对数概念及其运算

合集下载

高中数学对数的运算

对数函数专题对数及对数运算【要点梳理】要点一、对数概念 1．对数的概念如果()01b a N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b ．其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．要点诠释：对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R ． 2．对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即0N >；（2）1的对数为0，即log 10a =；（3）底的对数等于1，即log 1a a =．3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作．以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作． 4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．要点二、对数的运算法则已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； ()log log log a a a MN M N =+ 推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；log log log a a a M M N N=-（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； log log a a M M αα=要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log 2（-3）（-5）=log 2（-3）+log 2（-5）是不成立的，因为虽然log 2（-3）（-5）是存在的，但log 2（-3）与log 2（-5）是不存在的．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：log a （M ±N ）=log a M ±log a N ， log a （M ·N ）=log a M ·log a N ，log a N M N M a a log log =．要点三、对数公式 1．对数恒等式：log log a b Na a N a N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有:（1）)(log log R n M M n a a n ∈=令 log a M=b ，则有a b =M ，（a b ）n =M n ，即n b n M a =)(，即n a M b n log =，即:n a a M M n log log =．（2）)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a ，令log a M=b ，则有a b =M ，则有)1,0(log log ≠>=c c M a c b c即M a b c c log log =⋅，即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a ．【典型例题】类型一、对数的概念例1．求下列各式中x 的取值范围：（1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2(1)log (1)x x +-．【答案】（1）5x >；（2）1,2x x >≠且；（3）1x >-且0,1x x ≠≠ 【解析】（1）由题意50x ->，5x ∴>，即为所求．（2）由题意20,10,11,x x x +>⎧⎨->-≠⎩且即2,1,2,x x x >-⎧⎨>≠⎩且1,2x x ∴>≠且．（3）由题意2(1)0,10,11,x x x ⎧->⎨+>+≠⎩且解得1x >-且0,1x x ≠≠．【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．举一反三：【变式1】函数21log (2)x y x -=+的定义域为．【答案】1|12x x x ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且类型二、指数式与对数式互化及其应用例2．将下列指数式与对数式互化：（1）2log 164=；（2）13log 273=-；（3）3x =；（4）35125=；（5）1122-=；（6）2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭．【解析】运用对数的定义进行互化．（1）4216=；（2）31273-⎛⎫= ⎪⎝⎭；（33x =；（4）5log 1253=；（5）21log 12=-；（6）13log 92=-．【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段．举一反三：【变式1】求下列各式中x 的值：（1）161log 2x =- （2）log 86x = （3）lg1000=x （4）2-2ln e x =【答案】（1）14；（2；（3）3；（4）-4．【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x ．（1）1112()212221(16)(4)444x --⋅--=====；（2）111166366628()(8)(2)2x x x ======，所以（3）10x =1000=103，于是x=3；（4）由22222ln ln 42x x e x e e e x --=-===-，得，即所以．例3．（2014 广东湛江期中）不用计算器计算：7log 203log lg25lg47(9.8)+++- 【答案】132【解析】原式323log 3lg(254)21=+⨯++23lg1032=++3132322=++=【总结升华】对数恒等式log a N a N =中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数．举一反三：【变式1】求log log log a b c b c N a ⋅⋅的值（a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0）【答案】N【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算．log log log log log log log log log ()()c a b c a b b c c Nb c N b cc N N a a b c N ⋅⋅⎡⎤====⎣⎦类型四、积、商、幂的对数例4． z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式35(1)log ;(2)log ();(3)log a a a a xy x y z 【解析】（1）log log log log aa a a xyx y z z=+-；（2）3535log ()log log 3log 5log a a a a a x y x y x y =+=+；（3）1log log log ()log log log 2a a a a a a yz x y z yz ==--；（4）log a211log ()log 2log log log 23a a a a a x y x y z -=+-．(有错误）【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．举一反三：【变式1】求值（1）1log 864log 325log 21025-+ （2）lg2·lg50+（lg5）2 （3）lg25+lg2·lg50+（lg2）2【答案】（1）22；（2）1；（3）2．【解析】（1）1log 864log 325log 21025-+.220184082log 35log 26225=-+=⨯-+⋅=（2）原式=lg2（1+lg5）+（lg5）2=lg2+lg2lg5+（lg5）2=lg2+lg5（lg2+lg5）=lg2+lg5=1（3）原式=2lg5+lg2（1+lg5）+（lg2）2=2lg5+lg2+lg2lg5+（lg2）2=1+lg5+lg2（lg5+lg2）=1+lg5+lg2=2．类型五、换底公式的运用例5．已知18log 9,185b a ==，求36log 45．【答案】2a ba+- 【解析】解法一：18log 9,185b a ==，18log 5b ∴=，于是181818183618181818log 45log (95)log 9log 5log 4518log 36log (182)1log 221log 9a b a ba ⨯+++=====⨯+-+．【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．（3）解决这类问题要注意隐含条件“log 1a a =”的灵活运用．【变式1】求值：（1）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++；【解析】（1）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++452log 233log 65)22log 2)(log 33log 23log ()9log 2log 2)(log 8log 3log 4log 3log (3233223332222=⋅⋅=++=++=类型六、对数运算法则的应用例6．求值（1）91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅（2）7lg142lg lg 7lg183-+-【解析】（1）原式=103log 2log 5log 2log 253322526-=---（2）原式=2lg(27)2(lg 7lg 3)lg 7lg(32)⨯--+-⨯ =lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20+-++--=举一反三：【变式1】计算下列各式的值（1）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++【解析】（1）原式=()22lg52lg 2lg5(2lg 2lg5)lg 2++++=22lg10(lg 5lg 2)++=2+1=3；【巩固练习】一、选择题1. 有以下四个结论：①lg （lg10）=0；②ln （lne ）=0；③若10=lg x ，则x =10；④若e =ln x ，则x =e 2，其中正确的是（）A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④ 【答案】C【解析】由log 1,log 10a a a ==知①②正确．2. 下列等式成立的有（）①1lg 2100=-；②33log 2=；③2log 525=；④ln 1e e =；⑤lg 333=；A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②③④⑤ 【答案】B【解析】21lg lg102100-==-；3. 对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（）A ．(),5-∞B ． ()2,5C ．()()2,33,5D ．()2,+∞【答案】C【解析】由对数的定义可知50,20,21,a a a ->⎧⎪->⎨⎪-≠⎩所以25a <<且3a ≠，故选C ．4. 若0,1a a >≠，则下列说法正确的是（）①若M N =，则log log a a M N =；②log log a a M N =，则M N =； ③22log log a a M N =，则M N =；④若M N =，则22log log a a M N =． A ．①③ B ．②④ C ．② D ．①②③④ 【答案】C【解析】注意使log log a a M N =成立的条件是M 、N 必须为正数，所以①③④不正确，而②是正确的，故选C ．5. 若56789log 6log 7log 8log 9log 10y =⋅⋅⋅⋅，则（）A ．(0,1)y ∈B ．(1,2)y ∈C ．(2,3)y ∈D ．(3,4)y ∈ 【答案】B 【解析】55lg 6lg 7lg8lg9lg10log 101log 2lg5lg 6lg 7lg8lg9y =⨯⨯⨯⨯==+，因为50log 21<<，所以12y <<，故选B ．6. （2014江西三县月考）计算662log 3log 4+的结果是（）A ．6log 2B ． 2C ． 6log 3D ． 3【答案】B【解析】666662log 3log 4log 9log 4log 362+=+==．故选：B ．二、填空题1. 若312log 19x-=，则x = ．【答案】-13【解析】由指数式与对数式互化，可得1239x-=，解得13x =-． 2. 若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== ；【答案】12【解析】 2log 2log 3log 4log 34312a a a a a a a +=⋅=⨯=．3. 若2510a b ==，则11a b+= ．【答案】1【解析】因为210,a =所以21log 10lg 2a ==，又因为510,b =所以51log 10lg 5b ==，所以原式=lg 2lg51+=．。

4.4对数概念及其运算

练习：书本练习：书本P10
小结
a>0,a≠1,M,N>0 (1)logaM+logaN=loga(M×N) × (2)loga(M÷N)=logaM-logaN ÷ (3)logaMn=nlogaM
解1.08x=2
思考题
21000是几位数
log 2 x = p; log a y = q; log a z = r , 把a 2 p + q −3r 用x, y , z表示
log 7 2 = k
试用k表示
log8 14
小结
介绍什么是换底公式? 利用换底公式将不同底的对数处理成同底的形式
回家作业
Page 2练习部分习题4.4A组7,8,9 B组5,6
(lg 2) 2 ⋅ lg 250 + (lg 5) 2 ⋅ lg 40
log18 9 = a,18 = 5, 用a, b表示 log 36 45
4.4 对数的概念及其运算
2 对数运算法则
任取两组M、N完成下表
从中请找出同底的对数有哪些运算性质？并证明其中其中一个性质。从中请找出同底的对数有哪些运算性质？并证明其中其中一个性质。同底的对数有哪些运算性质并注意每个性质要满足什么条件才能成立
M
N
M+N
M-N
M×N ×
M÷N ÷
lgM
lgN
= log b a
例题2：求值例题： lg 2 lg 5 （1） log 4 3 ⋅ log 9 32 （2） log 10 + log 10 ）） 50 5
3x = 4 y = 6 z 例3：设x,y,z都是正数，且：都是正数，都是正数
，

对数函数的概念与计算

对数函数的概念与计算数学中，对数函数是一种非常重要的函数，它与指数函数密切相关。

本文将介绍对数函数的概念及其计算方法。

一、对数函数的概念对数函数是数学中一种常用的函数，它是指数函数的逆运算。

数学中常用的对数函数有自然对数函数 ln(x) 和常用对数函数 log(x)。

1. 自然对数函数 ln(x)自然对数函数 ln(x) 是以常数 e 为底的对数函数。

其中，常数 e 是一个重要的数学常数，它的近似值约为2.71828。

自然对数函数的定义域为正实数集合(0, +∞)，值域为实数集合。

2. 常用对数函数 log(x)常用对数函数 log(x) 是以常数 10 为底的对数函数。

常用对数函数的定义域为正实数集合(0, +∞)，值域为实数集合。

二、对数函数的计算对数函数的计算方法主要涉及对数的性质和运算规则。

1. 对数的性质（1） ln(1) = 0，即以 e 为底的对数函数 ln(x) 在 x = 1 时取值为 0。

（2） ln(e) = 1，即以 e 为底的对数函数 ln(x) 在 x = e 时取值为 1。

（3） log(1) = 0，即以 10 为底的对数函数 log(x) 在 x = 1 时取值为0。

（4） log(10) = 1，即以 10 为底的对数函数 log(x) 在 x = 10 时取值为 1。

2. 对数的运算规则（1） ln(a * b) = ln(a) + ln(b)，即以 e 为底的对数函数 ln(x) 的乘法运算可以转化为两个对数的加法运算。

（2） ln(a / b) = ln(a) - ln(b)，即以 e 为底的对数函数 ln(x) 的除法运算可以转化为两个对数的减法运算。

（3） log(a * b) = log(a) + log(b)，即以 10 为底的对数函数 log(x) 的乘法运算可以转化为两个对数的加法运算。

（4） log(a / b) = log(a) - log(b)，即以 10 为底的对数函数 log(x) 的除法运算可以转化为两个对数的减法运算。

对数与对数运算法则

对数与对数运算法则对数是数学中一个重要的概念，在很多领域中都有广泛的应用，比如数学、物理、工程等。

它能够简化大数值的运算和计算复杂问题，也有助于解决各种类型的方程和不等式。

本文将探讨对数的含义，以及对数运算的法则。

1.对数的含义：对数最基本的定义是，对于一个正数a，如果b是一个正数且满足a 的b次方等于另一个正数x，那么b就是以a为底x的对数，记为log_a(x)。

其中a被称为对数的底数，x被称为真数，b被称为对数。

用数学语言描述对数，可以写作a^b=x，等价于log_a(x)=b。

2.对数运算的法则：对数运算有一系列的基本法则，可以简化对数的运算和推导。

2.1对数的互换性：如果a>0且a≠1，且m、n是正数，那么log_a(m×n)=log_a(m)+log_a(n)。

这条法则允许我们将乘法变成加法。

2.2对数的逆运算性：如果a>0且a≠1，那么对于正数m和任意正数b，有：a^(log_a(m))=m。

换句话说，当对数与指数运算发生时，可以互相抵消。

2.3对数的对换性：如果a>0且a≠1，且m、n是正数，那么log_a(m/n)=log_a(m)-log_a(n)。

这条法则允许我们将除法变成减法。

2.4对数的幂次性：如果a>0且a≠1，那么对任意正数m和正数b，有：log_a(m^b)=b×log_a(m)。

换句话说，可以通过幂次运算将对数与指数运算进行交换。

2.5对数的换底公式：对于任意正数a、b和c，有：log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)。

这条法则允许我们将对数底数的换成任意值，并以其他常见的底数来计算。

3.对数运算的应用：3.1科学计数法：对数可以简化大数值的表示。

通过对数运算，我们可以将一个很大或很小的数字表示为以10为底的对数形式。

例如，1,000,000可以写成log_10(1,000,000)=63.2方程的求解：对数可以帮助解决一些涉及指数和幂函数的方程。

对数运算的十个公式

对数运算的十个公式对数运算是数学中的重要概念，通过将复杂的乘法、除法运算转化为简单的加法、减法运算，极大地方便了计算。

下面将介绍十个常用的对数运算公式。

1.基本定义：2.对数的基本性质：loga(1) = 0，即任何数以其本身为底的对数等于0。

loga(a) = 1，即任何数以其本身为底的对数等于1loga(b) = loga(c) 表示以a为底的b与c相等。

3.对数的运算性质：loga(b * c) = loga(b) + loga(c) ，即对数的乘法法则。

loga(b / c) = loga(b) - loga(c) ，即对数的除法法则。

loga(b ^ n) = n * loga(b) ，即对数的指数法则。

4.对数的换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a) ，其中c为任意正数。

5.对数的积和商：loga(b * c) = loga(b) + loga(c) ，即对数的乘法属性。

loga(b / c) = loga(b) - loga(c) ，即对数的除法属性。

6.对数的幂和根：loga(b ^ n) = n * loga(b) ，即对数的指数属性。

loga√b = 1/2 * loga(b) ，即对数的根属性。

7.对数的阶：loga(b) = 1 / logb(a)，即一个数以其本身为底的对数，等于以该数为底的对数的倒数。

8.对数的换元公式：logab = 1 / logba，即两个不同底数的对数可以相互转换。

9.对数的对数：loga(loga(b)) = logb(b) = 1，即一个数以以其本身为底的对数的对数等于110.对数的特殊值：log10(10) = 1，常用于计算数的数量级。

ln(e) = 1，其中ln为以自然常数e为底的对数。

通过掌握这些对数运算的公式，我们可以在计算中更加便捷地进行复杂的乘除运算，为数学问题的解决提供了有效的工具。

对数的概念和运算性质课件

常见的对数方程解法
方法包括转换法、换底法、指数幂等式法、配方法及直接化幂为幂、幂等式、差倍角公式。
真实场景中的对数方程应用
生物学、化学、物理学和金融学等领域中使用对数方程来解决实际问题。
对数在实际问题中的应用
对数在生物学中的应用
对数函数可以用于描述生物学中导数增长，基因表达和代谢过程等。
• 《高中数学教师操作指南第8册》
• 《高中数学课件：对数公式集锦》
网络资源推荐
学术期刊推荐
• Khan Academy 对数公式视频
• Wolfram Alpha 对数计算器
• Nature 数学部分论文
• Journal of Mathematical Analysis and Applicationgab 表示以 a 为底，b 的对数。
特殊情况：自然对数和常用对数
自然对数以 e（欧拉数）为底，常用对数以 10 为底。
对数的运算性质
1
对数的除法法则
2
loga(b/c) = logab - logac
3
对数的乘法法则
loga(bc) = logab + logac
对数的幂运算法则
logabc = c logab
对数的换底公式
定义
换底公式将一个对数重新表示为以不同底数的对数。
推导过程
我们可以使用对数乘法法则和对数的无穷级数来推导换底公式。
举例说明
应用换底公式简化对数运算可以减少常见错误。
对数方程的解法
对数方程的基本概念
解对数方程涉及用对数函数来消去指数，得到一个关于变量的代数方程。
对数在物理学中的应用
对数可以用于描述物理刺激强度和感官响应之间的关系，以及放射性退化中元素浓度的变化。

对数的概念及运算法则-PPT

你发现了什么?
对数恒等式： loga an n 作为公式用
18
探求下列各式的值：
究
活
动 (1) 2log2 3 3
感悟
(2) 7log7 0.6 0.6
数
学 (3) 0.4log0.4 89 89
你发现了什么?
对数恒等式： aloga N N
19
练习 3.求下列各式的值
（1） log5 25 2 （2） log25 25 1 （3） lg10 1 （4） lg 0.01 2 （5） lg1000 3 （6） lg 0.001 3
log a
M N
log a M
log a N
(2)
logaMn nlogaM(n R) (3)
例题讲解例1 求下列各式的值：
（1） log2 6 1
（2） lg 5 lg 2 lg(5 2) lg10 1
（3）
log5
3
log5
1 3
（4） log3 5 log3 15
26
102 100
log10 100 2
1
42 2
log 4
2
1 2
102 0.01
log10 0.01 2
练习： a x N loga N x
把下列指数式改写成对数式
（1）54 625 log5 625 4
（2） 26 1 64
（3） 3a 27
log2
1 64
6
log3 27 a
对数的概念及运算法则
知识探究（一）：对数的概念
思考1:若24＝M，则M＝？16 思考2:若若22x－＝2＝16N，，则则xN＝＝？？414
若2x＝ 1 4

对数的概念及运算法则

对数的概念及运算法则对数是数学中的一个概念，它表示一个数相对于一些给定的底数的幂。

在日常生活中，对数经常被用来解释指数增长或减少的情况。

首先，对数的定义是：对于给定的正数a（a ≠ 1），将正数x表达为底数a的幂的等式，即x = a^m (m为任意实数)，称m为x的以a为底的对数，记作m =log[底数a](x)，即m = loga(x)。

对数有以下几个重要特点：1.底数必须是一个正数，并且不能等于12.对数函数中x的取值范围为正实数，因为负数和0的对数不存在。

3.对数的结果m可以是任意实数，包括正数、负数和零。

对数具有一些重要的性质和运算法则，下面介绍其中的一些：1.换底公式：对于任意给定的x和任意的正数a、b（a、b≠1），有以下等式成立：loga(x) = logb(x) / logb(a)换底公式可以将一个对数用另一个底数的对数表示，这样在计算和比较对数时更加方便。

2.加减法法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x、y，有以下等式成立：loga(x * y) = loga(x) + loga(y)loga(x / y) = loga(x) - loga(y)加减法法则可以将对数的乘法和除法分解为对数的加法和减法，简化对数运算。

3.乘方法则：对于任意给定的正数a和任意的正数x和正整数n，有以下等式成立：loga(x^n) = n * loga(x)乘方法则可以将对数中的指数化简为对数本身的乘法。

4.对数的乘法和除法法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x，有以下等式成立：loga(x^b) = b * loga(x)loga(b^x) = x * loga(b)乘法和除法法则可以将指数中的对数化简为对数本身的乘法或除法。

5.对数的幂次法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x，有以下等式成立：a^(loga(x)) = x如果a ≠ 1，则loga(a^x) = x幂次法则可以将对数中的幂次化简为原指数。

4.3 对数的概念及其运算课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第四章指数函数与对数函数

例1 将下列指数式、对数式互化．
(1)2－2＝14；
(2)log3 81＝4.
【分析】本题考查指数式与对数式互化：ab＝N⇔loga N＝b(a＞0 且
a≠1)，其中底数不变．【解】 (1)将指数式 2－2＝14化为对数式 log2 14＝－2；
(2)将对数式 log3 81＝4 化为指数式 34＝81.
＋∞)，故选C.
2．下列计算正确的是( C )
A．(－1)－1＝1
B．lg a＋lg b＝lg(a＋b)
C．(－x7)÷(－x3)＝x4 D. a2＋1＝a＋1
【解析】显然 D 选项错误；∵(－1)－1＝－1，∴A 错误；∵lg a＋lg b
＝lg(a·b)，∴B 错误；
(－x7)÷(－x3)＝x7－3＝x4，∴C 正确，故选 C.
4.3 对数的概念及其运算
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
1．对数的定义若ab＝N(a＞0且a≠1)，则b叫做以a为底N的对数，即loga N＝b.其中a 叫做底数，N叫做真数． (1)底数a的取值范围是a＞0且a≠1；真数的取值范围是N＞0； (2)常用对数：以10为底的对数叫常用对数，log10 N简记为lgN； (3)自然对数：以无理数e＝2.71828……为底的对数叫做自然对数， loge N简记为ln N.
5．换底公式 loga b＝llooggcc ba(a＞0，b＞0，c＞0 且 a≠1，c≠1)；特别地 c＝10，loga b ＝llgg ab. 结论：(1)loga b·logb a＝1；loga b＝log1b a； (2)logambn＝mn loga b；loganbn＝loga b.
学一学
2（1－m） C. m

对数函数的概念和运算

对数函数的概念和运算对数函数是数学中常用的一种函数，它广泛应用于各个领域，包括物理、工程、经济学等。

对数函数的概念和运算是数学学习的重要内容，下面将详细介绍对数函数的定义、性质以及常见的运算规则。

一、对数函数的概念对数函数是指以一个正数为底的指数函数。

通常用log表示，底数和真数之间用逗号隔开。

例如，以底数为a的对数函数可以表示为logₐx。

其含义是a的几次幂等于x。

对数函数的底数必须是正数且不等于1。

对数函数的定义可以用等式来表示：logₐx = y, 其中a>0，a≠1，x>0，y为任意实数。

对数函数的特点是能够将指数运算转化为对数运算，从而简化问题的求解过程。

它与指数函数是互为反函数的关系。

二、对数函数的性质1. 对数函数的定义域和值域：对数函数的定义域是正实数集(0, +∞)，值域是实数集(-∞, +∞)。

2. 对数函数的图像特点：当底数a>1时，对数函数为递增函数；当0<a<1时，对数函数为递减函数。

它的图像一般表现为在x轴右侧逐渐上升，而在y轴右侧逐渐下降。

3. 对数函数的性质：(1) logₐ1 = 0 (任何数的以自身为底的对数都等于1)(2) logₐa = 1 (a的对数底为自身的情况下，结果等于1)(3) logₐ(x·y) = logₐx + logₐy (对数函数的乘法规则)(4) logₐ(x/y) = logₐx - logₐy (对数函数的除法规则)(5) logₐ(x^k) = k·logₐx (对数函数的指数规则)三、对数运算的具体应用对数函数的运算在实际中有着广泛的应用。

以下是对数运算在几个常见领域的应用举例：1. 生物学领域中的pH计算：pH = -log[H⁺]，其中[H⁺]表示溶液中的氢离子浓度。

通过对数运算，可以将氢离子浓度的数量级转化为易于理解的pH值。

2. 经济学领域中的指数计算：经济增长率的计算通常采用对数运算。

对数的运算法则及公式

对数的运算法则及公式对数是数学中的一个重要概念，它在科学计算、工程技术、经济金融等领域中都有广泛的应用。

对数的运算法则能够帮助我们简化计算并解决一些复杂的问题。

在本文中，我们将讨论对数的运算法则及公式，包括基本法则和常用公式。

一、对数的基本法则1.对数的定义对任意正数a和正数b，以a为底，b为真数的对数记作loga b，其中a被称为底数，b被称为真数。

公式的意义是以a为底，对数值得到b。

例如，如果2^3 = 8，那么log2 8 = 32.对数的换底公式对数的换底公式是loga b = logc b / logc a，其中a、b、c为正数，且a、b不等于1、这个公式可以用来将对数的底数从一个常用的底数转换为另一个常用的底数。

例如，要计算log2 16，可以使用换底公式将其转换为log10 16 / log10 23.对数的乘法法则对数的乘法法则是loga (b * c) = loga b + loga c，其中a、b、c为正数，且a、b不等于1、这个法则说明，对数中的乘法可以转换为对数的加法。

4.对数的除法法则对数的除法法则是loga (b / c) = loga b - loga c，其中a、b、c为正数，且a、b不等于1、这个法则说明，对数中的除法可以转换为对数的减法。

5.对数的幂法法则对数的幂法法则是loga (bn) = n * loga b，其中a、b为正数，且a、b不等于1，n为任意实数。

这个法则说明，对数中的幂运算可以转换为对数的乘法。

6.对数的倒数法则对数的倒数法则是loga (1/b) = -loga b，其中a、b为正数，且a、b不等于1、这个法则说明，对数中的倒数可以转换为对数的相反数。

7.对数的幂运算法则对数的幂运算法则是a^loga x = x，其中a、x为正数，且a不等于1、这个法则说明，一个数的对数值乘以底数的指数幂等于这个数本身。

二、常用的对数公式1.常用对数公式常用对数公式是以10为底的对数函数，记作lg x。

对数的基本性质和运算公式

对数的基本性质和运算公式对数是数学中非常重要和常用的概念，它在许多领域都有广泛的应用。

对数的基本性质和运算公式包括对数的定义、对数的性质、对数的运算规则以及一些常用的对数公式等。

本文将详细介绍这些基本性质和运算公式。

一、对数的定义：对数是指数运算的逆运算。

设a为一个正实数，b为一个正实数且不等于1，若满足b^x = a，其中x为实数，则称x为以b为底a的对数，记作x = log_b a。

其中，a称为真数，b称为底数，x称为对数。

在对数的定义中，底数和真数的位置可以互换，即x = log_b a等价于 a = b^x。

二、对数的性质：1.对数的定义保证了对数的唯一性，即对于给定的底数和真数，对数是唯一的。

2.对于不同的底数，同一个真数的对数是不同的。

3.当底数为1时，对数不存在，因为1的任何次幂都等于14. 当真数为1时，对数等于0，即log_b 1 = 0。

5.当底数为0时，对数不存在，因为0无法作为一个数的底数。

6.当0<b<1时，对数是负数；当b>1时，对数是正数；当b=1时，对数等于0。

三、对数的运算规则：1.对数的乘法法则：log_b (a * c) = log_b a + log_b c2.对数的除法法则：log_b (a / c) = log_b a - log_b c3.对数的幂法法则：log_b (a^p) = p * log_b a，其中p是任意实数。

这些运算规则可以用来简化对数运算或者将对数转化成乘法和除法的形式。

四、常用的对数公式：1.自然对数和常用对数之间的换底公式：log_b a = log_c a / log_c b，其中b和c是底数。

2.e为底的自然对数：自然对数是以e (自然常数)为底的对数，记作ln(x)。

3.常用对数：常用对数是以10为底的对数，记作log(x)。

4.对数性质的推广：log_b a^n = n * log_b alog_b √(a) = 1/2 * log_b a这些对数公式在计算和解决问题时都有常用的作用。

对数的概念及运算讲课文档

2.利用积、商、幂的对数运算公式和换底公式;3.逆用积、商、幂的对数运
算公式.

-5
【解】 (1)log2=log22 =-5
6
3

-1

(2)log28-lo 3-lo 8=log22 -lo () -lo ( ) =3+1-6=-2
(3)lg25+lg4=lg(25×4)=lg100=2
第二页，共17页。
【例题精解】
【例 1】把下列等式改写成对数等式的形式:

=
-3
(1)2
0
(2)5 =1

【解】 (1)log2=-3
(2)log51=0
第三页，共17页。
【例 2】把下列等式改写成指数等式的形式:

(1)log464=3
(2)log3 =-2
3

=
-2
【解】 (1)4 =64 (2)3

(2)103-2lg2
【例 5】求值:(1)
【分析】请同学们根据对数恒等式: =N(a>0 且 a≠1,
N>0)求本例题答案.
=8
【解】 (1)
第七页，共17页。
3-2lg2
(2)10
3
=10 ·

=1000×=250
【同步训练】
一、选择题

(2)loga( )=logaM-logaN(a>0 且 a≠1,M>0,N>0)
(3)logaM α=αlogaM (a>0 且 a≠1,M>0)

4.换底公式:logbN= (a>0,b>0 且

知识讲解_对数及对数运算_基础

对数及对数运算要点一、对数概念 1.对数的概念如果()01ba N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R.2.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即0N >； (2)1的对数为0，即log 10a =； (3)底的对数等于1，即log 1a a =.3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作.以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作.4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 要点二、对数的运算法则已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 (1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；()log log log a a a MN M N =+推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++> 、、、 (2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；log log log aa a MM N N=- (3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；log log a a M M αα=要点三、对数公式 1．对数恒等式：log log a b Na a Na N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有: (1) )(log log R n MM na a n ∈=令 log a M=b ，则有a b=M ， (a b )n=M n，即nb n M a =)(，即n a M b n log =，即:na a M M n log log =.(2) )1,0(log log log ≠>=c c aM M c c a ，令log a M=b ，则有a b =M ，则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c bc即M a b c c log log =⋅，即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a 结论:)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a .【典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中x 的取值范围：（1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2(1)log (1)x x +-．举一反三：【变式1】函数21log (2)x y x -=+的定义域为．类型二、指数式与对数式互化及其应用例2.将下列指数式与对数式互化： (1)2log 164=；(2)13log 273=-；(3)3x =；(4)35125=；(5)1122-=；(6)2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭.举一反三：【变式1】求下列各式中x 的值： (1)161log 2x =- (2)log 86x = (3)lg1000=x (4)2-2ln e x =【变式2】计算：222log 4;log 8;log 32并比较．类型三、利用对数恒等式化简求值例3．求值： 71log 57+举一反三：【变式1】求log log log a b c b c Na ⋅⋅的值(a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0)类型四、积、商、幂的对数例4. z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式35(1)log ;(2)log ();(3)log a a a a xy x y z举一反三：【变式1】求值(1)1log 864log 325log 21025-+ (2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2类型五、换底公式的运用例5.已知18log 9,185ba ==，求36log 45．举一反三：【变式1】求值：(1))2log 2)(log 3log 3(log 9384++；(2)32log 9log 278⋅；(3)31log 529-.类型六、对数运算法则的应用例6.求值 (1) 91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅(2) 7lg142lg lg 7lg183-+-(3))36log 43log 32(log log 42122++(4)()248125255log 125log 25log 5(log 8log 4log 2)++++举一反三：【变式1】计算下列各式的值（1）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++ ；（2）33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)++．【变式2】求值：107lg 2lg )21(7⋅。

对数函数及其运算

对数函数及其运算2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算1) 对数的定义如果 $a=N(a>0$ 且 $a\neq 1)$，则 $x$ 叫做以 $a$ 为底$N$ 的对数，记作 $x=log_aN$，其中 $a$ 叫做底数，$N$ 叫做真数。

负数和零没有对数。

对数式与指数式的互化：$x=log_aN \Leftrightarrowa=N(a>0,a\neq 1,N>0)$。

2) 几个重要的对数恒等式log_a1=0$，$log_aa=1$，$log_ab=b$。

3) 常用对数与自然对数常用对数：$lgN$，即 $log_{10}N$；自然对数：$lnN$，即 $log_eN$（其中$e=2.…$）。

4) 对数的运算性质如果 $a>0,a\neq 1,M>0,N>0$，那么：加法：$log_aM+log_aN=log_a(MN)$。

减法：$log_aM-log_aN=log_a(\frac{M}{N})$。

数乘：$nlog_aM=log_a(M^n)$，其中 $n\in R$。

log_aN=N^a$。

log_{ab}M=\frac{log_aM}{log_ab}$，其中 $b\neq 0,n\in R$。

5) 换底公式：$log_aN=\frac{log_bN}{log_ba}$。

2.2.2 对数函数及其性质1) 对数函数函数名称：对数函数。

定义：函数 $y=log_ax(a>1,a\neq 1)$ 叫做对数函数。

图象：图象过定点 $(1,0)$，即当 $x=1$ 时，$y=0$。

定义域：$(0,+\infty)$。

值域：$(-\infty,+\infty)$。

过定点：图象过定点 $(1,0)$。

奇偶性：非奇非偶。

单调性：在 $(0,+\infty)$ 上是增函数，在 $(0,1)$ 上是减函数。

函数值的变化情况：当 $x>1$ 时，$y=log_ax>0$，$y$ 随 $x$ 增大而增大。

对数的运算法则及公式

对数的运算法则及公式一、对数的基本概念在数学中，对数是数学运算中的一个重要概念。

对数是指一个数在某个给定的底数下的指数。

换句话说，对数是指数运算的逆运算。

对数通常表示为log，其中log表示对数，底数表示为a，指数表示为x，因此，用数学符号表示为loga x。

对数的底数必须大于0且不等于1，而对数的结果是指数的值。

对数的运算法则和公式是在数学中使用对数进行计算时的基本规则。

二、对数的运算法则1.对数的乘法法则在对数的乘法法则中，当两个对数具有相同的底数时，它们的乘积等于它们的指数之和。

具体地说，如果loga x和loga y是以相同底数a为对数的两个数，那么它们的乘积可以表示为loga (xy)，即loga x + loga y。

例如，如果log₂4和log₂8是以底数2为对数的两个数，那么它们的乘积可以表示为log₂ (4 × 8)，即log₂ 32。

根据对数的乘法法则，log₂ 32可以被写为log₂ 4 + log₂ 8，即2 + 3，结果为5。

2.对数的除法法则在对数的除法法则中，当两个对数具有相同的底数时，它们的商等于它们的指数之差。

具体地说，如果loga x和loga y是以相同底数a为对数的两个数，那么它们的商可以表示为loga (x/y)，即loga x - loga y。

例如，如果log₅25和log₅5是以底数5为对数的两个数，那么它们的商可以表示为log₅ (25/5)，即log₅ 5。

根据对数的除法法则，log₅ 5可以被写为log₅ 25 - log₅ 5，即2 - 1，结果为1。

3.对数的幂法则在对数的幂法则中，一个对数的幂等于它的指数乘以另一个数的对数。

具体地说，如果loga x是以底数a为对数的数，并且b是任意正数，则它们的幂可以表示为loga x^b，即bloga x。

例如，如果log₃2是以底数3为对数的数，并且4是任意正数，那么它们的幂可以表示为log₃2^4，即4log₃2。

3.2.1对数及其运算

2.不查表,求值. 不查表,求值不查表
(1).(log 4 3 + log8 3)(log 3 2 + log 9 2) log 1 2
2 5 4
5 — 2
(2). lg 5. log
10
20 + lg 2
4 — 3
(
2
) 3
2
log 3 2 1
能力拓展
(1)已知 log16 3 = m,试用m表示 log 9 16.
2
( 2 ) log 2 128 = 7
1 = 16 2 2 7 = 128
1 2 = 4 1 4 3 = 81
2
4
1 (3) log 2 = 2 4 1 ( 4 ) log 3 = 4 81
求下列各式的值: 例3 求下列各式的值
(1) log264; (2) log3 9 .
1 ___
=4/3 =3
(3)(log 2 125 + log 4 25 + log8 5) (log125 8 + log 25 4 + log 5 2)
=13
例10
已知 log18 2 = a,试用a表示 log 3 2
log 3 2 log 3 2 = 解: 由 log18 2 = log 3 (2 × 9) log 3 18
a (1 + 8%) x = 2a a1.08 x = 2a 即:. 08 x = 2 x = ?? 1
?
1.对数的概念 1.对数的概念
对于实数集R 在指数函数y=a 中,对于实数集R内的每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y x,在正实数集内都有唯一确定的值每一个值x,在正实数集内都有唯一确定的值y 和它对应; 和它对应;

对数的概念及运算法则

对数的概念及运算法则一、对数的概念对数是数学中的一个重要概念，用于描述幂运算的逆运算。

我们知道，幂运算指的是将一个数称为底数，对这个数进行n次连乘，所得的结果称为指数，用表示为a^n。

那么对数就是为了解决这样一个问题：已知指数n和指数运算的结果a^n，如何求得底数a呢？以10为底的对数叫做常用对数，常用对数的符号一般表示为log。

以e（欧拉常数）为底的对数叫做自然对数，自然对数的符号一般表示为ln。

数学定理：当且仅当a＞0且a≠1时，a^x=b就是严格单调函数。

二、对数的含义对数的定义表明，对数是乘法运算的逆运算。

例如，3^2=9可以表示为log_3(9)=2，意味着以3为底，9的对数是2、这个式子表示的意思是：指数2是将3乘以自身后得到9的结果。

因此，通过对数，我们可以将指数问题转化为乘法问题，更容易解决。

三、对数的运算法则对数有一些运算法则，这些法则可用于简化对数的计算。

1. 乘法法则：log_a(m*n) = log_a(m) + log_a(n)这个法则表示，当求两个数的乘积的对数时，可以将这两个数的对数相加。

例如，log_2(8*4) = log_2(8) + log_2(4) = 3 + 2 = 52. 除法法则：log_a(m/n) = log_a(m) - log_a(n)这个法则表示，当求两个数的商的对数时，可以将这两个数的对数相减。

例如，log_10(100/10) = log_10(100) - log_10(10) = 2 - 1 = 13. 幂法则：log_a(m^p) = p * log_a(m)这个法则表示，当求一个数的指数的对数时，可以将指数与对数相乘。

例如，log_3(9^2) = 2 * log_3(9) = 2 * 2 = 44. 换底公式：log_a(n) = log_b(n) / log_b(a)这个法则表示，当求一个数的底为a的对数时，可以将其换算为以任意底b为底的对数。