第八章 弹性体的应力和应变

第八章 弹性体的应力和应变

习题解答

8．1．1一钢杆的截面积为，所受轴向外力如图所示，试计算A 、B,B 、C ，C 、D

之间的应力。

、

、

。

解：在AB 段、BC 段、CD 段各假想一截面

、

、

，对整体

取为隔离体

为拉应力

取为隔离体

为压应力

取为隔

离体

为拉应力

8．1．2利用直径为0.02m的钢杆CD固定刚性杆AB。若CD

杆内的应力不得超过

，问至多悬挂多大重量（不计杆自重）。

解：设B处悬挂W重的物体时AB杆刚好能承受，由于CD杆静止，故对过A点的垂直轴力矩代数和为零。

由

得

8．1．3图中上半段横截面等于且杨氏模量为的铝制杆，下半段横

截面等于且杨氏模量为

的钢杆，铝杆内允许最大应力为

，钢杆内允许最大应力为。不计杆的自重，求杆下端所能承受的最大负荷以及在此负荷下杆的总伸长量。

解：

钢杆能承受的最大拉力：

铝杆能承受的最大拉力：

杆下端能承担的最大负荷为。

由胡克定律：

8．1．4电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂，电梯质量为500kg。最大负载极限5.5KN。每根绳索都能独立承担总负载，且其应力仅为允许应力的70%，若电梯向上的最大加速度为g/5，求钢索的直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为

。

解：电梯与负载总质量：m=500+550=1050(kg)

当电梯向上的加速度上升时，由牛顿第二定律：

因为：，

所以钢索拉力为：

该力与绳索内力相等即：

8．1．5（1）矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为，此材料的柏松系数为。求证杆体积的相对改变为。表示原体积，V表示变形后的体积。

（2）上式是否适用于压缩？

（3）低碳钢杨氏模量为，柏松系数受到的应力为，求杆件体积的相对改变量。

（1

）、解：设杆原长，经过拉伸后变为

两者之间关系分别为：

由纵向应变公式：，

横向相对应变公式：

泊松系数公式：

含有两个或三个项，为高阶无穷小量，可省略。

（2）、压缩

证明同上，同样适用。

（3）、解：，，，

代入（1）的证明结果：体积相对变化

8．1．6（1）杆件受轴向拉力F，其横截面积为S，材料的重度（单位体积物质的重量）为，证明考虑材料的重量时横截面内的应力为：

（2）杆内应力如上式，证明杆的总伸长量：

（1）、解：建立如图所示坐标，任意一点x 处做一微分截面，以斜面下方物体为隔离体： 因为处于平衡状态

所以，为拉应力。

（2）、解：在截面x 处，取dx 杆长，在应力作用

下伸长

，其应变为

，

由胡克定律：的

并由（1

）的结论：，

设总伸长量为：

8．2．1在剪切材料时，由于刀口不快，没有切断，该钢板发生切变，钢板的横截面积为

。两刀口间的垂直距离为

。当剪切力为

时，求

（1）钢板中的剪切应力， （2）钢板中的切应变，

（3）与刀口相齐的两个截面所发生的相对滑移。已知钢的剪切模量

。

（1

）、解：切应力：

（2

）、解：由剪切形变的胡克定律：，

（3

）、解：由相对滑移：，

8．3．1一铝管直径为4cm，壁厚1mm,长10m，一端固定，另一端作用一力矩50N.m,求铝管的扭转角。对同样尺寸的钢管再计算一遍。已知铝管的剪切模量,钢管的剪切模量为。

解：解：依题意铝管的横截面可看作是半径为k=0.02m宽度为圆环，因很薄，圆环上的剪切应力可认为是常量，这些力对中心轴线的力矩为，

剪切应力产生的总力偶矩为：

等于外力矩M其中，：

所以

（1）、对铝管：

（2）、对钢管：

8．3．2矩形横截面长宽比为2：3的梁，在力偶矩的作用下发生钝弯曲，各以横截面的场和宽为梁的高度，求同样力矩作用下曲率半径之比。

解：据公式：

由题意：,, ,

故：

8．3．3某梁发生纯弯曲，梁长度为L,宽度为b,厚度为h,弯曲后曲率半径为R,材料杨氏模量为Y，求总形变势能。

解：取对应角一段横梁中性层半径，距中性层一层的伸长为：

，应变

长宽厚

一层势能为：该梁形变势能为：