第八章 弹性体的应力和应变
最新力学漆安慎(第二版)答案08节
力学（第二版）漆安慎习题解答第八章弹性体的应力和应变第八章一、基本知识小结1•弹性体力学研究力与形变的规律；弹性体的基本形变有拉伸压缩形变和剪切形变，弯曲形变是由程度不同的拉伸压缩形变组成，扭转形变是由程度不同的剪切形变组成。
2•应力就是单位面积上作用的内力；如果内力与面元垂直就叫正应力，用c表示; 如果内力方向在面元内，就叫切应力，用T表示。
3•应变就是相对形变；在拉压形变中的应变就是线应变，如果10表示原长，A l表示绝对伸长或绝对压缩，则线应变c =A l/l o;在剪切形变中的应变就是切应变，用切变角书表示。
4.力与形变的基本规律是胡克定律，即应力与应变成正比。
在拉压形变中表示为c = Y c Y是由材料性质决定的杨氏模量，在剪切形变中表示为T = N书，N 是由材料性质决定的切变模量。
5.发生形变的弹性体具有形变势能：拉压形变的形变势能密度E p0弓Y 2，剪切形变的形变势能密度E p01N 26•梁弯曲的曲率与力偶矩的关系12Ybh37•杆的扭转角与力偶矩的关系NR421、思考题解答8.1作用于物体内某无穷小面元上的应力是面元两侧的相互作用力，其单位为N.这句话对不对？答：不对，应力为作用于该无穷小面元两侧单位面积上的相互作用内力，其单位为或。
其面元法向分量称正应力，切向分量称切应力。
8.2（8.1.1）式关于应力的定义当弹性体作加速运动时是否仍然适用？答：适用，（8.1.1）式中的是面元两侧的相互作用内力，它与作用于物体上的外力和物体的运动状态有关。
8.3牛顿第二定律指出：物体所受合力不为零，则必有加速度。
是否合力不为零，必产生变形，你能否举出一个合力不为零但无形变的例子？答：不一定，物体是否发生形变应看物体内应力是否为零，应力为零，则不形变。
自由落体运动，物体受重力作用，但物体内部应力为零，则不发生形变。
8. 4胡克定律是否可叙述为：当物体受到外力而发生拉伸（压缩）形变时，外力与物体的伸长（压缩）成正比，对于一定的材料，比例系数是常数，称作该材料的杨氏模量？答：不对。
弹性力学课后习题及答案
弹性力学课后习题及答案弹性力学课后习题及答案弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在受力作用下的形变和应力分布规律。
在学习弹性力学的过程中，课后习题是巩固所学知识、提高解题能力的重要环节。
本文将为大家提供一些常见的弹性力学课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、弹性体的应力与应变1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下产生了长度为ΔL的形变。
求该弹性体的应变。
答案：根据胡克定律，应变ε等于形变ΔL与原始长度L的比值，即ε = ΔL / L。
2. 一个弹性体的应变为ε，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的应力。
答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
二、弹性体的应力分布1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力沿着截面的分布是否均匀？答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
由此可知，应力与截面积成反比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力越大。
因此，弹性体受力作用下的应力分布是不均匀的。
2. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力是否与截面的形状有关？答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
由此可知，应力与截面积成正比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力越大。
因此，弹性体受力作用下的应力与截面的形状有关。
三、弹性体的弹性模量1. 一个弹性体的应力为σ，应变为ε，求该弹性体的弹性模量E。
答案：根据胡克定律，应力σ等于弹性模量E与应变ε的乘积，即σ = E * ε。
由此可得，弹性模量E等于应力σ与应变ε的比值，即E = σ / ε。
2. 一个弹性体的弹性模量为E，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的形变。
答案：根据胡克定律，形变ΔL等于弹性模量E与受力F的乘积再除以截面积A，即ΔL = (E * F) / A。
第八章弹性体的应力和应变-盐城师范学院
第八章弹性体的应力和应变学时安排：3课时教学目的与要求：1、掌握应力和应变的相互关系、拉伸形变的胡克定律及其适用范围；2、了解杨氏模量、泊松比、剪切模量、固体的弹性形变势能、弹性形变势能密度等概念；3、了解梁的弯曲、杆的扭转的基本知识和结论。
教学重点：弹性体的拉伸和压缩。
教学难点：应力、杨氏模量、剪切模量、泊松比等概念的物理意义。
习题：8.1.2 8.1.3 8.1.6Chapter8 弹性体的应力和应变形变的分类：塑性形变：外力撤消后，形变不完全消失；弹性形变：外力撤消后，形变完全消失，此类物体为弹性体——理想模型；本章的研究范围：各向同性的均匀弹性体的弹性形变，均匀弹性体：体内各点的弹性相同。
各向同性的弹性体：体内各点的弹性与方向无关。
弹性形变的种类：伸长、缩短、切变、扭转、弯曲……； 弹性形变的基本种类：长应变、切应变。
§8—1 弹性体的拉伸和压缩一、外力、内力与应力1．外力：对于给定物体，外界（其它物体）对它的作用力2．内力：物体内部各部分之间的相互作用力。
内力的求法：外力→物体形变→内力，为了研究内力，用一假想的平面S 将物体分为两个部分：则S 面的两侧的相互作用力——内力F ' 、F求内力的方法：隔离体法，S 面的两侧分别为一个隔离体。
物体处于平衡时，列出左侧（或右侧）隔离体的平衡方程式，由外力求内力。
S 面上受力不均匀时，在S 面上任一点（O 点）处取面元S ∆，0n 自受力一侧指向施力物一侧，是S ∆的外法向，S ∆确定了即可确定S ∆的受力（内力）。
3．应力：描述物体内部各点处内力强度的物理量（1）定义：①平均应力：F p S ∆=∆ ②应力：0lim S F p S∆→∆=∆ 物理意义：作用于物体某点处某有向面元的平均应力，当面元0S ∆→时的极限——该无限小有向面元上的应力。
③正应力：p n σ=⋅ σ正应力为p 在无穷小有向面元的外法向上的投影，σ取“+”——有向面元的某一侧受到另一侧的拉力σ取“－”——有向面元的某一侧受到另一侧的压力 ④剪切应力：τ，p 在无穷小有向面元的外法线垂直方向上的投影。
弹性的应力和应变
E是弹性模量(杨氏模量),是描写材料本身弹性的物理量.
A
B
F
B
D 断裂点 弹性极限
l
C
O
P P 是塑性应变.
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O
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第八章 弹性的应力和应变
表8.3 密质骨的弹性模量/GPa
骨 股骨 胫骨 肱骨 桡骨 股骨 胫骨 马 25.5 23.8 17.8 22.8 牛 猪 人 17.6 18.4 17.5 18.9
(一)剪切形变· 切应力与切应变 (二)剪切形变的胡克定律
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第八章 弹性的应力和应变
§8.2 弹性体的剪切形变
(一)剪切形变· 切应力与切应变
1.切应力 剪切形变——物体受到力偶作用使物体两个平行 截面间发生相对平行移动. 物体受到力偶 F F 发生剪切变形 切应力
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第八章 弹性的应力和应变
§8.1 弹性体的拉伸和压缩
(一)外力· 内力与应力
外力 F F F F
F' F' F
B
F'
A
F
F
B
en
F
内力 F
A
F F F
F
F
F F
第八章 弹性的应力和应变
第八章 弹性体的应力和应变
§8.1 弹性体的拉伸和压缩
(一)外力· 内力与应力 (二)直杆的线应变
(三)胡克定律
(四)拉伸和压缩的形变势能
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第八章 弹性的应力和应变
弹性体力学中的应变与应力关系
弹性体力学中的应变与应力关系弹性体力学是研究物体在力的作用下变形和恢复原状的力学分支学科，研究的对象主要是固体物质。
在弹性体力学中，应变与应力是两个重要的概念，它们描述了物体的变形和受力状态。
应变和应力之间的关系在弹性体力学中具有重要意义，它们可以通过材料力学模型来描述。
应变是物体在受力作用下发生形变的程度。
一般来说，我们可以将应变分为线性应变和非线性应变。
线性应变是指物体的形变与受力成正比。
例如，当我们拉伸一根弹簧时，弹簧的长度会发生变化，而这种形变与拉力之间是线性相关的。
用数学的语言来表达，线性应变可以用应变量ε表示，其与外力F之间存在着关系ε=ΔL/L，其中ΔL为物体长度的增量，L为物体的原始长度。
非线性应变则是指物体的形变与受力不成比例。
在高强度材料的情况下，非线性应变是不可忽视的。
非线性应变与材料的本构关系有关，常用的本构关系模型包括背应变率本构关系、黏弹性本构关系等。
这些模型可以更准确地描述材料的力学行为，使得我们能够更准确地计算应变。
与应变相对应的是应力。
应力可以看作是物体单位面积的受力情况。
一般来说，应力可以分为正应力和剪应力。
正应力是指垂直于物体内部某一面的力的作用情况。
例如，当我们用一把剪刀剪断一根木棍时，剪刀的受力情况可以被描述为正应力。
剪应力则是指平行于物体内部某一面的力的作用情况。
例如，当我们剪断一个绳索时，绳索的受力情况可以被描述为剪应力。
应变与应力之间的关系又可以通过应力-应变曲线来描述。
应力-应变曲线是弹性体力学研究中的一个重要工具，它可以体现材料的力学性质。
一般来说，应力-应变曲线可以分为弹性阶段、屈服阶段、塑性阶段和断裂阶段。
在弹性阶段，应力与应变成正比。
这个阶段的曲线是一个直线，斜率即为弹性模量，用来描述材料的刚度。
当应力超过一定值时，物体进入屈服阶段。
在屈服阶段，物体的应变不再与应力成正比，而是呈现出非线性关系。
此时物体会发生塑性变形，形成剩余应变。
当应力进一步增加时，物体可能发生断裂。
弹性体的应力与应变
弹性体的应力与应变弹性体是一种在受力作用下可以发生形变，但当受力停止时，能够恢复原来形状和大小的材料。
了解弹性体的应力与应变关系对于工程设计和材料科学具有重要意义。
在本文中，我们将探讨弹性体的应力与应变之间的关系，分析材料的弹性性质以及应力与应变的计算方法。
1. 应力的概念与计算方法应力是指单位面积上作用的力，合理地计算应力是分析弹性体性质的关键。
在计算应力时，常用到两种基本的力学概念：张力和压力。
张力是指沿一维方向的受力情况，通常用F表示，单位为牛顿。
而压力是指在一个平面上均匀分布的力，用P表示，单位是帕斯卡。
应力的计算公式如下：应力 = 受力 / 横截面积2. 应变的概念与计算方法应变是指材料在受力作用下发生的形变，一般用ΔL / L表示。
其中，ΔL是材料长度的变化量，L是材料的初始长度。
应变可以分为线性弹性应变和非线性应变。
线性弹性应变是指材料在受力作用下，形变与受力成正比的状态。
计算线性弹性应变的方法如下：应变 = 形变 / 初始长度而非线性应变则需要更复杂的计算方法来进行分析，涉及到材料的本构关系等。
3. 应力与应变的关系应力与应变之间存在一定的关系，即应力-应变曲线。
弹性体的应力-应变曲线通常可以分为三个阶段：弹性阶段、屈服点和塑性阶段。
在弹性阶段，材料受力时会产生应变，但当受力停止时，材料会完全恢复到原来的状态。
这是因为材料内部的原子或分子只发生了相对位移，而没有发生永久性的结构变化。
当应力超过材料的屈服点时，就进入了屈服点阶段。
在这个阶段中，材料开始发生塑性变形，不再能够完全恢复到原来的状态，具有一定的永久性形变。
塑性阶段是材料的应力与应变不再成正比，继续增加应力会导致更大的应变。
这是由于材料的内部结构发生了永久性的改变，无法恢复原状。
4. 弹性模量和刚度弹性模量是描述材料抵抗形变的能力，可以用来评估材料的刚度。
弹性模量越大，表示材料越难发生形变，具有较高的刚度。
常用的弹性模量有三种：杨氏模量、剪切模量和体积模量。
弹性体的应力和应变
弹性体的应力和应变应力和应变是弹性体力学中重要的概念。
弹性体是指在受力作用下能够发生形变，但在去除力后能够恢复原状的物质。
应力是表示物体内部各点在力作用下的应对程度的物理量，而应变则是表示物体形变程度的物理量。
在本文中，我们将探讨弹性体的应力和应变之间的关系，以及弹性体在不同应力条件下的行为。
首先，我们来介绍应力的概念。
应力是由于外部力作用于物体而引起的内部应力，即单位面积上作用的力。
通常情况下，应力可以分为三种类型：拉应力、压应力和剪应力。
拉应力是指沿物体的长度方向作用的力，压应力则是指作用于物体表面的垂直方向力，而剪应力则是作用于物体表面的平行于其平面的力。
这些应力可以通过数学计算来求得。
对于拉伸或压缩情况下的应力，一般可以通过应力=外力/截面积来计算。
而对于剪切情况下的应力，则可以通过应力=外力/接触面积来计算。
接着，我们来谈谈应变的概念。
应变是指物体由于受到外力作用而产生的形变程度。
同样，应变也可以分为三种类型：线性应变、体积应变和剪切应变。
线性应变是指物体沿作用力方向的长度变化与未受力前的原始长度之比，体积应变则是物体单位体积的变化量与未受力前的原始体积之比，剪切应变是物体平行于受力平面上的平面与未受力前的原始平面之间的夹角变化。
这些应变可以通过数学计算来求得。
通常情况下，线性应变可以通过应变=位移/原始长度来计算，体积应变可以通过应变=体积变化/原始体积来计算，而剪切应变可以通过应变=变形角度/90度来计算。
在了解了应力和应变的概念后，我们可以进一步讨论弹性体在不同应力条件下的行为。
根据背景和材料性质的不同，弹性体在应力作用下会出现不同的应变情况。
当应力作用于弹性体时，弹性体会发生形变，但在去除应力后，弹性体又会恢复到原来的形状。
这种恢复力就是弹性体的回弹力，是由于弹性体内部的分子结构和键的特性所决定的。
此外，弹性体还有一个重要的性质，即背应力。
背应力是指在弹性体内部的不同位置上，由于力的传递产生的相对应力差。
弹性体与变形弹性体的应力与应变关系
弹性体与变形弹性体的应力与应变关系弹性体是指在外部施加力后能够发生形变，但在去除力后能够恢复原状的物质。
而变形弹性体则是指在外力作用下形变后不能完全恢复原状的物质。
弹性体与变形弹性体在受力时会出现应力与应变的关系，这种关系是研究材料力学性能的重要内容。
一、弹性体的应力与应变关系弹性体在外力作用下，发生形变。
应力是单位面积上的力，定义为单位面积上的力与面积的比值，通常用σ表示，单位为帕斯卡（Pa）。
应变是物体的相对形变，定义为单位长度的变化量与被测长度的比值，通常用ε表示，无单位。
根据弹性体的应力与应变关系，我们可以得到胡克定律，即应力与应变成正比关系。
弹性体的胡克定律可表示为：σ = E * ε其中，E表示弹性体的弹性模量，是反映弹性体变形能力大小的重要参数，单位为帕斯卡（Pa）。
弹性模量越大，代表弹性体越难形变，具有较好的弹性性能。
根据胡克定律，当外力施加于弹性体上时，应力与应变成正比，且两者之间的关系是线性的。
即在弹性极限之内，如果应力增大，应变也会相应增大；如果应力减小，应变也会相应减小。
而且，当外力去除后，弹性体会恢复到原来的形状和大小，应变会回到零。
二、变形弹性体的应力与应变关系变形弹性体与弹性体不同，其在外力作用下形变后不能完全恢复原状。
因此，其应力与应变关系也存在一定的差异。
变形弹性体的应力与应变关系可以用应力-应变曲线来描述。
在应力-应变曲线中，随着应变的逐渐增大，物体的应力并不是线性变化的，而是呈现出一定的非线性特性。
应力-应变曲线通常可以分为弹性阶段、屈服阶段、塑性阶段和断裂阶段。
在弹性阶段，应力与应变基本保持线性关系，符合胡克定律；而在屈服阶段，应力增加的同时，应变开始出现非比例增长。
当应力达到一定程度后，材料会发生塑性变形，进入塑性阶段；在断裂阶段，材料发生破裂。
变形弹性体的应力与应变关系还可以通过一些指标进行描述，如屈服强度、断裂强度、延伸率等。
这些指标是衡量材料变形能力和抗破坏能力的重要参数。
弹性体的应力和应变
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数学弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、 数学弹性力学的典型问题 主要有 一般性理论 、 柱体扭转和弯曲 、 主要有一般性理论 平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面 平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。 等方面。 在近代，经典的弹性理论得到了新的发展。例如， 在近代 ， 经典的弹性理论得到了新的发展 。 例如 ， 把切应力的成 对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续，各 对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续， 应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律， 应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律，除 机械运动本身外，还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为本 机械运动本身外 ， 还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为 本 构方程。对于弹性体的某一点的本构方程， 构方程 。 对于弹性体的某一点的本构方程 ， 除考虑该点本身外还要考 虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。 虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。 但是，由于课程所限， 但是 ， 由于课程所限 ， 我们在以下几节里仅对弹性体力学作简单 的介绍，为振动部分和波动部分作准备。 的介绍，为振动部分和波动部分作准备。
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§8.1 弹性体力学－－弹性体的应力和应变简介 弹性体力学－－ －－弹性体的应力和应变简介
弹性体有四种形变 拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实， 弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实，最基本的形 四种形变： 变只有两种 拉伸压缩和剪切形变； 两种： 变只有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变 的组成。 的组成。
Fn ∆l =Y S l0
其中：Y 称为杨氏模量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。 杨氏模量， 其中： 称为杨氏模量 反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。
《力学》第八章弹性体应力和应变ppt课件
＝ y(x x) y(x)
x
当 x 0 时：
＝ lim y(x x) y(x) y
x0
x
x
因此，
＝G y
x
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第八章 弹性体的应力和应变 5、剪切形变的弹性势能密度（单位体积的弹性势能）：
E
0 p
1 G
2
2
（5）
注意：切变只能在固体中产生，流体中不会产生。所以流体中只 能传播纵波，而固体中既能传播纵波，也能传播横波。
弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用 下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物 体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除 去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
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第八章 弹性体的应力和应变
人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代 弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹 性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开 始的。
由于课程所限，我们在本章仅对弹性体力学作简单的 介绍，为振动部分和波动部分作准备。
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第八章 弹性体的应力和应变
§8.1 弹性体的拉伸和压缩形变
弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实，最基本的形 变只有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变 的组成。
1. 正压力（拉伸压缩应力）
＝ Fn
S
（1）
其中，F沿作用力截面的法线方向。
例：如图示，一般取n为外法线方向，则
0,也可能是 0.
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第八章 弹性体的应力和应变
2. 线应变（相对伸长或压缩）
弹性力学中的应力和应变
弹性力学中的应力和应变弹性力学是物理学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下的变形和应力分布规律。
在弹性力学中，应力和应变是两个关键的概念。
本文将详细介绍弹性力学中的应力和应变，并探讨它们之间的关系和物体在外力作用下的行为。
一、应力的概念与分类在弹性力学中，应力是描述物体内部受力状况的物理量。
它的定义是单位面积上的力，即单位面积上所受的力。
在材料力学中，通常将力的作用面积取无限小，这样就可以得到面积趋于无穷小的情况下的应力。
根据作用方向的不同，应力可以分为三种类型：正应力、剪应力和体应力。
1. 正应力：即垂直于物体截面的力在该截面上单位面积的作用力。
正应力可以分为正拉应力和正压应力，正拉应力是指物体上的拉力，正压应力是指物体上的压力。
2. 剪应力：即平行于物体截面的力在该截面上单位面积的作用力。
剪应力是指物体上的切力，它使得物体相对于截面沿切应变方向发生形变。
3. 体应力：即物体内部体积元素上的力在该体积元素上单位体积的作用力。
体应力是指物体中各个点处的压力或拉力。
二、应变的概念与分类应变是描述物体变形程度的物理量，它是物体的形状改变相对于初始形状的相对变化量。
应变也可以分为三种类型：线性应变、剪应变和体应变。
1. 线性应变：即物体在受力下沿作用力方向产生的长度变化与初始长度的比值。
线性应变通常用拉伸应变表示。
2. 剪应变：即物体在受剪力作用下发生的相对位移与物体初始尺寸的比值。
3. 体应变：即物体受力时体积的相对变化量与初始体积的比值。
三、应力和应变的关系应力和应变之间存在着一定的关系，它们之间通过杨氏模量来联系。
杨氏模量是描述物体在拉伸应力作用下的应变程度的物理量。
弹性体的材料有两个重要的杨氏模量：弹性模量（或称杨氏模量）和剪切模量。
1. 弹性模量（E）：它描述的是物体在正应力作用下的正应变情况。
根据材料的不同，弹性模量也不同。
2. 剪切模量（G）：它描述的是物体在剪应力作用下的剪应变情况。
弹性力学弹性体的应力与应变关系
弹性力学弹性体的应力与应变关系弹性力学是一门研究固体材料在外力作用下的变形和应力分布规律的学科。
其中，弹性体是一类能够在外力作用下发生形变，但恢复力可以将其恢复到原始状态的物质。
弹性体的应力与应变关系是弹性力学中的基本概念和重要理论。
一、什么是应力与应变在力学中，应力是物体受来自外界作用的力引起的单位面积内的力的大小。
它是描述物体受力情况的物理量。
应力可分为正应力和剪应力两种，正应力作用于物体的表面上的垂直方向，而剪应力则作用于物体的表面上的切向方向。
应变是描述材料形变程度的物理量，是物体在受力下发生变形时单位长度的变化。
应变也可分为正应变和剪应变两种，正应变是物体长度在受力作用下产生的相对变化量，而剪应变则是物体形状的变化量与原始尺寸之比。
二、背景知识弹性体的应力与应变关系可以通过背景知识来理解。
弹性体的主要特性是能够在外力的作用下发生形变，但当外力消失时，它能够恢复到原来的形状和尺寸。
这是因为弹性体的分子或原子之间存在着弹性力，当外力作用结束时，弹性力将趋于平衡，使得物体恢复到原来的状态。
三、胡克定律胡克定律是描述弹性体应力与应变关系的基本定律。
根据胡克定律，当外力作用于弹性体时，弹性体内部的应力与应变成正比。
具体数学描述如下：σ = Eε其中，σ代表应力，单位为帕斯卡（Pa），E代表弹性模量，单位为帕斯卡（Pa），ε代表应变，为无单位。
胡克定律适用于弹性体在线性弹性范围内，即应力与应变成正比，并且比例系数恒定。
此时的应力-应变关系为线性关系，称为胡克定律。
超出线性弹性范围后，材料会发生塑性变形。
四、弹性模量弹性模量是表征弹性体抵抗形变的能力大小的物理量。
它是胡克定律中比例系数的倒数，可以用来度量弹性体的刚度。
常见的弹性模量有：1. 杨氏模量（Young's Modulus）：用E表示，描述的是物体在拉伸或压缩时的应变与应力之间的关系。
2. 剪切模量（Shear Modulus）：用G表示，描述的是物体在受剪时的应变与应力之间的关系。
普通物理学教程力学第八章 弹性体的应力和应变课后答案
第八章弹性体的应力和应变习题解答8.1.1 一钢杆的截面积为5.0×10-4m 2，所受轴向外力如图所示，试计算A 、B ，B 、C 和C 、D 之间的应力。
解： E G HF 1 F 4根据杆的受力情况，可知杆处于平衡状态。
分别在AB 之间E 处，BC 之间G 处，CD 之间H 处作垂直杆的假想截面S 。
隔离AE 段，由平衡条件，E 处S 面上的内力F=F 1,∴A 、B 之间的应力隔离AG 段，由平衡条件，G 处S 面上的内力F=F 2-F 1,∴B 、C 之间压应力隔离HD 段，由平衡条件，H 处S 面上的内力F=F 4,∴C 、D 之间的应力8.1.2 利用直径为0.02m 的钢杆CD 固定刚性杆AB.若CD 杆内的应力不得超过σmax =16×107P a .问B 处最多能悬挂多大重量？解：隔离AB ，以A 点为轴，由力矩平衡条件，有隔离CD ，杆CD 应力σ=T/S,∴T=σS=σπ(D/2)2.杆能承受的最大拉力47241max 4max 1002.5101602.014.32⨯=⨯⨯⨯⨯==σπDT N B 处能悬挂的最大重量 N T W 4m a x m a x 1096.139.0⨯==8.1.3 图中上半段为横截面等于4.0×10-4m 2。
且杨氏模量为6.9×1010P a 的铝制杆，下半段为横截面等于1.0×10-4m 2且杨氏模量为19.6×1010P a 的钢杆，又知铝杆内允许最大应力为7.8×107P a ,钢杆内允许最大应力为13.7×107P a .不计杆的自重，求杆下端所能承担的最大负荷以及在此负荷下杆的总伸长量。
解：设铝杆与钢杆的长度、横截面、杨氏模量、应力分别为：l 1、S 1、Y 1、σ1，l 2、S 2、Y 2、σ2., 显然，σ1=F/S 1，σ2=F/S 2.设铝杆和钢杆所能承担的最大负荷分别为F 1max ，F 2max ，则整个杆的最大负荷应取钢杆的最大负荷：N F 4max 1037.1⨯=根据拉伸形变的胡克定律，对于铝杆 111maxl l S F Y ∆=，所以，111max 1S Y l F l =∆；对于钢杆，同样有 222max 2S Y l F l =∆. 整个杆的伸长量是：8.1.4 电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂。
力学 第八章 应力和应变
τ = Gψ
G为切变模量,是由材料本身决定. 为切变模量,是由材料本身决定. 为切变模量 材料的杨氏模量,切变模量和泊松系数有如下关系: 材料的杨氏模量,切变模量和泊松系数有如下关系:
E G= 2(1 + )
三,剪切形变的势能密度: 剪切形变的势能密度:
0 E p = 1 Gψ 2 2
11
§8.3 弯曲和扭转
一,梁的弯曲
梁仅在一对等大反向力偶矩作用下的弯曲称为纯弯曲. 梁仅在一对等大反向力偶矩作用下的弯曲称为纯弯曲.
1 12M K= = 3 R Ebh
M ——力偶矩 E ——材料的弹性模量 b ——梁的宽度 h ——梁的高度
12
二, 杆的扭转
M =
π GR 4
2l
= c
c——圆柱体的扭转系数 R ——圆柱体半径 lG ——圆柱体长度 G ——切变模量
2
§8.1 弹性体的拉伸和压缩
一,外力.内力与应力 外力.
1,外力:外界对弹性体的作用力. ,外力:外界对弹性体的作用力. 2,内力:弹性体内部各部分间的相互作用力 . ,内力:
为研究内力, 为研究内力,必须在弹性体内部取一假想截面 S ,它把弹 性体分为两部分, 性体分为两部分,这两部分间的相互作用力叫截面 S 上的 内力, 内力,内力总是成对出现的
9
b
切应力互等定律证明: 切应力互等定律证明:
S F" F F"'
b a F'
c
v v v v v v M ( F , F ′ ) = M ( F ′′, F ′′′ )
∴ Fb = F " a
∴ (τ ac ) b = (τ ' bc ) a τ = τ '
弹性体的应力和应变
第八章 弹性体的应力和应变迄今为止，我们总是把研究对象简化为“质点”或“刚体”这样的理想模型。
我们都知道刚体是在任何情况下形状大小都不发生变化的力学对象，用质点系的观点来说，就是内部质点之间没有相对运动。
但是，任何物体在力的作用下都或多或少的发生形变，而且，有些物理现象，从本质上来讲，就是形变引起的，如声音在弹性媒质中的传播和媒质内的形变有关。
因此，讨论物体在力作用下形变的规律，也是力学不可缺少的内容。
本章及后面两章将讨论连续媒质力学：连续媒质的共同特点是其内部质点间可以有相对运动。
宏观地看，连续媒质可以有形变或非均匀流动。
弹性体：若物体所受外力撤消后，在外力作用下所发生的形状和体积的变化能够消失的物体，相应的形变叫弹性形变。
显然，弹性体也是一种理想模型。
即不存在绝对弹性体，只有近似的弹性体，例如，房屋的地基，水库的堤坝等在形变极小时，均可视为弹性体。
若弹性体内各点弹性相同，则叫作均匀弹性体，若每点的弹性不仅相同，而且与方向无关，则叫均匀、各向同性弹性体。
处理连续媒质的办法不是把它们看成一个个离散的质点，而是取“质元”，即有质量的体积元。
在连续媒质力学中，力也不再看作是作用在一个个离散的质元上，而看成是作用在“质元”的表面上，因而需要引进作用在单位面积上的力，即“应力”的概念，为止，我们先来讨论弹性体的拉伸和压缩。
§8.1 弹性体的拉伸和压缩在上一章中采用的是刚体模型，要把固体的一切形变都忽略了，在本章中我们将讨论固体的弹性，即讨论固体在外力作用的形变规律。
（一） 外力、内力和应力我们先来研究横截面线度远小于其长度的直杆的拉伸和压缩形变。
如图所示，直杆的典型受力情况为两端受到沿轴线的力且处于平衡。
称一对拉力或压力F和连续媒质F '' 为外力，一般情况下 |F ' |>>mg(忽略不计)|F '' |>> mg内力：假想截面AB 两侧相互施以向上（下）的拉（压）力：F 和–F 于忽略重力，且处于平衡，故而 |F | = |F ' | = |F ''| （正）应力：s nF =σ其中: s — 横截面积n F — 内力在横截面处法线(即nˆ方向)上的投影 拉伸应力 > 0 F 与nˆ同向 σ压缩应力 < 0 F 与nˆ反向σσ的单位: 2m N 称为 “帕斯卡” (国际单位制)σ的量纲：21--MT L(L — 长度 M — 质量 T — 时间)〔例题1〕P333求壁内沿圆周切向的应力(忽略容器自重和大气压力)解：过圆心沿纵向取假想截面,其长度取为一个单位,将一半圆柱形容器和气体作为研究对象,受力情况如下图:按平衡条件:022=+⋅-d R p σ(R p 2⋅-下方气体对上方气体的力 d σ2下方器壁对上方气壁的力)则有: ⇒=d Pp σ器壁内沿圆周的拉伸压力,由此可见： 圆柱形容器外部受压而内部压强较小时,刚沿圆周切向有压缩压力。
工程力学基础第8章 应力、应变和应力应变关系
第8章 应力、应变和应力-应变关系
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
一点处的应力状态 平面应力状态分析 应变状态分析 广义胡克定律 材料失效和失效判据
第一节 一点处的应力状态
一、引言 在本章中，将应用微元体法，从力、变形、力与变形的关系三 方面研究变形固体内一点处的性态。本章的内容覆盖了固体力 学的三大理论基础：应力理论、应变理论和本构关系(主要是对 理想弹性体)。在此基础上建立复杂受载条件下，材料的失效判 据和构件的强度设计准则，从而为解决杆件在复杂受载条件下 的强度、刚度和稳定性问题创造条件。
（1）一点处的应变状态由六个应变分量εx、εy、εz、γxy、γyz、 γzx完全决定，即由它们可以确定该点处任一方向的线应变和任
第三节 应变状态分析
（2）在任一点处都存在三个互相垂直的方向，它们在变形过 程中保持垂直，即切应变为零，这三个方向称为应变主方向， 沿应变主方向的线应变称为主应变，记为ε1≥ε2≥ε3。主应变ε1 和ε3 试验证明，对于各向同性的线弹性材料的小变形问题，应变主 方向与应力主方向重合，即一对切应力为零的正交截面在变形 过程中保持垂直。应变和应力由材料的力学性能相联系。在工 程中除接触应力等少数情形外，直接测量应力是很困难的，而 变形则比较容易测量。通常是从测得的应变来确定应力。应变 分析的实际意义在于：通过测得的应变确定主方向和主应变，
第一节 一点处的应力状态 三、主应力和主方向 如果微元体某对截面上的切应力等于零，该对截面就称为主平 面，主平面的法向称为主方向，主平面上的正应力称为主应力。 按不等于零的主应力的个数分类，可以把一点处的应力状态分
（1）单向(单轴)应力状态，也称为简单应力状态，只有一个主 应力不为零，如受轴向拉压的直杆和纯弯曲直梁中各点处的应
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第八章 弹性体的应力和应变
习题解答
8．1．1一钢杆的截面积为，所受轴向外力如图所示，试计算A 、B,B 、C ，C 、D
之间的应力。
、
、。
解：在AB 段、BC 段、CD 段各假想一截面
、
、
，对整体
取为隔离体
为拉应力
取为隔离体
为压应力
取为隔
离体
为拉应力
8．1．2利用直径为0.02m的钢杆CD固定刚性杆AB。
若CD
杆内的应力不得超过
，问至多悬挂多大重量（不计杆自重）。
解：设B处悬挂W重的物体时AB杆刚好能承受，由于CD杆静止，故对过A点的垂直轴力矩代数和为零。
由
得
8．1．3图中上半段横截面等于且杨氏模量为的铝制杆，下半段横
截面等于且杨氏模量为
的钢杆，铝杆内允许最大应力为
，钢杆内允许最大应力为。
不计杆的自重，求杆下端所能承受的最大负荷以及在此负荷下杆的总伸长量。
解：
钢杆能承受的最大拉力：
铝杆能承受的最大拉力：
杆下端能承担的最大负荷为。
由胡克定律：
8．1．4电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂，电梯质量为500kg。
最大负载极限5.5KN。
每根绳索都能独立承担总负载，且其应力仅为允许应力的70%，若电梯向上的最大加速度为g/5，求钢索的直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为。
解：电梯与负载总质量：m=500+550=1050(kg)
当电梯向上的加速度上升时，由牛顿第二定律：
因为：，
所以钢索拉力为：
该力与绳索内力相等即：
8．1．5（1）矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为，此材料的柏松系数为。
求证杆体积的相对改变为。
表示原体积，V表示变形后的体积。
（2）上式是否适用于压缩？
（3）低碳钢杨氏模量为，柏松系数受到的应力为，求杆件体积的相对改变量。
（1
）、解：设杆原长，经过拉伸后变为
两者之间关系分别为：
由纵向应变公式：，
横向相对应变公式：
泊松系数公式：
含有两个或三个项，为高阶无穷小量，可省略。
（2）、压缩
证明同上，同样适用。
（3）、解：，，，
代入（1）的证明结果：体积相对变化
8．1．6（1）杆件受轴向拉力F，其横截面积为S，材料的重度（单位体积物质的重量）为，证明考虑材料的重量时横截面内的应力为：
（2）杆内应力如上式，证明杆的总伸长量：
（1）、解：建立如图所示坐标，任意一点x 处做一微分截面，以斜面下方物体为隔离体： 因为处于平衡状态
所以，为拉应力。
（2）、解：在截面x 处，取dx 杆长，在应力作用
下伸长
，其应变为
，
由胡克定律：的
并由（1
）的结论：，
设总伸长量为：
8．2．1在剪切材料时，由于刀口不快，没有切断，该钢板发生切变，钢板的横截面积为。
两刀口间的垂直距离为。
当剪切力为
时，求
（1）钢板中的剪切应力， （2）钢板中的切应变，
（3）与刀口相齐的两个截面所发生的相对滑移。
已知钢的剪切模量。
（1
）、解：切应力：
（2
）、解：由剪切形变的胡克定律：，
（3
）、解：由相对滑移：，
8．3．1一铝管直径为4cm，壁厚1mm,长10m，一端固定，另一端作用一力矩50N.m,求铝管的扭转角。
对同样尺寸的钢管再计算一遍。
已知铝管的剪切模量,钢管的剪切模量为。
解：解：依题意铝管的横截面可看作是半径为k=0.02m宽度为圆环，因很薄，圆环上的剪切应力可认为是常量，这些力对中心轴线的力矩为，
剪切应力产生的总力偶矩为：
等于外力矩M其中，：
所以
（1）、对铝管：
（2）、对钢管：
8．3．2矩形横截面长宽比为2：3的梁，在力偶矩的作用下发生钝弯曲，各以横截面的场和宽为梁的高度，求同样力矩作用下曲率半径之比。
解：据公式：
由题意：,, ,
故：
8．3．3某梁发生纯弯曲，梁长度为L,宽度为b,厚度为h,弯曲后曲率半径为R,材料杨氏模量为Y，求总形变势能。
解：取对应角一段横梁中性层半径，距中性层一层的伸长为：
，应变
长宽厚
一层势能为：该梁形变势能为：。