黄河小浪底调水调沙工程数学实验实验报告

《数学实验》实验报告题目：黄河小浪底调水调沙工程

：胡迪

学号： 201014622

专业：信息与计算科学

黄河小浪底调水调沙问题

2004年6月至7月黄河进行了第三次调水调沙试验，特别是首次由小浪底、和万家寨三大水库联合调度，采用接力式防洪预泄放水，形成人造洪峰进行调沙试验获得成功。整个试验期为20多天，小浪底从6月19日开始预泄放水，至到7月13日恢复正常供水结束。小浪底水利工程按设计拦沙量为75.5亿m 3,在这之前，小浪底共积泥沙达14.15亿t 。这次调水调沙试验一个重要的目的就是由小浪底上游的和万家寨水库泄洪，在小浪底形成人造洪峰，冲刷小浪底库区沉积的泥沙，在小浪底水库开闸泄洪以后，从6月27日开始水库和万家寨水库陆续开闸放水，人造洪峰于29日先后到达小浪底，7月3日达到最大流量2700 ，使小浪底水库的排沙量也不断地增加。表1是由小浪底观测站从6月29日到7月10日检测到的试验数据。

表1 试验观测数据 （ 单位：水流为s m

/3

，含沙量为3kg/m ）

现在，根据试验数据建立数学模型研究下面的问题： （1）给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量的方法； （2）确定排沙量与水流量的变化关系。

关键词：拟合，SAS ，Matlab ，线性回归，调水调沙实验

问题分析：

1、对于问题一，所给数据中水流量x 和含沙量h 的乘积即为该时刻的排沙量y 即：y=hx 。

2、对于问题二，研究排沙量与排水量的关系，从实验数据中可以看出，开始排沙量随水量增加而增加，而后随水流量的增加而减少，显然变化关系并非线性的关系，为此，把问题分为两部分，从水流量增加到最大值为第一阶段，从水流量最大值到结束为第二阶段，分别来研究水流量与排沙量之间的函数关系。

模型假设：

1、水流量和排沙量都是连续的，不考虑上游泄洪所带来的含沙量和外界带来的含沙量。

2、时间是连续变化的，所取时间点依次为1,2,3，…,24,单位时间为12h 。

模型的建立与求解：

<一>对于问题一，因为排沙量与时间的散点图基本符合正态曲线，如图二所示。所以，排

沙量的对数与时间的函数关系就应该符合二次函数关系，因而排沙量取对数后，再与时间t 进行二次回归，排沙量取自然后的数据见表2. 假设排沙量与时间函数关系的数学模型是

两边取对数得 Lny=at^2+bt+c

先由表二做出排沙量的自然对数lny 与时间t 的散点图见图一，并利用SAS 软件进行拟合，得到排沙量的自然对数与时间的回归方程为： Lny=-0.0209t^2+0.4298t+10.6321

由回归拟合参数表可知回归方程是显著的，因为相关系数人R^2=0.9629,误差均方S^2=0.0543，说明回归曲线拟合效果很好。 所以排沙量与时间之间的函数关系式为

e

c bt at y ++=2^e

t t y 6312

.104289.02^0209.0++-=

图二：排沙量对时间的曲线图

最后对所求出的函数关系在区间[0,24]之间进行积分

结果为总排沙量1.93962亿吨，此与媒体报道的排沙量几乎一样。

dt

e

t t ⎰

++-24

6312

.104289.02^0209.0*60*60*12

<二>对于第二个问题，两个阶段的数据如表三、表四所示

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 1800 1900 2100 2200 2300 2400 2500 2600 水流量

x

32 60 75 85 90 98 100 102 含沙量

h

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 2650 2600 2500 2300 2200 2000 1850 1820 水流量

x

116 118 120 118 105 80 60 50 含沙量

h

对于第一阶段，有表四用MATLAB作图（如图三）可以看出其变化趋势，我们用多项式做最

小二乘拟合。

设三次拟合函数关系h=a0+a1x+a2x^2+a3x^3

其中a0,a1,a2,a3,为待定系数。

四次拟合函数关系h= a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4

其中a0,a1,a2,a3,a4为待定系数。

图三：第一阶段水流量与排沙量之间的关系图

三次多项式拟合由MATLAB拟合函数求解出a0=a1=0,a2=0.0032,a3=-2.4929.则拟合函数

h=0.0032x^2-2.4929x^3,拟合效果如图四所示

图四：三次多项式拟合效果，红线为拟合曲线

类似的四次多项式拟合由MATLAB拟合函数求解出a0=a1=a2=0,a3=0.0121,a4= -7.4347则拟合函数

h=0.0121x^3-7.4347x^4,拟合效果如图五所示

图五：四次多项式拟合效果，蓝线线为拟合曲线

对于第二阶段，有表五用MATLAB作图可以看出其变化趋势，我们用多项式做最小二乘拟合。设三次拟合函数关系h=a0+a1x+a2x^2+a3x^3

其中a0,a1,a2,a3,为待定系数。

四次拟合函数关系h= a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4

其中a0,a1,a2,a3,a4为待定系数。

三次多项式拟合由MATLAB拟合函数求解出a0=a1=0,a2=-0.9475,a3= 464.9601.则拟合函数

h=-0.9475x^2+464.9601x^3,拟合效果如图图六所示

图六：三次拟合函数拟合效果

类似的四次多项式拟合由MATLAB拟合函数求解出a0=a1=0，a2=-0.0013，a3= 1.1219

a4=-354.5952则拟合函数

h=-0.0013x^2+1.1219x^3-354.5952x^4,拟合效果如图七所示

图七：四次拟合函数拟合效果