导数的运算练习题答案Word版

1.设a 为实数，函数R x a x e x f x
∈+-=,22)(。

(Ⅰ)求)(x f 的单调区间与极值；
(Ⅱ)求证：当12ln ->a 且0>x 时，122
+->ax x e x。

2. 已知 函数f(x)=))(6(3)4(2
3
R x n mx x m x ∈-+--+的图像关于原点对称，其中m,n 为实常数。

（１） 求n m ,的值；
（２） 试用单调性的定义证明：f (x) 在区间[-2, 2] 上是单调函数；
（３） 当-2≤x ≤2 时，不等式)log ()(a n x f m -≥恒成立，求实数a 的取值范围。

解(1)由于f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数, f(-x)=-f(x)
恒成立，)6(3)4()6(3)4(2323--+---=-++-+-n mx x m x n mx x m x
[]()()()()()(),
,0,
012022)
12)(()12()12(,2,2,,12)()1()2(.6,40)6()4(2121222121212122212121232131212
12132x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x f n m n x m >>-<-++<-≤<≤--++-=---=-<-∈-====-+-即从而，知，由且任取可知由恒成立，必有即
∴f(x)在[-2,2]上是减函数。

（3）由（2）知f(x)在[-2,2]上是减函数，则-22≤≤x 时,()().162-=≥f x f 故-2时，2≤≤x 不等式f(x)a a n m m log )log (-≥恒成立
.4161
08
log 2log 0)2)(log 8(log log )log 6(168444444≥≤
<⇒≥-≤⇒≥+-⇒-≥-⇒a a a a a a a a 或或
3.设定函数)0(3
)(23
>+++=a d cx bx x a x f ，
且方程09)('=-x x f 的两个根分别为1，4。

（Ⅰ）当a=3且曲线)(x f y =过原点时，求)(x f 的解析式； （Ⅱ）若)(x f 在),(+∞-∞无极值点，求a 的取值范围
4.设函数()ln ln(2)f x x x ax =+-+(0)a >． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 在(0,1]上的最大值为1
2，求a 的值．
【解析】对函数求导得：
11()2f x a x x '=
-+-，定义域为（0，2）
单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。

当a=1时，令2112
()0+1=00
22x f x x x x x -+'=-⇒=--得（）
当()0,x f x '∈>
为增区间；当()0,x f x '∈<为减函数。

区间
(]01，上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定
量a 的值。

当
(]
01x ∈，有最大值，则必不为减函数，且
11
()2f x a x x '=
-+->0，为单调递增区间。

最大值在右端点取到。

max 1
(1)2f f a ===。

5.已知函数)(11ln )(R a x
a
ax x x f ∈--+-= （Ⅰ）当2
1
≤
a 时，讨论)(x f 的单调性： （Ⅱ）设42)(2
+-=bx x x g .当4
1=a 时，若对任意)2,0(1∈x ，存在]2,1[2∈x ，使
)()(21x g x f ≥，求实数b 的取值范围。

【解析】(Ⅰ)原函数的定义域为（0，+∞），因为 '
2
11()-x a f x a x -=-=22-ax +x+a-1
x ，所
以当0a =时，
'2x-1()f x x =
，令'
2x-1()>0
f x x =得x>1，所以
此时函数f(x)在（1，+∞）上是增函数；在（0，1）上是减函数；
当12a =时，'()f x =2211
-x +x+-122x ⨯=22-x +2x-12x =2
2-x-102x ≤（），所以
此时函数f(x)在（0，+∞）是减函数；
当<0a 时，令'()f x =22-ax +x+a-1>0x 得2-ax +x-1+a>0，解得1
x>1x<-1a 或（舍去），此
时函数f(x)在（1，+∞）上是增函数；在（0，1）上是减函数；
当10<<2a 时，令'()f x =22-ax +x+a-1>0x 得2-ax +x-1+a>0，解得11<x<-1a ，此时函数 f(x)在（1，1-1)a 上是增函数；在（0，1）和1
-1a （，
+∞）上是减函数；
当1<<12a 时，令'()f x =22-ax +x+a-1>0x 得2-ax +x-1+a>0，解得1
-1<x<1a ，此时函数 f(x)在1-1a （，1）上是增函数；在（0，1
-1a ）和1（，+∞）上是减函数；
当1a ≥时，由于1
-10a ≤，令'()f x =22-ax +x+a-1>0x 得2-ax +x-1+a>0，可解得01x <<，
此时函数f(x)在（0，1）上是增函数；在（1，+∞）上是减函数。

（Ⅱ）当
1
4a =
时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意1(0,2)x ∈，
有
11f(x )f(1)=-
2≥，又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以21()
2g x -≥，
[]
21,2x ∈，即存在
[]
1,2x ∈，使
21()242g x x bx =-+≤-
，即29
22bx x ≥+
，即
9
22b x x ≥+∈1117[,]
24，所以1122b ≥，解得114b ≥，即实数b 取值范围是11
[,)4+∞。

6.已知函数)(12
3)(2
3
R x x ax x f ∈+-
=，其中0>a . （Ⅰ）若1=a ，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间]2
1
,21[-
上，0)(>x f 恒成立，求a 的取值范围. 【解析】（Ⅰ）解：当a=1时，f （x ）=323
x x 12-+，f （2）=3；f ’(x)=2
33x x -, f ’(2)=6.
所以曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.
（Ⅱ）解：f ’(x)=
2333(1)ax x x ax -=-.令f ’(x)=0，解得x=0或x=1
a . 以下分两种情况讨论：
若
11
0a 2a 2<≤≥
，则，当x 变化时，f ’(x)，f （x ）的变化情况如下表：
当11x f x 22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，（）>0
等价于5a 10,()0,8215a ()0,0.28f f -⎧⎧
>->⎪⎪⎪⎪⎨
⎨+⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩即，
解不等式组得-5<a<5.因此0a 2<≤.
若a>2，则
11
0a 2<
<
.当x 变化时，f ’(x),f （x ）的变化情况如下表：
当11x 22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，f （x ）>0等价于1
f(-)21f()>0,a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩>0,即258
11->0.2a a -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩>0,，解不等式组得52a <<或
2a <-
.因此2<a<5.综合（1）和（2），可知a 的取值范围为0<a<5.
7.已知函数bx x ax x f ++=2
3)( （其中常数R b a ∈,），)()(')(x f x f x g +=是奇函数.
（Ⅰ）求)(x f 的表达式；
（Ⅱ）讨论)(x g 的单调性，并求)(x g 在区间]2,1[上的最大值与最小值.
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。