解立体几何题的四种思路

解立体几何题的四种思路

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题也成为新的基础。向量引入高中阶段的教学是必要和可行的，但两头都要兼顾好，传统做辅助线解立体几何题有助于空间想象能力和逻辑思维能力的锻炼和加强，而用向量来解决它就是想化解这个思维难度，空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系和度量问题提供了一个十分有效的工具，为处理立体几何问题提供了新的视角，灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题是大势所驱。

立体几何题浩如烟海，但如果掌握了思路方法，就可以做到以不变应万变，轻松自如，游刃有余了。立体几何题的两大主要题型是解答和证明，无非是求角、求距离、求位置关系等，证明一般是证垂直、平行或异面等。在教学中我总结出了四种解题思路，发散学生们的思维，他们上课时也精神集中，非常欣喜，真正激起了他们的兴奋点，当然效果也就比较好。现综述如下：

思路一：直接求法

如果问题要求角那么就把角直接找出来，找不出来就通过作辅助线的方法把它作出来。求距离或其他也一样，直接找出来然后去计算就可以了。现举一例说明：

例1、如图在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，∠90

BAD，AD//BC，AB=BC=a ，AD=2a ，PA⊥底面ABCD，

=

︒

PD与底面成︒

30角。

1>若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD;

2>求异面直线AE与CD所成的角。

P

E

A D

1>证明： B C

PA⊥底面ABCD ⇒PA⊥AB

AB⊂底面ABCD ⇒AB⊥平面PAD⇒

∠BAD=︒

90⇒AB ⊥AD

PA AD=A

⇒AE是BE在平面PAD内的射影

AE⊥PD ⇒BE ⊥PD

PD⊂平面PAD

2>解:作AF||CD，AF交CB的延长线于点F，连EF，则直线AE与AF所成

的角即为异面直线AE与CD所成的角，作EH⊥AD交AD于点H，连FH，

易得∠FAD=︒135，AF=CD=a 2，AE=AD a =︒30sin ,AH=AE 260a COS =

︒,从而得

a AF AH AF AH FH 213135cos 222=

︒⋅-+=，EF=()a a EH FH 260sin 2132222=︒+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=+ 4222)2()2(2cos 222222-=⋅-+=⋅-+=∠∴a

a a a a AF AE EF AF AE EFA 于是得异面直线AE 与CD 所成的角为 4

2a r c c o s P

E

A H D

F B C

评析：直接求法的思路的难点在于有时要作辅助线，要作出恰当的辅助线不

容易且有时计算起来也较复杂。如第一问用直接求法很容易，但第二问用直

接求法就有一定难度了。如果基础知识不过关，同学们是很难作出的。

思路二：向量求法

空间直线可以转化成空间向量，当求角时，可用|

|||,cos b a b a b a ⋅>=< 来搭建桥梁，特别的当b a ,均为非零向量时0=⋅⇔⊥b a b a ，当求距离时可用

2||a a = 来搭建桥梁等等。现在我仍然以例1来说明。

1>证明：

PA ⊥底面ABCD ⇒PA ⊥AB ⇒0=⋅BA PA

AB ⊂底面ABCD

∠BAD=︒90⇒ 0=AD ⇒

AE ⊥PD ⇒0=⋅PD AE

0000)()(=+=⋅+⋅=++⋅=⋅+⋅=⋅+=⋅AD BA PA BA AD PA BA PD AE PD BA PD AE BA PD BE ⇒BE ⊥ PD

2> 解：易得

42

260cos 2120cos 22)(,cos ,

2||,||2

2222=︒+︒=⋅+⋅+⋅=++⋅=>=

<∴==a a a a a CD AE a a 于是AE 与CD 所成的角为4

2arccos 评析：用向量方法做这题简洁明了，不过这里要知道灵活运用三角形法则，

尽量与垂直关系联系起来，因为两个向量垂直，则数量积为零，这样问题就

得到简化。

思路三：坐标法

当出现三垂关系的时候，通过建立直角坐标系来解决立体几何题有时可以使

问题大大简化，其实它本质上还是向量解法，但它的思路更简单直接。这儿

我仍然以例1来说明。

1> 证明：如下图,以点A 为坐标原点，AB 为X 轴，AD 为Y 轴，AP 为Z

轴建立直角坐标系。

易得

,0(),3

32,0,0(),0,0,(D a P a B

作EH ⊥AD 交AD 于点H ，则

),33

2,2,0()33

20,,02,00(),23

,21

,()023,021,

0(),23

,21

,0(,2160cos ,2360sin a a a a PD a a a a a BE a a E a AE AH a AE EH -=---=-=---=∴∴=︒==

︒=

0)3

32(23221022=-=-⋅+⋅+=∴a a a a a a BE ∴BE ⊥PD

2> 解：由1>易得

4

2

arccos 422214

341)0,,()23,21,0(,cos ),0,,(),0,,(),2

3,21,0(22

222所成的角为与CD AE a a a a a a a a a a a a a a a C a a ∴==++-⋅>=<∴-=∴=

评析：用坐标法来解此题显得简洁清晰，化解了作辅助线的难点，尤其是第二问用坐标法来解明显优于前两种方法，学生们也最容易接受。

思路四：等体积法

这儿用一个简单的的例题来说明这种方法的应用。

例2：如图，AP 、AB 、AC 两两互相垂直且长度都等于1，求点A 到平面PBC 的距离h 。

解：由PBC A ABC P V V --=得： P

h S PA S PBC ABC ⋅=⋅∆3

131 h BPC PC PB AC AB ⋅∠⋅=⋅sin 2121 h ⋅︒⨯=⨯60sin 2211 A C 3

3=h B 评析：当前三种思路受阻碍时，运用第四种思路往往有“山穷水复疑无路，柳岸花明又一村。”的感觉，当然对于上题还有更简单的方法，但对于一些其他