几何图形计数

几何图形计数问题

例一、

数一数，下图中包含几条线段。

解析：

数线段是几何图形计数问题的重点和基础。点和线段是基本的几何图形元素，一般可采取按照线段端点顺序分类

．．。

．．计数

．．加法

○1编序号

．．

如图，我们先把题图线段上各点按顺序编序号，然

后从“0”号端点开始计数。

以“0”号端点为左端点的一类线段有4−0=4条；

以“1”号端点为左端点的一类线段有4−1=3条；

以“2”号端点为左端点的一类线段有4−2=2条；

以“3”号端点为左端点的一类线段有4−3=1条；

将各类线段的数目相加，便可得到题图中所包含的线段总数：

4+3+2+1=10

我们发现：

把题图左端点编为“0”，向右依次编号，一直到“4”，而题图中所包含的线段总数恰为4~1连续自然数的和：4+3+2+1=10；

若某一线段上共有包含两端点在内的10个点，按照上述方法可编号为0~9；那么，这条线段所包含的线段总数应为：

9+8+7+6+5+4+3+2+1=45

○2数基本线段

．．．．

题图中，相邻两点间的线段，比如AAAA、AABB等，这类线段内不包含其它已知点，姑且称之为基本线段。

题图中有4条基本线段:AAAA、AABB、BBCC、CCDD；

相邻两条基本线段相加: AAAA+AABB、AABB+BBCC、BBCC+CCDD，则组成3条线段；

相邻三条基本线段相加: AAAA+AABB+BBCC、AABB+BBCC+CCDD，则组成2条线段；

相邻四条基本线段相加: AAAA+AABB+BBCC+CCDD，则组成1条线段；

将各类线段数目相加，便可得到题图中所包含的线段总数：

4+3+2+1=10

答：图中共有10条线段

例二、如图，数一数，图中包含几个角。

解析：

角的计数，可与线段计数采用相同的方法，即采用分类加法计数。

○1标注序号

．．

把题图中已知射线依序编号为0、1、2、3，如图所示。

一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所

形成的图形，叫做角。比如，射线OA绕公共端点O,沿顺时针

方向旋转到射线OB的位置，便形成∠AOB .据此，则有：

以0号射线为始边，沿顺时针方向分别旋转到射线1、2、

3的位置所形成的角有3个；

以1号射线为始边，沿顺时针方向分别旋转到射线2、3的位置所形成的角有2个；

以2号射线为始边，沿顺时针方向旋转到射线3的位置所形成的角有1个；

把这三类角的数目相加，便得到题图所包含的角的总数:

3+2+1=6

○2数基本角

．．．

具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。

在题图已知的四条具有公共端点的射线中，任取两条相邻

．．的射线都可以组成一个角，比如，射线OA与OB相邻，可构成∠AOB；不妨称这类角为“基本角”。

先数一数题图中有几个基本角，再按照不同的组合方式，用基本角来组成其他不同种类的角，最后各类数目相加。

题图中的基本角：∠AOB、∠BOC、∠COD，共有3个；

由两个相邻基本角所组成的角：∠AOB+∠BOC、∠BOC+∠COD，共有2个；

由三个相邻基本角所组成的角：∠AOB+∠BOC+∠COD，共有1个；

则题图所包含的角的总数为:

3+2+1=6.

答：题图中包含6个角。

我们发现：

题图所包含的角的总数等于由表示基本角数的数字开

始到1的连续自然数之和：

数数右图共包含多少角？

解：右图共有6个基本角，所包含角的总数是

6+5+4+3+3+1=21

例三、

如图，共有多少角？

解析：

本题与例二不同，要求数数一个周角内包含多少角。解题方法可参考例二，采用分类相加计数。

题图共有4个基本角：∠1、∠2、∠3、∠4；

相邻两个基本角相加，可组成4个角：

∠1+∠2、∠2+∠3、∠3+∠4、∠4+1；

相邻三个基本角相加，可组成4个角：

∠1+∠2+∠3、∠2+∠3+∠4、∠3+∠4+∠1、∠4+∠1+∠2；

相邻四个基本角相加，可组成1个角：∠1+∠2+∠3+∠4；

这4类角的个数之和为：4×3+1=13

答：图中共有13个角。

例四、

如图，数数图中共有几个三角形。

解析：

○1参照数线段的方法，按照三角形边的顺序来分类加法计数。

先把具有共有端点A的线段顺序标注序号，如图所示。

以0号边为左侧边的三角形有4个；

以1号边为左侧边的三角形有3个；

以2号边为左侧边的三角形有2个；

以3号边为左侧边的三角形有1个；

共有三角形10个：4+3+2+1=10

○2数基本三角形

．．．．．

题图特征：

○a所有三角形都具有公共顶点A;

○b线段BF上有4条基本线段。

由A点分别连接一个基本线段的两端点，便可组成一个三角形，比如，∆ABC、∆ACD等，不妨称这类以A为公共顶点的三角形为基本三角形。

显然，题图中的基本三角形与线段BF上的基本线段的数目相同。

将相邻基本三角形两两、三三、四四组合，则可得到不同类型的三角形。

而各类三角形的总数则为由表示基本三角形数（即基本线段数）的数字开始一直到1的连续自然数之和:

4+3+2+1=10

例五、

如图，数数图中包含多少三角形。

解：先不考虑GH线段，BF上共有4条基本线段，故题图共有10个三角形；

GH上的基本线段数与BF相同，也是构成以A为公共顶点的三角形，所以又增加10个三角形；

故图中包含的三角形总数为：

2×10=20

答：图中包含20个三角形。

例六、

如图，猜猜图中共有几个三角形。

解析：本题特征是没有图中所有三角形都具有的公共顶点。

线段BC上有两条基本线段，分别与连接A点、D点的线段围成2个三角形:

∆ABC、∆DGC