大学物理运动学概要

2 cos cos cos( ) cos( )
sin 2 2 sin cos
cos2 1 2 sin 2 2 cos2 1
sin 2
2
1 2
(1 cos )
c os2
2
1 2
(1
cos )
第一章 质点运动学
§1 质点 参照系和坐标系
自然界物质运动的形式多种多样,最简单和最基本的是物体 的位置随时间的变动,称为机械运动. 力学是关于机械运动的理 论,描述运动的部分称运动学,解释运动的部分称动力学.
1 2
gt 2
c2 y
x
t 0
y t 0
0 0
c2 x c2 y
0 0
x
v0
cos t
y
v0
sin t
1 2
gt 2
y
xtg
g
2v02 cos2
x2
x
v0
cos t
y
y
v0
sin t
1 2
gt 2
v0
g
vx v0 cos vy v0 sin gt
O
x
令 y 0，可得飞行时间： 令 vy 0 , 可得上升高度：
首先要解决的问题是如何确定物体的位置. 显然，只有不计 物体的形状和大小，其位置才能精确表示.我们把忽略了形状和 大小的物体称为质点. 质点是实际物体的抽象，是理想化了的模 型, 突出了物体具有质量和占有位置的主要属性.条件：① 物体 作平动 ② 线度本身足够小.
任何一个真实的物理过程都是极其复杂的。为了寻找某过程 中最本质、最基本的规律，总是根据所讨论的问题，对真实过程 进行简化，忽略次要因素，抓住主要特征，把它抽象成一个可供 数学描述的物理模型。
v lim s d s t0 t dt
如何正确理解瞬dr时速d率s？ v lim r d r d s v
t0 t dt d t
3.加速度
v (t )
平均加速度
a v t
r(t)
瞬时加速度 o
a
lim
v
d
v
d
2
r（m
s 2）
t t0 d t d t 2
加速度是速度对时间的一阶导 数；位矢对时间的二阶导数,加速 度的方向指向轨道曲线的凹侧 .
直
角
坐
标
系
z
x
y
柱 坐 标 系
z
ρ
球 坐 标
系r
θ
坐标系是参照系的数学抽象. 因为它不仅可以定量表示 物体的空间位置，同时也具有参照的作用.
§2 描述质点运动的物理量
1.位置矢量 r op
运动方程 r r(t)
位移
r r(t t) r(t)
.
r P
o
路程
t 0
S
S r
ds dr
.A S
y
v0
g
vx axdt c1x
O
vy aydt gt c1y
vx vy
t0 t0
v0 v0
cos sin
c1x c1y
v0 v0
cos sin
x
vx v0 cos vy v0 sin gt
x
vxdt v0 cos t c2x
y
v y dt
v0
sin t
t
y y0 vy (t)dt 0
dx
vdxt
vv0xx，dxt ax
0
x
(vtx)ddtt，
xo
dxv
y
t
0
v0xdy t,
t
t
x
ay
x(t0)dt
vxdt
0
0
例: 匀变速直线运动
（
a为常数，且与
v0
同向或反向
）
沿 v0 方向建立坐标系 t 0 时，x x0
0
v0
x
a dv dt
r(t) r B
. r(t t)
O
d r
2.速度
平均速度 v r t
r(t )
瞬时速度 v lim r d r
t0 t d t
O
r
r(t t)
d3rt
3 2
t r
12rt
1 t
瞬时速度是位置矢量对时间的一阶导数，
其方向沿轨道的切线并指向前进的一方。
平均速率 v s t
瞬时速率
把飞行时间代入 x 得射程：
T 2v0 sin
g
H
ymax
v02
sin2
2g
s v02 sin 2
g
抛体运动的矢量描述
d v g dt
y v0 t
1 gt 2 2
v v0 g t
r
O
x
d r
vd t
(v0
gt)dt
r
v0t
1
gt
2
2
枪打落猴
v0t
r
1 gt 2 2
Monkey and Hunter
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
sin
sin
2 sin
2
c
os
2
c os
cos
2
c
os
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2
c
os
2
c os
cos
2 sin
2
sin
2
2 sin sin cos( ) cos( )
2 sin cos sin( ) sin( )
解：以地面为参照建立坐标系。地板与螺母的运动方程为：
y1
y0
v0t
1 2
at 2
y
y2
y0
h v0t
1 2
gt 2
y2
螺母落到地板时
y1 y2
t 2h ga
y1
h a
o
例:在重力场中将一物体以初速度 v0 抛出，抛射角为 .
求：物体在任意时刻的速度；运动方程；轨道方程.
解：
ax 0 ay g
v
v
v
v
运动是绝对的，但运动的描述具有相对性. 同一运动物 体，由于选择的参照物不同，产生的运动结论也不相同.那 些被选择用来作为参照的物体称为参照物.在参照物上配置 了坐标系和时钟就构成完整的参照系：参照物 +坐标系+时钟
为了对运动作定量描述,必须在参照系的基础上建立坐标系. 坐标系是用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统.
v
t
dv ad t
v0
0
v v0 at
v dx dt
x
t
t
dx x0
vdt
0
0 (v0 at)dt
x
x0
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2a(x x0 )
例： 升降机以加速度 a上升，有一螺母自升降机的天花板松 落，天花板与升降机的地板相距 h。求螺母自天花板落
到底板所需的时间.
v (t +Δt) r (t +Δt )
Δv
§3 在坐标系中描述运动
1.直角坐标系 (x, y) (i , j)
r
x(t)
i
y(t)
j
v
dx dt
i
dy dt
j
vxi vy
j
a
dvx dt
i
dvy
dt
j
axi ay j
y
P(x, y)
x
yj
β
r y
O
x
xi
t
x x0 vx (t)dt 0
Monkey and Hunter
例：如图所示，大炮向小山上的目标开火，此山的山坡与地平线
的夹角为，试求发射角β为多大时炮弹沿山坡射得最远？
解：建立坐标系如图所示. 炮弹的运动方程为
y v0
x (v0 cos )t
y
(v0
sin
β )t