第六章格与布尔代数

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性质:在有补分配格中,若一个元素有补元素,则补元素唯一。(利用消去 律证明) 6.4 布尔代数boolean algebra 一、基本概念 1、布尔代数
由布尔格的运算诱导的代数系统;其中, 若|A|元素个数有限,则其构成的
布尔代数称为有限布尔代数。 例1:设<A, ≤>为布尔格,其诱导出的布尔代数系统:<A, ∨,∧,- >
(3) 设a是原子,设任意b ∈A且b≠0有a ∧b=a不可兼或a ∧b=0 (4) 设a是原子,b为非0元素,则
3、在布尔格中,
二、分配格性质
设<A, ≤>为分配格,任意a,b,c∈A,如果a∨b= a∨c, a∧b= a ∧ c,则b=c,
即分配格满足消去率。
证明: ( a∧b) ∨c= (a ∧ c) ∨c=c,
( a∧b) ∨c=(a∨c) ∧(b ∨c)= (a∨b) ∧(b ∨c)= b ∨( a∧c)= b ∨( a∧b)=b
2、 运算性质
设<A, ≤>为布尔格,其诱导出的布尔代数系统:<A, ∨,∧,- >
三、 有限布尔代数的原子表示 1、 原子
设<A, ≤>为格,具有全下届0,存在a ∈A,0 ≤a,则称a为原子。
2、 原子性质 (1) 设<A, ≤>为格,具有全下届0,任意b ∈A,至少有一个原子a,使a ≤b。 (2) 若a,b是原子,如果a≠bΒιβλιοθήκη Baidua ∧b=0,否则a=b。
称a与b互为补元。 2、性质
a和b的补元关系是对称的;
一个元素可能存在多个补元或不存在补元。
2 、有补格
在一个有界格中,如果每个元素都至少有一个补元素,则称此格为有补格。
3、布尔格 (有补分配格) 一个格如果它既是有补格又是分配格,则称它为有补分配格。我们把有补
分配格中任一元素a的补元记为egdafbc
6.3 有界格和有补格 一、有界格bounded L 1、全上界 设<A, ≤>为格,如果存在a∈A,使得任意x ∈A,都有x ≤a,则称a为格<A, ≤>的全上界,全上界记为1。
2、全下界
设<A, ≤>为格,如果存在a∈A,使得任意x ∈A,都有x ≥a,则称a为格<A, ≤>的全下界,全下界记为0。
3、有界格
如果一个格存在全上界和全下界,则称其为有界格。
4、有界格性质 全上界和全下界唯一;
设<A, ≤>为格,任意x ∈A,x∨1=1, x∨0=x,x∧1=x ,x∧0=0。
二、有补格complemented L
1、补元
设<A, ≤>为有界格,如果任意a∈A,存在b ∈A,使得a∨b=1, a ∧ b=0,则
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