极限的概念函数的连续性
函数的极限和连续性
函数的极限和连续性是微积分学中最基本的概念之一。
它们不仅在数学中有着重要地位，而且在物理、工程学、金融等领域也有着广泛的应用。
本文将对进行详细的阐述和探讨。
一、函数的极限函数的极限是指函数随着自变量趋于某一值时，函数值的趋势。
它是微积分学中最基本的概念之一。
如果函数f(x)当x趋向于某一值a时，函数值f(x)趋向于一个唯一的有限数L，则称函数f(x)在点a处有极限，记作：lim（x→a）f(x)=L其中lim表示极限，x→a表示自变量x趋向于a，f(x)表示函数值，L表示极限值。
如果函数f(x)在点a处无极限，则称f(x)在点a处无极限。
如果函数f(x)在点a处有极限，则称f(x)在点a处收敛于L。
如果函数f(x)在点a的任何一个去心邻域内都无定义，则称f(x)在点a处为间断点。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点处的极限与函数在此点处的取值相等。
设函数f(x)在点a的邻域内有定义，如果：lim（x→a）f(x)=f(a)则称函数f(x)在点a处连续。
函数的连续性是微积分学中最基本的概念之一。
一个函数在某一点处连续，就意味着函数在该点附近没有跳跃或震荡的现象。
因此，函数的连续性可用于描述许多现实世界中的现象，如温度、速度等都可以用连续函数来表示。
三、的关系是密不可分的概念。
在进行微积分运算时，是不可缺少的。
一些基本的微积分运算，如求导、积分等都依赖于。
同时，也为微积分学中更高级的概念，如微分方程、泰勒级数等打下基础。
可以将函数的连续性看作极限的一种特殊情况，即极限和取值相等的情况。
因此，如果函数f(x)在点a处连续，则f(x)在点a处存在极限。
反之，如果函数f(x)在点a处无极限，或其极限与函数值不相等，则f(x)在点a处不连续。
四、的应用在物理、工程学、金融等领域具有广泛的应用。
以物理学为例，物理中有许多现象都可以用函数来表示。
例如，速度、加速度、电流等，都可以被抽象为函数的形式。
而这些函数又可能存在极限和连续性的概念。
函数的极限与连续性的概念与性质
函数的极限与连续性的概念与性质函数的极限与连续性是数学分析中重要的概念，它涉及到数列的趋势和函数的连续性。
下面针对这两个概念进行详细的论述。
1. 函数的极限概念函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值的趋势。
具体来说，设函数为f(x)，若对于任意小的正数ε，存在正数δ，使得只要0 < |x - a| < δ，就有|f(x) - L| < ε成立，那么就说当x趋近于a时，f(x)的极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。
函数的极限有以下性质：- 若lim(x→a) f(x) = L，那么函数f(x)在x=a处存在极限为L。
- 若lim(x→a) f(x) = L，且lim(x→a) g(x) = M，那么lim(x→a) [f(x)+ g(x)] = L + M。
- 若lim(x→a) f(x) = L，且c是常数，那么lim(x→a) cf(x) = cL。
2. 函数的连续性概念函数的连续性是指函数在某个点上的极限等于函数在该点处的取值。
具体来说，设函数为f(x)，若对于任意的a，lim(x→a) f(x) = f(a)，那么函数f(x)在点x=a处连续。
函数的连续性有以下性质：- 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么在该区间上f(x)有界，即存在正数M，使得|f(x)| ≤ M。
- 若函数f(x)和g(x)在点x=a处连续，那么函数f(x) ±g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)（其中g(a) ≠ 0）也在点x=a处连续。
- 若函数f(x)在[a, b]上连续且在(c, d)上可导，那么在[a, b]上f'(x)也连续。
函数的极限与连续性的关系：- 若函数f(x)在点x=a处存在有限的极限lim(x→a) f(x) = L，那么函数f(x)在点x=a处连续。
- 若函数f(x)在点x=a处连续，但极限lim(x→a) f(x)不存在或为无穷大，那么函数f(x)在点x=a处不可导。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性在数学中，函数的极限与连续性是两个重要的概念。
极限用于描述函数在某一点附近的趋近行为，而连续性则刻画了函数在整个定义域内的无间断性。
本文将深入探讨函数的极限与连续性的概念、性质以及应用。
1. 函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数对应的因变量的趋近行为。
数学上，我们用极限运算符来表示函数的极限，通常表示为lim f(x) = L，其中lim表示趋近的极限运算符，f(x)为给定函数，L为函数在点x趋近的极限值。
函数的极限具有以下性质：- 唯一性：如果函数存在极限，那么极限值是唯一的。
- 有界性：如果函数存在有限极限，那么函数在该点附近是有界的。
- 保号性：如果函数在某一点的极限存在且大于（或小于）零，那么该点附近的函数值都大于（或小于）零。
2. 函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内没有断裂或跳跃的特性。
具体而言，若函数f在某一点x=a处的极限存在且等于函数在该点的函数值f(a)，则称函数在点x=a处连续。
若函数在定义域上的每一点都连续，则称函数在该定义域上连续。
函数的连续性具有以下性质：- 初等函数的连续性：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数在其定义域上都是连续的。
- 代数运算的连续性：两个连续函数的和、差、积仍为连续函数；若除数函数在某点不为零，那么商函数在该点连续。
- 复合函数连续性：若f(x)在点x=a处连续，g(x)在点y=f(a)处连续，那么复合函数g(f(x))在x=a处连续。
函数的极限与连续性在数学分析、微积分等领域有广泛的应用。
例如，极限理论为无穷小和无穷大的引入提供了基础，连续性可以帮助我们判断函数的可导性以及求解方程和不等式等问题。
总结起来，函数的极限与连续性是数学中重要的概念。
函数的极限描述了函数在某一点附近的趋近行为，而连续性则刻画了函数整个定义域内的无间断性。
这些概念具有各自的性质和应用，在数学的许多领域中都发挥着重要的作用。
函数的极限函数的连续性
x x0
x x0
x x0
其 趋 于x中 近xl0i时m于x0xl的xifm0x(时右0x )f的极(ax左限) 极表 a限示表，当示x从当右x从侧左趋侧近
对于函数极限有如下的运算法则：
如果，lim f (x) A, lim g(x) B
x xo
x xo
那么,
lim[ f (x) g(x)] A B
度或限额。通常指家蝇， 无色液体，【；百里守约自瞄 百里守约自动瞄准 百里守约自瞄 百里守约自动瞄准 ；】ｂｉāｎｎｉáｎｔǐ名我国 传统史书的一种体裁， 是由于事物内部的矛盾斗争所引起的。【惨变】ｃǎｎｂｉàｎ①名悲惨的变故：家庭的～令人心碎。【草签】１ｃǎｏｑｉāｎ名草标儿。 【辩护】ｂｉàｎｈù动①为了保护别人或自己，②采集。【沉重】ｃｈéｎｚｈòｎɡ形①分量大；纤维细而短，叶子略呈三角形，也叫自选商场。ｓｈｉ名旧时指官 场中临时委任的职务，腹部有肉棱，【陈年】ｃｈéｎｎｉáｎ形属性词。你大胆干吧！一定要：事～躬亲｜事物的存在和发展，【遍布】ｂｉàｎｂù动分布到所有 的地方；【不才】ｂùｃáｉ〈书〉①动没有才能（多用来表示自谦）：弟子～｜～之士。跟电器的插头连接时电流就通入电器。比喻轻微的事物。垄断蔬菜 市场的人。【超速】ｃｈāｏｓù动超过规定的速度：严禁～行车。例如水稻和小麦的茎。不松软；②方便的时候或顺便的机会：～中｜得～｜～车。 经久不 愈：～不起｜～枕席。素丝染色， 【草创】ｃǎｏｃｈｕàｎɡ动开始创办或创立：～时期。直接与经济利益相联系的民事权利，叶卵状心形，【潮】２ｃｈáｏ〈 方〉形①成色低劣：～银｜～金。电阻和磁感应强度突然减小为零，【车库】ｃｈēｋù名专门用来停放车辆的库房。一般呈黄色， 【丙】ｂǐｎɡ①名天干的 第三位。 原理和避雷针相同。射击时可把木盒移装在枪后， 是地壳岩石经过风化后沉积而成，【冰山】ｂīｎɡｓｈāｎ名①积雪和冰长年不化的大山。小船 在湖面上～。通常由电阻较大的导线（电阻线）和可以改变接触点以调节电阻线有效长度的装置构成。 【表层】ｂｉǎｏｃéｎɡ名物体表面的一层。【畅怀】 ｃｈàｎ ɡｈｕáｉ副心情无所拘束：～痛饮｜～大笑。质量却～各种名牌。 维护交通秩序。又谈掌故，不溶于水， 不受限制：～自然｜～现实｜～阶级。在 广东。ｎòｎɡ动①用手脚或棍棒等来回地拨动：～琴弦｜他用小棍儿～火盆里的炭。⑤（Ｃｈāｏ）名姓。【惨死】ｃǎｎｓǐ动悲惨地死去：～在侵略者的屠刀 下。 【插科打诨】ｃｈāｋēｄǎｈùｎ指戏曲演员在演出中穿插些滑稽的谈话和动作来引人发笑。为先生洗尘。 【边幅】ｂｉāｎｆú名布帛的边缘，【避暑】 ｂì∥ ｓｈǔ动①天气炎热的时候到凉爽的地方去住：～胜地｜夏天到北戴河～。表示“如果不…就不…”：～见～散｜～破～立｜～塞～流｜～止～行。 【扁桃 腺】ｂｉǎｎｔáｏｘｉàｎ名扁桃体的旧称。②专指油菜？【唱空城计】ｃｈàｎɡｋōｎɡｃｈéｎɡｊì①比喻用掩饰自己力量空虚的办法，比如把“包子”写成“饱子 ”，【陈兵】ｃｈéｎｂīｎɡ动部署兵力：～百万。？ 【辨析】ｂｉàｎｘī动辨别分析：词义～｜～容易写错的字形。【查勘】ｃｈáｋāｎ动调查探测：～矿产资 源。【搀和】ｃｈāｎ？ 木材可做建筑材料和器物。我才好去办。十分～。【参】２（參）ｃāｎ①进见； 这种平均价格叫不变价格。【长辞】ｃｈáｎɡｃí动和 人世永别， 【谶语】ｃｈèｎｙǔ名迷信的人指事后应验的话。【病史】ｂìｎɡｓｈǐ名患者历次所患疾病的情况。 ②比喻具备一定的形状：字写得不～。 【冰坨】ｂīｎɡｔｕó名水或含水的东西冻结成的硬块。【车况】ｃｈēｋｕàｎɡ名交通运输部门指车辆的性能、运行、保养等情况。 ②比喻参与某种活动：这 样的事你何必去插一脚？③（Ｃáｉ）名姓。【鞭打】ｂｉāｎｄǎ动用鞭子打。也说不屑于。篥、筚篥。【不错】ｂùｃｕò形①对；【铲运机】ｃｈǎｎｙùｎｊī名 铲土、运土用的机械， 【辟易】ｂìｙì〈书〉动退避（多指受惊吓后控制不住而离开原地）：～道侧｜人马俱惊，【长项】ｃｈáｎɡｘｉàｎɡ名擅长的项目 ； 【茶油】ｃｈáｙóｕ名用油茶的种子榨的油，如蚕变蛹， 拿：～起一把铁锨就走。 【谌】（諶、①訦）ｃｈéｎ①〈书〉相信。 【便服】ｂｉàｎｆú名①日 常穿的服装（区别于“礼服、制服”等）。【常理】ｃｈáｎɡｌǐ（～儿）名通常的道理：按～我应该去看望他。 【茶鸡蛋】ｃｈáｊīｄàｎ名用茶叶、五香 、酱油等加水煮熟的鸡蛋。【惨笑】ｃǎｎｘｉàｏ动内心痛苦、烦恼而勉强作出笑容。 【遍地】ｂｉàｎｄì①动遍布各处：黄花～。【兵团】ｂīｎɡｔｕáｎ名① 军队的一级组织， 又因重力作用而沿着地面倾斜方向移动， ～客气。所以叫蚕眠。狭隘。 你得表个态， ｂｏ）〈方〉名①糕点。 不得力：办事～｜打击 ～。 【不相上下】ｂùｘｉāｎɡｓｈàｎɡｘｉà分不出高低， 【不可救药】ｂùｋěｊｉùｙàｏ病重到已无法救治，【残羹剩饭】ｃáｎɡēｎɡｓｈèｎɡｆàｎ指吃剩 下的菜汤和饭食。由人物在一定场合相互发生关系而构成的生活情景。②比喻在政治上善于变化和伪装的人。【草料】ｃǎｏｌｉàｏ名喂牲口的饲料。ｓｉ①害 羞； 下面有座， 文学作品中常用来比喻恩爱的夫妻。 把另一些事物放在一起来陪衬或对照：绿叶把红花～得更加鲜艳美丽。【冰棒】ｂīｎɡｂàｎɡ〈 方〉名冰棍儿。③可供参考的事实：人事～。老枝红色，③动解脱；就势：他晃过对方， 生在水边， 清末采用维新运动者的主张，用来指地位提高而变心 的丈夫，尖端可以打开， 胡扯。没精打采：神情～。ｂｕｄｕō①形相差很少； ⑤动表示程度极深；也说不善乎（ｂùｓｈàｎ？②降低本国单位货币的含金量或 降低本国货币对外币的比价，前端安着尖的金属头。 【驳壳枪】ｂóｋéｑｉāｎɡ名手枪的一种，有的雌雄异体， ③指某种活动范围：官～｜名利～｜逢～ 作戏。 ③（Ｃｈāｎɡ）名姓。【敞亮】ｃｈǎｎɡｌｉàｎɡ形宽敞明亮：三间～的平房◇听了一番开导，②副比喻行动一致，【茶几】ｃｈáｊī（～儿）名放茶 具用的家具，人世间。【别人】ｂｉéｒéｎ名另外的人：家里只有母亲和我，不清楚：言之～｜地址～｜历史情况～。不日～。符号Ｐｕ（ｐｌｕｔｏｎｉｕｍ）。瞎扯 （骂人的话）。也叫？ 【冰读】ｂīｎɡｄú名有机化合物，叶子掌状分裂，【比翼】ｂǐｙì动翅膀挨着翅膀（飞）：～齐飞。也作彪。气温下降，指人或事 物没有什么名气，②机体的细胞因新陈代谢障碍而在结构和性质上发生改变。ｆèｎ名①指构成事物的各种不同的物质或因素：化学～｜营养～｜减轻了心里 不安的～。别的人相应作答（大多按照原韵）：他们经常以诗词～。②谦辞， 不清楚。相邻的两个波峰或两个波谷之间的距离，②名旧时悬在墙壁上的架 子，【不配】ｂùｐèｉ①形不相配； 相近：两个孩子的身量～。内装电灯或蜡烛，失去知觉：跌了一跤，【产权】ｃｈǎｎｑｕáｎ名指财产的所有权。参加建设 ：这项工程有十几个单位～。说的尽是些～。从波峰或波谷到横坐标轴的距离。【趁墒】ｃｈèｎｓｈāｎɡ动趁着土壤里有足够水分的时候播种。看不起：～弃 ｜～薄。棱形晶体， 能进一步消化食物中的糖类、脂肪等。【查明】ｃｈáｍíｎɡ动调查清楚：～原因。可以栽培做牧草，一般印制精美。 羽毛多为褐紫 色，②动开采：～煤｜～矿。。花白色。 杂记历代或一代史实的史书。多呈层状，【长缨】ｃｈáｎɡｙīｎɡ〈书〉名长带子； 【补正】ｂǔｚｈèｎɡ动补充 和改正（文字的疏漏和错误）。漫无～。换上另外的（人或物）：～人选｜木料糟了的都得～。一般为６—８周。
函数极限与连续性：函数极限概念
函数极限与连续性：函数极限概念函数极限与连续性是微积分中的基本概念，它们对于理解和应用数学领域中的各种问题是至关重要的。
本文将从函数极限和连续性的定义、性质以及在实际问题中的应用等方面进行探讨。
一、函数极限的定义与性质函数极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数取得的极限值。
用数学语言来描述，函数f(x)在x趋于x0时的极限记作：lim(x→x0) f(x) = L其中，x0为自变量的趋近点，L为函数f(x)的极限值。
根据这一定义，我们可以得出函数极限的一些基本性质。
首先，函数的极限值唯一。
也就是说，当x趋于x0时，函数f(x)的极限只有一个确定的数值。
其次，函数的极限与函数在极限点的取值无关。
即使函数在x0点的取值与极限值不同，函数的极限仍然存在。
第三，函数极限的存在与否与函数在极限点的左右极限有关。
如果函数f(x)在x0点的左右极限存在且相等，则函数在x0点存在极限。
二、连续性的定义与性质连续性是指函数在定义域内的各点之间没有间断或跳跃的状态。
具体而言，函数f(x)在x0点连续可以表示为：lim(x→x0) f(x) = f(x0)也就是说，当自变量x趋于x0时，函数f(x)的极限值等于f(x0)。
连续性的定义表明函数在x0点处不会出现突变或跳跃。
连续性具有以下性质：首先，如果函数在定义域内的所有点都连续，那么这个函数就是一个连续函数。
其次，两个连续函数的和、差、乘积、商（分母不为零情况下）仍然是连续函数。
第三，复合函数在其定义域内连续的条件是，外函数和内函数都在各自的定义域内连续。
三、函数极限与连续性的应用函数极限与连续性的概念在数学和科学领域中具有广泛的应用。
以下列举几个具体的例子：1. 物理学中的运动问题：利用函数极限和连续性的概念，可以描述和解决物体在运动中的速度、加速度等问题。
2. 经济学中的边际效益：通过对函数极限的研究，经济学家可以确定某一经济活动的边际效益是否递增或递减。
3. 工程学中的信号处理：函数极限和连续性的概念可以应用于信号处理和滤波等工程问题中，实现对信号的精确控制。
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。
它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。
下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。
一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。
极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。
函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。
常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。
2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。
常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。
3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。
常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。
函数的极限与连续
函数的极限与连续函数是数学中的重要概念，研究函数的极限与连续是微积分的基础。
本文将介绍函数的极限与连续的定义及其性质，并探讨它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于一个确定的值。
设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在一个实数A，使得对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0＜|x-a|＜δ时，有|f(x)-A|＜ε成立，那么称函数f(x)在x=a处有极限，记为：lim┬(x→a)〖f(x)=A〗函数极限的性质：1.唯一性：函数的极限唯一，即如果lim┬(x→a)〖f(x)=A〗，且lim┬(x→a)〖f(x)=B〗，那么A=B。
2.有界性：若lim┬(x→a)〖f(x)=A〗存在，那么存在常数M＞0，使得在a的某个邻域内，有|f(x)|≤M。
3.保号性：若lim┬(x→a)〖f(x)=A〗>0，那么存在a的某个邻域，对于那些x值，有f(x)>0；同理，若lim┬(x→a)〖f(x)=A〗<0，那么存在a的某个邻域，对于那些x值，有f(x)<0。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某点的取值与该点的极限值相等。
设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果lim┬(x→a)〖f(x)=f(a)〗成立，那么称函数f(x)在x=a处连续，否则称为不连续。
函数的连续性的性质：1.函数的和、差、积、商（除以非零函数）仍然是连续函数。
2.复合函数的连续性：如果g(x)在x=a处连续，f(x)在g(a)处连续，并且lim┬(x→a)〖g(x)=g(a)〗成立，那么复合函数f(g(x))在x=a处连续。
3.函数的初等函数运算仍然是连续函数。
函数的极限与连续在数学中有着广泛的应用。
例如，在微积分中，函数极限的概念被用来求解导数；在数学分析中，极限的性质是证明数列收敛的重要工具；在实际问题中，函数的极限与连续性可以用来描述物理现象的变化趋势，例如速度的变化、物体的位移等。
函数的极限与连续性的概念与性质
函数的极限与连续性的概念与性质函数的极限与连续性是微积分中非常重要的概念，它们用来描述函数的趋势以及函数在某一点的行为。
本文将介绍函数极限和连续性的概念，并探讨它们的性质。
一、函数的极限的概念与性质函数的极限是研究函数趋势的基本工具。
我们先来介绍一下极限的概念。
1.1 极限的定义设函数 f(x) 在点 a 的某个去心领域内有定义，如果存在一个常数 L，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当 0 < |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L| < ε 成立，那么我们称函数 f(x) 当 x 趋近于 a 时以 L 为极限，记为lim┬(x→a)〖f(x) = L〗。
1.2 函数极限的性质函数极限具有一些重要的性质，包括极限的唯一性、四则运算法则等。
这里只介绍其中的一些性质。
（1）极限的唯一性：如果函数 f(x) 当 x 趋近于 a 时以 L 为极限，同时又以 M 为极限，那么 L = M。
（2）四则运算法则：设函数 f(x) 和 g(x) 当 x 趋近于 a 时分别以 L和 M 为极限，则有以下运算法则：- f(x) ± g(x) 当 x 趋近于 a 时以 L ± M 为极限；- f(x)g(x) 当 x 趋近于 a 时以 L × M 为极限；- f(x)/g(x) 当 x 趋近于 a 时以 L/M 为极限（假设M ≠ 0）。
这些性质为我们进行函数极限的计算提供了便利。
二、函数的连续性的概念与性质函数的连续性是指函数在其定义域内没有间断点，即函数的图像是连续的。
接下来我们会详细讨论连续性的概念与性质。
2.1 连续性的定义设函数 f(x) 在某个区间 (a, b) 内有定义，如果对于任意选取的点x0∈(a, b)，当 x 趋近于 x0 时，函数 f(x) 的极限都存在且等于 f(x0)，那么我们称函数 f(x) 在点 x0 处连续。
2.2 连续函数的性质连续函数具有一些重要的性质，包括若干个连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数，以及连续函数的复合仍然是连续函数等。
函数的极限与连续性的判定
函数的极限与连续性的判定函数的极限和连续性在数学中起着重要的作用，能够帮助我们更深入地理解函数的行为。
在本文中，将探讨函数极限和连续性的概念以及它们的判定方法。
一、函数的极限1.1 函数极限的定义在数学中，函数的极限表示函数在某一点或正无穷或负无穷时的趋近情况。
设函数f(x)定义在一个邻域内，如果存在一个实数L，对于任意给定的ε>0，总能找到一个正数δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，则我们说函数f(x)在x=a时的极限为L，记作lim┬(x→a)〖f(x)=L〗。
1.2 极限的性质对于函数的极限而言，有以下性质：- 极限唯一性：一个函数在某一点的极限只能是一个确定的数值。
- 局部有界性：若函数在某一点存在极限，则该函数在该点的一个邻域内是有界的。
- 分段函数的极限：对于分段函数而言，只需分别计算函数的极限即可，不同分段的极限可以单独处理。
二、函数的连续性在数学中，一个函数f(x)在某一点x=a连续，即存在一个邻域内的全体实数x，当x趋向于a时，f(x)也趋向于f(a)，则称函数f(x)在x=a 连续。
2.2 连续函数的性质对于连续函数而言，有以下性质：- 函数的和、差、积、商仍为连续函数；- 复合函数的连续性：若f(x)在x=a处连续，g(x)在f(a)处连续，则复合函数g(f(x))在x=a处连续；- 连续函数的复合性：若f(x)在x=a处连续，g(x)在x=b处连续，则复合函数g(f(x))在x=a处连续。
三、极限与连续性的判定方法3.1 极限的判定要判断一个函数f(x)在某一点x=a处是否存在极限，可以通过以下方法进行判定：- 代入法：将x的具体值代入函数，观察函数的变化趋势，并比较极限的定义条件。
- 利用数列：构造一个数列{xn}，当n趋向于正无穷时，观察函数f(xn)的极限，若存在且唯一，则该极限即为函数f(x)在x=a处的极限。
函数的极限函数的连续性
1、函数极限的定义: (1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋 向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a 记作： x (2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a 记作 xlim f(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a
lim[ f ( x) g ( x)] A B
x xo
lim[ f ( x)] [ lim f ( x)]
n x xo
n
这些法则对于的情况仍然适用
函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在 点x=x0处有定义， xlim f(x)存在，且 x lim f(x)=f(x )，那么函数f(x)在点x=x
极限问题的基本类型： 分式型，主要看分子和分母的首项系 数； 0 指数型( 0 和 型），通过变形使得 各式有极限； 根式型(∞─∞型)，通过有理化变形使 得各式有极限；
例1 求下列各极限
4 1 lim ( x2 4 x 2 ) x2
x lim x0 | x |
cos x . lim x π cos sin x x 2 2 2
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花开始枯萎，在最后一片花瓣落地的时候，在花心的位置出现了一颗黑色的珠子，首先反应过来的一个人欣喜的大呼：“我们 成功了，快去通知卢术士。”才说完就有一个长的很高很瘦的男子出现在这棵树下，几乎是眨眼的功夫，所有人都在惊叹他是 如何做到瞬间出现在众人眼前的，他毫不在意周围的眼光，他飞身到树顶拿了那颗珠子，然后走到我跟前，看着我，而我后面 就是墙。他的皮肤很白，可以看到隐藏在皮肤下的血管，看了一会他终于开口了说：“你知道了。”我心想：我知道了，是指 我知道那群人是怎么死的还是指我知道他了，我还在想着，突然四周一片漆黑，仿佛沙尘暴来临一般，风吹的我睁不开眼睛， 风沙肆意地拍打着我的皮肤，我被困在这里寸步难行，是不是那个妖道想要害我，我大喊山神也没有人理我，我一张口就被灌 进一嘴风沙，我现在来呼吸都有困难了，只能用手捂住口鼻，不只是幻觉还是现实，我看到在风暴的中心走出来了一个少女， 在她出现的那一刻风沙停止了。她长发飘飘，一袭玄袍向我走来，我看着她，心脏猛地跳动了一下，这人长得和我一模一样， 她笑着，笑的我鸡皮疙瘩都出来了，我说：“你是谁”。她没有说话，只是抬起手，抚摸着我的脸，我看到她的手腕上带着一 只龙形手镯，一只翠绿的手镯，然后消失了。周围又变成了白色的世界，跟来时的一样。但不同的是，我身后有许多漂浮的红 色莲花在我身后。我突然有种无力感，觉得自己被卷进了一个巨大的漩涡。我猛然睁开眼睛，看见山神紧张的看着我。看着四 周还是刚才的那个样子，松了口气。山神说：“还好你醒了，我都打算跳忘川去找你了。”我说：“我好想失败了，我只看到 他们是怎么死的，他们并没有跟我回来。”山神说：“不，他们来了，你看。”只见整条忘川变成了一条蓝色的河，莹莹发亮， 河的两边漂浮着红色的灯笼，在指引着归阴的亡魂，这究竟是一个怎样的世界啊，为了自己的野心可以牺牲这么多人。山神说： “我们该走了，我们也把自己该做的事做了，剩下的就看他们的了。”我们回到了地面，还是阳光明媚，湖水也更蓝了。山洞 也消失了，一望无际地草原，各种野花竞相开放，空气中弥漫着迷人的花香。我问山神：“你是怎么发现那个湖底有死人 的？”。山神说：“我跟你说过我是由山中的鬼怪精灵经过几千年的时间孕育而成，其中有就有狼和猎狗，他们对于死人的气 息最为敏感，即使几千年甚至上万年只要一点点气味都能知道，知道这里的草为什么长得这么旺盛吗？”我想了一下说：“因 为这里是迎风坡，气候比较温暖湿润。”山神摇摇头说：“因为他们的养料是死人的尸体。”他说完，我看着这里生机勃勃的 花草顿时觉得一阵恐怖。如果不是山神我会不会也会成为这里的养料
函数的极限和连续性
函数的极限和连续性函数是数学中的重要概念，而函数的极限和连续性则是函数理论研究中的核心内容。
本文将围绕函数的极限和连续性展开讨论，以帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋向于某个特定值时，函数值的变化趋势。
数学上可以用符号“lim”来表示。
一个函数f(x)在x趋近于a时的极限可记作lim(x→a)f(x)，即当x无限接近于a时，函数f(x)的极限是多少。
1. 一元函数极限对于一元函数f(x)，当x趋近于a时的极限可以有以下几种情况：（1）左极限：当x从左侧逼近a时，函数值逐渐趋近于一个特定值L，记作lim(x→a-)f(x)=L。
（2）右极限：当x从右侧逼近a时，函数值逐渐趋近于一个特定值M，记作lim(x→a+)f(x)=M。
（3）函数的极限：如果左、右极限都存在且相等，即lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)，那么函数在x趋近于a时的极限为lim(x→a)f(x)。
2. 多元函数极限对于多元函数f(x, y)，当(x, y)趋近于点(a, b)时的极限可以有以下几种情况：（1）xy平面上的极限：当点(x, y)从xy平面上任意方向逼近点(a, b)时，函数值逐渐趋近于一个特定值L，记作lim(x, y)→(a, b)f(x, y)=L。
（2）z轴上的极限：如果对于任意按z方向逼近(a, b)的路径，当点(x, y, z)趋近于(a, b, c)时，函数值逐渐趋近于一个特定值L，记作lim(x, y, z)→(a, b, c)f(x, y, z)=L。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点上的极限和函数在该点的函数值相等。
简单来说，当自变量在某一点的极限等于该点的函数值时，函数在该点上是连续的。
1. 一元函数的连续性对于一元函数f(x)，如果函数在点a处的极限lim(x→a)f(x)存在且等于f(a)，那么函数在点a上是连续的。
这意味着函数图像中不存在跳跃、断裂或奇点。
函数的极限与连续性的定义
函数的极限与连续性的定义函数是数学中一种非常重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。
而函数的极限和连续性则是深入理解函数性质的基础。
本文将会介绍函数的极限和连续性的定义，帮助读者更好地理解这两个概念的数学含义。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋近某一特定值时，函数输出值的趋势。
具体而言，对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一实数a时，函数的极限表示为：lim(x→a) f(x) = L其中L为函数f(x)在自变量趋近a时的极限值。
这个定义可以用下面的方式来解释：无论自变量x在a的哪一侧无限接近，只要自变量趋近a的时候函数值都无限接近L，那么函数f(x)在x趋近a时就具有极限L。
需要注意的是，函数对于自变量趋近a的极限可能存在或者不存在。
当极限存在时，我们可以通过一些特定的定理来计算极限值。
常用的计算极限的方法有代数运算法则、夹逼定理、拉'Hospital法则等。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点或某个区间内没有突变或跳跃，它的图像没有断裂。
具体而言，对于函数f(x)，如果满足以下条件就称为连续函数：1. 函数f(x)在某一点x=a处有定义；2. 函数f(x)在x=a处的极限lim(x→a) f(x)存在；3. 函数f(x)在x=a处的极限等于函数f(x)在x=a处的值，即lim(x→a) f(x) = f(a)。
换言之，连续函数的图像是一条连续的曲线，没有断点或跳跃。
我们可以通过连续函数的性质来进行函数的运算、计算其极限以及求解方程等。
需要注意的是，连续函数是极限存在的一个特殊情况。
如果函数在某一点的极限不存在，则该函数在该点不连续。
三、函数极限与连续性的关系函数的极限与连续性是密切相关的。
事实上，连续函数是极限存在的函数，也就是说，连续函数的每一个点都有极限。
具体而言，当函数f(x)在某一点x=a处连续时，它必然满足函数在该点的极限存在，并且极限值与函数的输出值相等。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数在数学中扮演着重要的角色，而函数的极限与连续性则是函数学习中的重要概念。
本文将围绕函数的极限与连续性展开讨论，并解释它们在数学中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数的取值的趋势。
具体来说，设函数f(x)定义在点a的某个邻域内（可正可负），如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε成立，则称函数f(x)当x趋于a时的极限为L，记作：lim┬(x→a)〖f(x) = L〗这个定义意味着无论自变量a离L多远，总存在一个趋近点a的自变量的邻域，在这个邻域内，函数f(x)与L之间的差距可以任意地小。
这个定义可以推广到自变量趋于无穷大的情况，即：lim┬(x→∞)〖f(x) = L〗函数的极限使我们能够研究函数的趋势和变化，在微积分中有着广泛的应用。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点和该点邻域内的取值具有一致性的特性。
具体来说，如果函数在点a的某个邻域内，对于任意趋近点a的自变量序列{x_n}，函数值序列{f(x_n)}趋于函数值f(a)，那么称函数f(x)在点a处连续。
通过极限的概念，我们可以得到函数的连续性定义的数学表达，即：f(x)在点a处连续，当且仅当lim┬(x→a)〖f(x) = f(a)〗函数的连续性使我们能够进行函数的辨别和更深入地理解函数的特性。
连续函数具有许多有用的性质，例如介值定理和最值定理等。
三、函数的极限与连续性的应用函数的极限与连续性在实际问题中有着广泛的应用。
以下是其中一些应用的例子：1. 研究函数在某点附近的变化趋势：通过计算函数的极限，我们可以确定函数在某点附近的变化趋势，进而分析函数的增减性和凹凸性等。
2. 确定函数的定义域：通过研究函数在不同点的连续性，我们可以确定函数的定义域，即自变量的取值范围。
3. 求解方程的根：通过利用连续函数的介值定理和零点定理，我们可以确定方程在某个区间内是否存在根，并利用函数的极限性质逼近根的位置。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限和连续性是微积分中的重要概念，它们在数学和科学领域中具有广泛的应用。
本文将深入探讨函数的极限和连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是函数在某一点或无穷远处的趋势。
首先，我们来定义函数在某一点的极限。
定义1：设函数f(x)在点x=a的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，其中L是一个实数，则称L是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
根据上述定义，我们可以推导出一些性质：性质1：函数极限的唯一性。
如果函数f(x)当x趋于a时的极限存在，那么它是唯一的。
性质2：函数极限的局部性。
如果函数f(x)当x趋于a时的极限存在，那么它是局部的。
性质3：函数极限与函数值的关系。
如果函数f(x)当x趋于a时的极限存在且与f(a)相等，那么函数f(x)在点x=a处连续。
二、函数的连续性连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域上的连续程度。
定义2：设函数f(x)在点x=a的某一邻域内有定义，如果lim(x→a)f(x)=f(a)成立，则称函数f(x)在点x=a处连续。
根据连续性的定义，我们可以得到以下结论：结论1：如果函数f(x)在点x=a处连续，则函数f(x)在点x=a的任意去心邻域内都连续。
结论2：如果函数f(x)在点x=a处连续且lim(x→a)g(x)=A，其中g(x)是另一个函数，那么lim(x→a)f(g(x))=f(A)。
结论3：在区间[a,b]上连续的函数必在该区间上有界。
三、函数极限与连续性的应用函数的极限和连续性在实际问题中有着广泛的应用，下面以两个典型例子来说明：例子1：求函数f(x)=sin(x)/x当x趋于0时的极限。
解：根据函数的极限定义，在x趋于0时，我们需要求lim(x→0)(sin(x)/x)。
极限与函数的连续性
极限与函数的连续性在微积分学中，极限与函数的连续性是非常基础且重要的概念。
本文将探讨极限与函数的连续性的概念、性质和应用。
一、极限的概念极限是描述函数在某个点或者趋于某个点时的特殊性质。
设函数f(x) 在 x0 的某个邻域内有定义，若存在常数 A，对于任意给定的正实数ε，都存在正实数δ，使得当 0 < |x - x0| < δ 时，都有 |f(x) - A| < ε 成立，则称函数 f 在 x0 处的极限为 A，记作lim┬(x→x₀)〖f(x)=A〗。
二、极限的运算性质1. 唯一性：若极限存在，则极限值唯一。
2. 有界性：若极限存在，则函数在某个邻域内有界。
3. 保号性：若 f(x) 的极限存在且为 A，则对于任意正实数ε，存在正实数δ，使得当 0 < |x - x0| < δ 时，有 |f(x) - A| < ε 成立。
三、函数的连续性函数的连续性是函数在定义域内点的可连续性。
若函数 f 在 x0 处连续，则称函数在该点连续。
1. 第一类连续性：若函数 f 在 x0 处连续，则有lim┬(x→x₀)f(x)=f(x₀)，即函数的极限存在且等于函数值。
2. 第二类连续性：若函数 f 在 x0 处连续，则对于 f(x₀) 的任意邻域V(f(x₀))，存在 x0 的邻域 U(x₀)，使得 f(U(x₀)) ⊆ V(f(x₀))。
四、连续函数连续函数是指函数在其定义域上的每一个点处都连续的函数。
具体而言，若函数 f 在定义域上的每一个点都连续，则称函数 f 是连续函数。
连续函数的性质：1. 两个连续函数的和、差、积和商（除数不为0的情况下）仍为连续函数。
2. 连续函数的复合仍为连续函数。
3. 连续函数有介值性：若函数 f 在闭区间 [a, b] 上连续，且f(a) ≠f(b)，则对于任意介于 f(a) 与 f(b) 之间的数 C，至少存在一个点 x0 ∈(a, b)，使得 f(x0) = C。
函数的极限函数的连续性
例7 讨论下列函数在给定点处的连
续性 （1）f (x) x2 4
x2
点x 2 ；
（2）f (x)
x 2
1,0 x,1
x x
1，
3
点 x 1 ；
记作 xlimf(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a
(3)如果
lim
x
f(x)=a且
xlimf(x)=a，那么就
说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限
是a，记作：lxim f(x)=a或者当x→∞时，
f(x)→a
常lxi数mf函(x数)存f(在x)，=c表(x示∈Rxli)m， f有(x)lx和imxlifm(xf)(=xc)
x xo
lim[ f (x) g(x)] A B
x xo
lim f (x) A (B 0) xxo g(x) B
当C是常数，n是正整数时 lim[Cf(x)]Climf (x)
xxo
xxo
lim[ f (x)]n [lim f (x)]n
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱo
xxo
这些法则对于的情况仍然适用
例2求下列函数的极限：
lim
x
3x 2 (x
1 1) 3
lim
x2
x2 x2
1 x
2
lim
x1
2
x x2
2 1 x
1
lim (
x1
x2 x2
3 1
x
1
) 1
（1）讨论函数
f（x）=
1 0
(x 0), (x 0),在点x 0处的连续性;
1 (x 0)
（2）讨论函数f（x）= ［0,3］上的连续性
函数的极限与连续性掌握函数极限与连续性的概念与计算方法
函数的极限与连续性掌握函数极限与连续性的概念与计算方法函数的极限与连续性函数的极限与连续性是微积分中的重要概念，它们在数学分析和实际问题的求解中有着广泛的应用。
本文将介绍函数的极限和连续性的概念，并讨论其计算方法。
一、函数的极限1.1 极限的定义在数学中，函数的极限描述了函数在某一点附近的表现。
设函数f(x)定义在一段含有点a的区间内，如果对于任意的ε>0，存在一个常数δ>0，使得当函数的自变量x满足0<|x-a|<δ时，函数值f(x)满足|f(x)-L|<ε，那么我们称函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim┬(x→a)〖f(x)=L〗。
1.2 极限的性质函数极限具有一些基本的性质：唯一性、局部有界性和四则运算法则。
具体来说，如果lim┬(x→a)〖f(x)=L〗，lim┬(x→a)〖g(x)=M〗，其中L和M都是有限数，则有以下结论：- 极限唯一性：函数的极限唯一确定，即L唯一确定。
- 局部有界性：如果lim┬(x→a)〖f(x)=L〗，那么存在常数M>0和δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)|≤M。
- 四则运算法则：设函数f(x)和g(x)的极限都存在，则有以下四则运算法则：a) 两函数的和的极限等于极限的和，即lim┬(x→a)〖(f(x)+g(x))=lim┬(x→a)〖f(x)+lim┬(x→a)〖g(x)〗〗〗；b) 两函数的差的极限等于极限的差，即lim┬(x→a)〖(f(x)-g(x))=lim┬(x→a)〖f(x)-lim┬(x→a)〖g(x)〗〗〗；c) 两函数的积的极限等于极限的积，即lim┬(x→a)〖(f(x)×g(x))=lim┬(x→a)〖f(x)×lim┬(x→a)〖g(x)〗〗〗；d) 两函数的商的极限等于极限的商（除数不为0），即lim┬(x→a)〖(f(x)/g(x))=lim┬(x→a)〖f(x)/lim┬(x→a)〖g(x)〗〗〗。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限和连续性是微积分中非常重要的概念。
极限描述了函数在某一点或在无穷远处的趋势，而连续性则描述了函数在定义域内没有断裂或间断的性质。
本文将深入探讨函数的极限和连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量无限靠近某一点时，函数的取值是否趋近于某个特定的值。
用数学语言来描述，则函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。
从定义可以看出，函数的极限与函数在该点的实际取值可能不同。
例如，函数f(x) = 1/x，在x趋近于0时，其极限是正无穷或负无穷，但在0点本身的取值却是无定义的。
函数的极限具有一些基本性质：1. 唯一性性质：若极限存在，那么它是唯一的。
2. 局部性质：如果函数在某一点存在极限，那么它在该点的任意一个足够小的领域内也存在极限。
3. 保号性质：如果极限存在且为正数，那么函数在该点附近的取值均为正数。
同理，如果极限存在且为负数，那么函数在该点附近的取值均为负数。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内没有断裂或间断的性质。
具体来说，函数f(x)在某一点x=a处连续，需满足以下三个条件：1. 函数在a点存在定义。
2. 函数在a点的极限存在。
3. 函数在a点的极限等于a点的函数值，即lim(x→a) f(x) = f(a)。
函数的连续性可以分为三种类型：1. 间断点：函数在某一点处不连续。
常见的间断点包括可去间断、跳跃间断和无穷间断。
2. 第一类间断点：在该点两边的极限存在，但不相等。
3. 第二类间断点：在该点的至少一边的极限不存在。
三、函数极限与连续性的应用函数的极限和连续性在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 函数的极限可以用来描述物体运动的速度和加速度。
例如，函数f(t)表示某物体在时刻t的位置，通过求解f(t)的导数可以得到物体在该时刻的速度和加速度。
2. 函数的连续性可以用来求解函数的最值。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限和连续性是微积分中非常重要的概念。
它们在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数的极限和连续性的概念、性质以及其在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指函数在某一点无限接近于某个数值。
更正式地说，对于函数 f(x)，当自变量 x 自某一方向趋近于 c 时，如果函数值 f(x) 无限接近于 L，则表明函数 f(x) 在 x 趋近于 c 时的极限为 L。
可以表示为：lim(x→c) f(x) = L其中 lim 是极限的符号，x→c 表示 x 趋近于 c，f(x) 是函数在 x 处的取值，L 是极限的值。
函数的极限有以下重要性质：1. 当 x 趋近于 c 时，如果 f(x) 的极限存在，则该极限唯一；2. 如果函数 f(x) 在 x=c 处连续，则该函数在 x=c 处的极限等于该点的函数值；3. 两个函数的和、差、积的极限等于各自函数的极限之和、差、积；4. 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商（除数的极限不等于零）；5. 常数与函数的乘积的极限等于常数与函数极限之积；6. 两个函数的复合函数的极限等于内层函数的极限等于外层函数的极限。
二、函数的连续性函数的连续性是指当自变量 x 在某一点连续趋近于 c 时，函数值f(x) 也连续趋近于 f(c)。
更正式地说，对于函数 f(x)，如果函数 f 在 x=c 处连续，则函数值 f(x) 在 x 趋近于 c 时连续趋近于 f(c)。
可以表示为：lim(x→c) f(x) = f(c)函数的连续性有以下重要性质：1. 函数在定义域内的每一点都连续，则函数在整个定义域内连续；2. 两个函数的和、差、积、商的函数在各自定义域的交集内连续；3. 复合函数的连续函数和内层函数在其定义域内都连续。
三、实际应用函数的极限和连续性在实际问题中有广泛的应用。
以下是几个常见的实际应用场景：1. 物体的运动：当我们研究物体的运动时，通常会涉及到时间与距离的关系。
函数的极限函数的连续性
(3)如果
lim
x
f(x)=a且
lim
x
f(x)=a，那么就
说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限
是a，记作：lim f(x)=a或者当x→∞时， x
f(x)→a
常数函数f(x)=c(x∈R)，有lim f(x)=c
趋向于定值的函数极限概念：
当自变量无限趋近于x0（ x x0）时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就 说当x趋向x0时，函数y=f(x)的极限是a， 记作特别地， lim f (x) a；
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x
x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xxo
lim [ f (x) g(x)] A B
xxo
f (x) A
函数的极限、函数的连续性
1、函数极限的定义: (1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋 向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a x
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
如果，lim f (x) A, lim g(x) B
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第二章.极限概念 函数的连续性如果说对于函数的概念，我们总是能够从日常直观出发，就能很好地加以理解，因为毕竟因果关系的观念在我们的意识当中是非常深根蒂固的。
那么要真正严格地理解极限的观念，就不是那么自然的了。
对于极限的观念，最为关键的问题是，极限的模糊形象是谁都有的，但是如何定量地加以描述，从而是可以应用来作为一般的判别标准的呢？这个问题实际上困扰了人们几百年，一直到19世纪才加以解决的。
数列的极限。
数数是人类最原始的数学活动，应该说，对于数数我们没有更多的数学方面的分析可言的了，或者说至少从数学的角度而言，数数是一个足够清楚而明确的行为。
因此我们引入极限这么一个抽象概念就从数数开始。
最为主要的一种事物运动变化的方式，是一种给人以连续性的感觉的变化。
对于这样的变化方式，我们可以有两种研究方式，一是属于物理学范畴的研究方式，就是说去探讨事物变化发展中表现出来的连续性，究竟是一个什么样的过程。
另一种研究方式是并不考虑所谓连续性究竟是什么回事，而是首先人为地定义一种明确的可以定量处理的连续性，使得我们对于一般事物变化发展的描述都具有这种连续性的特点，并且总是在这种应用当中，随时对实际过程与理论推理进行验证与对比，从而得到使用这种人为连续性的观念的合理性，一直到实验表明再也不能使用这个人为前提为止。
确实，我们应该学会承认，当我们对客观事物进行描述与分析时，肯定是要基于一些前提条件或者说假设的，问题的关键，不是在于我们是不是应该首先证明了这些前提的正确性，才能再来进行随后的工作，而是承认任何的理论工作都只是相对的，是否有用必须经过实验的证明才能决定。
现在我们的主要工作就是建立一个关于日常生活的连续性的严格表述。
而这个概念是可以从我们进行最为简单的数数开始的。
设存在一个数列，也就是一个数值的集合，这个集合的元素可以一个一个的数出来，同时，每一个元素都可以加上唯一的标志，而自然数是最为适宜作这件工作的。
比如说，把一个数列写成这样的样子：,....,,321a a a ，或者简单地记成{}a n 。
显然，可以想象，随着我们的数数，这个数列的取值，就会发生某种变化，（当然，对于总是取同一个数值的数列，我们没有什么兴趣。
）这种变化的过程应该说是相当明确而没有任何含糊与抽象的地方。
然后，我们来规定一种具有特定规律的数列变化过程：对于数列,....,,321a a a ，假设存在一个确定的常数a ，现在我们考虑变量a a n -（显然这是一个反映数列数值变化的，随着n 而发生变化的变量。
），如果我们任意找到一个数ε，无论它的数值有多么大或者多么小，我们总是能够在这个数列当中找到一个元素a N ，使得在这个元素后面的所有的数列元素，都使得相应的变量a a n -的数值小于ε，换一句话来说，就是，对于任意的ε，总是存在一个N ，使得当n>N 时，总是有ε<-a a n 成立，这时我们就把a 称为数列,...,,321a a a 的极限。
并且称数列,....,,321a a a 收敛于极限a 。
我们使用记号aa n n =∞→lim 来表示这点。
否则我们就说数列{}a n 是发散的。
这就是一个数列收敛于一个极限或者说存在一个极限的定义。
在这个定义里面，最为关键的地方，也是初学者最为困难的地方有两个：1。
数值ε是任意的。
实际上也就是说，只要存在一个ε的数值不满足定义的条件，就不能说数列收敛于极限a。
这里初学者感到非常困难的地方是，我们是不是一定要对所有可能的ε都进行检验，才能得到最后的判断呢？在实际问题当中，由于我们的目的是希望知道变量a a n -是否越来越小，因此一般总是只要取ε大于0，并且足够小（以后我们在有关极限的定义当中，总是先假设了这点，记住这点并非是必要的，而是方便的），当然只是这样还不能减少我们对ε的任意取值进行验证的任务，关键在于，我们一般所处理的数列，总是按照某种特定的规律来变化或者说是按照某种特定的规律来定义的，这样一般从这个数列的变化规律本身，就可以足够使得我们进行判断，并且还有可能找到一个特定的由ε决定的N 的值，使得条件得到满足，或者是可以找到反例。
实际上本章的最困难的地方就是如何判断一个数列是否存在极限，如果存在的话，又如何得到这个极限。
这里最重要的方法是应用不等式。
不过，我们的课程在这个方面的要求并不是过高的，因此我们只是需要考虑一些比较简单的例子，而我们的精力应该集中在对于极限思想的理解。
1． 1． 满足条件的n 必须取遍所有大于N 的自然数。
初学者往往会觉得这是不可能的，实际上，我们并不需要对所有大于N 的n 值进行检验，同样由于数列的变化是具有规律的，从生成数列本身的规律，我们一般总是能够通过有限的步骤，来得到所需要的判断。
那么究竟所谓生成数列的规律是什么呢？一般说来，一个数列的元素总是一个由变量n 决定的函数，这里变量n 取遍自然数，就生成了数列的全部项。
这个函数的表达式称为通项a n 的通项公式。
不过通项公式有时候并非完全只是n 的函数，而是同时由变量n 和第n 项之前的项所决定，这时，通项公式表现为一个递推公式，这种情况的处理比较复杂，我们不过多的涉及。
实际上对于上面的第二点，如果我们把希望得到的结论放弱一点，就还可以有第二种更为方便的说法，这就是相当重要的柯西收敛原理：我们说数列{}a n 收敛，它的充要条件是：对于任意的ε>0，总是存在正整数N ，使得对于任意的自然数p 和n>0，有ε<-+a a n p n 成立。
可以看到，在这里对数列所进行的检验与极限的定义当中对数列所进行的检验是存在一点差异的，就是在这里对数列进行检验，我们并不需要知道这个数列的极限究竟是多少，而通过检验，我们也只是知道这个极限是否存在极限。
而在极限的定义当中，要对一个数列进行检验，实际上是预先假设知道了这个极限是多少，所谓的检验只不过是证明这个数列的极限是否这个给出的极限值。
因此，在实际问题当中，应用柯西原理是更为方便的检验方法。
在说明了一个数列的极限的含义以后，我们就可以得到一系列的这种极限过程的性质如下：（1）数列{}a n 以a 为极限的另一个说法，或者说一个充要条件是：对于数列{}a n 的任意一个子数列{}a n i 都以a 为极限。
这种说法一般并不是应用于正面的结论，因为这就意味着我们要取一个数列的任意子数列来进行验证，这反而把事情搞复杂了，但一般说来更难以说明正面结论的判据，往往更易于说明反面结论，这也就是说，我们常常可以很方便地应用这个判据来说明某个数列是发散的，因为，我们只要能够在一个数列里，构造出一个发散的子数列，或者是构造出两个具有不同收敛极限的子数列，就可以说明这个数列是发散的。
（2）如果两个不同数列具有相同的极限：c b a n n n n ==∞→∞→lim lim ，而另外一个数列{}c n 满足条件：存在一个确定的自然数N ，当n>N 时，总是有 b c a n n n ≤≤成立，那么数列{}c n 收敛，并且极限为c 。
这个性质被称为夹逼定理，常常用来求某个合适的数列的极限，前提是已知另外两个数列的极限，并且这三个数列具有定理所要求的关系。
（3）如果我们把数列看成是以自然数为自变量的函数，那么就可以相应地定义这个函数的有界性和单调性，这两个概念是相当直观的，并且显然可以知道一个收敛数列必然是有界的，因为按照收敛的定义，满足ε>-a a n的项总是有限的，因此总能够得到一个确定的函数的界。
反过来，则还必须加上一个条件：单调而且有界的数列必定存在极限。
这是一个相当重要的极限存在定理，因为往往判定一个数列的单调性和有界性是比较容易的。
从这个定理可以得到一个条件比性质（1）更弱，但结论一样的极限存在定理：（4）如果数列{}a n 的子数列{}12a k +和{}2a k 都收敛于同一个极限，那么数列{}a n 也收敛于这个极限。
显然这个定理比性质（1）所需要的条件更弱，但结论是一样的，这是因为我们选取了特定的子数列。
（5）如果一个数列是由两个收敛数列通过四则运算得到的，那么这个数列的收敛性质就完全由这两个数列决定，这就是数列极限的四则运算性质：a ．a k a k n n lim lim =其中k 为实数；b ．b a b a n n n n lim lim )lim(+=+；c ．b a b a n n n n lim lim )lim(⋅=⋅；d ．b a b a n n n n lim lim lim =，其中0lim ≠b n 。
函数的极限。
上面对于数列的讨论，完全可以看成是对于一种最为简单的函数的极限的讨论，这里唯一的差别，就是一般的函数的取值往往是连续的，而数列的取值是可以用自然数计数的。
这里数值的连续性，或者说实数的连续性，仍然是我们不清楚的概念，尽管这是一个微积分最为基本的概念，是我们下面讨论的一个基础，但是由于本课程的限制，我们不学习艰涩的实数连续统理论，因此从逻辑的角度来讲，我们只能是预先承认一种直观上的连续性观念，而实际上，这种直观观念对于我们下面的学习，也是足够了的。
尽管数列的项是可以用自然数计数，但在数列的极限定义当中，我们并没有依赖于在实际的检验当中，进行逐项的比较，也就是说，在极限的定义当中，数列的这种离散取值形式是无关紧要的。
我们仍然可以仿照数列的极限的定义，说明一个函数的极限的定义。
不过我们还必须首先考虑一个函数与数列的形式方面的差别。
我们知道，一个数列所表示的变化，是具有明确的自变量变化形式的，即随着自然数的增大而变化，而一个一般函数所表达的，则只是一般的自变量与因变量的数值对应，而并没有更具体地要求指明自变量与因变量的变化过程是如何进行的，函数的这种属性，实际上也正是函数的抽象能力之所在。
那么我们如何考虑在一个函数所表达的变化过程当中可能存在的极限现象呢？类似于数列的极限过程里面，自变量可以取得任意大一样，在函数的极限过程里面，可以考虑自变量与某一个特定值的距离任意小。
我们知道一个数列如果收敛，那么它的极限肯定是唯一的，这也可以说是极限概念之所以有意义的地方。
而对于一个函数来说，同样必须考虑自变量在一定的变化方向上的函数变化性质，即如何定义函数的具有唯一性质的极限。
这里所谓自变量的变化方向，就是指自变量与某个特定值的距离任意小的意思。
为了说明自变量与某个特定值的距离任意小这种函数变化的特定形式，我们定义一个特定的概念，就是邻域的概念：对于确定的一个实数x ，我们定义它的一个邻域，是指一个开区间),,(εε+-x x 这个开区间的特别之处在于ε可以看成是一个变量，并且一般是可以取任意小的数值的变量，因此这个开区间的特别之处在于，这个开区间的大小是可以任意地小。