高一数学函数的定义域与值域的常用方法

高一数学求函数的定义域与值域的常用法

一：求函数解析式

1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。

例1. 已知2211

()x x x f x x +++=

，试求()f x 。 解：设1x t x +=，则11x t =-，代入条件式可得：2

()1f t t t =-+，t ≠1。故得：2()1,1f x x x x =-+≠。

说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。

2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。

例2. （1）已知21

()2()345

f x f x x x +=++，试求()f x ；

（2）已知

2

()2()345f x f x x x +-=++，试求()f x ； 解：（1）由条件式，以1x 代x ，则得2111

()2()345f f x x x x +=++，与条件式联立，

消去1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则得：

()222845333x f x x x x =+--+

。 （2）由条件式，以－x 代x 则得：

2

()2()345f x f x x x -+=-+，与条件式联立，消去

()

f x -，则得：

()2543f x x x =-+

。

说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。 例4. 求下列函数的解析式：

（1）已知)(x f 是二次函数，且1)()1(,2)0(-=-+=x x f x f f ，求)(x f ；

（2）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ，)1(+x f ，)(2

x f ；

（3）已知x x

x x x f 1

1)1(22++=+，求)(x f ； （4）已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f 。

【题意分析】（1）由已知)(x f 是二次函数，所以可设)0()(2

≠++=a c bx ax x f ，设法求出c b a ,,即可。

（2）若能将x x 2+适当变形，用1+x 的式子表示就容易解决了。

（3）设x

x 1

+为一个整体，不妨设为t ，然后用t 表示x ，代入原表达式求解。 （4）x ，x -同时使得)(x f 有意义，用x -代替x 建立关于)(x f ，)(x f -的两个程

就行了。

【解题过程】⑴设)0()(2

≠++=a c bx ax x f ，由,2)0(=f 得2=c ， 由1)()1(-=-+x x f x f ，得恒等式12-=++x b a ax ，得2

3,21-==b a 。 故所求函数的解析式为22

3

21)(2+-=

x x x f 。

（2）1)1(112)(2)1(2

2-+=-++=+=+x x x x x x f ， 又)1(1)(,11,02

≥-=∴≥+≥x x x f x x 。

（3）设

1,11

,1≠-==+t t x t x x 则， 则1)1()1(111111)1()(2

2222+-=-+-+=++=++=+=t t t t x x x x x x x f t f 所以)1(1)(2

≠+-=x x x x f 。

（4）因为3)(2)(3+=-+x x f x f ①

用x -代替x 得3)(2)(3+-=+-x x f x f ②

解①②式得5

3

)(+=x x f 。

【题后思考】求函数解析式常见的题型有：

（1）解析式类型已知的，如本例⑴，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式)0(2

≠++=a c bx ax y ，顶点式k h x a y +-=2

)(和标根式))((21x x x x a y --=的选择；

（2）已知)]([x g f 求)(x f 的问题，法一是配凑法，法二是换元法，如本例（2）（3）；

（3）函数程问题，需建立关于)(x f 的程组，如本例（4）。若函数程中同时出现)(x f ，

)1(x f ，则一般将式中的x 用x

1

代替，构造另一程。 特别注意：求函数的解析式时均应格考虑函数的定义域 二：求函数定义域

1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。

例3.

求

34

x y x +=-的定义域。

解：由题意知：204x x +>⎧⎪⎨

≠⎪⎩

，从而解得：x>－2且x ≠±4.故所求定义域为：

{x|x>－2且x ≠±4}。

例2. 求下列函数的定义域： （1）3

5)(--=

x x

x f ； （2）x x x f -+-=11)( 【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次被开数为非负数。

【解题过程】（1）要使函数有意义，则⎩⎨⎧±≠≤⎩⎨⎧≠-≥-3

5

,0305x x x x 即，在数轴上标出，即

53,33,3≤<<<--

表示为{}

5x 3,33,3≤<<<--<或或x x x 。

（2）要使函数有意义，则1,1

1

,0101=⎩⎨⎧≤≥⎩⎨

⎧≥-≥-x x x x x 所以即，从而函数的定义域为

{}1x |x =。

【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几