相似三角形六大证明技巧(提高类技巧训练)

回顾相似三角形的判定方法总结：

1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ）

3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)

4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)

5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 模型一：反A 型：

如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) 试一试写出具体证明过程

模型二：反X 型：

如图，已知角∠BAO =∠CDO ，若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC . 试一试写出具体证明过程

应用练习：

1. 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ⋅=⋅（2）∠BEO=∠CFO ，

∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB

相似三角形6大证明技巧

相似三角形证明方法之反A 型与反X 型

O

F E

C B

A E

D

C

B

A

O

D

C

B

A

2.已知在 △ABC 中 ,∠ABC =90∘,AB =3,BC =4. 点 Q 是线段 AC 上的一个动点 , 过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB ( 如图 1) 或线段 AB 的延长线 ( 如图 2) 于点 P .

(1)当点 P 在线段 AB 上时 , 求证： △APQ ∽ △ABC ； (2)当 △PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长。

模型三：射影定理

如图已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =⋅，2BC BH BA =⋅，，2HC HA HB =⋅，试一试写出具体证明过程

模型四：类射影

如图，已知2AB AC AD =⋅，求证：BD AB

BC AC

=，试一试写出具体证明过程

相似三角形证明方法之射影定理与类射影

C

A

B

H

A B

C

D

应用练习：

1.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。求证：

2.如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，连EF ，求证：∠AEF =∠C

F

E

D

C

B

A

模型五：一线三等角

如图，已知∠B =∠C =∠EDF ，则△BDE ∽△CFD （AA ），试一试写出具体证明过程

图3

图2

图1

E

F

F

C

B

B

C C B

A

D E

D A

E

D A

应用练习：

1.如图，△ABC 和△DEF 两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．

（1） 如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ； （2） （2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；

并求当BP=a ，CQ=9a/2 时，P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）

相似三角形证明方法之一线三等角

2.△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B （1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．

（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．

（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC 的面积的时，求线段EF的长．

3.如图，点在线段上，点、在同侧，，，

。

（1）求证：。

（2）若，，点为线段上的动点，连接，作，交直线于点。

①当点与、两点不重合时，求的值。

②当点从点运动到的中点时，求线段的中点所经过的路径（线段）长。（直接写出结果，不必写出解答过程）

通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。

在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算

横向与纵向观察所证线段比列式（如果是等积式，则将其化为等比式）的分子分母，三个字母即可确定三角形，从而证三角形相似即可。

1.如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于

F ．求证：

BF AB

BE BC

=．

2.如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证：DC CF AE AD

=．

3.如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于D ，交AB 于E ．求证：2AM MD ME =⋅

比例式的证明方法之三点定型 技巧一：三点定型

A

B

C

F

D

E

C

B

A

E D

M

D

B

A

C

F

E