广州市高二上学期数学期中考试试卷A卷(模拟)
广东省广州市第六十五中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
广东省广州市第六十五中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题1．直线3410x y --=的一个方向向量是（）A ．(3,4)B ．(4,3)C ．31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭2．直线()12:10,:210l ax y l a x ay +-=--+=，则“2a =-”是“12//l l ”的（）条件A ．必要不充分B ．充分不必要C ．充要D ．既不充分也不必要3．已知空间向量()2, 2 1,a =-，()1 ,1 2,b =- ，则向量b 在向量a 上的投影向量是（）A ．4243,3,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．（2，﹣1，2）C ．2423,3,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．（1，﹣2，1）4．某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（）A ．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天B ．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3C ．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时D ．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时5．在三棱锥O ABC -中，已知23BE BC = ，G 是线段AE 的中点，则OG =（）A ．111236OA OB OC ++ B ．111623OA OB OC ++C ．111362OA OB OC++D ．111263OA OB OC++6．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“第一次向下的数字为2或3”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）A ．1()4P A =B ．事件A 与事件B 互斥C ．事件A 与事件B 相互独立D ．1()2P A B ⋃=7．空间直角坐标系O xyz -中，经过点000(,,)P x y z ，且法向量为(,,)m A B C =的平面方程为0()A x x -+00)0(()B y y C z z -+-=，经过点000(,,)P x y z 且一个方向向量为(,,)(0)n a b c abc =≠ 的直线l 的方程为000x x y y z z a b c---==，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面α的方程为2740x y z -+-=，经过(0,0,0)的直线l 的方程为231x y z ==-，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A B C D 8．已知P 是圆22:1O x y +=上一动点，则点P 到直线()()():21640l x y λλλλ+-+--=∈R 的距离的取值范围为（）A ．1⎡⎤⎣⎦B ．1,1⎡⎤⎣⎦C ．0,1⎡⎤+⎣⎦D ．)0,1⎡+⎣二、多选题9．已知事件,A B 发生的概率分别为1(),()36P A P B 1==，则（）A ．2()3P A =B ．11()32P A B ≤+≤C ．若4()9P A B = ，则1()9P AB =D ．一定有B A⊆10．已知直线1:(1)10l x a y +-+=，直线2:220l ax y ++=，则下列结论正确的是（）A ．1l 在x 轴上的截距为1B ．若1l //2lC ．若12l l ⊥，则23a =D ．2l 与连接点(1,2),(2,1)A B -的线段总有公共点，则直线2l 的倾斜角α的取值范围为π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭11．已知P 、Q 分别为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -棱1DD 、1BC 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．线段PQ 长度的最小值为2B ．三棱锥11P A BC -的外接球体积的最大值为C ．若点M 在正方体的内部且满足1321432DM DC DA DD =++，则点M 到直线BC 的距D ．当P 、Q 为中点时，平面1B PQ 截正方体1111ABCD A B C D -所形成的图形的面积为94三、填空题12．一条光线从()6,4P 射出，经直线1y x =-后反射，反射光线经过点()2,0Q ，则反射光线所在直线方程为.13．已知向量()()()1,3,2,2,1,3,4,3,a b c m =--=-=，若{},,a b c 不能构成空间的一个基底，则实数m 的值为.14．甲､乙两队进行答题比赛，每队3名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为12，乙队中3名选手答对题的概率分别为211,,334.在第一轮比赛中，甲队得x 分，乙队得y 分，则在这一轮中，满足02x y <-≤且0y ≠的概率为.四、解答题15．如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA ===1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠= ．(1)求证：直线1A C ⊥平面11BDD B ；(2)求直线1AC 和1BC 夹角的余弦值．16．为弘扬中华民族传统文化，营造浓厚的节日氛围，某市文联在南山公园广场举办2023年正月十五“闹元宵猜灯谜”灯谜展猜活动，活动分一、二两关，分别竟猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竟猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道．假设猜对每道灯谜都是等可能的．(1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率；(2)从第二关的20道灯谜中任选一道，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率．17．已知圆心为C 的圆经过点()1,4A ，()3,6B ，且圆心C 在直线340x y -=上．(1)求圆C 的方程：(2)已知直线l 过点()1,1且直线l 截圆C 所得的弦长为2，求直线l 的方程．(3)已知点()1,2M -，()3,4N -，且P 为圆C 上一动点，求22PM PN +的最小值．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的等边三角形，12CC =，,D E 分别是线段1,AC CC 的中点，1C 在平面ABC 内的射影为D ．(1)求证：1AC //平面BDE ；(2)若点F 为棱11B C 的中点，求点F 到平面BDE 的距离；(3)若点F 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求平面FBD 与平面BDE 夹角的余弦值的取值范围．19．已知圆22:16O x y +=，点()6,0A ，点B 为圆O 上的动点，线段AB 的中点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)设点()2,0T ，过点T 作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于E ，F 两点．（ⅰ）若直线l 的斜率为1，且过点T 作与直线l 垂直的直线1l 交曲线C 于G ，H 两点，求四边形EGFH 的面积；（ⅱ）设曲线C 与x 轴交于P ，Q 两点，直线PE 与直线QF 相交于点N ，试讨论点N 是否在定直线上，若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．。
广东省广州市高二数学上学期期中考试试题 理 新人教A版
高二数学（理科）试题第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知}6,5,4,3,2,1{},5,4,3{},6,4,2,1{===U B A 求=B A C u ( ) A 、}6,5,4,3,2,1{ B }6,4,2,1{ C 、}5,4,2{ D 、}5,4,3{2．已知向量a 与向量b 的夹角为120°，若向量c=a+b ，且a ⊥c ，则||||b a 的值为（ ） A ．21 B ．332 C ．2D ．33．已知)4tan(,54sin ),0,2(πααπα+-=-∈则等于 （ ）A ．－7B ．－71C ．71D ．74．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是 （ ） A ．27 B ．30 C ．33 D ．365．有编号分别是1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为 （ ）A ．215B ．72 C ．31 D ．218 6．对于实数x ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，例如2]08.1[,3][-=-=π，定义函数{x}][x x -=，则下列命题中正确的是（ ）A ．函数}{x 的最大值为1B ．函数21}{)(-=x x G 有且仅有一个零点 C ．函数}{x 是周期函数 D ．函数}{x 是增函数7、已知实数,x y 满足235230x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则3x y +的最大值是（ ）A .52B .3C . 4D .928、在各项均不为零的等差．．数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=（ ）A .－2B .0C .1D .29．如图，从双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则a b MT MO --与||||的大小关系为（ ）A ．a b MT MO ->-||||B ．a b MT MO -=-||||C ．a b MT MO -<-||||D ．大小关系不确定网10、函数()y f x =是定义在[,]a b 上的增函数，其中,a b R ∈，且0b a <<-，已知()y f x =无零点，设函数22()()()F x f x f x =+-，对于()F x 有如下四个说法：①定义域是[,]b b -；②是偶函数；③最小值是0；④在定义域内单调递增；其中正确说法的个数有A .4个B .3个C .2个D .1个第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在题中的横线上.11、已知向量向量(2,1)b y x =--，若a ∥b ，则22x y += .网 12．已知一三角形ABC 用斜二测画法画出的直观图是面积为3的正三角形C B A '''(如图)，则三角形ABC 中边长与正三角形C B A '''的边长相等的边上的高为_______13、在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差y ’A ’B ’C ’O ’ 1 2 0.5 1xyz(1,2)a x y =--x ’A BCD EF 图5数列，每一纵列成等比数列，那么，x y z ++的值为 . 14已知函数f(x) =1321---x x 的零点有四个x 1、x 2、x 3、x 4，则f(x 1+x 2+ x 3+x 4)=_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足C b B c a cos cos )2(=-．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设)1,1(),1,(sin -==n A m ，求n m ⋅的最小值．16. (本小题满分12分) 某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？17．（本题满分14分） 如图5，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点． （1）求证：//AF 平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；组号 分组 频数 频率第1组 [)165,160 5 0.050第2组 [)170,165 ① 0.350第3组 [)175,170 30 ② 第4组 [)180,175 20 0.200第5组 [180,185] 10 0.100 合计 100 1.00AC18、（本题14分）如图，公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上. （1）设AD ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； （2）如果DE 是灌溉水管，我们希望它最短，DE 的位置应在哪 里？请予证明. 19、（本题14分）已知数列{}n a 满足12a =， . （1）求证数列 是等比数列，并求其通项公式； （2）设nn a b n =，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （3）设n n n c a =，求证：123710n c c c c +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<.20．（本小题满分14分）过双曲线2x 2-y 2=1上一点A (1,1)作两条动弦AB , AC ,且直线AB , AC 的斜率的乘积为3.(1)问直线BC 是否可与坐标轴垂直?若可与坐标轴垂直,求直线BC 的方程,若不与坐标轴垂直,试说明理由.(2)证明直线BC 过定点.四、附加题：（一班学生做，满分20分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在[],m n 内是单调的；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n 时，则称[],m n 是该函数的“和谐区间”。
2022-2023学年广东省广州中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年广东省广州中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线370x y +-=的一个方向向量为（ ） A ．(3,1) B ．(1,3)C ．(3,1)-D ．(1,3)-【答案】D【分析】根据直线方程直接写出其方向向量即可得答案.【详解】由直线方程知：直线方向向量有()1,3-及它的平行向量均可作为其方向向量. 故选：D2．如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =.点M 在OA 上，且2OM MA =,N 为BC 中点，则MN 等于（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c +-【答案】B【分析】根据向量的加法和减法的三角形法则得到. 【详解】连接ON ,ON 是BC 的中点，1122ON OB OC ∴=+,22,3OM MA OM OA =∴=,112211223322MN ON OM OB OC OA a b c ∴=-=+-=-++.故选：B3．两平行直线3210x y --=和6430x y -+=间的距离是（ ） A ．51326B ．41313C ．21313D ．31313【答案】A【分析】将方程变形，再根据两平行直线间的距离公式计算可得；【详解】解：直线3210x y --=即为6420x y --=，所以两平行直线6420x y --=和6430x y -+=间的距离()22236513264d --==+-；故选：A4．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB = A ．2 B ．42C ．6D ．210【答案】C【详解】试题分析：直线l 过圆心，所以1a =-，所以切线长2(4)14(4)216AB =-+-⨯-++=，选C.【解析】切线长5．如图，已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，,,E F G 分别为1,,AB CD AD 的中点，则异面直线1A G 与EF 所成角的余弦值为（ ）A ．0B ．1010C ．22D ．1【答案】A【分析】分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出1AG 和EF 的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解.【详解】如图分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()12,0,2A 、()1,0,0G 、()2,1,0E 、()0,1,1F ，所以()11,0,2AG =--，()2,0,1EF =-， 设异面直线1A G 与EF 所成角为θ， 则()()111221cos 055AG EF AG EF θ⋅-⨯--⨯===⨯⋅ ，故选：A【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.6．如图，己知二面角l αβ--的棱上有两个点A ，B ，线段BD 与AC 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直与棱l ．若4,6,8,217AB AC BD CD ====α与平面β的夹角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3【答案】C【分析】过A 在面β内作AE l ⊥，过D 作//DE l ，,AE DE 交于E ，进而确定平面α与平面β的夹角为CAE ∠，结合已知及题图确定二面角的大小.【详解】过A 在面β内作AE l ⊥，过D 作//DE l ，,AE DE 交于E ，由BD l ⊥且BD β⊂，故//AE BD 且AE BD =，又AC l ⊥，AC α⊂，l αβ=，所以平面α与平面β的夹角为CAE ∠，且ABDE 为矩形，即DE AE ⊥，由//DE l ，则DE AC ⊥，又AC AE A ⋂=，,AC AE ⊂面CAE ，则DE ⊥面CAE ，CE ⊂面CAE ，故DE CE ⊥，又4,6,8,17AB AC BD CD ====8,4AE ED ==， 在直角△CDE 中22213CE CD ED -在△CAE 中，2226436521cos 22862AE AC CE CAE AE AC +-+-∠===⋅⨯⨯， 所以，如图，锐二面角的大小为π3.故选：C7．已知直线20kx y -+=和以(3,1),(2,5)--M N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为（ ）A ．72≤-kB ．13k ≥C ．7123-≤≤kD ．72≤-k 或13k ≥【答案】D【分析】先求出20kx y -+=所过的定点，结合直线与线段相交，应用斜率两点式求出斜率k 的范围. 【详解】由题设，20kx y -+=恒过点(0,2)A -，则121303AM k -+==-，527202AN k +==---，又A 在y 轴上，,M N 在y 轴两侧，故直线20kx y -+=的斜率71(,][,)23k ∞∞∈--⋃+.故选：D8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是侧面11ADD A 内的动点，且1B E //平面1BDC ，则直线1B E 与直线AB 所成角的正弦值的最小值是( )A ．13B ．33C ．12D ．22【答案】B【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系利用向量法求出直线1B E 与直线AB 所成角的正弦值的最小值．【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为1， 设E(a,0，c)，0a 1≤≤，0c 1≤≤，1B (1,1，1)，B(1,1，0)，D(0,0，0)，1C (0,1，1)，()1B E a 1,1,c 1=---，DB (1,=1，0)，1DC (0,=1，1)，设平面1DBC 的法向量n (x,=y ，z)， 则1n DB 0n DC 0x y y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x 1=，得()n 1,1,1=-， 1B E //平面1BDC ，1B E n a 11c 10∴⋅=-++-=，解得a c 1+=，()222a c a c 2ac 12ac ∴+=+-=-，2a c 1ac 24+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，设直线1B E 与直线AB 所成角为θ， AB (0,=1，0)，(11AB B E cos θAB B Ea ⋅∴==⋅2a c 1ac 24+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，322ac 2∴-≥，1222ac 3∴≤-，sin θ∴===≥=∴直线1B E 与直线AB故选B ．【点睛】本题考查线线角的正弦值的最小值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，函数与方程思想，是中档题．二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．直线的倾斜角α取值范围是0πα≤<B ．若直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为αC ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 【答案】AC【分析】根据直线倾斜角和斜率关系判断各项的正误. 【详解】A ：直线倾斜角α范围为0πα≤<，正确；B ：当直线斜率为tan α，则该直线的倾斜角为[0,π)内正切值为tan α的角，错误；C ：平面内所有直线都有倾斜角，当倾斜角为90°时没有斜率，正确；D ：倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率为负，错误. 故选：AC10．已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论正确．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．． 【答案】BD【分析】A 令0k =即可判断正误；B 由2l 过定点(0,1)-，再由定点与1l 的关系判断正误；C 令12k =-即可判断正误；D 利用直线垂直的判定判断k 值的存在性即可. 【详解】A ：当0k =时，2:0l x =，符合倾斜角为90°，错误；B ：2:(1)(1)0l k x ky k k x y x +++=+++=过定点(0,1)-，而(0,1)-也在1:10l x y --=上，对任意的k ，1l 与2l 都有公共点，正确；C ：当12k =-时，21111:(1)02222l x y x y --=--=，显然与1:10l x y --=重合，错误；D ：要使1l 与2l 都垂直则(1)(1)0k k ++-=，显然不存在这样的k 值，正确. 故选：BD11．已知(1,0),(4,0)A B ，圆22:4C x y +=，则以下选项正确的有（ ） A ．圆C 上到B 的距离为2的点有两个B ．若过A 的直线被圆C 所截得的弦为MN ，则||MN 的最小值为C ．若过A 的直线被圆C 所截得的弦为MN ，则弦MN 的中点的轨迹方程是221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭D ．若点D 满足过D 作圆C 的两条切线互相垂直，则||BD 的最小值为422- 【答案】BCD【分析】A 由定点到圆心距离及圆的半径判断；B 首先判断A 在圆C 内，再根据所截弦长最短知直线与CA 垂直，写出直线方程，进而求最小弦长；C 由题意E 的轨迹是以CA 为直径的圆，即可得圆的方程；D 根据切线性质判断D 、C 和两个切点所成的四边形为正方形，进而可知D 的轨迹是以C 为圆心，222r =为半径的圆，最后求定点到圆上点的最小值即可.【详解】由题设，圆心C 为(0,0)且半径2r =，则||4OB =，故||422OB r -=-=， 所以圆C 上到B 的距离为2的点有一个，A 错误；由221014+=<，即A 在圆C 内，故过A 的直线被圆C 所截得的弦长最小，只需直线与CA 垂直，故直线为1x =，此时2||2123MN r =-=，B 正确；若过A 的直线被圆C 所截得的弦MN 的中点为E ，则CE AE ⊥，故E 的轨迹是以CA 为直径的圆，所以轨迹方程为2211()24x y -+=，C 正确；若D 满足过D 作圆C 的两条切线互相垂直，结合切线的性质知：D 、C 和两个切点所成的四边形为正方形，所以D 的轨迹是以C 为圆心，222r =为半径的圆，即228x y +=，而||4OB =， 故该圆上点到B 的最小值为422-，D 正确. 故选：BCD12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，动点P ，Q 分别在线段1C D ，AC 上，则下列命题正确的是（ ）A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于π4B ．点C 到平面11ABCD 的距离为22C ．异面直线1D C 和1BC 所成的角为π4D ．线段PQ 长度的最小值为433【答案】ABD【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证1CB ⊥面11ABC D ，进而确定直线BC 与平面11ABC D 所成的角、C 到平面11ABC D 的距离，由11//BC AD ，异面直线1D C 和1BC 所成角即为1AD 与1D C 所成角1CD A ∠求大小，过P 作PE CD ⊥于E ，再过E 作EQ AC ⊥于Q ，利用线面垂直及勾股定理求PQ 的最小值.【详解】正方体中AB ⊥面11BCC B ，1CB ⊂面11BCC B ，故1AB CB ⊥，又11BC CB ⊥，由1AB BC B =，1,AB BC ⊂面11ABC D ，故1CB ⊥面11ABC D ，而BC面11BCC B B =，故直线BC 与平面11ABC D 所成的角1π4CBC ∠=，A 正确； C 到平面11ABC D 的距离为142222CB ==B 正确； 因为11//BC AD ，故异面直线1D C 和1BC 所成角即为1AD 与1D C 所成角1CD A ∠， 而△1CD A 为等边三角形，故1π3CD A ∠=，C 错误； 过P 作PE CD ⊥于E ，再过E 作EQ AC ⊥于Q ， 面1DCC ⊥面ACD ，面1DCC 面ACD CD =，PE ⊂面1DCC ，故PE ⊥面ACD ，AC ⊂面ACD ，则PE AC ⊥，又PE EQ E =，,PE EQ ⊂面PEQ ，所以AC ⊥面PEQ ，易知：PQ 即为异面直线1C D ，AC 上两点的距离， 令[0,4]DE PE x ==∈，则4CE x =-，2)EQ x =-， 所以2222224323()(4)381633222x x x x PQ PE EQ x -+--+=++=当43x =时，min 164333PQ ==，D 正确.故选：ABD三、填空题13．若平面α的一个法向量为()2,6,s m =-，平面β的一个法向量为()1,,2n t =，且αβ∥，则s t -=______．【答案】7【分析】由αβ∥，得m n ∥，利用向量坐标平行计算公式代入计算. 【详解】由αβ∥，得m n ∥，所以2612s t -==，解得3t =-，4s =，∴7s t -=． 故答案为：714．已知直线1:(25)20l ax a y +--=，直线2:(32)40l a x ay ---=，若12l l //，则实数=a ______． 【答案】57【分析】由12l l //由12210A B A B -=有(2)(75)0a a --=，即可求a ，然后验证1l 、2l 是否重合. 【详解】∵12l l //，有()(25)(32)0a a a a ----=， ∴(2)(75)0a a --=，解得2a =或57a =， 当2a =时，1:220--=l x y ，2:4240l x y --=，即1l 、2l 为同一条直线； 当57a =时，1525:2077l x y --=，215:4077l x y --=，即12l l //；∴57a =， 故答案为：5715．如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面边长为2，高为1，则点D 到平面ACD 1的距离是_____．【答案】63163【分析】利用等体积法，根据11D ACD D ACD V V --=可得.【详解】因为四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1为正四棱柱，2AD CD ==，11DD =，所以1122,5AC AD CD ===，记AC 中点为O ，则1D O AC ⊥，所以2211523D O AD AO =-=-=，记三棱锥1D ACD -的高为h ，因为11D ACD D ACD V V --=，所以11112212233232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，解得63h =. 故答案为：63.16．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线，已知ABC 的顶点()2,0A -、()2,4B ，其欧拉线的方程为0x y -=，则ABC 的外接圆方程为______. 【答案】()()221110x y -+-=【分析】求出线段AB 的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立，求出ABC 的外接圆圆心坐标，并求出外接圆的半径，由此可得出ABC 的外接圆方程.【详解】直线AB 的斜率为40122AB k -==+，线段AB 的中点为()0,2M ， 所以，线段AB 的垂直平分线的斜率为11AB k k =-=-， 则线段AB 的垂直平分线方程为2y x =-+，即20x y +-=，联立200x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即ABC 的外心为()1,1D ，所以，ABC 的外接圆的半径为()()22210110r AD ==--+-=因此，ABC 的外接圆方程为()()221110x y -+-=. 故答案为：()()221110x y -+-=.【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．四、解答题17．三角形的三个顶点是(4,0)A ，(6,7)B ，(0,3)C ． （1）求BC 边上的高所在直线的方程； （2）求BC 边上的中线所在直线的方程．【答案】（1）32120x y +-=；（2）5200x y +-=． 【分析】（1）先根据斜率公式得23=BC k ，由于BC 边上的高与BC 所在直线垂直且过()4,0A ，故根据点斜式求解即可；（2）由题知BC 中点为()3,5M ，故5,AM k =-再根据点斜式求解即可. 【详解】（1）BC 边所在直线的斜率732603BC k -==- 因为BC 所在直线的斜率与BC 高线的斜率乘积为1-，所以BC 高线的斜率为32-，又因为BC 高线所在的直线过()4,0A所以BC 高线所在的直线方程为30(4)2y x -=--，即32120x y +-=（2）设BC 中点为M ，则中点()3,5M ，又5,AM k =-所以BC 边上的中线AM 所在的直线方程为：5(3)5y x =--+，即：5200x y +-=【点睛】本题考查直线的方程的求解，解题的关键在于利用两直线垂直且斜率存在，则斜率乘积为1-，考查运算求解能力，是基础题.18．已知圆1C ：221x y +=与圆2C ：2260x y x m +-+=.(1)若圆1C 与圆2C 外切，求实数m 的值;(2)在(1)的条件下，若直线l 过点(2，1)，且与圆2C 的相交弦长为23，求直线l 的方程. 【答案】(1)m=5 (2)20x -=或10y -=【分析】（1）根据两圆外切，两圆心之间的距离等于两圆半径之和可得；（2）先根据弦长求出圆心到直线的距离，然后分斜率存在和不存在两种情况讨论，利用点到直线的距离公式可得.【详解】（1）圆1C ：221x y +=，则1(0,0)C ，半径r 1=1， 由圆2C ：2260x y x m +-+=，得22(3)9x y m -+=-， 则2(3,0)C ，半径29(9)r m m =-<.∵圆1C 与圆2C 外切， ∴1212C C r r =+，∴913m -+=，解得m=5. （2）由(1)得m=5，圆2C 的方程为22(3)4x y -+=，则2(3,0)C ，r 2=2.由题意可得圆心2C 到直线l 的距离24(3)1d =-=， 当直线l 斜率不存在时，直线方程为x=2，符合题意; 当直线l 斜率为k 时，则直线方程为1(2)y k x -=-，化为一般形式为210kx y k --+=，则圆心(3，0)到直线l 的距离2111k d k +==+，解得k=0，得直线方程为y=1.综上，直线l 的方程为20x -=或10y -=.19．如图，在棱长为4的正方体OABC O A B C ''''-中，E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，且AE BF =．(1)求证：A F C E ''⊥；(2)当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求平面B EF '与平面BEF 的夹角的正切值．【答案】(1)证明见解析； (2)22.【分析】（1）构建空间直角坐标系，令AE BF a ==且04a ≤≤，应用向量法求证C E A F ''⊥垂直即可；（2）由三棱锥体积最大，只需△BEF 面积最大求出参数a ，再标出相关点的坐标，求平面B EF '与平面BEF 的法向量，进而求它们夹角的余弦值，即可得正切值.【详解】（1）如下图，构建空间直角坐标系O xyz -，令AE BF a ==且04a ≤≤，所以(0,4,4)C '，(4,0,4)A '，(4,,0)E a ，(4,4,0)F a -，则(4,4,4)C E a '=--，(,4,4)A F a '=--，故44(4)160C E A F a a ''⋅=-+-+=， 所以C E A F ''⊥，即A F C E ''⊥.（2）由（1），三棱锥B BEF '-体积取最大，即△BEF 面积()()21142222S a a a =-=--+最大， 所以，当2a =时max 2S =，故,E F 为AB ，BC 上的中点，所以(4,2,0)E ，(2,4,0)F ，(4,4,4)B '，故(0,2,4),(2,0,4)EB FB ''==，若(,,)m x y z =为面B EF '的法向量，则240240m EB y z m FB x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅''=+=⎪⎩，令1z =-，故(2,2,1)m =-，又面BEF 的法向量为(0,0,1)n =，所以11|cos ,|||||313||||m n m n m n ⋅-<>===⨯，由图，平面B EF '与平面BEF 的夹角正切值为220．（1）求过点()4,3-且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程；（2）设直线l 的方程为()()120a x y a a ++--=∈R ，若1a >-，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．【答案】（1）x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0；（2）x ＋y －2＝0【分析】（1）分直线过原点和不过原点，当直线不过原点时设截距式方程，代入点()4,3-可得； （2）求出M ，N 两点坐标，利用坐标表示出OMN 面积，分离常数后使用基本不等式可得.【详解】（1）当直线不过原点时，设l 的方程为x a ＋y a＝1，∵点()4,3-在直线上，∴4a＋3a-＝1， 解得1a =，所以直线方程为x ＋y －1＝0；当直线过原点时，直线斜率34k =-，∴直线的方程为34y x =-，即3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0. （2）∵1a >-，∴M 2(,0)1a a ++，()0,2N a +， ∴()12221OMNa Sa a +=⋅⋅++＝()211121a a ++⎡⎤⎣⎦⨯+＝121121a a ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭≥2， 当且仅当a ＋1＝11a +，即a ＝0时等号成立． 故所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0.21．已知直三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，,E F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．(1)证明：BA BC ⊥(2)当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的余弦值最大？ 【答案】(1)证明见解析 (2)112B D =时，面11BBC C 与面DFE 所成的二面角的余弦值最大【分析】（1）利用线面垂直性质可知111BB A B ⊥，结合11BF A B ⊥可证得11A B ⊥平面11BCC B ，由11//AB A B和线面垂直性质可证得结论；（2）以B 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，1BB ∴⊥平面111A B C ，又11A B ⊂平面111A B C ，111BB A B ∴⊥，又11BF A B ⊥，1,BB BF ⊂平面11BCC B ，1BB BF B ⋂=， 11A B ∴⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11BCC B ，11BC A B ∴⊥；四边形11AA B B 为正方形，11//AB A B ∴，BA BC ∴⊥.（2）以B 为坐标原点，1,,BA BC BB 为,,x y z 轴可建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,1,0E ，()0,2,1F ，设1B D a =，则(),0,2D a ，则()1,1,1EF =-，(),2,1FD a =-， 设平面DEF 的法向量(),,n x y z =，则020EF n x y z FD n ax y z ⎧⋅=-++=⎨⋅=-+=⎩，令3x =，解得：1y a =+，2z a =-，()3,1,2n a a ∴=+-； 又平面11BCC B 的一个法向量()1,0,0m =，()()222cos ,912127222m n m n m na a a ⋅∴<>===⋅+++-⎛⎫-+⎪⎝⎭ 则当12a =时，max 6cos ,m n <>=即当112B D =时，面11BBC C 与面DFE 所成的二面角的余弦值最大.22．已知圆M 的圆心在射线()600x y x +-=≥上，截直线1:6l x =所得的弦长为6，且与直线2:60l x y -+=相切．（1）求圆M 的方程；（2）已知点()1,1N ，在直线MN 上是否存在点Q （异于点N ），使得对圆M 上的任一点P ，都有PQ PN为定值λ？若存在，请求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）()()223318x y -+-=（2）存在,Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭,32λ=【分析】（1）由题,设圆心为()00,6x x -+,由相切关系求得半径,再由弦长公式求出0x ,进而得到圆的方程；（2）假设存在满足条件的点和定值,设Q 为(),a a ()1a ≠,P 为(),x y ,利用两点间距离公式得到222PQ PN λ=,再根据P 在圆M 上,待定系数法求得系数的关系,进而求解即可 【详解】（1）圆M 的圆心在射线()600x y x +-=≥上, ∴设圆心为()00,6x x -+,圆心到直线1:6l x =的距离为06d x =-,又圆M 与直线2:60l x y -+=相切,00r ∴====,圆M 截直线1:6l x =所得的弦长为6,6∴=则229r d =-,即)()22069x --=,20012450x x ∴+-=,解得03x =或015x =-（舍）r ∴=圆心为()3,3, ∴圆M 为()()223318x y -+-=（2）存在,Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭,32λ=,假设存在直线MN 上点Q （异于点N ）,使得对圆M 上的任一点P ,都有PQ PN为定值λ,由题,设Q 为(),a a ()1a ≠,(0PQPNλλ=>且1)λ≠,222PQ PNλ∴=,设P 为(),x y ,则()()222PQ x a y a =-+-,()()22211PN x y =-+-,则()()()()2222211x a y a x y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦, 整理可得()()()()()22222222112222220x y a x a y aλλλλλ-+-----+-=,P在圆M上,()()223318x y∴-+-=,即22660x y x y+--=,()()()()2222221161610x y x yλλλλ∴-+-----=,()22226122220aaλλλ⎧-=-⎪∴⎨-=⎪⎩,解得3232aλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,此时Q为33,22⎛⎫--⎪⎝⎭【点睛】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查两点间距离公式的应用,考查运算能力,考查数形结合能力。
广东省广州市高二数学上学期期中考试试题 文 新人教A版
第I 卷（共50分）参考公式：球体的表面积公式24S r π=，其中r 为球体的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知}6,5,4,3,2,1{},5,4,3{},6,4,2,1{===U B A 求=B A C u ( ) A }6,5,4,3,2,1{ B }6,4,2,1{ C 、}5,4,2{ D 、}5,4,3{2． 函数2sin(2)2y x π=+是 （ ）A ．周期π的奇函数B ．周期π的偶函数C ．周期2π的奇函数D ．周期2π的偶函数3．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1= A .-3 B.-1 Ｃ.１ Ｄ.34.已知{}n a 是等差数列，154=a ，555S =，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率为（ ）A ．4B ．41 C ．－4 D ．－14 5.已知向量(,1)a x =，(3,6)b =，且a b ⊥，则实数x 的值为( )A ．12B ．2-C ．2D ．21-6．已知:p 直线1:10l x y --=与直线2:20l x ay +-=平行，:1q a =-，则p 是q 的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于（ ） A ．16B ．11C ．8D．3www.k@s@5@高#考#资#源#网8.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是（ ）0.00040.00030.00020.0001A ．π32B ．π16C ．π12D ．π89．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若()()3,1,1,3a b =--=，则a b ⨯=( )AB ．2C ． ．410．已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：(2)12(2)4f f ≤⎧⎨-≤⎩为事件为A ，则事件A 发生的概率为( ) A ．14 B ． 58 C ．38 D ．12第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
广州市高二上学期期中数学试卷(理科)A卷
广州市高二上学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·吉林期中) 设向量 =（﹣1，1，2）， =（2，1，3），则向量，的夹角的余弦值为（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二上·张掖期末) 在R上定义运算⊗：x⊗y=（1﹣x）（1+y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意实数x均成立，则（）A . ﹣1＜a＜1B . ﹣2＜a＜0C .D . 0＜a＜23. （2分）(2018·内江模拟) 下列说法中正确的是（）A . 先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B . 线性回归直线不一定过样本中心点C . 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1D . 设随机变量服从正态分布，则4. （2分） (2018高一下·虎林期末) 在数列中， =1，，则的值为（）A . 512B . 256C . 2048D . 10245. （2分）命题“”的否定是（）A .B .C .D .6. （2分）已知向量，，，是空间的一个单位正交基底，若向量在基底，，下的坐标为（2，1，3），那么向量在基底+，-，下的坐标为（）A .B .C . （）D .7. （2分） (2016高一下·黄陵开学考) 下列3个命题：1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a＞0；3）y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）．其中正确命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分）下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c＞a＞b；③从总体中抽取的样本（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn），若记=xi ，=yi则回归直线y=bx+a必过点（,）；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且p（﹣2≤ξ≤0）=0.3，则p（ξ＞2）=0.2；其中正确的个数有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个9. （2分） (2016高一下·芦溪期末) 已知点M（x，y）满足若ax+y的最小值为3，则a的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分） (2019高一下·安徽月考) 对于数列，若任意，都有（为常数）成立，则称数列满足级收敛，若数列的通项公式为，且满足级收敛，则的最大值为（）A . 6B . 3C . 2D . 011. （2分） (2020高三上·闵行期末) 已知各项为正数的非常数数列满足，有以下两个结论:①若，则数列是递增数列；②数列奇数项是递增数列则（）A . ①对②错B . ①错②对C . ①②均错误D . ①②均正确12. （2分）设的两个极值点分别是若（－1,0），则2a＋b的取值范围是（）A . （1,7）B . （2,7）C . （1,5）D . （2,5）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·南阳期中) 若﹣1＜a＜0，则不等式﹣的最大值为________．14. （1分） (2017高一上·上海期中) 已知全集U=R，集合P={x|x2﹣5x﹣6≥0}，那么∁UP=________．15. （1分） (2016高二上·福州期中) 在各项均为正数的等比数列{an}中，a1=2，且a2 ， a4+2，a5成等差数列，记Sn是数列{an}的前n项和，则S5=________．16. （1分）已知x，y满足约束条件则z=2x+y的最小值为________三、解答题 (共4题；共40分)17. （10分） (2019高二上·龙江月考) 已知，求：（1）；（2）与所成角的余弦值.18. （10分）(2017·深圳模拟) 设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，q：实数x满足|x﹣3|＜1．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若其中a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19. （5分）(2017·河北模拟) 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角F﹣BD﹣C的余弦值．20. （15分） (2016高二上·西安期中) 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．（1）设数列{cn}对n∈N*均有 =an+1成立，求c1+c2+c3+…+c2016．（2）求数列{an}与{bn}的通项公式；（3）设数列{cn}对n∈N*均有 =an+1成立，求c1+c2+c3+…+c2016．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、答案：略3-1、4-1、5-1、答案：略6-1、7-1、答案：略8-1、答案：略9-1、10-1、11-1、12-1、答案：略二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、答案：略三、解答题 (共4题；共40分) 17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略20-3、答案：略。
广东省2020年高二上学期数学期中考试试卷A卷
广东省2020年高二上学期数学期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）过点且与直线平行的直线方程是（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高三上·嘉兴期末) 点到直线的距离是（）A .B .C . 1D .3. （2分） (2019高二上·太原月考) 下列说法中正确的是（）A . 表示过点，且斜率为的直线方程B . 直线与轴交于一点，其中截距C . 在轴和轴上的截距分别为与的直线方程是D . 方程表示过点，的直线4. （2分）若点A（﹣3，﹣4），B（6，3）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值为（）A .C . 或D . -或-5. （2分） (2019高二上·晋江月考) 若直线经过第一、二、三象限，则系数满足的条件为（）A . 同号B .C .D .6. （2分）若直线（）被圆截得的弦长为4，则的最小值为（）A .B .C . 2D . 47. （2分）(2020·榆林模拟) 设椭圆：的右顶点为A ，右焦点为F ， B、C 为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC于M ，且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（）A .B .C .8. （2分） (2020高二上·宜宾月考) 已知椭圆右焦点为F 过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为，则E的离心率是（）A .B .C .D .9. （2分）设圆锥曲线C的两个焦点分别为、，若曲线C上存在点P满足：：=4：3：2，则曲线C的离心率等于（）A . 或B . 或2C . 或2D . 或10. （2分） (2018高二下·揭阳月考) 若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是（）A .B .C .二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2020高二上·云浮期末) 若直线 : 与直线 : 互相垂直,则 ________.12. （1分） (2019高二上·慈溪期中) 圆C:x2+y2-8x-2y=0的圆心坐标是________;关于直线l:y=x-1对称的圆C'的方程为________.13. （1分）若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m为________14. （1分）(2012·江苏理) 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．15. （1分） (2019高二上·北京期中) 若椭圆的离心率为，则椭圆长轴长为________.16. （1分）(2017·枣庄模拟) 已知椭圆C：的长轴长为4，左、右焦点分别为F1 ， F2 ，过F1的动直线l交C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|的最大值为7，则b的值为________．三、解答题 (共4题；共40分)17. （10分） (2015高二上·孟津期末) 如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE=AF=4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C=2 ．（1）求五棱锥A′﹣BCDFE的体积；（2）求平面A′EF与平面A′BC的夹角．18. （10分） (2018高三上·德州期末) 已知椭圆：的左、右有顶点分别是、，上顶点是，圆：的圆心到直线的距离是，且椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）平行于轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为、，直线、与轴的交点记为，．试判断是否为定值，若是，证明你的结论．若不是，举反例说明．19. （10分） (2020高一上·来宾期末) 已知直线：与圆：交于，两点.（1）求的取值范围；（2）若，求 .20. （10分） (2018高二上·鄞州期中) 已知，动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）已知直线与曲线C交于A、B两点，若点，求证：为定值．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共6分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共40分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。
广东省广州市2020版高二上学期期中数学试卷(理科)A卷
广东省广州市2020版高二上学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知点A（2，﹣1，2），B（4，5，﹣1），C（﹣2，2，3），且，则P点的坐标为（）A . （5，5，0）B .C .D . （﹣1，5，0）2. （2分） (2019高二上·哈尔滨期中) 已知双曲线的渐近线为，实轴长为，则该双曲线的方程为（）A .B . 或C .D . 或3. （2分） (2019高三上·铁岭月考) 已知点，为坐标原点，分别在线段上运动，则的周长的最小值为（）A .B .C .D .4. （2分）若实数x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A . 4B . 5C . 2D . 15. （2分） (2016高二上·屯溪期中) 过直线x+y=9和2x﹣y=18的交点且与直线3x﹣2y+8=0平行的直线的方程为（）A . 3x﹣2y=0B . 3x﹣2y+9=0C . 3x﹣2y+18=0D . 3x﹣2y﹣27=06. （2分） (2017高二上·荆门期末) 已知等边△ABC的边长为2 ，动点P、M满足| |=1，，则| |2的最小值是（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二上·巴彦期中) 在平面直角坐标系中，点为椭圆：的下顶点，，在椭圆上，若四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则椭圆的离心率的取值范围为（）A .B .C .D .8. （2分）圆在点处的切线方程为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知O为坐标原点，双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0）（c＞0），以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A，B，O三点，且（ + ） =0，若关于x的方程ax2+bx﹣c=0的两个实数根分别为x1和x2 ，则以|x1|，|x2|，2为边长的三角形的形状是（）A . 钝角三角形B . 直角三角形C . 锐角三角形D . 等腰直角三角形10. （2分）(2019·北京) 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（）A . ①B . ②C . ①②D . ①②③11. （2分） (2018高一下·石家庄期末) 已知直线：与直线：垂直，则点到直线距离为（）A . 1B . 2C .D .12. （2分）(2017·呼和浩特模拟) 已知椭圆（a＞b＞0）的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1 ， F2 ，在线段AB上有且仅有一个点P满足PF1⊥PF2 ，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·肇庆模拟) 平面向量，，若，则＝________.14. （1分）已知a∈R，直线l：（a﹣1）x+ay+3=0，则直线l经过的定点的坐标为________15. （1分）已知圆O：x2+y2=9上到直线l：a（x+4）+by=0（a，b是实数）的距离为1的点有且仅有2个，则直线l斜率的取值范围是________16. （1分） (2018·山东模拟) 若，分別是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的左支上，点在直线上，且满足，，则该双曲线的离心率为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）设直线l过点（2，3），且与直线x﹣2y+1=0平行，若点P（a，2）（a＞0）到直线l的距离为，试求a的值．18. （5分） (2016高二上·大连期中) 已知命题p：“ =1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，命题q：“不等式组所表示的区域是三角形”．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．19. （10分） (2016高一下·大丰期中) 回答下列问题（1）已知圆C的方程为x2+y2=4，直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点．若|AB|=2 ，求直线l的方程；（2）设直线l的方程为（a+1）x+y﹣2﹣a=0（a∈R）．若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．20. （15分） (2017高二上·太原月考) 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为，直线与抛物线相交于不同的，两点．（1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线过抛物线的焦点，求的值；（3）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．21. （10分）(2017·林芝模拟) 知椭圆 + =1（a＞b＞0）的离心率e= ，过点A（0，﹣b）和B （a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD 为直径的圆过E点？请说明理由．22. （5分） (2018高二上·淮北月考) 已知圆，圆心为，定点，为圆上一点，线段上一点满足，直线上一点，满足．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）为坐标原点，是以为直径的圆，直线与相切，并与轨迹交于不同的两点．当且满足时，求面积的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、。
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18. （2分） (2018高二上·宁夏期末) 给定两个命题， ：对任意实数 都有 恒成立； ：关于 的方程 有实数根；如果 与 中有且仅有一个为真命题，求实数 的取值范围.
19. （2分） (2016高二下·沈阳开学考) 已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．
（1） 求圆的圆心C的坐标和半径长；
D . 既不充分也不必要条件
4. （1分） 已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝ ， ∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥SABC的体积为（ ）
A . 3
B . 2
C .
D . 1
5. （1分） (2018高二上·牡丹江期中) 已知点 ， ，直线 相交于点 ，且它们的斜率之积为 .则动点 的轨迹方程为（ ）
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
三、 解答题 (共3题；共5分)
18-1、
19-1、
19-2、
19-3、
20-1、
20-2、
（2） 直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证： 为定值；
（3） 斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．
20. （1分） (2017·临汾模拟) 如图（1），五边形ABCDE中，ED=EA，AB∥CD，CD=2AB，∠EDC=150°．如图（2），将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱锥P﹣ABCD．点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD．
A .
B .
C . 18
D . 36
8. （1分） (2017高二上·牡丹江月考) 下列命题正确的个数是（ ）
（1）已知 、 ， ，则动点 的轨迹是双曲线左边一支；（2）在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是抛物线；（3）设定点 ， ，动点 满足条件 ，则点 的轨迹是椭圆。. 2个
D . 3个
9. （1分） (2016高三上·思南期中) 过抛物线y2=2px焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO为（ ）
A . 锐角三角形
B . 直角三角形
C . 不确定
D . 钝角三角形
10. （1分） 设m、n是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列四个命题：
广州市高二上学期数学期中考试试卷A卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 单选题 (共10题；共10分)
1. （1分） (2016高一下·兰陵期中) 圆的方程是（x﹣1）（x+2）+（y﹣2）（y+4）=0，则圆心的坐标是（ ）
A . （1，﹣1）
B . （ ，﹣1）
C . （﹣1，2）
D . （﹣ ，﹣1）
2. （1分） 向量 ， 命题“若 ， 则" ”的逆命题是（ ）
A . 若 ,则
B . 若 则
C . 若 则
D . 若 则
3. （1分） 给定两个命题 ， 若 是 的必要而不充分条件，则 是 的（ ）
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充要条件
（i）给出下列结论：
①曲线 为中心对称图形；
②曲线 为轴对称图形；
③当 时，若点 在曲线 上，则 或 .
其中，所有正确结论的序号是________.
（ii）当 时，若曲线 所围成的区域的面积小于 ，则 的值可以是________.（写出一个即可）
17. （1分） (2020·攀枝花模拟) 如图，求一个棱长为 的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个三对棱长相等的四面体 ，其三对棱长分别为 ，则此四面体的体积为________；
（1） 求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2） 若直线PC与AB所成角的正切值为 ，求直线BM与平面PDB所成角的正弦值．
参考答案
一、 单选题 (共10题；共10分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、 填空题 (共7题；共7分)
11-1、
12-1、
12. （1分） (2015高二上·湛江期末) 已知F1、F2分别为双曲线 （a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得 =8a，则双曲线的离心率的取值范围是________．
13. （1分） (2018高二下·上海月考) 如图，已知正方体 的棱长为 ，点 为线段 上一点， 是平面 上一点，则 的最小值是________．
①若 ， 则 ②若 ， ， ， 则
③若 ， ， 则 ④若 ， ， 则
其中正确命题的序号是 （ ）
A . ①和②
B . ②和③
C . ③和④
D . ①和④
二、 填空题 (共7题；共7分)
11. （1分） (2018高二上·嘉兴期中) 已知直线 ， . 若 ，则实数 ________；若 ，则实数 ________.
A .
B .
C .
D .
6. （1分） (2017高二下·辽宁期末) 图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：① 与 平行；② 与 是异面直线；③ 与 成 角；④ 与 垂直；以上四个命题中，正确的是（ ）
A . ①②③
B . ②④
C . ②③④
D . ③④
7. （1分） (2017·蚌埠模拟) 已知AD与BC是四面体ABCD中相互垂直的棱，若AD=BC=6，且∠ABD=∠ACD=60°，则四面体ABCD的体积的最大值是（ ）
14. （1分） (2017高一下·河北期末) 如图，网格纸上每个小正方形的边长为 ，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为________．
15. （1分） (2017高一上·濉溪期末) 已知圆x2+y2=4，则圆上到直线3x﹣4y+5=0的距离为1的点个数为________．
16. （1分） (2020高三上·海淀期末) 已知曲线 （ 为常数）.