刘泉《信号与系统》 第三章85068036剖析
信号系统(第3版)习题解答
文档《信号与系统》（第3版）习题解析高等教育出版社目录第1章习题解析 (2)第2章习题解析 (6)第3章习题解析 (16)第4章习题解析 (23)第5章习题解析 (31)第6章习题解析 (41)第7章习题解析 (49)第8章习题解析 (55)第1章习题解析1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c) (d)题1-1图解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。
1-2 给定题1-2图示信号f ( t )，试画出下列信号的波形。
[提示：f ( 2t )表示将f ( t )波形压缩，f (2t)表示将f ( t )波形展宽。
](a) 2 f ( t - 2 ) (b) f ( 2t )(c) f ( 2t)(d) f ( -t +1 )题1-2图解 以上各函数的波形如图p1-2所示。
图p1-21-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。
题1-3图解 各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(t i R t u R R ⋅= tt i Lt u L L d )(d )(= ⎰∞-=tC C i Ct u ττd )(1)(1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。
S RS LS C题1-4图解 系统为反馈联接形式。
设加法器的输出为x ( t )，由于)()()()(t y a t f t x -+=且)()(,d )()(t y t x t t x t y '==⎰故有)()()(t ay t f t y -='即)()()(t f t ay t y =+'1-5 已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设T 为系统的运算子，则可以表示为)()]([)(t f t f T t y ==不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) + f 2( t )，则)()()]([111t y t f t f T == )()()]([222t y t f t f T ==故有)()()()]([21t y t f t f t f T =+=显然)()()()(2121t f t f t f t f +≠+即不满足可加性，故为非线性时不变系统。
《信号与系统》课件第三章
FS系数ak
1.4
a0 = 1
1
1 a1 = 1 j 2 1 a 1 = 1 + j 2
1 j a2 = e 4 2 a 2 = 1 2
π
π j e 4
a k = 0, k > 2
1
1
5 2
0.5
1 arctg 2
π 4
由于x(t)为实信号,可以看出
a k = a k 说明
ak 偶对称
∠a k 奇对称
一. 非周期信号傅里叶变换(FT)表示的导出
~ (t ) , x (t) x p
1
FT––Fourier Transform p––periodic signal
…
~ (t ) x
T →∞
-T -T/2 -T1 0 T1 T/2 T
…t
x(t)
FS展开对
~ (t ) = x
lim
k = ∞
∑a e
k
0.025
-0.1 -20 0.125 0.075
-16
-12
-8
-4
0
4
8
12
16
20
0.0125
-0.05 -40
并非所有周期信号都能用傅里叶级数表示. 满足狄里赫利条件(充分条件): (1)绝对可积 (2)任意有限区间内, 信号的最大值和最小值数目有限 (3)任意有限区间内,有限个不连续点
-32 -24 -16 -8 0 8 16 24 32 40
x(t )e
jnω0t
k = ∞
∑a e
k T
0
∞
j ( k n ) ω0 t
∫
T
x(t )e
信号与系统 第三章(第5-7讲)
第三章连续信号的正交分解§3-1 引言线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应求解系统对复杂信号的响应。
在上一章所述的时域中，近代时域法将信号分解为冲激信号的积分，根据系统的冲激响应通过卷积计算出系统对信号的响应。
然而，很多信号的特性与频率有着很重要的关系，因此研究信号在频域中的特性可以得到许多极具实用价值的结论，它在工程中也具有很重要的意义。
故此，从本章开始，我们就是研究这方面的问题。
在本章中，我们研究任何将信号分解成与频率有关的函数的叠加。
即在频域中，将信号分解为一系列与频率有关的正弦函数的和（或积分）。
然后，再研究如何通过系统对正弦信号的响应求解系统对原信号的响应。
类似上章所述，通过信号分解的方法求解响应要研究下面几个问题：1）如何将任意信号分解为一系列正弦信号之和（或积分）。
2） 求解系统对各个正弦子信号的响应(这个内容在电路分析课程中已经有详细介绍)。
3） 将各子信号的响应相叠加，从而合成系统对激励信号的响应。
本章将要研究的就是如何对信号进行分解和合成。
§3-2 信号在正交函数集中的分解信号的分解，在某种意义上与矢量的分解有相似之处。
为了形象地说明信号的分解，首先我们讨论矢量的分解。
一、矢量的分解1、矢量的定义：具有大小和方向的量叫做矢量。
2、矢量运算：加，矢量点乘（结果是标量），矢量叉乘。
3、矢量的分解：1） 矢量的单矢量基的分解：A 在1A 上的分量为A 在1A 上的投影：E +=11A A c其中，E 为误差矢量。
而A 在1A 上的垂直投影11c A 的模11A c ：11111A A Acos θA Acos θA AA ∙===1c ，从几何或者解析角度，都可以得到使误差E 最小的系数为：1112111A A A AA A A ∙∙=∙=c其中的1c 称为矢量A 和1A 的相似系数。
其它投影情况下误差E 不为最小，见上图。
刘泉《信号与系统》 第三章85068036剖析
an 2
例如：周期三角波信号
n 0
f (t)
其傅里叶级数三角展开式中
仅含直流项和余弦项，
E
其傅里叶级数指数展开式中
F (n1)为实函数。
T1 0
T1
2
2
t 其傅里叶级数表达式为：
10:41
是一偶函数
f
(t)
E 2
4E
2
coWsH(UwT1t )
1 9
cos(3w1t)
1 25
cos(5w1t)
2
F
f (t) f (t T )，半周镜像（奇谐函数） 无偶次谐波，只有奇次谐波分量
2
F
10:41
WHUT
23
四、傅里叶有限级数与最小方均误差
实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。
显然，有限项数是一种近似的方法，所选项数愈多，有 限项级数愈逼近原函数，其方均误差愈小。
有限项傅里叶级数：
n 1, 2,...
为了积分方便，通常取积分区间为：0
~
T1或
T1 2
~
T1 2
三角函数集是一组完备函数集。
10:41
WHUT
9
2、另一种三角函数形式的傅里叶级数
f(t)展开为常用形式
f (t) c0 cn cos(n1t n ) 或 n1
f (t) d0 dn sin(n1t n ) n1
• 泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电 学中去。
• 伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三 角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的 应用。
10:41
WHUT
3
信号系统课件第3章
0
T 2
T
0
T 2
T
(a) 直流+基波
(b) 直流+基波“+”三次谐波
0
T 2
T
0
T 2
T
(c) 直流+基波“+”三次谐波“+”
五次谐波
(d) 直流+基波“+”三次谐
波“+”五次谐波“+”七次 谐波
由图可见，当它包含的谐波分量越多时， 波形越接近于原来的方波信号，其均方误差越 小。还可看出，频率较低的谐波，其振幅较大，
n 1
An e j n e jnt
及 n n ，则上式可写为
将上式第三项中的n用-n代换，并考虑到 A n An
A0 1 f (t ) 2 2 A0 1 2 2
A e
n n 1 j n n
j n
e
jnt
1 A n e j n e jnt 2 n1
f (t )
c g (t )
i i i 1
cr
t2
t1
f (t ) g r (t ) dt
t2 t1
g r 2 (t )dt
1 kr
t2
t2
t1
f (t ) g r (t ) dt
其中 此时的均方误差为
kr
t1
g r 2 (t ) dt
1 2 t2 t1
3.1.2
周期信号的分解
2 T
设有周期信号f(t),它的周期是T,角频率 2 F
，它可分解为：
a0 f (t ) a1 cos t a2 cos 2t an cos nt (3.2-1) 2 b1 sin t b2 sin 2t bn sin nt
第三章信号与系统连续时间信号与系统的傅里叶分析
n = 2, 4, 6, n = 1, 3, 5,
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
所以有
an 0
0
bn
4
n
n = 2, 4, 6, n = 1, 3, 5,
f
(t)
4
[sin 0t
1 sin 3
3
0t
1 5
sin
5
0
t
1 n
sin n
0t
]
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
2 . 复指数形式的傅立叶级数
a
b
0
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
三角函数集:
{1, cos0t, cos 20t, , cos n0t, , sin 0t, sin 20t, , sin n0t, }
在区间 (t0 ,
t0
T)
内是一完备正交函数集。
T
2 0
正交性:（m 和 n 都是整数）
0
t0 T cos
t0
m0t
cos
信号与系统
§ 3.2 周期信号的 傅立叶级数展开
信号与系统
周期信号
周期信号: 定义在区间 (, ) ，每隔一定时间 T ，按 相同规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为
f (t)=f ( t+mT )
其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。
f t
1
0 T/2 T
t
1
信号与系统
f (t) a0 a1 cos0t a2 cos 20t b1 sin 0t b2 sin 20t
a0 an cos n0t bn sin n0t
信号与系统PPT 第三章 傅利叶变换
bn an
)
2
(n 1,3,5)
f
(t)
2E
n1,3,5
1 n
sin
n1t
2E
(sin
1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
51
)
或
2E
f (t)
n1,3,5
1 n
cos(n1t
2
)
Fn
1 2 (an
jbn
)
j
bn 2
jE
n
0
n 1,3,5 n 2,4,6
f (t) jE e j1t jE e j31t jE e j1t jE e j31t
5
51 31 1 1 31 51
0 1 31 51
n
n 1 31
0
51
51 31 1
2
1
31 51
2
2
3.1.4 波形的对称性与傅里叶级数的关系
已知信号f(t)展为傅里叶级数的时候，如果f(t)
是实函数而且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶 级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也 将变得比较简单。波形的对称性有两类，一类是对整 周期对称；另一类是对半周期对称。
那么这个正交函数集也就不完备。
1,cos1t,cos 21t,cos n1t,, sin1t,sin21t,sinn1t,
包含正、 余弦函数的三角函数集是最重要的完
备正交函数集。 它具有以下优点：
(1) 三角函数是基本函数； (2) 用三角函数表示信号， 建立了时间与频率两个基本物理量之
间的联系； (3) 单频三角函数是简谐信号,简谐信号容易产生、传输、 处理； (4) 三角函数信号通过线性时不变系统后， 仍为同频三角函数信
信号与系统第三章课件
(n 0)
1 1 Fn An an 2 bn 2 2 2 bn n n arctg a ( n 0) n F0 a0 A0 (n 0)
f (t )
Fn
n T 1 2
Fn e jn 0t
f (t )e jn0t dt
n 1,2,
2 bn f (t ) sin n 0 tdt n 1,2, 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS T T
ZB
2 0 为基波频率，n0为谐波频率，an和bn为傅里叶系数， T
[]dt表示从任意起始点 开始，取一个周期 为积分区间。 T
f (t )
...
0
T 4 T 2
...
T
t
4. 奇谐函数： f (t ) f (t T ) ，则 只含奇次谐波。
2
f (t )
...
T 2
T
...
0
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
T 2
t
ZB
3.1.2 指数型傅里叶级数
由欧拉公式
sin n0t 1 jn0t 1 e e jn0t , cosn0t e jn0t e jn0t 2j 2
3.3.1 周期信号的单边频谱和双边频谱
单边幅度频谱（ n ~ n0 ) A 单边频谱 单边相位频谱（ n ~ n0 ) 双边幅度频谱（Fn ~ n0 ) 双边频谱 双边相位频谱（ n ~ n0 )
jn0t
抽样函数
sin x Sa ( x ) x
1. 偶函数
信号与系统 第三章 信号分析
进一步定义均方误差（方均误差）
1 1 2 * (t ) (t ) (t )dt f 1 (t ) C12 f 2 (t ) dt t 2 t1 t1 t 2 t1 t1
2 t2 t2
与矢量的分解相似，要使均方误差最小应 取它的垂直投影，所以分量系数
t2
f1 (t ), f 2 (t ) C12 f 2 (t ), f 2 (t )
t1 t2
t2
f1 (t ) f 2* (t )dt
2
t1
f1 (t ) f 2* (t )dt
t2
f
t1
(t ) f (t )dt
* 2
t1
f 2 (t ) dt
2
这个结论也可仿照前面的做法，令均方误 差对分量系数的偏导数等于0来推出。显然也有 类似的结论当f1(t),f2(t)正交时C12=0，当f1(t)=f2(t) 时C12=1，C12也与两个函数的的相似程度有关。 但一般不直接将它作为相关系数，这是因为当 f1(t)=f2(t)+f3(t)并且f2(t)，f3(t)正交时
上的分量系数，对于函数集与矢量一样有类似 的结论： 1、n维函数空间中的任一函数可分解为n个分 量； 2、如果分量小于n个则产生误差，如要均方误 差最小则应取它的垂直投影； 3、函数的分解一般也采用正交函数集，即正 交分解。
现在我们来看两个函数的情况，假定f1(t),f2(t) 是定义在区间[t1,t2]上的两个函数，取f1(t)在f2(t) 上的分量C12 f2(t)近似f1(t)。那么也将产生误差 εΔ(t)。
A1 , A2 ,, An，如它们是线性无关
《信号与系统》第03章
ak [ ∫ e j ( k − n )ω0t dt ]
0
T
由此可得
1 T − jnω0t an = ∫ x(t )e dt T 0
(3.36)
该式给出了确定系数的关系式。 若
∫
T
表示在任何一个T区间上的积分，则可表示为
1 an = T
∫
T
x ( t ) e − jn ω 0 t d t
（3.37)
+ a− k e
− jkω0 t
]
再利用
ak * = a− k 的关系,可得
∞
x ( t ) = a 0 + ∑ [ a k e jk ω 0 t + a k ∗ e − jk ω 0 t ]
k =1
x = a − jb
(3.30)
注意到上式括号内的两项互为共轭,所以有
x ( t ) = a 0 + ∑ 2 ℜ e a k e jk ω 0 t
k = ±2
一次谐波分量； 这两项频率都是基波频率的两倍，因此合起来称为二次谐 波分量。
k 依此类推，
= ± N 的项就称为N次谐波分量。
将连续时间周期信号表示为成谐波关系的复指数信号的线性组合，这就是连续 时间傅里叶级数。由于这种形式的傅里叶级数是以复指数函数为基底的,所以也 称为指数形式的傅里叶级数。 *表示共轭a-j b 与a +j b
x (t ) =
k = −∞
∑
+∞
ake
jk ω 0 t
=
k = −∞
∑
+∞
ake
jk ( 2 π / T ) t
（3.25)
那么，x (t)也一定是以T为周期的。这表明完全可以用成谐波关系的复指数信号 的线性组合来表示连续时间周期性信号。 式中， k = 0 这一项是一个常数，因而称直流分量；
《信号与系统》第三章讲稿
第三章信号与系统的频域分析3.1 引言 一． 信号与系统的时域分析1． 信号的大小是时间的函数f ( t )2． 任何一个信号都可分解为位于不同时刻、具有不同冲激强度的冲激信号的时间连续的叠加，具体表达式：⎰∞--⋅=t d t f t f ττδτ)()()(3． 系统的数学模型：微分方程4． 系统分析：（1） 输入和输出信号都是时间函数。
（2） 求系统的响应就是将信号分解为冲激信号的叠加，并利用系统的时不变性和线性等性质来求得。
具体的数学工具——卷积积分。
二． 信号与系统的频域分析1． 信号可以表示为频率的函数F( ω ).2． 任何一个信号都可分解为不同频率、不同振幅、不同初相角的正弦信号的叠加。
具体的数学工具——傅里叶级数和傅里叶变换。
3． 系统的数学模型：频率响应——代数方程4． 系统分析：分析同一个系统对不同频率的正弦信号的叠加（加权）作用。
3.2 周期性信号的频域分析一． 傅里叶级数：任何一个周期为T 1的周期性函数f( t )，即：)()(1t f T t f =±如果满足“狄利克雷（Dirichlet ）条件”：（1） 在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；（2） 在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；（3） 在一个周期内，信号是绝对可积的，即∞<⎰+100)(T t t dt t f （等于有限值，T 1 为周期）就可分解为正弦信号的叠加： 次谐波倍频三次谐波三倍频二次谐波二倍频基波（一次谐波）基频次谐波正弦分量的振幅次谐波余弦分量的振幅直流分量n t Sinn t Cosn n n t Sin t Cos t Sin t Cos t Sin t Cos T n tdt Sinn t f T b n tdt Cosn t f T a dt t f T a t Sinn b t Cosn a a t f T t t n T t t n T t t n n n n ⎭⎬⎫⎭⎬⎫⎭⎬⎫⎭⎬⎫====++=⎰⎰⎰∑∑+++∞=∞=1111111111111111110111103332222)4()(2)3()(2)2()(12)1(2)(100100100ωωωωωωωωωωωπωωωωω二． 纯余弦形式的傅里叶级数次谐波的初相角或次谐波的初相角n b a tg b a d a d t n Sin d d t f n a b tg b a c a c t n Cos c c t f n nn nn n n n n nn n nn n n n n 12200110122001102)8()()()7()6(2)5()()(-∞=-∞==+==++=-=+==++=∑∑θθωϕϕω 三． 频谱的概念f ( t )为时间函数，而c 0、c n 、ϕn 为频率函数。
[信号与系统]每章小结
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《信号与系统》目录第一章引论 (2)第二、三章.连续时间信号、离散时间信号与系统时域分析 (2)一．普通信号 (2)二、冲激信号 (3)三.卷积 (3)四.电路元件的运算模型 (4)五.连续时间系统时域分析 (4)六.系统的特征方程 (4)七.系统的冲激响应和单位养殖响应 (5)八.基本离散信号 (5)九.离散信号的性质 (5)十.信号的分解 (6)第四章.连续时间信号与系统频域分析 (6)一.周期信号的频谱分析 (6)二.非周期信号的傅里叶变换（备注） (7)三.非周期信号的傅里叶变换 (7)四.无失真传输 (10)五.滤波 (10)六.抽样与抽样恢复 (10)第五章.离散时间信号与时域分析 (11)一.离散傅里叶级数（DFT） (11)二.离散时间傅里叶变换DTFT (12)第六章.连续时间信号与时域系统分析 (13)一.拉氏变换定义 (13)二.拉氏反变换 (14)三.拉氏变换的性质 (14)第七章Z变换 (17)一.Z变换的定义 (17)二.Z变换和傅氏变换及拉氏变换的关系 (17)三.Z反变换 (18)四.由零极点图确定傅氏变换的几何求值法 (18)五.Z变换性质 (18)H z的应用 (20)六.系统函数()七．数字滤波器 (20)第八章.系统函数与状态变量分析 (20)一.零极点和系统稳定性、因果性 (20)二.信号流图 (21)三.系统模拟 (21)四.连续系统离散化 (21)五.状态方程与输出方程 (22)六.状态方程的建立 (22)七.状态方程和输出方程的解法 (22)八.状态方程判断和系统的稳定性、可控性、可测性 (23)第一章引论⎪⎩状态变量系统模型第二、三章.连续时间信号、离散时间信号与系统时域分析一．普通信号二、冲激信号三.卷积四.电路元件的运算模型五.连续时间系统时域分析六.系统的特征方程七.系统的冲激响应和单位养殖响应八.基本离散信号九.离散信号的性质十.信号的分解○1直流分量与交流分量 ○2奇分量与偶分量()()D A f t f f t =+常数平均是为零()()()e o f t f t f t =+1()[()()]21()[()()]2e o f t f t f t f t f t f t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩第四章.连续时间信号与系统频域分析一.周期信号的频谱分析1. 简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号：()()()()()j tj t j tj y t e h t eh d ee h d ωωτωωτττττ∞∞---∞-∞=*==⋅⎰⎰简谐振荡信号傅里叶变换：()()j H j e h d ωτωττ∞--∞=⎰ 点测法： ()()j t y t e H j ωω=⋅2.傅里叶级数和傅里叶变换3.荻里赫勒（Dirichlet ）条件（只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开）○1()f t 绝对可积，即00()t Ttf t dt +<∞⎰○2()f t 的极大值和极小值的数目应有限○3()f t 如有间断点，间断点的数目应有限4.周期信号的傅里叶级数5.波形对称性与谐波特性的关系6.周期矩形脉冲信号7.线性时不变系统对周期信号的响应一般周期信号：()jn tnn F ef t ∞Ω=-∞=∑ 系统的输出 ：()()jn tnn F H jn t ey t ∞Ω=-∞Ω=∑二.非周期信号的傅里叶变换（备注）三.非周期信号的傅里叶变换 1.连续傅里叶变换性质3.常用傅里叶变换对四.无失真传输1.输入信号()f t 与输出信号()f y t 的关系 时域： ()()f d y t kf t t =-频域：()()dj t f Y ke F ωωω-=2.无失真传输系统函数()H ω ()()()d f j t Y H ke F ωωωω-==无失真传输满足的两个条件：○1幅频特性：()H k ω= （k 为非零常数） 在整个频率范围内为非零常数 ○2相频特性：ϕ()d t ωω=- （ 0d t > ）在整个频率范围内是过坐标原点的一条斜率为负的直线4. 信号的滤波：通过系统后 ○1产生“预定”失真○2改变一个信号所含频率分量大小 ○3全部滤除某些频率分量 4.理想低通滤波器不存在理由：单位冲击响应信号()t δ是在0t =时刻加入滤波器 的，而输出在0t <时刻就有了，违反了因果律5.连续时间系统实现的准则时 域 特 性 ： ()()()h t h t u t =（因果条件） 频 域 特 性 ：2()H d ωω∞-∞<∞⎰佩利-维纳准则（必要条件）：22()1H d ωωω∞-∞<∞+⎰五.滤波六.抽样与抽样恢复第五章.离散时间信号与时域分析一.离散傅里叶级数（DFT ） 1.信号0j n e Ω基本特征信号0j neΩ 周 期 性：00()02j n N j nm eeNπΩ+ΩΩ=⇒=时有理数时具有周期性 基波频率：2N mπΩ=基波周期：02()N m π=Ω 2.信号0j t e ω与0j n e Ω之间的差别3.DFS 系数与IDFS 变换对4.离散傅里叶级数的性质二.离散时间傅里叶变换DTFT1. 离散时间傅里叶变换DTFT○1非周期信号：11()()0x n n N x n n N ⎧≤=⎨>⎩21()()21()()j nj nn x n X e d X x n e N ππΩ∞-Ω=-∞⎧=ΩΩ⎪⎪⎨⎪Ω=⎪⎩⎰∑离散时间傅里叶变换 应用条件：()n x n ∞=-∞<∞∑ ○2周期信号： 2()2()k n X a k N ππδ∞=-∞Ω=Ω-∑ 112()1()N jk n Nk n N a x n eN π-=-=∑2.离散时间傅里叶变换性质第六章.连续时间信号与时域系统分析一.拉氏变换定义二.拉氏反变换三.拉氏变换的性质1.拉氏变换的性质2.拉氏变换的性质备注3.双边拉氏变换4.双边拉氏变换对与双边Z变换对5.复频域分析6.拉氏变换和傅氏变换的关系第七章 Z 变换一.Z 变换的定义z[()]()()j e nj nnn n x n eex n zX z σσ+Ω∞∞=-Ω-=-∞=-∞⋅−−−−→=∑∑令 ()()n n X z x n z ∞-=-∞=∑二.Z 变换和傅氏变换及拉氏变换的关系三.Z 反变换围线积分与极点留数法 11()()2n cx n X z z dz jπ-=⎰ 围线c 是在()X z 的收敛域内环绕z 平面原点逆时针旋转的一条封闭曲线 1()[()c ]n x n X z z -=⋅∑在围线内的极点上的留数 0z 是一阶极点： 0110Re [()][()]()n n z z s X z z X z z z z --=⋅=⋅-0z 是s 阶极点：1111111Re [()][()()](1)!s n n s s z zd s X z z X z z z z s dz ----=⎧⎫⋅=⋅-⎨⎬-⎩⎭ 0n <时， '111()()2n c x n X p dp j pπ--=⎰ 四.由零极点图确定傅氏变换的几何求值法11()()()Mrr Nkk z q X z z z ==-=-∏∏ 当1z =时，即j z e Ω=时11()()()Mj r j r N j k k eq X e e z ΩΩ=Ω=-=-∏∏=()()j j X e eφΩΩ 令rkj j r r j j k k e q A e e z B eϕθΩΩ⎧-=⎨-=⎩ 于是11()Mrj r Nkk A X e BΩ===∏∏ 11()M Nr k r k φϕθ==Ω=-∏∏注意：1在0z =处加入或除去零点，不会使幅度特性发生变化，而只影响相位变化。
第3章信号与系统连续时间信号与系统的傅里叶分析
a 2
nT
T
2 T
2
f
(t) cos n1tdt
2A sin n
n T
2 A T
sin n
T n
2A Sa(n ) TT
T
f (t)
A
T
2 A
T
n 1
Sa(
n
T
)
cos(n1t )
T 2 : 公共周期 1
A 2A
和
F e-jn0t n
才构成物理上的一个谐波分
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
两种形式傅立叶级数中系数的关系:
F0 a0
Fn
1 2
(an
jbn )
Fn
1 2
(an
jbn )
n 1, 2,3, n 1, 2,3,
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
例： 将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数
f t
A
解： 直接代入公式有
T
T
22
t
Fn
1 T
T
2 f (t)e-jn0tdt 1
T
T
2
Ae-jn0tdt
A
T
sin n0
2
n0
=
A
T
Sa
n0
2
2
2
2
所f以(t) Fne jn0t
n
2
Fn
幅度谱
信号与系统(刘泉)第三章
T 2 T 2 T 2 T 2
mn mn mn mn
级数形式
周期信号f（t），周期为T，基波角频率为 1 在满足狄氏条件时，可展成
f ( t ) a0 an cos n 1t bn sin n 1t
n 1
2 T
1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
F0 A0 a0
n
~ ， n ~
关系
●
1 A n 0 Fn n 2
● 相频谱为奇函数
n n
(3)三个性质
收敛性： n , Fn 谐波性：频率只出现在nω1处 唯一性：f（t）的谱线唯一
注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
(4)引入负频率
周期信号的频谱分析— 傅里叶级数
北京邮电大学电子工程学院 2002.3
三角函数形式的傅里叶级数
三角函数集
cosn1t , sin n1 t是一个完备的正交函数集
由积分可知
t在一个周期内，n=0,1,....
cos n 1t sin m 1t 0
T , cos n 1 t cos m 1 t 2 0, T T , 2 sin n t sin m t 2 1 1 T 2 0,
A2
1
A2 1
2 0.25
0
1
2 1
1
0
2 1
0.15
化为指数形式
1 j1t f (t ) 1 e e j1t 2j 2 j1t e e j1t 2
整理
2 j1t 2 j n 1 t 1 4 4 e e 2
深入浅出谈《信号与系统》
戏谈《信号与系统》第一课什么是卷积傅利叶变换拉普拉斯变换引子很多朋友和我一样，工科电子类专业，学了一堆信号方面的课，什么都没学懂，背了公式考了试，然后毕业了。
先说"卷积有什么用"这个问题。
(有人抢答，"卷积"是为了学习"信号与系统"这门课的后续章节而存在的。
我大吼一声，把他拖出去枪毙！)讲一个故事:张三刚刚应聘到了一个电子产品公司做测试人员，他没有学过"信号与系统"这门课程。
一天，他拿到了一个产品，开发人员告诉他，产品有一个输入端，有一个输出端，有限的输入信号只会产生有限的输出。
然后，经理让张三测试当输入sin(t)(t<1秒)信号的时候(有信号发生器)，该产品输出什么样的波形。
张三照做了，花了一个波形图。
"很好！"经理说。
然后经理给了张三一叠A4纸: "这里有几千种信号，都用公式说明了，输入信号的持续时间也是确定的。
你分别测试以下我们产品的输出波形是什么吧！"这下张三懵了，他在心理想"上帝，帮帮我把，我怎么画出这些波形图呢?"于是上帝出现了: "张三，你只要做一次测试，就能用数学的方法，画出所有输入波形对应的输出波形"。
上帝接着说:"给产品一个脉冲信号，能量是1焦耳，输出的波形图画出来！"张三照办了，"然后呢?"上帝又说，"对于某个输入波形，你想象把它微分成无数个小的脉冲，输入给产品，叠加出来的结果就是你的输出波形。
你可以想象这些小脉冲排着队进入你的产品，每个产生一个小的输出，你画出时序图的时候，输入信号的波形好像是反过来进入系统的。
"张三领悟了:" 哦，输出的结果就积分出来啦！感谢上帝。
这个方法叫什么名字呢?"上帝说:"叫卷积！"从此，张三的工作轻松多了。
第3章信号与系统连续时间信号与系统的傅里叶分析
1
n0
2
(sin n0t)
0
0
2
T
T
bn
2 T
2 T
2
f
(t) sin n0tdt
2 T
1
n0
cos n0t
0 T
2
2 T
1
n0
2
( cos n0t)
0
2
n
(1
cos
n
)
0 4
n
n = 2, 4, 6, n = 1, 3, 5,
信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数
所以有 an 0
0
bn
4
n
信号与系统
§ 3.2 周期信号的 傅立叶级数展开
信号与系统
周期信号
周期信号: 定义在区间 (, ) ，每隔一定时间 T ，按 相同规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为
f (t)=f ( t+mT )
其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。
f t
1
0 T/2 T
t
1
信号与系统
成一个个起伏的山峰和山谷，其中最高峰
称为主峰。
主峰高度
F0
A
T
包络主峰两侧第一个零点为
2
0 2
n0
c
包含信号主要频谱分量的 0 ~ 2 这段频率范围称为矩形脉冲信号
的有效频带宽度或带宽，即矩形脉冲的频带宽度为
Bf
1
或
B
2
信号与系统二、周期信号的频谱与功率谱
周期信号频谱的特点：
(1) 离散性——谱线是离散的而不是连续的，因此称为离散频谱； (2) 谐波性——谱线所在频率轴上的位置是基本频率的整数倍；
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展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变 换域的区别就在于选取不同的正交完备集。
采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章付里叶变 换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。 从而便于研究信号的传输和处理问题。
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2
傅里叶分析发展史
其中基波——角频率为1的分量; n次谐波——角频率为n1的分量
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8
直流分量：a0
1 T1
t0 T1 f (t)dt 1
t0
T1
T1 f (t)dt
0
其中余弦分量幅度：an
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) cos(n1t)dt
正弦分量幅度：bn
2 T1
t0 T1 t0
f
(t) sin(n1t)dt
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5、幅度谱、相位谱
单边频谱图：cn ~ n1 信号的幅度谱
cn
c0
c1 c2
c3
n ~ n1 信号的相位谱
其中各频率分量幅度称为“谱线”； 连各谱线顶点的曲线称为
0 w1 3w1
nw1
w
? 包络线”。
n
周期信号的主要特点：
具有离散性、谐波性、收敛性
0
w1 3w1
nw1
w
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n 1, 2,...
为了积分方便，通常取积分区间为：0
~
T1或
T1 2
~
T1 2
三角函数集是一组完备函数集。
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2、另一种三角函数形式的傅里叶级数
f(t)展开为常用形式
f (t) c0 cn cos(n1t n ) 或 n1
f (t) d0 dn sin(n1t n ) n1
其中
n ~
1 T1
t0 T1 f (t)
t0
jn1tdt
直流分量：F0 c0 a0
e 当n 0时，Fn Fn
jn 1 2
an jbn
Fn
Fn
e jn
1 2
Hale Waihona Puke (anjbn )其中 Fn
1 2
a2 n
b2 n
1 2 cn
n n (三角函数形式）
example
通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此， 以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。
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4、基波、谐波
2
通常把频率为： f1 T1 w1
频率为：2
f1
2T1
2
2
w1
2
频率为： 3 f1 3T1 3 w1
称为基波。 称为二次谐波。 称为三次谐波。
可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的 幅度、相位取决于周期信号的波形。
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6
3.1周期信号的傅 里叶级数
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7
三角函数形式的傅里叶级数
1、一种三角函数形式的傅里叶级数
设f(t)为任意周期信号（周期
T1 , 角频率 1
2
T1
）
则其可展开为三角函数形式的傅里叶级数
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
第三章 连续时间信号与系统的频域分析
本章要点
F 周期信号傅里叶级数 F 周期信号频谱 F 非周期信号的傅里叶变换 F 常用信号的傅里叶变换 F 傅立叶变换的性质 F 连续时间系统的频域分析 F 系统无失真传输的条件 F 理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应 F 调制与解调 F 抽样与抽样定理
引言
变换域分析——就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信
• 从本章开始由时域分析转入频域分析。
• 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产 生的。
• 傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。
• 1822年法国数学家傅里叶（J.Fourier,1768-1830）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了 将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理 论基础。
• 但傅里叶分析始终有着极其广泛的应用，它是研究其他变换方 法的基础。而且出现了”快速傅里叶变换（FFT）”它给傅里 叶分析这一数学工具增添了新的生命力。
• 傅里叶分析方法不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中， 而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关 数学、物理和工程技术领域中得到广泛的应用。
c0 d0 a0
其中
cn
dn
a2 b2
n
n
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n
arctg
bn ,
anWHUT
n
arctg
an bn
10
3、傅里叶级数展开的充分条件
傅里叶级数存在的充分条件： 周期信号f(t)须满足“狄利克雷”(Dirichlet)条件，即
一周期内仅有限个间断点； 一周期内仅有限个极值；
一周期内绝对可积，tt00 T1 f (t) dt
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13
二、指数形式的傅里叶级数
1、指数形式的傅里叶级数的形式
设f(t)为任意周期信号（周期
T1 , 角频率 1
2
T1
）
则其可展开为指数形式的傅里叶级数
e f (t)
F (n1) jn1t
n
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2.指数形式的傅里叶级数中各个量之间的关系
e 复函数：F(n1) 记 Fn
• 泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电 学中去。
• 伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三 角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的 应用。
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3
• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波 器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。
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5
• 本章讨论的路线： • 傅里叶级数正交函数——傅里叶变换，建立信号
频谱的概念； • 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，
掌握傅里叶分析方法的应用。 • 对于周期信号而言，进行频谱分析可用傅里叶级
数或傅里叶变换；傅里叶级数相当于傅里叶变换 的一种特殊表达形式。 • 最后对研究周期信号与抽样信号的傅里叶变换， 并介绍抽样定理，抽样定理奠定了数字通信的理 论基础。
• 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。
• 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。
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• 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数），它 对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径和手 段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一 的变换域方法。