图论基础知识PPT课件

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图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念：
连通图：如果一个无向图中，任意两个顶点之间
都是连通的，则称该无向图为连通图。否则称为非连通图；左图为一个连通图。
强连通图：在一个有向图中，对于任意两个顶点U和V，都存在着一条从U到V的
有向路径，同时也存在着一条从V到U的有向路径，则称该有向图为强连通图；右 图不是一个强连通图。
End； End；
以上dfs(i)的时间复杂度为O（n*n）。 对于一个非连通图，调用一次dfs(i)，即按深度优先顺序依次访问了顶点i所在的（强）连通分支，所以 只要在主程序中加上：for i:=1 to n do {深度优先搜索每一个未被访问过的顶点}
if no来自百度文库 Visited（I) then dfs(i);
要查找一个顶点的前驱顶点和以此顶点 为终点的边、以及该顶点的入度就不方 便了，需要扫描整个表，时间复杂度为O （n+e）。可以用十字邻接表改进
对任一顶点的关联边（顶点） 进行不断、重复的运算
空间 复杂度
O（n*n）
O（3e）
≈ O（6e+2n）
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图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 从图中某一顶点出发系统地访问图中所有顶点，使每个顶点恰好
完 全 图 ： 一个n阶的完全无向图含有n*(n-1)/2条边；
一个n阶的完全有向图含有n*(n-1)条边； 稠密图：当一个图的边数接近完全图时； 稀疏图：当一个图的边数远远少于完全图时； 在具体使用时，要选用不同的存储结构；
子图：从一个图中取出若干顶点、若干边构成的一个新的图；
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图论算法与实现
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图论算法与实现
一、图论基础知识
简单路径：如果一条路径上的顶点除了起点和终点可以相同外，其它 顶点均不相同，则称此路径为一条简单路径；起点和终点 相同的简单路径称为回路（或环）。
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图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念：
路径和简单路径的举例：
左图1—2—3是一条简单路径，长度为2， 而1—3—4—1—3就不是简单路径；
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图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 对下面两个图分别进行深度优先遍历，写出遍历结果。 注意：分别从a和V1出发。
左图从顶点a出发，进行深度优先遍历的结果为：a，b，c，d，e，g，f 右图从V1出发进行深度优先遍历的结果为：V1，V2，V4，V8，V5，V3，V6，V7
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图论算法与实现
被访问一次，这种运算操作被称为图的遍历。为了避免重复访问某个 顶点，可以设一个标志数组visited[i]，未访问时值为false，访问一次 后就改为true。
图的遍历分为深度优先遍历和广度（宽度）优先遍历两种方法。
图的深度优先遍历：类似于树的先序遍历。从图中某个顶点Vi出发， 访问此顶点并作已访问标记，然后从Vi的一个未被访问过的邻接点Vj出 发再进行深度优先遍历，当Vi的所有邻接点都被访问过时，则退回到上 一个顶点Vk，再从Vk的另一个未被访问过的邻接点出发进行深度优先遍 历，直至图中所有顶点都被访问到为止。
边集数组
邻接表
优点
缺点 适用 场合
直观方便,A[i，j] 时间O（1）
存储稀疏图，会造 成很大的空间浪费
处理1个顶点的度 和关联边，O（n）
存储稀疏图时，空 间效率比较好，也 比较直观
不适合对顶点的运 算和对任意一条边 的运算
适合于存储稀疏图 和那些对边依次进 行处理的运算
便于查找任一顶点的关联边及 关联点,查找运算的时间复杂 性平均为O(e/n)
连通分支：一个无向图的连通分支定义为该图的最大连通子图，左图的连 通分支是它本身。
强连通分支：一个有向图的强连通分支定义为该图的最大的强连通子图， 右图含有两个强连通分支，一个是1和2构成的一个子图，一个是3独立构 成的一个子图。
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图论算法与实现
一、图论基础知识
3、图的存储结构（n阶e条边）：
邻接矩阵
右图1—2—1为一个回路。
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图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念：
连通： 在一个图中，如果从顶点U到顶点V有路径，
则称U和V是连通的；
有根图： 在一个图中，若存在一个顶点W，它与其它顶点都是连通的，则称此
图为有根图，顶点W即为它的根。
上面的两个图都是有根图，左图的1、2、3、4都可以作为根； 而右图的1、2才可以作为根。
图论算法与实现
一、图论基础知识 二、无向图的传递闭包问题 三、生成树与最小生成树问题 四、最短路径问题 五、拓扑排序与关键路径 六、图论模型的建立 七、匹配 八、最大流
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图论算法与实现
一、图论基础知识
1、回顾三种数据结构模型：线性表、树、图 2、图的基本概念：
图=（顶点集，边集），顶点集必须非空，什么是顶点，什么是边？ 图的分类：无向图、有向图，主要看是否可逆 带权图：权的含义，不加权的图也可以认为所有边上的权都是1。 阶和度：一个图的阶是指图中顶点的个数
一、图论基础知识
2、图的基本概念： 路径：对于图G=（V，E），对于顶点a、b，如果存在一些顶点序列
x1=a,x2,……,xk=b(k>1)，且（xi,xi+1）∈E，i=1,2…k-1，则称 顶点序列x1,x2,……,xk为顶点a到顶点b的一条路径，而路径上边 的数目（即k-1）称为该路径的长度。 并称顶点集合{x1,x2,……,xk}为一个连通集。
一、图论基础知识
4、图的遍历： 对于一个连通图，深度优先遍历的递归过程如下：
Procedure dfs(i:integer)； {图用邻接矩阵存储} Begin
访问顶点i； Visited[i]:=True； For j:=1 to n do {按深度优先搜索的顺序遍历与i相关联的所有顶点}
Begin If (Not Visited[j]) and (a[i,j]=1) Then dfs(j)；
如果顶点A和B之间有一条边相连，则称A和B是关联的 顶点的度：与该顶点相关联的边的数目，有奇点、偶点之分 对于有向图：有入度和出度之分
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图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念： 定理：无向图中所有顶点的度之和等于边数的2倍； 有向图中所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和； 任意一个无向图一定有偶数个（或0个）奇点；