图论基础知识PPT课件
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图论1—图论基础PPT课件
的度减去最小点的度，将最小点
的度设为0。
如果最后得到全0序列，则输出
yes，否则输出no
42 2
31
22 0
20
00 0
例题：给出一个非负整数组 成的有限序列s，s是否是某 个简单图的度序列？
332211 Yes
3331 No
首先利用图论第一定理。
然后把所有顶点排序，将最大点
的值设为0，然后将其后部最大点
在图G中，与顶点v相关联的边的总数 称为是v的度，记为deg v
图论第一定理
deg v 2m
vV (G)
证明：在计算G中所有顶点度的和时，每一条 边e被计数了两次。
例题：给出一个非负整数组 成的有限序列s，s是否是某 个图（无自环）的度序列？
242 Yes
31 No
首先利用图论第一定理。
然后把所有顶点排序，用最大点
图, 记 为G = (V, E ), 其中
① V称为G的顶点集, V≠, 其元素称为顶点或
结点, 简称点; ② E称为G的边集, 其元素称为边, 它联结V 中
的两个点, 如果这两个点是无序的, 则称该边为无 向边, 否则, 称为有向边.
如果V = {v1, v2, … , vn}是有限非空点集, 则称G 为有限图或n阶图.
如果某个有限图不满足(2)(3)(4),可在某条 边上增设顶点使之满足.
定义2 若将图G的每一条边e都对应一个实数F (e), 则称F (e)为该边的权, 并称图G为赋权图(网络), 记为G = (V, E , F ).
定义3 设G = (V, E)是一个图, v0, v1, …, vk∈V, 且1≤i≤k, vi-1vi∈E, 则称v0 v1 … vk是G的一条通路. 如果通路中没有相同的边, 则称此通路为道路. 始 点和终点相同的道路称为圈或回路. 如果通路中 既没有相同的边, 又没有相同的顶点, 则称此通路 为路径, 简称路.
6图论PPT课件
• 连通图 图G中，若任何两个点之间，至少有一条 链，称为连通图。否则称为不连通图。
• 连通分图(分图) 若G是不连通图，则它的每个连通的部 分称为连通分图。
v4
e3
v1
e5
e6 e2
e1
v3
e4
v2
v5
e7
v6
如左图就是个不 连通图，它是由 两个连通分图构 成的。
• 支撑子图
给定一个图G=(V,E)，如果图G’=(V’,E’)，使 V’=V及E’E，则称G’是G的一个支撑子图。
v2
a8
v5
a10
a4 a6
a9
a7
a5
v4
v7 a11 v6
•路 • 初等路 • 回路
在上,(图 v3,a3,中 v2,a5,v4,a6,v5,a8,v3)是一个回路 (v1,a2,v3,a4,v4,a7,v6)是从 v1到v6的路。也是一。 条初
• 简单有向图 • 多重有向图
三、基本定理
• 定理1 图G=(V,E)中，所有点的次之和 是边数的两倍，即
C1 根
C2
C3
C4
叶
二、性质
定理1 设图G=(V,E) 是一个树，p(G)≥2，
则G中至少有两个悬挂点。
证明 反证法 设(v1,v2,,vk )为G中边数最多的一条链。 当n 2时,即p(G) 2时, 命题成立. 当p(G) 2时, 设v1不是悬挂点,即d(v1) 2, 则存在vs , 使得(vs ,v1)为G中的一条边. 若vs在上述链中,则G含圈,与条件矛盾; 若vs不在上述链中,则存在链(vs ,v1,v2,,vk ),与假设矛盾. 所以v1为悬挂点。同理，vs也是悬挂点。
v3
第1章图论1(103)PPT课件
且V(H) = V(G)，则称H是G的生成子图。
例5
v1
v4
v1
v5
v2
v3
v2
v4
v1
v4
v5
v3
v2
v3
G
H1
H2
上图中，H1与H2均为G 的子图，其中H2 是G的生成子 图，而H1则不是。
四．顶点的度
定义3 设 v为 G 的顶点，G 中与 v 为端点的边的条 数（环计算两次）称为点 v 的度数，简称为点v的 度，记为 dG (v)，简记为 d(v)。
终止后，u0 到 v 的距离由 l(v) 的终值给出。
说明：
（1） 算法中w(uiv) 表示边 uiv 的权；
（2） 若只想确定u0到某顶点v0的距 离， 则当某 uj 等于 v0 时则停；
（3） 算法稍加改进可同时得出u0
到其它点的最短路。
例3 求图 G 中 u0 到其它点的距离。
u0 2
5
G:
相应的最短路为
3
1
6
Γ：v2v1v3v4
v3
3
G
v4
易知，各边的权均为1的权图中的路长与非权图中的路长 是一致的。
问题：给定简单权图G = (V, E)，并设G 有n个顶点，求G 中点u0到其它各点的距离。
Dijkstra算法 (1) 置 l(u0) = 0；对所有v∈V \{u0}，令 l(v) = ∞；
称从 u 到 v 的距离为无穷。
u
例如对图：
w
d (u, v ) = 2
x
其最短路为 uxv
d(u, w) = ∞
v
容易证明对 ，距离具有性质：
（1）d(u, v)≥0；
图论基础知识PPT课件
.
6
图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念：
连通图：如果一个无向图中，任意两个顶点之间
都是连通的，则称该无向图为连通图。否则称为非连通图；左图为一个连通图。
强连通图：在一个有向图中，对于任意两个顶点U和V，都存在着一条从U到V的
有向路径，同时也存在着一条从V到U的有向路径，则称该有向图为强连通图；右 图不是一个强连通图。
深度优先遍历与宽度优先遍历的比较：
深度优先遍历实际上是尽可能地走“顶点表”； 而广度优先遍历是尽可能沿顶点的“边表”进行访问， 然后再沿边表对应顶点的边表进行访问，因此，有关边表 的顶点需要保存(用队列，先进先出)，以便进一步进行广度 优先遍历。
下面是广度优先遍历的过程：
.
14
图论算法与实现
一、图论基础知识
简单路径：如果一条路径上的顶点除了起点和终点可以相同外，其它 顶点均不相同，则称此路径为一条简单路径；起点和终点 相同的简单路径称为回路（或环）。
.
4
图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念：
路径和简单路径的举例：
左图1—2—3是一条简单路径，长度为2， 而1—3—4—1—3就不是简单路径；
一、图论基础知识
2、图的基本概念： 路径：对于图G=（V，E），对于顶点a、b，如果存在一些顶点序列
x1=a,x2,……,xk=b(k>1)，且（xi,xi+1）∈E，i=1,2…k-1，则称 顶点序列x1,x2,……,xk为顶点a到顶点b的一条路径，而路径上边 的数目（即k-1）称为该路径的长度。 并称顶点集合{x1,x2,……,xk}为一个连通集。
边集数组
邻接表
优点
图论 课件
6.1
图的基本概念ຫໍສະໝຸດ 一、图的定义及其表示1. 图的定义
定义6-1
图G是一个有序二元组（V，E），其中
V={v1，v2，…，vn}是一个有限非空的集合。V中的元素称
为G的结点，V称为图G的结点集，常记作V（G）；
E 是 V 中不同元素的非有序对偶的集合， E 中的元素称 为G的边，E称为图G的边集，常记作E（G）。
3
定义6-3
图G的补图是由G的所有结点和为了使G
成为完全图所需添加的那些边组成的图，用 G 表示。
例4
下图中（b）所表示的图是（a）图的补图。
右图给出了例2中图的补图。
4
三、连通图
1．结点的度：
定理6-1 设图G具有结点集{v1，v2，…，vn}和m条 边，则G中所有结点的度之和
deg(v ) 2m 。
称H是G的分图。 （1）H是连通的；
（2）对G的任意子图G，若GH，且H G G，则G
不是连通。
例8 解
对第10页给出的图G，试判断（b）、（c）、 （b）显然不是G的分图。因为（b）不连通。 （c）也不是G的分图。 （d）是G的分图。
（d）、（e）各是否G的分图
（e）是G的分图。
10
定理6-3 设G是具有结点集V={ v1，v2，…，vn}的图，则
若中还有相同的结点，那么重复上述过程又可形成一条 更短的路，…。这样，最后必得到一条真路，它连接vi到vj， 并短于前述任一非真的路。因此，只有真路才能是短程。 然而在任一长度为 l 的真路viu1 u2…ul–1 vj中，所出现 的结点是各不相同的，这意味着l +1≤n，即l ≤n–1。
（1） 若V2 V1，E2 E1，则称G2是G1的子图， 记作G2 G1； （2） 若V2 V1，E2 E1，则称G2是G1的真子图； （3） 若V2 = V1，E2 E1，则称G2是G1的生成子图。
图的基本概念ຫໍສະໝຸດ 一、图的定义及其表示1. 图的定义
定义6-1
图G是一个有序二元组（V，E），其中
V={v1，v2，…，vn}是一个有限非空的集合。V中的元素称
为G的结点，V称为图G的结点集，常记作V（G）；
E 是 V 中不同元素的非有序对偶的集合， E 中的元素称 为G的边，E称为图G的边集，常记作E（G）。
3
定义6-3
图G的补图是由G的所有结点和为了使G
成为完全图所需添加的那些边组成的图，用 G 表示。
例4
下图中（b）所表示的图是（a）图的补图。
右图给出了例2中图的补图。
4
三、连通图
1．结点的度：
定理6-1 设图G具有结点集{v1，v2，…，vn}和m条 边，则G中所有结点的度之和
deg(v ) 2m 。
称H是G的分图。 （1）H是连通的；
（2）对G的任意子图G，若GH，且H G G，则G
不是连通。
例8 解
对第10页给出的图G，试判断（b）、（c）、 （b）显然不是G的分图。因为（b）不连通。 （c）也不是G的分图。 （d）是G的分图。
（d）、（e）各是否G的分图
（e）是G的分图。
10
定理6-3 设G是具有结点集V={ v1，v2，…，vn}的图，则
若中还有相同的结点，那么重复上述过程又可形成一条 更短的路，…。这样，最后必得到一条真路，它连接vi到vj， 并短于前述任一非真的路。因此，只有真路才能是短程。 然而在任一长度为 l 的真路viu1 u2…ul–1 vj中，所出现 的结点是各不相同的，这意味着l +1≤n，即l ≤n–1。
（1） 若V2 V1，E2 E1，则称G2是G1的子图， 记作G2 G1； （2） 若V2 V1，E2 E1，则称G2是G1的真子图； （3） 若V2 = V1，E2 E1，则称G2是G1的生成子图。
图论PPT
W (P) =
e∈ ( P) W (P
∑W(e)
则称W 为路径P(u, v) 的权或长度(距离). 长度(距离) 则称 (P)为路径 为路径 定义2：若P0 (u, v) 是G 中连接u, v的路径 且对任 定义 ： 中连接 的路径, 的路径 意在G 中连接u, 的路径 的路径P 意在 中连接 v的路径 (u, v)都有 都有 W(P0)≤W(P), ≤ 则称P 中连接u, 的最短路. 则称 0 (u, v) 是G 中连接 v的最短路
解:
表示设备在第i 年年初的购买费, 设bi 表示设备在第 年年初的购买费 ci 表示设备使用 年后的维修费 表示设备使用i 年后的维修费, V={v1, v2, … , v6},点vi表示第 年年 表示第i 点 表示第 初购进一台新设备,虚设一个点 虚设一个点v6表 初购进一台新设备 虚设一个点 表 示第5年年底 年年底. 示第 年年底 E ={vivj | 1≤i＜j≤6}. ＜
如果E的每一条边都是无向边 则称G为 如果 的每一条边都是无向边, 则称 为无向 的每一条边都是无向边 如图1) 如果E的每一条边都是有向边 1); 的每一条边都是有向边, 图(如图1) 如果 的每一条边都是有向边 则称 G为有向图(如图2) 否则 称G为混合图 2); 为有向图(如图2) 否则, 为混合图.
图论在数学建模中的应用
• • • • 第一部分 第二部分 第三部分 第四部分概念
图论中的“ 图论中的“图”并不是通常意义下的几何图 形或物体的形状图, 形或物体的形状图, 而是以一种抽象的形式来表 达一些确定的事物之间的联系的一个数学系统. 达一些确定的事物之间的联系的一个数学系统. 称为一个图, 定义1 :一个有序二元组 一个有序二元组( 定义1 :一个有序二元组(V, E ) 称为一个图, 记为G = (V, E ), 其中 的顶点集, 其元素称为顶点, ① V 称为G的顶点集, V≠φ, 其元素称为顶点, 简称点; 简称点; 的边集, 其元素称为边, ② E 称为G的边集, 其元素称为边, 它联结V 中的两个点, 如果这两个点是无序的, 中的两个点, 如果这两个点是无序的, 则称该边 为无向边, 否则, 称为有向边. 为无向边, 否则, 称为有向边.
《图论的介绍》课件
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图论的介绍
汇报人：
目录
PART One
添加目录标题
PART Three
图论的应用领域
PART Two
图论的基本概念
PART Four
图论的基本问题
PART Five
图论的算法和数据 结构
PART Six
图论的扩展知识
单击添加章节标题
图论的基本概念
图论的发展历程
18世纪末，欧拉提出“七桥问题”，开启了图论的先河
匹配问题
匹配问题定义：在图论中，匹配问 题是指在图中找到一组边，使得每 个顶点恰好有一条边。
最小匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最少。
添加标题
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添加标题
最大匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最多。
完美匹配问题：在图中找到一组边， 使得每个顶点恰好有一条边，并且 边的数量最多。
图论的扩展知识
欧拉路径和欧拉回路
欧拉路径：通过图中所有边且仅通过一次的路径
欧拉回路：通过图中所有边且仅通过一次的回路
欧拉定理：一个无向图存在欧拉回路当且仅当每个顶点的度数都是偶数
应用：欧拉路径和欧拉回路在计算机科学、数学、物理等领域有广泛应用，如电路设计、网络 拓扑、图论算法等
哈密顿路径和哈密顿回路
应用
生物技术：图 论在生物工程、 生物制造和生 物能源等领域
的应用
图论的发展趋势和未来展望
应用领域：图 论在计算机科 学、物理学、 生物学等领域 的应用越来越
广泛
研究方向：图 论在算法设计、 网络优化、数 据挖掘等领域 的研究不断深
入
技术发展：图 论与机器学习、 深度学习等技 术的结合越来
图论的介绍
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图论的应用领域
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图论的基本概念
PART Four
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图论的基本概念
图论的发展历程
18世纪末，欧拉提出“七桥问题”，开启了图论的先河
匹配问题
匹配问题定义：在图论中，匹配问 题是指在图中找到一组边，使得每 个顶点恰好有一条边。
最小匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最少。
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最大匹配问题：在图中找到一组边， 使得边的数量最多。
完美匹配问题：在图中找到一组边， 使得每个顶点恰好有一条边，并且 边的数量最多。
图论的扩展知识
欧拉路径和欧拉回路
欧拉路径：通过图中所有边且仅通过一次的路径
欧拉回路：通过图中所有边且仅通过一次的回路
欧拉定理：一个无向图存在欧拉回路当且仅当每个顶点的度数都是偶数
应用：欧拉路径和欧拉回路在计算机科学、数学、物理等领域有广泛应用，如电路设计、网络 拓扑、图论算法等
哈密顿路径和哈密顿回路
应用
生物技术：图 论在生物工程、 生物制造和生 物能源等领域
的应用
图论的发展趋势和未来展望
应用领域：图 论在计算机科 学、物理学、 生物学等领域 的应用越来越
广泛
研究方向：图 论在算法设计、 网络优化、数 据挖掘等领域 的研究不断深
入
技术发展：图 论与机器学习、 深度学习等技 术的结合越来
图论基础教学资料ppt电子教案课件
zoj 1082
要在N个人中传播谣言，每个人传播谣言给 他可以联系的人都有个时间，求从哪个人 开始传播谣言并使谣言传遍所有人的时间 最短。
单源最短路
Dijkstra
复杂度 处理负边
适用
SPFA
O(km)
Dijkstra+堆优
化
O(n^2) 不能
稠密图
O(nlgn) 不能
稠密图
能
稀疏图
单源最短路—SPFA
对有向赋权图G (V , E ) , 其邻接矩阵 A (aij )
wij , 若(vi , v j ) E , 且wij为其权， aij 0， i j, , 若(vi , v j ) E.
u1 u2 u3 u4 0 3 7 8 u1 0 u 2 A 6 0 u3 4 0 u 4
图论基础
图的概念
定义 一个图G是指一个二元组(V(G),E(G)) 其中: V (G) {v1, v2 ,, v } 是非空有限集，称为顶点集，其中元素称 为图G的顶点 E(G)是顶点集V(G)中的无序或有序的元素 对 (vi , v j ) 组成的集合，即称为边集,其中元 素称为边
图的生成树
在一个连通图G中，如果取它的全部顶点和 一部分边构成一个子图G’，即： V(G’)=V(G);E(G’) ∈E(G) 若边集E(G’)中的边既将图中的所有顶点连 通又不形成回路，则称子图G’是原图G的一 棵生成树。 一棵含有n个点的生成树，必含有n-1条边。
最小生成树
对于一个连通网（连通带权图，假定每条 边上的权均为大于零的实数）来说，每棵 树的权（即树中所有边的权值总和）也可 能不同 具有权最小的生成树称为最小生成树。
(图论)图的基本概念(课堂PPT)
15
图的度数的相关概念
在无向图G中， 最大度 △(G)＝max{d(v)|v∈V(G)} 最小度 δ(G)＝min{d(v)|v∈V(G)}
称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边。 度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶点。
在有向图D中， 最大出度 △+(D)＝max{d+(v)|v∈V(D)} 最小出度 δ+(D)＝min{d+(v)|v∈V(D)} 最大入度 △-(D)＝max{d-(v)|v∈V(D)} 最小入度 δ-(D)＝min{d-(v)|v∈V(D)}
元素可以重复出现的集合称为多重集合或者多重集，某元 素重复出现的次数称为该元素的重复度。 例如 在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中， a,b,c,d的重复度分别为2,3,1,1。
4
笛卡尔积
设A，B为任意的两个集合，称{<a,b>|a∈A∧b∈B}为A与B 的笛卡尔积，记作AXB。 笛卡尔积中的是有序对<a,b>。只有a,b相等的时候才有 (a,b)＝(b,a). 也只有A=B时才有AXB＝BXA。
16
图的度数举例
d(v1)＝4(注意，环提供2度)， △＝4，δ＝1， v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。
d+(a)＝4，d-(a)＝1 (环e1提供出度1，提供入度1)，
d(a)＝4+1＝5。△＝5，δ＝3，
△+＝4 (在a点达到)
δ+＝0(在b点达到)
△-＝3(在b点达到)
δ-＝1(在a和c点达到)
例如：在图1.1中， (a)中e5与e6是平行边， (b)中e2与e3是平行边，但e6与e7不是平行边。 (a)和(b)两个图都不是简单图。
图的度数的相关概念
在无向图G中， 最大度 △(G)＝max{d(v)|v∈V(G)} 最小度 δ(G)＝min{d(v)|v∈V(G)}
称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边。 度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶点。
在有向图D中， 最大出度 △+(D)＝max{d+(v)|v∈V(D)} 最小出度 δ+(D)＝min{d+(v)|v∈V(D)} 最大入度 △-(D)＝max{d-(v)|v∈V(D)} 最小入度 δ-(D)＝min{d-(v)|v∈V(D)}
元素可以重复出现的集合称为多重集合或者多重集，某元 素重复出现的次数称为该元素的重复度。 例如 在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中， a,b,c,d的重复度分别为2,3,1,1。
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笛卡尔积
设A，B为任意的两个集合，称{<a,b>|a∈A∧b∈B}为A与B 的笛卡尔积，记作AXB。 笛卡尔积中的是有序对<a,b>。只有a,b相等的时候才有 (a,b)＝(b,a). 也只有A=B时才有AXB＝BXA。
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图的度数举例
d(v1)＝4(注意，环提供2度)， △＝4，δ＝1， v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。
d+(a)＝4，d-(a)＝1 (环e1提供出度1，提供入度1)，
d(a)＝4+1＝5。△＝5，δ＝3，
△+＝4 (在a点达到)
δ+＝0(在b点达到)
△-＝3(在b点达到)
δ-＝1(在a和c点达到)
例如：在图1.1中， (a)中e5与e6是平行边， (b)中e2与e3是平行边，但e6与e7不是平行边。 (a)和(b)两个图都不是简单图。
《图论基本概念》PPT课件
• 同，则称G1与G2是同构的，记作G1G2.
图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性. 能找到多条同构的必要条件，但它们全不是充分条件：
① 边数相同，顶点数相同; ② 度数列相同; ③ 对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等 若破坏必要条件，则两图不同构
15
判断两个图同构是个难题
图同构的实例
•
支，其个数 p(G)=k (k1)；
•
k=1，G连通
25
短程线与距离
• (3) 短程线与距离
•
① u与v之间的短程线：uv，u与v之间长度最短的通路
•
② u与v之间的距离：d(u,v)——短程线的长度
•
③ d(u,v)的性质：
•
d(u,v)0, u≁v时d(u,v)=
•
d(u,v)=d(v,u)
• •
(简2)单n性(n质1：)阶有向完全图m——n每(对n顶点1)之,间均有两条方n向相1 反的有向边的有向简单图.
2
• (3) n (n1) 阶竞赛图——基图为Kn的有向简单图. • 简单性质：边数
m n(n 1), 2(n 1), n 1
m n(n 1) , n 1
•
D的出度列：d+(v1), d+(v21), d(v2), …, d(vn)
• 3. 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的，是可简单图化的.
• 易知：(2, 4, 6, 8, 10)，(1, 3, 3, 3, 4) 是可图化的，后者又是可 • 简单图化的，而(2, 2, 3, 4, 5)，(3, 3, 3, 4) 都不是可简单图化 • 的，特别是后者也不是可图化的
图与网络：
•
图论-总结PPT课件
q-p+1条弦。 (2) 若G是一个(p,q)连通图，则T至少有多少个圈?(q-p+1) 若G是一个(p,q)连通图，则T有多少个圈? 若G是一个(p,q)连通图，则T至少（多）有多少个生成树？
.
16
第三节 割点、桥和割集
3.1 割点和桥(割边)
定义1 设v是图G的一个顶点，若G-v的支数大于 G的支数，则称顶点v为图G的一个割点(如图)。
degu + degv≥p-1，
则G是连通的。[这个定理是一个充分条件]
定理3 设G=(V,E)是至少有一个顶点不是弧立顶 点的图。若对任意v∈V，degv为偶数，则G中 有回路。
定理4 若图G中的两个不同顶点u与v间有两条不 同的路联结，则G中有回路。
.
6
例1 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 G连通G+uv连通。
.
8
第五节 欧拉图(Euler)
5.1 欧拉图
定义1 设(G,V)是一个图，则包含图的所有顶 点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹；存在一 条欧拉闭迹的图称为欧拉图。
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每 个顶点的度都是偶数。
(定理1对多重图也成立)
.
9
第六节 哈密顿图
6.1 哈密顿图 定义1 设G是一个图，则图G中包含G的所有顶
数称为顶点v的度，记为degv。 定理1 (握手定理)设G=(V,E)是一个具有p个顶点q条边的图,
则G中各顶点度的和等于边的条数q的两倍，即∑degv=2q。 推论1任一图中，度为奇数的顶点的数目必为偶数。
.
3
定义3 设G是图，若Δ(G)=δ(G)=r，即G的每个顶点的 度都等于r，则G称为r度正则图。
.
16
第三节 割点、桥和割集
3.1 割点和桥(割边)
定义1 设v是图G的一个顶点，若G-v的支数大于 G的支数，则称顶点v为图G的一个割点(如图)。
degu + degv≥p-1，
则G是连通的。[这个定理是一个充分条件]
定理3 设G=(V,E)是至少有一个顶点不是弧立顶 点的图。若对任意v∈V，degv为偶数，则G中 有回路。
定理4 若图G中的两个不同顶点u与v间有两条不 同的路联结，则G中有回路。
.
6
例1 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 G连通G+uv连通。
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8
第五节 欧拉图(Euler)
5.1 欧拉图
定义1 设(G,V)是一个图，则包含图的所有顶 点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹；存在一 条欧拉闭迹的图称为欧拉图。
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每 个顶点的度都是偶数。
(定理1对多重图也成立)
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9
第六节 哈密顿图
6.1 哈密顿图 定义1 设G是一个图，则图G中包含G的所有顶
数称为顶点v的度，记为degv。 定理1 (握手定理)设G=(V,E)是一个具有p个顶点q条边的图,
则G中各顶点度的和等于边的条数q的两倍，即∑degv=2q。 推论1任一图中，度为奇数的顶点的数目必为偶数。
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3
定义3 设G是图，若Δ(G)=δ(G)=r，即G的每个顶点的 度都等于r，则G称为r度正则图。
图论培训演示课件.ppt
定理7.7 设非负整数列d=（d1，d2，…，dn），（n-1） ≥d1≥d2≥…≥d n≥0，则d是可简单化的当且仅当d′=（-1，1，…，-1，，…，）。
第7章 图论
7.1.6 子图
定义7.12 设G=<V，E>和G=<V'，E'>是两个图， （1）若V'V且E'E，则称G'是G的子图； （2）若G'是G的子图，但V'≠V或E'≠E，则称G'是G的真子图； （3）若G‘是G的子图，且V’=V，则称G‘是G的生成子图或支撑子 图。
定理7.2 设有向图G具有n个结点，m条边，其中结点构成的集
合V={v1，v2，…，vn}，则有
n
n
deg (vi) deg (vi ) m
i 1
i 1
第7章 图论
7.1.3 完全图
1．无向完全图
定义7.6 在n阶无向图中，如果任意两个不同的结点之间都有 一条边关联，则称此无向图为无向完全图，记作Kn。
3．竞赛图
定义7.8 设G为n阶有向图，如果G的底图为无向完全图Kn，则称G 为竞赛图。
第7章 图论
7.1.4 图的同构
定义7.9 设图G的点集为V，边集为E，图G′的点集为V′，边集 为E′。如果存在着V到V′的双射函数f，使对任意的u，vV，(u ，v)E（或<u，v>E），当且仅当（f（u），f（v））E′（或<f （u），f（v）>E′），则称图G和G′ 同构，记作GG′。
第7章 图论
7.2 路与回路
7.2.2 图的连通性 1．无向图的连通性 定义7.14 设图G是无向图，u和v是图G中的两个结点，如果u和v 之间有通路，则称u，v是连通的，并规定u与自身是连通的。
第7章 图论
7.1.6 子图
定义7.12 设G=<V，E>和G=<V'，E'>是两个图， （1）若V'V且E'E，则称G'是G的子图； （2）若G'是G的子图，但V'≠V或E'≠E，则称G'是G的真子图； （3）若G‘是G的子图，且V’=V，则称G‘是G的生成子图或支撑子 图。
定理7.2 设有向图G具有n个结点，m条边，其中结点构成的集
合V={v1，v2，…，vn}，则有
n
n
deg (vi) deg (vi ) m
i 1
i 1
第7章 图论
7.1.3 完全图
1．无向完全图
定义7.6 在n阶无向图中，如果任意两个不同的结点之间都有 一条边关联，则称此无向图为无向完全图，记作Kn。
3．竞赛图
定义7.8 设G为n阶有向图，如果G的底图为无向完全图Kn，则称G 为竞赛图。
第7章 图论
7.1.4 图的同构
定义7.9 设图G的点集为V，边集为E，图G′的点集为V′，边集 为E′。如果存在着V到V′的双射函数f，使对任意的u，vV，(u ，v)E（或<u，v>E），当且仅当（f（u），f（v））E′（或<f （u），f（v）>E′），则称图G和G′ 同构，记作GG′。
第7章 图论
7.2 路与回路
7.2.2 图的连通性 1．无向图的连通性 定义7.14 设图G是无向图，u和v是图G中的两个结点，如果u和v 之间有通路，则称u，v是连通的，并规定u与自身是连通的。
图论课件
例v1v2图中v3d (v1) = 5 d (v2) = 4
d (v3) = 3 d (v4) = 0
v4
d (v5) = 2
v5
注：该图中各点的度数 之和等于14，恰好
是边数7的两倍
(3) 易证，图的同构关系是一个等价关系。该关系将所有 的图的集合，划分为一些等价类，即相互同构的图作成 同一个等价类。
显然，V1 ∪V2= V,V1∩V2=Φ 。由握手定理
2m = d(v) = d (v) + d (v) （1）
vV
vV1
vV2
（1）式中2m为偶， d (v)也为偶（因其中每个d(v)为偶），
vV2
从而推知 d (v) 也为偶。而和式中每个d(v)均为奇，故和
vV1
式中的被加项的项数应为偶，这表明G 中度为奇数的点有
例2 设V = {v1,v2,v3,v4}，E = {e1,e2,e3,e4,e5}，其中 e1= v1v2， e2 = v2v3， e3 = v2v3， e4 = v3v4， e5 = v4v4
则 G = (V, E) 是一个图。
v1
v4
e5
e1
e2
e4
v2
v3
e3
相关概念: (1) 若边e = uv , 此时称 u 和v 是 e 的端点;
由图的同构定义知，图(a)与(b)是同构的。
例 判断下面两图是否同构。
u1
v1
解 两图不同构。
这是因若同构，则两图中唯一的与环关联的两个点u1 与v1 一定相对应，而u1的两个邻接点与v1的两个邻接点状况不 同（ u1邻接有4度点，而v1 没有）。
所以，两图不同构。
例4 指出4个顶点的非同构的所有简单图。
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被访问一次，这种运算操作被称为图的遍历。为了避免重复访问某个 顶点，可以设一个标志数组visited[i]，未访问时值为false，访问一次 后就改为true。
图的遍历分为深度优先遍历和广度（宽度）优先遍历两种方法。
图的深度优先遍历：类似于树的先序遍历。从图中某个顶点Vi出发， 访问此顶点并作已访问标记，然后从Vi的一个未被访问过的邻接点Vj出 发再进行深度优先遍历，当Vi的所有邻接点都被访问过时，则退回到上 一个顶点Vk，再从Vk的另一个未被访问过的邻接点出发进行深度优先遍 历，直至图中所有顶点都被访问到为止。
一、图论基础知识
4、图的遍历： 对于一个连通图，深度优先遍历的递归过程如下：
Procedure dfs(i:integer)； {图用邻接矩阵存储} Begin
访问顶点i； Visited[i]:=True； For j:=1 to n do {按深度优先搜索的顺序遍历与i相关联的所有顶点}
Begin If (Not Visited[j]) and (a[i,j]=1) Then dfs(j)；
End； End；
以上dfs(i)的时间复杂度为O（n*n）。 对于一个非连通图，调用一次dfs(i)，即按深度优先顺序依次访问了顶点i所在的（强）连通分支，所以 只要在主程序中加上：for i:=1 to n do {深度优先搜索每一个未被访问过的顶点}
if not Visited（I) then dfs(i);
右图1—2—1为一个回路。
.
5
图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念：
连通： 在一个图中，如果从顶点U到顶点V有路径，
则称U和V是连通的；
有根图： 在一个图中，若存在一个顶点W，它与其它顶点都是连通的，则称此
图为有根图，顶点W即为它的根。
上面的两个图都是有根图，左图的1、2、3、4都可以作为根； 而右图的1、2才可以作为根。
.
11
图论算法与实现
一、图论基础知识
简单路径：如果一条路径上的顶点除了起点和终点可以相同外，其它 顶点均不相同，则称此路径为一条简单路径；起点和终点 相同的简单路径称为回路（或环）。
.
4
图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念：
路径和简单路径的举例：
左图1—2—3是一条简单路径，长度为2， 而1—3—4—1—3就不是简单路径；
.
9
图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 对下面两个图分别进行深度优先遍历，写出遍历结果。 注意：分别从a和V1出发。
左图从顶点a出发，进行深度优先遍历的结果为：a，b，c，d，e，g，f 右图从V1出发进行深度优先遍历的结果为：V1，V2，V4，V8，V5，V3，V6，V7
.
10
图论算法与实现
完 全 图 ： 一个n阶的完全无向图含有n*(n-1)/2条边；
一个n阶的完全有向图含有n*(n-1)条边； 稠密图：当一个图的边数接近完全图时； 稀疏图：当一个图的边数远远少于完全图时； 在具体使用时，要选用不同的存储结构；
子图：从一个图中取出若干顶点、若干边构成的一个新的图；
.
3
图论算法与实现
如果顶点A和B之间有一条边相连，则称A和B是关联的 顶点的度：与该顶点相关联的边的数目，有奇点、偶点之分 对于有向图：有入度和出度之分
.
2
图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念： 定理：无向图中所有顶点的度之和等于边数的2倍； 有向图中所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和； 任意一个无向图一定有偶数个（或0个）奇点；
边集数组
邻接表
优点
缺点 适用 场合
直观方便,A[i，j] 时间O（1）
存储稀疏图，会造 成很大的空间浪费
处理1个顶点的度 和关联边，O（n）
存储稀疏图时，空 间效率比较好，也 比较直观
不适合对顶点的运 算和对任意一条边 的运算
适合于存储稀疏图 和那些对边依次进 行处理的运算
便于查找任一顶点的关联边及 关联点,查找运算的时间复杂 性平均为O(e/n)
要查找一个顶点的前驱顶点和以此顶点 为终点的边、以及该顶点的入度就不方 便了，需要扫描整个表，时间复杂度为O （n+e）。可以用十字邻接表改进
对任一顶点的关联边（顶点） 进行不断、重复的运算
空间 复杂度
O（n*n）
O（3e）
≈ O（6e+2n）
.
8
图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 从图中某一顶点出发系统地访问图中所有顶点，使每个顶点恰好
图论算法与实现
一、图论基础知识 二、无向图的传递闭包问题 三、生成树与最小生成树问题 四、最短路径问题 五、拓扑排序与关键路径 六、图论模型的建立 七、匹配 八、最大流
.
1
图论算法与实现
一、图论基础知识
1、回顾三种数据结构模型：线性表、树、图 2、图的基本概念：
图=（顶点集，边集），顶点集必须非空，什么是顶点，什么是边？ 图的分类：无向图、有向图，主要看是否可逆 带权图：权的含义，不加权的图也可以认为所有边上的权都是1。 阶和度：一个图的阶是指图中顶点的个数
连通分支：一个无向图的连通分支定义为该图的最大连通子图，左图的连 通分支是它本身。
强连通分支：一个有向图的强连通分支定义为该图的最大的强连通子图， 右图含有两个强连通分支，一个是1和2构成的一个子图，一个是3独立构 成的一个子图。
.
7
图论算法与实现
一、图论基础知识
3、图的存储结构（n阶e条边）：
邻接矩阵
.
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图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念：
连通图：如果一个无向图中，任意两个顶点之间
都是连通的，则称该无向图为连通图。否则称为非连通图；左图为一个连通图。
强连通图：在一个有向图中，对于任意两个顶点U和V，都存在着一条从U到V的
有向路径，同时也存在着一条从V到U的有向路径，则称该有向图为强连通图；右 图不是一个强连通图。
一、图论基础知识
2、图的基本概念： 路径：对于图G=（V，E），对于顶点a、b，如果存在一些顶点序列
x1=a,x2,……,xk=b(k>1)，且（xi,xi+1）∈E，i=1,2…k-1，则称 顶点序列x1,x2,……,xk为顶点a到顶点b的一条路径，而路径上边 的数目（即k-1）称为该路径的长度。 并称顶点集合{x1,x2,……,xk}为一个连通集。
图的遍历分为深度优先遍历和广度（宽度）优先遍历两种方法。
图的深度优先遍历：类似于树的先序遍历。从图中某个顶点Vi出发， 访问此顶点并作已访问标记，然后从Vi的一个未被访问过的邻接点Vj出 发再进行深度优先遍历，当Vi的所有邻接点都被访问过时，则退回到上 一个顶点Vk，再从Vk的另一个未被访问过的邻接点出发进行深度优先遍 历，直至图中所有顶点都被访问到为止。
一、图论基础知识
4、图的遍历： 对于一个连通图，深度优先遍历的递归过程如下：
Procedure dfs(i:integer)； {图用邻接矩阵存储} Begin
访问顶点i； Visited[i]:=True； For j:=1 to n do {按深度优先搜索的顺序遍历与i相关联的所有顶点}
Begin If (Not Visited[j]) and (a[i,j]=1) Then dfs(j)；
End； End；
以上dfs(i)的时间复杂度为O（n*n）。 对于一个非连通图，调用一次dfs(i)，即按深度优先顺序依次访问了顶点i所在的（强）连通分支，所以 只要在主程序中加上：for i:=1 to n do {深度优先搜索每一个未被访问过的顶点}
if not Visited（I) then dfs(i);
右图1—2—1为一个回路。
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图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念：
连通： 在一个图中，如果从顶点U到顶点V有路径，
则称U和V是连通的；
有根图： 在一个图中，若存在一个顶点W，它与其它顶点都是连通的，则称此
图为有根图，顶点W即为它的根。
上面的两个图都是有根图，左图的1、2、3、4都可以作为根； 而右图的1、2才可以作为根。
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图论算法与实现
一、图论基础知识
简单路径：如果一条路径上的顶点除了起点和终点可以相同外，其它 顶点均不相同，则称此路径为一条简单路径；起点和终点 相同的简单路径称为回路（或环）。
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图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念：
路径和简单路径的举例：
左图1—2—3是一条简单路径，长度为2， 而1—3—4—1—3就不是简单路径；
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图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 对下面两个图分别进行深度优先遍历，写出遍历结果。 注意：分别从a和V1出发。
左图从顶点a出发，进行深度优先遍历的结果为：a，b，c，d，e，g，f 右图从V1出发进行深度优先遍历的结果为：V1，V2，V4，V8，V5，V3，V6，V7
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图论算法与实现
完 全 图 ： 一个n阶的完全无向图含有n*(n-1)/2条边；
一个n阶的完全有向图含有n*(n-1)条边； 稠密图：当一个图的边数接近完全图时； 稀疏图：当一个图的边数远远少于完全图时； 在具体使用时，要选用不同的存储结构；
子图：从一个图中取出若干顶点、若干边构成的一个新的图；
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图论算法与实现
如果顶点A和B之间有一条边相连，则称A和B是关联的 顶点的度：与该顶点相关联的边的数目，有奇点、偶点之分 对于有向图：有入度和出度之分
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图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念： 定理：无向图中所有顶点的度之和等于边数的2倍； 有向图中所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和； 任意一个无向图一定有偶数个（或0个）奇点；
边集数组
邻接表
优点
缺点 适用 场合
直观方便,A[i，j] 时间O（1）
存储稀疏图，会造 成很大的空间浪费
处理1个顶点的度 和关联边，O（n）
存储稀疏图时，空 间效率比较好，也 比较直观
不适合对顶点的运 算和对任意一条边 的运算
适合于存储稀疏图 和那些对边依次进 行处理的运算
便于查找任一顶点的关联边及 关联点,查找运算的时间复杂 性平均为O(e/n)
要查找一个顶点的前驱顶点和以此顶点 为终点的边、以及该顶点的入度就不方 便了，需要扫描整个表，时间复杂度为O （n+e）。可以用十字邻接表改进
对任一顶点的关联边（顶点） 进行不断、重复的运算
空间 复杂度
O（n*n）
O（3e）
≈ O（6e+2n）
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图论算法与实现
一、图论基础知识
4、图的遍历： 从图中某一顶点出发系统地访问图中所有顶点，使每个顶点恰好
图论算法与实现
一、图论基础知识 二、无向图的传递闭包问题 三、生成树与最小生成树问题 四、最短路径问题 五、拓扑排序与关键路径 六、图论模型的建立 七、匹配 八、最大流
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图论算法与实现
一、图论基础知识
1、回顾三种数据结构模型：线性表、树、图 2、图的基本概念：
图=（顶点集，边集），顶点集必须非空，什么是顶点，什么是边？ 图的分类：无向图、有向图，主要看是否可逆 带权图：权的含义，不加权的图也可以认为所有边上的权都是1。 阶和度：一个图的阶是指图中顶点的个数
连通分支：一个无向图的连通分支定义为该图的最大连通子图，左图的连 通分支是它本身。
强连通分支：一个有向图的强连通分支定义为该图的最大的强连通子图， 右图含有两个强连通分支，一个是1和2构成的一个子图，一个是3独立构 成的一个子图。
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图论算法与实现
一、图论基础知识
3、图的存储结构（n阶e条边）：
邻接矩阵
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图论算法与实现
一、图论基础知识
2、图的基本概念：
连通图：如果一个无向图中，任意两个顶点之间
都是连通的，则称该无向图为连通图。否则称为非连通图；左图为一个连通图。
强连通图：在一个有向图中，对于任意两个顶点U和V，都存在着一条从U到V的
有向路径，同时也存在着一条从V到U的有向路径，则称该有向图为强连通图；右 图不是一个强连通图。
一、图论基础知识
2、图的基本概念： 路径：对于图G=（V，E），对于顶点a、b，如果存在一些顶点序列
x1=a,x2,……,xk=b(k>1)，且（xi,xi+1）∈E，i=1,2…k-1，则称 顶点序列x1,x2,……,xk为顶点a到顶点b的一条路径，而路径上边 的数目（即k-1）称为该路径的长度。 并称顶点集合{x1,x2,……,xk}为一个连通集。