《原子物理与量子力学》-第九章习题课

三 . S 方程，展开假定 方程，
定理1 定理
v v | r |趋于无穷时，若势 U ( r ) 下有界且趋于 方程中， 在S方程中，当 趋于无穷时， 方程中 正无穷，则体系能级只有分立谱， 且基态为非简并态。 正无穷 ， 则体系能级只有分立谱 ， 且基态为非简并态 。
定理2 定理
v v ) 在S方程中，势 U ( r存在上界且当| r |趋于无穷时，势 方程中， 趋于无穷时， 方程中 v U ( r ) 趋于一常数或负无穷 ， 则体系能级必存在连续谱 趋于一常数或负无穷， 同时可能还有分立谱） （同时可能还有分立谱）。
4. 已知在对称有限深方势阱中某一本征态为
其中 求粒子对阱壁的平均力，在无限深势阱中结果如何？ 求粒子对阱壁的平均力，在无限深势阱中结果如何？ 可将势阱表示为： 可将势阱表示为：
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对一侧阱壁的力
此题还可用虚功原理求得
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定态S方程为 定态S方程为: 属于力学量算符Ĥ 的本征方程 特殊情况） （特殊情况） 一维无限深势阱 一维谐振子 三维氢原子
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厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 厄密算符本征函数 总可以取为正交归一化的， 即组 总可以取为正交归一化的 成正交归一系。并且组成完全系（完备系）。 正交归一系。并且组成完全系（完备系） 1). 分立谱正交归一条件为： 分立谱正交归一条件 正交归一条件为
证明 则有： 则有： 求导
令：
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利用
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推出： 推出：
得：
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5.6 证明 练习 证明(练习 练习)*
提示：对左端进行 提示：对左端进行Taylor展开 展开
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二 力学量平均值
1. 证明
以一维为例 证明一 在束缚态下动量的平均值为零 束缚态波函数可归一化到1，且可取实函数。 束缚态波函数可归一化到 ，且可取实函数。 因此，波函数在坐标趋于无穷时趋于零。 因此，波函数在坐标趋于无穷时趋于零。
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证明二
其中
并且
动量算符取值在p~p+dp内的几率为 内的几率为 动量算符取值在 动量算符取值在-p~-p-dp内的几率为 内的几率为 动量算符取值在
也可使用公式： 也可使用公式：
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3.算符对易 算符对易 对易关系满足如下公式： 对易关系满足如下公式： 1) [Ô, Ô] = 0 [Ô 2) [Ô,C] = 0 （这里C为常数） [Ô 这里C为常数） 3) [Ô,Û] = - [Û,Ô] [Ô 4) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê] [Ô [Ô [Ô 5) [Ô,ÛÊ] = Û[Ô,Ê] + [Ô,Û]Ê; [ÛÊ,Ô] = Û[Ê, Ô] + [Û, Ô]Ê [Ô ÛÊ] [Ô [ÛÊ, [Û 6) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0 [Ô,[Û [Û,[Ê [Ê
(1) 显然没有归一化，先进行展开（A为归一化系数）： 为归一化系数） 显然没有归一化，先进行展开（ 为归一化系数 其中
即：
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再利用归一化公式： 再利用归一化公式：
归一化后为： 归一化后为：
可知
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(2)
归一化后波函数为： 归一化后波函数为：
另外有： 另外有：
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2.展开假定与取值几率 展开假定与取值几率 某力学量的本征态φ 组成完全系 完全系， 某力学量的本征态φn或φλ 组成完全系，所 可向其展开： 以体系任一状态ψ可向其展开：
特别， 的本征态上展开有： 特别，若在 Ĥ 的本征态上展开有：
若完全系为连续谱的本征态则： 若完全系为连续谱的本征态则：
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若完全系为混合谱的本 征态则（略去时间t 征态则（略去时间t）： |cn|2是在ψ态中测得力学量为λn的几率，|cλ|2dλ 态中测得力学量 力学量为 几率， 态中测得力学量在λ +dλ 范围内的几 是在 ψ 态中测得力学量在 λ→λ+dλ 范围内的 几 率。 归一化公式的等价性： 归一化公式的等价性： 若能归一化到１ 束缚态） 若能归一化到１（束缚态）：
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若不能归一化到１ 对特定的混合态） 若不能归一化到１（对特定的混合态）：
归一化公式可写为： 归一化公式可写为：
根据δ函数性质： 根据δ函数性质：
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可采用如下归一化方法： 可采用如下归一化方法：
对一般的混合态 平均值公式： 平均值公式：
由此推知动量取正负值的几率相同(被积函数为奇函 由此推知动量取正负值的几率相同 被积函数为奇函 数)，因此平均值为 ，因此平均值为0
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2. 证明 证明Feynman-Hellmann（F-H）定理 （ ）
ˆ ˆ 中含有某参量λ 设体系的 Hamilton 量H 中含有某参量λ，En 是 H 的本征值，ψ n 的本征值， 是归一的束缚态本征函数（ 为一组量子数） 是归一的束缚态本征函数（n 为一组量子数），则
一 力学量算符
1 证明下列等式
（1） ）
（2） ）
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1
2 证明（练习） 证明（练习）
提示 3 求
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2
(1)
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3
代入(1)式有 代入 式有
同理有
可得结论
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(3)
动量取所有值的几率相同， 动量取所有值的几率相同，此时取值几率的 大小已经没有意义，仅需考虑相对几率。 大小已经没有意义，仅需考虑相对几率。
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A.力学量算符 力学量算符 量子力学中的力学量由算符来表示。 量子力学中的力学量由算符来表示。 力学量算符应为线性厄密算符 线性厄密算符。 力学量算符应为线性厄密算符。 厄密算符属于不同本征值 厄密算符属于不同本征值的本征 属于不同本征值的 函数相互正交。 相互正交 函数相互正交。 当体系处于Ô的 本征态Ψ 时 ，力学量Ô取 确定值， 该值 当体系处于Ô 力学量Ô 确定值， 就是算符Ô 中的本征值 所有本征值构成本 本征值。 就是算符Ô在本征态Ψ中的本征值。所有本征值构成本 征值谱，本征值谱为该力学量的所有可能测量值。 征值谱，本征值谱为该力学量的所有可能测量值。 Ô的本征值方程为 本征值方程为
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5.1 证明
证明 用数学归纳法
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5
5.2 证明 练习) 证明(练习 练习
定义： 5.3 定义：算符导数 对某一参数 ξ 定义： 定义：
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5.4 求算符导数
已知 利用 求
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5.5 证明 证明Clauber定理 定理
证
对En 求导数有： 求导数有：
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[证毕] 证毕]
2. 1求在一维谐振子本征态上势能的平均值 求在一维谐振子本征态上势能的平均值
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3. δ函数性质
1. 2. 3. 4. 5. 6.
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因此偶宇称态解为: 因此偶宇称态解为
代入衔接条件得到： 代入衔接条件得到：
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对波函数归一化得到： 对波函数归一化得到：
因此： 因此：
思考：奇宇称态是否存在？ 思考：奇宇称态是否存在？
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2. 粒子处在如下态上，求动量的取值及其几率 粒子处在如下态上，
2). 连续谱正交归一条件为： 连续谱正交归一条件 正交归一条件为
满足上述正交归一化条件的函数系φ 正交归一化条件的函数系 3). 正交归一系 满足上述正交归一化条件的函数系φn 或φλ ， 就称为正交归一 函数） 正交归一（ 就称为正交归一（函数）系。
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1. 粒子在δ势阱中运动，求偶宇称态以及其本征能量 粒子在δ势阱中运动，
S方程为 方程为 由于出现δ函数， 由于出现δ函数，波函数连续性条件被弱化 对上式积分有： 对上式积分有：
衔接公式为： 衔接公式为：
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令 在x≠0处 在 x→ ±∞ 处,ψ→ 0,束缚态波函数解为 束缚态波函数解为
升降算符
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定理：一组力学量算符具有共同完全本征函数系 充要条件是 共同完全本征函数系的 定理 ：一组力学量算符具有共同完全本征函数系的 充要条件是 这组算符两两对易 而在共同本征函数所描述的态 算符两两对易。 共同本征函数所描述的 这些力 这组 算符两两对易。 而在 共同本征函数所描述的态 中 ，这些力 学量同时有确定值。 学量同时有确定值。 力学量完全集所确定的本征函数系 所确定的本征函数系， 由 力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一 组完备的本征函数，即体系的任何状态均可向它展开 任何状态均可向它展开。 组完备的本征函数，即体系的任何状态均可向它展开。 4.测不准关系 测不准关系