三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识总结

三角形“四心”向量形式的充要条件应用
1．O 是ABC ∆的重心0OC OB OA
=++;
若O 是ABC ∆的重心，则
ABC AOB AOC BOC S 31
S S S ∆∆∆∆=
==故
=++;
1()
3
PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ⇔G 为ABC ∆的重心.
2．O 是ABC ∆的垂心OA OC OC OB OB
OA ⋅=⋅=⋅;
若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则
C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆
故C tan B tan A tan
=++
3．O 是ABC ∆的外心||||||==(或2
2
2
OC OB OA ==)
若O 是ABC ∆的外心则
C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：
故0OC C 2sin OB B 2sin OA
A 2sin =++
4．O
是内心ABC ∆的充要条件是
|
CB ||
CA |(
|
BC ||
BA |(
AC
|
AB |(
=⋅=⋅=⋅
引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才
O 是ABC ∆内心的充要
条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以
是0OC c OB b OA
a =++ 。

若O 是ABC ∆的内心，则c
b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆
故
0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;
||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r
是ABC ∆的内心;
向量()(0)||||
AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r
u u u
r u u u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；
(一)
将平面向量与三角形内心结合考查
例1．
O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足+
+=λ，[)
+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（
）
（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心
是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r 与AC u u u
r 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则
原式可化为
)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC
∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略）） 例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB
PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D
）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即
则AB PC BC PA CA PB
⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心. 证明 作图如右，图中GE GC GB =+
连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，
得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(3
1
PC PB PA PG ++=
. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(3
1
PC PB PA PG ++=
.（反之亦然（证略）
） 例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
，则O 是ABC ∆ 的（ ）
A ．内心
B ．外心
C ．垂心
D ．重心
解析：由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r ，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r
，
由平行四边形性质知12
OE OD =u u u r u u u r
，2OA OE
=，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

(四) 将平面向量与三角形外心结合考查
例7若O 为ABC ∆内一点，OA OB OC
==u u u r u u u r u u u r
，则O 是ABC ∆ 的（ ）
A ．内心
B ．外心
C ．垂心
D ．重心
解析：由向量模的定义知O 到ABC ∆的三顶点距离相等。

故O 是ABC ∆ 的外心，选B 。

(五)将平面向量与三角形四心结合考查
例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1， 求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题） 证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =2
1
-， 同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =2
1-
， ∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.
反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |. 即O 是△ABC 所在平面内一点，
1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中心.
例9．在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。

求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2。

【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。

设A(0,0)、B （x 1,0）、C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：
112222,0)(,)(,22222x x x y x y E F +D （
、、 由题设可设1324,)(,)2
x Q y H x y （、, 122(,)33x x y G +212243(,)(,)222x x y AH x y QF y ∴==--u u u u r u u u r ，
212(,)BC x x y =-u u u r
2212422142
()0()
AH BC AH BC x x x y y x x x y y ⊥∴•=-+=-∴=-
u u u u r u u u r Q u u u u r u u u r
2122232212
32()()0222
()22QF AC x x y
QF AC x y y x x x y y y ⊥∴•=-+-=-∴=+
u u u r u u u u r Q u u u r u u u u r
1212212
24323()(,),22
x x x x x x y QH x y y --∴=--=--u u u u r 2（22y
21122122212
3212212212212
2()(,),)
3233223()23()1 (
,(,6321 =3x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x x x x y QH
+--∴=--=------=--=--u u u r u u u
u r 222（62y 66y 22y 即=3QH QG u u u u r u u u r
，故Q 、G 、H 三点共线，且QG ：GH =1：2
例10．若O 、H 分别是△ABC 的外心和垂心.求证 OC OB OA OH ++=. 证明 若△ABC 的垂心为H ，外心为O ，如图. 连BO 并延长交外接圆于D ，连结AD ，CD .
∴AB AD ⊥，BC CD ⊥.又垂心为H ，BC AH ⊥，AB CH ⊥， ∴AH ∥CD ，CH ∥AD ，
∴四边形AHCD 为平行四边形，
∴OC DO DC AH +==，故OC OB OA AH OA OH ++=+=.
着名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系： （1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例11． 设O 、G 、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心. 求证 OH OG 3
1
= 证明 按重心定理 G 是△ABC 的重心⇔)(3
1
OC OB OA OG ++=
按垂心定理 OC OB OA OH ++= 由此可得 OH OG 3
1
=
. 补充练习
1．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足
OP =
31 (
21OA +OB 2
1
+2OC ),则点P 一定为三角形ABC 的 （ B ） 边中线的中点 边中线的三等分点（非重心） C.重心 边的中点 1. B 取AB 边的中点M ，则
OM
OB OA 2=+，由
OP
=
3
1 (
2
1OA +
OB 2
1+2
OC
)可得
3MC OM OP 23+=，∴MC MP 3
2=，即点P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故
选B.
2．在同一个平面上有ABC ∆及一点Ｏ满足关系式：
2O A u u u u u r ＋2BC u u u u u u r ＝2OB u u u u u u r ＋2CA u u u u u r ＝2OC u u u u u u r ＋2
AB u u u u u u r
，则Ｏ为
ABC ∆的 （D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
2．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足：0
PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r ，则P 为
ABC
∆的
（C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
)(AC AB OA OP ++=λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
4．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足：
0PA PC PA PB PB PC •+•+•=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，则P 点为三角形的 （D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ⋅+⋅+•=u u u r u u u r u u u r
，则
P 点为三角形的
（B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 6．在三角形ABC 中，动点P 满足：CP
AB CB CA •-=22
2，则P 点轨迹一定通过△ABC 的：
（ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
7.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →
=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形
解析：非零向量与满足(||||
AB AC AB AC +u u u r u u u r u u u r u u u r )·=0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴ AB =AC ，又cos A =||||
AB AC AB AC ⋅u u u r u u u r
u u u r u u u r =1
2 ，∠A =3π，
所以△ABC 为等边三角形，选D ．
8.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m = 1
9.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OB
OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的（B
）
（A ）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点
（C ）三条中线的交点
（D ）三条高的交点
10. 如图1，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =u u u u v u u u v
， AN y AC =u u u v u u u v ，则11
3x y
+=。

证 点G 是ABC ∆的重心，知GA GB GC
++=u u u v u u u v u u u v
O ，
得()()AG AB AG AC AG -+-+-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v O ，有1()3
AG AB AC =+u u u v u u u v u u u v。

又M ，N ，G 三点共线（A 不在直线MN 上），
于是存在,λμ，使得(1)AG AM AN λμλμ=++=u u u v u u u u v u u u v
且， 有AG x AB y AC λμ=+u u u v u u u v u u u v =1()3
AB AC +u u u v u u u v ，
得1
1
3x y λμλμ+=⎧⎪
⎨==⎪⎩
，于是得113x y +=。

例讲三角形中与向量有关的问题
教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法 2、向量的加法、数量积等性质
3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题
4、数形结合
教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题
教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题 教学过程： 1、课前练习
已知O 是△ABC 内的一点，若2
22
==，则O 是△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心 在△ABC 中，有命题①
=-；②=++；③若()()
0=-•+，则△ABC
为等腰三角形；④若
0>•，则△ABC 为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕
A 、①②
B 、①④
C 、②③
D 、②③④
2、知识回顾
三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法 向量的有关性质
上述两者间的关联
3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题
例1、已知△ABC
中，有0=•⎪⎫ ⎛+BC
21
=•,试判断△ABC 的形状。

练习1、已知△ABC 中，
=，=，B 是△ABC 中的最大角，若0<•，试判断△ABC 的形状。

4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
例2、已知O 是△ABC
+=+=+，则O 是△ABC 的
〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
例3、已知P 是△ABC 所在平面内的一动点，且点P
满足()+∞∈⎫
⎛++=,0,λλ，则动点P 一定
过△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
练习2、已知O 为平面内一点，A 、B 、C 平面上不共线的三点，动点P 满足()+∞∈⎪⎭
⎫
⎝⎛++=,0,21λλ，
则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
例4、已知O 是△ABC 所在平面内的一点，动点P
满足()+∞∈⎪
⎫
⎛+=,0,λλOA OP ，则
动点P 一定过△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
练
习
3
、
已
知
O
是
△
ABC
所
在
平
面
内
的
一
点
，
动
点
P
满
足
()+∞∈⎪
⎫ ⎛+++=,0,2λλOC OB ，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
例5、已知点G 是的重心，过G 作直线与AB 、AC 分别相交于M 、N 两点，且y x •=•=,，求证：
31
1=+y
x 6、小结
处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，合理地将向量等式和图形进
行转化是处理这类问题的关键。

7、作业
1、已知O 是△ABC 内的一点，若=++，则O 是△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心 2、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，且=++，则•等于〔 〕
A 、
21 B 、0 C 、1 D 、2
1- 3、已知O 是△ABC 所在平面上的一点，A 、B 、C 、所对的过分别是a 、b 、c 若=•+•+•c b a ，则O
是△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心 4、已知P 是△ABC 所在平面内与A 不重合的一点，满足
AP AC AB 3=+，则P 是△ABC 的〔 〕
A 、重心
B 、垂心
C 、外心
D 、内心
5、平面上的三个向量、、满足=++
1===，求证：△ABC 为正三
角形。

6、在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，求)(+⋅
三角形四心与向量的典型问题分析
向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。

在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。

在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，
最后将运算的结果再还原为几何关系。

下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。

既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。

一、“重心”的向量风采
【命题1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r
，则G 是ABC △的重心．如图⑴.
A'
A
【命题2】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足
()OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r
，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.
【解析】 由题意()AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，当(0)λ∈+∞，时，由于()AB AC λ+u u u r u u u r 表示BC 边上的中线所在直线
的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.
二、“垂心”的向量风采
【命题3】 P 是ABC △所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．
【解析】 由PA PB PB PC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，得()0PB PA PC ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，即0PB CA ⋅=u u u r u u u r ，所以PB CA u u u r u u u r
⊥．同理可证PC AB u u u r u u u r ⊥，PA BC u u u r u u u r
⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.
【命题4】 已知O 是平面上一定点，A
B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足图⑴ 图⑵ 图⑶
图⑷
A
O
cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫
⎪
=++ ⎪⎝
⎭
uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r
，(0)λ∈+∞，
，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．
【解析】 由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪
⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
， 即0cos cos AB BC AC BC
BC CB AB B AC C
⋅⋅+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u u r u u u u r u u u r u u u r
,所以AP u u u r 表示垂直于BC uuu r 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.
三、“内心”的向量风采
【命题5】 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=u u r u u r u u r
，
则I 是ABC △的内心．
【解析】 ∵IB IA AB =+u u r u u r u u u r ，IC IA AC =+u u
r u u r u u u r ，则由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=u u r u u u r u u u r ，
∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC
⎛⎫ ⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+
⎪⎝
⎭
u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴bc AB AC AI a b c AB AC
⎛⎫ ⎪=
+
⎪++⎝
⎭
u u u r u u u r u u r u u u r u u u r ．∵AB AB u u u r u u u r 与AC
AC
u u u r
u u u r 分别为AB u u u r 和AC u u u r 方向上的单位向量， ∴AI u u r
与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．
同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸.
【命题6】 已知O 是平面上一定点，A
B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪
=++ ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，(0)λ∈+∞，
，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心． 图⑸
图⑹
B
【解析】 由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫
⎪
=+ ⎪
⎝
⎭
u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r ，∴当(0)λ∈+∞，
时，AP u u u r 表示BAC ∠的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹.
四、“外心”的向量风采
【命题7】 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222
OA OB OC ==u u u u r u u u u r u u u u r
，则O 是ABC △的外心．
【解析】 若222OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，则222OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，∴OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r
，则O 是ABC △的外
心，如图⑺。

【命题7】 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足
2
cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心。

【解析】 由于2
OB OC +u u u r u u u r 过BC 的中点，当(0)λ∈+∞，时，cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r
表示垂直于BC uuu r 的向量（注意：理由见二、4条解释。

），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，
如图⑻。

图⑺
图⑻。