57第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

§9.4直线与圆、圆与圆的位置关系

最新考纲考情考向分析

1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆

的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断

两圆的位置关系．

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置

关系的判断；根据位置关系求参数的范

围、最值、几何量的大小等．题型主要以

选择、填空题为主，要求相对较低，但内

容很重要，有时也会在解答题中出现.

1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．

⇔相交；⇔相切；⇔相离．

(2)代数法：―――→

判别式

Δ＝b2－4ac

⎩⎪

⎨

⎪⎧

>0⇔；

＝0⇔；

<0⇔ .

2．圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，

圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．

方法

位置关系

几何法：圆心距d与r1，r2

的关系

代数法：联立两圆方程

组成方程组的解的情况外离

外切

相交

内切

内含

概念方法微思考

1．在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？

2．用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()

(2)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()

(3)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.()

(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B 四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.()

(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()

题组二教材改编

2．[P128T4]若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是() A．[－3，－1] B．[－1,3]

C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

3．[P130练习]圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()

A．内切B．相交

C．外切D．相离

4．[P133A组T9]圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．

题组三易错自纠

5．若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是() A．[－2，2]

B．[－22，22]

C．[－2－1，2－1]

D．[－22－1,22－1]

6．(2018·石家庄模拟)设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()

A．4 B．4 2 C．8 D．8 2

7．过点A(3,5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为__________．

题型一 直线与圆的位置关系

命题点1 位置关系的判断

例1 (2018·贵州黔东南州联考)在△ABC 中，若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，则圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的位置关系是( ) A ．相切

B ．相交

C ．相离

D ．不确定

命题点2 弦长问题

例2 若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.1

2 B ．1 C.

2

2

D. 2 命题点3 切线问题

例3 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．

跟踪训练1 (1)圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为________． (2)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．

(3)过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________．

题型二圆与圆的位置关系

命题点1位置关系的判断

例4 分别求当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交和相切．

命题点2公共弦问题

例5 已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.

(1)求证：圆C1和圆C2相交；

(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．

跟踪训练2 (1)(2016·山东)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()

A．内切B．相交C．外切D．相离

(2)圆x2＋y2＋4x－4y－1＝0与圆x2＋y2＋2x－13＝0相交于P，Q两点，则直线PQ的方程为______________．

1．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是() A．(－∞，1) B．(121，＋∞)

C．[1,121] D．(1,121)

2．直线x－3y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得弦长为()