7第七讲 热传导反问题

k al 2 ∂t dX (τ ) = λl B exp ( − k 2 ) = ρl γ = ρl γ ∂x dτ π 4 alτ τ 1 π = k ρlγ al
λl B exp ( −k 2 )
相界面位置的求解
λl B exp ( −k c pl ( t p − t∞ ) γ π
2
3 半空间的溶解过程
r2
r2
待定的系数
A + Φv R R Ei(− ) = t∞ − C Ei(− ) = tp 4πλs 4asτ 4alτ
2 2
解的形式
( ts = A − B Ei r2 ) 4asτ r2 ) 4alτ ( tl = t∞ − C Ei ts = t p − tl = t∞ −
R = k 4aτ Φv a A + Ei(−k 2 ) = t ∞ − C Ei(−k 2 s ) = t p al 4πλs A = tp − Φv Ei(−k 2 ) 4πλs C = t∞ − tp a Ei( −k 2 s ) al
λ ρ γ
X (τ )
x
控制方程和边界条件
∂tl ∂ tl = al 2 ∂τ ∂x x = 0 tl = t0
2
τ =0 tlX = t p
tl = t p
∂t dX (τ ) −λl = ρlγ ∂x dτ
数学模型的待定系数法
从前面半无限介质的导热问题的解可知
x ) erf ( 4alτ
是方程
λ ( t p − tw ) ργ
dτ = X (τ )dX
tw
X (τ )
x λ ρ qconduct = qlatent γ cp = 0
X (τ ) =
2λ ( t p − t w ) ργ过冷液体的凝固问题 相界面的移动速度
λ (t p − t w ) dX = dτ 2 ργτ dX 1 : dτ τ
Φv Φv r2 Ei(−k 2 ) + Ei ( ) 4πλs 4πλs 4asτ t∞ − tp r2 Ei ( ) a 4alτ Ei(−k 2 s ) al
相界面的位置
t∞ − t p Ql a exp(− k 2 ) + λl exp(−k 2 s ) = k 2 ρl γ al 4π al 2 as Ei(− k ) al
2
t
线 热 汇
dX
tl
λ e− k + l erf ( k ) λs
as t p − t ∞ al t p − tw
e
−k 2
as al
erfc(k
as ) al
=
kγ π c pl ( t p − tw )
tw
O
tp λs ρs
X (τ )
λl ρl γ
r
4
控制方程和边界条件
∂t s as ∂ ∂t s = r r ∂r ∂r ∂τ ∂tl al ∂ ∂tl = r ∂τ r ∂r ∂r r → ∞ tl = t∞ τ = 0 tl = t∞ dR ∂t ∂t s − λl l = ρ l γ λs dτ ∂r ∂r tl = ts = t p (相界面）
相界面的条件
tlX = t p X t p = t∞ + Berfc( ) 4alτ
t p − t∞ B= X erfc( ) 4alτ t p = const → X = k 4alτ → B = t p − t∞ erfc(k )
k al dX (τ ) ∂t 2 2 −λl = λl B exp ( −k ) = ρl γ = ρl γ dτ ∂x π 4alτ τ λl B exp ( −k
2
4 半空间内的凝固过程
t
dX
tl
tw
O
tp λs ρs
X (τ )
从以上超越方程即可求出界面的位置。 值得注意的是相界面
X = k 4alτ
λl ρl γ
x
3
控制方程和边界条件
∂ts ∂ 2t = as 2s ∂τ ∂x x = 0 ts = t w ∂tl ∂t = al 2l ∂τ ∂x x → ∞ tl = t∞
是方程
∂tl ∂ 2t = al 2l ∂τ ∂x x 4alτ )
的一个解。我们试探
tl = t∞ + Berfc (
能否成为上面问题的解。
检查边界条件和初始条件
tl = t∞ + Berfc( x→∞ τ =0 tlX = t p x ) 4alτ
tlX = t p B=
相界面的条件
t p = t∞ + Berfc( X ) 4alτ
tp
O
t
dX
tl x
λ ρ γ
X (τ )
1
数学模型和定解条件
∂tl ∂ 2t = al 2l ∂τ ∂x x → ∞ tl = t∞ τ = 0 tl = t∞ tlX = t p −λ dX (τ ) ∂t = ργ dτ ∂x
数学模型的待定系数法
从前面半无限介质的导热问题的解可知
erfc( x 4alτ ) = 1 − erf ( x 4alτ )
数学模型的待定系数法
从前面半无限介质的导热问题的解可知
erf ( x 4alτ )
是方程
∂tl ∂ 2t = al 2l ∂τ ∂x x 4alτ )
的一个解。我们试探
tl = t0 + Berf (
能否成为上面问题的解。
检查边界条件
tl = t0 + Berf ( x=0 tlX = t p erf ( x ) 4alτ x 4alτ ) = 0 tl = t0 X ) 4alτ
x erfc( ) → 0 tl = t∞ 4alτ erfc( x ) → 0 tl = t∞ 4alτ
t p − t∞ X erfc ( ) 4alτ t p − t∞ erfc ( k )
t p = const → X = k 4alτ → B = − λl
X t p = t∞ + Berfc( ) 4alτ
2 过冷液体的凝固问题
t tp
O
dX tl
λ ρ γ
X (τ )
x
数学模型和定解条件
∂tl ∂ 2 tl = al 2 ∂τ ∂x x → ∞ tl = t ∞ τ =0 tlX = t p ∂t dX (τ ) −λ = ργ ∂x dτ tl = t ∞
数学模型的待定系数法
从前面半无限介质的导热问题的解可知
1 凝固问题简化的模型
t
dX tp
O
第六讲 具有移动边界的热传导 问题
——Stefan问题的解析
tw
X (τ )
λ ρ γ
x
能量平衡
t q
O
dX
qconduct = λ X (τ ) tp qlatent dX = ργ dτ
t p − tw
相界面的位置
λ t p − tw X (τ ) = ργ dX dτ
x x ) = 1 − erf ( ) erfc( 4alτ 4alτ
是方程
∂tl ∂ tl = al 2 ∂τ ∂x
2
的一个解。我们试探
x tl = t∞ + Berfc( ) 4alτ
能否成为上面问题的解。
检查边界条件和初始条件
x tl = t∞ + Berfc( ) 4alτ x→∞ τ =0 tlX = t p x erfc( ) → 0 tl = t ∞ 4alτ x erfc( ) → 0 tl = t ∞ 4alτ X t p = t∞ + Berfc( ) 4alτ
相界面的位置
dX λ = ργ X (τ ) dτ
ργ dτ = X (τ ) dX
t p − tw
λ ( t p − tw )
X (τ ) =
2λ ( t p − tw ) ργ
τ
X (τ ) : τ
相界面的移动速度
λ (t p − tw ) dX = 2 ργτ dτ 1 dX : dτ τ
t p = t0 + Berf (
k al 2 ∂t dX (τ ) = −λl B exp ( −k 2 ) = ρl γ = ρl γ ∂x dτ π 4alτ τ
k2 1 −λl B exp − = k ρl γ al 4al π
相界面位置的求解
k2 1 λl B exp − = k ρl γ al 4al π c pl ( t0 − t p ) γ π = kek erfc(k )
半无限大介质中的导热问题及解
∂t ∂ 2t = a 0 < x < ∞ ∂τ ∂x 2 x = 0 t = t0 x → ∞ t → t∞ τ = 0 t − t0 = t ∞ − t0 t = t∞ 2 π
∫
x 4aτ
0
e −η d η = erf(
2
x 4aτ
)
t − t∞ x = 1 − erf( ) t0 − t∞ 4aτ
5
第六讲 具有移动边界的热传导 问题
——Stefan问题的解析
1 凝固问题简化的模型
t
dX tp
O
tw
X (τ )
λ ρ γ
x
能量平衡
t q
O
dX
qconduct = λ X ( τ ) tp qlatent x dX = ργ dτ
t p − tw
tw
X (τ )
λ ρ qconduct = qlatent γ cp = 0
解的形式
ts − tw = t p − tw tl − t ∞ = t p − t∞ erf( x 4asτ x 4alτ ) erf ( k ) erfc(
)
a erfc k s al
5 轴对称的凝固问题 相界面的位置
λs ∂t s ∂t dX − λl l = ρl γ ∂x ∂x dτ
t t0
O
)
1 = k ρ lγ al π
k2
dX
= ke erfc( k )
tl tp
λ ρ γ
X (τ )
从以上超越方程即可求出界面的位置。 值得注意的是相界面
x
X = k 4alτ
2
控制方程和边界条件
∂tl ∂ 2t = al 2l ∂τ ∂x x = 0 tl = t0 τ = 0 tl = t p tlX = t p −λl dX (τ ) ∂t = ρl γ ∂x dτ

试探解中的系数
X X → t p − tw = A erf = k 4a τ 4asτ s X a X → t p − t∞ = B erfc = k s 4a τ al 4 a τ l l a tw + A erf ( k ) = t∞ + B erfc k s al t p − tw t p − t∞ A = B = erf ( k ) a erfc k s al
待定系数法
( ts = A − B Ei r2 ) 4asτ r2 ) 4alτ ( tl = t ∞ − C Ei
∂ts 2B − 4asτ = − e ∂r r ∂tl 2C − 4alτ = − e ∂r r ∂ts Ql lim 2π r λs = Ql → B = − r →0 4 ∂ πλs r
2
待定系数法
ts = tw + A erf( tl = t ∞ + B erfc( x 4asτ x 4alτ ) )
相界面
τ = 0 tl = t∞ ∂t dX ∂t s − λl l = ρ l γ λs ∂x dτ ∂x tl = t s = t p (相界面）
X t p − tw = A erf 4a τ s X t p − t∞ = B erfc 4a τ l X X = t∞ + B erfc tw + A erf 4a τ 4a τ s l
2
)
1 = k ρlγ al π
相界面位置的求解
λl B exp ( − k c pl ( t p − t∞ ) γ π
2
)
1 = k ρlγ al π
k2
= ke erfc(k )
从以上超越方程即可求出界面的位置。 值得注意的是相界面
X = k 4alτ
3 半空间的溶解过程
t
t0
O
dX tl
tp
∂tl ∂ tl = al 2 ∂τ ∂x
2
的一个解。我们试探
x tl = t0 + Berf ( ) 4alτ
能否成为上面问题的解。
tlX = t p B=
相界面的条件
t p = t0 + Berf ( X ) 4alτ
erf (
t p − t0 t p − t0 x ) → tl = t0 + erf ( X X 4alτ ) ) erf ( 4alτ 4alτ t p − t∞ erf ( k )
t p = const → X = k 4alτ → B = −λl