
6
二、不定积分的概念
定义 设 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数,则称其全体原函数
F( x) C 为 f ( x) 的不定积分,记作 f (x)dx.
第五章 不定积分
1
本章开始,我们学习一元函数积分学. 它研究的是函数微分运算的逆运算问题. 在微分学中,我们研究的问题是： 已知f (x), 求 f (x) 或 df (x) f (x)dx. —函数的微分运算 在积分学中,我们要研究的问题是： 已知(F(x)) f (x), 求 F(x). —函数的积分运算 不定积分是微分运算的逆运算,也称为反导数.
11
三、不定积分的性质
(1) [ f (x) g(x)]dx f ( x)dx g( x)dx
证 [ f ( x)dx g( x)dx] [ f ( x)dx] [ g( x)dx] f ( x) g( x) ,
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
2
1 3
x
x3
3
2 x
1
1 2
C.
1
x
1 2
1
x
C
33
(2) (sin x 2cos x 3x )dx;
解 原式 sin x dx 2 cos xdx 3x dx
cos x 2sin x 3x C.
ln 3
19
例5 求下列不定积分
(3)
F( x) C 也是 f ( x) 的一个原函数； （2）设 F ( x)是 f ( x) 的一个原函数,则 f ( x) 的任一个原函 数 G( x)与 F ( x)最多相差一个常数,即G(x) F (x) C0 .
第五章 不定积分
关于积分法的对应公式．
例如 因为 ( x 1 ) x （ 1），所以 x dx x1 C ( 1) ；
1
1
再如
因为
(arctanx) 1 ， 所以 1 x2
dx 1 x2
arctan x C
．
导数公式
不定积分公式
（1） (kx) k ，
S v(t)dt ．
例 4．一物体由静止开始运动，经过 t 秒后的速度是 3t2 (m / s) ，问
（1）在 3 秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2）物体走完 360m需要多少时间？ 解 设物体自坐标原点沿着横轴正向由静止开始运动，位移函数为
S S(t) ，则
S '(t) v(t) 3t2 ．
函数；
又如
当 x (1,) 时 ， [ln( x x2 1)] 1 ， 故 函 数 x2 1
ln(x x2 1) 是函数 1 在区间 (1,) 内的一个原函数，而函数 1
x2 1
x2 1
是函数 ln(x x2 1) 的导函数．
-1-
教学内容（含时间安排）
由这些例子看出，求原函数就是求导数的逆运算，但为了进一步讨论求 原函数问题，对于给定函数 f (x) ，需考虑哪些问题？
定义 1 如果在区间 I 上，可导函数 F(x) 的导数为 f (x) ，即对任意
x I ，都有 F(x) f (x) 或 dF(x) f (x)dx ，则称函数 F(x) 为函数 f (x) 在区
间 I 上的原函数．
例如 因为 (sin x) cosx ，故正弦函数 sin x 是余弦函数 cos x 的一个原
例 2．求不定积分 x(x2 5)dx.
不定积分核心知识点
第五章 不定积分核心知识点一、不定积分的概念和性质1.原函数的概念若()()()()F x f x dF x f x dx '==或 ,则()F x 叫做()f x 的一个原函数.2.原函数与导函数的关系)'=(原函数导函数3.原函数的性质（原函数不唯一）➢ ()()()()C)'.x f F x f x x '=+=若(F ，则➢ '()G'(()G())C () F x x f x F x x =−==若，则(常数).4.连续函数一定具有原函数.5.不定积分的概念函数()f x 的所有原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ⎰. 注：()()C f x dx F x =+⎰,即不定积分=一个原函数+C .6.不定积分的几何意义不定积分()f x dx ⎰的图形使积分曲线族7.不定积分的性质性质1：积分运算和微分运算互为逆运算.➢ 先积后导，作用消失. ()()()()[]d d d x x x x x xf f d f '⎰=⎰= ➢ 先导后积，后加常数C . ()()dx f C f x x ='+⎰➢ 先积后微，作用消失，后乘d x . ()()dx f dx f x x d =⎰ ➢ 先微后积，作用消失，后加C .()()C df x x f =+⎰性质2：和差性质：()()()()g x x f x g f dx dx dx x ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰注：对有限个函数积分成立性质3：数乘性质：()() (0)dx k dx kf x f x k k =≠⎰⎰为常数且 推论：()()()()g g kf l dx k dx l d x x x x f x +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰二、基本积分公式（基本积分公式表（必须熟记）177P 课本）三、换元积分法四、分部积分法1.适用范围：分部积分法适用于两类函数相乘的情况.2.公式：'uv dx udv uv vdu ==−⎰⎰⎰3.口诀：反对幂指三（反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数） 口诀用法：谁靠后，谁的原函数放在d 后，即前者为u ，后者为v4.解题技巧：①简易分部积分（公式法、表格法）；②循环积分法五、几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分（有理假分式 = 多项式 + 有理真分式）1.分母可以因式分解（1）重点公式：1111(),()()()b a x a x b b a x a x b=−>++−++ （2）解题方法：①分母因式分解；②构造因式；③拆分2.分母不可因式分解（1）重点公式：2222()a ab b a b ±+=±（配方法中使用）（2）解题方法：①分母配方；②换元；③拆分二、万能代换（半角代换）的积分解题方法：①令tan 2x t =，则221dx dt t =+，221cos 1t x t −=+，22sin 1t x t =+ ②带入原式计算。
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第五章 不定积分前面，我们讨论了如何求一个函数的导函数的问题，本章即将讨论它的反问题，即要求一个可导函数，使得它的导函数等于已知函数。
这就是积分学的基本问题之一——不定积分。
§5.1 不定积分的概念与性质5.1.1原函数如果已知物体的运动方程)(t f s =,则此物体的速度是距离s 对时间t 的导数.反过来,如果已知物体的运动速度v 是时间t 的函数)(t v v =,求物体运动方程)(t f s =,使得它的导数)(t f '等于已知函数)(t v .这就是求导运算的逆运算。
一般地,我们给出下面的定义：定义 5.1.1 设)(x f 是定义在某个区间上的函数,如果存在函数)(x F 对该区间上的每一点都有：)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= ．则称函数)(x F 是已知函数)(x f 在此区间上的一个原函数。
例如,在()+∞∞-,内,x x cos )(sin =',故x sin 是x cos 在()+∞∞-,内的一个原函数。
5.1.2不定积分的概念由求导公式和求导法则，可以得出：)(2'x =x 2 ， )1(2'+x =x 2 ，)1000(2'+x =x 2 ， )(2'+c x =x 2 (c 为任意常数).显然, 2x ,12+x ,10002+x ,c x +2等都是x 2的原函数.即x 2的原函数不唯一,且有无穷多个。
一般而言,如果)(x F 为)(x f 的一个原函数,则c x F +)((c 为任意常数)也满足[]'+c x F )(=)(x f ,所以c x F +)(都是)(x f 的原函数.此外,由拉格朗日中值定理的推论可知．如果)(x F ,)(x G 都是)(x f 的原函数,则它们相差一个常数,即)(x G =c x F +)(．因此,如果)(x F 是)(x f 的一个原函数,则)(x f 的所有原函数可以表示为c x F +)( (c 为任意常数)。
定义5.1.2 函数)(x f 的所有原函数,称为)(x f 的不定积分,记作⎰dx x f )(。
如果)(x F 是)(x f 的一个原函数,则由定义有⎰dx x f )(=c x F +)(．其中,符号""⎰称为积分号, x 称为积分变量, )(x f 称为被积函数,dx x f )(称为被积表达式, c 称为积分常数。
因此,求已知函数的不定积分,也就是求出它的一个原函数再加上任意常数c ．【例题1】 求⎰xdx 2．解:因为)(2'x =x 2, 所以⎰xdx 2=2x +c . 【例题2 】 求⎰dx e x ．解:因为)('x e =x e , 所以⎰dx e x =x e +c .【例题3 】 求⎰dx x1．解:当0>x 时, xInx 1)(=',当0<x 时, 0>-x 而xx x In 1)1(1])([=-⋅-='- 因此,当0≠x 时, x In 为x1的一个原函数,故 ⎰dx x 1=x In +c (c 为任意常数)。
5.1.3不定积分的几何意义由于函数)(x f 的不定积分中含有任意常数c ,因此对于每一个给定的c ,都有一个确定的原函数.在几何上,相应地就有一条确定的曲线,称为)(x f 的积分曲线。
向上、下移动而得到。
给定一个初始条件,就可以确定一个c 的值,因而就确定了一个原函数。
例如,给定初始条件0x x =时0y y =,则由c x F y +=)(00得到常数c )(00x F y -=,于是确定了一条积分曲线。
【例题4】求过点(0,1),且切线斜率为23x 的曲线方程．解:由⎰+=c x dx x 323,得到曲线簇=y c x +3, 将点(0,1)代入,得c =1.所以=y 13+x 就是所求曲线。
5.1.4不定积分的性质性质1 （1）[])()(x f dx x f ='⎰ 或 ⎰=dx x f dx x f d )()(（2） c x F dx x F +='⎰)()( 或 ⎰+=c x F x dF )()(也就是，不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式），一个函数的导数（或微分）的不定积分与这个函数相差一个任意常数。
简而言之：“先积后微,形式不变;先微后积,差个常数”。
性质2 ⎰dx x kf )(=⎰dx x f k )( (k 是常数,且0≠k ) 即：被积函数中不为0的常数因子可以提到积分号外面。
性质3 ⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([ 即:两个函数和差的积分等于函数积分的和差。
这个公式可以推广到任意有限多个函数和的情形,即⎰⎰⎰⎰+++=+++dx x f dx x f dx x f dx x f x fx f n n )(......)()()](......)()([2121练习5.11. 利用不定积分的定义求解下列各题． (1)⎰xdx sin ； (2)⎰+dx x 211； (3)⎰-dx x211；(4) ⎰xdx cos .2.利用不定积分的性质填空 ． (1)dxd ⎰dx x f )(=( ) ; (2)⎰dx dx x df )(=( );(3) ⎰x d cos =( ); (4) )tan ('⎰xdx =( ). 3.解下列问题．(1) 已知曲线上任一点的切线斜率为x 2,并且曲线经过点(1,-2),求此曲线的方程． (2) 已知质点在时刻t 的速度为23-=t v ,且t =0时距离5=s ,求此质点的运动方程．§5.2 基本积分公式因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应地可以得到基本积分公式(如表5-1)：表5-1利用不定积分的性质和基本积分公式，我们可以求一些简单函数的积分。
【例题1】求⎰-dx x e x )cos 3(. 解: ⎰-dx x e x )cos 3(=⎰⎰-xdx dx e x cos 3 =21sin 3c x c e x +-+=c x e x +-sin 3 (其中21c c c +=)【例题2】求dx xx ⎰31．解:把被积函数化为μx 的形式,然后应用公式：dx x x ⎰31=⎰-dx x 34=c x ++-+-1341341=c x+--313【例题3】求⎰+dx x x 241． 解: ⎰+dx x x 241=dx x x ⎰++-24111=dx x x x ⎰+++-22211)1)(1( =⎰++-dx xx )111(22 =⎰⎰⎰++-dx x dx dx x 2211=c x x x ++-arctan 313【例题4】求⎰dx x2cos 2．解: ⎰dx x2cos 2=dx x ⎰+2cos 1 =⎰⎰+xdx dx cos 2121=c x x ++sin 2121【例题5】求⎰dx e x x 2． 解: ⎰dx e x x 2=⎰+=c e eIn dx e x x )2(21)2( =c In e xx ++212注：1.分项积分后,按理每个积分都由一个任意常数,但由于任意常数的和仍为任意常数,所以只要总的写出一个任意常数即可。
2.检验结果是否正确,只要将结果求导,看它的导数是否等于被积函数。
练习5.21.计算下列不定积分. (1)⎰+--dxx x x )4353(34 (2)⎰+dxx 22)1( (3)⎰+dx x x1 (4)dx xxdx⎰2(5) dx x x ⎰+221 (6)⎰dx x x cos 2sin(7)dxx x x ⎰+++1133224 (8)⎰+xdx 2cos 1 (9)dx x ⎰2tan(10) dx x x ⎰22cos sin 1(11) ⎰-dx x x xsin cos 2cos (12)dx e e t t ⎰--112§5.3换元积分法利用基本积分表及不定积分的性质所能计算的不定积分是很有限的,因此有必要寻找其它的积分方法。
因为积分运算是微分运算的逆运算,本节我们将把求复合函数微分的步骤倒过去,利用中间变量代换,得到复合函数积分法,称为换元积分法。
按照选取中间变量的不同方式通常将换元法分为两类,下面分别进行介绍。
5.3.1第一类换元积分法如果积分⎰dx x f )(可以化为⎰'dx x x g )()]([ϕϕ的形式,且设)(u g 的原函数为)(u F ,)(x u ϕ=可导,即⎰du u g )(=)(u F +c , 则有第一类换元法：⎰dx x f )(=⎰'dx x x g )()]([ϕϕ=⎰du u g )(=)(u F +c =)]([x F ϕ+c 。
由于在积分过程中,先要从被积表达式中凑出一个微分因子dx x x d )()('=ϕϕ,故第一类换元法又称为凑微分法。
第一类换元法的主要思想是:通过各种运算(例如代数运算、三角恒等变换等)将所求积分凑成积分表里已有的形式。
合理选择)(x ϕ,并从被积函数中分离出)(x ϕ',是应用这种积分换元法的关键。
一般说来,应选取这样的函数作为)(x ϕ： (1) )(x ϕ'易分离且)(x ϕ易求,即由dx x )('ϕ易得出)(x d ϕ；(2) 被积函数中所剩部分化为)(x ϕ的函数)]([x f ϕ,令)(x u ϕ=后, )(u f 的原函数要易求。
【例题1】求⎰xdx 2cos 2.解:被积函数中,x 2cos 是一个复合函数: x 2cos =u cos ,x u 2=,常数因子2恰好是中间变量u 的导数.因此我们作变换x u 2=,便有⎰xdx 2cos 2=⎰'⋅dx x x )2(2cos =⎰udu cos =u sin +c ,再以x u 2=代入,即得⎰xdx 2cos 2=x 2sin +c 。
【例题2】求⎰+dx x231.解:被积函数x 231+=u 1, x u 23+=.由于dx du =2是个常数,故可以改变系数凑出这个因子： x 231+=21⋅+⋅x 2312=21⋅+⋅x231)23('+x , 从而令x u 23+=,便有⎰+dx x 231=⎰'+⋅+⋅dx x x )23(23121=⎰++)23(23121x d x=⎰du u 121=u In 21+c =x In 2321++c .当运算熟练以后,可以不必把u 写出来,而直接计算下去： 【例题3 】 求⎰dx xe x 22.解: ⎰dx xe x 22=21)(22⎰x d e x =212x e +c . 【例题4 】 求⎰-22x a dx(0>a ). 解: ⎰-22x a dx=⎰-++dx xa x a a )11(21 =⎰⎰-++)(21x a dxx a dx a =c x a In x a In a+--+)(21=c xa x a In a +-+21. 【例题5 】 求⎰+22x a dx(0>a ). 解:⎰+22x a dx =⎰+dx ax a 22)(111 =⎰+)()(1112a xd a x a =c a xa +arctan 1.【例题6 】 求⎰xdx tan . 解: ⎰xdx tan =⎰dx x x cos sin =⎰-)(cos cos 1x d x=c x In +-cos . 【例题7 】 求⎰dx xxIn 3．解: ⎰dx xxIn 3=⎰xdInx In 3=c x In +441. 【例题8】求⎰xdx sec ．解：⎰xdx sec =⎰⎰=dx x xdx x 2cos cos cos 1 =⎰-x x d 2sin 1)(sin=⎰-++)(sin )sin 11sin 11(21x d xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++⎰⎰x x d x x d sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(21 =[]c x In x In +--+sin 1sin 121=c x xIn +-+sin 1sin 121=c xx In ++22cos )sin 1(21 =c xxIn++cos sin 1=c x x In ++tan sec 从上述例题可以看出,利用第一类换元法计算积分的种类很多,我们将常用的凑微分形式列举如下：(1) )(1)(1b ax d a ax d a dx +==; (2) )(11n n x d ndx x =-; (3) )(x x e d dx e =; (4) )(1Inx d dx x=;(5))1(12x d dx x -=; (6) )(21x d dx x=; (7) )(cos sin x d xdx -=; (8) )(sin cos x d xdx =; (9) )(tan cos 12x d dx x =; (10) )(cot sin 12x d dx x-=; (11))(arcsin 112x d dx x =-; (12))(arctan 112x d dx x=+; (13) ])([)(k x d x d ±=ϕϕ.(k 为常数)5.3.2第二类换元积分法第一类换元法是通过变量代换)(x u ϕ=计算积分。