材料力学第六章弯曲时的变形精品PPT课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六章 弯曲变形
§6–1 基本概念及工程实例 §6–2 挠曲线的微分方程 §6–3 用积分法求弯曲变形 §6–4 用叠加法求弯曲变形 §6–5 静不定梁的解法 §6–6 提高弯曲刚度的措施
§6–1 基本概念及工程实例
一. 工程实例
(Deflection of Beams)
A
B
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例题3:图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中
力F的作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大
挠度和最大转角.
F
A a
D
B
b
l
解: 梁的两个支反力为
RA
F
b l
RB
F
a l
两段梁的弯矩方程分别为
x
RA
1 A
F RB
D2 B
a x
b l
M 1R A xF b lx (0xa) M 2F b lx F (x a ) (axl)
2
26
y A
F
Bx
wmax
max
l
m ax
和
w
m
a
都发生在自由端截面处
x
m a x|x lF E lI22 F E l2 I2 F E l2 I（ ）
Pl3 wmax w|xl3EI （ ）
例题2:图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的 均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其
转角
B
x
w挠度（
B
3、挠曲线 :梁变形后的轴线称为挠曲线 . 挠曲线方程为:
w f(x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A
C
B
x
挠曲线
C'
w挠度（
B
转角
4、挠度与转角的关系：
tg w ' w '(x )
w
A
挠曲线
C C'
转角
B
x
w挠度
B
5、挠度和转角符号的规定
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆
受到的冲击和振动作用.
F
F
2
2
F
二、基本概念
1、挠度 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x 轴方向的线位
移,称为该截面的挠度.用w表示.
w
A
C
B
x
w挠度
C'
B'
2、转角
横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角. 用 表示
w
A
C C'
挠度:向上为正,向下为负.
转角:自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.
w
A
C
B
x
挠曲线
w挠度 C'
B
转角
§6–2 挠曲线的微分方程
一、推导公式
1、纯弯曲时曲率与弯矩的关系
1M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影响,
则:
1 M(x)
(x) EI
2、由数学得到平面曲线的曲率
在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A 和转角 A 都应等于零.
A
wA 0
A
wA 0
A 0
B
wB 0
B
例题1:图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一 集中力 F 作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其
最大挠度
w
m
a
和最大转角
x
m
a
x
w
A
F
Bx
l
解： (1) 弯矩方程为
w A
M ( x ) F ( l x ) ( 1 )
(2) 挠曲线的近似微分方程为
x
l
E I w ' ' M ( x ) F l F x ( 2 )
对挠曲线近似微分方程进行积分
F x2 E Iw'F lx2C 1 (3) E Iw F 2 lx 2F 6 x 3 C 1 x C 2 (4 )
M(x) EI
v '2 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w" M(x)
EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程
近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了 w 2 项;
(3) tg w w (x )
§6–3 用积分法求弯曲变形
一、微分方程的积分
w M ( x) EI
B
梁的转角方程和挠曲线方程分
A
x
B
别为:
q (6lx24x3l3)
24EI
RA
l
RB
w qx (2lx2x3l3) 24EI
最大转角和最大挠度分别为:
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
maxAB2q4lE 3I
在梁跨中点 处有最大挠度值
wmax
w
xl 2
5ql4 384EI
D点的连续条件:
在 x = a 处 w1 w2
RA
1
w1 w2
A
边界条件:
a
F
D
2 RB
B
b
在 x = 0 处， w1 0
l
在 x = l 处， w2 0
两段梁的挠曲线方程分别为：
1 ( 0 x a)
挠曲线方程 EIw1 M1Fbl x
转角方程
EIwFb l
x2 2
C1
挠度方程 EIw1Fb lx63C1xD 1
2 (axl )
挠曲线方程 E Iw 2 M 2F b lxF (xa)
转角方程 挠度方程
E Iw 2 'F b lx 2 2F (x 2 a)2C 2 E Iw 2 F b lx 6 3 F (x 6 a )3 C 2 x D 2
m ax 和 w max
q
A
B
l
q
解: 由对称性可知，梁的
两个支反力为
A
B
RA
RB
ql 2
x l
RA
RB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
M(x)ql xqx2 22
EIwql xqx2 22
EIwqlx2qx3C 46
E Iwqlx3qx4C xD 12 24
q
wmax
边界条件为 : x l ,时 w 0 A
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIwM (x)
1、积分一次得转角方程
E Iw M (x)dxC 1
2、再积分一次, 得挠度方程
E I w M (x ) d x d x C 1 x C 2
二、积分常数的确定
1、边界条件 2、连续条件
在简支梁中, 左右两铰支座处的
挠度 w A 和 w B 都等于0.
F
Bx
EIwFlxF 2 x2C1 (3) E Iw F 2 lx 2F 6 x 3 C 1 x C 2 (4 ) 边界条件为 : x 0, w 0
x 0, w 0
将边ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ条件代入(3) (4)两式中,可得： C 10 C 20
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
EIwFlxFx2 EIwFlx2Fx3
1
(x)
(1| ww2|)32
(1| ww2|)32
M(x) EI
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 w
M
M
为正, w轴竖直向上为正.
x
O
曲线向下凸时: w 0M 0
M 0
曲线向上凸时, w 0M 0w
w 0
M
M
因此, w 与 M 的正负号相同
O M 0 w 0
x
w (1 w2)32
§6–1 基本概念及工程实例 §6–2 挠曲线的微分方程 §6–3 用积分法求弯曲变形 §6–4 用叠加法求弯曲变形 §6–5 静不定梁的解法 §6–6 提高弯曲刚度的措施
§6–1 基本概念及工程实例
一. 工程实例
(Deflection of Beams)
A
B
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例题3:图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中
力F的作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大
挠度和最大转角.
F
A a
D
B
b
l
解: 梁的两个支反力为
RA
F
b l
RB
F
a l
两段梁的弯矩方程分别为
x
RA
1 A
F RB
D2 B
a x
b l
M 1R A xF b lx (0xa) M 2F b lx F (x a ) (axl)
2
26
y A
F
Bx
wmax
max
l
m ax
和
w
m
a
都发生在自由端截面处
x
m a x|x lF E lI22 F E l2 I2 F E l2 I（ ）
Pl3 wmax w|xl3EI （ ）
例题2:图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的 均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其
转角
B
x
w挠度（
B
3、挠曲线 :梁变形后的轴线称为挠曲线 . 挠曲线方程为:
w f(x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A
C
B
x
挠曲线
C'
w挠度（
B
转角
4、挠度与转角的关系：
tg w ' w '(x )
w
A
挠曲线
C C'
转角
B
x
w挠度
B
5、挠度和转角符号的规定
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆
受到的冲击和振动作用.
F
F
2
2
F
二、基本概念
1、挠度 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x 轴方向的线位
移,称为该截面的挠度.用w表示.
w
A
C
B
x
w挠度
C'
B'
2、转角
横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角. 用 表示
w
A
C C'
挠度:向上为正,向下为负.
转角:自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.
w
A
C
B
x
挠曲线
w挠度 C'
B
转角
§6–2 挠曲线的微分方程
一、推导公式
1、纯弯曲时曲率与弯矩的关系
1M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影响,
则:
1 M(x)
(x) EI
2、由数学得到平面曲线的曲率
在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A 和转角 A 都应等于零.
A
wA 0
A
wA 0
A 0
B
wB 0
B
例题1:图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一 集中力 F 作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其
最大挠度
w
m
a
和最大转角
x
m
a
x
w
A
F
Bx
l
解： (1) 弯矩方程为
w A
M ( x ) F ( l x ) ( 1 )
(2) 挠曲线的近似微分方程为
x
l
E I w ' ' M ( x ) F l F x ( 2 )
对挠曲线近似微分方程进行积分
F x2 E Iw'F lx2C 1 (3) E Iw F 2 lx 2F 6 x 3 C 1 x C 2 (4 )
M(x) EI
v '2 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w" M(x)
EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程
近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了 w 2 项;
(3) tg w w (x )
§6–3 用积分法求弯曲变形
一、微分方程的积分
w M ( x) EI
B
梁的转角方程和挠曲线方程分
A
x
B
别为:
q (6lx24x3l3)
24EI
RA
l
RB
w qx (2lx2x3l3) 24EI
最大转角和最大挠度分别为:
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
maxAB2q4lE 3I
在梁跨中点 处有最大挠度值
wmax
w
xl 2
5ql4 384EI
D点的连续条件:
在 x = a 处 w1 w2
RA
1
w1 w2
A
边界条件:
a
F
D
2 RB
B
b
在 x = 0 处， w1 0
l
在 x = l 处， w2 0
两段梁的挠曲线方程分别为：
1 ( 0 x a)
挠曲线方程 EIw1 M1Fbl x
转角方程
EIwFb l
x2 2
C1
挠度方程 EIw1Fb lx63C1xD 1
2 (axl )
挠曲线方程 E Iw 2 M 2F b lxF (xa)
转角方程 挠度方程
E Iw 2 'F b lx 2 2F (x 2 a)2C 2 E Iw 2 F b lx 6 3 F (x 6 a )3 C 2 x D 2
m ax 和 w max
q
A
B
l
q
解: 由对称性可知，梁的
两个支反力为
A
B
RA
RB
ql 2
x l
RA
RB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
M(x)ql xqx2 22
EIwql xqx2 22
EIwqlx2qx3C 46
E Iwqlx3qx4C xD 12 24
q
wmax
边界条件为 : x l ,时 w 0 A
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIwM (x)
1、积分一次得转角方程
E Iw M (x)dxC 1
2、再积分一次, 得挠度方程
E I w M (x ) d x d x C 1 x C 2
二、积分常数的确定
1、边界条件 2、连续条件
在简支梁中, 左右两铰支座处的
挠度 w A 和 w B 都等于0.
F
Bx
EIwFlxF 2 x2C1 (3) E Iw F 2 lx 2F 6 x 3 C 1 x C 2 (4 ) 边界条件为 : x 0, w 0
x 0, w 0
将边ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ条件代入(3) (4)两式中,可得： C 10 C 20
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
EIwFlxFx2 EIwFlx2Fx3
1
(x)
(1| ww2|)32
(1| ww2|)32
M(x) EI
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 w
M
M
为正, w轴竖直向上为正.
x
O
曲线向下凸时: w 0M 0
M 0
曲线向上凸时, w 0M 0w
w 0
M
M
因此, w 与 M 的正负号相同
O M 0 w 0
x
w (1 w2)32