高中数学竞赛的辅导材料
高中数学竞赛书籍
高中数学竞赛书籍
高中数学竞赛是一项需要大量练习和理解的活动，为此需要一些优质的竞赛书籍作为辅助资料。
以下是一些推荐的高中数学竞赛书籍： 1. 《高中数学竞赛全书》
这本书是一本全面介绍高中数学竞赛知识的工具书，内容涵盖了数学竞赛的各个领域，包括代数、几何、概率与统计等。
书中配有大量的例题和试题，非常适合准备参加竞赛的学生使用。
2. 《高中数学竞赛辅导书》
这本书是一本全面介绍高中数学竞赛知识的辅导资料，内容涵盖了数学竞赛的各个领域，包括代数、几何、概率与统计等。
书中配有大量的例题和试题，并配有详细的讲解与解答，非常适合准备参加竞赛的学生使用。
3. 《高中数学竞赛题解汇编》
这本书是一本收集了大量高中数学竞赛试题的题解汇编，内容非常全面，包括代数、几何、概率与统计等多个领域。
书中题目难度各异，适合不同水平的竞赛学生学习。
4. 《高中数学竞赛例题精选》
这本书是一本精选了大量高中数学竞赛例题的参考书，内容涵盖了代数、几何、概率与统计等多个领域。
书中的例题难度适中，既有挑战性，又不失可操作性，提供了很好的练习机会。
总之，以上这些书籍都是非常优质的高中数学竞赛资料，可以帮助学生更好地理解和掌握数学竞赛知识，提高竞赛水平。
高中数学竞赛培优教程pdf
高中数学竞赛培优教程pdf摘要：I.高中数学竞赛培优教程概述A.教程目标B.教程适用人群C.教程内容简介II.高中数学竞赛培优教程的特点A.针对性的题目设计B.深入浅出的讲解C.培养学生的独立思考能力III.高中数学竞赛培优教程的使用方法A.配合课堂教学B.课外自主学习C.参加数学竞赛前的强化训练IV.高中数学竞赛培优教程对学生的帮助A.提高数学成绩B.培养数学竞赛能力C.为高考数学做准备V.高中数学竞赛培优教程的优缺点分析A.优点1.系统性强2.内容丰富3.教师推荐B.缺点1.难度较高2.需要较高自觉性正文：高中数学竞赛培优教程是一本针对高中学生的数学竞赛辅导教材，旨在帮助学生提高数学竞赛能力，同时对高考数学也有很大帮助。
本教程采用pdf 格式，学生可以随时随地下载学习。
教程分为若干章节，每个章节都涵盖了高中数学竞赛的重要知识点。
教程从基础题型入手，逐步过渡到竞赛题型，难度逐渐提升。
通过不断练习，学生可以熟练掌握各类题型的解题方法，从而在数学竞赛中取得好成绩。
本教程适用于有一定数学基础，希望提高数学竞赛能力的高中生。
学生可以结合课堂教学，自主学习教程中的内容，也可以在参加数学竞赛前进行强化训练。
高中数学竞赛培优教程的特点在于针对性的题目设计、深入浅出的讲解以及培养学生的独立思考能力。
教程中的题目设计与高考数学、数学竞赛紧密相连，帮助学生在学习过程中更好地掌握知识点，提高解题能力。
在实际使用过程中，学生可以根据自己的需求，合理安排学习时间，配合课堂教学，进行课外自主学习。
这样，不仅可以提高学生的数学成绩，还能培养学生的数学竞赛能力，为高考数学做好充分准备。
总的来说，高中数学竞赛培优教程是一本很有价值的辅导教材。
高中数学竞赛辅导教案：指导学生备战数学竞赛的刷题和解题方法
高中数学竞赛辅导教案：指导学生备战数学竞赛的刷题和解题方法1. 引言数学竞赛对于高中学生来说是一个重要的挑战和机会，通过参加数学竞赛，学生能够提高自己的数学思维能力和解决问题的能力。
本教案旨在指导学生在备战数学竞赛时使用刷题和解题方法。
2. 刷题方法为了在数学竞赛中取得好成绩，刷题是必不可少的。
以下是一些刷题方法：2.1 设置目标在开始刷题之前，确定你的目标，并制定合理的计划。
例如，你可以每天完成一定数量的习题或者按照不同难度级别进行分类刷题。
2.2 多角度思考尝试从不同角度思考问题，并采用多种解法。
这有助于拓宽你的思维方式，并帮助你更好地理解和掌握各种解决方法。
2.3 记录错误在做错题时要及时记录下来并进行分析。
找出错误的原因并寻找改进策略，这样可以避免重复犯相同类型的错误。
3. 解题方法在数学竞赛中，不仅需要刷题，还需要掌握一些解题技巧。
以下是一些常用的解题方法：3.1 分析和理解题目在开始解题之前，仔细阅读并理解整个问题。
分析给定的条件和要求，并明确问题的关键点，这样可以帮助你找出正确的解决方案。
3.2 尝试不同的方法尝试使用不同的方法解决问题。
有时候，一个问题可以有多种角度和方法去解答。
通过尝试不同的方法，你会发现其中某一种方法更适合该问题。
3.3 刻意练习针对数学竞赛中常见的类型和难点，进行刻意练习。
在实践中不断地强化这些类型和难点，并注重细节。
4. 总结与展望通过刷题和掌握解题技巧，学生可以提高自己在数学竞赛中的表现。
同时，在备战过程中加强自己对数学概念和原则的理解，并培养独立思考和分析问题能力。
以上所述仅是部分方法和建议，希望能够对学生们备战数学竞赛有所帮助。
请学生们根据自己的情况和实际需求，结合教材和辅导资料进行进一步学习和实践。
祝愿大家在数学竞赛中取得优异的成绩！。
1高中数学新课标奥林匹克竞赛辅导讲义(集合部分)解析
第一章 集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.第一节 集合的概念与运算【基础知识】一．集合的有关概念1．集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.2．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.3．集合的分类：无限集、有限集、空集φ.4. 集合间的关系：二．集合的运算1．交集、并集、补集和差集差集：记A 、B 是两个集合，则所有属于A 且不属于B 的元素构成的集合记作B A \.即A x B A ∈={\且}B x ∉.2.集合的运算性质(1)A A A = ,A A A = (幂等律);(2)A B B A =, A B B A =(交换律);(3))()(C B A C B A =, )()(C B A C B A =(结合律);(4))()()(C A B A C B A =,)()()(C A B A C B A =(分配律);(5)A A B A =)( ,A B A A =)( (吸收律);(6)A A C C U U =)((对合律);(7))()()(B C A C B A C U U U =, )()()(B C A C B A C U U U =(摩根律)(8))\()\()(\C A B A C B A =,)\()\()(\C A B A C B A =.3.集合的相等(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等;(2)利用定义,证明两个集合互为子集;(3)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价;(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件.【典例精析】【例1】在集合},,2,1{n 中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 .〖分析〗已知},,2,1{n 的所有的子集共有n 2个.而对于},,2,1{n i ∈∀,显然},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这就说明i 在集合},,2,1{n 的所有子集中一共出现12-n 次,即对所有的i 求和,可得).(211∑=-=n i n n i S 【解】集合},,2,1{n 的所有子集的元素之和为2)1(2)21(211+⋅=+++--n n n n n =.2)1(1-⋅+⋅n n n 〖说明〗本题的关键在于得出},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.【例2】已知集合}034|{},023|{222<+-=<++=a ax x x B x x x A 且B A ⊆,求参数a的取值范围.〖分析〗首先确定集合A 、B,再利用B A ⊆的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得}0)3)((|{},12|{<--=-<<-=a x a x x B x x A当0>a 时,}3|{a x a x B <<=,由B A ⊆知无解;当0=a 时,φ=B ,显然无解;当0<a 时, }3|{a x a x B <<=,由B A ⊆解得.321≤≤-a 综上知,参数a 的取值范围是]32,1[-.〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B 要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【例3】已知+∈∈R y R x ,,集合}1,2,{},1,,1{2+--=---++=y y y B x x x x A .若B A =,则22y x +的值是( )A.5B.4C.25D.10 【解】0)1(2≥+x ,x x x -≥++∴12,且012>++x x 及集合中元素的互异性知 x x x -≠++12,即1-≠x ,此时应有.112-->->++x x x x而+∈R y ,从而在集合B 中,.21y y y ->->+ 由B A =,得)3()2()1(12112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-+=++yx y x y x x 由(2)(3)解得2,1==y x ,代入(1)式知2,1==y x 也满足(1)式..5212222=+=+∴y x〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.【例4】已知集合}|,|,0{)},lg(,,{y x B xy y x A ==.若B A =,求++++)1()1(22yx y x ……+)1(20082008y x +的值.〖分析〗从集合A=B 的关系入手,则易于解决.【解】B A = ,⎩⎨⎧=⋅⋅+=++∴0)lg(||)lg(xy xy x y x xy xy x ,根据元素的互异性,由B 知0,0≠≠y x . B ∈0 且B A =,A ∈∴0,故只有0)lg(=xy ,从而.1=xy又由A ∈1及B A =,得.1B ∈所以⎩⎨⎧==1||1x xy 或⎩⎨⎧==11y xy ,其中1==y x 与元素的互异性矛盾! 所以,1-=y x 代入得:++++)1()1(22y x y x ……+)1(20082008yx +=(2-)+2+(2-)+2+……+(2-)+2=0. 〖说明〗本题是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.【例5】已知A 为有限集,且*N A ⊆,满足集合A 中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.【解】设集合A=)1}(,,,{21>n a a a n 且n a a a <<≤211,由=+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21, *)(N n n a n ∈≥,得≥n na =+++n a a a 21n a a a ⋅⋅⋅ 21)!1(-≥n a n ,即)!1(-≥n n 2=∴n 或3=n (事实上,当3>n 时,有)2)1()2)(1()!1(n n n n n >⋅-≥--≥-. 当2=n 时,1,2,21122121=∴<∴<+=⋅a a a a a a a ,而.2,1122≠∴+≠⋅n a a当3=n 时,3,3213321321<⋅∴<++=⋅⋅a a a a a a a a a ,.2,121==∴a a由3332a a +=,解得.33=a综上可知,}.3,2,1{=A〖说明〗本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.【例6】已知集合}02|{},023|{22≤+-=≤+-=a ax x x S x x x P ,若P S ⊆,求实数a 的取值组成的集合A.【解】}21|{≤≤=x x P ,设a ax x x f +-=2)(2.①当04)2(2<--=∆a a ,即10<<a 时,φ=S ,满足P S ⊆;②当04)2(2=--=∆a a ,即0=a 或1=a 时,若0=a ,则}0{=S ,不满足P S ⊆,故舍去;若1=a 时,则}1{=S ,满足P S ⊆.③当04)2(2>--=∆a a 时,满足P S ⊆等价于方程022=+-a ax x 的根介于1和2之间.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-<<><⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥<--<>∆0340121100)2(0)1(22)2(10a a a a a f f a 或φ∈⇔a . 综合①②③得10≤<a ,即所求集合A }10|{≤<=a a .〖说明〗先讨论特殊情形(S=φ),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对∆分类讨论,确定a 的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论.0>∆【例7】(2005年江苏预赛)已知平面上两个点集{(,)||1|,M x y x y x y =++≥∈R },{(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R }. 若 MN ≠∅, 则 a 的取值范围是． 【解】由题意知 M 是以原点为焦点、直线 10x y ++= 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察 M N =∅ 时, a 的取值范围:令 1y =,代入方程|1|x y ++=, 得 2420x x --=，解出得2x = 所以，当211a <= 时, M N =∅． ………… ③令 2y =，代入方程|1|x y ++=得 2610x x --=. 解出得3x =3a >时, M N =∅． ………… ④因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当13a ≤≤，即[13a ∈ 时, M N ≠∅．故填[1.【例8】已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4321a a a a <<<,N a a a a ∈4321,,,.若},{41a a B A = ,1041=+a a .且B A 中的所有元素之和为124,求集合A 、B.【解】 4321a a a a <<<,且},{41a a B A = ,∴211a a =,又N a ∈1,所以.11=a又1041=+a a ,可得94=a ,并且422a a =或.423a a =若922=a ,即32=a ,则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a (舍)此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A 若923=a ,即33=a ,此时应有22=a ,则B A 中的所有元素之和为100≠124.不合题意.综上可得, }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A 〖说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合A 、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.【例9】满足条件||4|)()(|2121x x x g x g -≤-的函数)(x g 形成了一个集合M,其中R x x ∈21,,并且1,2221≤x x ,求函数)(23)(2R x x x x f y ∈-+==与集合M 的关系.〖分析〗求函数23)(2-+=x x x f 集合M 的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M 的属性.【解】|3||||)23()23(||)()(|212122212121++⋅-=++-++=-x x x x x x x x x f x f 取65,6421==x x 时, .||4||29|)()(|212121x x x x x f x f ->-=- 由此可见,.)(M x f ∉〖说明〗本题中M 是一个关于函数的集合.判断一个函数)(x f 是否属于M,只要找至一个或几个特殊的i x 使得)(i x f 不符合M 中的条件即可证明.)(M x f ∉【例10】对集合}2008,,2,1{ 及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如}9,6,4,2,1{的“交替和”是612469=+-+-,集合}10,7{的“交替和”是10－7=3,集合}5{的“交替和”是5等等.试求A 的所有的“交替和”的总和.并针对于集合},,2,1{n 求出所有的“交替和”.〖分析〗集合A 的非空子集共有122008-个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共有15个,共“交替和”分别为:{1} 1;{2} 2 ;{3} 3;{4} 4;{1,2} 2-1; {1,3} 3-1;{1,4} 4-1;{2,3} 3-2;{2,4} 4-2;{3,4} 4-3;{1,2,3} 3-2+1;{1,2,4} 4-2+1;{1,3,4} 4-3=1;{2,3,4} 4-3+2;{1,2,3,4} 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设i A 是{1,2,3,4}中一个不含有的子集,令i A 与i A }4{相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7对,再加上{4}的“交替和”为4,即{1,2,3.4}的所有子集的“交替和”为32.【解】集合}2008,,2,1{ 的子集中,除了集合}2008{,还有222008-个非空子集.将其分为两类:第一类是含2008的子集,第二类是不含2008的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果i A 是第二类的,则必有}2008{ i A 是第一类的集合;如果j B 是第一类中的集合,则j B 中除2008外,还应用1,2,……,2007中的数做其元素,即j B 中去掉2008后不是空集,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有2008,从而可得A 的所有子集的“交替和”为.2008220082008)22(2120072008⨯=+⨯- 同样可以分析},,2,1{n ,因为n 个元素集合的子集总数为n 2个(含φ,定义其“交替和”为0),其中包括最大元素n 的子集有12-n 个,不包括n 的子集的个数也是12-n 个,将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素n ),设不含n 的子集“交替和”为S,则对应的含n 子集的“交替和”为S n -,两者相加和为n .故所有子集的“交替和”为.21n n ⋅-〖说明〗本题中＂退到最简＂,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化.【例11】一支人数是5的倍数的且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人，求这支游行队伍的人数最少是多少？〖分析〗已知游行队伍的总人数是5的倍数，那么可设总人数为n 5.“按每横排4人编队，最后差3人”，从它的反面去考虑，可理解为多1人，同样按3人、2人编队都可理解为“多1人”，显然问题转化为同余问题.n 5被4、3、2除时都余地，即15-n 是12的倍数，再由总人数不少于1000人的条件，即可求得问题的解.【解】设游行队伍的总人数为)(5+∈N n n ，则由题意知n 5分别被4、3、2除时均余1，即15-n 是4、3、2的公倍数，于是可令)(1215+∈=-N m m n ，由此可得：5112+=m n ①要使游行队伍人数最少，则式①中的m 应为最少正整数且112+m 为5的倍数，应为2.于是可令)(25+∈+=N p q m ，由此可得：512]1)25(12[51+=++⋅=p p n ，25605+≥p n ② 所以10002560≥+p ，4116≥p . 取17=p 代入②式，得10452517605=+⨯=n故游行队伍的人数最少是1045人.〖说明〗本题利用了补集思想进行求解，对于题目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等词语，可以根据补集思想方法，从词义气反面（反义词）考虑，对原命题做部分或全部的否定，用这种方法转化命题，常常能起到化繁为简、化难为易的作用，使之寻求到解题思想或方法，实现解题的目的.【例12】设n N ∈且n ≥15，B A ,都是{1，2，3，…，n }真子集，A B φ=，且A B ={1，2，3，…，n }.证明：A 或者B 中必有两个不同数的和为完全平方数.【证明】由题设，{1，2，3，…，n }的任何元素必属于且只属于它的真子集B A ,之一. 假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，…，n }的真子集B A ,，使得无论是A 还是B 中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.不妨设1∈A ，则3∉A ，否则1+3=22，与假设矛盾，所以3∈B .同样6∉B ，所以6∈A ，这时10∉A ，，即10∈B .因n ≥15，而15或者在A 中，或者在B 中，但当15∈A 时，因1∈A ，1+15=24，矛盾；当15∈B 时，因10∈B ，于是有10+15=25，仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立. 【赛向点拨】1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基础.因此，深刻理解集合的概念,熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要.2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用.3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题的前提.4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.【针对练习】(A 组)1.(2006年江苏预赛) 设在xOy 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为31，则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为( ) A.31 B.32 C.1 D.34 2. (2006年陕西预赛)b a ,为实数,集合M=x x f a P ab →=:},0,{},1,{表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ,则b a +的值等于( )A.1-B.0C.1D.1± 3. (2004年全国联赛)已知M={}32|),(22=+y x y x ，N={}b mx y y x +=|),(，若对于所有的R m ∈，均有,φ≠⋂N M 则b 的取值范围是 A ．[26,26-] B.（26,26-）C.（332,332-） D.[332,332-] 4. (2005年全国联赛) 记集合},6,5,4,3,2,1,0{=T },4,3,2,1,|7777{4433221=∈+++=i T a a a a a M i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++ 5. 集合A,B 的并集A ∪B={a 1,a 2,a 3}，当且仅当A≠B 时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有( )A.27B.28.C.26D.256.设A={n |100≤n ≤600,n ∈N }，则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.7. 已知2{430,}A x x x x R =-+<∈,12{20,2(7)50,}x B x a x a x x R -=+-++∈且≤≤.若A B ⊆,则实数a 的取值范围是 .8. 设M={1,2,3,…,1995}，A 是M 的子集且满足条件: 当x ∈A 时,15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是_______________.9. (2006年集训试题)设n 是正整数，集合M={1，2，…，2n }．求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于10. 设A ＝{a |a ＝22x y -,,x y Z ∈}，求证：⑴21k -∈A (k Z ∈)； ⑵42 ()k A k Z -∉∈.11.（2006年江苏）设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅，求实数a 的取值范围．12. 以某些整数为元素的集合P 具有下列性质：①P 中的元素有正数，有负数；②P 中的元素有奇数,有偶数；③－1∉P ；④若x ，y ∈P ,则x ＋y ∈P 试判断实数0和2与集合P 的关系.(B 组)1. 设S 为满足下列条件的有理数的集合：①若a ∈S ，b ∈S ，则a +b ∈S ， S ab ∈；②对任一个有理数r ，三个关系r ∈S ，－r ∈S ，r ＝0有且仅有一个成立.证明：S 是由全体正有理数组成的集合.2．321,,S S S 为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，若j i S y S x ∈∈,，则k S y x ∈- （1）证明：三个集合中至少有两个相等.（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？3．已知集合：}1|),{(},1|),{(},1|),{(22=+==+==+=y x y x C ay x y x B y ax y x A 问（1）当a 取何值时，C B A )(为含有两个元素的集合？（2）当a 取何值时，C B A )(为含有三个元素的集合？4．已知{}22(,)4470,,A x y x y x y x y R =++++=∈, {}(,)10,,B x y xy x y R ==-∈.⑴请根据自己对点到直线的距离,两条异面直线的距离中 “距离”的认识,给集合A 与B 的距离定义;⑵依据⑴中的定义求出A 与B 的距离.5.设集合=P ｛不小于３的正整数｝，定义Ｐ上的函数如下：若P n ∈，定义)(n f 为不是n 的约数的最小正整数，例如5)12(,2)7(==f f .记函数f 的值域为Ｍ.证明：.99,19M M ∉∈6．为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个.【参考答案】A 组1.解： N M 在xOy 平面上的图形关于x 轴与y 轴均对称，由此N M 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得.为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了.由题意可得，N M 的图形在第一象限的面积为A ＝613121=-.因此N M 的图形面积为32. 所以选B.2.解:由M=P,从而1,0==a a b ,即0,1==b a ,故.1=+b a 从而选C. 3. 解：M N ≠∅相当于点（0，b ）在椭圆2223x y +=上或它的内部221,322b b ∴≤∴-≤≤.故选A. 4.解: 用p k a a a ][21 表示k 位p 进制数，将集合M 中的每个数乘以47，得 32123412347{777|,1,2,3,4}{[]|,1,2,3,4}.i i M a a a a a T i a a a a a T i '=⋅+⋅+⋅+∈==∈= M ' 中的最大数为107]2400[]6666[=.在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400－2004=396.而=10]396[7]1104[将此数除以47，便得M 中的数.74707171432+++故选C. 5.解：A=φ时，有1种可能；A 为一元集时，B 必须含有其余2元，共有6种可能；A 为二元集时，B 必须含有另一元.共有12种可能；A 为三元集时，B 可为其任一子集.共8种可能.故共有1+6+12+8=27个.从而选A.6．解：被7除余2的数可写为7k +2. 由100≤7k +2≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使7k +2能被57整除，则可设7k +2=57n . 即57256227778n n n nk n -+--===+. 即n －2应为7的倍数. 设n =7m +2代入，得k =57m +16. ∴14≤57m +16≤85. ∴m =0,1.于是所求的个数为85－(14－1)－2=70． ７．解：依题意可得{13}A x x =<<,设1()2x f x a -=+,2()2(7)5g x x a x =-++ 要使A B ⊆,只需()f x ,()g x 在(1,3)上的图象均在x 轴的下方,则(1)0f ≤,(3)0f ≤, (1)0g ≤,(3)0g ≤,由此可解得结果.8．解：由于1995=15⨯133，所以，只要n >133，就有15n >1995.故取出所有大于133而不超过1995的整数. 由于这时己取出了15⨯9=135, … 15⨯133=1995. 故9至133的整数都不能再取，还可取1至8这8个数，即共取出1995—133+8=1870个数, 这说明所求数≥1870.另一方面，把k 与15k 配对，（k 不是15的倍数，且1≤k ≤133）共得133—8=125对，每对数中至多能取1个数为A 的元素，这说明所求数≤1870，综上可知应填1870.9.解：考虑M 的n +2元子集P={n －l ，n ，n +1，…，2n }．P 中任何4个不同元素之和不小于(n －1)+n +( n +1)+( n +2)=4 n +2，所以k ≥n +3．将M 的元配为n 对，B i =(i ，2 n +1－i )，1≤i ≤n ． 对M 的任一n +3元子集A ，必有三对123,,i i i B B B 同属于A(i 1、I 2、I 3两两不同)．又将M 的元配为n －1对，C I (i ，2n －i )，1≤i ≤n －1．对M 的任一n +3元子集A ，必有一对4i C 同属于A ，这一对4i C 必与123,,i i i B B B 中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为2 n +1+2 n =4 n +1,最小的正整数k = n +310．10.解: ⑴∵k ,1k -∈Z 且21k -＝22(1)k k --,∴21k -∈A ；⑵假设42 ()k A k Z -∈∈,则存在,x y Z ∈,使42k -＝22x y -即()()2(21)x y x y k -+=- (*)由于x y -与x y +具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立.由此，42()k A k Z -∉∈.11.解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<． 当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由AB ≠∅得03a <<； 当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅得1a >-； 当0a =时，{}20B x x =<=∅，与A B ≠∅不符．综上所述，()()1,00,3a ∈-．12．解：由④若x ，y ∈P ,则x ＋y ∈P 可知，若x ∈P ，则)( N k P kx ∈∈（1）由①可设x ，y ∈P ，且x ＞0，y ＜0，则－y x ＝|y |x (|y |∈N )故x y ,－y x ∈P ,由④,0＝(－y x )+x y ∈P .（2）2∉P .若2∈P ，则P 中的负数全为偶数，不然的话，当－（12+k ）∈P （N k ∈）时，－1＝（－12-k ）＋k 2∈P ，与③矛盾.于是，由②知P 中必有正奇数.设),( 12,2N n m P n m ∈∈--，我们取适当正整数q ，使12|2|->-⋅n m q ，则负奇数P n qm ∈-+-)12(2.前后矛盾B 组1．证明：设任意的r ∈Q ，r ≠0,由②知r ∈S ，或－r ∈S 之一成立.再由①，若r∈S ，则S r ∈2；若－r ∈S ，则S r r r ∈-⋅-=)()(2.总之，S r ∈2. 取r =1，则1∈S .再由①，2=1+1∈S ，3=1+2∈S ，…，可知全体正整数都属于S .设S q p ∈,，由①S pq ∈，又由前证知S q ∈21，所以21qpq q p ⋅=∈S .因此，S 含有全体正有理数.再由①知，0及全体负有理数不属于S .即S 是由全体正有理数组成的集合.2．证明：（1）若j i S y S x ∈∈,，则i k S x y x y S x y ∈-=--∈-)(,，所以每个集合中均有非负元素.当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立.否则，设321,,S S S 中的最小正元素为a ，不妨设1S a ∈，设b 为32,S S 中最小的非负元素，不妨设,2S b ∈则b －a ∈3S .若b ＞0,则0≤b －a ＜b ，与b 的取法矛盾.所以b =0.任取,1S x ∈因0∈2S ,故x －0＝x ∈3S .所以⊆1S 3S ，同理3S 1S ⊆.所以1S =3S .（２）可能.例如1S =2S ={奇数}，3S ={偶数}显然满足条件，1S 和2S 与3S 都无公共元素.3．解：C B A )(=)()(C B C A .C A 与C B 分别为方程组（Ⅰ）⎩⎨⎧=+=+1122y x y ax （Ⅱ）⎩⎨⎧=+=+1122y x ay x 的解集.由（Ⅰ）解得（y x ,）=（0，1）=（212a a +，2211aa +-）；由（Ⅱ）解得 （y x ,）=（1，0），（2211a a +-，212a a +） （1）使C B A )(恰有两个元素的情况只有两种可能： ①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+111012222a a a a ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+011112222aa a a 由①解得a =0；由②解得a =1.故a =0或1时，C B A )(恰有两个元素.（2）使C B A )(恰有三个元素的情况是：212a a +=2211a a +- 解得21±-=a ，故当21±-=a 时，C B A )(恰有三个元素.4．解: (1)设1212,min P A P B d P P ∈∈=(即集合A 中的点与集合B 中的点的距离的最小值), 则称d 为A 与B 的距离.⑵解法一：∵A 中点的集合为圆22(2)(2)1,x y +++=圆心为(2,2)M --,令(,)P x y 是双曲线上的任一点,则2MP =22(2)(2)x y +++=224()8x y x y ++++=2()24()x y xy x y +-+++8=2()4()28x y x y ++++令t x y =+,则2MP =22428(2)24t t t ++=++当2t =-时,即102xy x y =-⎧⎨+=-⎩有解，∴min MP =∴1d = 解法二：如图,P 是双曲线上的任一点, Q 为圆22(2)(2)1x y +++=上任一点,圆心为M .显然,P M MP +Q Q ≥(当P M 、Q 、三点共线时取等号)∴min 1d MP =-.5．解：记!18=n 时，由于1，2，……18都是n 的约数，故此时.19)(=n f 从而.19M ∈ 若存在P n ∈，使99)(=n f ，则对于小于99的正整数k ，均有n k |，从而n n |11,|9，但是1)11,9(=，由整数理论中的性质9×11=99是n 的一个约数，这是一个矛盾！从而.99M ∉6．证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21 。
高中数学竞赛培训教案
高中数学竞赛培训教案
教学目标：通过本次培训，学生能够掌握竞赛所需的数学知识和解题技巧，提高数学竞赛
的应试能力。
教学内容：本次培训主要围绕高中数学竞赛的常见题型展开，包括数列、概率、几何、代
数等知识点。
教学步骤：
第一步：复习基础知识
讲解数学竞赛常见题型，包括选择题、填空题、解答题等，帮助学生理清基础知识，打好
基础。
第二步：讲解数学竞赛解题技巧
介绍数学竞赛解题的基本思路和方法，包括适时放弃、灵活运用、多角度思考等技巧。
第三步：解析典型题目
通过解析一些典型的数学竞赛题目，引导学生掌握解题技巧，提高解题速度和正确率。
第四步：练习题目
让学生进行有针对性的练习，巩固所学知识和技巧，提高解题能力。
第五步：总结反思
让学生对本次培训进行总结和反思，查漏补缺，为下次培训做好准备。
教学方法：讲解结合练习、小组合作、讨论交流等方式，激发学生学习兴趣，提高学习效果。
教学工具：教材、习题、黑板、投影仪等。
教学评价：通过练习题目和考试测验，评估学生的学习情况和提高空间，及时调整教学方案，确保教学效果。
教学改进：根据学生的反馈和评价意见，不断改进教学方法和内容，提高竞赛培训的质量
与效果。
以上是本次高中数学竞赛培训教案范本，希最能达到预期目标，提高学生的数学竞赛能力。
高中数学竞赛辅导讲义 第五章 数列【讲义】
第五章 数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。
其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。
若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：S n =d n n na a a n n 2)1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn .定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有q a a nn =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。
定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =qq a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。
高中数学竞赛考试大纲及必备辅导书汇总,尖子生请收好
高中数学竞赛考试大纲及必备辅导书汇总，尖子生请收好！首先，强调一点：不是所有学生都可以学数学竞赛，要想学习数学竞赛必须同时具备以下条件：•高考数学可以轻松应对；•对数学竞赛有兴趣，自发选择学习数学竞赛；•具备自主学习能力；•高考涉及的其他学科不存在太大问题，或个人的竞赛前景远优于高考前景。
数学竞赛需要的时间和精力都是很大的，并且如果因为学习竞赛受挫而导致对数学产生负情绪是得不偿失的，因此，我从不提倡“全民竞赛”。
当然，如果你恰好符合以上的四个条件，那么你一定要学习竞赛。
为什么？因为学习数学竞赛的好处很多。
与其他学科竞赛一样，学习数学竞赛除了能在升入高校方面获得保送或降分的优惠外，还能培养学生的自主学习能力，这对学生的整个大学学习乃至今后的学术研究或是社会工作是尤为重要的。
当然，对于大部分学生来说，高校的吸引力是最大的。
而2016年新发布的高校自主招生政策中，其中的变化值得深思：•取消“校荐”，考生需自己报名；•“年级排名”不再是报名条件；•门槛抬高，审核更为严格；•报考专业一定要与特长匹配；•试点高校自主招生考核统一安排在高考结束之后、高考成绩公布前进行。
我们最需要关注的点有三个：① 由于校荐被取消，年级排名也被废除，原本校内成绩突出的学生很难走自招，而自招的报名人数会上升，竞争更加激烈；② 据了解，985高校自招的初审底线是竞赛拿到省二以上，而北清更是要求拿到省一，门槛的提高导致了28万申请自招的学生只有4万余人通过初审，8千余人获得资格，初审和复审的通过率均低于20%；③ 现在的自招考试要求不超过两科，考试的科目和专业是相匹配的，而绝大多数专业的考试科目都有数学，因此数学竞赛的比重是很高的。
总的来说，新的政策直接导致的是各高中年级排名较高的学生更难上清北（难以进入博雅领军，难以获得自招资格，裸考进清北的人更少），而间接导致的是更多的学生走上了竞赛这条道路。
因此，若你有足够的实力，精力和时间，那么竞赛将是你们的不二之选。
高中数学竞赛有哪些值得推荐的辅导书？从入门到高阶，数竞党必读！
又到了新一轮竞赛学习，不少学生反映不知道买哪些参考书，今天就来给大家推荐一些书目，从入门、进阶到拔高，适合各个不同阶段，欢迎大家对号入座~一、入门1、《奥数教程》，华东师范大学出版社这套书按年级分为高一、高二、高三三套，每个年级包含教程、测试和学习手册三本， 是比较基础、入门级的竞赛教程 。
《奥数教程》从课本知识出发，由浅入深，逐步过渡到竞赛，内容涵盖了竞赛的全部考点和热点。
每本书包含基础篇和拔高篇，基础篇主要是一试相关内容，拔高篇是二试相关内容。
共30讲，每讲又分为“内容概述”、“例题精解”、“读一读”和“巩固训练”四个部分， 系统地梳理了数学竞赛知识，比较适合刚接触竞赛的学生使用。
《奥数教程-能力测试》是配套的练习用书，每讲配备了1个小时左右的练习量，确保学生更好地掌握知识。
《奥数教程-学习手册》详细解答了《奥数教程》中“巩固训练”，并对该年级的竞赛热点进行精讲，并配有真题用作练习。
2、《2018年全国高中数学联赛备考手册》，华东师范大学出版社这本书每年出版一本，集合了各个省市联赛预赛的试题及答案详解，预赛命题人员大多为各省市数学会成员，题型和难度一般和高联一试相当，可以在学完一遍一试后作为练习题使用。
二、进阶1、《数学奥林匹克小丛书》，华东师范大学出版社俗称“小蓝本”，这套书共14册，包括《集合》、《函数与函数方程》、《三角函数》、《平均值不等式与柯西不等式》、《不等式的解题方法与技巧》、《数列与数学归纳法》、《平面几何》、《复数与向量》、《几何不等式》、《数论》、《组合数学》、《图论》、《组合极值》、《数学竞赛中的解题方法与策略》等，可以说是竞赛生人手一套的“圣书”。
力图用各种方法介绍数学竞赛中的14个专题，书中有对基本知识、基本问题以及解决这些问题的一些典型方法的讲解，还有由基本问题派生出来的教学方法和应用，相对易懂。
2、《奥赛经典》，湖南师范大学出版社这套书分为《奥林匹克数学中的组合问题》、《奥林匹克数学中的几何问题》、《奥林匹克数学中的代数问题》、《奥林匹克数学中的数论问题》、《奥林匹克数学中的真题分析》五册。
培训高中数学竞赛教案范文
培训高中数学竞赛教案范文
教学内容：数学竞赛题型训练
教学目标：通过训练，提高学生的数学思维能力和解题技巧，为参加数学竞赛做好准备。
教学重点：数学竞赛常见题型训练
教学难点：复杂题型的解题技巧训练
教学方法：示例讲解法、练习巩固法
教学手段：教师讲解、学生练习、互动讨论
教学过程：
一、导入
教师首先介绍数学竞赛的重要性，以及参加数学竞赛需要具备的素质和能力。
然后简要介绍本次训练的内容和目标。
二、讲解常见题型
1.整数问题：教师给出一些关于整数的题目，让学生分析解题思路。
2.函数问题：教师解释函数的基本概念，并给出一些函数题目，让学生分析解题思路。
3.几何问题：教师讲解几何知识，并给出一些几何题目，让学生运用几何知识解题。
三、练习训练
1.学生在教师的指导下，进行题目练习，针对不同类型的题目，分别进行训练。
2.学生互相交流讨论解题思路，在教师的帮助下，找出解题中的关键点。
3.教师针对学生的解题情况，提出建议和指导，帮助学生提升解题能力。
四、总结
教师总结本次训练的重点和难点，鼓励学生继续努力，坚持训练，提高数学竞赛的成绩。
五、作业布置
布置相关的练习题目作业，让学生在课后巩固所学知识。
六、课程结束
教师对本节课进行总结，鼓励学生在平时多加实践，勤加练习，提高数学竞赛的成绩。
教案结束。
数学学科竞赛教案高中
数学学科竞赛教案高中
教学目标：通过本次数学学科竞赛教学，让学生掌握解决数学问题的方法和技巧，培养学生的数学思维和创新能力。
一、教学内容：解题方法与技巧
二、教学重点与难点：
1.掌握常见解题技巧，如数学归纳法、递推法等；
2.培养学生观察问题的能力，运用逻辑推理解决数学问题。
三、教学步骤：
1.导入：通过一个简单的数学问题引起学生的兴趣，激发学生的求知欲；
2.讲解：讲解常见解题技巧及方法，并通过例题演示解题过程；
3.练习：让学生进行实际操作练习，巩固所学内容；
4.反馈：对学生的练习情况进行及时反馈，指导学生进一步学习；
5.总结：总结解题技巧，并鼓励学生在平时的学习中多运用这些技巧。
四、教学工具：黑板、教材、习题册等
五、教学方法：示范教学法、实践教学法
六、教学评价：根据学生的解题情况、课堂表现等进行评价，并及时给予指导和帮助。
七、教学反思：通过本次竞赛教学，发现学生在数学问题解决过程中存在的问题，并进一步完善教学内容，提高教学效果。
辅导高中生数学竞赛教案
辅导高中生数学竞赛教案
教学内容：数学竞赛相关知识点讲解与应用练习
教学目标：帮助学生提高数学竞赛能力，提升数学解题能力和思维逻辑水平
教学时间：每周一次，共10周
教学方法：讲解与演示相结合，理论与实践并重
教学过程：
第一周：介绍数学竞赛的重要性及常见竞赛类型，激发学生学习兴趣
第二周：讲解数学竞赛解题技巧，如逆推、取巧、化整为零等方法，并进行实例演示
第三周：重点讲解数论知识，包括质数、因数、同余等概念，进行相关练习
第四周：讲解几何知识，包括平面几何和立体几何，进行相关例题讲解
第五周：讲解代数与方程组解法，包括多项式、不等式、微分等内容，进行练习巩固
第六周：介绍概率与统计知识，重点讲解概率计算方法与统计分析技巧
第七周：讲解数学归纳法及证明方法，教授学生如何进行数学证明，进行实例演练
第八周：复习前面学过的知识点，做一次综合练习题，加强学生对知识的掌握
第九周：讲解竞赛解题策略，包括时间管理、选题技巧等，进行模拟竞赛练习
第十周：进行总结与评价，回顾学习收获，鼓励学生继续努力提升数学竞赛能力
教学评估：每周课后布置作业，每月定期组织小测验，最后进行一次总结性考试
教学反馈：及时收集学生学习反馈意见，针对学生问题调整教学内容和方法
教学资源：精选数学竞赛教材和习题集，提供在线学习资源和辅导资料
教学建议：鼓励学生积极参与数学竞赛活动，培养数学兴趣和竞赛意识，不断挑战自我，提高数学水平。
高中数学竞赛辅导方案
高中数学竞赛辅导方案一、引言数学竞赛在高中阶段是非常重要的活动之一，它能够培养学生的逻辑思维能力、创造力和解决问题的能力。
因此，为了提高学生在数学竞赛中的水平，制定一套高效的辅导方案至关重要。
二、了解竞赛要求在开始制定辅导方案之前，需要对数学竞赛的要求进行全面的了解。
不同的竞赛会有不同的内容和难度级别，有些竞赛更偏重于应用问题，而有些则更偏重于纯粹的数学推理。
了解竞赛要求能够帮助我们设计有效的辅导活动。
三、建立扎实的基础高中数学竞赛的前提是有扎实的基础。
因此，我们要注重对数学基础知识的巩固和拓展。
可以通过每周安排固定的基础知识练习，包括各个主题的概念、定理和方法。
这样能够帮助学生熟练掌握基础知识，并能够在竞赛中运用自如。
四、培养综合应用能力数学竞赛通常会要求学生在实际问题中运用数学知识解决复杂的情境。
因此，我们要注重培养学生的综合应用能力。
可以通过组织小组讨论、实际问题解决等方式，帮助学生将抽象的数学概念应用到实际问题中，培养他们的逻辑思维和创造力。
五、提供丰富的资源为了提高学生的竞赛水平，我们需要提供丰富的资源供学生参考。
可以收集和整理一些经典的竞赛试题和题解，供学生练习和参考。
此外，可以购置一些相关的辅导书籍和教材，供学生进行自主学习和钻研。
六、积极参与竞赛活动通过参与各种数学竞赛活动，可以提高学生的竞赛经验和处理竞赛压力的能力。
可以组织学生参加校内外的数学竞赛，并鼓励学生积极参与，并参加一些针对竞赛经验分享和交流的活动。
七、个性化辅导每个学生的数学水平和学习需求都有所不同，因此，个性化辅导是非常重要的。
我们可以通过分班制或设置小组辅导，根据学生的水平和兴趣进行有针对性的辅导。
这样能够更加精确地满足学生的需求，提高他们的学习效果。
八、培养良好的学习习惯培养良好的学习习惯对于提高数学竞赛水平非常重要。
可以教导学生制定合理的学习计划，并且坚持每天进行数学学习。
此外，我们还可以引导学生养成记录笔记、整理知识和总结经验的习惯，从而提高学习效果。
高中数学竞赛辅导-函数
4.( 教程 P86 17)设 f (x) x2 2tx t, x 1,1
1 求 f ( x)max min . 4
2.［分析］这是 1996 年北京高中一年级数学竞赛的复赛试题，
是一个四次函数的最值问题.表面上看起来很难.但借助于配方
法、换元法及二次函数极（最）值性质,可得结果.
tmin=
5 4
，tmax=29
∴y=t2+4,t∈[ 5 ,29]抛物线开口向上,对称轴 t=0∈[ 5 ,29]，
4
4
∴ymin=4
故 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 在［-3,3］上的最小值是 4.
练习 3.∵ f ( x) ( x 3)2 ( x2 2)2 x2 ( x2 1)2 ∴可知函数 y f (x) 的几何意义是抛物线 y x2 上的点 P( x, x2 ) 到两定点 A(3, 2), B(0,1) 的距离之差. ∴ PA PB ≤ AB 10
3.定义在实数集上的函数 f(x)，对一切实数 x 都有
f(x＋1)＝f(2－x)成立，若 f(x)＝0 仅有 101 个不同的实数
根，那么所有实数根的和为( )
(A)150 (B) 303
2
(C)152
(D) 305
2
提示：由已知，函数 f(x)的图象有对称轴 x＝ 3 2
于是这 101 个根的分布也关于该对称轴对称.
(1 t (t ≥1)
1)
不难得到
f
( x)max
min
1 4
二.函数的性质与图象
思考 1. 函数 y = f ( x ) 对任意实数 x，总有
新编高中数学奥赛指导
新编高中数学奥赛指导摘要：1.引言2.高中数学奥赛简介3.新编高中数学奥赛指导书籍的特点4.书籍内容详解4.1 基础知识梳理4.2 解题技巧和方法4.3 真题及模拟题训练4.4 习题解答与分析5.对学生和教师的帮助6.总结正文：【引言】新编高中数学奥赛指导是一本专为高中生参加数学竞赛而编写的辅导教材。
本书旨在帮助学生掌握数学竞赛所需的基本知识和解题技巧，提高竞赛成绩。
【高中数学奥赛简介】高中数学奥赛，全名为全国高中数学奥林匹克竞赛，是我国面向高中生的一项重要数学竞赛活动。
竞赛分为初赛、复赛和决赛三个阶段，选拔出优秀的学生代表参加国际数学奥林匹克竞赛。
【新编高中数学奥赛指导书籍的特点】新编高中数学奥赛指导书籍具有以下特点：1.内容全面：涵盖高中数学竞赛所需的所有知识点，帮助学生系统学习。
2.结构清晰：按照竞赛知识点和难易程度分章节编排，便于学生有针对性地学习。
3.实例丰富：提供大量典型例题和解题方法，帮助学生掌握解题技巧。
4.题目新颖：收录了近年来全国各地竞赛真题及模拟题，让学生在训练中逐渐提高。
【书籍内容详解】4.1 基础知识梳理：本书对高中数学竞赛所需的基础知识进行了全面梳理，帮助学生巩固基础知识，为解题打下坚实基础。
4.2 解题技巧和方法：本书详细介绍了各类题型的解题技巧和方法，让学生在遇到问题时能够迅速找到解题思路。
4.3 真题及模拟题训练：本书收录了全国各地近年来的竞赛真题及模拟题，让学生在实际训练中提高竞赛水平。
4.4 习题解答与分析：本书对所收录的习题进行了详细解答和分析，帮助学生理解解题思路，提高解题能力。
【对学生和教师的帮助】对学生而言，新编高中数学奥赛指导书籍是一本不可多得的竞赛辅导教材，可以帮助他们系统学习竞赛知识，掌握解题技巧，提高竞赛成绩。
对教师而言，这本书可以作为教学参考书，为教师提供丰富的教学资源，提高教学质量。
【总结】新编高中数学奥赛指导是一本针对高中生数学竞赛的优质辅导教材，具有全面、系统、实用的特点。
数学竞赛教案模板范文高中
数学竞赛教案模板范文高中
教学内容：高中数学竞赛
教学目标：通过本课的学习，学生能够掌握数学竞赛中常见的题型和解题方法，提高数学
解题能力和思维逻辑能力。
教学重点：数学竞赛题型和解题方法的讲解和练习。
教学难点：数学竞赛中较难题型的解题方法和技巧。
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过讨论数学竞赛的重要性和意义，激发学生学习的兴趣。
二、理论讲解（15分钟）
1.解题思路
2.常见的数学竞赛题型
3.解题方法和技巧
三、案例分析（20分钟）
老师给出数学竞赛中的一些案例题目，让学生进行分析和讨论，引导学生找出解题的关键
点和思路。
四、练习训练（20分钟）
学生在课堂上进行一些数学竞赛题型的练习训练，加深对知识的理解和掌握。
五、总结（10分钟）
总结本课的重点和难点，强调学生在平时的学习中要有计划地进行数学竞赛的复习和训练。
六、作业布置（5分钟）
布置相关的数学竞赛题目作业，让学生进行巩固和复习。
教学反思：
本节课主要是讲解了数学竞赛中常见题型和解题方法，通过案例分析和练习训练，使学生
能够更好地掌握数学竞赛中的解题技巧和方法。
在后续的教学中，可以加强不同题型的讲
解和训练，提高学生的解题能力和竞赛水平。
高中数学竞赛辅导书一
一、《金版奥塞教程》浙江大学出版社分为高一分册，高二分册，高中综合分册主编前两本刘康宁，后一本左宗明。
二、《冲刺全国高中数学联赛》主编王卫华吴伟朝浙江大学出版社
三、《高中数学奥林匹克竞赛解题方法大全》山西教育出版社主编周沛耕王中峰
请问这三本书分别怎么样？还有什么好书？（适合刚刚接触数学竞赛的学生）分享到：
2010-02-08 15:38
天天爱答题，抽奖送惊喜~
提问者采纳
一、《金版奥塞教程》浙江大学出版社分为高一分册，高二分册，高中综合分册主编前两本刘康宁，后一本左宗明。
这个比较适合刚刚开始学习奥赛的同学，而且是才学完高中知识的，可以循序渐进从高一的开始，到高中综合；
二、《冲刺全国高中数学联赛》主编王卫华吴伟朝浙江大学出版社；适合最后在考试前1-2个月用；
三、《高中数学奥林匹克竞赛解题方法大全》山西教育出版社主编周沛耕王中峰；这个是给有一定基础的同学用的，即是学了一段时间的学生试用的；
如果我说的话，一边可以用第一种书，并且选择高考题中难度较大的熟悉高中题的解题手法，熟练基本技巧，可能效果较好（这个仅是我的方法）。
数学竞赛经典书籍
数学竞赛经典书籍
数学竞赛是一项挑战性极高的活动，需要学生具备丰富的知识、灵敏的思维和深刻的洞察力。
在这个过程中，好的教材和辅导书籍可以起到事半功倍的效果，帮助学生更好地掌握竞赛所需要的知识和技巧。
以下是数学竞赛中的经典书籍，堪称是不可或缺的参考资料。
1. 《数学竞赛入门与提高》
这是一本适合初学者的入门指南，书中介绍了竞赛中常见的数学知识点，并配有大量的例题和解析，让读者更好地理解数学的本质和思维方式。
2. 《数学竞赛全套训练》
该书是作者根据多年的竞赛教学经验总结而成，覆盖了数学竞赛中的各个知识点，并附有详细的解答和解析。
读者可以通过大量的练习，巩固所学知识，提高自己的竞赛水平。
3. 《高中数学竞赛经典题解》
这本书主要针对高中生，介绍了数学竞赛中的常见难题和解题思路，对于提高学生的解题能力和思维能力有很大的帮助。
4. 《奥数经典》
这本书是一部奥数经典著作，被广泛认为是奥数竞赛的圣经。
书中涵盖了奥数竞赛的各种知识点，以及不同难度的例题和解答，适合不同层次的学生参考。
总之，数学竞赛需要大量的学习和锻炼，而好的教材和书籍可以
帮助学生更好地掌握竞赛所需的知识和技巧，提高他们在竞赛中的表现。
以上书籍都是数学竞赛中的经典著作，值得广大学生和家长参考。
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2008级高一年段数学培优教材第一 讲 二次函数一、 基础知识： 1． 二次函数的解析式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ （2）顶点式：2()()f x a x h k =-+，顶点为(,)h k（3）两根式：12()()()f x a x x x x =--2．二次函数的图像和性质（1）2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，顶点坐标是24(,)24b ac b a a --，对称轴方程为2bx a=-，开口与a 有关。
（2）单调性：当0a >时，()f x 在(,]2ba-∞-上为减函数，在[,)2ba-+∞上为增函数；0a <时相反。
（3）奇偶性：当0b =时，()f x 为偶函数；若()()f a x f a x +=-对x R∈恒成立，则x a =为()f x 的对称轴。
（4）最值：当x R ∈时，()f x 的最值为244ac b a-，当[,],[,]2bx m n m n a∈-∈时，()f x 的最值可从(),(),()2bf m f n f a -中选取；当[,],[,]2b x m n m n a∈-∉时，()f x 的最值可从(),()f m f n 中选取。
常依轴与区间[,]m n 的位置分类讨论。
3．三个二次之间的关联及根的分布理论：二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。
二、 综合应用：例1：已知二次函数()f x 的图像经过三点(1,6),(1,0),(2.5,0)A B C --，求()f x 的解析式。
例2：已知2()3f x x ax a =++-，若[2,2]x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。
例3：集合2{(,)|2}A x y y xmx ==++，{(,)|10,02}B x y x y x =-+=≤≤且，若A B ≠∅，求实数m 的取值范围。
例4：设2()(0)f x a x b x c a =++≠满足条件：（1）当x R ∈时，(4)(2)()f x f x f x x-=-≥且，（2）当21(0,2),()2x x f x +⎛⎫∈≤ ⎪⎝⎭时， （3）()f x 在R 上的最小值为0。
①求()f x 的解析式；②求最大的(1)m m >使得存在t R ∈，只要[1,]x m ∈就有()f x t x +≤。
例6：已知函数2()(0)f x axbx c a =++>，方程()f x x =的两根是12211,,x x x x a->且，又若10t x <<，试比较1()f t x 与的大小。
例7：设2()(0)f x ax bx c a =++>,方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足1210x x a<<<，（1）当1(0,)x x ∈时，证明1()x f x x <<；（2）设()f x 的图像关于直线0x x =对称，证明102x x<三、 强化训练：1． 二次函数()y f x =满足(3)(3)f x f x +=-，且()0f x =又两个实根12,x x ，则12x x +等于（ ）A . 0B 3 C. 6 D. 12 2．已知()()()2()f x x a x b a b =---<，并且,αβ是方程()0f x =的两根，则实数,,,a b αβ的大小关系可能是（ ） ....A a b B a bC a bD a bαβαβαβαβ<<<<<<<<<<<<3．已知函数223,[0,]y xx x m =-+∈上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ）.[1,).[0,2].[1,2].(,2]A B C D +∞-∞4．设函数2()(0)f x x x a a =++>，若()0,f m <则(1)f m +的值的符号是________________5．已知2()(lg 2)lg ,(1)2,()2f x xm x n f f x x=+++-=-≥且对于一切实数x 都成立，则m n +=______ 6．已知2()lg(21)f x ax x =++的值域是R ，则实数a 的取值范围是______________________7．函数20.3()log()f x x ax a =--的递增区间为(,1-∞，则实数a 的值是______________ 8．设实数,,a b c满足222870660a bc abc bc a ⎧--+=⎨++-+=⎩，则实数a ∈_____________________9．若函数2113()22f x x=-+在区间[,]a b 上的最大值为2b ，最小值为2a ，求区间[,]a b 。
10．设2()1(0)f x a x b x a =++>,方程()0f x x -=的两个根12,x x ，若1224x x <<<，设()y f x =的对称轴为0x x =，求证01x>-11．已知2(),[0,1],02af x xax x a =-+∈>，求()f x 的最小值()g a 的表达式，并求()g a 的最大值。
12．是否存在二次函数()f x ，同时满足： （1）(1)0f -=； （2）对于一切x R ∈都有21()(1)2x f x x ≤≤+？若存在，写出满足条件的函数的解析式；若不存在，说明理由。
13．设2()(0)f x a x b x c a =++≠,当[0,1]x ∈时，|()|1f x ≤，求证：适合b A≤的最小实数A 的值为8。
14．若0a <，求证：方程21110x x a x a ++=++，（1）有两个异号实根；（2）正根必小于23a-，负根必大于223a -参考答案： 例1：()2(1)( 2.5)f x x x =+- 例2：min ()()072f xg a a =≥⇒-≤≤； 其中273(4)()3(44)47(4)a a a g a a a a a ->⎧⎪⎪=---≤≤⎨⎪+<-⎪⎩例3：2(1)10,[0,2]xm x x +-+=∈，(2)012f m ∆≥⎧⎪∴≤⇒≤-⎨<⎪⎩0或m-10<-2例4：（1）由①②得：1(1)1(1)1f f ≤≤⇒=；21()(1)4f x x =+ （2）结合图像可以知道：m 为方程21(1)4x t x++=的两根，从而1,9t m =-= 例5：设s i n c o s ,[1,2]t t θθ=+∈，原不等式化为：2221(2)()8x t x at ++++≥恒成立 记222()(2)()f x x t x at =++++，则m in1()8f x ≤，22222()(2),()22a b t at a b f x -+-+≥∴≥22221(2)2230225082t at t at t at +-∴≤⇒-+≥-+≤或， 3522a t a t t t∴≤+≥+或min max 35771,();()2222t t t a a t t ≤≤∴+=+=∴≤≥例6：提示：22111111()()()()[()]f t x f t f x at bt c ax bx c a t x a t x b -=-=++---=-++1()f t x >例7：方法同例6，本题使97年全国高考理可题。
强化训练：1．C 2. A 3. C 4. 正 5. 1106.[0,1]7.2a = 8.[1,9]9．分析对称轴：（1）()201,3()2f a bb a a b f b a=⎧>≥⇒⇒==⎨=⎩， （2）()20()2f a aa b f b b =⎧<≤⇒⇒⎨=⎩无解（3）13202()2b a b f a a⎧=⎪<<⇒⎨⎪=⎩13213224()2b a b f b a⎧=⎪⇒=-=⎨⎪=⎩10．构造2(2)0()()(1)1,(4)0g g x f x x ax b x g <⎧=-=+++⎨>⎩可以推出结论。
11．同例2解法12．2111()424f x xx =++13．1111(1)(1)4444113(0)()(1)(0)24441111()()242242f a b c f a b c b f c f f f b bf a c f a c ⎧=++⎪=++⎪=⇒⇒-=+⎨⎪⎪=++=++⎩114()(1)3(0)||4|()||(1)|3|(0)|822b f f f b f f f ∴=--⇒≤++=，所以A 的最小值为8 14．略。