常见有理数巧算的技巧
有理数计算的六个技巧
有理数计算的六个技巧有理数计算是数学中一个重要的部分，掌握一些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成计算。
以下是六个有理数计算的技巧：1. 分母有理化：对于形如$\frac{a}{b}$的有理数，如果b是平方数（例如4、9、16等），则可以将分母进行有理化处理，即将分子和分母都乘以b的平方根。
例如，$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 2}{4 \times 2} = \frac{2}{8}$。
2. 乘法分配律：对于任意三个有理数a、b和c，有$a \times (b + c) = a\times b + a \times c$。
这个技巧可以用于简化复杂的乘法运算。
3. 提取公因数：对于多个有理数的乘法，如果存在公因数，可以先提取公因数，再进行其他运算。
例如，$2 \times 3 \times 4 = 2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12$。
4. 利用绝对值的性质：对于有理数的绝对值，如果知道某个数的范围，可以利用绝对值的性质来简化计算。
例如，如果知道$a < b$，则可以得出$-b< a < b$。
5. 利用等差数列的性质：对于等差数列中的有理数，可以利用等差数列的性质来简化计算。
例如，对于等差数列$a, b, c, d$，有$b = \frac{a +c}{2}$和$d = \frac{a + d}{2}$。
6. 利用近似值：对于一些复杂的计算，如果不需要精确结果，可以利用近似值来快速得到一个接近真实值的结果。
例如，对于$\sqrt{2}$，我们知道$ < \sqrt{2} < $，所以可以取或作为$\sqrt{2}$的近似值。
这些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成有理数计算。
在掌握这些技巧的基础上，通过多做练习题来提高自己的计算能力和熟练度。
有理数巧算裂项法
有理数巧算裂项法
有理数是数学中一类重要的数，包括正整数、负整数、零、分数和小数。
在进行有理数加减乘除运算时，需要用到裂项法，这是一种巧妙的方法，可以将有理数化简，以方便进行运算。
裂项法的基本思想是将一个分数拆分成多个分数之和或之差，这样就能够消去一些因数，从而使计算更为简便。
以下是一些常见的裂项法示例：
1. 裂项法求和
例如，计算2/3 + 7/9
首先，我们找到这两个分数的公共分母，即9，然后将分母拆分成3×3，得到：
2/3 + 7/9 = 2/3×3/3 + 7/9×3/3
= (2×3)/9 + (7×1)/9
= 13/9
= (5×1)/(2×2×3) - (1×3)/(2×2×3)
= 5/12 - 3/12
我们可以将3/4和5/6都分别拆分成若干个分数之积，然后再合并起来，得到：
= 5/4
2/3÷4/5 = 2/3×5/4
总之，裂项法是一种十分常用且实用的方法，可以帮助我们更加方便地进行有理数的计算，提高计算效率。
有理数简便运算方法
有理数简便运算方法一、有理数的加减运算方法：1.同号相加减法：将相同符号的有理数的绝对值相加（减），并保持原来的符号。
例如：(+3)+(+5)=+8，(-4)+(-2)=-62.异号相加减法：先取绝对值较大的数，再用它减去绝对值较小的数，运算结果的符号与绝对值较大的数的符号相同。
例如：(+7)+(-3)=+4，(-5)+(+8)=+33.加减混合运算法则：将混合运算式转化为整数与有理数相加减的运算。
先将有理数的加法运算和减法运算分别进行，再按照不同符号的数向各自所在的方向合并。
例如：(-4)+(+6)-(-2)=(-4)+(+6)+(+2)=+4，(-7)+(+5)-(+3)=(-7)+(+5)+(-3)=-5二、有理数的乘除运算方法：1.同号相乘除运算法则：将有理数的绝对值相乘（除），运算结果的符号是正号。
例如：(+2)×(+3)=+6，(-6)÷(-2)=+32.异号相乘除运算法则：将有理数的绝对值相乘（除），运算结果的符号是负号。
例如：(+4)×(-3)=-12，(-8)÷(+2)=-43.乘除混合运算法则：将乘法和除法运算的优先级区别对待，首先进行除法运算，然后再进行乘法运算。
例如：(-12)÷(+3)×(-2)=-24，(+36)÷(-6)×(+5)=-30。
三、有理数的化简方法：1.化简法则：当有理数表达式中存在多个加法或减法时，可根据运算法则将其化简为一个数。
例如：(+5)+(-3)+(+2)=(+5)+(-1)=+42.去括号法则：当有理数表达式中存在括号时，利用分配率将括号中的运算进行展开。
例如：(+3)×[(+4)+(-2)]=(+3)×(+4)+(+3)×(-2)=+12+(-6)=+63.合并同类项法则：当有理数表达式中存在多个同类项时，可将同类项合并。
例如：(+3)+(+4)-(+2)+(-3)=(+3-3)+(+4-2)=+0+(+2)=+2有理数的简便运算方法可以帮助我们快速准确地计算各种有理数的加减乘除运算，化简有理数表达式，掌握这些方法有助于提高数学计算的效率。
有理数计算法则口诀
有理数计算法则口诀一、加法运算法则口诀：1.同号相加，看绝对值，同记符号，总不差；2.异号相加，看绝对值，大减小，答案看被减数。
二、减法运算法则口诀：减去一个负数，等于加上这个数的绝对值。
三、乘法运算法则口诀：1.正负相乘，开心或忧，忧者取反，常用理掌握；2.两数同正或同负，积仍保持正，口诀易记，计算得当；3.两数一正一负，积必为负，口诀需记，才能不误。
四、除法运算法则口诀：1.正数与正数，保持正号不变；2.负数与负数，保持正号不变；3.正数与负数，得负号结果产生。
这些口诀可以帮助我们更好地理解和应用有理数的计算法则。
以下是口诀的详细解释：一、加法运算法则口诀：1.同号相加，看绝对值，同记符号，总不差。
同号表示两个数的符号相同，如果两个数的符号相同，那么相加时只需计算其绝对值并在结果中保持这个符号不变。
例如：(-2)+(-3)=-(2+3)=-52.异号相加，看绝对值，大减小，答案看被减数。
异号表示两个数的符号不同，我们可以直接计算两个数的绝对值，然后将较大的数减去较小的数的绝对值，答案的符号与绝对值较大的数的符号一致。
例如：5+(-2)=5-2=3二、减法运算法则口诀：减去一个负数，等于加上这个数的绝对值。
当减法运算中出现负数时，我们可以改写为加法运算，将减号变为加号，并将要减去的数取反，然后按照加法运算的法则进行计算。
例如：7-(-3)=7+3=10三、乘法运算法则口诀：1.正负相乘，开心或忧，忧者取反，常用理掌握。
当两个数相乘时，如果两个数的符号相同，那么结果为正；如果两个数的符号不同，那么结果为负。
如果结果为负数，需要将结果取反。
例如：(-2)×(-3)=62.两数同正或同负，积仍保持正，口诀易记，计算得当。
当两个数相乘时，如果两个数的符号相同，不论是正还是负数，结果都为正。
例如：(-2)×(-3)=63.两数一正一负，积必为负，口诀须记，才能不误。
当两个数相乘时，如果两个数的符号不同，不论是正负，结果都为负数。
有理数运算常用的技巧
有理数运算常用的技巧一、归类运算进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷。
如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。
例1、计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)变式：计算：()()()231324-+++-++-二、凑整求和将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率． 例2、计算：19＋299＋3999＋49999．变式：计算：36.54228263.46+-+三、变换顺序在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．例3、计算：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127]．变式： 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭四、逆用运算律 在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例4、计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．变式1：32333333251233()0.750.5()(1)()4()44372544-⨯+⨯-+⨯⨯+÷-变式2：4726342+4726352-472633×472635-472634×472636五、巧拆项（裂项相消）把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷．常见的裂项相消：①111(1)1n n n n =-++ ②1111()()n n k k n n k=-++ ③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ④1111()(1)(1)211n n n n =--+-+ 例5、计算2005×20042003－1001×10021001．例6、111113355799101++++⨯⨯⨯⨯变式1：111111261220309900++++++变式2：10310011071741⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯变式3：计算：111111315131517293133+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯六、变量替换（换元法）通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．例7、计算512769)323417(125.0323417-++⨯+×(0.125＋323417512769+-)．例8、（第8届“希望杯”）计算：11111111111111(1)()(1)()23200923420102320092010232009--+-+++---+--+++变式1：计算（2＋20101......413121++++）×（20111......413121++++）－（2＋20111......413121++++）×（20101......413121++++）变式2：计算⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++20051312120061312112005131211200613121变式3：计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+39385271781712133937111712727717七、分组搭配（巧添括号）观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．例9、计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．变式：计算：八、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．例10、计算21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059)．变式1：计算20034005200332003220031++++变式2：计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．九、添数配对（添项法）添数配对实质上也是一种凑整运算例11、计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．变式：计算512125611281641321161814121++++++++十、错位相减对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果．例12、计算1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561．例13、计算：23201012222S =+++++变式1：计算：20103221212121++++变式2：计算：201332313131311+++++十一、分解相约对于较复的算式直接运算很困难，抓住其特征，分解化为相同的形式，将相同的部分约去。
有理数巧算“十字诀”
有理数巧算“十字诀”一、“归”：将同类数（如正数或负数）归类计算.[例1]计算（-13）+（+28）+（-47）+（+50）.解：原式=（28+50）+（-13-47）二、“消”：将相加得0的数（如互为相反数的数）对消.[例2]（-107）++（）+107+. 解：原式=[(-107)+107]+[+、”凑”将相加可得整数的数凑整, [例3]计算 (+54)+(-31)++(-32)++. 解：原式=(-31-32)++++( +54) =-1+5 +54 =454 4、“合”：将不同类数（如分母相同或易于通分的数）别离组合.[例4]计算1-125+51+121-2039-1513. 解：原式=（1-2039）+（121-125）+（51-1513） =-2019－31－32 =-2039. 五、“分”：将一个数分解成几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式.[例5]计算171619×15. 解：原式=（20-171）×15 =300-1715 =172299.[例6]计算（-81）××(-96) ×31. 解：原式=(81×8) ××4) ×(3×31) =1×1×1=1.六、“化”：将小数与分数或乘法与除法彼此转化.[例7]计算-3-[-5+（×53）÷（-2）]. 解：原式=-3-[-5+（1-51×53）÷（-2）] =-3-[-5+2522×(-21)] =-3-[-5-2511] =2561. 7、“变”：利用运算定律把运算顺序改变，从而简化计算.[例8]计算（47-87-127）×（-78）. 解：原式=47×（-78）-87×（-78）-127×（-78 ） =-2+1+32 =-31.八、“约”：将互为倒数的数或有因数和倍数关系的数约简.[例9]计算（）·（+1225）·（-43）·（）. 解：原式=-10012×1225×43×1016=-103. 九、“逆”：正难那么反，逆用运算律以简化运算.[例10]计算（-125）÷17+（+315）÷17-（-166）÷17-（-171）. 解：原式=（-125+315+166+1）÷17=357÷17=21.10、“观”：依照0和1在运算中的特性，注意观看算式特点，可收到事半功倍的成效.[例11]计算-2006÷×2032+(-1)2006+(-1)2007. 解：原式=0+1-1=0。
聚焦有理数运算的简便技巧
聚焦有理数运算的简便技巧（一）把有理数分解成有理分数有理数运算的一个常见技巧就是把分数分解成有理分数，以此建立起有理数之间的联系。
通常可以给定一个有理数，把它分解成几个最简分数之和。
例如，3/5可以分解成1/5与2/5，其它有理数也都可以如此分解。
这样分解后，有理数之间就可以建立起一种“抵消法”的关系，方便有理数运算。
（二）合并带分母的余式合并带分母的余式是有理数运算最常用的技巧之一。
我们知道，当分母相同时，有理数间可以把分子相加，例如：2/5-1/5=1/5，这样就可以更方便进行有理数运算。
当出现不同分母的情况时，可以把余式统一处理成带有相同分母的模式，再进行简化。
例如：3/4-1/5=15/20-4/20，可以把15/20及4/20合并为11/20，把重复度较高的运算简化掉，大大节省了计算量。
（三）利用常数来复杂有理数运算有理数运算也可以利用常数进行复杂的计算，有时可以让符号的变换更加简单。
比如，(a+b)/(a-b)可以改写为(a+b)/a-b/a，即：1/a+b/a-b/a，由此可以方便地进行有理数运算，使杂乱的运算步骤变得更加清楚。
（四）利用特殊比例计算有时候可以利用一些特殊的比例来进行有理数运算。
例如，a1/a2=b1/b2，那么a1/a2+c1/c2=b1/b2+c1/c2。
由此可以方便地转换出一些比较复杂的运算，从而方便有理数的运算。
（五）以底数为底的幂运算有理数的运算中也可以采用一些幂运算技巧，比如：a^b×a^c=a^(b+c)。
例如：2^3×2^2=2^5；上式中就是利用幂运算把有理数中的相乘转换成有理数中的相加，把运算变得更加容易。
有理数运算技巧十五招
有理数运算技巧十五招一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()69=+- 3=-。
二、凑整将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++-1002282=+- 12282=- 40=。
三、对消将相加得零的数结合计算。
例3计算：()()()5464332+-++++-+-。
原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 009=++ 9=。
四、组合 将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：55115521012249186---+。
解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5171386=-13524=-。
五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：111125434236-+-+。
原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭11221212=+=。
例6：计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。
2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯ 0=。
六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()32844⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭283=-+ 25=-七、变序运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-。
有理数运算技巧十招
2
1 1 2 。 12 12
例 6 计算： 2008 200920092009 2009 200820082008 。 解：原式 2008 2009 100010001 2009 2008 100010001
0。
六、转化 将小数与分数或乘法与除法相互转化。 例 7 计算： 42
2 3 0.25 。 3 4
解：原式 28
3 1 4 4
3 28 4 4
28 3 25 。
七、变序 运用运算律改变运算顺序。
1 6
3 4
2009
。
3 2009 1 。 3.75 3 0 ， 1 4
原式 0 1 1 。
妙用字母解题
在我们学习的过程中，常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题，令人望而生畏，无从 着手．这时，如果我们仔细观察数据特点，探究数据规律，巧妙利用字母代替数字，将会收 到化繁为简，化难为易的效果． 例 1 计算
-2-
例 8 计算： 12.5 31
4 0.1 5
解：原式 12.5 0.1 31
4 5
1 31 31。
例 9 计算： 1
3 8 8 7 1 。 5 9 15 8
009 9。
四、组合 将分母相同或易于通分的数结合。 例 4 计算： 5
ห้องสมุดไป่ตู้
5 5 11 5 2 10 12 。 24 9 18 6
-1-
解：原式 12
5 5 5 11 5 2 10 6 24 9 18
有理数的计算方法与技巧
有理数的计算方法与技巧
1. 嘿，你知道吗，有理数计算有个超棒的方法叫凑整法！就好像搭积木一样，把能凑成整数的数字放在一块儿。
比如算 37+63，这不是很明显能凑成 100 嘛！这样计算起来多轻松呀，是不是很妙啊？
2. 还有哦，转化法也很厉害呀！把分数呀小数呀转化成容易计算的形式。
比如说不就等于四分之一嘛，这样一转换，计算就简单多啦。
就像给数字变个魔法一样，多有趣呀！
3. 哇塞，裂项相消法也绝对不能错过！当遇到那种一连串可以拆分的式子，就像拆礼物一样把它拆开。
比如算 1/2+1/6+1/12，把它们拆成
1/(12)+1/(23)+1/(34)，然后一消，结果就出来啦，神奇吧！
4. 特殊值法也超好用的呀！有时候不用费劲去算复杂的式子，找个特殊值代入试试。
比如说要研究一个式子的规律，随便找个方便的数带进去，不就大概能知道啦，多快捷呀！
5. 整体代入法也非常酷哦！当式子中有相同的部分，就像发现宝藏一样把它拎出来整体代入。
比如前面算出一个值后面又用到，直接代入，多省力呀！
6. 倒推法有时候也能派上大用场呢！从结果反推回去找答案。
就好像走迷宫从出口往入口找路一样，是不是很特别啊！
7. 分类讨论法也很关键呢！根据不同情况分别去算。
好比走不同的路去寻找答案，每一条路都可能有惊喜呢！
总之，有理数的计算方法和技巧那可真是丰富多彩呀，掌握了这些，计算起来就像玩游戏一样有趣又轻松！。
巧用运算规律简化有理数计算的六种方法(含答案)
巧用运算规律简化有理数计算的六种方法【题型1 归类法】【例1】阅读下面的解题过程并解决问题计算：53.27﹣（﹣18）+（﹣21）+46.73﹣（+15）+21解：原式＝53.27+18﹣21+46.73﹣15+21（第一步）＝（53.27+46.73）+（21﹣21）+（18﹣15）（第二步）＝100+0+3（第三步）＝103（1）计算过程中，第一步把原式化成的形式，体现了数学中的思想，为了计算简便，第二步应用了．（2）根据以上的解题技巧进行计算下列式子：−2123+314−(−23)−(+14)．【分析】（1）根据有理数的加减混合运算步骤及运算定律可得答案；（2）仿照题意简便方法计算即可．【解答】解：（1）计算过程中，第一步把原式化成省略加号和括号的形式，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第二步应用了加法的交换律和结合律．故答案为：省略加号和括号，转化，加法的交换律和结合律；（2）−2123+314−(−23)−(+14) ＝﹣2123+314+23−14＝（﹣2123+23）+（+314−14） ＝﹣21+3 ＝﹣18．【变式1-1】计算：(−23)+(516)+(−416)−913. 【分析】可利用结合律进行运算，最后得出结果．【解答】解：原式＝（−23−913）+（516−416）＝﹣10+1＝﹣9 【变式1-2】计算：123+212−334+13−4.25.【分析】先算同分母分数，再相加即可求解； 【解答】解：123+212−334+13−4.25＝（123+13）+212+（﹣334−4.25） ＝2+212−8＝﹣312；【变式1-3】计算：3712+（﹣114）+（﹣3712）+114+（﹣418）．【分析】先算同分母分数，再相加即可求解． 【解答】解：3712+（﹣114）+（﹣3712）+114+（﹣418）＝（3712−3712）+（﹣114+114）+（﹣418）＝0+0+（﹣418） ＝﹣418．【题型2 凑整法】将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消. 【例2】计算：（﹣347）+12.5+（﹣1637）﹣（﹣2.5）【分析】运用加法的交换律和结合律计算可得． 【解答】解：原式＝（﹣347−1637）+（12.5+2.5）＝﹣20+15 ＝﹣5．【变式2-1】计算下列各题：（1）20.36+（﹣1.4）+（﹣13.36）+1.4； （2）（+325）+（﹣278）﹣（﹣535）+（−18）．【分析】根据加法的运算律计算即可．【解答】解：（1）原式＝（20.36﹣13.36）+（1.4﹣1.4）＝7+0＝7； （2）原式=(325+535)−(278+18)=9﹣3＝6． 【变式2-2】计算：（1）（﹣0.1）﹣（﹣4.6）﹣（+8.9）+（+5.4） （2）（﹣1.75）﹣（﹣234）+（﹣345）﹣（﹣145）【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣（0.1+8.9）+（4.6+5.4） ＝﹣9+10 ＝1；（2）原式＝（﹣1.75+234）+（﹣345）+145=+(234−1.75)−(345−145) ＝1﹣2 ＝﹣1．【变式2-3】计算下列各题：（1）（0.5）+（+92）+（−192）+9.5； （2）（−12）+（−25）+（+32）+（185）+（+395）；（3）﹣1.5+1.4﹣（﹣3.6）﹣4.3+（﹣5.2）；（4）（﹣3.5）+（−43）+（−34）+（+72）+0.75+（−73）．【分析】（1）应用加法交换律和结合律将两个小数和两个分数分别结合在一起计算； （2）先运用减法法则，再将分母相同的结合起来进行计算； （3）将正负数分别结合计算；（4）小数化分数，分母相同的结合计算． 【解答】解：（1）原式＝（0.5+9.5）+（92−192）＝10﹣5＝5；（2）原式=−12−25+32+185+395=（32−12）+（185+395−25）＝1+11＝12；（3）原式＝﹣1.5+1.4+3.6﹣4.3﹣5.2＝（1.4+3.6）+（﹣1.5﹣4.3﹣5.2）＝5﹣11＝﹣6； （4）原式=−72−43−34+72+34−73=（72−72）+（34−34）+（−43−73）=−113． 【题型3 逆向法】【例3】计算：−52×(−115)+133×(−115)+56×2.2． 【分析】先变形，然后根据乘法分配律可以解答本题． 【解答】解：−52×(−115)+133×(−115)+56×2.2 =52×115−133×115+56×115 ＝（52−133+56）×115＝（156−266+56）×115 ＝（﹣1）×115=−115．【变式3-1】计算：235×127+2.6÷711−135×67．【分析】先将题目式子中的带分数化为假分数，小数化为假分式，然后根据乘法分配律即可解答本题． 【解答】解：235×127+2.6÷711−135×67=135×97+135×117−135×67 =135×（97+117−67） =135×147 =265．【变式3-2】计算：−13×23−0.34×27+13×(−13)−57×0.34【分析】分别提取公因数﹣13和﹣0.34，即可简化计算，再合并即可； 【解答】解：−13×23−0.34×27+13×(−13)−57×0.34 ＝﹣13×（23+13）﹣0.34×（27+57）＝﹣13﹣0.34 ＝﹣13.34【变式3-3】计算：0.7×149+234×(−15)+0.7×59+14×(−15)； 【分析】根据乘法分配律可以解答本题；【解答】解：0.7×149+234×(−15)+0.7×59+14×(−15) ＝0.7×（149+59）+（234+14）×（﹣15）＝0.7×2+3×（﹣15） ＝1.4+（﹣45） ＝﹣43.6； 【题型4 拆项法】【例4】阅读下面的计算过程，体会“拆项法” 计算：﹣556+(−923)+1734+(−312)．解：原式=[(−5)+(−9)+17+(−3)]+[(−56)+(−23)+34+(−12)]=0+(−114)=(−114) 启发应用用上面的方法完成下列计算：(−3310)+(−112)+235−(212) 【分析】将原式利用“拆项法”得出原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（−310−12+35−12），再根据有理数的加减运算法则计算可得．【解答】解：原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（−310−12+35−12） ＝﹣4+（−710） ＝﹣4710．【变式4-1】阅读下列解题方法，然后根据方法计算．﹣516−（﹣923）＝[（﹣5）﹣（﹣9）]+[（−16）﹣（−23）]＝4+12=412．计算：（﹣201956）+（﹣201823）+4037+112【分析】利用加法的结合律，将整数、分数分别结合在一起先相加，运算简便． 【解答】解：（﹣201956）+（﹣201823）+4037+112＝[（﹣2019）+（﹣2018）]+[（−56）+（−23）]+4037+112＝﹣4037+（−32）+4037+32 ＝0【变式4-2】计算：﹣991517×34．【分析】根据乘法分配律简便计算． 【解答】解：﹣991517×34＝（﹣100+217）×34 ＝﹣100×34+217×34 ＝﹣3400+4 ＝﹣3396．【变式4-3】计算：399498399×(−6) 【分析】根据乘法分配律简便计算． 【解答】解：399498399×(−6)＝（400+33133）×（﹣6）＝400×（﹣6）+33133×（﹣6）＝﹣2400﹣165133＝﹣240165133．【题型5 组合法】【例5】计算：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99【分析】把原式写成（1﹣3）+（5﹣7）+（9﹣11）+…+（97﹣99），一个有25个﹣2，据此计算即可．【解答】解：原式＝（1﹣3）+（5﹣7）+（9﹣11）+…+（97﹣99）＝（﹣2）×25＝﹣50．【变式5-1】计算：1﹣2+3﹣4+…+97﹣98+99．【分析】原式结合后，相加即可得到结果．【解答】解：原式＝1+（﹣2+3）+（﹣4+5）+…+（﹣98+99）＝1+1+…+1＝50．【变式5-2】计算：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016．【分析】原式四项四项结合，计算即可得到结果．【解答】解：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016＝（1﹣2﹣3+4）+（5﹣6﹣7+8）+…+（2009﹣2010﹣2011+2012）+（2013﹣2014﹣2015+2016）＝0．【变式5-3】计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008．【分析】将4个数字作为一组，分组计算即可．【解答】解：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008＝（1+2﹣3﹣4）+（5+6﹣7﹣8）+（9+10﹣11﹣12）+…+（2005+2006﹣2007﹣2008）＝﹣4+（﹣4）+…+（﹣4）＝﹣4×502＝﹣2008．【题型6 裂项相消法】算变得简洁.【例6】阅读材料，回答下列问题． 通过计算容易发现： ①12−13=12×13；②14−15=14×15；③16−17=16×17（1）观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式： 17−18=17×18；（2）通过观察，计算11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7的值． （3）探究上述的运算规律，试计算11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+⋯+197×99的值．【分析】（1）观察①②③三个算式，可知分母中两个乘数的差为1，分子的差也为1，直接写出一个类似的算式即可；（2）根据上述规律得原式＝1−12+12−13+13−14+14−15+15−16+16−17，计算即可得出答案； （3）所给算式分母中两个乘数的差为2，但分子的差为1，故前面乘以12，则可以用裂项法进行计算．【解答】解：（1）17−18=17×18；故答案为：17−18=17×18；（2）11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7＝1−12+12−13+13−14+14−15+15−16+16−17 ＝1−17=67； （3）11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+⋯+197×99的值．=12（1−13+13−15+15−17+17−19+19−111+⋯+197−199） =12（1−199） =12×9899 =4999． 【变式6-1】12+13=2+32×3=56；13+14=3+43×4=712；14+15=4+54×5=920（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程和结果）1342= ＝ ，1772= ＝ ．（2）利用以上所得的规律进行计算：32−56+712−920+1130−1342+1556−1772【分析】（1）直接利用已知运算规律进而计算得出答案； （2）直接利用已知运算规律将原式变形进而计算得出答案． 【解答】解：（1）1342=16+17=6+76×7；1772=18+19=8+98×9；故答案为：16+17，6+76×7；18+19，8+98×9；（2）32−56+712−920+1130−1342+1556−1772＝1+12−（12+13）+（13+14）﹣（14+15）+（15+16）﹣（16+17）+（17+18）﹣（18+19）＝1−19 =89．【变式6-2】类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：12−13=32×3−23×2=3−26=16，我们将上述计算过程倒过来，得到16=12×3=12−13，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于12×4可以用裂项的方法变形为：12×4=12×(12−14)．类比上述方法，解决以下问题． （1）猜想并写出：1n(n+1)= ．（2）探究并计算下列各式： ①11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+149×50；②1−2×4+1−4×6+1−6×8+⋅⋅⋅+1−2018×2020．【分析】（1）根据题意和题目中的例子，可以解答本题；（2）①根据题目中的例子和式子的特点，可以求得所求式子的值； ②根据题目中的例子和式子的特点，可以求得所求式子的值． 【解答】解：（1）1n(n+1)=1n−1n+1，故答案为：1n −1n+1；（2）①11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+149×50＝1−12+12−13+13−14+⋯+149−150 ＝1−150=4950； ②1−2×4+1−4×6+1−6×8+⋅⋅⋅+1−2018×2020=−12×（12−14+14−16+16−18+⋯+12018−12020）=−12×（12−12020）=−12×10092020 =−10094040． 【变式6-3】阅读理解题 第1个等式：12=2−12×1=1−12； 第2个等式：16=3−23×2=12−13；第3个等式：112=4−34×3=13−14；……观察以上等式，请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式： ； （2）计算：11×5+15×9+19×13+⋯⋯+12017×2021．【分析】（1）仿照已知等式得到第5个等式即可； （2）原式利用得出的规律变形，计算即可求出值． 【解答】解：（1）第5个等式：130=6−56×5=15−16；（2）11×5+15×9+19×13+⋯⋯+12017×2021=14×（1−15+15−19+19−113+⋯⋯+12017−1 2021）=14×（1−12021）=14×20202021=5052021．故答案为：130=6−56×5=15−16．11。
有理数运算的十种技巧
２ （ １ 一 而 １） ＝ 而 ２ ０ ０
．
孚： ÷（ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ …＋ ５ ９ ） ： 了 １ ×
＝８ ８ ５ ．
说 明 ： 形 如 面的 分 数 。 可 以 拆 成 ÷ （
— －） Ｉ 的形 式 ． ， ｌ ＋ 口
二、 巧用饲序法
例 ２ 计算
解： 设 ＝
Ｉ 、
解 ： 设 ｓ ＝ １ ＋ （ ÷＋ 丁 ２ ） ＋ （ ÷＋ ２ ＋ ３ ） ＋
（１
，
即 ２ Ａ ＝２ Ｘ４ ０１ １ ．
了 了 了 了 ） 一 ＋【 丽
２
３
４、
，１
２
＋ ‘ 一 丽 丽 ） ’
４ ８ ４ ９、
辽一 一 一
有理数的运算是初 中代数运算 中 的基 础运算 ， 它有
一
‘ ． ．
Ａ ＝４ ０ １ １ ． ． ． ．原 式 ＝ ４ ０ １ １ ．
定规律 和技 巧． 只要 认 真 分析 和研 究题 目的 内在 特
三、 巧 用 拆 项 法
征， 并根据这些特 征灵活 巧妙 地运 用运算 法则 、 运算 定 律和有针对性地运用 一定 的方法和技巧 ， 不但可 以使运
解 ： 因 为 （ ÷ ＋ 西 １ 一 ÷ 一 ） ÷ ＝ （ ÷ ＋ 去 一 ÷
一
一
１、
） ，
嘉） 嘉 ９ ３ — １ ４ 一 ｌ 一 ３ ，
所以原式 ＝ 一 ÷一 ３ ：一 ３ ÷
八、 巧 用 添项 法
两式相加得 ２ Ｓ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４＋… ＋ ４ ９ ．
解 ： 原 式 ＝ ｝ ＋ （ ÷＋ 号 ） ＋ （ ｝＋ ÷ ＋ ÷ ） ＋ …
有理数运算常用的技巧
有理数运算常用的技巧理数运算是数学中的基本运算之一，它包括加法、减法、乘法、除法等。
在进行理数运算时，掌握一些常用的技巧能够帮助我们更快更准确地计算，提高计算效率。
本文将介绍一些常用的理数运算技巧。
1.加法与减法的技巧：(1)加法交换律：a+b=b+a，即两个数相加的结果与顺序无关。
(2)减法的加法法则：a-b=a+(-b)，即减法可以转化为加法计算。
(3)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，即三个数相加的结果与计算顺序无关。
(4)减法的结合律：(a-b)-c=a-(b+c)，即减法可以按顺序进行多次运算。
2.乘法的技巧：(1)乘法交换律：a*b=b*a，即两个数相乘的结果与顺序无关。
(2)乘法结合律：(a*b)*c=a*(b*c)，即三个数相乘的结果与计算顺序无关。
(3)0的乘法法则：a*0=0，即任何数乘以0都等于0。
(4)乘法的分配律：a*(b+c)=a*b+a*c，即一个数乘以两个数的和等于这个数分别乘以两个数后的和。
3.除法的技巧：(1)除法的定义：a/b=c，即a除以b等于c。
(2)除法的乘法法则：a/b=a*(1/b)，即除法可以转化为乘法计算。
(3)0的除法法则：0/a=0，即0除以任何非零数都等于0。
(4)除法的分配律：(a+b)/c=a/c+b/c，即两个数的和除以一个数等于每个数除以这个数后的和。
4.有理数的比较：(1)相同符号的两个有理数，绝对值越大，值越大。
(2)不同符号的两个有理数，正数大于负数。
(3)当一个有理数与它的绝对值相等的另一个数相比，绝对值大的数更小。
5.分数的运算技巧：(1)相同分母的分数相加减，只需将分子相加减，分母保持不变。
(2)不同分母的分数相加减，需要先找到它们的最小公倍数作为新的分母，然后按比例进行转化。
转化后再按相同分母的分数相加减。
(3)分数相乘，将分子相乘，分母相乘。
(4)分数相除，将除数的倒数作为乘法计算。
以上是常用的理数运算技巧，掌握了这些技巧，我们在进行理数运算时可以更加灵活和高效。
有理数的运算技巧
有理数的运算技巧
1. 哇哦，有理数运算里加法技巧可重要啦！比如计算 2+3+(-1)，可以先把正数加起来，2 和 3 相加得 5，再加上负数-1，轻松得出 4，是不是很简单呀？
2. 嘿，减法也有妙招哦！像，咱先把减法变加法，就成了 5+(-3)+2，然后计算得出 4，你说这招妙不妙啊？
3. 哎呀呀，乘法的技巧那可得掌握好！比如2×3×(-4)，先算2×3 得 6，再乘以-4 就是-24 啦，是不是很神奇呢？
4. 哇塞，除法技巧来咯！像18÷(-3)÷(-2)，先计算18÷(-3)得-6，再除以-2 就等于 3 啦，学会了没？
5. 嘿哟，混合运算的时候要注意顺序呀！就说2+3×4，得先算乘法3×4 是12，再加上 2 就是 14 呢，可别弄错啦！
6. 咦，凑整技巧也很好用哦！比如 9+11+(-8)+(-2)，可以把 9 和 11 凑整得 20，-8 和-2 凑整得-10，最后结果就是 10，有意思吧？
7. 哇，分数运算也有诀窍呢！像 1/2+1/3，先通分变成 3/6+2/6，结果就是 5/6，超好用的哟！
8. 嘿，负数的运算要小心哦！比如(-5)+(-3)，两个负数相加得-8，可要记清楚啦！
9. 总之，掌握这些有理数运算技巧，就能在数学运算中如鱼得水啦！计算起来又快又准，爽歪歪呀！。
有理数运算方法与技巧
掌握了有理数的运算法则，才能更好地进行四则运算。
以下是一些有理数运算的技巧：
1. 乘法分配律的应用：乘法分配律是进行有理数乘法运算的重要法则之一。
对于任意三个有理数a、b、c，有a ×(b + c) = a ×b + a ×c。
这个法则可以用于简化有理数的乘法运算，例如(a + b) ×(a - b) = a^2 - b^2。
2. 绝对值的运算：绝对值是有理数的一个重要概念，它可以用于化简复杂的运算。
例如，|a + b| = |a| + |b|仅当a和b同号时成立，如果a和b异号，则|a + b| < |a| + |b|。
绝对值的性质可以帮助我们解决一些复杂的有理数问题。
3. 分数的运算：分数的运算法则是进行有理数四则运算的重要基础。
在分数运算中，应注意通分的意义和分母的扩大或缩小对分数值的影响。
同时，对于复杂的分数运算，可以通过化简、约分等方法简化问题。
4. 倒数的应用：倒数是有理数的一个重要概念，它可以用于化简有理数的除法运算。
例如，
a /
b = a ×1/b，即除法可以转化为乘法运算。
此外，倒数的性质还可以用于解决一些复杂的有理数问题。
5. 综合运算的顺序：在进行有理数的混合运算时，应按照先乘除后加减、先括号后指数的顺序进行。
注意运算的优先级，合理使用括号，可以避免计算错误。
通过掌握这些有理数运算的技巧，我们可以更好地理解和掌握有理数的四则运算，提高解题效率和准确性。
有理数的运算技巧简便计算
有理数的运算技巧姓名有理数的运算是初中代数运算中的基础运算，它有一定规律和技巧。
只要认真分析和研究题目的内在特征，并根据这些特征灵活巧妙地运用运算法则、运算定律和针对性地运用一定的方法和技巧，不但可以使运算简捷、准确，而且使我们的思维能力得到提高。
下面介绍几种运算技巧。
一. 巧用运算律例1. （第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题） 求和()()()()12131415916023242525926034343635936058595960++++++++++++++++++++ 分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。
解：原式=+++++++++++1213231424341602603605960()()() =++3+++=++++=⨯+⨯=1222242592121235912159592885 ()()二. 巧用倒序法 例2. 计算12003220033200340052003++++ 解：设A=++++12003220033200340052003，把等式右边倒序排列，得 A =++++40052003400420032200312003将两式相加，得2120034005200322003400420034005200312003A =++++++()()()即224005A =⨯，所以A =4005 所以原式＝4005 三. 巧用拆项法例3. （第六届“祖冲之杯”数学竞赛题） 计算11121123112341123100+++++++++++++++=________ 分析：直接计算难上加难。
应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。
利用上面介绍的反序相加法，不难求得最后两项为14950，15050，而14950150992991002992100=⨯=⨯=- 同理，1505021002101=-那么本题就不难解决了。
解：原式=++++++12621222029900210100=-+-+-++-+-211212131314199110011001101()=-=211101200101()说明：形如1n n a ()+的分数，可以拆成111a n n a ()-+的形式。
有理数的巧算
有理数的巧算1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1 计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2 计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算3001×2999的值．例6计算103×97×10 009的值．例7计算：例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．例9计算：通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10 计算：3．观察算式找规律例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．说明 一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．例14 计算：30129811071741411⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯练习1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．。
初中数学 有理数的巧算
四两拨千斤—活学巧用——有理数的巧算【知识要点】1、凑整法如果几个数的和恰好可以凑成未尾带零的整数或者一个特殊的整数，那么，就先求出这几个数的和，可以使计算简便。
这种方法叫做凑整法。
2．倒写相加法：用将原式倒序排列后所得的新式，再与原式对应项相加，使所得的和均相等，这样能使计算简便，这种计算方法叫做倒写相加法． 3、乘法分配律法先运用乘法分配律“()ac ab c b a +=+”去括号，然后再巧算，这种方法叫做乘法分配律法． 4、提取公因数法一个多项式的各项有公因数，可以把这个公因数提取出来，使计算简便，这种方法叫做提取公因数法． 5、整体换元法用字母将算式中具有共同特点的部分进行整体代换后，可以使计算简化。
这种方法叫做整体换元法。
【典型例题】例1．计算：89999989999899989989++++例2．计算：85314526612833531218++++++．例3．计算：2004321++++例4．计算： 445211789555789445555211⨯+⨯+⨯+⨯例5．计算: 10099199981321211⨯+⨯++⨯+⨯【经典练习】1．()()()()()11111-÷-⨯---+-的结果是（ ）．A 、-1B 、1C 、0D 、22．计算：()322212-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-的结果是（ ）．A 、2B 、1C 、-1D 、03. ()[]{}19991998199919981999----4． ()3188313.10775.0875.3⨯÷-⨯-5．计算：()()[]22223434435.01441094112140---⨯÷-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-6．计算：()()()()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-÷-+--⨯-243431622825.0有理数的巧算作业姓名 成绩1． 200920077531++++++2．计算：200220017654321-+-+-+-+-3. ()()20012222133213423-⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-12．下图是王敏从家A 处到科技馆B 处的路线图，每段路上的数字是王敏走这段路所需的分钟数，则王敏从家出发走到科技馆参观，最快需要多少分钟？自我评价定级A（家）B （科技）馆）1415 7911510 12 17 613· ·。
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初中部 年级 (学科)导学案 学案编号： 班级： 姓名： 执笔： 审核： 审批： 印数： 教师评价：
课题： 常见有理数巧算的技巧
〖学习目标〗能巧妙运用有关数学定律和数学方法，解决复杂的有理数计算题。
1.〖重点难点预见〗利用运算律巧算
2.凑整法计算
3.恰当分组计算
4.裂相想消巧算
5.分解相约计算
6.错位相减计算
〖学习流程〗
1.利用运算律巧算
例1.()()[]5413431618387
÷-⨯-+-
小结：在计算中应该合理的使用各种运算规律，才能使计算变得简单有序
2.凑整法计算
例1. 89+899+8999+89999+899999
小结：找到一定规律，使数凑成整数
3.恰当分组计算
例2. (1+3+......+2011) —（2+4+ (2010)
小结：如何将一个算式分成若干个才能使计算变得简单
4.裂相想消巧算
例4.
211⨯+321⨯+431⨯+ (200019991)
小结：根据特点，将其中一些分数适当拆开，使得拆开后有一些分数可以互相抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫做拆项法。
常用的拆项方法：①()111
11
++⨯-=n n n n ②d n n d n n d ++⨯-=11)(③()()211+⨯+⨯n n n =()()()[]21111
21
+⨯++⨯-⨯n n n n
5.分解相约计算
例5.2006⨯20082008—2008⨯20062006
小结：分解的目的是为了找到相同项
6.错位相减计算
例6. S=1+2+22+32+........+20112
小结：n 2=122-⨯n ，常见与错位相减得计算中。