三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识总结
三角形四心与向量(最新整理)
-2-
A．内心
B．外心 C．垂心 D．重心
解析：由向量模的定义知 O 到 ABC 的三顶点距离相等。故 O 是 ABC 的外心 ，选 B。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查
例 8．已知向量 OP1 ， OP2 ， OP3 满足条件 OP1 + OP2 + OP3 =0，| OP1 |=| OP2 |=| OP3 |=1，
向量 ( AB AC )( 0) 所在直线过 ABC 的内心(是 BAC 的角平分线所在直 B
| AB | | AC |
线)；
范例
(一)将平面向量与三角形内心结合考查
A
e1
C
P
e2
C C
例 1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP OA ( AB AC ) ， 0,
例 3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA ，则 P 是△ABC 的（D ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
解析:由 PA PB PB PC得PA PB PB PC 0 .即 PB (PA PC) 0,即PB CA 0
（B ）
A.AB 边中线的中点
B.AB 边中线的三等分点（非重心）
C.重心
D.AB 边的中点
1. B 取 AB 边的中点 M，则 OA OB 2OM ，由 OP = 1 ( 1 OA + 1 OB +2 OC )可得 3 OP 3OM 2MC ，
32
2
∴
MP
2 3
平面向量与三角形“四心”(较全面)
平面向量与三角形“四心”（较全面）一、“四心”概念（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心1）：外心到三角形各顶点的距离相等.二、“四心”的充要条件（1）⇔=++→→→→0OC OB OA 是△ABC 的重心.【证法1】：设()y x O ,，()11,y x A ，()22,y x B ，()33,y x C⇔=++→→→→0OC OB OA ()()()()()()⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-00321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔是的重心.【证法2】：∵→→→→→→=+=++02ODOAOCOBOA,∴→→=ODAO2∴A,O,D三点共线，且O分AD为2：1，∴是△ABC的重心.（2）⇔⋅=⋅=⋅→→→→→→OA OC OC OB OB OA 为△ABC 的垂心.【证明】：如图,O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ，D 、E 是垂足.→→→→→→→→→→→⊥⇔=⋅=-⇔⋅=⋅AC OB CA OB OC OA OB OC OB OB OA 0)(同理→→⊥OB OA ，⇔⊥→→AB OC O 为△ABC 的垂心. (3) ⇔=++→→→→0OC c OB b OA a O 为△ABC 的内心. 【证明】：∵bAC c AB →→,分别为→→AC AB ,方向上的单位向量，bACc AB →→+平分BAC ∠,(λ=→AO )bAC c AB →→+，令c b a bc ++=λ cb a bcAO ++=→)(bAC c AB →→+,化简得→→→→=++++0)(AC c AB b OA c b a ,→→→→=++0OC c OB b OA a .（4）⇔==→→→||||||OC OB OA 为△ABC 的外心.三、“四心”的向量表达1.⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=→→→→→→)(31)(31BC BA BO AC AB AO O 为△ABC 的重心；【证】：由),0[,sin sin +∞∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→λλC b AC B c AB OA OP ，即)(sin →→→+=AC B A C b AP λ，故→AP 与→→+AC AB 共线，又→→+AC AB 过BC 中点D ，故P 点的轨迹也过中点D ， 故点P 过三角形的重心．2. ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00AC BO BC AO O 为△ABC 的垂心.（1）由C B A S S S AOB AOC BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆⇒→→→→=++0tan tan tan OC C OB B OA A . （2）222222→→→→→→+=+=+B A OC CA OB BC OA .【证】：由⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→AC b B A c OA OP λ知，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→→→AC b B B A c C AP cos cos λ， =⋅→→BC AP )cos cos (→→→→⋅+⋅⋅BC AC bB C B AB c C λ 0)cos cos cos cos (=+-=C B C B a λ，故→AP 与向量→BC 垂直， 故点P 的轨迹过垂心．【证】：由),0[,2sin 2sin 22+∞∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→λλC b AC B c AB OA OP 知，,2sin 2sin 22⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→→→C b AC B c AB AP λ故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=⋅→→→→→→C b BC AC B c BC AB BC AP 2sin 2sin 22λ，则0)sin sin (2=+-=⋅→→C b a B c a BC AP λ， 故点P 轨迹过三角形的垂心．【解】：AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足.→→→→→⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+BC C AC AC B AB AB cos ||cos ||C AC BC AC B AB BC AB cos ||cos ||→→→→→→⋅+⋅=C AC C BC AC B AB B BC AB cos ||cos ||||cos ||cos ||||→→→→→→⋅+⋅-=0=+-=→→BC BC ∴点的轨迹一定通过△ABC 的垂心.3. ⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=>+=→→→→→→→→→→0),||||(0),||||(t BC BCBA BA t BO AC AC AB AB AO λλO 为△ABC 的内心；（1）c b a S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆⇒→→→→=++0sin sin sin OC C OB B OA A（2）→→→→→→→→→→→→→→→→=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅0||||||||||||CB CB CA CAOC BC BC BA BA OB AC AC AB AB OA【解】：由),0[,sin sin 22+∞∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→λλC b AC B c AB OA OP 知，)0)(||||(sin >+=→→→→→λλAC AC AB AB B c AP ， 故动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心.满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→→→||||AC AC AB AB OA OP λ，),0[+∞∈λ ，则点的轨迹一定通过△ABC 的____.【解】：∵如图,设||,||→→→→→→==AC AC AF AB ABAE 分别为→→AC AB ,方向上的单位向量， 易知四边形AETF 是菱形,∴||||→→→→+AC AC AB AB 平分BAC ∠,∴点的轨迹一定通过△ABC的内心.4.两点分别是△ABC的边上的中点,且⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅⋅=⋅→→→→→→→→OA EO OC EO OC DO OB DO O 为△ABC 的外心； (1)0=++→∆→∆→∆OC S OB S OA S AOB AOC BOC (外心向量定理） (2)由AOB AOC BOC S S S AOB AOC BOC ∠∠∠=∆∆∆sin :sin :sin ::C B A 2sin :2sin :2sin =⇒→→→→=⋅+⋅+⋅02sin 2sin 2sin OC C OB B OA A .四、欧拉线及其向量法证明三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线叫三角形的欧拉线. 在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心.求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2. 【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系。
三角形四心向量形式知识总结
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔=++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++ ⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心⇔⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S A OBA OC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222O O O ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOBAOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故C 2sin B 2sin A 2sin =++4．O是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(|BC ||BA |(AC|AB |(=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成0)e e (O C )e e (O B )e e (O A 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。
若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆故C sin B sin A sin c b a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心AB 的单位向量设AB 与AC方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略）） 例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅得.即0,0)(=⋅=-⋅即则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心. 证明 作图如右，图中=+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得+=0⇒2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略）） 例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆ 的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++= 得OB OC OA +=- ，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE=，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
专题08 三角形”四心“向量形式的充要条件(教师版)-2024年高考二级结论速解技巧
OCA 的面积分别记作 Sc ， Sa ， Sb ，则有关系式 Sa ⋅OA + Sb ⋅OB + Sc ⋅OC = 0 ．因图形和奔驰车的 logo 很相
似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若满足
1 2
a
⋅
h2
，
S
OA=C
1 2
b
⋅
h3
，
S
OA=B
1 2
c
⋅
h1
，
因为
S△OBC
⋅
OA
+
S△OAC
⋅
OB
+
S△OAB
⋅
OC
= 0 ，则
1 2
a
⋅
h2
⋅
OA
+
1 2
b
⋅
h3
⋅
OB
+
1 2
c
⋅
h3
⋅
OC =0
，即
a ⋅ h2 ⋅ OA + b ⋅ h3 ⋅ OB + c ⋅ h1 ⋅ OC =0 ，又因为 a ⋅ OA + b ⋅ OB + c ⋅ OC =0 ，所以 h=1 h=2 h3 ，所以点 P 是△ABC 的内
内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB 分别是的△ABC 三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若 OA + 2OB + 3OC = 0 ，则 SA : SB : SC = 1: 2 : 3
B．若 O=A
三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识总结
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是的重心;若O 是的重心，则故;1()3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是的垂心;若O 是(非直角三角形)的垂心，则故3．O 是的外心(或) 若O 是的外心则故 4．O是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记的单位向量为，则刚才O 是内心的充要条件可以写成 ，O 是内心的充要条件也可以是 。
若O 是的内心，则故;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u ru u ur u u u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r 与AC u u ur 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略）） 例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅即则AB PC BC PA CA PB⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心. 证明 作图如右，图中=+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将=+代入++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3+++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴++=0⇒++=0，即++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略）） 例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则O 是ABC ∆ 的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r ，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r，由平行四边形性质知12OE OD =u u u r u u u r，2OA OE=，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
三角形“四心”向量形式的充要条件应用
三角形“四心”向量形式的充要条件应用有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下： 一、 知识点总结1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABCAOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++; 1()3PG PA PB PC =++⇔G 为A B C ∆的重心. 2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OBOA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ∆的充要条件是OC OB OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA C A PB P ++=⇔A B C ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过A B C ∆的内心(是B A C ∠的角平分线所在直线)； 二、 范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为是向量AB 的单位向量设AB与A C方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
“四心”向量形式的充要条件及应用 (1)
三角形“四心”向量形式的充要条件及应用(修改稿)《平面向量》的学习中，通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。
现归纳总结如下： 一、、范例回顾(一)．将平面向量与三角形内心结合考查 例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 (二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心.由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略）） (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理” 例3. G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中=+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例4．P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=.证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31++=.（反之亦然（证略））(五) 将平面向量与三角形四心结合考查例5．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题）证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =21-， 同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =21-， ∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1+2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中心.例6．在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。
三角形四心向量形式的应用
三角形“四心”向量形式的应用一． 知识总结1、三角形的重心的向量表示及应用（中线交点） 命题一：G 是△ABC 的重心⇔0GA GB GC ++=命题二：1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上的点). 命题三：点O 是三角形ABC 的重心则∆∆∆AOB BOC COA S = S = S变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则AD BE CF ++=0． 变式引申：平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点，则1()4PO PA PB PC PD =+++2、三角形的垂心的向量表示及应用：（三边高线交点） 命题一：H 是△ABC 的垂心⇔HA HB HB HC HC HA •=•=•例1：若H 为△ABC 所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是△ABC 的垂心3．外心(三边垂直平分线交点，外接圆圆心) 命题一：O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA 2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等)4．内心(角平分线交点，内切圆圆心) 命题一：O 是△ABC 的内心⇔()()()0||||||||||||AB ACBA BCCA CBOA OB OC AB AC BA BC CA CB •-=•-=•-=命题二：||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心; 变式：向量()(0)||||AB ACAB AC λλ+≠所在直线过△ABC的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)；例 1.已知O 是平面上一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(),(0,)cos cos AB AC OP OA AB BAC Cλλ=++∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A .外心 B.内心 C 重心 D 垂心变形：（1）(),(0,)sin sin AB ACOP OA AB B AC Cλλ=++∈+∞ （2）sin sin (),(0,)AB C AC B OP OA AB AC λλ=++∈+∞（3）(),(0,)cos cos AB AC PB PC AB BAC Cλλ=-++∈+∞例2： 点O 在△ABC 内部且满足220OA OB OC ++=,则△ABC 面积与凹四边形ABOC的面积之比（ ）A 0 B 3/2 C 5/4 D 4/3变形引申：0OA mOB nOC ++=，求△ABC 面积与凹四边形ABOC 的面积之比5．外心与重心：O 是△ABC 的外心，G 是重心，则3OA OB OCOG ++=6．外心与垂心：O 是△ABC 的外心，H 是垂心，则OH OA OB OC =++7．重心与垂心：G 是△ABC 的重心，H 是垂心，则3HA HB HCHG ++=8．外心、重心、垂心：O 、G 、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心，则13OG OH =9. “欧拉定理”：锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的 (1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；(2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
三角形四心向量形式的结论及证明附练习答案
三角形“四心”向量形成的充耍条件应用在学习了《平面向量》一章的基础容之后，学生们通过课堂例题以员课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、心向量形式的充要条件。
现旧纳总结如下:一.知识点总结____________________1 ） 0 是AABC 的重心 <=> OA+OB + OC=0若0 是AABC 的重° , | SaBOC = SaaOC = SaaOB = 3 Smbc jj OA+OB+OC = 0 PG = ^（PA + PB + PC） OG为AABCtf｝重心.2）o 是AABC的垂心<=>OA 6B = OB OC = OC OA若0 是AABC（非直角三角形）的垂心，U| S ABOC5S AAOCS S AZ\OB =tan A：tan B：tan C故tan AOA + tan BOB + tan COC = 63 ）0 是AABC 的外心<=> IOAI=IOBI=IOCI（或=而2 =疋2）若0是AABC的外心则S ABOC：S AAOC： S M（）B = slnZBOC:sinZAOC ：sinZAOB = sin2A : sln2B : sin2C故sin2AOA + sln2BOB + sin2COC = 64）0是心AABC的充要条件是贰（亘-亘）=而（亘-匹）=显（亘-JL）=oIABI AC I BA I IBCI I CAI ICBI引IS单位向量，使条件变鶴更简洁。
如果记入瓦说，不的单位向量为兀瓦恳，则刚才0是AABC 心的充要条件可以写成:OA.（e[+e^） = OB.（e[ + e^） = OC.（e^ + e^） = 00是AABC心的充要条件也可以是aOA + bOB + cOC = 0若0 是AABC 的心，则S AB（）c：S AA<）c： Su（）B=a： b： c故aOA + bOB + cOC = OggsinAOA + slnBOB + sinCOC = 6.\AB\PC+\BC\PA+\CA\PB = O^ P ^ABC的心；向量兄（輕+姿）（几工0）所在直线il AABC的心（是ABAC的角平分线IABI IACI所在直线）；(-).将平面向量与三角形心结合考查例1・0是平面上的一罡点，ABC是平面上不共线的三f点，动点P满竺+丝），几w[o,p ）则P 点的珈迷一定通11MBC 的（ KI（A ）外心（B ）心（C ）重心（D ）垂心解析：因为丝是向量丽的单位向量设丽与疋方向上的单位向量分别为勺和J, JHI 一〜OP-dA = AP原式可化为AP = A （e { +勺），由菱形的基本性质知AP 平分ABAC, SI ）么在A4BC中，AP 平分Z3AC,则知选B.点评：2ii®给人的M 象当然是“新颖、陌生J 首先箔是什么？没见过！想想，一个非零M向量除以它的模不就是单位向量?此题所用的部必须是简单的基本知识,如向量的加减法、向量 的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等,若十分熟悉，乂能迅速地wtiiffg 到一起, 解fiiii-^rnjg 也没有。
高中数学全面剖析三角形“四心”向量形式的充要条件及其应用
事实上 OB⊥CA故选答案D
例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足
，则点O是三角形ABC的（）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
事实上由条件可推出 故选答案D
例4：设 是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，
动点P满足 ， ，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
5△ABC的外心 、重心 、垂心 共线，即 ∥
证明：（详细证明见欧拉线的证明）
按重心定理G是△ABC的重心
按垂心定理 ，由此可得 .
6设 为△ABC所在平面内任意一点，I为△ABC的内心，
*
内心I（ ， ）
证明：由 是 的内心 。(其中 是 三边)（见内心的充要条件的证明）
, ∴I（ ， ）.
4.欧拉线的4种证法
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
事实上 故选答案D
例5：2005年全国（I）卷第15题“ 的外接圆的圆心为 ，两条边上的高的交点为 ， ，则实数 =________”
先解决该题：
作直经 ，连 ， ,有 ， ， ， ， ，故 ，
故 是平行四边形，进而 ，又
∴
故 ，所以
评注：外心的向量表示可以完善为：
全面剖析三角形“四心”向量形式的充要条件及其应用
河南 马守林2009.09.30
在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我们在熟悉三角形的“四心”定理及向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。下面从六个方面加以阐述：1. 三角形的“四心”定理的平面几何证明；2.三角形“四心”定理向量形式的充要条件及其证明；3.与三角形的“四心”有关的一些常见的其它向量关系式；4.欧拉线的4种证法；5.与三角形的“四心”有关的高考连接题及其应用；6.练习题.
向量中的三角形_四心_问题
1 3
1 解： CP OP OC = [(1 )OA (1 )OB 2(1 )OC ] 3
=
1 1 (CA CB) , [(OA OC ) (OB OC )] = 3 3
由平行四边形法则知 CA CB 必过 AB 边的中点，注意到 0 ，所以 P 的 轨迹在 AB 边的中线上，但不与重心重合，故选 D. 题 8：已知 O 是△ABC 所在平面上的一点，若 OA OB OC = 0, 则 O 点是 △ABC 的( A. 外心 ) B. 内心 C. 重心 D. 垂心
1
（2）∵G 为重心
1 ∴ OG AG AD (OA OB OC) ，利用（1）结论 3
∴ GH 2OG
1 ∴ OG OA 3
例 3 （2005 全国） △ABC 的外接圆的圆心为 O， 两边上的高的交点为 H，
OH m(OA OB OC) ，则 m=
。
解法一（定理 2 的证明） 解法二（特殊值法）当△ABC 为等腰直角三角形时，O 为 AC 中点，AB、 BC 边上的高的交点 H 与 B 重合， OA OB OC OB OH , ∴m=1。 三、动点过“心” 例 4 O 为平面上一定点，A、B、C 为平面上不共线的三点 ①（2003 全国）若动点 P 满足 OP OA ( 点 P 一定过 △ABC 的（ ）
AB | AB | AC
AC | AC |
) 0, ，则动
②若动点 P 满足 OP OA ( 一定过 △ABC 的（ ）
AB | AB | sin B AB
| AC | sin c AC
) 0, ，则动点 P
高考数学二级结论快速解题：专题09 三角形”四心“向量形式的充要条件(解析版)
专题09三角形”四心“向量形式的充要条件一、结论1、三角形“四心”：重心，垂心，内心，外心（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
2、设O 为ABC 所在平面上一点,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则（1）O 为ABC 的外心 ||||||2sin aOA OB OC A.（2）O 为ABC 的重心 0OA OB OC.（3）O 为ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA.（4）O 为ABC 的内心 0aOA bOB cOC.3、奔驰定理奔驰定理：设O 是ABC 内一点，BOC ,AOC ,AOB 的面积分别记作A S ,B S ,C S 则0A B C S OA S OB S OC.说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：①O 是ABC 的重心 ::1:1:1A B C S S S 0OA OB OC.②O 是ABC 的内心 ::::A B C S S S a b c 0aOA bOB cOC.③O 是ABC 的外心::sin 2:sin 2:sin 2A B C S S S A B C sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC.OAB CASCS BS④O 是ABC 的垂心::tan :tan :tan A B C S S S A B C tan tan tan 0A OA B OB C OC.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.二、典型例题1．（2022·四川西昌·高二期末（理））在平面上有ABC 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC△△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC则O 为ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 【解析】记点O 到AB 、BC 、C A 的距离分别为123h h h ，，，212OBC S a h ，312OAC S b h ，112OAB S c h ，因为0OBC OAC OAB S OA S OB S OC △△△，则233111=0222a h OAb h OBc h OC ，即2310a h OA b h OB c h OC ，又因为0a OA b OB c OC，所以123h h h ，所以点P 是△ABC 的内心.故选：B【反思】设O 为ABC 所在平面上一点,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则O 为ABC 的内心 0aOA bOB cOC .利用结论可直接得到O 为ABC 的内心.2．（2021·全国·高一课时练习）已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC 0，则点O 是△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】C 【解析】作BD ∥OC ，CD ∥OB ，连接OD ，OD 与BC 相交于点G ，则BG=CG (平行四边形对角线互相平分)，∴OB OC OD ，又OA OB OC 0，可得OB OC =-OA ，∴OD =-OA ，∴A ，O ，G 在一条直线上，可得AG 是BC 边上的中线，同理，BO ，CO 也在△ABC 的中线上.∴点O 为三角形ABC 的重心.故选：C.【反思】设O 为ABC 所在平面上一点,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则O 为ABC 的重心 0OA OB OC.利用结论可直接得到O 为ABC 的重心.3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）在ABC 所在平面内有三点O ，N ，P ，则下列说法正确的是（）A．满足||||||OA OB OC，则点O 是ABC 的外心B ．满足0NA NB NC，则点N 是ABC 的重心C ．满足PA PB PB PC PC PA，则点P 是ABC 的垂心D ．满足(0||||AB AC BC AB AC，且12||||AB AC AB AC ，则ABC 为等边三角形【答案】ABCD 【解析】解：对于A ，因为||||||OA OB OC，所以点O 到ABC 的三个顶点的距离相等，所以O 为ABC 的外心，故A 正确；对于B ，如图所示，D 为BC 的中点，由0NA NB NC 得：2ND NA，所以||:||2:1AN ND ，所以N 是ABC 的重心，故B 正确；对于C ，由PA PB PB PC 得：()0PA PC PB ，即0AC PB，所以AC PB ；同理可得：AB PC ，所以点P 是ABC 的垂心，故C 正确；对于D ，由()0||||AB AC BC AB AC得：角A 的平分线垂直于BC ，所以AB AC ；由12||||AB AC AB AC得：1cos 2A ，所以3A ，所以ABC 为等边三角形，故D 正确．故选：ABCD ．【反思】设O 为ABC 所在平面上一点,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则（1）O 为ABC 的外心 ||||||2sin aOA OB OC A.（2）O 为ABC 的重心 0OA OB OC.（3）O 为ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA.4.已知G 是ABC 的重心，且满足56sin 40sin 35sin 0A GA B GB C GC，则B =.【答案】3【分析】要牢记,,OA OB OC前面的系数之比为1:1:1，求得三内角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.【解析】∵G 是ABC 的重心，∴0GA GB GC∴56sin :40sin :35sin 1:1:1A B C ∴sin :sin :sin 5:7:8A B C 由正弦定理，::sin :sin :sin 5:7:8a b c A B C 由余弦定理，2222225871cos 22582a cb B ac∵(0,)B ，∴3B.【反思】利用奔驰定理在三角形四心中的具体形式：O 是ABC 的重心::1:1:1A B C S S S 0OA OB OC，可得到56sin :40sin :35sin 1:1:1A B C ，通过进一步利用三角形的正余弦定理，求出角B .三、针对训练举一反三一、单选题1．（2021·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））ABC 中，a ､b ､c 分别是BC ､AC ､AB 的长度，若a OA b OB c OC O，则O 是ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【详解】,OB OA AB OC OA AC 0aOA bOB cOCOA AB aOA b c OA ACa b c OA b AB c AC||||bAB cAC bc AB AC OA a b c a b cAB ACOA 在BAC 的角平分线上，同理OB在ABC 的角平分线上，点O 为三角形ABC 的角平分线的交点故点O 是三角形的内心.故选：B.2．（2021·山东枣庄·高一期中）已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足0GA GB GC，则G 点是三角形ABC 的（）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心【答案】D【详解】因为0GA GB GC，所以GA GB GC CG ，以GA ､GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD ，交AB 于点O，如图所示：则CG GD，所以13GO CO ，点O 是AB 边的中点，所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线，同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线，BG 所在的直线是AC 边上的中线，所以G 点是三角形ABC 的重心.故选：D .3．（2021·福建·厦门市湖滨中学高二开学考试）若O 是平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，且满足OP OC CB CA（R ），则P 点的轨迹一定过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】C【详解】因为OP OC CB CA（R ），所以CP CB CA ，所以CB CA在ABC 的边AB 上的中线所在直线上，则CB CA在ABC 的中线所在直线上，所以P 点的轨迹一定过ABC 的重心，故选：C4．（2021·全国·高一课时练习）若O 是平面内一定点，A ，B ，C 是平面内不共线的三点，若点P 满足2OB OC OP +λAP(λ∈(0，+∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】C 【详解】设线段BC 的中点为D ，则有1(2OD OB OC)，因此由已知得OP OD +λAP ，即OP OD =λAP ，于是DP =λAP，则//DP AP ，因此P 点在直线AD 上，又AD 是△ABC 的BC 边上的中线，因此点P 的轨迹一定经过三角形ABC 的重心．故选：C5．（2022·全国·高三专题练习）设O 是平面上一定点，A ､B ､C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()AB AC OP OA AB AC， 0, ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 【详解】因为()AB ACOP OA AB AC，所以()AB ACAP AB AC，如图，设,AB ACAE AF ABAC都是单位向量，则由向量的加法法则可得四边形AETF 是菱形，所以AP AT，AT 平分BAC ，所以动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，故选：B6．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，CB a =，CA b=，且sin sin a b OP OC m a B b A=+，m R ，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心【答案】A 【详解】过C 作CH AB ，交AB 于H ，取AB 中点D ，连接CD，如图所示：根据三角函数定义可得sin sin a B b A CH，因为sin sin a b OP OC m a B b A=+，所以=+m OP OC a b CH，即2m CP CD CH，即点P 的轨迹在中线CD 上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心，所以点P 的轨迹一定通过ABC 的重心.故选：A 二、多选题7．（2021·广东广州·高一期末）已知O ，N ，P ，I 在ABC 所在的平面内，则下列说法正确的是（）A ．若||||||OA OB OC ，则O 是外心B ．若PA PB PB PC PC PA u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则P 是垂心C ．若0NA NB NC，则N 是重心D ．若0CB IA AC IB BA IC，则I 是内心【答案】ABC 【详解】根据外心的定义，易知A 正确；对B ，0PB PA PC PB CA PB CA，同理可得：,PA CB PC AB ，所以P 是垂心，故B 正确；对C ，记AB 、BC 、CA 的中点为D 、E 、F ，由题意2NA NB ND NC，则||2||NC ND ，同理可得：||2||,||2||NA NE NB NF ，则N 是重心，故C 正确；对D ，由题意，,,CB IA AC IB BA IC ，则I 是垂心，故D 错误.故选：ABC.8．（2021·重庆实验外国语学校高一期中）对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，内心为Q ，则下列结论正确的是（）A ．212AO AB ABB ．GA GB GA GC GB GCC ．0HA HB HC D ．若A P Q 、、三点共线，则存在实数 使||||AB AC AP AB AC【答案】AD 【详解】解：对于A ：给定的ABC ，其外心为O ，所以2211()22AO AB AD DO AB AB DO AB AB，故A 正确；对于B ：由于点G 为给定的ABC 的重心，故0GA GB GA GC GA CB，故B 错误；对于C ：点H 为给定的ABC 的垂心，所以()0AH HB HC AB HC，因为重心为G ，则有 11,33AG AB AC BG BA BC ，13CG CA CB ，所以0GA GB GC，若0HA HB HC，则点H 为重心，与题意矛盾，因为故C 错误；对于D ：由于点P 在A 的平分线上，所以AB AC AB AC 和为单位向量，所以||||AB AC AB AC 在A 的平分线上，所以存在实数 使()||||AB ACAP AB AC，故D 正确．故选：AD ．9．（2021·广东·东莞市光明中学高一阶段练习）点O 在ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有（）A ．若0OA OB OC ，则点O 是ABC 的重心．B ．若0||||||||AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA，则点O 是ABC 的内心．C．若()()0OA OB AB OB OC BC ，则点O 是ABC 的外心．D ．若OA OB OB OC OC OA，则点O 是ABC 的垂心．【答案】ABCD 【详解】对A ，设D 为BC 中点，由于()2OA OB OC OD，所以O 为BC 边上中线的三等分点（靠近点D ），所以点O 是ABC 的重心，故A 正确；对B ，向量,||||AC ABAC AB分别表示在边AC 和AB 上的单位向量AC 和 AB ，记它们的差为向量B C ，则当0||||AC AB OA AC AB时，即OA B C 时，点O 在BAC 的平分线上，同理由0||||BC BA OB BC BA可得点O 在ABC 的平分线上，所以点O 是ABC 的内心，故B 正确；对C ，OA OB 是以OA OB ，为邻边的平行四边形的一条对角线，而AB是另一条对角线，则由()0OA OB AB 可得该平行四边形为菱形，即||||OA OB，同理由()0OB OC BC 可得||OC OB ∣∣，所以点O 是ABC 的外心，故C 正确；对D ，由OA OB OB OC 得0OA OB OB OC，则0OB CA ，所以OB CA ，同理可得,OA BC OC AB ，所以点O 是ABC 的垂心，故D 正确.故选：ABCD.三、填空题10．（2020·四川·遂宁中学高一阶段练习）已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C， 0, ，则动点P 的轨迹一定通过ABC 的________(填序号）．①内心②垂心③重心④外心【答案】④设BC 的中点为D ，∵2cos cosOB AB A O OC AB C A B C P C ，∴cos cos AB AC O C OD B P AB A C ，即cos cosAB AC DP AB C A B C ，两端同时点乘BC ，∵ BC DP =cos cos B AB AC A C B AC BC BC = cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB B AC C =BC BC =0，所以DP BC ，所以点P 在BC 的垂直平分线上，即P 经过△ABC 的外心故答案为：④.四、解答题11．（2021·全国·高一课时练习）已知三角形的三条中线交于一点G （也称为三角形的重心），且点G 将每条中线分为2:1的两段（如图，:2:1AG GM ）．设ABC 三个顶点分别为 11,A x y ， 22,B x y ， 33,C x y ，求证：(1)点G 的坐标为123123,33x x x y y y；(2)0GA GB GC ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)设 ,G x y ， 22,B x y ∵， 33,C x y 且M 为BC 中点，2323,22x x y y M又 11,A x y ∵ 11=,GA x x y y ，2323,22x x y y GM x y:2:1AG GM ∵=2GA GM 232311,2,22x x y y x x y y x y2312312222x x x x x y y y y y12312333x x x x y y y y G 的坐标为123123,33x x x y y y (2)M ∵为BC 中点，+=2GB GC GM =2GA GM ∵0GA GB GC。
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三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心0OC OB OA=++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故=++;1()3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心OA OC OC OB OBOA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故C tan B tan A tan=++3．O 是ABC ∆的外心||||||==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OAA 2sin =++4．O是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(|BC ||BA |(AC|AB |(=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OAa =++ 。
若O 是ABC ∆的内心，则cb a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u ru u ur u u u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r 与AC u u ur 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略）） 例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PBPA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即则AB PC BC PA CA PB⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心. 证明 作图如右，图中GE GC GB =+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略）） 例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r ，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r，由平行四边形性质知12OE OD =u u u r u u u r，2OA OE=，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。
(四) 将平面向量与三角形外心结合考查例7若O 为ABC ∆内一点，OA OB OC==u u u r u u u r u u u r，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由向量模的定义知O 到ABC ∆的三顶点距离相等。
故O 是ABC ∆ 的外心，选B 。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1， 求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题） 证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =21-， 同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =21-， ∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |. 即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中心.例9．在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。
求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2。
【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。
设A(0,0)、B （x 1,0）、C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：112222,0)(,)(,22222x x x y x y E F +D （、、 由题设可设1324,)(,)2x Q y H x y （、, 122(,)33x x y G +212243(,)(,)222x x y AH x y QF y ∴==--u u u u r u u u r ，212(,)BC x x y =-u u u r2212422142()0()AH BC AH BC x x x y y x x x y y ⊥∴•=-+=-∴=-u u u u r u u u r Q u u u u r u u u r212223221232()()0222()22QF AC x x yQF AC x y y x x x y y y ⊥∴•=-+-=-∴=+u u u r u u u u r Q u u u r u u u u r121221224323()(,),22x x x x x x y QH x y y --∴=--=--u u u u r 2（22y2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1 (,(,6321 =3x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x x x x y QH+--∴=--=------=--=--u u u r u u uu r 222（62y 66y 22y 即=3QH QG u u u u r u u u r，故Q 、G 、H 三点共线，且QG ：GH =1：2例10．若O 、H 分别是△ABC 的外心和垂心.求证 OC OB OA OH ++=. 证明 若△ABC 的垂心为H ，外心为O ，如图. 连BO 并延长交外接圆于D ，连结AD ，CD .∴AB AD ⊥，BC CD ⊥.又垂心为H ，BC AH ⊥，AB CH ⊥， ∴AH ∥CD ，CH ∥AD ，∴四边形AHCD 为平行四边形，∴OC DO DC AH +==，故OC OB OA AH OA OH ++=+=.着名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系： （1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11． 设O 、G 、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心. 求证 OH OG 31= 证明 按重心定理 G 是△ABC 的重心⇔)(31OC OB OA OG ++=按垂心定理 OC OB OA OH ++= 由此可得 OH OG 31=. 补充练习1．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足OP =31 (21OA +OB 21+2OC ),则点P 一定为三角形ABC 的 （ B ） 边中线的中点 边中线的三等分点（非重心） C.重心 边的中点 1. B 取AB 边的中点M ，则OMOB OA 2=+，由OP=31 (21OA +OB 21+2OC)可得3MC OM OP 23+=，∴MC MP 32=，即点P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故选B.2．在同一个平面上有ABC ∆及一点Ｏ满足关系式：2O A u u u u u r ＋2BC u u u u u u r ＝2OB u u u u u u r ＋2CA u u u u u r ＝2OC u u u u u u r ＋2AB u u u u u u r，则Ｏ为ABC ∆的 （D ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心2．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足：0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r ，则P 为ABC∆的（C ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心3．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：)(AC AB OA OP ++=λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （C ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心4．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足：0PA PC PA PB PB PC •+•+•=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则P 点为三角形的 （D ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心5．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ⋅+⋅+•=u u u r u u u r u u u r，则P 点为三角形的（B ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 6．在三角形ABC 中，动点P 满足：CPAB CB CA •-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的：（ B ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心7.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：非零向量与满足(||||AB AC AB AC +u u u r u u u r u u u r u u u r )·=0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴ AB =AC ，又cos A =||||AB AC AB AC ⋅u u u r u u u ru u u r u u u r =12 ，∠A =3π，所以△ABC 为等边三角形，选D ．8.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m = 19.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OC OC OB OBOA ⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的（B）（A ）三个内角的角平分线的交点 （B ）三条边的垂直平分线的交点（C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点10. 如图1，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =u u u u v u u u v， AN y AC =u u u v u u u v ，则113x y+=。