刘泉《信号与系统》 第三章85068036剖析

• 泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电 学中去。
• 伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三 角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的 应用。
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• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波 器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。
号 f (t)，或者说，信号f (t) 用完备的正交函数集来
展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变 换域的区别就在于选取不同的正交完备集。
采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章付里叶变 换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。 从而便于研究信号的传输和处理问题。
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傅里叶分析发展史
其中
n ~
1 T1
t0 T1 f (t)
t0
jn1tdt
直流分量：F0 c0 a0
e 当n 0时，Fn Fn
jn 1 2
an jbn
Fn
Fn
e jn
1 2
(an
jbn )
其中 Fn
1 2
a2 n
b2 n
1 2 cn
n n (三角函数形式）
example
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3.1周期信号的傅 里叶级数
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三角函数形式的傅里叶级数
1、一种三角函数形式的傅里叶级数
设f(t)为任意周期信号（周期
T1 , 角频率 1
2
T1
）
则其可展开为三角函数形式的傅里叶级数
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
n 1, 2,...
为了积分方便，通常取积分区间为：0
~
T1或
T1 2
~
T1 2
三角函数集是一组完备函数集。
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2、另一种三角函数形式的傅里叶级数
f(t)展开为常用形式
f (t) c0 cn cos(n1t n ) 或 n1
f (t) d0 dn sin(n1t n ) n1
c0 d0 a0
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其中
cn
dn
a2 b2
n
n
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n
arctg
bn ,
anWHUT
n
arctg
an bn
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3、傅里叶级数展开的充分条件
傅里叶级数存在的充分条件： 周期信号f(t)须满足“狄利克雷”(Dirichlet)条件，即
一周期内仅有限个间断点； 一周期内仅有限个极值；
一周期内绝对可积，tt00 T1 f (t) dt
• 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。
• 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。
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• 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数），它 对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径和手 段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一 的变换域方法。
通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此， 以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。
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4、基波、谐波
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通常把频率为： f1 T1 w1
频率为：2
f1
2T1
2
2
w1
2
频率为： 3 f1 3T1 3 w1
称为基波。 称为二次谐波。 称为三次谐波。
可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的 幅度、相位取决于周期信号的波形。
第三章 连续时间信号与系统的频域分析
本章要点
F 周期信号傅里叶级数 F 周期信号频谱 F 非周期信号的傅里叶变换 F 常用信号的傅里叶变换 F 傅立叶变换的性质 F 连续时间系统的频域分析 F 系统无失真传输的条件 F 理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应 F 调制与解调 F 抽样与抽样定理
引言
变换域分析——就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信
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二、指数形式的傅里叶级数
1、指数形式的傅里叶级数的形式
设f(t)为任意周期信号（周期
T1 , 角频率 1
2
T1
）
则其可展开为指数形式的傅里叶级数
e f (t)
F (n1) jn1t
n
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2.指数形式的傅里叶级数中各个量之间的关系
e 复函数：F(n1) 记 Fn
其中基波——角频率为1的分量; n次谐波——角频率为n1的分量
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直流分量：a0
1 T1
t0 T1 f (t)dt 1
t0
T1
T1 f (t)dt
0
其中余弦分量幅度：an
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) cos(n1t)dt
正弦分量幅度：bn
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) sin(n1t)dt
• 从本章开始由时域分析转入频域分析。
• 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产 生的。
• 傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。
• 1822年法国数学家傅里叶（J.Fourier,1768-1830）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了 将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理 论基础。
• 但傅里叶分析始终有着极其广泛的应用，它是研究其他变换方 法的基础。而且出现了”快速傅里叶变换（FFT）”它给傅里 叶分析这一数学工具增添了新的生命力。
• 傅里叶分析方法不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中， 而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关 数学、物理和工程技术领域中得到广泛的应用。
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5、幅度谱、相位谱
单边频谱图：cn ~ n1 信号的幅度谱
cn
c0
c1 c2
c3
n ~ n1 信号的相位谱
其中各频率分量幅度称为“谱线”； 连各谱线顶点的曲线称为
0 w1 3w1
nw1
w
? 包络线”。
n
周期信号的主要特点：
具有离散性、谐波性、收敛性
0
w1 3w1
nw1
w
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• 本章讨论的路线： • 傅里叶级数正交函数——傅里叶变换，建立信号
频谱的概念； • 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，
掌握傅里叶分析方法的应用。 • 对于周期信号而言，进行频谱分析可用傅里叶级
数或傅里叶变换；傅里叶级数相当于傅里叶变换 的一种特殊表达形式。 • 最后对研究周期信号与抽样信号的傅里叶变换， 并介绍抽样定理，抽样定理奠定了数字通信的理 论基础。