高中数学圆的方程专题复习

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高中数学圆的方程知识点题型归纳

高中数学圆的方程知识点题型归纳

高中数学圆的方程知识点题型归纳第一讲圆的方程一、知识清单一)圆的定义及方程圆的定义是平面内距离定点距离相等的点的轨迹。

圆的标准方程为 (y-b)2=r2,一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中圆心为 (a,b),半径为 r。

标准方程和一般方程可以互相转化。

二)点与圆的位置关系点 M(x,y) 与圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系有三种情况:在圆外、在圆上和在圆内。

三)温馨提示求圆的方程时,可以利用圆的几何性质简化运算,如圆心在过切点且与切线垂直的直线上、圆心在任一弦的中垂线上、两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线。

此外,中点坐标公式也是常用的计算方法。

二、典例归纳本讲内容主要是圆的方程和点与圆的位置关系。

在求圆的方程时,需要注意利用圆的几何性质简化运算。

同时,中点坐标公式也是常用的计算方法。

在实际问题中,需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。

且圆心在直线2x+y=0上,求该圆的方程。

变式3】已知圆C的方程为x2+y2-4x-6y+9=0,直线l的方程为2x+3y-6=0,求圆C与直线l的交点坐标。

变式4】已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y-4=0,直线l的方程为x-y+2=0,求圆C与直线l的交点坐标。

方法总结:1.对于一般的圆方程,可以通过平移变换将其化为标准方程,然后根据圆的几何性质求出圆心和半径,进而写出标准方程。

2.对于已知圆心和半径的问题,可以利用圆的几何性质直接写出标准方程。

3.对于圆与直线的交点问题,可以将直线方程代入圆方程中解方程,或者将圆方程代入直线方程中解方程,求出交点坐标。

变式3】给定四个点A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2),判断它们能否在同一个圆上,并说明原因。

这题可以通过计算四边形ABCD的两条对角线的中垂线是否相交来判断四个点是否在同一个圆上。

首先可以计算出AC的中点坐标为M(1.5.2.5),斜率为-3/2,所以AC的中垂线的方程为y-2.5 = 2/3(x-1.5)。

高中数学高考总复习圆的方程习题及详解

高中数学高考总复习圆的方程习题及详解

高中数学高考总复习圆的方程习题及详解一、选择题1.(文)(2010·山东潍坊)若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x -3y =0和x 轴都相切,则该圆的标准方程是( )A .(x -3)2+⎝⎛⎭⎫y -732=1 B .(x -2)2+(y -1)2=1 C .(x -1)2+(y -3)2=1 D.⎝⎛⎭⎫x -322+(y -1)2=1 [答案] B[解析] 依题意设圆心C (a,1)(a >0),由圆C 与直线4x -3y =0相切得,|4a -3|5=1,解得a =2,则圆C 的标准方程是(x -2)2+(y -1)2=1,故选B.(理)(2010·厦门三中阶段训练)以双曲线x 26-y 23=1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A .x 2+y 2-23x +2=0B .(x -3)2+y 2=9C .x 2+y 2+23x +2=0D .(x -3)2+y 2=3[答案] D[解析] 双曲线右焦点F (3,0),渐近线方程y =±22x ,故圆半径r =3,故圆方程为(x-3)2+y 2=3.2.已知两点A (-1,0),B (0,2),点P 是圆(x -1)2+y 2=1上任意一点,则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( )A .2,12(4-5)B.12(4+5),12(4-5) C.5,4- 5D.12(5+2),12(5-2) [答案] B[解析] 如图圆心(1,0)到直线AB :2x -y +2=0的距离为d =45,故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45+1,最小值是45-1.又|AB |=5,故△P AB 面积的最大值和最小值分别是2+52,2-52.3.(文)(2010·延边州质检)已知圆(x +1)2+(y -1)2=1上一点P 到直线3x -4y -3=0距离为d ,则d 的最小值为( )A .1 B.45 C.25D .2[答案] A[解析] ∵圆心C (-1,1)到直线3x -4y -3=0距离为2,∴d min =2-1=1.(理)(2010·安徽合肥六中)已知圆C 的方程为x 2+y 2+2x -2y +1=0,当圆心C 到直线kx +y +4=0的距离最大时,k 的值为( )A.13B.15 C .-13D .-15[答案] D[解析] 圆C 的方程可化为(x +1)2+(y -1)2=1,所以圆心C 的坐标为(-1,1),又直线kx +y +4=0恒过点A (0,-4),所以当圆心C 到直线kx +y +4=0的距离最大时,直线CA 应垂直于直线kx +y +4=0,直线CA 的斜率为-5,所以-k =15,k =-15.4.方程x 2+y 2+4mx -2y +5m =0表示的圆的充要条件是( ) A.14<m <1 B .m >1 C .m <14D .m <14或m >1[答案] D[解析] ∵方程表示圆∴16m 2+4-20m >0,∴m <14或m >1.5.已知f (x )=(x -1)(x +2)的圆象与x 轴、y 轴有三个不同的交点,有一个圆恰好经过这三个点.则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( )A .(0,1)B .(0,-1)C .(0,2)D .(0,22) [答案] A[解析] f (x )的图象与x 轴交于点A (1,0),B (-2,0),与y 轴交于点C (0,-2),设过A 、B 、C 三点的圆与y 轴另一个交点为D (0,a ),易知a =1.6.(2010·北京海淀区)已知动圆C 经过点F (0,1),并且与直线y =-1相切,若直线3x -4y +20=0与圆C 有公共点,则圆C 的面积( )A .有最大值πB .有最小值πC .有最大值4πD .有最小值4π[答案] D[解析] 由于圆经过点F (0,1)且与直线y =-1相切,所以圆心C 到点F 与到直线y =-1的距离相等,由抛物线的定义知点C 的轨迹方程为x 2=4y ,设C 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0,x 024,∵⊙C 过点F ,∴半径r =|CF |=(x 0-0)2+⎝⎛⎭⎫x 024-12=x024+1,直线3x -4y +20=0与圆C 有公共点,即转化为点⎝⎛⎭⎫x 0,x 024到直线3x -4y +20=0的距离d =|3x 0-4×x 024+20|5≤x 024+1,解得x 0≥103或x 0≤-2,从而得圆C 的半径r =x 024+1≥2,故圆的面积有最小值4π. 7.(文)已知a ≠b ,且a 2sin θ+a cos θ-π4=0,b 2sin θ+b cos θ-π4=0,则连结(a ,a 2),(b ,b 2)两点的直线与单位圆的位置关系是( )A .相交B .相切C .相离D .不能确定[答案] A[解析] ∵A (a ,a 2),B (b ,b 2)都在直线x cos θ+y sin θ-π4=0上,原点到该直线距离d =⎪⎪⎪⎪-π4sin 2θ+cos 2θ=π4<1,故直线AB 与单位圆相交.(理)(2010·温州中学)设圆过双曲线x 29-y 216=1的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离为( )A .4 B.163 C.473D .5[答案] B[解析] 由题意知圆心在双曲线顶点和焦点连线的垂直平分线上,顶点A 1(-3,0),A 2(3,0),焦点F 1(-5,0),F 2(5,0),A 1F 1的垂直平分线x =-4,代入双曲线方程中得,y =±473,∴圆心⎝⎛⎭⎫-4,473到双曲线中心距离为d =(-4-0)2+⎝⎛⎭⎫473-02=163,A 1F 2的中垂线x=1与双曲线无交点,故选B.8.(2010·吉林省质检)圆x 2+y 2-2x +6y +5a =0关于直线y =x +2b 成轴对称图形,则a -b 的取值范围是( )A .(-∞,4)B .(-∞,0)C .(-4,+∞)D .(4,+∞)[答案] A[解析] ∵方程x 2+y 2-2x +6y +5a =0表示圆, ∴4+36-20a >0,∴a <2,又圆关于直线y =x +2b 成轴对称图形, ∴圆心(1,-3)在直线上,∴-3=1+2b ,∴b =-2,∴a -b <4. 9.(文)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x +2y -4≤0表示的平面区域恰好被面积最小的圆C :(x -a )2+(y -b )2=r 2及其内部所覆盖,则圆C 的方程为( )A .(x -1)2+(y -2)2=5B .(x -2)2+(y -1)2=8C .(x -4)2+(y -1)2=6D .(x -2)2+(y -1)2=5 [答案] D[解析] 由题意知此平面区域表示的是以O (0,0),P (4,0),Q (0,2)为顶点的三角形及其内部,且△OPQ 是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是5,所以圆C 的方程是(x -2)2+(y -1)2=5.(理)(2010·北京东城区)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤1x -y ≥-1y ≥0表示的平面区域为M ,若直线y =kx-3k 与平面区域M 有公共点,则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤-13,0B.⎝⎛⎦⎤-∞,13 C.⎝⎛⎦⎤0,13 D.⎝⎛⎦⎤-∞,-13 [答案] A[解析] 画出可行域如图,直线y =kx -3k 过定点(3,0),由数形结合知该直线的斜率的最大值为k =0,最小值为k =0-13-0=-13.10.已知点P (x ,y )在直线x +2y =3上移动,当2x +4y 取最小值时,过点P (x ,y )引圆C :⎝⎛⎭⎫x -122+⎝⎛⎭⎫y +142=12的切线,则此切线长等于( )A.12B.32C.62D.32[答案] C[解析] 由于点P (x ,y )在直线x +2y =3上移动,得x ,y 满足x +2y =3,又2x +4y =2x+22y ≥22x+2y=42,取得最小值时x =2y ,此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32,34.由于点P 到圆心C ⎝⎛⎭⎫12,-14的距离为d =⎝⎛⎭⎫32-122+⎝⎛⎭⎫34+142=2,而圆C 的半径为r =22,那么切线长为d 2-r 2=2-12=62,故选C. 二、填空题11.(文)(2010·金华十校)圆C 的半径为1,圆心在第一象限,与y 轴相切,与x 轴相交于A 、B ,|AB |=3,则该圆的标准方程是________.[答案] (x -1)2+⎝⎛⎭⎫y -122=1 [解析] 设圆心C (a ,b ),由条件知a =1,取弦AB 中点D ,则CD =AC 2-AD 2=12-⎝⎛⎭⎫322=12,即b =12,∴圆方程为(x -1)2+⎝⎛⎭⎫y -122=1.(理)已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线y 2=2x 上,其中O 为坐标原点,则△OAB 的外接圆的方程是________________.[答案] (x -4)2+y 2=16[解析] 由抛物线的性质知,A ,B 两点关于x 轴对称,所以△OAB 外接圆的圆心C 在x 轴上.设圆心坐标为(r,0),并设A 点在第一象限,则A 点坐标为⎝⎛⎭⎫32r ,32r ,于是有⎝⎛⎭⎫32r 2=2×32r ,解得r =4,所以圆C 的方程为(x -4)2+y 2=16.12.(2010·南京师大附中)定义在(0,+∞)上的函数f (x )的导函数f ′(x )<0恒成立,且f (4)=1,若f (x 2+y 2)≤1,则x 2+y 2+2x +2y 的最小值是________.[答案] 6-4 2[解析] 依题意得,f (x )在(0,+∞)上单调递减, ∵f (x 2+y 2)≤1,f (4)=1,∴f (x 2+y 2)≤f (4), ∴x 2+y 2≥4,又因为x 2+y 2+2x +2y =(x +1)2+(y +1)2-2,(x +1)2+(y +1)2可以看作是点(x ,y )到点(-1,-1)的距离的平方.由圆的知识可知,最小值为(r -|OC |)2=(2-2)2=6-4 2.13.(文)(2010·浙江杭州市质检)已知A 、B 是圆O :x 2+y 2=16上的两点,且|AB |=6,若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1,-1),则圆心M 的轨迹方程是________.[答案] (x -1)2+(y +1)2=9[解析] ∵M 是以AB 为直径的圆的圆心,|AB |=6,∴半径为3, 又⊙M 经过点C ,∴|CM |=12|AB |=3,∴点M 的轨迹方程为(x -1)2+(y +1)2=9.(理)(2010·胶州三中)以椭圆x 241+y 216=1的右焦点为圆心,且与双曲线x 29-y 216=1的渐近线相切的圆的方程为________.[答案] (x -5)2+y 2=16[解析] 由c 2=41-16=25得c =5,∴椭圆右焦点F 2(5,0),又双曲线渐近线方程为y =±43x ,∴圆半径r =|4×5+0|42+32=4,∴圆方程为(x -5)2+y 2=16. 14.(文)(2010·天津文,14)已知圆C 的圆心是直线x -y +1=0与x 轴的交点,且圆C 与直线x +y +3=0相切,则圆C 的方程为__________.[答案] (x +1)2+y 2=2[解析] 在直线方程x -y +1=0中,令y =0得,x =-1,∴圆心坐标为(-1,0), 由点到直线的距离公式得圆的半径 R =|-1+0+3|2=2,∴圆的标准方程为(x +1)+y 2=2.(理)(2010·瑞安中学)已知圆x 2+y 2=r 2在曲线|x |+|y |=4的内部(含边界),则半径r 的范围是______.[答案] (0,22][解析] 如图,曲线C :|x |+|y |=4为正方形ABCD ,∵圆x 2+y 2=r 2在曲线C 的内部(含边界) ∴0<r ≤|OM |=2 2. 三、解答题15.(2010·广东华南师大附中)已知圆C :x 2+y 2-4x -6y +12=0,点A (3,5),求: (1)过点A 的圆的切线方程;(2)O 点是坐标原点,连结OA ,OC ,求△AOC 的面积S . [解析] (1)⊙C :(x -2)2+(y -3)2=1.当切线的斜率不存在时,过点A 的直线方程为x =3,C (2,3)到直线的距离为1,满足条件.当k 存在时,设直线方程为y -5=k (x -3), 即kx -y +5-3k =0,由直线与圆相切得, |-k +2|k 2+1=1,∴k =34.∴过点A 的圆的切线方程为x =3或y =34x +114.(2)|AO |=9+25=34,过点A 的圆的切线OA :5x -3y =0, 点C 到直线OA 的距离d =134, S =12·d ·|AO |=12. 16.(文)(2010·烟台诊断)已知圆C 的圆心为C (m,0),m <3,半径为5,圆C 与椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)有一个公共点A (3,1),F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点.(1)求圆C 的标准方程;(2)若点P 的坐标为(4,4),试探究斜率为k 的直线PF 1与圆C 能否相切,若能,求出椭圆E 和直线PF 1的方程;若不能,请说明理由.[解析] (1)由已知可设圆C 的方程为(x -m )2+y 2=5(m <3) 将点A 的坐标代入圆C 的方程得,(3-m )2+1=5 即(3-m )2=4,解得m =1,或m =5 ∵m <3,∴m =1∴圆C 的方程为(x -1)2+y 2=5. (2)直线PF 1能与圆C 相切依题意设直线PF 1的方程为y =k (x -4)+4, 即kx -y -4k +4=0若直线PF 1与圆C 相切,则|k -0-4k +4|k 2+1= 5 ∴4k 2-24k +11=0,解得k =112,或k =12当k =112时,直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611,不合题意,舍去当k =12时,直线PF 1与x 轴的交点横坐标为-4,∴c =4,F 1(-4,0),F 2(4,0) ∴由椭圆的定义得: 2a =|AF 1|+|AF 2|=(3+4)2+12+(3-4)2+12 =52+2=6 2∴a =32,即a 2=18,∴b 2=a 2-c 2=2直线PF 1能与圆C 相切,直线PF 1的方程为x -2y +4=0,椭圆E 的方程为x 218+y 22=1.(理)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y =x 相切于坐标原点O .椭圆x 2a 2+y 29=1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C 的方程;(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ,使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.[解析] (1)设圆C 的圆心为A (p ,q ),则圆C 的方程为(x -p )2+(y -q )2=8. ∵直线y =x 与圆C 相切于坐标原点O , ∴O 在圆C 上,且直线OA 垂直于直线y =x .于是有⎩⎪⎨⎪⎧p 2+q 2=8p q=-1,∴⎩⎪⎨⎪⎧ p =2q =-2,或⎩⎪⎨⎪⎧p =-2q =2. 由于点C (p ,q )在第二象限,故p <0. 所以圆C 的方程为(x +2)2+(y -2)2=8.(2)∵椭圆x 2a 2+y 29=1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点距离之和为10,∴2a =10,∴a =5.故椭圆右焦点为F (4,0).若圆C 上存在异于原点的点Q (x 0,y 0)到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长,则有|QF |=|OF |,于是(x 0-4)2+y 02=42,且x 02+y 02≠0①由于Q (x 0,y 0)在圆上,故有(x 0+2)2+(y 0-2)2=8.②解①和②得⎩⎨⎧x 0=45y 0=125,故圆C 上存在满足条件的点Q ⎝⎛⎭⎫45,125.17.(文)设O 点为坐标原点,曲线x 2+y 2+2x -6y +1=0上有两点P 、Q 关于直线x +my +4=0对称,且OP →·OQ →=0.(1)求m 的值; (2)求直线PQ 的方程.[解析] (1)曲线方程为(x +1)2+(y -3)2=9,表示圆心为(-1,3),半径为3的圆. ∵点P ,Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称. ∴圆心(-1,3)在直线上,代入直线方程得m =-1. (2)∵直线PQ 与直线y =x +4垂直,∴设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),PQ 方程为y =-x +b . 将y =-x +b 代入圆方程得, 2x 2+2(4-b )x +b 2-6b +1=0. Δ=4(4-b )2-8×(b 2-6b +1)>0, ∴2-32<b <2+32, 由韦达定理得,x 1+x 2=b -4,x 1·x 2=b 2-6b +12,y 1·y 2=(-x 1+b )(-x 2+b )=b 2-b (x 1+x 2)+x 1·x 2=b 2+2b +12,∵OP →·OQ →=0,∴x 1x 2+y 1y 2=0, 即b 2-6b +12+b 2+2b +12=0.解得b =1∈(2-32,2+32). ∴所求的直线PQ 方程为y =-x +1.(理)已知动圆P 与定圆B :x 2+y 2+25x -31=0内切,且动圆P 经过一定点A (5,0). (1)求动圆圆心P 的轨迹E 的方程;(2)若已知点D (0,3),M 、N 在曲线E 上,且DM →=λDN →,求实数λ的取值范围. [解析] (1)定圆B 的圆心B (-5,0),半径r =6, ∵动圆P 与定圆B 内切,且过A (5,0), ∴|P A |+|PB |=6.∴动圆圆心P 的轨迹E 是以B 、A 为焦点,长轴长为6的椭圆. 设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),则2a =6,a =3,c =5,∴b 2=a 2-c 2=4. ∴椭圆的方程为x 29+y 24=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则由DM →=λDN →,可得(x 1,y 1-3)=λ(x 2,y 2-3),故⎩⎪⎨⎪⎧x 1=λx 2y 1=λ(y 2-3)+3.∵M ,N 在动点P 的轨迹上,∴⎩⎨⎧(λx 2)29+(λy 2+3-3λ)24=1x 229+y224=1,消去x 2得,(λy 2+3-3λ)2-λ2y 224=1-λ2.解得y 2=13λ-56λ(λ≠1)或λ=1.①当λ=1时,M 与N 重合,DM →=DN →,满足条件.高考总复习含详解答案 ②当λ≠1时,∵|y 2|≤2,∴⎪⎪⎪⎪13λ-56λ≤2,解得15≤λ≤5,且λ≠1. 综上可得λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤15,5.。

高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)

高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)

高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析) 知识点:4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程:222()()x a y b r -+-=圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法:(1)2200()()x a y b -+->2r ,点在圆外(2)2200()()x a y b -+-=2r ,点在圆上(3)2200()()x a y b -+-<2r ,点在圆内4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x ,圆心为半径为2、圆的一般方程的特点:(1)①x2和y2的系数相同,不等于0.②没有xy 这样的二次项.(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。

4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.设直线l :0=++c by ax ,圆C :022=++++F Ey Dx y x ,圆的半径为r ,圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当r d >时,直线l 与圆C 相离;(2)当r d =时,直线l 与圆C 相切;(3)当r d <时,直线l 与圆C 相交;直线、圆的位置关系注意:1.直线与圆的位置关系 直线与圆相交,有两个公共点d R ⇔<⇔方程组有两组不同实数解(0)∆> 直线与圆相切,只有一个公共点d R ⇔=⇔方程组有唯一实数解(0)∆=直线与圆相离,没有公共点d R ⇔>⇔方程组无实数解(0)∆<2.求两圆公共弦所在直线方程的方法:将两圆方程相减。

高中数学必修2--圆与方程知识点归纳总结

高中数学必修2--圆与方程知识点归纳总结

圆与方程知识点1.圆的标准方程:以点),(b a C 为圆心,r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是:222r y x =+.2.点与圆的位置关系:(1).设点到圆心的距离为d,圆半径为r:a.点在圆内d<r;b.点在圆上d=r;c.点在圆外d>r(2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔(③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔(3)涉及最值:1圆外一点B ,圆上一动点P ,讨论PB 的最值min PB BN BC r ==-max PB BM BC r==+2圆内一点A ,圆上一动点P ,讨论PA 的最值min PA AN r AC==-max PA AM r AC==+思考:过此A 点作最短的弦?(此弦垂直AC )3.圆的一般方程:022=++++F Ey Dx y x .(1)当0422>-+F E D 时,方程表示一个圆,其中圆心⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D C ,半径2422FE D r -+=.(2)当0422=-+F E D 时,方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D .(3)当0422<-+F E D 时,方程不表示任何图形.注:方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是:0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.4.直线与圆的位置关系:直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++=1)无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ;2)只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ;3)有两个交点直线与圆相交⇔⇔<r d ;弦长|AB|=222d r -还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++022F Ey Dx y x C By Ax 求解,通过解的个数来判断:(1)当0>∆时,直线与圆有2个交点,,直线与圆相交;(2)当0=∆时,直线与圆只有1个交点,直线与圆相切;(3)当0<∆时,直线与圆没有交点,直线与圆相离;5.两圆的位置关系(1)设两圆2121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2222222)()(:r b y a x C =-+-,圆心距221221)()(b b a a d -+-=1条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;2条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;3条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;4条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;5无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ;外离外切相交内切(2)两圆公共弦所在直线方程圆1C :221110x y D x E y F ++++=,圆2C :222220x y D x E y F ++++=,则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明:1若1C 与2C 相切,则表示其中一条公切线方程;2若1C 与2C 相离,则表示连心线的中垂线方程.(3)圆系问题过两圆1C :221110x y D x E y F ++++=和2C :222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(1λ≠-)补充:1上述圆系不包括2C ;22)当1λ=-时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦)3过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=6.过一点作圆的切线的方程:(1)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,即⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y 求解k,得到切线方程【一定两解】例1.经过点P(1,—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线,则切线方程为。

高中数学 人教版 必修二 直线与圆的方程综合复习题(含答案)

高中数学 人教版 必修二 直线与圆的方程综合复习题(含答案)

直线与圆的方程综合复习(含答案)一. 选择题1.已知点A(1,. 3),B(-1,33),则直线AB 的倾斜角是( C ) A 3B 6C 23D 562.已知过点A(-2,m)和B (m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则m 的值为( C ) A 0 B 2 C -8 D 103.若直线L 1:ax+2y+6=0与直线L 2:x+(a-1)y+(2a -1)=0平行但不重合,则a 等于( D )A -1或2B 23C 2D -14.若点A (2,-3)是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点,则相异两点 (a 1,b 1)和(a 2,b 2)所确定的直线方程是( A ) A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=05.直线xcos θ+y-1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 ( D )A.[)π,0B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ43,4C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,06.“m=12”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2y)-3=0相互垂直”的( B )A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件7.已知A(7,-4)关于直线L 的对称点为B (-5,6),则直线L 的方程为(B ) A 5x+6y-11=0 B 6x-5y-1=0 C 6x+5y-11=0 D 5x-6y+1=0 8.已知直线1l 的方向向量a=(1,3),直线2l 的方向向量b=(-1,k).若直线2l 经过点(0,5)且1l 2l ,则直线2l 的方程为( B )A x+3y-5=0B x+3y-15=0C x-3y+5=0D x-3y+15=0 9. 过坐标原点且与圆2x +2y -4x+2y+52=0相切的直线方程为( A )A y=-3x 或y= 13xB y=3x 或y= -13xC y=-3x 或y= -13xD y=3x 或y= 13x10.直线x+y=1与圆2x +2y -2ay=0(a>0)没有公共点,则a 的取值范围是(A )A (02-1,)B (2-1, 2+1)C (-2-1, 2-1)D (0, 2+1) 11.圆2x +2y -4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是( C )A 36B 18C 62D 5212.以直线:y=kx-k 经过的定点为P 为圆心且过坐标原点的圆的方程为(D ), A 2x +2y +2x=0 B 2x +2y +x=0 C 2x +2y -x=0 D 2x +2y -2x-013.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于( B )A B 4 C 8 D 914.若直线3x+y+a=0过圆2x +2y +2x-4y=0的圆心,则a 的值为( B )A 1B -1C 3D -315.若直线2ax-by+2=0 (a >0,b >0)始终平分圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的周长,则ba11+的最小值是( C )A.41B.2C.4D.2116.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+24x -有两个不同的交点,则k 的取值范围是 ( A )A.⎥⎦⎤⎝⎛43,125 B.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,125 C.⎥⎦⎤⎝⎛43,21D.⎪⎭⎫⎝⎛125,17.设两圆1C ,2C 都和两坐标轴相切,且过点(4,1),则两圆心的距离 ︱1C 2C ︱等于( C )A 4B 42C 8D 8218.能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为 ( C ) A.2B.5C.3D.3519.若直线by ax +=1与圆x 2+y 2=1有公共点,则( D )A.a 2+b 2≤1B.a 2+b 2≥1C.2211ba +≤1 D.2211ba +≥120.已知A (-3,8)和B (2,2),在x 轴上有一点M ,使得|AM|+|BM|为最短,那么点M 的坐标为( B ) A.(-1,0)B.(1,0)C.⎪⎭⎫⎝⎛0522,D. ⎪⎭⎫⎝⎛522,021.直线y=kx+3与圆2(3)x+2(2)y =4相交于M 、N 两点,若︱MN ︱≥23,则k 的取值范围是( A )A [-34,0] B [-∞,-34] [0,∞) C [-33,33] D [-23,0] 22.(广东理科2)已知集合{(,)|,A x y x y =为实数,且221}x y +=,{(,)|,B x y x y =为实数,且}y x =,则AB 的元素个数为(C )A .0B .1C .2D .3 23.(江西理科9)若曲线02221=-+x y x C :与曲线 0)(2=--m mx y y C :有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( B ) A. )33,33(-B. )33,0()0,33( -C. ]33,33[-D. ),33()33,(+∞--∞ 答案:B 曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心,以1为半径的圆,曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-,0=y 与圆有两个交点,故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点,由图可以知道,临界情况即是与圆相切的时候,经计算可得,两种相切分别对应3333=-=m m 和,由图可知,m 的取值范围应是)33,0()0,33( -二.填空题24.已知圆C 经过)3,1(),1,5(B A 两点,圆心在X 轴上,则C 的方程为10)2(22=+-y x ___________。

高中数学 圆的方程测试题及答案

高中数学 圆的方程测试题及答案

圆的方程专项测试题一、选择题1.若直线4x-3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y +a 2-12=0总有两个不同交点,则a 的取值范围是( )A.-3<a <7B.-6<a <4C.-7<a <3D.-21<a <192.圆(x-3)2+(y -3)2=9上到直线3x+4y -11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.使圆(x-2)2+(y +3)2=2上点与点(0,-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5,1) B.(3,-2)C.(4,1)D.(2 +2,2-3)4.若直线x+y =r 与圆x 2+y 2=r(r >0)相切,则实数r 的值等于( ) A.22B .1C.2D.25.若曲线x 2+y 2+a 2x +(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身,则实数a =( B )A .21± B .22± C .2221-或 D .2221或-6.直线x-y +4=0被圆x 2+y 2+4x-4y +6=0截得的弦长等于( ) A.8B.4C.22D.427.圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线3 x + 4y -11=0的距离等于1的点有( C ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 8.圆(x-3)2+(y +4)2=2关于直线x+y =0的对称圆的标准方程是( ) A.(x+3)2+(y -4)2=2 B.(x-4)2+(y +3)2=2 C.(x+4)2+(y -3)=2 D.(x-3)2+(y -4)2=29.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2=1的内部,则实数a 的取值范围是( ) A.|a |<1B.|a |<51 C.|a |<121D.|a |<131 10.关于x,y 的方程Ax 2+Bx y +C y 2+Dx+E y +F=0表示一个圆的充要条件是( ) A.B=0,且A=C≠0 B.B=1且D 2+E 2-4AF >0 C.B=0且A=C≠0,D 2+E 2-4AF≥0 D.B=0且A=C≠0,D 2+E 2-4AF >0 11.过点P(-8,-1),Q(5,12),R(17,4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(314,5) B.(5,1) C.(0,0) D.(5,-1)12.若两直线y =x+2k 与y =2x+k+1的交点P 在圆x 2+2=4的内部,则k 的范围是( ) A.-51<k <-1B.-51<k <1C.-31<k <1 D.-2<k <2二、填空题13.圆x 2+y 2+ax=0(a≠0)的圆心坐标和半径分别是 .14.若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y =0,则x-2y 的最大值是 .15.若集合A={(x 、y )|y =-|x |-2},B={(x,y )|(x-a)2+y 2=a 2}满足A∩B=ϕ,则实数a 的取值范围是 .16.过点M(3,0)作直线l 与圆x 2+y 2=16交于A 、B 两点,当θ= 时,使△AOB 的面积最大,最大值为 (O 为原点).三、解答题17.求圆心在直线2x-y -3=0上,且过点(5,2)和(3,-2)的圆的方程.18. 过圆(x -1)2+(y -1)2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过两切点的直线l 方程.19. 已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点,圆心为P ,若︒=∠90APB . 求m 的值.20.已知直角坐标平面内点Q(2,0),圆C :x 2+y 2=1,动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0),求动点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.21. 自点A (-3,3)发出的光线L 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线m 所在直线与圆C :x 2 + y 2 -4x -4y +7 = 0相切,求光线L 、m 所在的直线方程.22. 已知圆C :044222=-+-+y x y x ,是否存在斜率为1的直线L ,使L 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点,若存在求出直线L 的方程,若不存在说明理由.参考答案:1.B2.C3.B4.D5.B6.C7.C8.B9.D 10.D 11.D 12.B 13.(-2a ,0), 2a 14.10 15.-2(2+1)<a <2(2+1)16.θ=arccot22 或π-arccot22, 817.(x-2)2+(y -1)2=10 10.3x+4y +1=0或4x+3y -1=0 ;18. 解:设圆(-1)2+(y -1)2=1的圆心为1O ,由题可知,以线段P 1O 为直径的圆与与圆1O 交于AB 两点,线段AB 为两圆公共弦,以P 1O 为直径的圆方程5)20()23(22=-+-y x △已知圆1O 的方程为(x-1)2+(y -1)2=1 △ △△作差得x+2y -41=0, 即为所求直线l 的方程。

(完整版)高中数学圆的方程(含圆系)典型题型归纳总结

(完整版)高中数学圆的方程(含圆系)典型题型归纳总结

高中数学圆的方程典型题型归纳总结类型一:巧用圆系求圆的过程在解析几何中,符合特定条件的某些圆构成一个圆系,一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。

常用的圆系方程有如下几种:⑴以为圆心的同心圆系方程⑵过直线与圆的交点的圆系方程⑶过两圆和圆的交点的圆系方程此圆系方程中不包含圆,直接应用该圆系方程,必须检验圆是否满足题意,谨防漏解。

当时,得到两圆公共弦所在直线方程例1:已知圆与直线相交于两点,为坐标原点,若,求实数的值。

分析:此题最易想到设出,由得到,利用设而不求的思想,联立方程,由根与系数关系得出关于的方程,最后验证得解。

倘若充分挖掘本题的几何关系,不难得出在以为直径的圆上。

而刚好为直线与圆的交点,选取过直线与圆交点的圆系方程,可极大地简化运算过程。

解:过直线与圆的交点的圆系方程为:,即………………….①依题意,在以为直径的圆上,则圆心()显然在直线上,则,解之可得又满足方程①,则故例2:求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。

解:圆和的公共弦方程为,即过直线与圆的交点的圆系方程为,即依题意,欲使所求圆面积最小,只需圆半径最小,则两圆的公共弦必为所求圆的直径,圆心必在公共弦所在直线上。

即,则代回圆系方程得所求圆方程 例3:求证:m 为任意实数时,直线(m -1)x +(2m -1)y =m -5恒过一定点P ,并求P 点坐标。

分析:不论m 为何实数时,直线恒过定点,因此,这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。

解:由原方程得m(x +2y -1)-(x +y -5)=0,①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得, ∴直线过定点P (9,-4)注:方程①可看作经过两直线交点的直线系。

例4已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=25,直线l :(2m +1)x +(m +1)y -7m -4=0(m ∈R ).(1)证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.剖析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得. (1)证明:l 的方程(x +y -4)+m (2x +y -7)=0. 2x +y -7=0, x =3, x +y -4=0, y =1,即l 恒过定点A (3,1).∵圆心C (1,2),|AC |=5<5(半径), ∴点A 在圆C 内,从而直线l 恒与圆C 相交于两点. (2)解:弦长最小时,l ⊥AC ,由k AC =-21, ∴l 的方程为2x -y -5=0.评述:若定点A 在圆外,要使直线与圆相交则需要什么条件呢?思考讨论类型二:直线与圆的位置关系例5、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点,求实数m 的取值范围.解:∵曲线24x y -=表示半圆)0(422≥=+y y x ,∴利用数形结合法,可得实数m 的取值范围是22<≤-m 或22=m . 变式练习:1.若直线y=x+k 与曲线x=21y -恰有一个公共点,则k 的取值范围是___________.解析:利用数形结合. 答案:-1<k ≤1或k=-2例6 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个?分析:借助图形直观求解.或先求出直线1l 、2l 的方程,从代数计算中寻找解答. 解法一:圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ,半径3=r . 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则324311343322<=+-⨯+⨯=d .如图,在圆心1O 同侧,与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点,这两个交点符合题意.又123=-=-d r .∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. ∴符合题意的点共有3个.解法二:符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ,且与之距离为1的直线和圆的交点.设∵m ∈R ,∴得所求直线为043=++m y x ,则1431122=++=m d ,∴511±=+m ,即6-=m ,或16-=m ,也即06431=-+y x l :,或016432=-+y x l :.设圆9)3()3(221=-+-y x O :的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ,则 34363433221=+-⨯+⨯=d ,143163433222=+-⨯+⨯=d .∴1l 与1O 相切,与圆1O 有一个公共点;2l 与圆1O 相交,与圆1O 有两个公共点.即符合题意的点共3个.说明:对于本题,若不留心,则易发生以下误解:设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则324311343322<=+-⨯+⨯=d .∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个.显然,上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离,r d <,只能说明此直线与圆有两个交点,而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1.类型三:圆中的最值问题例7:圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是解:∵圆18)2()2(22=-+-y x 的圆心为(2,2),半径23=r ,∴圆心到直线的距离r d >==25210,∴直线与圆相离,∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是262)()(==--+r r d r d .例8 (1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O :,),(y x P 为圆O 上的动点,求22y x d +=的最大、最小值.(2)已知圆1)2(222=++y x O :,),(y x P 为圆上任一点.求12--x y 的最大、最小值,求yx 2-的最大、最小值.分析:(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标,可考虑用圆的参数方程或数形结合解决.解:(1)(法1)由圆的标准方程1)4()3(22=-+-y x .可设圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=,sin 4,cos 3θθy x (θ是参数).则θθθθ2222sin sin 816cos cos 69+++++=+=y x d)cos(1026sin 8cos 626φθθθ-+=++=(其中34tan =φ). 所以361026max =+=d ,161026min =-=d .(法2)圆上点到原点距离的最大值1d 等于圆心到原点的距离'1d 加上半径1,圆上点到原点距离的最小值2d 等于圆心到原点的距离'1d 减去半径1.所以6143221=++=d .4143222=-+=d .所以36max =d .16min =d .(2) (法1)由1)2(22=++y x 得圆的参数方程:⎩⎨⎧=+-=,sin ,cos 2θθy x θ是参数.则3cos 2sin 12--=--θθx y .令t =--3cos 2sin θθ, 得t t 32cos sin -=-θθ,t t 32)sin(12-=-+φθ1)sin(1322≤-=+-⇒φθt t 433433+≤≤-⇒t . 所以433max +=t ,433min -=t . 即12--x y 的最大值为433+,最小值为433-.此时)cos(52sin 2cos 22φθθθ++-=-+-=-y x . 所以y x 2-的最大值为52+-,最小值为52--. (法2)设k x y =--12,则02=+--k y kx .由于),(y x P 是圆上点,当直线与圆有交点时,如图所示,两条切线的斜率分别是最大、最小值. 由11222=++--=k k k d ,得433±=k . 所以12--x y 的最大值为433+,最小值为433-.令t y x =-2,同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值.由152=--=m d ,得52±-=m .所以y x 2-的最大值为52+-,最小值为52--.例9、已知对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ,不等式0≥++m y x 恒成立,求实数m 的取值范围.设圆1)1(22=-+y x 上任一点)sin 1,(cos θθ+P )2,0[πθ∈ ∴θcos =x ,θsin 1+=y ∵0≥++m y x 恒成立 ∴0sin 1cos ≥+++m θθ即)sin cos 1(θθ++-≥m 恒成立.∴只须m 不小于)sin cos 1(θθ++-的最大值. 设1)4sin(21)cos (sin -+-=-+-=πθθθu∴12max -=u 即12-≥m .说明:在这种解法中,运用了圆上的点的参数设法.一般地,把圆222)()(r b y a x =-+-上的点设为)sin ,cos (θθr b r a ++()2,0[πθ∈).采用这种设法一方面可减少参数的个数,另一方面可以灵活地运用三角公式.从代数观点来看,这种做法的实质就是三角代换.。

高中数学必修2圆的方程练习题(基础训练)

高中数学必修2圆的方程练习题(基础训练)

专题:直线与圆1.圆C 1 : x 2+y 2+2x +8y -8=0与圆C 2 : x 2+y 2-4x +4y -2=0的位置关系是( ). A .相交B .外切C .内切D .相离2.两圆x 2+y 2-4x +2y +1=0与x 2+y 2+4x -4y -1=0的公共切线有( ). A .1条B .2条C .3条D .4条3.若圆C 与圆(x +2)2+(y -1)2=1关于原点对称,则圆C 的方程是( ). A .(x -2)2+(y +1)2=1 B .(x -2)2+(y -1)2=1 C .(x -1)2+(y +2)2=1D .(x +1)2+(y -2)2=14.与直线l : y =2x +3平行,且与圆x 2+y 2-2x -4y +4=0相切的直线方程是( ). A .x -y ±5=0 B .2x -y +5=0 C .2x -y -5=0D .2x -y ±5=05.直线x -y +4=0被圆x 2+y 2+4x -4y +6=0截得的弦长等于( ). A .2B .2C .22D .426.一圆过圆x 2+y 2-2x =0与直线x +2y -3=0的交点,且圆心在y 轴上,则这个圆的方程是( ).A .x 2+y 2+4y -6=0B .x 2+y 2+4x -6=0C .x 2+y 2-2y =0D .x 2+y 2+4y +6=07.圆x 2+y 2-4x -4y -10=0上的点到直线x +y -14=0的最大距离与最小距离的差是( ). A .30B .18C .62D .528.两圆(x -a )2+(y -b )2=r 2和(x -b )2+(y -a )2=r 2相切,则( ). A .(a -b )2=r 2 B .(a -b )2=2r 2 C .(a +b )2=r 2D .(a +b )2=2r 29.若直线3x -y +c =0,向右平移1个单位长度再向下平移1个单位,平移后与圆x 2+y 2=10相切,则c 的值为( ). A .14或-6B .12或-8C .8或-12D .6或-1410.设A (3,3,1),B (1,0,5),C (0,1,0),则AB 的中点M 到点C 的距离|CM | =( ). A .453B .253 C .253 D .21311.若直线3x -4y +12=0与两坐标轴的交点为A ,B ,则以线段AB 为直径的圆的一般方程为____________________.12.已知直线x =a 与圆(x -1)2+y 2=1相切,则a 的值是_________. 13.直线x =0被圆x 2+y 2―6x ―2y ―15=0所截得的弦长为_________.14.若A(4,-7,1),B(6,2,z),|AB|=11,则z=_______________.15.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,P A,PB是圆(x-1)2+(y-1)2=1的两条切线,A,B是切点,C是圆心,则四边形P ACB面积的最小值为.三、解答题16.求下列各圆的标准方程:(1)圆心在直线y=0上,且圆过两点A(1,4),B(3,2);(2)圆心在直线2x+y=0上,且圆与直线x+y-1=0切于点M(2,-1).17.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AB的中点,F是BB1的中点,G是AB1的中点,试建立适当的坐标系,并确定E,F,G三点的坐标.18.圆心在直线5x―3y―8=0上的圆与两坐标轴相切,求此圆的方程.19.已知圆C :(x-1)2+(y-2)2=2,点P坐标为(2,-1),过点P作圆C的切线,切点为A,B.(1)求直线P A,PB的方程;(2)求过P点的圆的切线长;(3)求直线AB的方程.20.求与x轴相切,圆心C在直线3x-y=0上,且截直线x-y=0得的弦长为27的圆的方程.参考答案一、选择题 1.A解析:C 1的标准方程为(x +1)2+(y +4)2=52,半径r 1=5;C 2的标准方程为(x -2)2+(y +2)2=(10)2,半径r 2=10.圆心距d =224 - 2+ 1 + 2)()(=13. 因为C 2的圆心在C 1内部,且r 1=5<r 2+d ,所以两圆相交. 2.C解析:因为两圆的标准方程分别为(x -2)2+(y +1)2=4,(x +2)2+(y -2)2=9, 所以两圆的圆心距d =222 - 1 -+ 2 + 2)()(=5. 因为r 1=2,r 2=3,所以d =r 1+r 2=5,即两圆外切,故公切线有3条. 3.A解析:已知圆的圆心是(-2,1),半径是1,所求圆的方程是(x -2)2+(y +1)2=1. 4.D解析:设所求直线方程为y =2x +b ,即2x -y +b =0.圆x 2+y 2―2x ―4y +4=0的标准方程为(x -1)2+(y -2)2=1.由221+ 2 + 2 - 2 b =1解得b =±5.故所求直线的方程为2x -y ±5=0. 5.C解析:因为圆的标准方程为(x +2)2+(y -2)2=2,显然直线x -y +4=0经过圆心. 所以截得的弦长等于圆的直径长.即弦长等于22. 6.A解析:如图,设直线与已知圆交于A ,B 两点,所求圆的圆心为C . 依条件可知过已知圆的圆心与点C 的直线与已知直线垂直. 因为已知圆的标准方程为(x -1)2+y 2=1,圆心为(1,0), 所以过点(1,0)且与已知直线x +2y -3=0垂直的直线方程为y =2x -2.令x =0,得C (0,-2).联立方程x 2+y 2-2x =0与x +2y -3=0可求出交点A (1,1).故所求圆的半径r =|AC |=223 + 1=10.所以所求圆的方程为x 2+(y +2)2=10,即x 2+y 2+4y -6=0.(第6题)解析:因为圆的标准方程为(x -2)2+(y -2)2=(32)2,所以圆心为(2,2),r =32. 设圆心到直线的距离为d ,d =210>r ,所以最大距离与最小距离的差等于(d +r )-(d -r )=2r =62. 8.B解析:由于两圆半径均为|r |,故两圆的位置关系只能是外切,于是有 (b -a )2+(a -b )2=(2r )2. 化简即(a -b )2=2r 2. 9.A解析:直线y =3x +c 向右平移1个单位长度再向下平移1个单位. 平移后的直线方程为y =3(x -1)+c -1,即3x -y +c -4=0. 由直线平移后与圆x 2+y 2=10相切,得221+ 34 - + 0 - 0 c =10,即|c -4|=10,所以c =14或-6. 10.C解析:因为C (0,1,0),容易求出AB 的中点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛3 ,23 ,2, 所以|CM |=2220 - 3 + 1 -23 + 0 - 2)()(⎪⎭⎫⎝⎛=253. 二、填空题11.x 2+y 2+4x -3y =0.解析:令y =0,得x =-4,所以直线与x 轴的交点A (-4,0). 令x =0,得y =3,所以直线与y 轴的交点B (0,3). 所以AB 的中点,即圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛23 2, -. 因为|AB |=223 + 4=5,所以所求圆的方程为(x +2)2+223 - ⎪⎭⎫ ⎝⎛y =425.即x 2+y 2+4x -3y =0. 12.0或2.解析:画图可知,当垂直于x 轴的直线x =a 经过点(0,0)和(2,0)时与圆相切, 所以a 的值是0或2.解析:令圆方程中x =0,所以y 2―2y ―15=0.解得y =5,或y =-3. 所以圆与直线x =0的交点为(0,5)或(0,-3).所以直线x =0被圆x 2+y 2―6x ―2y ―15=0所截得的弦长等于5-(-3)=8. 14.7或-5.解析:由2221 - + 7 + 2 + 4 - 6)()()(z =11得(z -1)2=36.所以z =7,或-5. 15.22.解析:如图,S 四边形P ACB =2S △P AC =21|P A |·|CA |·2=|P A |,又|P A |=12-||PC ,故求|P A |最小值,只需求|PC |最小值,另|PC |最小值即C 到直线3x +4y +8=0的距离,为2243843+|++|=3.于是S 四边形P ACB 最小值为132-=22. 三、解答题16.解:(1)由已知设所求圆的方程为(x -a )2+y 2=r 2,于是依题意,得⎪⎩⎪⎨⎧.=+)(,=+)(2222 4 - 3 16 - 1r a r a 解得⎪⎩⎪⎨⎧.,-20 = 1 = 2r a 故所求圆的方程为(x +1)2+y 2=20.(2)因为圆与直线x +y -1=0切于点M (2,-1),所以圆心必在过点M (2,-1)且垂直于x +y -1=0的直线l 上. 则l 的方程为y +1=x -2,即y =x -3. 由⎪⎩⎪⎨⎧.=+,-=023 y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧.- =,=2 1 y x 即圆心为O 1(1,-2),半径r =222 + 1 -+ 1 - 2)()(=2. 故所求圆的方程为(x -1)2+(y +2)2=2.17.解:以D 为坐标原点,分别以射线DA ,DC ,DD 1的方向为正方向,以线段DA ,DC ,DD 1的长为单位长,建立空间直角坐标系Dxyz ,E 点在平面xDy 中,且EA =21. 所以点E 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0 ,21 ,1, (第15题)又B 和B 1点的坐标分别为(1,1,0),(1,1,1),所以点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21 ,1 ,1,同理可得G 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21 21 1,,. 18.解:设所求圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2, 因为圆与两坐标轴相切,所以圆心满足|a |=|b |,即a -b =0,或a +b =0. 又圆心在直线5x ―3y ―8=0上,所以5a ―3b ―8=0.由方程组⎪⎩⎪⎨⎧,=-,=--00835b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧,=+,=--00835b a b a解得⎪⎩⎪⎨⎧,=,44b a =或⎪⎩⎪⎨⎧.=-,11=b a 所以圆心坐标为(4,4),(1,-1).故所求圆的方程为(x -4)2+(y -4)2=16,或(x -1)2+(y +1)2=1.19.解:(1)设过P 点圆的切线方程为y +1=k (x -2),即kx ―y ―2k ―1=0. 因为圆心(1,2)到直线的距离为2,1+ 3 - - 2k k =2, 解得k =7,或k =-1.故所求的切线方程为7x ―y ―15=0,或x +y -1=0.(2)在Rt △PCA 中,因为|PC |=222 - 1 -+ 1 - 2)()(=10,|CA |=2, 所以|P A |2=|PC |2-|CA |2=8.所以过点P 的圆的切线长为22.(3)容易求出k PC =-3,所以k AB =31.如图,由CA 2=CD ·PC ,可求出CD =PC CA 2=102.设直线AB 的方程为y =31x +b ,即x -3y +3b =0.由102=23 + 1 3 + 6 - 1 b 解得b =1或b =37(舍).所以直线AB 的方程为x -3y +3=0.(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解.20.解:因为圆心C 在直线3x -y =0上,设圆心坐标为(a ,3a ), 圆心(a ,3a )到直线x -y =0的距离为d =22 - a .又圆与x 轴相切,所以半径r =3|a |,(第19题)设圆的方程为(x -a )2+(y -3a )2=9a 2, 设弦AB 的中点为M ,则|AM |=7. 在Rt △AMC 中,由勾股定理,得 22 2 - ⎪⎪⎭⎫⎝⎛a +(7)2=(3|a |)2. 解得a =±1,r 2=9.故所求的圆的方程是(x -1)2+(y -3)2=9,或(x +1)2+(y +3)2=9.。

高中数学必修2--第四章《圆与方程》知识点总结与练习知识讲解

高中数学必修2--第四章《圆与方程》知识点总结与练习知识讲解

第三节圆_的_方_程[知识能否忆起]1.圆的定义及方程2.点与圆的位置关系点M (x 0,y 0)与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的位置关系: (1)若M (x 0,y 0)在圆外,则(x 0-a )2+(y 0-b )2>r 2. (2)若M (x 0,y 0)在圆上,则(x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2. (3)若M (x 0,y 0)在圆内,则(x 0-a )2+(y 0-b )2<r 2.[小题能否全取]1.(教材习题改编)方程x 2+y 2+4mx -2y +5m =0表示圆的充要条件是( ) A.14<m <1 B .m <14或m >1C .m <14D .m >1解析:选B 由(4m )2+4-4×5m >0得m <14或m >1.2.(教材习题改编)点(1,1)在圆(x -a )2+(y +a )2=4内,则实数a 的取值范围是( ) A .(-1,1)B .(0,1)C .(-∞,-1)∪(1,+∞)D .(1,+∞)解析:选A ∵点(1,1)在圆的内部, ∴(1-a )2+(1+a )2<4, ∴-1<a <1.3.圆心在y 轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( ) A .x 2+(y -2)2=1B .x 2+(y +2)2=1C .(x -1)2+(y -3)2=1D .x 2+(y -3)2=1解析:选A 设圆心坐标为(0,b ),则由题意知(0-1)2+(b -2)2=1,解得b =2,故圆的方程为x 2+(y -2)2=1.4.(2012·潍坊调研)圆x 2-2x +y 2-3=0的圆心到直线x +3y -3=0的距离为________.解析:圆心(1,0),d =|1-3|1+3=1.答案:15.(教材习题改编)圆心在原点且与直线x +y -2=0相切的圆的方程为 ____________________.解析:设圆的方程为x 2+y 2=a 2(a >0) ∴|2|1+1=a ,∴a =2,∴x 2+y 2=2. 答案:x 2+y 2=21.方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是: (1)B =0;(2)A =C ≠0;(3)D 2+E 2-4AF >0.2.求圆的方程时,要注意应用圆的几何性质简化运算. (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上. (2)圆心在任一弦的中垂线上.(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.典题导入[例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C 关于y 轴对称,经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2,则圆C 的方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x ±332+y 2=43B.⎝⎛⎭⎫x ±332+y 2=13C .x 2+⎝⎛⎭⎫y ±332=43D .x 2+⎝⎛⎭⎫y ±332=13(2)已知圆C 经过A (5,1),B (1,3)两点,圆心在x 轴上,则圆C 的方程为________________. [自主解答] (1)由已知知圆心在y 轴上,且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3,设圆心(0,b ),半径为r ,则r sin π3=1,r cos π3=|b |,解得r =23,|b |=33,即b =±33.故圆的方程为x 2+⎝⎛⎭⎫y ±332=43.(2)圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +F =0,则⎩⎪⎨⎪⎧26+5D +F =0,10+D +F =0, 解得⎩⎪⎨⎪⎧D =-4,F =-6.圆C 的方程为x 2+y 2-4x -6=0. [答案] (1)C (2)x 2+y 2-4x -6=0由题悟法1.利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ,b ,r 或D ,E ,F 的方程组. 2.利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程,体现了数形结合思想的运用.以题试法1.(2012·浙江五校联考)过圆x 2+y 2=4外一点P (4,2)作圆的两条切线,切点分别为A ,B ,则△ABP 的外接圆的方程是( )A .(x -4)2+(y -2)2=1B .x 2+(y -2)2=4C .(x +2)2+(y +1)2=5D .(x -2)2+(y -1)2=5解析:选D 易知圆心为坐标原点O ,根据圆的切线的性质可知OA ⊥P A ,OB ⊥PB ,因此P ,A ,O ,B 四点共圆,△P AB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆,这个圆的方程是(x -2)2+(y -1)2=5.典题导入[例2] (1)(2012·湖北高考)过点P (1,1)的直线,将圆形区域{(x ,y )|x 2+y 2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( )A .x +y -2=0B .y -1=0C .x -y =0D .x +3y -4=0(2)P (x ,y )在圆C :(x -1)2+(y -1)2=1上移动,则x 2+y 2的最小值为________. [自主解答] (1)当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时,符合条件.圆心O 与P 点连线的斜率k =1,∴直线OP 垂直于x +y -2=0.(2)由C (1,1)得|OC |=2,则|OP |min =2-1,即(x 2+y 2)min =2-1.所以x 2+y 2的最小值为(2-1)2=3-2 2.[答案] (1)A (2)3-2 2由题悟法解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1)形如u =y -bx -a的最值问题,可转化为定点(a ,b )与圆上的动点(x ,y )的斜率的最值问题(如A 级T 9);9.(2012·南京模拟)已知x ,y 满足x 2+y 2=1,则y -2x -1的最小值为________.解析:y -2x -1表示圆上的点P (x ,y )与点Q (1,2)连线的斜率,所以y -2x -1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率.设直线PQ 的方程为y -2=k (x -1)即kx -y +2-k =0.由|2-k |k 2+1=1得k =34,结合图形可知,y -2x -1≥34,故最小值为34. 答案:34(2)形如t =ax +by 的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2)); (3)形如(x -a )2+(y -b )2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题(如例(2)).以题试法2.(1)(2012·东北三校联考)与曲线C :x 2+y 2+2x +2y =0相内切,同时又与直线l :y =2-x 相切的半径最小的圆的半径是________.(2)已知实数x ,y 满足(x -2)2+(y +1)2=1则2x -y 的最大值为________,最小值为________.解析:(1)依题意,曲线C 表示的是以点C (-1,-1)为圆心,2为半径的圆,圆心C (-1,-1)到直线y =2-x 即x +y -2=0的距离等于|-1-1-2|2=22,易知所求圆的半径等于22+22=322.(2)令b =2x -y ,则b 为直线2x -y =b 在y 轴上的截距的相反数,当直线2x -y =b 与圆相切时,b 取得最值.由|2×2+1-b |5=1.解得b =5±5,所以2x -y 的最大值为5+5,最小值为5- 5.答案:(1)322 (2)5+5 5-5典题导入[例3] (2012·正定模拟)如图,已知点A (-1,0)与点B (1,0),C 是圆x 2+y 2=1上的动点,连接BC 并延长至D ,使得|CD |=|BC |,求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程.[自主解答] 设动点P (x ,y ),由题意可知P 是△ABD 的重心. 由A (-1,0),B (1,0),令动点C (x 0,y 0), 则D (2x 0-1,2y 0),由重心坐标公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+1+2x 0-13,y =2y 03,则⎩⎪⎨⎪⎧x 0=3x +12,y 0=3y 2(y 0≠0),代入x 2+y 2=1,整理得⎝⎛⎭⎫x +132+y 2=49(y ≠0), 故所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x +132+y 2=49(y ≠0).由题悟法求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法: (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程. (3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程.(4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.以题试法3.(2012·郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍,则动点P 的轨迹方程为( )A .x 2+y 2=32B .x 2+y 2=16C .(x -1)2+y 2=16D .x 2+(y -1)2=16解析:选B 设P (x ,y ),则由题意可得2(x -2)2+y 2=(x -8)2+y 2,化简整理得x 2+y 2=16.[题后悟道] 该题是圆与集合,不等式交汇问题,解决本题的关键点有: ①弄清集合代表的几何意义;②结合直线与圆的位置关系求得m 的取值范围. 针对训练若直线l :ax +by +4=0(a >0,b >0)始终平分圆C :x 2+y 2+8x +2y +1=0,则ab 的最大值为( )A .4B .2C .1D.14解析:选C 圆C 的圆心坐标为(-4,-1), 则有-4a -b +4=0,即4a +b =4. 所以ab =14(4a ·b )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a +b 22=14×⎝⎛⎭⎫422=1.当且仅当a =12,b =2取得等号.1.圆(x +2)2+y 2=5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( ) A .(x -2)2+y 2=5 B .x 2+(y -2)2=5 C .(x +2)2+(y +2)2=5D .x 2+(y +2)2=5解析:选A 圆上任一点(x ,y )关于原点对称点为(-x ,-y )在圆(x +2)2+y 2=5上,即(-x +2)2+(-y )2=5.即(x -2)2+y 2=5.2.(2012·辽宁高考)将圆x 2+y 2-2x -4y +1=0平分的直线是( ) A .x +y -1=0 B .x +y +3=0 C .x -y +1=0D .x -y +3=0解析:选C 要使直线平分圆,只要直线经过圆的圆心即可,圆心坐标为(1,2).A ,B ,C ,D 四个选项中,只有C 选项中的直线经过圆心.3.(2012·青岛二中期末)若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x -3y =0和x 轴都相切,则该圆的标准方程是( )A .(x -3)2+⎝⎛⎭⎫y -732=1 B .(x -2)2+(y -1)2=1 C .(x -1)2+(y -3)2=1D.⎝⎛⎭⎫x -322+(y -1)2=1 解析:选B 依题意设圆心C (a,1)(a >0),由圆C 与直线4x -3y =0相切,得|4a -3|5=1,解得a =2,则圆C 的标准方程是(x -2)2+(y -1)2=1.4.(2012·海淀检测)点P (4,-2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A .(x -2)2+(y +1)2=1 B .(x -2)2+(y +1)2=4 C .(x +4)2+(y -2)2=4D .(x +2)2+(y -1)2=1解析:选A设圆上任一点为Q (x 0,y 0),PQ 的中点为M (x ,y ),则⎩⎨⎧x =4+x2,y =-2+y2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=2x -4,y 0=2y +2.因为点Q 在圆x 2+y 2=4上,所以(2x -4)2+(2y +2)2=4,即(x -2)2+(y +1)2=1.5.(2013·杭州模拟)若圆x 2+y 2-2x +6y +5a =0,关于直线y =x +2b 成轴对称图形,则a -b 的取值范围是( )A .(-∞,4)B .(-∞,0)C .(-4,+∞)D .(4,+∞)解析:选A 将圆的方程变形为(x -1)2+(y +3)2=10-5a ,可知,圆心为(1,-3),且10-5a >0,即a <2.∵圆关于直线y =x +2b 对称,∴圆心在直线y =x +2b 上,即-3=1+2b ,解得b =-2,∴a -b <4.6.已知点M 是直线3x +4y -2=0上的动点,点N 为圆(x +1)2+(y +1)2=1上的动点,则|MN |的最小值是( )A.95 B .1 C.45D.135解析:选C 圆心(-1,-1)到点M 的距离的最小值为点(-1,-1)到直线的距离d =|-3-4-2|5=95,故点N 到点M 的距离的最小值为d -1=45. 7.如果三角形三个顶点分别是O (0,0),A (0,15),B (-8,0),则它的内切圆方程为________________.解析:因为△AOB 是直角三角形,所以内切圆半径为r =|OA |+|OB |-|AB |2=15+8-172=3,圆心坐标为(-3,3),故内切圆方程为(x +3)2+(y -3)2=9.答案:(x +3)2+(y -3)2=98.(2013·河南三市调研)已知圆C 的圆心与抛物线y 2=4x 的焦点关于直线y =x 对称,直线4x -3y -2=0与圆C 相交于A ,B 两点,且|AB |=6,则圆C 的方程为__________.解析:设所求圆的半径是R ,依题意得,抛物线y 2=4x 的焦点坐标是(1,0),则圆C 的圆心坐标是(0,1),圆心到直线4x -3y -2=0的距离d =|4×0-3×1-2|42+(-3)2=1,则R 2=d 2+⎝⎛⎭⎫|AB |22=10,因此圆C 的方程是x 2+(y -1)2=10.答案:x 2+(y -1)2=109.(2012·南京模拟)已知x ,y 满足x 2+y 2=1,则y -2x -1的最小值为________.解析:y -2x -1表示圆上的点P (x ,y )与点Q (1,2)连线的斜率,所以y -2x -1的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率.设直线PQ 的方程为y -2=k (x -1)即kx -y +2-k =0.由|2-k |k 2+1=1得k =34,结合图形可知,y -2x -1≥34,故最小值为34. 答案:3410.过点C (3,4)且与x 轴,y 轴都相切的两个圆的半径分别为r 1,r 2,求r 1r 2. 解:由题意知,这两个圆的圆心都在第一象限, 且在直线y =x 上,故可设两圆方程为 (x -a )2+(y -a )2=a 2,(x -b )2+(y -b )2=b 2, 且r 1=a ,r 2=b .由于两圆都过点C , 则(3-a )2+(4-a )2=a 2,(3-b )2+(4-b )2=b 2 即a 2-14a +25=0,b 2-14b +25=0. 则a 、b 是方程x 2-14x +25=0的两个根.故r 1r 2=ab =25.11.已知以点P 为圆心的圆经过点A (-1,0)和B (3,4),线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ,且|CD |=410.(1)求直线CD 的方程; (2)求圆P 的方程.解:(1)直线AB 的斜率k =1,AB 的中点坐标为(1,2). 则直线CD 的方程为y -2=-(x -1), 即x +y -3=0.(2)设圆心P (a ,b ),则由P 在CD 上得a +b -3=0.① 又∵直径|CD |=410,∴|P A |=210, ∴(a +1)2+b 2=40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =-3,b =6或⎩⎪⎨⎪⎧a =5,b =-2.∴圆心P (-3,6)或P (5,-2). ∴圆P 的方程为(x +3)2+(y -6)2=40 或(x -5)2+(y +2)2=40.12.(2012·吉林摸底)已知关于x ,y 的方程C :x 2+y 2-2x -4y +m =0. (1)当m 为何值时,方程C 表示圆;(2)在(1)的条件下,若圆C 与直线l :x +2y -4=0相交于M 、N 两点,且|MN |=455,求m 的值.解:(1)方程C 可化为(x -1)2+(y -2)2=5-m ,显然只要5-m >0,即m <5时方程C 表示圆.(2)因为圆C 的方程为(x -1)2+(y -2)2=5-m ,其中m <5,所以圆心C (1,2),半径r =5-m ,则圆心C (1,2)到直线l :x +2y -4=0的距离为d =|1+2×2-4|12+22=15,因为|MN |=455,所以12|MN |=255,所以5-m =⎝⎛⎭⎫152+⎝⎛⎭⎫2552, 解得m =4.1.(2012·常州模拟)以双曲线x 26-y 23=1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A .(x -3)2+y 2=1B .(x -3)2+y 2=3C .(x -3)2+y 2=3D .(x -3)2+y 2=9解析:选B 双曲线的渐近线方程为x ±2y =0,其右焦点为(3,0),所求圆半径r =|3|12+(±2)2=3,所求圆方程为(x -3)2+y 2=3.2.由直线y =x +2上的点P 向圆C :(x -4)2+(y +2)2=1引切线PT (T 为切点),当|PT |最小时,点P 的坐标是( )A .(-1,1)B .(0,2)C .(-2,0)D .(1,3)解析:选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系,可知|PT |=|PC |2-1,故|PT |最小时,即|PC |最小,此时PC 垂直于直线y =x +2,则直线PC 的方程为y +2=-(x-4),即y =-x +2,联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y =x +2,y =-x +2,解得点P 的坐标为(0,2).3.已知圆M 过两点C (1,-1),D (-1,1),且圆心M 在x +y -2=0上. (1)求圆M 的方程;(2)设P 是直线3x +4y +8=0上的动点,P A 、PB 是圆M 的两条切线,A ,B 为切点,求四边形P AMB 面积的最小值.解:(1)设圆M 的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0).根据题意,得⎩⎪⎨⎪⎧(1-a )2+(-1-b )2=r 2,(-1-a )2+(1-b )2=r 2,a +b -2=0.解得a =b =1,r =2,故所求圆M 的方程为(x -1)2+(y -1)2=4.(2)因为四边形P AMB 的面积S =S △P AM +S △PBM =12|AM |·|P A |+12|BM |·|PB |, 又|AM |=|BM |=2,|P A |=|PB |,所以S =2|P A |, 而|P A |=|PM |2-|AM |2=|PM |2-4,即S =2|PM |2-4.因此要求S 的最小值,只需求|PM |的最小值即可, 即在直线3x +4y +8=0上找一点P ,使得|PM |的值最小,所以|PM |min =|3×1+4×1+8|32+42=3,所以四边形P AMB 面积的最小值为S =2|PM |2min -4=232-4=2 5.1.在圆x 2+y 2-2x -6y =0内,过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为( )A .5 2B .10 2C .15 2D .20 2解析:选B 由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3),半径是10,且点E (0,1)位于该圆内,故过点E (0,1)的最短弦长|BD |=210-(12+22)=25(注:过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦),过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径,即|AC |=210,且AC ⊥BD ,因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |=12×210×25=10 2.2.已知两点A (-2,0),B (0,2),点C 是圆x 2+y 2-2x =0上任意一点,则△ABC 面积的最小值是________.解析:l AB :x -y +2=0,圆心(1,0)到l 的距离d =32, 则AB 边上的高的最小值为32-1. 故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝⎛⎭⎫32-1=3- 2.答案:3- 23.(2012·抚顺调研)已知圆x 2+y 2=4上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内一点,P ,Q 为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.解:(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4.故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2,d=|O1O2|)[小题能否全取]1.(教材习题改编)圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是()A.相切B.相交但直线不过圆心C.相交过圆心D.相离解析:选B由题意知圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离d=5,0<d<6,故该直线与圆相交但不过圆心.2.(2012·银川质检)由直线y =x +1上的一点向圆x 2+y 2-6x +8=0引切线,则切线长的最小值为( )A.7B .2 2C .3D. 2解析:选A 由题意知,圆心到直线上的点的距离最小时,切线长最小.圆x 2+y 2-6x +8=0可化为(x -3)2+y 2=1,则圆心(3,0)到直线y =x +1的距离为42=22,切线长的最小值为(22)2-1=7.3.直线x -y +1=0与圆x 2+y 2=r 2相交于A ,B 两点,且AB 的长为2,则圆的半径为( )A.322B.62C .1D .2解析:选B 圆心(0,0)到直线x -y +1=0的距离d =12.则r 2=⎝⎛⎭⎫12|AB |2+d 2=32,r =62. 4.(教材习题改编)若圆x 2+y 2=1与直线y =kx +2没有公共点,则实数k 的取值范围是________.解析:由题意知21+k2>1,解得-3<k < 3.答案:(-3, 3)5.已知两圆C 1:x 2+y 2-2x +10y -24=0,C 2:x 2+y 2+2x +2y -8=0,则两圆公共弦所在的直线方程是____________.解析:两圆相减即得x -2y +4=0. 答案:x -2y +4=01.求圆的弦长问题,注意应用圆的几何性质解题,即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质,可用勾股定理或斜率之积为-1列方程来简化运算.2.对于圆的切线问题,要注意切线斜率不存在的情况.典题导入[例1] (2012·陕西高考) 已知圆C :x 2+y 2-4x =0,l 是过点P (3,0)的直线,则( )A .l 与C 相交B .l 与C 相切C .l 与C 相离D .以上三个选项均有可能[自主解答] 将点P (3,0)的坐标代入圆的方程,得 32+02-4×3=9-12=-3<0, 所以点P (3,0)在圆内.故过点P 的直线l 定与圆C 相交. [答案] A本例中若直线l 为“x -y +4=0”问题不变. 解:∵圆的方程为(x -2)2+y 2=4, ∴圆心(2,0),r =2. 又圆心到直线的距离为d =62=32>2. ∴l 与C 相离.由题悟法判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系. (2)代数法:联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交.以题试法1.(2012·哈师大附中月考)已知直线l 过点(-2,0),当直线l 与圆x 2+y 2=2x 有两个交点时,其斜率k 的取值范围是( )A .(-22,22)B .(-2,2) C.⎝⎛⎭⎫-24,24D.⎝⎛⎭⎫-18,18 解析:选C 易知圆心坐标是(1,0),圆的半径是1,直线l 的方程是y =k (x +2),即kx -y +2k =0,根据点到直线的距离公式得|k +2k |k 2+1<1,即k 2<18,解得-24<k <24.典题导入[例2] (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中,直线3x +4y -5=0与圆x 2+y 2=4相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于( )A .33B .2 3 C. 3D .1(2)(2012·天津高考)设m ,n ∈R ,若直线(m +1)x +(n +1)y -2=0与圆(x -1)2+(y -1)2=1相切,则m +n 的取值范围是( )A .[1-3,1+ 3 ]B .(-∞,1- 3 ]∪[1+3,+∞)C .[2-22,2+2 2 ]D .(-∞,2-2 2 ]∪[2+22,+∞)[自主解答] (1)圆x 2+y 2=4的圆心(0,0),半径为2,则圆心到直线3x +4y -5=0的距离d =532+42=1.故|AB |=2r 2-d 2=24-1=2 3.(2)圆心(1,1)到直线(m +1)x +(n +1)y -2=0的距离为|m +n |(m +1)2+(n +1)2=1,所以m +n+1=mn ≤14(m +n )2,整理得[(m +n )-2]2-8≥0,解得m +n ≥2+22或m +n ≤2-2 2.[答案] (1)B (2)D由题悟法1.圆的弦长的常用求法:(1)几何法:设圆的半径为r ,弦心距为d ,弦长为l ,则⎝⎛⎭⎫l 22=r 2-d 2. (2)代数方法:运用韦达定理及弦长公式: |AB |=1+k 2|x 1-x 2|=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]. [注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题.2.求过一点的圆的切线方程时,首先要判断此点与圆的位置关系,若点在圆内,无解;若点在圆上,有一解;若点在圆外,有两解.以题试法2.(2012·杭州模拟)直线y =kx +3与圆(x -2)2+(y -3)2=4相交于M ,N 两点,若|MN |≥23,则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤-34,0B.⎣⎡⎦⎤-33,33 C .[-3, 3]D.⎣⎡⎦⎤-23,0解析:选B 如图,设圆心C (2,3)到直线y =kx +3的距离为d ,若|MN |≥23,则d 2=r 2-⎝⎛⎭⎫12|MN |2≤4-3=1,即|2k |21+k2≤1,解得-33≤k ≤ 33.典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)圆(x +2)2+y 2=4与圆(x -2)2+(y -1)2=9的位置关系为( )A .内切B .相交C .外切D .相离(2)设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C 1C 2|=________. [自主解答] (1)两圆圆心分别为(-2,0),(2,1),半径分别为2和3,圆心距d =42+1=17.∵3-2<d <3+2,∴两圆相交.(2)由题意可设两圆的方程为(x -r i )2+(y -r i )2=r 2i ,r i >0,i =1,2.由两圆都过点(4,1)得(4-r i )2+(1-r i )2=r 2i ,整理得r 2i -10r i +17=0,此方程的两根即为两圆的半径r 1,r 2,所以r 1r 2=17,r 1+r 2=10,则|C 1C 2|=(r 1-r 2)2+(r 1-r 2)2=2×(r 1+r 2)2-4r 1r 2=2×100-68=8. [答案] (1)B (2)8由题悟法两圆位置关系的判断常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.以题试法3.(2012·青岛二中月考)若⊙O :x 2+y 2=5与⊙O 1:(x -m )2+y 2=20(m ∈R )相交于A 、B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长是________.解析:依题意得|OO 1|=5+20=5,且△OO 1A 是直角三角形,S △O O 1A =12·|AB |2·|OO 1|=12·|OA |·|AO 1|,因此|AB |=2·|OA |·|AO 1||OO 1|=2×5×255=4. 答案:4[典例](2012·东城模拟)直线l过点(-4,0)且与圆(x+1)2+(y-2)2=25交于A,B两点,如果|AB|=8,那么直线l的方程为()A.5x+12y+20=0B.5x-12y+20=0或x+4=0C.5x-12y+20=0D.5x+12y+20=0或x+4=0[尝试解题]过点(-4,0)的直线若垂直于x轴,经验证符合条件,即方程为x+4=0满足题意;若存在斜率,设其直线方程为y=k(x+4),由被圆截得的弦长为8,可得圆心(-1,2)到直线y=k(x+4)的距离为3,即|3k-2|1+k2=3,解得k=-512,此时直线方程为5x+12y+20=0,综上直线方程为5x+12y+20=0或x+4=0.[答案] D——————[易错提醒]—————————————————————————1.解答本题易误认为斜率k一定存在从而错选A.2.对于过定点的动直线设方程时,可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在,以避免漏解.——————————————————————————————————————针对训练1.过点A(2,4)向圆x2+y2=4所引切线的方程为__________________.解析:显然x=2为所求切线之一.当切线斜率存在时,设切线方程为y-4=k(x-2),即kx -y +4-2k =0,那么|4-2k |k 2+1=2,k =34,即3x -4y +10=0.答案:x =2或3x -4y +10=02.已知直线l 过(2,1),(m,3)两点,则直线l 的方程为________________. 解析:当m =2时,直线l 的方程为x =2; 当m ≠2时,直线l 的方程为y -13-1=x -2m -2,即2x -(m -2)y +m -6=0.因为m =2时,方程2x -(m -2)y +m -6=0, 即为x =2,所以直线l 的方程为2x -(m -2)y +m -6=0. 答案:2x -(m -2)y +m -6=0一、选择题1.(2012·人大附中月考)设m >0,则直线2(x +y )+1+m =0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为( )A .相切B .相交C .相切或相离D .相交或相切解析:选C 圆心到直线l 的距离为d =1+m 2,圆半径为m .因为d -r =1+m 2-m =12(m -2m +1)=12(m -1)2≥0,所以直线与圆的位置关系是相切或相离.2.(2012·福建高考)直线x +3y -2=0与圆x 2+y 2=4相交于A ,B 两点,则弦AB 的长度等于( )A .2 5B .2 3 C. 3D .1解析:选B 因为圆心(0,0)到直线x +3y -2=0的距离为1,所以AB =24-1=2 3.3.(2012·安徽高考)若直线x -y +1=0与圆(x -a )2+y 2=2有公共点,则实数a 的取值范围是( )A .[-3,-1]B .[-1,3]C .[-3,1]D .(-∞,-3]∪[1,+∞)解析:选C 欲使直线x -y +1=0与圆(x -a )2+y 2=2有公共点,只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可,即|a -0+1|12+(-1)2≤2,化简得|a +1|≤2,解得-3≤a ≤1.4.过圆x 2+y 2=1上一点作圆的切线与x 轴,y 轴的正半轴交于A ,B 两点,则|AB |的最小值为( )A. 2B. 3 C .2D .3解析:选C 设圆上的点为(x 0,y 0),其中x 0>0,y 0>0,则切线方程为x 0x +y 0y =1.分别令x =0,y =0得A ⎝⎛⎭⎫1x 0,0,B ⎝⎛⎭⎫0,1y 0,则|AB |= ⎝⎛⎭⎫1x 02+⎝⎛⎭⎫1y 02=1x 0y 0≥1x 20+y 202=2.当且仅当x 0=y 0时,等号成立.5.(2013·兰州模拟)若圆x 2+y 2=r 2(r >0)上仅有4个点到直线x -y -2=0的距离为1,则实数r 的取值范围为( )A .(2+1,+∞)B .(2-1, 2+1)C .(0, 2-1)D .(0, 2+1)解析:选A 计算得圆心到直线l 的距离为22= 2>1,如图.直线l :x -y -2=0与圆相交,l 1,l 2与l 平行,且与直线l 的距离为1,故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离 2+1.6.(2013·临沂模拟)已知点P (x ,y )是直线kx +y +4=0(k >0)上一动点,P A ,PB 是圆C :x 2+y 2-2y =0的两条切线,A ,B 是切点,若四边形P ACB 的最小面积是2,则k 的值为( )A. 2B.212C .2 2D .2解析:选D 圆心C (0,1)到l 的距离d =5k 2+1, 所以四边形面积的最小值为2×⎝⎛⎭⎫12×1×d 2-1=2,解得k 2=4,即k =±2. 又k >0,即k =2.7.(2012·朝阳高三期末)设直线x -my -1=0与圆(x -1)2+(y -2)2=4相交于A 、B 两点,且弦AB 的长为23,则实数m 的值是________.解析:由题意得,圆心(1,2)到直线x -my -1=0的距离d =4-3=1,即|1-2m -1|1+m 2=1,解得m =±33. 答案:±338.(2012·东北三校联考)若a ,b ,c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边),则圆C :x 2+y 2=4被直线l :ax +by +c =0所截得的弦长为________.解析:由题意可知圆C :x 2+y 2=4被直线l :ax +by +c =0所截得的弦长为2 4-⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2+b 22,由于a 2+b 2=c 2,所以所求弦长为2 3. 答案:2 39.(2012·江西高考)过直线x +y -22=0上点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P 的坐标是________.解析:∵点P 在直线x +y -22=0上,∴可设点P (x 0,-x 0+22),且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°,∴∠OPM =30°.故在Rt △OPM 中,有OP =2OM =2.由两点间的距离公式得OP =x 20+(-x 0+22)2=2,解得x 0= 2.故点P 的坐标是( 2, 2).答案:( 2, 2)10.(2012·福州调研)已知⊙M :x 2+(y -2)2=1,Q 是x 轴上的动点,QA ,QB 分别切⊙M 于A ,B 两点.(1)若|AB |=423,求|MQ |及直线MQ 的方程;(2)求证:直线AB 恒过定点.解:(1)设直线MQ 交AB 于点P ,则|AP |=223,又|AM |=1,AP ⊥MQ ,AM ⊥AQ ,得|MP |= 12-89=13,又∵|MQ |=|MA |2|MP |,∴|MQ |=3.设Q (x,0),而点M (0,2),由x 2+22=3,得x =±5,则Q 点的坐标为(5,0)或(-5,0).从而直线MQ 的方程为2x +5y -25=0或2x -5y +25=0.(2)证明:设点Q (q,0),由几何性质,可知A ,B 两点在以QM 为直径的圆上,此圆的方程为x (x -q )+y (y -2)=0,而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦,相减可得AB 的方程为qx-2y +3=0,所以直线AB 恒过定点⎝⎛⎭⎫0,32. 11.已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ,2t (t ∈R ,t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ,与y 轴交于点O 、B ,其中O 为原点.(1)求证:△AOB 的面积为定值;(2)设直线2x +y -4=0与圆C 交于点M 、N ,若|OM |=|ON |,求圆C 的方程.解:(1)证明:由题设知,圆C 的方程为(x -t )2+⎝⎛⎭⎫y -2t 2=t 2+4t 2,化简得x 2-2tx +y 2-4ty =0, 当y =0时,x =0或2t ,则A (2t,0);当x =0时,y =0或4t,则B ⎝⎛⎭⎫0,4t , 所以S △AOB =12|OA |·|OB | =12|2t |·⎪⎪⎪⎪4t =4为定值. (2)∵|OM |=|ON |,则原点O 在MN 的中垂线上,设MN 的中点为H ,则CH ⊥MN ,∴C 、H 、O 三点共线,则直线OC 的斜率k =2t t =2t 2=12,∴t =2或t =-2. ∴圆心为C (2,1)或C (-2,-1),∴圆C 的方程为(x -2)2+(y -1)2=5或(x +2)2+(y +1)2=5,由于当圆方程为(x +2)2+(y +1)2=5时,直线2x +y -4=0到圆心的距离d >r ,此时不满足直线与圆相交,故舍去,∴圆C 的方程为(x -2)2+(y -1)2=5.12.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆x 2+y 2-12x +32=0的圆心为Q ,过点P (0,2),且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围;(2)是否存在常数k ,使得向量OA +OB 与PQ 共线?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.解:(1)圆的方程可写成(x -6)2+y 2=4,所以圆心为Q (6,0).过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y =kx +2,代入圆的方程得x 2+(kx +2)2-12x +32=0,整理得(1+k 2)x 2+4(k -3)x +36=0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ=[4(k -3)]2-4×36(1+k 2)=42(-8k 2-6k )>0,解得-34<k <0,即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫-34,0. (2)设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)则OA +OB =(x 1+x 2,y 1+y 2),由方程①得x 1+x 2=-4(k -3)1+k 2.② 又y 1+y 2=k (x 1+x 2)+4.③因P (0,2)、Q (6,0),PQ =(6,-2),所以OA +OB 与PQ 共线等价于-2(x 1+x 2)=6(y 1+y 2),将②③代入上式,解得k =-34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫-34,0,故没有符合题意的常数k.1.已知两圆x 2+y 2-10x -10y =0,x 2+y 2+6x -2y -40=0,则它们的公共弦所在直线的方程为________________;公共弦长为________.解析:由两圆的方程x 2+y 2-10x -10y =0,x 2+y 2+6x -2y -40=0,相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x +y -5=0.圆心(5,5)到直线2x +y -5=0的距离为105=25,弦长的一半为50-20=30,得公共弦长为230. 答案:2x +y -5=0 2302.(2012·上海模拟)已知圆的方程为x 2+y 2-6x -8y =0,a 1,a 2,…,a 11是该圆过点(3,5)的11条弦的长,若数列a 1,a 2,…,a 11成等差数列,则该等差数列公差的最大值是________.解析:容易判断,点(3,5)在圆内部,过圆内一点最长的弦是直径,过该点与直径垂直的弦最短,因此,过(3,5)的弦中,最长为10,最短为46,故公差最大为10-4610=5-265. 答案:5-2653.(2012·江西六校联考)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的准线为l ,焦点为F ,圆M 的圆心在x 轴的正半轴上,圆M 与y 轴相切,过原点O 作倾斜角为π3的直线n ,交直线l 于点A ,交圆M 于不同的两点O 、B ,且|AO |=|BO |=2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程;(2)若P 为抛物线C 上的动点,求PM ,·PF ,的最小值; (3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线,切点分别为S 、T ,求证:直线ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.解:(1)易得B (1,3),A (-1,-3),设圆M 的方程为(x -a )2+y 2=a 2(a >0), 将点B (1,3)代入圆M 的方程得a =2,所以圆M 的方程为(x -2)2+y 2=4,因为点A (-1,-3)在准线l 上,所以p 2=1,p =2,所以抛物线C 的方程为y 2=4x . (2)由(1)得,M (2,0),F (1,0),设点P (x ,y ),则PM ,=(2-x ,-y ),PF ,=(1-x ,-y ),又点P 在抛物线y 2=4x 上,所以PM ,·PF ,=(2-x )(1-x )+y 2=x 2-3x +2+4x =x 2+x +2,因为x ≥0,所以PM ,·PF ,≥2,即PM ,·PF ,的最小值为2. (3)证明:设点Q (-1,m ),则|QS |=|QT |=m 2+5,以Q 为圆心,m 2+5为半径的圆的方程为(x +1)2+(y -m )2=m 2+5,即x 2+y 2+2x -2my -4=0,①又圆M 的方程为(x -2)2+y 2=4,即x 2+y 2-4x =0,②由①②两式相减即得直线ST 的方程3x -my -2=0,显然直线ST 恒过定点⎝⎛⎭⎫23,0.1.两个圆:C 1:x 2+y 2+2x +2y -2=0与C 2:x 2+y 2-4x -2y +1=0的公切线有且仅有( )A .1条B .2条C .3条D .4条解析:选B 由题知C 1:(x +1)2+(y +1)2=4,则圆心C 1(-1,-1),C 2:(x -2)2+(y -1)2=4,圆心C 2(2,1),两圆半径均为2,又|C 1C 2|=(2+1)2+(1+1)2=13<4,则两圆相交⇒只有两条外公切线.2.(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2+y 2-8x +15=0,若直线y =kx -2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是________.解析:设圆心C (4,0)到直线y =kx -2的距离为d ,则d =|4k -2|k 2+1,由题意知,问题转化为d ≤2,即d =|4k -2|k 2+1≤2,得0≤k ≤43,所以k max =43. 答案:43 3.过点(-1,-2)的直线l 被圆x 2+y 2-2x -2y +1=0截得的弦长为 2,则直线l 的斜率为________.解析:将圆的方程化成标准方程为(x -1)2+(y -1)2=1,其圆心为(1,1),半径r =1.由弦长为2得弦心距为22.设直线方程为y +2=k (x +1),即kx -y +k -2=0,则|2k -3|k 2+1=22,化简得7k 2-24k +17=0,得k =1或k =177. 答案:1或1774.圆O 1的方程为x 2+(y +1)2=4,圆O 2的圆心为O 2(2,1).(1)若圆O 2与圆O 1外切,求圆O 2的方程;(2)若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点,且|AB |=22,求圆O 2的方程.解:(1)设圆O 2的半径为r 2,∵两圆外切,∴|O 1O 2|=r 1+r 2,r 2=|O 1O 2|-r 1=2(2-1),故圆O 2的方程是(x -2)2+(y -1)2=4(2-1)2.(2)设圆O 2的方程为(x -2)2+(y -1)2=r 22,又圆O 1的方程为x 2+(y +1)2=4,此两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB 所在直线的方程:4x +4y +r 22-8=0. 因为圆心O 1(0,-1)到直线AB 的距离为 |r 22-12|42= 4-⎝⎛⎭⎫2222=2, 解得r 22=4或r 22=20.故圆O 2的方程为(x -2)2+(y -1)2=4或(x -2)2+(y -1)2=20.。

人教A版高中数学必修2《第四章 圆与方程 复习参考题》_7

人教A版高中数学必修2《第四章 圆与方程 复习参考题》_7

章末检测一、选择题1.方程x 2+y 2+2ax +2by +a 2+b 2=0表示的图形是( )A .以(a ,b )为圆心的圆B .以(-a ,-b )为圆心的圆C .点(a ,b )D .点(-a ,-b )2.点P (m,3)与圆(x -2)2+(y -1)2=2的位置关系为( )A .点在圆外B .点在圆内C .点在圆上D .与m 的值有关 3.空间直角坐标系中,点A (-3,4,0)和B (x ,-1,6)的距离为86,则x 的值为 ( ) A .2B .-8C .2或-8D .8或-2 4.若直线x -y +1=0与圆(x -a )2+y 2=2有公共点,则实数a 的取值范围是 ( ) A .[-3,-1] B .[-1,3]C .[-3,1]D .(-∞,-3]∪[1,+∞) 5.设A 、B 是直线3x +4y +2=0与圆x 2+y 2+4y =0的两个交点,则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A .4x -3y -2=0B .4x -3y -6=0C .3x +4y +6=0D .3x +4y +8=06.圆x 2+y 2-4x =0过点P (1,3)的切线方程为( )A .x +3y -2=0B .x +3y -4=0C .x -3y +4=0D .x -3y +2=07.对任意的实数k ,直线y =kx +1与圆x 2+y 2=2的位置关系一定是( )A .相离B .相切C .相交但直线不过圆心D .相交且直线过圆心 8.已知圆O :x 2+y 2=5和点A (1,2),则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A .5B .10C.252D.2549.将直线2x -y +λ=0沿x 轴向左平移1个单位,所得直线与圆x 2+y 2+2x -4y =0相切,则实数λ的值为( ) A .-3或7B .-2或8C .0或10D .1或1110.已知圆C :x 2+y 2-4x =0,l 是过点P (3,0)的直线,则( )A .l 与C 相交B .l 与C 相切C .l 与C 相离D .以上三个选项均有可能 11.若直线mx +2ny -4=0(m 、n ∈R ,n ≠m )始终平分圆x 2+y 2-4x -2y -4=0的周长,则mn 的取值范围是( )A .(0,1)B .(0,-1)C .(-∞,1)D .(-∞,-1) 12.过点P (-2,4)作圆O :(x -2)2+(y -1)2=25的切线l ,直线m :ax -3y =0与直线l 平行,则直线l 与m 的距离为( )A .4B .2C.85D.125二、填空题13.与直线2x +3y -6=0关于点(1,-1)对称的直线方程为________. 14.过点P (-2,0)作直线l 交圆x 2+y 2=1于A 、B 两点,则|P A |·|PB |=________.15.若垂直于直线2x +y =0,且与圆x 2+y 2=5相切的切线方程为ax +2y +c =0,则ac 的值为________.16.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2+y 2-8x +15=0,若直线y =kx -2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是________. 三、解答题17.自点A (-3,3)发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆x 2+y 2-4x -4y +7=0相切,求光线l 所在直线的方程.18. 已知圆x 2+y 2+x -6y +m =0与直线x +2y -3=0相交于P ,Q 两点,O 为原点,若OP ⊥OQ ,求实数m 的值.19.已知圆x 2+y 2-6mx -2(m -1)y +10m 2-2m -24=0(m ∈R ).(1)求证:不论m 为何值,圆心在同一直线l 上; (2)与l 平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离;(3)求证:任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. 20.如图,已知圆O :x 2+y 2=1和定点A (2,1),由圆O 外一点P (a ,b )向圆O 引切线PQ ,切点为Q , 且有|PQ |=|P A |. (1)求a 、b 间关系; (2)求|PQ |的最小值;(3)以P 为圆心作圆,使它与圆O 有公共点,试在其中求出半径最 小的圆的方程.答案章末检测1.D 2.A 3.C 4.C 5.B 6.D 7.C 8.D 9.A 10.A 11.C 12.A 13.2x +3y +8=0 14.3 15.±5 16.4317.解 如图所示,已知圆C :x 2+y 2-4x -4y +7=0关于x 轴对称的圆为C 1:(x -2)2+(y +2)2=1,其圆心C 1的坐标为(2,-2),半径为1,由光的反射定律知,入射光线所在直线方程与圆C 1相切.设l 的方程为y -3=k (x +3), 即kx -y +3+3k =0. 则|5k +5|1+k2=1,即12k 2+25k +12=0. ∴k 1=-43,k 2=-34.则l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y -3=0.18.解 设P ,Q 两点坐标为(x 1,y 1)和(x 2,y 2),由OP ⊥OQ 可得 x 1x 2+y 1y 2=0, 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2+x -6y +m =0,x +2y -3=0, 可得5y 2-20y +12+m =0.①所以y 1y 2=12+m5,y 1+y 2=4.又x 1x 2=(3-2y 1)(3-2y 2) =9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2=9-24+45(12+m ),所以x 1x 2+y 1y 2=9-24+45(12+m )+12+m 5=0,解得m =3.将m =3代入方程①,可得Δ=202-4×5×15=100>0,可知m =3满足题意,即3为所求m 的值.19.(1)证明 配方得:(x -3m )2+[y -(m -1)]2=25,设圆心为(x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧x =3m y =m -1, 消去m 得x -3y -3=0,则圆心恒在直线l :x -3y -3=0上.(2)解 设与l 平行的直线是l 1:x -3y +b =0, 则圆心到直线l 1的距离为 d =|3m -3(m -1)+b |10=|3+b |10.∵圆的半径为r =5,∴当d <r ,即-510-3<b <510-3时,直线与圆相交; 当d =r ,即b =±510-3时,直线与圆相切;当d >r ,即b <-510-3或b >510-3时,直线与圆相离.(3)证明 对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1:x -3y +b =0,由于圆心到直线l 1的距离d =|3+b |10,弦长=2r 2-d 2且r 和d 均为常量.∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等. 20.解 (1)连接OQ 、OP ,则△OQP 为直角三角形,又|PQ |=|P A |,所以|OP |2=|OQ |2+|PQ |2=1+|P A |2,所以a 2+b 2=1+(a -2)2+(b -1)2,故2a +b -3=0.(2)由|PQ |2=|OP |2-1=a 2+b 2-1=a 2+9-12a +4a 2-1=5a 2- 12a +8=5(a -1.2)2+0.8,得|PQ |min =255.(3)以P 为圆心的圆与圆O 有公共点,半径最小时为与圆O 相切的情形,而这些半径的最小值为圆O 到直线l 的距离减去圆O 的半径,圆心P 为过原点且与l 垂直的直线l ′与l 的交点P 0,所以r =322+12-1=355-1,又l ′:x -2y =0,联立l :2x +y -3=0得P 0(65,35).所以所求圆的方程为(x -65)2+(y -35)2=(355-1)2.。

高中数学必修2直线与圆常考题型:圆的一般方程

高中数学必修2直线与圆常考题型:圆的一般方程

圆的一般方程【知识梳理】圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念:当D 2+E 2-4F >0时,二元二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0叫做圆的一般方程.(2)圆的一般方程对应的圆心和半径:圆的一般方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0)表示的圆的圆心为(-D 2,-E 2),半径长为12D 2+E 2-4F . 【常考题型】题型一、圆的一般方程的概念辨析【例1】 若方程x 2+y 2+2mx -2y +m 2+5m =0表示圆,求(1)实数m 的取值范围;(2)圆心坐标和半径.[解] (1)据题意知D 2+E 2-4F =(2m )2+(-2)2-4(m 2+5m )>0,即4m 2+4-4m 2-20m >0, 解得m <15, 故m 的取值范围为(-∞,15). (2)将方程x 2+y 2+2mx -2y +m 2+5m =0写成标准方程为(x +m )2+(y -1)2=1-5m , 故圆心坐标为(-m,1),半径r =1-5m .【类题通法】形如x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法: ①由圆的一般方程的定义令D 2+E 2-4F >0,成立则表示圆,否则不表示圆,②将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解,应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x 2+y 2+Dx +Ey +F =0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解.【对点训练】1.下列方程各表示什么图形?若表示圆,求其圆心和半径.(1)x 2+y 2+x +1=0;(2)x 2+y 2+2ax +a 2=0(a ≠0);(3)2x 2+2y 2+2ax -2ay =0(a ≠0).解:(1)∵D =1,E =0,F =1,∴D 2+E 2-4F =1-4=-3<0,∴方程(1)不表示任何图形.(2)∵D =2a ,E =0,F =a 2,∴D 2+E 2-4F =4a 2-4a 2=0,∴方程表示点(-a,0).(3)两边同除以2,得x 2+y 2+ax -ay =0,D =a ,E =-a ,F =0,∴D 2+E 2-4F =2a 2>0,∴方程(3)表示圆,它的圆心为(-a 2,a 2), 半径r =12 D 2+E 2-4F =22|a |. 题型二、圆的一般方程的求法【例2】 已知△ABC 的三个顶点为A (1,4),B (-2,3),C (4,-5),求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.[解] 法一:设△ABC 的外接圆方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,∵A ,B ,C 在圆上,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1+16+D +4E +F =0,4+9-2D +3E +F =0,16+25+4D -5E +F =0,∴⎩⎪⎨⎪⎧ D =-2,E =2,F =-23,∴△ABC 的外接圆方程为x 2+y 2-2x +2y -23=0,即(x -1)2+(y +1)2=25.∴外心坐标为(1,-1),外接圆半径为5.法二:∵k AB =4-31+2=13,k AC =4+51-4=-3, ∴k AB ·k AC =-1,∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形,∴外心是线段BC 的中点,坐标为(1,-1),r =12|BC |=5. ∴外接圆方程为(x -1)2+(y +1)2=25.应用待定系数法求圆的方程时:(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a ,b ,r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D 、E 、F .【对点训练】2.求经过点A (-2,-4)且与直线x +3y -26=0相切于点B (8,6)的圆的方程. 解:设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫-D 2,-E 2. ∵圆与x +3y -26=0相切,∴6+E 28+D 2·⎝⎛⎭⎫-13=-1,即E -3D -36=0.①∵(-2,-4),(8,6)在圆上,∴2D +4E -F -20=0,②8D +6E +F +100=0.③联立①②③,解得D =-11,E =3,F =-30,故所求圆的方程为x 2+y 2-11x +3y -30=0.题型三、代入法求轨迹方程【例3】 已知△ABC 的边AB 长为4,若BC 边上的中线为定长3,求顶点C 的轨迹方程.[解] 以直线AB 为x 轴,AB 的中垂线为y 轴建立坐标系(如图),则A (-2,0),B (2,0),设C (x ,y ),BC 中点D (x 0,y 0).∴⎩⎨⎧2+x 2=x 0,0+y 2=y 0. ①∵|AD |=3,∴(x 0+2)2+y 20=9. ②将①代入②,整理得(x +6)2+y 2=36.∵点C 不能在x 轴上,∴y ≠0.综上,点C 的轨迹是以(-6,0)为圆心,6为半径的圆,去掉(-12,0)和(0,0)两点. 轨迹方程为(x +6)2+y 2=36(y ≠0).用代入法求轨迹方程的一般步骤【对点训练】3.过点A (8,0)的直线与圆x 2+y 2=4交于点B ,则AB 中点P 的轨迹方程为________________. 解析:设点P 的坐标为(x ,y ),点B 为(x 1,y 1),由题意,结合中点坐标公式可得x 1=2x -8,y 1=2y ,故(2x -8)2+(2y )2=4,化简得(x -4)2+y 2=1,即为所求.答案:(x -4)2+y 2=1【练习反馈】1.圆x 2+y 2-4x +6y =0的圆心坐标是( )A .(2,3)B .(-2,3)C .(-2,-3)D .(2,-3)解析:选D 圆的方程化为(x -2)2+(y +3)2=13,圆心(2,-3),选D.2.已知方程x 2+y 2-2x +2k +3=0表示圆,则k 的取值范围是( )A .(-∞,-1)B .(3,+∞)C .(-∞,-1)∪(3,+∞)D .(-32,+∞) 解析:选A 方程可化为:(x -1)2+y 2=-2k -2,只有-2k -2>0,即k <-1时才能表示圆.3.方程x 2+y 2+2ax -by +c =0表示圆心为C (2,2),半径为2的圆,则a =________,b =________,c =________.解析:∵⎩⎪⎨⎪⎧ -2a 2=2,--b 2=2,12 4a 2+b 2-4c =2,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a =-2,b =4,c =4.答案:-2,4,44.设A 为圆(x -1)2+y 2=1上的动点,P A 是圆的切线且|P A |=1,则P 点的轨迹方程是________.解析:设P (x ,y )是轨迹上任一点,圆(x -1)2+y 2=1的圆心为B (1,0),则|P A |2+1=|PB |2,∴(x -1)2+y 2=2.答案:(x -1)2+y 2=25.求过点(-1,1),且圆心与已知圆x 2+y 2-6x -8y +15=0的圆心相同的圆的方程. 解:设所求的圆的方程为:x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,又圆x 2+y 2-6x -8y +15=0的圆心为(3,4),依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2-D +E +F =0,-D 2=3,-E 2=4, 解此方程组,可得⎩⎪⎨⎪⎧D =-6,E =-8,F =0. ∴所求圆的方程为x 2+y 2-6x -8y =0.。

高中数学必修二第四章 章末复习题圆的相关试题(含答案)

高中数学必修二第四章 章末复习题圆的相关试题(含答案)

章末复习一、知识导图二、要点归纳1.圆的方程(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).2.点和圆的位置关系设点P(x0,y0)及圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2.(1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点P在圆外.(2)(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔点P在圆内.(3)(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点P在圆上.3.直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d,圆的半径为r,则d>r⇒相离;d=r⇒相切;d<r⇒相交.4.圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d,半径分别为r1与r2,则位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1,r2的d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2| d<|r1-r2|关系(1)求相交两圆的弦长时,可先求出两圆公共弦所在直线的方程,再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则,空间上的任意一点都与有序实数组(x,y,z)一一对应.(2)空间中P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1P2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2.(3)可利用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一圆的方程例1一个圆和已知圆x2+y2-2x=0相外切,并与直线l:x+3y=0相切于M(3,-3)点,求该圆的方程.考点题点解∵圆C与圆x2+y2-2x=0相外切,故两个圆心之间的距离等于半径的和,又∵圆C与直线l:x+3y=0相切于M(3,-3)点,可得圆心与点M(3,-3)的连线与直线x+3y=0垂直,其斜率为 3.设圆C的圆心为(a,b),则⎩⎪⎨⎪⎧ b +3a -3=3,(a -1)2+b 2=1+|a +3b |2.解得a =4,b =0,r =2或a =0,b =-43,r =6,∴圆C 的方程为(x -4)2+y 2=4或x 2+(y +43)2=36.反思感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程,利用待定系数法求解,采用待定系数法求圆的方程的一般步骤:第一步:选择圆的方程的某一形式.第二步:由题意得a ,b ,r (或D ,E ,F )的方程(组).第三步:解出a ,b ,r (或D ,E ,F ).第四步:代入圆的方程.注:解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径,减少运算量,例如:圆的切线垂直于经过切点的半径;圆心与弦的中点连线垂直于弦;当两圆相交时,连心线垂直平分两圆的公共弦;当两圆相切时,连心线过切点等.跟踪训练1 (1)如图所示,圆C 与x 轴相切于点T (1,0),与y 轴正半轴交于两点A ,B (B 在A 的上方),且|AB |=2,则圆C 的标准方程为____________________.答案 (x -1)2+(y -2)2=2解析 取AB 的中点D ,连接CD ,AC ,则CD ⊥AB .由题意知,|AD |=|CD |=1,故|AC |=|CD |2+|AD |2=2,即圆C 的半径为 2.又因为圆C 与x 轴相切于点T (1,0),所以圆心C (1,2),故圆的标准方程为(x -1)2+(y -2)2=2.(2)求半径为10,圆心在直线y =2x 上,被直线x -y =0截得的弦长为42的圆的方程. 解 设圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2,则圆心坐标为(a ,b ),半径r =10,圆心(a ,b )到直线x -y =0的距离d =|a -b |2, 由半弦长,弦心距,半径组成的直角三角形得,d 2+⎝⎛⎭⎫4222=r 2, 即(a -b )22+8=10, ∴(a -b )2=4,又∵b =2a ,∴a =2,b =4或a =-2,b =-4,故所求圆的方程是(x -2)2+(y -4)2=10或(x +2)2+(y +4)2=10.题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (1)已知圆M :x 2+y 2-2ay =0(a >0)截直线x +y =0所得线段的长度是22,则圆M 与圆N :(x -1)2+(y -1)2=1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离考点题点答案 B解析 由垂径定理得⎝⎛⎭⎫a 22+(2)2=a 2,解得a 2=4, ∴圆M :x 2+(y -2)2=4, ∴圆M 与圆N 的圆心距d =(0-1)2+(2-1)2= 2.∵2-1<2<2+1,∴两圆相交.(2)已知直线l :x -3y +6=0与圆x 2+y 2=12交于A ,B 两点,过A ,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ,D 两点,则|CD |=________.考点题点答案 4解析 联立⎩⎨⎧ x -3y +6=0,x 2+y 2=12,消去x 得y 2-33y +6=0, 解得⎩⎨⎧ x =-3,y =3或⎩⎨⎧x =0,y =2 3. 不妨设A (-3,3),B (0,23),则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为3x +y +23=0,令y =0得x C =-2.同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标x D =2,∴|CD |=4.反思感悟 直线与圆、圆与圆的主要题型为:①位置关系的判断,②弦长问题,③求圆的方程.解决问题的方法主要有两种,一种代数法,一种几何法.跟踪训练2 (1)圆(x +1)2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为( )A.1B.2C. 2D.2 2考点题点答案 C(2)设直线y =x +2a 与圆C :x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若|AB |=23,则圆C 的面积为________.考点题点答案 4π解析 x 2+y 2-2ay -2=0,即x 2+(y -a )2=a 2+2,则圆心为C (0,a ).又|AB |=23,C 到直线y =x +2a 的距离为|0-a +2a |2, 所以⎝⎛⎭⎫2322+⎝ ⎛⎭⎪⎫|0-a +2a |22=a 2+2, 得a 2=2,所以圆C 的面积为π(a 2+2)=4π.题型三 对称问题例3 从点B (-2,1)发出的光线经x 轴上的点A 反射,反射光线所在的直线与圆x 2+y 2=12相切,求点A 的坐标.考点题点解 点B (-2,1)关于x 轴对称的点为B ′(-2,-1),易知反射光线所在直线的斜率存在,设反射光线所在的直线方程为y +1=k (x +2),即kx -y +2k -1=0.由题意,得|0-0+2k -1|k 2+1=12, 化简得7k 2-8k +1=0,解得k =1或k =17, 故所求切线方程为x -y +1=0或x -7y -5=0.令y =0,则x =-1或x =5.所以A 点的坐标为(-1,0)或(5,0).反思感悟 (1)对称的两种类型即轴对称与中心对称.(2)准确把握对称的几何性质.(3)圆的对称图形关键是圆心的对称,其半径不变.跟踪训练3 若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y =x 对称,则圆C 的标准方程为________________________________________________________________________. 答案 x 2+(y -1)2=1解析 由题意知圆C 的圆心为(0,1),半径为1,所以圆C 的标准方程为x 2+(y -1)2=1.题型四 圆中的最值问题例4 圆x 2+y 2+2ax +2ay +2a 2-1=0与x 2+y 2+2bx +2by +2b 2-2=0的公共弦长的最大值为( )A.2 2B.2C. 2D.1考点 与圆有关的最值问题题点 与圆的几何性质有关的最值答案 B解析 由题意得,两圆的标准方程分别为(x +a )2+(y +a )2=1和(x +b )2+(y +b )2=2,两圆的圆心坐标分别为(-a ,-a ),(-b ,-b ),半径分别为1,2,则当公共弦为圆(x +a )2+(y +a )2=1的直径时,公共弦长最大,最大值为2.反思感悟 与圆有关的最值问题包括(1)求圆O 上一点到圆外一点P 的最大距离、最小距离:d max =|OP |+r ,d min =||OP |-r |.(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离:设圆心到直线的距离为m ,则d max =m +r ,d min=|m -r |.(3)已知点的运动轨迹是(x -a )2+(y -b )2=r 2,求①y x ;②y -m x -n;③x 2+y 2等式子的最值,一般是运用几何法求解.跟踪训练4 已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点,P A ,PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线,A ,B 是切点,C 是圆心,那么四边形P ACB 的面积的最小值为________. 考点 与圆有关的最值问题题点 与面积有关的最值答案 2 2解析 圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的圆心为C (1,1),半径为1,由题意知,当圆心C 到点P 的距离最小时(即为圆心到直线的距离),四边形的面积最小,又圆心到直线的距离d =|3+4+8|32+42=3, ∴|P A |=|PB |=d 2-r 2=22,∴S 四边形P ACB =2×12|P A |r =2 2.1.以点(-3,4)为圆心,且与x 轴相切的圆的方程是( )A.(x -3)2+(y +4)2=16B.(x +3)2+(y -4)2=16C.(x -3)2+(y +4)2=9D.(x +3)2+(y -4)2=9考点 圆的标准方程题点 求与某直线相切的圆的标准方程答案 B2.已知圆C 与直线x -y =0和x -y -4=0都相切,圆心在直线x +y =0上,则圆C 的方程为( )A.(x +1)2+(y -1)2=2B.(x -1)2+(y +1)2=2C.(x -1)2+(y -1)2=2D.(x +1)2+(y +1)2=2题点 求圆的标准方程答案 B3.两圆x 2+y 2-6x +16y -48=0与x 2+y 2+4x -8y -44=0的公切线的条数为( )A.4B.3C.2D.1考点 圆与圆的位置关系题点 两圆的位置关系与其公切线答案 C解析 两圆的标准方程分别为(x -3)2+(y +8)2=121;(x +2)2+(y -4)2=64,则两圆的圆心与半径分别为C 1(3,-8),r 1=11;C 2(-2,4),r 2=8.圆心距为|C 1C 2|=(3+2)2+(-8-4)2=13.∵r 1-r 2<|C 1C 2|<r 1+r 2,∴两圆相交,则公切线共2条.4.经过两个定点A (a,0),A 1(a ,a ),且圆心在直线y =13x 上的圆的方程为________________________.答案 ⎝⎛⎭⎫x -32a 2+⎝⎛⎭⎫y -a 22=a 22 解析 圆过点A (a,0),A 1(a ,a ),则圆心在直线y =a 2上. 又圆心在直线y =13x 上, 所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32a ,a 2,则半径r =⎝⎛⎭⎫a -32a 2+⎝⎛⎭⎫-a 22=22|a |, 故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x -32a 2+⎝⎛⎭⎫y -a 22=a 22. 5.已知直线x -my +3=0和圆x 2+y 2-6x +5=0.(1)当直线与圆相切时,求实数m 的值;(2)当直线与圆相交,且所得弦长为2105时,求实数m 的值. 考点 直线和圆的位置关系解 (1)因为圆x 2+y 2-6x +5=0可化为(x -3)2+y 2=4,所以圆心坐标为(3,0),r =2. 因为直线x -my +3=0与圆相切, 所以|3+3|1+(-m )2=2, 解得m =±2 2.(2)圆心(3,0)到直线x -my +3=0的距离为d =|3+3|1+(-m )2.由24-⎝ ⎛⎭⎪⎫|3+3|1+(-m )22=2105, 得2+2m 2=20m 2-160,即m 2=9.故m =±3.。

2023-2024学年高二数学单元速记——直线与圆的方程(压轴题专练)(解析版)

2023-2024学年高二数学单元速记——直线与圆的方程(压轴题专练)(解析版)

第二章直线与圆的方程(压轴题专练)一、选择题1.已知m ∈R ,若过定点A 的动直线1l :20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l :240mx y m ++-=交于点P (P 与A ,B 不重合),则以下说法错误的是()A .A 点的坐标为()2,1B .PA PB ⊥C .2225PA PB +=D .2PA PB +的最大值为5【答案】D【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解.【详解】因为1:20l x my m -+-=可以转化为(1)20m y x -+-=,故直线恒过定点A ()2,1,故A 选项正确;又因为2l :240mx y m ++-=即()42y m x -=-+恒过定点B ()2,4-,由1:20l x my m -+-=和2:420l mx y m +-+=,满足()110m m ⨯+-⨯=,所以12l l ⊥,可得PA PB ⊥,故B 选项正确;所以()()22222221425PA PB AB +==++-=,故C 选项正确;因为PA PB ⊥,设,PAB ∠θθ=为锐角,则5cos ,5sin PA PB θθ==,所以()()252cos sin 5PA PB θθθϕ+=+=+,所以当()sin 1θϕ+=时,2PA PB +取最大值,故选项D 错误.故选:D.2.设m R ∈,过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ,则PA PB +的最大值()A .B .C .3D .6【答案】D【分析】根据动直线方程求出定点,A B 的坐标,并判断两动直线互相垂直,进而可得22||||18PA PB +=,最后由基本不等式222||||||||22PA PB PA PB ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭即可求解.【详解】解:由题意,动直线10x my ++=过定点(1,0)A -,直线230mx y m --+=可化为(2)30x m y -+-=,令2030x y -=⎧⎨-=⎩,可得()2,3B ,又1(1)0m m ⨯+⨯-=,所以两动直线互相垂直,且交点为P ,所以()()22222||||||120318PA PB AB +==--+-=,因为222||||||||22PA PB PA PB ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,所以6P A PB +≤,当且仅当||||3PA PB ==时取等号.故选:D.3.在平面直角坐标系内,设()11,M x y ,()22,N x y 为不同的两点,直线l 的方程为0ax by c ++=,1122ax by c ax by c δ++=++,下面四个命题中的假命题为()A .存在唯一的实数δ,使点N 在直线l 上B .若1δ=,则过M ,N 两点的直线与直线l 平行C .若1δ=-,则直线经过线段M ,N 的中点;D .若1δ>,则点M ,N 在直线l 的同侧,且直线l 与线段M ,N 的延长线相交;【答案】A【分析】根据题意对δ一一分析,逐一验证.【详解】解:对于A ,1122ax by c ax by cδ++=++化为:112222()0(0)ax by c ax by c ax by c δ++-++=++≠,即点2(N x ,2)y 不在直线l 上,因此A 不正确.对于B ,1δ=,则1212()()0a x x b y y -+-=,即过M ,N 两点的直线与直线l 的斜率相等,又点2(N x ,2)y 不在直线l 上,因此两条直线平行,故B 正确;对于C ,1δ=-,则1122()0ax by c ax by c +++++=,化为1212022x x y y a b c ++++=,因此直线l 经过线段MN 的中点,故C 正确;对于D ,1δ>,则2112222()()()0ax by c ax by c ax by c δ++⨯++=++>,则点M ,N 在直线l 的同侧,故D 正确;故选A【点睛】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系,考查了推理能力与计算能力,属于难题.4.我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休.”事转化为点(),x y 与点(),a b 之间的距离的几何问题.已知点()11,M x y 在直线1:2l y x =+,点()22,N x y 在直线2:l y x =上,且1MN l ⊥)A .2B .2C D .5【答案】D【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点()11,M x y 到点()0,4A 的距离与点()22,N x y 到点()5,0B 的距离和,过点A 作1AC l ⊥,垂足为C ,证明AM CN =,由CN NB CB +≥求目标函数最小值.表示点()11,M x y 到点()0,4A 的距离,表示点()22,N x y 到点()5,0B 的距离,MA NB +=+,过点A 作1AC l ⊥,垂足为C ,因为直线1l 的方程为20x y -+=,()0,4A ,所以AC ==又直线1:2l y x =+与直线2:l y x =平行,1MN l ⊥,所以MN =所以//,MN AC MN AC =,所以四边形AMNC 为平行四边形,所以AM CN =,CN NB +=+,又CN NB CB +≥,当且仅当,,C N B 三点共线时等号成立,所以当点N 为线段CB 与直线2l 的交点时,CB ,因为过点()0,4A 与直线1l 垂直的直线的方程为4y x =-+,联立42y x y x =-+⎧⎨=+⎩,可得13x y =⎧⎨=⎩,所以点C 的坐标为()1,3,所以CB =,5,故选:D.将问题转化为两点之间的距离问题.5.已知圆C 是以点(2,M 和点(6,N -为直径的圆,点P 为圆C 上的动点,若点()2,0A ,点()1,1B ,则2PA PB -的最大值为()A B .4C .8+D【答案】A【分析】由题设可知圆C :22(4)16x y -+=,在坐标系中找到(4,0)D -,应用三角线相似将2PA 转化到||PD ,再利用三角形的三边关系确定目标式的最大值即可.【详解】由题设,知:(4,0)C 且||8MN ==,即圆C 的半径为4,∴圆C :22(4)16x y -+=,如上图,坐标系中(4,0)D -则24OD AC CP OC ====,∴12AC PC CP DC ==,即△APC △PCD ,故12PA PD =,∴2||||PA PB PD PB -=-,在△PBD 中||||||PD PB BD -<,∴要使||||PD PB -最大,,,P B D 共线且最大值为||BD 的长度.∴||BD ==故选:A【点睛】关键点点睛:首先求出圆C 方程,找到定点D 使AC PC CP DC =,进而将2PA 转化到其它线段,结合三角形三边关系求目标式的最值.6.过点()8,4A -作抛物线28y x =的两条切线1l ,2l ,设1l ,2l 与y 轴分别交于点B ,C ,则ABC ∆的外接圆方程为()A .2264160x y x y ++--=B .226160x y x ++-=C .2256120x y x y ++--=D .224160x y y +--=【答案】A【解析】设切线方程为l :()84x t y +=-,与抛物线联立,表示线段AB 的中垂线方程,可求解圆心坐标和半径,表示圆的方程即可.【详解】设过点()8,4A -的抛物线2:8E y x =的切线方程为l :()84x t y +=-,即84x ty t =--(*),代入28y x =得288(48)0y ty t -++=,由0∆=得2240t t --=,(1)所以方程(1)有两个不相等的实数根1t ,2t ,且122t t +=,124t t =-,在(*)中令0x =得180,4B t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,280,4C t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,设ABC ∆的外接圆圆心为点()100,O x y ,则()0122B C y y y =+=,下求0x :线段AB 中点横标04x '=-,纵标0144y t '=+,线段AB 的中垂线方程为1144(4)y t x t --=-+,令2y =得211021424t t x t -++=,由(1)知21124t t +=,故03x =-,设ABC ∆的外接圆半径为R ,则229R =,所以ABC ∆的外接圆方程为22(3)(2)29x y ++-=,即2264160x y x y ++--=.故选:A【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,圆的方程,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.7.已知平面内两个定点A ,B 及动点P ,若PBPA λ=(0λ>且1λ≠),则点P 的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O,0,2Q ⎛ ⎝⎭,直线1:230l kx y k -++=,直线2:320l x ky k +++=,若P 为1l ,2l 的交点,则32PO PQ +的最小值为()A .B.6-C.9-D.3【答案】A【分析】由直线方程可得12l l ⊥,则点P 的轨迹是以CD 为直径的圆,除去D 点,得到P 的轨迹方程为()()22293x y y ++=≠-,即()22453x y x y ++=≠-,可得)332PQ y =+≠-,取5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则32PQ PA =,结合AQ =()3222PO PQ PA PQ AQ +=+≥,进而求解.【详解】由已知1:230l kx y k -++=过定点()2,3C -,2:320l x ky k +++=过定点()2,3D --,因为1l k k =,21l k k=-,所以121l l k k ⋅=-,即12l l ⊥,所以点P 的轨迹是以CD 为直径的圆,除去D 点,故圆心为()2,0-,半径为3,则P 的轨迹方程为()()22293x y y ++=≠-,即()22453x y x y ++=≠-,易知O 、Q 在该圆内,又32PO =即)332PO y ==≠-,取5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则32PO PA =,又2AQ =,所以()3322222PO PQ PO PQ PA PQ AQ ⎛⎫+=+=+≥= ⎪⎝⎭所以32PO PQ +的最小值为故选:A.8.已知点P 为直线l :20x y +-=上的动点,过点P 作圆C :2220x x y ++=的切线PA ,PB ,切点为,A B ,当PC AB ⋅最小时,直线AB 的方程为()A .3310x y ++=B .3310x y +-=C .2210x y ++=D .2210x y +-=【答案】A【分析】先利用圆切线的性质推得,,,A P B C 四点共圆,AB CP ⊥,从而将PC AB ⋅转化为2PA ,进而确定PC l ⊥时PC AB ⋅取得最小值,再求得以PC 为直径的圆的方程,由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解.【详解】因为圆C :2220x x y ++=可化为()2211x y ++=,所以圆心()1,0C -,半径为1r =,因为PA ,PB 是圆C 的两条切线,则,PA AC PB BC ⊥⊥,由圆的知识可知,,,,A P B C 四点共圆,且AB CP ⊥,PA PB =,所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⨯= ,又PA =所以当PC 最小,即PC l ⊥时,PC AB ⋅取得最小值,此时PC 的方程为1y x =+,联立120y x x y =+⎧⎨+-=⎩,解得13,22x y ==,即13,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,故以PC 为直径的圆的方程为13(1)022x x y y ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即,221031222x x y y +-+=-,又圆22:20C x x y ++=,两圆的方程相减即为直线AB 的方程:3310x y ++=.故选:A.【点睛】关键点睛:本题解决的关键是将PC AB ⋅转化为2PA ,从而确定PC AB ⋅最小时P 的坐标,从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解.9.(多选)已知O 为坐标原点,()3,1A ,P 为x 轴上一动点,Q 为直线l :y x =上一动点,则()A .APQ △周长的最小值为B .AP AQ +的最小值为1C .AP PQ +的最小值为D OP +的最小值为4【答案】BCD【分析】设A 关于直线l :y x =的对称点为()11,3A ,A 关于x 轴的对称点为()23,1A -,对于A :根据对称性可得1212PQ QA PA PQ QA PA A A ++=++≥,进而可得结果;对于B :根据点到直线的距离分析判断;对于C :因为2AP PQ A P PQ +=+,结合点到直线的距离分析判断;对于D :根据题意分析可得)2OP A P CP+=+,结合点到直线的距离分析判断.【详解】设()3,1A关于直线l:y x=的对称点为()11,3A,()3,1A关于x轴的对称点为()23,1A-,可知12,QA QA PA PA==,对于选项A:可得APQ△周长1212PQ QA PA PQ QA PA A A++=++≥=当且仅当12,,,A P Q A四点共线时,等号成立,所以APQ△周长的最小值为A错误;对于选项B:设()3,1A到x轴,直线l:0x y-=的距离分别为12,d d,则121,d d==,可得121AP AQ d d+≥+=,所以AP AQ+的最小值为1B正确;对于选项C:因为2AP PQ A P PQ+=+,设()23,1A-到直线l:0x y-=的距离为3d=可得23A P PQ d +≥=所以AP PQ +的最小值为C 正确;对于选项D :作PC l ⊥,垂足为C ,因为直线l 的斜率1k =,则45COP ∠=︒,可得CP =,则23AP CP A P CP d +=+≥=,)2234OP A P OP A P CP d ⎫++=⎪⎪⎭,OP +的最小值为4,故D 正确;故选:BCD.二、填空题10.设R m ∈,过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(,)P x y ,则||||PA PB ⋅的最大值.【答案】9【分析】根据直线方程求出定点,然后根据直线垂直,结合基本不等式求解即可;【详解】由题意,动直线10x my ++=过定点(1,0)A -,直线230mx y m --+=可化为(2)30x m y -+-=,令2030x y -=⎧⎨-=⎩,可得()2,3B ,又1(1)0m m ⨯+⨯-=,所以两动直线互相垂直,且交点为P ,所以22222||||||(12)(03)18PA PB AB +==--+-=,因为2218||2PA PB PA PB =+≥⋅,所以9PA PB ⋅≤,当且仅当||||3PA PB ==时取等号.【点睛】根据直线方程求定点,判断直线垂直,将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点.11.若恰有三组不全为0的实数对(a ,)b满足关系式|1||431|a b a b t ++=-+=t 的所有可能的值为.【答案】52或75t ==,然后对t 进行分类讨论即可求解.【详解】由已知得0t >t ==,看成有且仅有三条直线满足(1,1)A 和(4,3)B -到直线:10l ax by ++=(不过原点)的距离t 相等,又5AB ==,(1)当||522AB t ==,此时易得符合题意的直线l 为线段AB 的垂直平分线68230x y --=以及与直线AB 平行的两条直线86110x y ++=和86390x y +-=;(2)当||522AB t <=时,有4条直线l 会使得点(1,1)A 和(4,3)B -到它们的距离相等,注意到l 不过原点,所以当其中一条直线过原点时,会作为增根被舍去.设点A 到l 的距离为d ,①作为增根被舍去的直线l ,过原点和A ,B 的中点5(,1)2M -,其方程为250x y +=,此时52t d ==,符合;②作为增根被舍去的直线l ,过原点且与AB 平行,其方程为430x y +=,此时7552t d ==<,符合;综上,满足题意的实数t 为52或75故答案为:52或75t ==,将问题转化为有且仅有三条直线满足(1,1)A 和(4,3)B -到直线:10l ax by ++=(不过原点)的距离t 相等,然后分类讨论即得.12.已知P 、Q 分别在直线1:10l x y -+=与直线2:10l x y --=上,且1PQ l ⊥,点()4,4A -,()4,0B ,则AP PQ QB ++的最小值为.【分析】利用线段的等量关系进行转化,找到AP QB +最小值即为所求.【详解】由直线1l 与2l PQ =()4,0B 作直线l 垂直于1:10l x y -+=,如图,则直线l 的方程为:4y x =-+,将()4,0B 沿着直线l B '点,有()3,1B ',连接AB '交直线1l 于点P ,过P 作2⊥PQ l 于Q ,连接BQ ,有//,||||BB PQ BB PQ ''=,即四边形BB PQ '为平行四边形,则||||PB BQ '=,即有||AP QB AP PB AB ''+=+=,显然AB '是直线1l 上的点与点,A B '距离和的最小值,因此AP QB +的最小值,即AP PB '+的最小值AB ',而AB '==,所以AP PQ QB ++的最小值为AB PQ '+【点睛】思路点睛:(1)合理的利用假设可以探究取值的范围,严谨的思维是验证的必要过程.(2)转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径.(3)数形结合使得问题更加具体和形象,从而使得方法清晰与明朗.13.在平面直角坐标互中,给定()()1,2,3,4M N 两点,点P 在x 轴的正半轴上移动,当MPN ∠最大值时,点P 的横坐标为【答案】3【分析】根据条件结合圆的性质,转化为求圆的半径最小,利用数形结合,即可求解.【详解】过点,,M N P 三点的圆的圆心在线段MN 的中垂线5y x =-上,其中MPN ∠为弦MN 所对的圆周角,所以当圆的半径最小时,MPN ∠最大,设圆心坐标为(,5)E a a -,又由点P 在x 轴上移动,当圆和x 轴相切时,MPN ∠取得最大值,设切点为(,0)P a ,圆的半径为5a -,所以圆的方程为222()(5)(5)x a y a a -++-=-,代入点(1,2)M 代入圆的方程,可得222(1)(25)(5)a a a -++-=-,整理得2250a a +-=,解得3a =或5a =-(舍去),所以点P 的横坐标的为3.故答案为:3.14.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆()()221:2C x a y a -+-+=,点(0,2)A ,若圆C 上的点M 均满足2210MA MO +>,则实数a 的取值范围是.【答案】a<0或3a >【分析】将条件2210MA MO +>坐标化,先转化为22(1)4x y +->恒成立,即圆C 上所有动点到定点(0,1)B 距离的最小值大于2,再转化为(0,1)B 与圆心C 距离的不等关系求解可得.【详解】设(,)M x y ,由点(0,2)A ,2210MA MO +> 222222(2)2(22)10x y x y x y y ∴+-++=+-+>即点M 满足22(1)4x y +->2,设点(0,1)B ,即2MB >恒成立则min 2MB >,圆上所有点到定点(0,1)B 最小值大于2,又圆(,2)C a a -,半径为1,圆上所有点到定点(0,1)B 最小值即为:1BC -.12BC ∴->.即3BC =,化简得230a a ->,解得a<0或3a >.故答案为:a<0或3a >.15.已知P 为直线60x y ++=上一动点,过点P 作圆22:66140C x y x y +--+=的切线,切点分别为A ,B ,则当四边形PACB 面积最小时,直线AB 的方程为.【答案】6=0x y +【分析】求得四边形PACB 面积最小时P 点的坐标,再根据圆与圆的位置关系求得直线AB 的方程.【详解】圆22:66140C x y x y +--+=,即()()22233=2x y -+-,所以圆心为()3,3C ,半径2r =,1=2=22PACB S PA r PA ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭所以当CP 最小,也即CP 垂直60x y ++=时,四边形PACB 面积最小,直线60x y ++=的斜率为1-,则此时直线CP 的斜率为1,则直线CP 的方程为y x =,由60y xx y =⎧⎪⎨++=⎪⎩,解得3x y ==-即(3P --,对应PC ,=PA PB以P 为圆心,半径为((2233=12x y -++-+,即()()226622x y x y ++++-,由()()2222661406622x y x yx y x y ⎧+--+=⎪⎨++++-⎪⎩,两式相减并化简得26=0x y ++-,也即直线AB 的方程为26=0x y ++-.故答案为:26=0x y ++-【点睛】研究直线和圆的位置关系问题,主要思路是数形结合的数学思想方法,直线和圆有关的相切问题,连接圆心和切点的直线,与切线相互垂直.与四边形面积的最值有关问题,可先求得面积的表达式,再根据表达式来求最值.16.设直线l 的方程为(a +1)x +y -2-a =0(a ∈R ).(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等,则直线l 的方程为;(2)若a >-1,直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点,O 为坐标原点,则△OMN 的面积取最小值时,直线l 对应的方程为.【答案】x -y =0或x +y -2=0x +y -2=0【详解】(1)①当直线l 经过坐标原点时,可得a +2=0,解得a =-2.所以直线l 的方程为-x +y =0,即x -y =0;②当直线l 不经过坐标原点,即a ≠-2且a ≠-1时,由条件得221a a a +=++,解得a =0,所以直线l 的方程为x +y -2=0.综上可得直线l 的方程为x -y =0或x +y -2=0.(2)在(a +1)x +y -2-a =0(a >-1)中,令0x =,得2y a =+;令0y =,得21a x a +=+.所以2(,0),(0,2)1a M N a a +++.由于1a >-,得210a a +>+>.所以22121(2)1(1)2(1)1(2)212121OMNa a a a S a a a a ∆++++++=⋅⋅+=⋅=⋅+++111[(1)2][22]2212a a =+++≥=+.当且仅当111a a +=+,即a =0时等号成立.此时直线l 的方程为x +y -2=0.答案:(1)x -y =0或x +y -2=0(2)x +y -2=0【点睛】用基本不等式求最值时,首先要判断是否满足了使用基本不等式的条件,若满足则可直接利用基本不等式求出最值;若不满足,则需要对代数式进行适当的变形,此时要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等变形的技巧,通过变形使得代数式满足基本不等式中“正”、“定”、“等”的条件.三、解答题17.现有一组互不相同且从小到大排列的数据:012345,,,,,a a a a a a ,其中00a =.为提取反映数据间差异程度的某种指标,今对其进行如下加工:记()015011,,5n n n n T a a a x y a a a T=+++==+++ ,作函数()y f x =,使其图像为逐点依次连接点(),(0,1,2,,5)n n n P x y n = 的折线.(1)求(0)f 和(1)f 的值;(2)设1n n P P -的斜率为(1,2,3,4,5)n k n =,判断12345,,,,k k k k k 的大小关系;(3)证明:当(0,1)x ∈时,()f x x <;(4)求由函数y x =与()y f x =的图像所围成图形的面积.(用12345,,,,a a a a a 表示)【答案】(1)(0)0f =,(1)1f =(2)12345k k k k k <<<<(3)见解析(4)124512345225()a a a a a a a a a --++++++【分析】(1)运用代入法进行求解即可;(2)根据斜率公式,结合已知进行判断即可;(3)要证明()f x x <,(0,1)x ∈,只需要证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=,根据已知定义,结合放缩法进行证明即可.(4)设1S 为[]0,1上折线()f x 与x 轴及直线1x =所围成图形的面积,求出1S ,再由112S S =-求解即可.【详解】(1)0015(0)0a f a a a ==+++ ,015015(1)1a a a f a a a +++==+++ ;(2)[]01011111()()5155n n n n n n n n a a a a a a y y T k a n n x x T ---+++-+++-===--- (1,2,,5)n = ,因为12345a a a a a <<<<,所以12345k k k k k <<<<;(3)由于()f x 的图像是连接各点(),(0,1,2,,5)n n n P x y n = 的折线要证明()f x x <,(0,1)x ∈,只需要证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=事实上,当1(,)n n x x x -∈时,1111()()()()()n n n n n n f x f x f x x x f x x x -----=-+-11111111()()n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x f x f x x x xx x x x x x x x ------------=+<+=----下面证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=对任何n (1,2,3,4)n =,15()n a a ++ 1[(5)]()n n n a a =+-++ 11()(5)()n n n a a n a a =+++-++ 1()(5)n n n a a n na ≤+++- []1()(5)n n n a a n a =+++-< 115()n n n a a a a nT++++++= 所以1()5n n n a a nf x x T ++=<= ,综上,(),(1,2,3,4)n n f x x n <=(4)设1S 为[]0,1上折线()f x 与x 轴及直线1x =所围成图形的面积则1011012212332111()()()()()()222S y y x x y y x x y y x x =+-++-++-3443455411()()()()22y y x x y y x x ++-++-123451(2222)10y y y y y =++++[]112123123411()()()510a a a a a a a a a a T =++++++++++123411(432)105a a a a T=++++直线y x =与()y f x =的图像所围成图形的面积为1245112345221.25()a a a a S S a a a a a --++=-=++++【点睛】关键点睛:在证明()f x x <,(0,1)x ∈时,关键在于将其转化为证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=,结合题设定义进行证明.18.已知曲线():,0T F x y =,对坐标平面上任意一点(),P x y ,定义[](),=F P F x y ,若两点P ,Q ,满足[][]0F P F Q ⋅>,称点P ,Q 在曲线T 同侧;[][]0F P F Q ⋅<,称点P ,Q 在曲线T 两侧.(1)直线l 过原点,线段AB 上所有点都在直线l 同侧,其中()1,1A -,()2,3B ,求直线l 的倾斜角的取值范围;(2)已知曲线()(,3450F x y x y =+-=,O 为坐标原点,求点集[][]{}0S P F P F O =⋅>的面积;(3)记到点()0,1与到x 轴距离和为5的点的轨迹为曲线C ,曲线()22:,0=+--=T F x y x y y a ,若曲线C 上总存在两点M ,N 在曲线T 两侧,求曲线C 的方程与实数a 的取值范围.【答案】(1)33[0,arctan (,)24ππ ;(2)83S π=(3)()()222480:24120y x x C y x x ⎧=-≥⎪⎨=+<⎪⎩,52⎡⎢⎣⎦.【分析】(1)由题意设出直线方程为y kx =,通过新定义,得到[][](1)(23)0⋅=--->F A F B k k ,求出斜率范围,进而可求出倾斜角范围;(2)先由题意得到点集S 为圆224x y +=在直线3450x y +-=下方内部,设直线与圆的交点为A B 、,求出23AOB π∠=,进而可求出结果;(3)先设曲线C 上的动点为(,)x y5=y ,化简整理,即可得出轨迹方程;再由新定义,将[][]0⋅<F M F N 化为(6)(24)0--<a a ,进而可得出结果.【详解】(1)由题意,显然直线l 斜率存在,设方程为y kx =,则(),0=-=F x y kx y ,因为()1,1A -,()2,3B ,线段AB 上所有点都在直线l 同侧,则[][](1)(23)0⋅=--->F A F B k k ,解得312-<<k ;故倾斜角的范围是33[0,arctan (,)24ππ ;(2)因为[]0<F O ,所以[](345)0=+-F P x y ,故2234504x y x y +-<⎧⎨+<⎩,点集S 为圆224x y +=在直线3450x y +-=下方内部,设直线与圆的交点为A B 、,则O 到AB 的距离为1,故23AOB π∠=,因此,所求面积为:2214182223223ππ=⋅⋅+⋅=S(3)设曲线C 上的动点为(,)x y 5=y ,化简得曲线C 的方程为:228(3),0312(2),20x y y x y y ⎧=-≤≤⎨=+-≤≤⎩,其轨迹为两段抛物线弧;当03≤≤y 时,[]2(,)9246,24=-+-∈--F x y y y a a a ;当20-≤≤y 时,[]2(,)11246,24=++-∈--F x y y y a a a ,故若有[][]0⋅<F M F N ,则(6)(24)0--<a a ,解得624<<a .【点睛】本题主要考查新定义下直线与圆的综合,熟记直线与圆位置关系,以及直线斜率与倾斜角的概念等即可,属于常考题型.19.如图,已知A ,(0,0)B,(12,0)C ,直线:(20l k x y k --=.(1)证明直线l 经过某一定点,并求此定点坐标;(2)若直线l 等分ABC 的面积,求直线l 的一般式方程;(3)若P ,李老师站在点P 用激光笔照出一束光线,依次由BC (反射点为K )、AC (反射点为I )反射后,光斑落在P 点,求入射光线PK 的直线方程.【答案】(1)证明见解析,定点坐标为(2,;170y +-=;(3)2100x +-=.【分析】(1)整理得到(2))0k x y -+-=,从而得到方程组,求出定点坐标;(2)求出定点P 在直线AB 上,且||8AM =,由12AMD ABC S S = 得到3||||94AD AC ==,设出00(,)D x y ,由向量比例关系得到D(3)作出辅助线,确定P 关于BC 和AC 的对称点1,P 2P ,得到123P P k =,由对称性得3PK k =-,写成直线方程.【详解】(1)直线:(20l k x y k --=可化为(2))0k x y -+-=,令200xy -=⎧⎪-=,解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩l 经过的定点坐标为(2,;(2)因为A ,(0,0)B ,(12,0)C ,所以||||||12AB AC BC ===,由题意得直线AB 方程为y =,故直线l 经过的定点M 在直线AB 上,所以||8AM =,设直线l 与AC 交于点D ,所以12AMD ABC S S =,即111||||sin ||||sin 222AM AD A AB AC A =⨯⨯,所以3||||94AD AC ==,设00(,)D x y ,所以34AD AC =,即003(6,(6,4x y --=-,所以0212x =,0y =21(2D ,将D 点坐标代入直线l的方程,解得k =所以直线l170y +-=;(3)设P 关于BC的对称点1(2,P -,关于AC 的对称点2(,)P m n ,直线AC12612x -=-,即)12y x =-,直线AC的方程为12)y x =-,所以(1221222n m n m ⎧-⋅=-⎪-⎪⎨++⎫⎪=-⎪⎪⎭⎩,解得14,m n ==2P ,由题意得12,,,P K I P四点共线,123P P k =,由对称性得3PK k =-,所以入射光线PK的直线方程为2)y x ---,即2100x -=.20.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线y x =上.(1)设直线l :43y x =+与圆M 交于C ,D 两点,且OC OD =,求圆M 的方程;(2)设直线y =与(1)中所求圆M 交于E ,F 两点,点P 为直线5x =上的动点,直线PE ,PF 与圆M 的另一个交点分别为G ,H ,且G ,H 在直线EF 两侧,求证:直线GH 过定点,并求出定点坐标.【答案】(1)22(1)(4x y -+=(2)证明见解析【分析】(1)由||||OC OD =,知OM l ⊥,运用两直线垂直的条件:斜率之积为1-,解方程可得t ,讨论t 的取值,求得圆心到直线的距离,即可得到所求圆的方程;(2)设0(5,)P y ,11(,)G x y ,22(,)H x y ,求得E ,F 的坐标,PE 和PF 的方程,联立圆的方程,运用韦达定理,3PE PF k k =.设PE k m =,则3PF k m =.设直线GH 的方程为y kx b =+,代入圆的方程,运用韦达定理,可得k ,b 的关系,即可得到所求定点.(1)圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线y x =上,设M t ⎛ ⎝⎭由||||OC OD =,知OM l ⊥.所以2OM k t =1t =±.当1t =时,圆心M 到直线:4l y =+的距离1)d =小于半径,符合题意;当1t =-时,圆心(1,M -到直线:4l y =+的距离1)d =大于半径,不符合题意.所以,所求圆M 的方程为22(1)(4x y -+-=.(2)设0(5,)P y ,11(,)G x y ,22(,)H x y ,又知(E -,F ,所以06PE y k =,02PF y k =.显然3PE PF k k =,设PE k m =,则3PF k m =.从而直线PE 方程为:(1)y m x +,与圆M 的方程22(1)(4x y -+=联立,消去y ,可得:2222(1)(22)30m x m x m ++-+-=,所以212311m x m --⨯=+,即21231m x m -=+;同理直线PF 方程为:3(3)y m x -,与圆M 的方程22(1)(4x y -+=联立,消去y ,可得:2222(19)(542)8130m x m x m +-++-=,所以222813319m x m -⨯=+,即22227119m x m -=+.所以22212224232713221199101m m m x x m m m m --+=+=+++++;222122242327111231199101m m m x x m m m m --=⋅=-+++⋅++.消去参数m 整理得121227()200x x x x -++=.①设直线GH 的方程为y kx b =+,代入22(1)(4x y -+=,整理得222(1)(22)0k x kb x b ++--+-=.所以122221kb x x k --+=-+,21221b x x k -⋅=+.代入①式,并整理得22(71030b k b k +-+-+=,即(250b k b k ++-=,解得2b k =或5b k -.当2b k =时,直线GH 的方程为(2)y k x =-;当5b k =时,直线GH 的方程为(5)y k x =-,过定点第二种情况不合题意(因为G ,H 在直径EF 的异侧),舍去.所以,直线GH 过定点.21.如图所示,已知圆222:()0O x y r r +=>上点(1,)a 处切线的斜率为圆O 与y 轴的交点分别为A B 、,与x 轴正半轴的交点为D ,P 为圆O 的第一象限内的任意一点,直线BD 与AP 相交于点M ,直线DP 与y 轴相交于点N .(1)求圆O 的方程;(2)试问:直线MN 是否经过定点?若经过定点,求出此定点坐标;若不经过,请说明理由.【答案】(1)224x y +=;(2)(2,2).【分析】(1)根据切线斜率得切点与圆心连线斜率,解得a,再代入圆方程得r,即得结果,(2)先设直线AP 方程,分别解得P 坐标,M 坐标,以及N 坐标,再求出直线MN 方程,最后根据方程求定点.【详解】(1)由题意得2211413a a r ⋅=-∴==+=∴22:4O x y += (2)设:2(10)AP y kx k =+-<<()222221404y kx k x kx x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩222422,11k k P k k ⎛⎫-+⇒- ⎪++⎝⎭()()0,2,2,0B D - ∴直线:2BD y x =-2422,211y x k M y kx k k =-⎧---⎛⎫⇒⎨ ⎪=+--⎝⎭⎩由,,D P N 三点共线得:2222222002222140221121N N k y k k k y k k k k k -+---+-++=⇒==--+++-+∴21MN kk k =+直线MN 为:22211k k y x k k -+=+++即:()()2220y x k y -++-=由2022202y x y x y -==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩∴直线MN 过定点()2,2.【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.22.已知圆C 经过()0,1A ,()()4,0B a a >两点.(1)如果AB 是圆C 的直径,证明:无论a 取何正实数,圆C 恒经过除A 外的另一个定点,求出这个定点坐标.(2)已知点A 关于直线3y x =-的对称点A '也在圆C 上,且过点B 的直线l 与两坐标轴分别交于不同两点M 和N ,当圆C 的面积最小时,试求BM BN ⋅的最小值.【答案】(1)证明见解析,定点为()4,1(2)min 8BM BN ⋅=【分析】(1)设点(),P x y 是圆C 上任意一点,由AB 是圆C 的直径,得0AP BP ⋅= ,从而可求出圆C 的方程,即可得出结论;(2)根据题意可得点C 在直线3y x =-上,要使圆C 的面积最小,则圆C 是以AA '为直径的圆,从而可求出圆C 的方程,进而可求得B 点的坐标,设出直线l 的方程,分别求出,M N 的坐标,再根据两点间距离公式结合基本不等式即可得解.【详解】(1)设点(),P x y 是圆C 上任意一点,因为AB 是圆C 的直径,所以0AP BP ⋅= ,即()()()()(),14,410x y x y a x x y y a -⋅--=-+--=,所以圆C 的方程为:()()()410x x y y a -+--=,则4x =,1y =时等式恒成立,故定点为()4,1,所以无论a 取何正实数,圆C 恒经过除A 外的另一个定点,定点坐标为()4,1;(2)因点A 关于直线3y x =-的对称点A '也在圆C 上,所以点C 在直线3y x =-上,又圆C 的面积最小,所以圆C 是以AA '直径的圆,设过点A 与直线3y x =-垂直的直线方程为1y x =-+,由方程组31y x y x =-⎧⎨=-+⎩得()2,1C -,则AC =所以圆C 的方程为()()22218x y -++=,当4x =时,1a =或3a =-,又0a >,所以1a =,即()4,1B ,由题意知直线l 斜率存在且不为零,设直线l 的方程为()14y k x -=-,当0x =时14y k =-,当0y =,时14x k =-,所以||||448BM BN ⋅=,(当且仅当221k k =,即1k =±时取等号)则当1k =±时,min 8BM BN ⋅=。

2022-2023学年人教版高二数学阶段复习精练专题2-4 圆的方程(解析版)

2022-2023学年人教版高二数学阶段复习精练专题2-4 圆的方程(解析版)

专题2.4 圆的方程知识点一:圆的标准方程222()()x a y b r -+-=,其中(),C a b 为圆心,r 为半径.知识点诠释:(1)如果圆心在坐标原点,这时0,0a b ==,圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化:如:圆心在x 轴上:0b =;圆与y 轴相切时:||a r =;圆与x 轴相切时:||b r =;与坐标轴相切时:||||a b r ==;过原点:222a b r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为(),a b ,半径为r ,它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知,确定一个圆的方程,只需要a 、b 、r 这三个独立参数,因此,求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.知识点二:点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=,圆心为(),C a b ,半径为r ,则有(1)若点()00,M x y 在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00,M x y 在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00,M x y 在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<知识点三:圆的一般方程 当2240D E F +->时,方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径. 知识点诠释:由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时,方程只有实数解,22D Ex y =-=-.它表示一个点. 222x y r +=(,)22D E--(2)当2240D E F +-<时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.(3)当2240D E F +->时,可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心,为半径的圆. 知识点四:用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件,建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组.(3)解方程组,求出a b r 、、或D E F 、、的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.知识点五:轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程.1.当动点满足的几何条件易于“坐标化”时,常采用直接法;当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时,常采用定义法;当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时,可采用代入法(或称相关点法).2.求轨迹方程时,一要区分“轨迹”与“轨迹方程”;二要注意检验,去掉不合题设条件的点或线等.3.求轨迹方程的步骤:(1)建立适当的直角坐标系,用(,)x y 表示轨迹(曲线)上任一点M 的坐标; (2)列出关于,x y 的方程; (3)把方程化为最简形式;(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点); (5)作答.题型一:圆的标准方程1.(2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习)与圆C :224690x y x y ++-+=关于直线10x y -+=对称的圆的方程为( )A .()()22214x y -+-= B .()()22324x y -++= C .()()22214x y -++=D .()()22324x y ++-=【答案】C【解析】圆C :224690x y x y ++-+=的圆心()2,3C -,半径2r =. 设点()2,3C -关于直线10x y -+=的对称点为00'(,)C x y ,则000000311*******22y x x y x y -⎧⨯=-⎪=⎧+⎪⇒⎨⎨=--+⎩⎪-+=⎪⎩, 所以圆C 关于直线10x y -+=的对称圆的方程为()()22214x y -++=, 故选:C .2.(2022·江苏·高二)圆C :()()22341x y ++-=关于直线y x =对称的圆的方程为( ). A .()()22431x y -++= B .()()224349x y -+-= C .()()22431x y ++-= D .()()224349x y +++=【答案】A【解析】:()()22341x y ++-=表示以()3,4-为圆心,以1为半径的圆.设()3,4-关于直线y x =对称的点为(),a b ,则有34022413a b b a -+⎧-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩,解得:4a =,3b =-, 所以C :()()22341x y ++-=关于直线y x =对称的圆的方程为()()22431x y -++=. 故选:A .3.(2022·江苏·高二)求满足下列条件的圆的标准方程. (1)圆心在x 轴上,半径为5,且过点()2,3A -;(2)经过点()4,5A --、()6,1B -,且以线段AB 为直径;(3)圆心在直线y =-2x 上,且与直线y =1-x 相切于点()2,1-;(4)圆心在直线x -2y -3=0上,且过点()2,3A -,()2,5B --. 【答案】(1)()22225x y ++=或()22625x y -+=(2)()()221329x y -++=(3)()()22122x y -+=+(4)()()221210x y +++=【解析】(1)设圆的标准方程为()2225x a y -+=.因为点()2,3A -在圆上,所以()()222325a -+-=,解得a =-2或a =6,所以所求圆的标准方程为()22225x y ++=或()22625x y -+=. (2)设圆的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>,由题意得4612a -+==,5132b --==-; 又因为点()6,1-在圆上,所以()()222611329r =-+-+=. 所以所求圆的标准方程为()()221329x y -++=. (3)设圆心为(),2a a -.因为圆与直线y =1-x 相切于点()2,1-解得a =1.所以所求圆的圆心为()1,2-,半径r所以所求圆的方程为()()22122x y -+=+.(4)设点C 为圆心,因为点C 在直线230x y --=上,故可设点C 的坐标为()23,a a +. 又该圆经过A 、B 两点,所以CA CB =.a =-2,所以圆心坐标为()1,2C --,半径r =故所求圆的标准方程为()()221210x y +++=.题型二:圆的一般方程1.(2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中)已知圆方程222410+-+-=x y x y 的圆心为( ) A .()2,4- B .()1,2- C .()1,2- D .()2,4-【答案】C 【解析】 【分析】将圆的方程配成标准式,即可得到圆心坐标; 【详解】解:因为222410+-+-=x y x y ,即()()22126x y -++=, 所以圆心坐标为()1,2-; 故选:C2.(2022·福建漳州·高二期末)在平面几何中,将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆,锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若(2,0)A -,(2,0)B ,(0,4)C ,则ABC 的最小覆盖圆的半径为( ) A .32B .2C .52D .3【答案】C 【解析】(2,0)A -,(2,0)B ,(0,4)C ,ABC ∴△为锐角三角形,ABC ∴△的外接圆就是它的最小覆盖圆,设ABC 外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=,则420420,1640D F D FEF -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得034D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩ABC ∴△的最小覆盖圆方程为22340x y y +--=,即22325()24x y +-=,ABC ∴△的最小覆盖圆的半径为52.故选:C3.(2022·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中,四点坐标分别为()((2,0,3,2,1,2,A B C ()4,D a ,若它们都在同一个圆周上,则a 的值为( )A .0B .1C .2 DC设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,由题意得((((2222222020323201220D F DEF D E F ⎧+++=⎪⎪++++=⎨⎪⎪++++=⎩,解得444D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,所以224440x y x y +--+=,又因为点()4,D a 在圆上,所以22444440a a +-⨯-+=,即2a =. 故选:C.题型三:点与圆的位置关系1.(2022·全国·高二课时练习)已知点A (1,2)在圆C :22220x y mx y ++-+=外,则实数m 的取值范围为( ) A .()()3,22,--+∞ B .()()3,23,--⋃+∞ C .()2,-+∞D .()3,-+∞【答案】A【解析】由题意,22220x y mx y ++-+=表示圆 故22(2)420m +--⨯>,即2m >或2m <- 点A (1,2)在圆C :22220x y mx y ++-+=外 故22122220m ++-⨯+>,即3m >- 故实数m 的取值范围为2m >或32m -<<- 即()()3,22,m --∞∈+故选:A题型四:圆过定点问题1.(2022·河北沧州·高二期末)已知点A 为直线2100x y +-=上任意一点,O 为坐标原点.则以OA 为直径的圆除过定点()0,0外还过定点( ) A .()10,0 B .()0,10 C .()2,4 D .()4,2【答案】D【解析】设OB 垂直于直线2100x y +-=,垂足为B ,则直线OB 方程为:12y x =, 由圆的性质可知:以OA 为直径的圆恒过点B ,由210012x y y x +-=⎧⎪⎨=⎪⎩得:42x y =⎧⎨=⎩,∴以OA 为直径的圆恒过定点()4,2. 故选:D.2(2022·上海·高三专题练习)已知二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图像与坐标轴有三个不同的交点,经过这三个交点的圆记为C ,则圆C 经过定点的坐标为_______(其坐标与b 无关) 【答案】(0,1)和(2,1)-【解析】二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图像与坐标轴有三个不同的交点,记为(,0),(,0),(0,)M m N n B b ,易知0b ≠,,m n 满足2m n +=-,m n ≠,220m m b ++=,220n n b ++=,设圆C 方程为220x y Dx Ey F ++++=,则222000m Dm F n Dn F b Eb F ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩①②③, ①-②得22()0m n D m n -+-=,()2D m n =-+=,∴220n n F ++=,从而F b =,代入③得1E b =--,∴圆C 方程为222(1)0x y x b y b ++-++=, 整理得222(1)0x y x y b y ++-+-+=,由222010x y x y y ⎧++-=⎨-+=⎩得0,1x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=⎩.∴圆C 过定点(0,1)和(2,1)-. 题型五:轨迹问题1 古希腊数学家阿波罗尼斯(约前262—前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果,著作中有这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数(0k k >且)1k ≠的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O ,()3,0A ,圆()()222:20C x y r r -+=>上有且仅有一个点P 满足2PA PO =,则r 的取值为( ) A .1B .5C .1或5D .不存在【答案】C 【解析】 【分析】直接设点P (),x y ,根据2PA PO =可以求得点P 的轨迹为圆,根据题意两圆有且仅有一个公共点,则两圆外切或内切,可得11CC r r =+或11CC r r =-. 【详解】 设点P (),x y∵2PA PO =整理得:()2214x y ++=∴点P 的轨迹为以()11,0C -为圆心,半径12r =的圆, ∵圆()222:2C x y r -+=的()2,0C 为圆心,半径r 的圆由题意可得:113CC r r ==+或113CC r r ==- ∴1r =或=5r 故选:C .2已知()2,0A 、()8,0B 、()4,2C ,且动点P 满足12PA PB =,则2PC PB +取得最小值时,点P 的坐标是___________.【答案】)1【解析】 【分析】设(),P x y ,由214PA PB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭得P 点轨迹为2216x y +=;由()22PC PB PC PA +=+可知当,,A P C 三点共线且P 在线段AC 上时取得最小值,联立圆的方程和直线AC 方程即可求得结果. 【详解】设(),P x y ,则()()222222148PA x y PB x y ⎛⎫-+== ⎪ ⎪-+⎝⎭,整理可得:2216x y +=;一、单选题1.若曲线C :2224100x y ax ay a ++--=表示圆,则实数a 的取值范围为( ) A .()2,0- B .()(),20,-∞-⋃+∞ C .[]2,0- D .(][),20,-∞-+∞【答案】B【解析】由2224100x y ax ay a ++--=, 得()()2222510x a y a a a ++-=+,由该曲线表示圆,可知25100a a +>,解得0a >或2a <-,故选:B. 2.圆心在坐标原点,半径为2的圆的标准方程是( ) A .221x y += B .224x y += C .()()22113+++=x yD .()()22116x y +++=【来源】贵州省2021-2022学年高二下学期7月高中学业水平考试数学试题 【答案】B 圆心在坐标原点,半径为2的圆的标准方程为224x y +=.故选:B3.方程y = ).A .B .C .D .【来源】2.1 圆【答案】A :对y =()2240x y y +=≤,所以,方程表示圆心为坐标原点,半径为2的圆在x 轴及下方的部分,A 选项满足.故选:A4.若直线l 经过圆22:40C x y x ++-=的圆心,且倾斜角为56π,则直线l 的方程为( )A 0y -+= B .10x -=C 0y ++=D .50x +=【答案】B【解析】整理圆的方程可得:()(2227x y ++=,∴圆心(C -,l 倾斜角为56π,∴其斜率5tan 6k π==,l ∴方程为:)2=+y x ,即10x +-=. 故选:B.5.如图,点A ,B ,D 在圆Γ上,点C 在圆Γ内,11,12,5AB BC CD ===,若0BC CD ⋅=,且AB 与CD 共线,则圆Γ的周长为( )A .410πB .653π C .21π D .24π【来源】安徽省淮南第二中学2021-2022学年高二下学期博雅杯素养挑战赛数学试题 【答案】B【解析】以C 为原点,BC 和CD 坐在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系, 则(12,11),(12,0),(0,5)A B D ---, 设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=则144121121101441202550D E F D F E F +--+=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩,解得1631180D E F ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩,所以656r =所以圆的周长为65652263r πππ=⨯= 故选:B6.已知从点()5,3-发出的一束光线,经x 轴反射后,反射光线恰好平分圆:()()22115x y -+-=的圆周,则反射光线所在的直线方程为( ) A .2310x y -+= B .2310x y --= C .3210x y -+= D .3210x y --=【答案】A【解析】设点A 的坐标为()5,3-,圆()()22115x y -+-=的圆心坐标为(1,1)B ,设(,0)C x 是x 轴上一点,因为反射光线恰好平分圆()()22115x y -+-=的圆周, 所以反射光线经过点(1,1)B , 由反射的性质可知:3010100512AC BC k k x x x --+=⇒+=⇒=----, 于是102131()2BC k -==--,所以反射光线所在的直线方程为: 21()231032y x x y =+⇒-+=,故选:A7.若()2,1P -为圆()22:125C x y -+=的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是( ).A .250x y --=B .230x y +-=C .10x y +-=D .30x y --=【来源】黑龙江省大庆市大庆中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学试题 【答案】D【解析】由圆()22:125C x y -+=,得()1,0C ,()01112PC k --∴==--, 由垂径定理可知PC AB ⊥,所以直线AB 斜率k 满足1PC k k ⋅=-,即1k =,所以直线AB 的方程为:()()112y x --=⨯-,即30x y --=, 故选:D.8.直线40x y ++=分别与x 轴,y 轴交于,A B 两点,点P 在圆()2242x y -+=上,则ABP △面积的取值范围是( )A .[]8,12B .⎡⎣C .[]12,20D .⎡⎣【来源】四川省泸州市泸县第五中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学(理)试题 【答案】C【解析】直线40x y ++=分别与x 轴,y 轴交于A ,B 两点, ∴A (-4,0),B (0,-4) ∴|AB设圆心(4,0)到直线40x y ++=的距离为d ,则d ==设点P 到直线40x y ++=的距离为h ,∴max h d r =+=min h d r =-==∴h 的取值范围为[,即ABP 的高的取值范围是[, 又ABP 面积为12|AB |×h ,所以ABP 面积的取值范围为[]12,20. 故选:C.9.已知直线10(0)ax by ab +-=>过圆22(1)(1)2022x y -+-=的圆心,则22a b +的最小值为( )A .12B .1CD .2【来源】安徽省宣城市2021-2022学年高二下学期期末数学试题 【答案】A【解析】由题意得圆心为(1,1),因为直线10(0)ax by ab +-=>过圆心, 所以1a b +=,即1a b =-,所以22222211(1)221222b b b b b a b ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝+⎭,所以当12b =时,22a b +的最小值为12. 故选:A10.已知点A (1,2)在圆C :22220x y mx y ++-+=外,则实数m 的取值范围为( )A .()()3,22,--+∞B .()()3,23,--⋃+∞C .()2,-+∞D .()3,-+∞【来源】四川省泸州市泸县第五中学2021-2022学年高二下学期期中考试文科数学试题 【答案】A 由22220x y mx y ++-+=表示圆可得22(2)420m +--⨯>,点A (1,2)在圆C 外可得22122220m ++-⨯+>,求解即可 【详解】由题意,22220x y mx y ++-+=表示圆 故22(2)420m +--⨯>,即2m >或2m <- 点A (1,2)在圆C :22220x y mx y ++-+=外 故22122220m ++-⨯+>,即3m >- 故实数m 的取值范围为2m >或32m -<<- 即()()3,22,m --∞∈+故选:A11.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,他对圆锥曲线有深刻系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M 与两定点A ,B 的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面我们来研究与此相关的一个问题,已知圆O :x 2+y 2=1上的动点M 和定点A 1(,0)2-,B (1,1),则2|MA |+|MB |的最小值为( )A BC D 【来源】湖南省常德市临澧县第一中学2021-2022学年高二下学期入学考试数学试题 【答案】C【解析】∴当点M 在x 轴上时,点M 的坐标为(-1,0)或(1,0).若点M 的坐标为(-1,0),则2|MA |+|MB |=2×121=+若点M 的坐标为(1,0),则2|MA |+|MB |=2×324=.∴当点M 不在x 轴上时,取点K (-2,0),如图,连接OM ,MK ,因为|OM |=1,|OA |=12,|OK |=2, 所以||||2||||OM OK OA OM ==. 因为∴MOK =∴AOM , 所以△MOK ∴∴AOM ,则||||2||||MK OM MA OA ==, 所以|MK |=2|MA |,则2|MA |+|MB |=|MB |+|MK |. 易知|MB |+|MK |≥|BK |,所以|MB |+|MK |的最小值为|BK |. 因为B (1,1),K (-2,0), 所以(2|MA |+|MB |)min=|BK |<1,所以2|MA |+|MB | 故选:C12.已知圆C 的圆心在x 轴上,半径为2,且与直线20x +=相切,则圆C 的方程为A .22(2)4x y -+=B .22(2)4x y ++=或22(6)4x y -+=C .22(1)4x y -+=D .22(2)4x y -+=或22(6)4x y ++=【来源】山西省名校联考2021-2022学年高二上学期期末数学试题 【答案】D【解析】设圆心坐标(),0a ,因为圆与直线20x +=相切,所以由点到直线的距离公式可得|2|22a +=,解得2a =或6a =-.因此圆C 的方程为22(2)4x y -+=或22(6)4x y ++=.13.两条直线2y x a =+,2y x a =+的交点P 在圆()()22114x y -+-=的内部,则实数a 的取值范围是A .1,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B .()11,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭,-C .1,15⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D .()11,5⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦,-【答案】A【解析】由22y x a y x a=+⎧⎨=+⎩解得(),3P a a .∴点P 在圆()()22114x y -+-=的内部.∴()()221314a a -+-<,解得115a -<<.14.已知圆22:4O x y +=上的动点M 和定点(1,0),(2,2)A B -,则2MA MB +的最小值为A .B .C .D .【答案】D【解析】如图,取点()4,0K -,连接,OM MK , 2,1,4OM OA OK ===,2OM OKOA OM∴==, ,~MOK AOM MOK AOM ∠=∠∴∆∆,2MK OMMA OA∴==, 2MK MA ∴=,2MB MA MB MK ∴+=+,因为MB MK BK +≥,当且仅当三点共线时等号成立,2MB MA MB MK ∴+=+的最小值为BK 的长, ()()2,2,4,0B K -,BK ∴== D.15.AB 为∴C :(x -2)2+(y -4)2=25的一条弦,6AB =,若点P 为∴C 上一动点,则PA PB⋅的取值范围是( ) A .[0,100] B .[-12,48]C .[-9,64]D .[-8,72]【来源】安徽省安庆市第一中学2021-2022学年高二上学期1月月考数学试题 【答案】D【解析】取AB 中点为Q ,连接PQ2PA PB PQ ∴+=,PA PB BA -=221()()4PA PB PA PB PA PB ⎡⎤∴⋅=+--⎣⎦2214||||4PQ BA ⎡⎤=-⎣⎦,又||6BA =,4CQ ==2||9PA PB PQ ∴⋅=-,∴点P 为∴C 上一动点,∴max min ||9,|5|15PQ Q P C Q Q C =+=-==PA PB ∴⋅的取值范围[-8,72]. 故选:D. 二、多选题16.直线y ax b =+ 与圆 22()()1x a y b -+-= 的大致图像可能正确的是( )A .B .C .D .【答案】AC【解析】A :直线不经过第四象限,所以0,0a b >>,所以圆的圆心在第一象限,因此本选项可能正确;B :直线不经过第一象限,所以0,0a b <<,所以圆的圆心在第三象限,因此本选项不可能正确;C :直线不经过第一象限,所以0,0a b <<,所以圆的圆心在第三象限,又因为该圆经过原点,所以有2222(0)(0)11a b a b -+-=⇒+=,在圆的方程中,令0x =, 得22222(0)()1210a y b a y by b y -+-=⇒+-+=⇒=或2y b =,因为0b <, 所以2b b <,因此本选项可能正确;D :直线不经过第二象限,所以0,0a b ><,所以圆的圆心在第四象限,又因为该圆经过原点,所以有2222(0)(0)11a b a b -+-=⇒+=,在圆的方程中,令0x =, 得22222(0)()1210a y b a y by b y -+-=⇒+-+=⇒=或2y b =,因为0b <, 所以2b b <,因此本选项不可能正确, 故选:AC17.已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于A ,B 两点,弦AB 的中点为()0,1M .下列结论中正确的是( ) A .实数a 的取值范围为3a < B .实数a 的取值范围为5a < C .直线l 的方程为10x y +-= D .直线l 的方程为10x y -+=【答案】AD【解析】圆22:240C x y x y a ++-+=满足222(4)40a +--> ,可得5a < , 又由题意弦AB 的中点为()M 0,1可得点M 在圆内,将点M 坐标代入圆的方程可得:30a -+<,即3a <,故A 正确,B 错误; 根据圆的性质可得:MC l ⊥ , 由圆22:240C x y x y a ++-+=,得圆心(12)C -,,而(01)M ,,∴直线l 的斜率k 为11111MC k -=-=-, 由点斜式可得直线l 的方程为:1y x =+ ,即10x y -+=,故C 错误,D 正确; 故选:AD18.方程()()2222220x y x x y y λμ+-++-=(λ,μ不全为零),下列说法中正确的是( )A .当0λμ=时为圆B .当0λμ≠时不可能为直线C .当方程为圆时,λ,μ满足0λμ+≠D .当方程为直线时,直线方程y x = 【答案】ACD【解析】对于A ,由题可得00λμ=⎧⎨≠⎩ 或00λμ≠⎧⎨=⎩,代入得2220x y y +-=或2220x y x +-=,都是圆,故A 对;对于B ,当1,1λμ==-时,化简得y x =是直线,故B 错;对于C ,原式可化为22(+)(+)220x y x y λμλμλμ+--=,要表示圆,则必有0λμ+≠,故C 对;对于D ,只有0λμ+=时,方程表示直线y x =,故D 对. 故选:ACD.19.已知平面内到两个定点A ,B 的距离之比为定值λ(1)λ≠的点的轨迹是圆.在平面直角坐标系xOy 中,已知(2,0),(4,0)A B -,若12λ=,则下列关于动点P 的结论正确的是( )A .点P 的轨迹所包围的图形的面积等于16πB .当P 、A 、B 不共线时,∴P AB 面积的最大值是6C .当A 、B 、P 三点不共线时,射线PO 是∴APB 的平分线D .若点(3,1)Q -,则2PA PQ +的最小值为【来源】湖南省名校联考联合体2021-2022学年高二下学期3月联考数学试题 【答案】ACD【解析】设(,)P x y ,因为PA PB=12=,整理得2280x x y ++=,即()22416++=x y .A :点P 的轨迹是以(4,0)-为圆心,4为半径的圆,所求图形的面积为16π,正确;B :圆的半径为4且6AB =,当△P AB 的底边AB 上的高最大时,面积最大,所以△P AB面积的最大值是164122⨯⨯=,错误;C :当A ,B ,P 不共线时,由12PA PB=,OA =2,4OB =,即12OA OB =,故||||||||PA OA PB OB =.由角平分线定理的逆定理知:射线PO 是∠APB 的平分线,正确;D :因为12=PA PB,即2|PA =PB |,则2PA PQ PB PQ +=+,又P 在圆()22416++=x y 上,如图所示,所以当P ,Q ,B 三点共线时,2PA PQ +取最小值,此时[]22min (2||||)||4(3)(01)52PA PQ BQ +==--+-=,正确. 故选:ACD . 三、填空题20.已知圆1C :()()22129x y -+-=,2C :224210x y x y +-++=.则这两圆的连心线方程为_________(答案写成一般式方程)【来源】广东省广州市南沙区2021-2022学年高二上学期期末数学试题 【答案】350x y +-=【解析】解:圆221:(1)(2)9C x y -+-=,222:4210C x y x y +-++=即22(2)(1)4x y -++=, ∴两圆的圆心为: 1(1,2)C 和2(2,1)C -, ∴这两圆的连心线方程为:212121y x ---=--,即350x y +-=. 故答案为:350x y +-=.21.若点P 为圆22:(1)(3)4C x y ++-=上的一个动点,则点P 到直线:34100l x y --=距离的最大值为________.【来源】湖南省张家界市2021-2022学年高二上学期期末联考数学试题 【答案】7【解析】圆22:(1)(3)4C x y ++-=的圆心(1,3)C -,半径2r =,点C 到直线:34100l x y --=的距离5d ==,所以圆C 上点P 到直线l 距离的最大值为527d r +=+=. 故答案为:722.已知圆C 经过(2,4)P -,(3,1)Q -两点,且在x 轴上截得的弦长等于6,且圆C 不过原点,则圆C 的方程为___________. 【来源】2.4圆的方程B 卷 【答案】22(1)(2)13x y -+-=【解析】依题意,直线PQ 的斜率为4(1)123k --==---,线段PQ 中点为13(,)22,则线段PQ 中垂线方程为1y x =+,显然,点C 在直线1y x =+上,设(,1)+C a a ,圆C 半径r 有:222||2213r PC a a ==-+, 点C 到x 轴距离|1|d a =+,因圆C 在x 轴上截得的弦长等于6,则有2223r d =+, 因此有222213|1|9a a a -+=++,整理得2430a a -+=,解得1a =或3a =,当1a =时,圆心(1,2)C ,半径r =,圆C :22(1)(2)13x y -+-=,显然此圆不过原点, 当3a =时,圆心(3,4)C ,半径=5r ,圆C :22(3)(4)25x y -+-=,显然此圆过原点, 所以圆C 的方程为:22(1)(2)13x y -+-=. 故答案为:22(1)(2)13x y -+-=23.已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一动点,且满足,2PA AB ==,则动点P 运动轨迹的周长为__________.【来源】湖南省名校联盟2021-2022学年高二上学期期末教学质量检测数学试题【答案】)1π【解析】由2,2PA PB AB ==可知,正方体表面上到点A 距离最远的点为1C ,所以P 点只可能在面11ABB A ,面ABCD ,面11BB C C 上运动, 当P 在面ABCD 上运动时,如图示,建立平面直角坐标系, 则(0,0),(2,0)A B ,设(,)P x y ,由PA =得:22222[(2)]x y x y +=-+,即22(4)8x y -+=,即P 点在平面ABCD 内的轨迹是以E (4,0)为圆心,以为半径的一段圆弧,因为2EA BE == ,故4BEC π∠=,所以P 点在面ABCD 内的轨迹的长即为4π⨯=同理,P 点在面11ABB A 内情况亦为22242ππ⨯=;P 点在面11BB C C 上时,因为PA ,2PBA π∠=,所以,24PAB PB π∠==,所以此时P 点轨迹为以B 为圆心,2为半径的圆弧, 其长为1224ππ⨯⨯= ,综上述,P 点运动轨迹的周长为21)2ππ⨯+= ,故答案为:)1π.。

高中数学圆的方程专题讲解

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圆的方程考纲解读 1.利用圆的几何要素,求圆的标准方程和一般方程;2.利用代数法、几何法处理圆的问题.[基础梳理]1.圆的定义、方程2.点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:(1)点M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.(2)点M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2.(3)点M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2.[三基自测]1.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是()A.(2,3)B.(-2,3)C.(-2,-3) D.(2,-3)答案:D2.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4答案:C3.(必修2·习题4.1A组改编)△AOB中,A(4,0),B(0,3),O(0,0),则△AOB外接圆的方程为________.答案:x2+y2-4x-3y=04.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2≤1y ≤x 表示的区域面积为________.答案:π2考点一 求圆的方程|方法突破[例1] (1)(2018·南昌检测)圆心在y 轴上,且过点(3,1)的圆与x 轴相切,则该圆的方程是( )A .x 2+y 2+10y =0B .x 2+y 2-10y =0C .x 2+y 2+10x =0D .x 2+y 2-10x =0(2)圆心在直线x -2y -3=0上,且过点A (2,-3),B (-2,-5)的圆的方程为________.(此题可用多种方法求解)[解析] (1)根据题意,设圆心坐标为(0,r ),半径为r ,则32+(r -1)2=r 2,解得r =5,可得圆的方程为x 2+y 2-10y =0,故选B.(2)法一:设所求圆的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2-a )2+(-3-b )2=r 2,(-2-a )2+(-5-b )2=r 2,a -2b -3=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =-2,r 2=10,故所求圆的方程为(x +1)2+(y +2)2=10.法二:设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,则圆心坐标为(-D 2,-E 2).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫-D 2-2×⎝⎛⎭⎫-E 2-3=0,4+9+2D -3E +F =0,4+25-2D -5E +F =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧D =2,E =4,F =-5.故所求圆的方程为x 2+y 2+2x +4y -5=0.[答案] (1)B (2)(x +1)2+(y +2)2=10 [方法提升] 求圆的方程的方法[母题变式]1.本例(2)变为已知圆的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,且与直线3x +4y +4=0相切,则圆的方程是( )A .x 2+y 2-4x =0B .x 2+y 2+4x =0C .x 2+y 2-2x -3=0D .x 2+y 2+2x -3=0解析:设圆心为C (m,0)(m >0),因为所求圆与直线3x +4y +4=0相切,所以|3m +4×0+4|32+42=2,整理,得|3m +4|=10,解得m =2或m =-143(舍去),故所求圆的方程为(x -2)2+y 2=4,即x 2+y 2-4x =0,故选A.答案:A2.本例(1)变为经过点A (5,2),B (3,-2),且圆心在直线2x -y -3=0上,求圆的方程. 解析:法一:由题意知k AB =2,AB 的中点为(4,0),设圆心为C (a ,b ), ∵圆过A (5,2),B (3,-2)两点, ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上,则⎩⎪⎨⎪⎧b a -4=-12,2a -b -3=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =1,∴C (2,1),∴r =|CA |=(5-2)2+(2-1)2=10. ∴所求圆的方程为(x -2)2+(y -1)2=10. 法二:设圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2, 则⎩⎪⎨⎪⎧2a -b -3=0,(5-a )2+(2-b )2=r 2,(3-a )2+(-2-b )2=r 2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =1,r =10,故所求圆的方程为(x -2)2+(y -1)2=10.考点二 与圆有关的最值问题|方法突破[例2] (1)设m ,n ∈R ,若直线(m +1)x +(n +1)y -2=0与圆(x -1)2+(y -1)2=1相切,则m +n 的取值范围是( )A .[1-3,1+ 3 ]B .(-∞,1- 3 ]∪[1+3,+∞)C .[2-22,2+2 2 ]D .(-∞,2-2 2 ]∪[2+22,+∞) (2)已知实数x 、y 满足x 2+y 2-4x +1=0. ①求yx 的最大值与最小值;②求y -x 的最大值、最小值; ③求x 2+y 2的最大值、最小值.[解析] (1)∵直线(m +1)x +(n +1)y -2=0与圆(x -1)2+(y -1)2=1相切, ∴圆心(1,1)到直线的距离为 d =|(m +1)+(n +1)-2|(m +1)2+(n +1)2=1,∴mn =m +n +1≤⎝⎛⎭⎫m +n 22.设t =m +n ,则14t 2≥t +1,解得t ∈(-∞,2-22]∪[2+22,+∞).选D. (2)①原方程可化为(x -2)2+y 2=3, 表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, 所以设yx=k ,即y =kx .如图所示,当直线y =kx 与圆相切时,斜率k 取最大值或最小值,此时|2k -0|k 2+1=3,解得k =± 3. 所以yx的最大值为3,最小值为- 3.②y -x 可看作是直线y =x +b 在y 轴上的截距,如图所示,当直线y =x +b 与圆相切时,纵截距b 取得最大值或最小值,此时|2-0+b |2=3,解得b =-2± 6.所以y -x 的最大值为-2+6,最小值为-2- 6.③如图所示,x 2+y 2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为 (2-0)2+(0-0)2=2,所以x 2+y 2的最大值是(2+3)2=7+43,x 2+y 2的最小值是(2-3)2=7-4 3. [答案] (1)D [方法提升]1.与圆有关的最值问题的几何转化法(1)形如μ=y -bx -a 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t =ax +by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如(x -a )2+(y -b )2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.2.与圆有关的参数范围问题常见思路(1)直接利用条件,画出几何图形,结合图形用几何法求参数的范围. (2)根据位置关系列不等式组,用代数法求参数范围. (3)构造关于参数的函数关系,借助函数思想求参数的范围.[跟踪训练]1.(2018·洛阳模拟)在平面直角坐标系内,若曲线C :x 2+y 2+2ax -4ay +5a 2-4=0上所有的点均在第四象限内,则实数a 的取值范围为( )A .(-∞,-2)B .(-∞,-1)C .(1,+∞)D .(2,+∞)解析:圆C 的标准方程为(x +a )2+(y -2a )2=4,所以圆心为(-a,2a ),半径r =2,由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0|-a |>2|2a |>2⇒a <-2,故选A.答案:A2.(2018·聊城模拟)已知M (m ,n )为圆C :x 2+y 2-4x -14y +45=0上任意一点, (1)求m +2n 的最大值; (2)求n -3m +2的最大值和最小值. 解析:①因为x 2+y 2-4x -14y +45=0的圆心C (2,7),半径r =22, 设m +2n =t ,将m +2n =t 看成直线方程, 因为该直线与圆有公共点, 所以圆心到直线的距离d =|1×2+2×7-t |12+22≤22,解上式得:16-210≤t ≤16+210, 所以,所求的最大值为16+210.②记点Q (-2,3).因为n -3m +2表示直线MQ 的斜率,设直线MQ 的方程为y -3=k (x +2), 即kx -y +2k +3=0,则n -3m +2=k .由直线MQ 与圆C 有公共点, 所以|2k -7+2k +3|1+k 2≤2 2.可得2-3≤k ≤2+3,所以n -3m +2的最大值为2+3,最小值为2- 3.考点三 与圆有关的轨迹问题|模型突破[例3] (1)过原点O 作圆x 2+y 2-8x =0的弦OA ,则弦OA 中点M 的轨迹方程为________. (2)设定点M (-3,4),动点N 在圆x 2+y 2=4上运动,以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP (O 为坐标原点),求点P 的轨迹.[解析] (1)法一:(几何法)如图,∵M 为OA 的中点,∴∠OMC =∠OAD =90°.∴动点M 在以OC 为直径的圆上,圆心坐标为(2,0),半径为2. ∴所求点的轨迹方程为x 2+y 2-4x =0.法二:(代入法)设中点M (x ,y ),A (x 0,y 0),则由中点坐标公式得x 0=2x ,y 0=2y ,将点A (x 0,y 0)代入圆的方程,并化简,得x 2+y 2-4x =0.(2)如图所示,设P (x ,y ),N (x 0,y 0),则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2,y 2,线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0-32,y 0+4 2.由于平行四边形的对角线互相平分,故x 2=x 0-32,y 2=y 0+42. 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0=x +3,y 0=y -4.N (x +3,y -4)在圆上,故(x +3)2+(y -4)2=4. 因此所求点P 的轨迹为圆:(x +3)2+(y -4)2=4,但应除去两点⎝⎛⎭⎫-95,12 5和⎝⎛⎭⎫-215,28 5(此两点坐标由⎩⎪⎨⎪⎧y =-43x ,(x +3)2+(y -4)2=4解得,是点P 在直线OM 上时的情况).[答案] (1)x 2+y 2-4x =0 [模型解法]有关圆的求轨迹问题的关键点 (1)设出动点的坐标(x ,y ).(2)根据动点满足的条件,结合圆的定义,几何性质,点、直线与圆的位置关系,利用几何法、定义法、代入法、建立动点满足的等式关系(方程).(3)化简方程、得出轨迹.[高考类题](2013·高考新课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 在x 轴上截得线段长为22,在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程; (2)若P 点到直线y =x 的距离为22,求圆P 的方程. 解析:(1)设P (x ,y ),圆P 的半径为r .由题设得y 2+2=r 2,x 2+3=r 2. 从而y 2+2=x 2+3.故P 点的轨迹方程为y 2-x 2=1. (2)设P (x 0,y 0),由已知得 |x 0-y 0|2=22. 又P 在双曲线y 2-x 2=1上,从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0-y 0|=1,y 20-x 20=1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0-y 0=1,y 20-x 20=1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=0,y 0=-1.此时,圆P 的半径r = 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0-y 0=-1,y 20-x 20=1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=0,y 0=1.此时,圆P 的半径r = 3. 故圆P 的方程为x 2+(y -1)2=3或x 2+(y +1)2=3.1.[考点二](2014·高考北京卷)已知圆C :(x -3)2+(y -4)2=1和两点A (-m,0),B (m,0)(m >0).若圆C 上存在点P ,使得∠APB =90°,则m 的最大值为( )A .7B .6C .5D .4解析:若∠APB =90°,则点P 的轨迹是以AB 为直径的圆,其方程为x 2+y 2=m 2.由题意知圆C :(x -3)2+(y -4)2=1与圆O :x 2+y 2=m 2有公共点,所以|m -1|≤|OC |≤m +1,易知|OC |=5,所以4≤m ≤6,故m 的最大值为6.选B.答案:B2.[考点一](2016·高考全国卷Ⅰ)设直线y =x +2a 与圆C :x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若|AB |=23,则圆C 的面积为________.解析:圆C 的方程可化为x 2+(y -a )2=a 2+2,可得圆心的坐标为C (0,a ),半径r =a 2+2,所以圆心到直线x -y +2a =0的距离为|-a +2a |2=|a |2,所以(|a |2)2+(3)2=(a 2+2)2,解得a 2=2,所以圆C 的半径为2,所以圆C 的面积为4π.答案:4π3.[考点一、三](2017·高考全国卷Ⅲ)已知抛物线C :y 2=2x ,过点(2,0)的直线l 交C 于A ,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆.(1)证明:坐标原点O 在圆M 上;(2)设圆M 过点P (4,-2),求直线l 与圆M 的方程. 解析:(1)证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),l :x =my +2,由⎩⎪⎨⎪⎧x =my +2,y 2=2x 可得y 2-2my -4=0,则y 1y 2=-4. 又x 1=y 212,x 2=y 222,故x 1x 2=(y 1y 2)24=4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2=-44=-1,所以OA ⊥OB ,故坐标原点O 在圆M 上.(2)由(1)可得y 1+y 2=2m ,x 1+x 2=m (y 1+y 2)+4=2m 2+4, 故圆心M 的坐标为(m 2+2,m ),圆M 的半径 r =(m 2+2)2+m 2.由于圆M 过点P (4,-2),因此AP →·BP →=0, 故(x 1-4)(x 2-4)+(y 1+2)(y 2+2)=0, 即x 1x 2-4(x 1+x 2)+y 1y 2+2(y 1+y 2)+20=0. 由(1)可知y 1y 2=-4,x 1x 2=4,所以2m 2-m -1=0,解得m =1或m =-12.当m =1时,直线l 的方程为x -y -2=0,圆心M 的坐标为(3,1),圆M 的半径为10,圆M 的方程为(x -3)2+(y -1)2=10.当m =-12时,直线l 的方程为2x +y -4=0,圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94,-12, 圆M 的半径为854,圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x -942+⎝⎛⎭⎫y +122=8516. 4.[考点三](2015·高考广东卷节选)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x +5=0相交于不同的两点A ,B .(1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程.解析:(1)由已知得,圆C 1的标准方程为(x -3)2+y 2=4,所以圆C 1的圆心坐标为(3,0). (2)由题意可知,直线l 的斜率必存在,设直线l 的方程为y =tx ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1≠x 2),线段AB 的中点M (x 0,y 0)⎝⎛⎭⎫其中x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y 22, 将y =tx 代入圆C 1的方程,整理得(1+t 2)x 2-6x +5=0. 则有x 1+x 2=61+t 2,所以x 0=31+t 2,代入直线l 的方程,得y 0=3t1+t 2. 因为x 20+y 20=9(1+t 2)2+9t 2(1+t 2)2=9(1+t 2)(1+t 2)2=91+t 2=3x 0,所以⎝⎛⎭⎫x 0-322+y 20=94.又因为方程(1+t 2)x 2-6x +5=0有两个不相等的实根, 所以Δ=36-20(1+t 2)>0,解得t 2<45,所以53<x 0≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为⎝⎛⎭⎫x -3 2 2+y 2=94⎝⎛⎭⎫53<x ≤3 .。

高中数学圆的方程知识点及习题(含答案)

高中数学圆的方程知识点及习题(含答案)

圆的方程【考纲要求】1.掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程,2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径,解决一些简单的实际问题,并会推导圆的标准方程.3.掌握圆的一般方程的特点,能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径;4.能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程. 【知识网络】【考点梳理】考点一:圆的标准方程222()()x a y b r -+-=,其中()a b ,为圆心,r 为半径.要点诠释:(1)如果圆心在坐标原点,这时00a b ==,,圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化:如:圆心在x 轴上:b=0;圆与y 轴相切时:||a r =;圆与x 轴相切时:||b r =;与坐标轴相切时:||||a b r ==;过原点:222a b r +=.(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ,,半径为r ,它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知,确定一个圆的方程,只需要a 、b 、r 这三个独立参数,因此,求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.考点二:圆的一般方程当2240D E F +->时,方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心,为半径. 要点诠释:由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时,方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E --. 圆的方程圆的一般方程简单应用圆的标准方程点与圆的关系(2)当2240D E F +-<时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.(3)当2240D E F +->时,可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 考点三:点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=,圆心为()C a b ,,半径为r ,则有(1)若点()00M x y ,在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00M x y ,在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00M x y ,在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<圆的标准方程与一般方程的转化:标准方程垐垐?噲垐?展开配方一般方程. 【典型例题】类型一:圆的标准方程例1. 已知圆与y 轴相切,圆心在直线x-3y=0,且这个圆经过点A(6,1),求该圆的方程.【思路点拨】已知圆与y 轴相切,圆心在直线x-3y=0,因此可设圆的标准方程,利用待定系数法解决问题.解析:设圆心为||3a a r a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,,()2226133111a a a a a ⎛⎫∴-+-= ⎪⎝⎭∴==或 ∴圆心为(3,1)(111,37)∴圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x-111)2+(y-37)2=1112. 总结升华:圆心或半径的几何意义明显,则可设标准方程. 举一反三:【变式1】若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x 轴都相切,则该圆的标准方程是( )A. 22(2)(1)1x y -+-= B.22(2)(1)1x y -++=C. 22(2)(1)1x y ++-= D. 22(3)(1)1x y -+-=解析:依题意,设圆心坐标为(,1)a ,其中0a >,则有|43|15a -=,由此解得2a =,因此所求圆的方程是22(2)(1)1x y -+-=,选A.类型二:圆的一般方程例2.求过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2)的圆的方程,并求出圆的圆心与半径,作出图形. 【思路点拨】因为圆过三个定点,故可以设圆的一般方程来求圆的方程. 解:设所求的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=++-+=++++=++++.029481,010710049,0121441F E D F E D F E D解得D=-2,E=-4,F=-95.于是所求圆的方程为x 2+y 2-2x-4y-95=0. 将上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100.于是,圆的圆心D 的坐标为(1,2),半径为10,图形如图所示.总结升华:求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法来求解.利用圆经过不在同一直线上的三点的条件,由待定系数法求出圆的一般式方程,并由此讨论圆的几何性质,这是解题的捷径.对于由一般式给出的圆的方程,研究其几何性质(圆心与半径等)时,常可用配方法或公式法加以求解.如由公式可得2221(2)(4)(4)4(95)102r=-+-+---=.举一反三:【变式1】圆与y轴相切,圆心P在直线30x y-=上,且直线y x=截圆所得弦长为27,求此圆的方程。

高中数学-圆与方程试题含答案

高中数学-圆与方程试题含答案

高中数学-圆与方程试题含答案1.圆(x+2)^2+y=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A。

(x-2)^2+y=5B。

x+(y-2)^2=5C。

(x+2)^2+(y+2)^2=5D。

x+(y+2)^2=52.若P(2,-1)为圆(x-1)^2+y=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是()A。

x-y-3=0B。

2x+y-3=0C。

x+y-1=0D。

2x-y-5=03.圆x+y-2x-2y+1=1的点到直线x-y=2的距离最大值是()A。

2B。

1+√2C。

1+2√2D。

1+24.将直线2x-y+λ=0,沿x轴向左平移1个单位,所得直线与圆x^2+y^2+2x-4y=0相切,则实数λ的值为()A。

-3或7B。

-2或8C。

0或10D。

1或115.在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有()A。

1条B。

2条C。

3条D。

4条6.圆x+y-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为()A。

x+3y-2=0B。

x+3y-4=0C。

x-3y+4=0D。

x-3y+2=0二、填空题1.若经过点P(-1,0)的直线与圆x^2+y^2+4x-2y+3=0相切,则此直线在y轴上的截距是 _________.2.由动点P向圆x^2+y^2=1引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,∠APB=60,则动点P的轨迹方程为 _________.3.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为 _________.4.已知圆(x-3)^2+y^2=4和过原点的直线y=kx的交点为P,Q,则OP·OQ的值为 _________.5.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x^2+y^2-2x-2y+1=0的切线,A,B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是 _________.三、解答题1.点P(a,b)在直线x+y+1=0上,求a^2+b^2-2a-2b+2的最小值。

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高一数学辅导资料 内容:圆与方程
本章考试要求
一、圆的方程 【知识要点】
1.圆心为),(b a C ,半径为r 的圆的标准方程为:)0()()(222>=-+-r r b y a x
0==b a 时,圆心在原点的圆的方程为:222r y x =+.
2.圆的一般方程02
2
=++++F Ey Dx y x ,圆心为点,2
2D E ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭,半径2
r =

其中0422
>-+F E D
.
3.圆系方程:过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=
交点的圆系方程是()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(不含圆2C ), 当1λ=-时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程.
【互动探究】
考点一 求圆的方程
问题1. 求满足下列各条件圆的方程:
()1以两点(3,1)A --,(5,5)B 为直径端点的圆的方程是
()2求经过)2,5(A ,)2,3(-B 两点,圆心在直线32=-y x 上的圆的方程;
()3过点()4,1A 的圆C 与直线10x y --=相切于点()2,1B ,则圆C 的方程是?
考点二 圆的标准方程与一般方程
问题2.方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆,则a 的取值范围是
考点三 轨迹问题
问题3.点()4,2P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是
问题4.设两点()3,0A -,()3,0B ,动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为2,求P 点的轨迹.
二、直线和圆、圆与圆的位置关系
【知识要点】
1.直线与圆的位置关系
将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式 为△,圆的半径为r ,圆心C 到直线l 的距离为d
则直线与
圆的位置关系满足以下关系:
2.直线截圆所得弦长的计算方法:
利用垂径定理和勾股定理:AB =r 为圆的半径,d 直线到圆心的距离).
0:111221=++++F y E x D y x C 0:222222=++++F y E x D y x C 则两圆的公共弦所在的直线方程是
4.相切问题的解法:
①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解
②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为1-(或一条直线存在斜率,另一条不存在) ③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个,即0=∆来求解.
特殊地,已知切点),(00y x P ,圆222r y x =+的切线方程为 . 圆222)()(r b y a x =-+-的切线方程为
【互动探究】
考点一 直线与圆的位置关系
问题1:()1已知圆22:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则
.A l 与C 相交 .B l 与C 相切 .C l 与C 相离 .D 以上三个选项均有可能
()2直线l :1mx y m -+-与圆C :()
2
211x y +-=的位置关系是
.A 相离 .B 相切 .C 相交 .D 无法确定,与m 的取值有关.
()3过点()1,3P 引圆2244100x y x y +---=的弦,则所作的弦中最短的弦长为
3 / 4
.A 22
.B 4 .C 8 .D 42
()4求圆心为()1,2且与直线51270x y --=相切的圆 .
考点二 直线与圆相切的有关问题
问题2.()1 圆0422=-+x y x 在点)3,
1(P 处的切线方程为
()2过点()2,3P 的圆224x y +=的切线方程是
()3过直线2
20x y +-=上点P 作圆221x y +=的两条切线,若两条切线的夹角是60︒,
则点P 的坐标是
考点三 直线与圆相交时的弦长问题
问题3.已知圆C 方程为:422=+y x .直线l 过点()1,2P ,且与圆C 交于A 、B 两点,若23AB =,
求直线l 的方程.
问题4.已知直线l :2830mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=;
()1m R ∈时,证明l 与C 总相交; ()2m 取何值时,l 被C 截得弦长最短,求此弦长.
考点四 圆与圆的位置关系
问题5.()1)圆4)2(22=++y x 与圆9)1()2(22=-+-y x 的位置关系为 .A 内切 .B 相交 .C 外切 .D 相离
()2(2013重庆)已知圆()()
22
1:231C x y -+-=,
圆()()22
2:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为
.A 524 .B 171 .C 622-.
D 17
问题6.已知圆1C ⊙:222280x y x y +++-=与2C ⊙:22210240x y x y +-+-= 相交于,A B 两点,
()1求公共弦AB 所在的直线方程; ()2求圆心在直线y x =-上,且经过,A B 两点的圆的方程;
【巩固训练】
1.圆2246110x y x y +-++=的圆心和半径分别是
2.已知圆222440x y x y ++-+=关于直线2y x b =+成轴对称,则b =
3.圆5)2(22=++y x 关于原点()0,0对称的圆的方程为
4.圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是
5. 两个圆1C :222220x y x y +++-=与2C 224210x y x y +--+=的公切线有且仅有
6.圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是
7.若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是
8.由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线,则切线长的最小值为 9.直线y x =被圆()2
224x y +-=截得的弦长为
10.圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=的点共有 个
11.由点()0,1P 引圆224x y +=的割线l ,交圆于,A B 两点,使AOB △的面积为2
7
(O 为原点),求直线l 的方程.
12.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点
P (2,2),圆C :x 2+y 2-8y =0,过点P 的动直线l 与圆C
交于A ,B 两点,线段的中点为M ,O 为坐标原点.
(1)求M 的轨迹方程;
(2)当=时,求l 的方程及△的面积.。

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