克拉默法则教案

克拉默法则

教学目标

1.线性方程的相关概念

2.克拉默法则 教学重点

克拉默法则及其应用 教学难点

克拉默法则的证明 教学方法

讲授法 教学过程

一、导入

前面我们学习了行列式的计算方法，我们也知道，二、三元线性方程组可以用二、三阶行列式求解。在此基础上我们要研究用n 阶行列式来解含n 个未知量n 个方程的线性方程组。

二、新课

n 个未知量n 个方程的线性方程组

()⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧=+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=+++=+++12211222212111212111n n nn n n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

利用方程组（1）的系数构成一个n 阶行列式

nn

n n n n a a a a a a a a a D

2

1

2222111211

=

称为方程组(1)的系数行列式。

定理（克拉默法则） 若含有n 个未知量n 个方程的线性方程组(1)的系数行列式D 不等于零，则方程组(1)有且仅有一个解，且解为：

()2.

,,,2211D D x D

D x D D x n n =

⋯=

=

其中j D ),,2,1(n j =是把行列式D 的第j 列的元素换成以方程组(1)的常数项

n b b b ,,,21 而得的n 阶行列式。

说明：定理中包含三个结论

（1）方程组有解 （2）解是唯一的 （3）解由公式(2)给出

这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：

1.把

D

D D D D D n ,,,2

1⋯代入方程组，验证它确是解 2.假如方程组有解，证明它的解必由公式(2)给出。

证明：

（一）证明(2)是(1)的解，即

i n in

i i b D

D a D

D a D D a =+++ 22

11

),,2,1(n i =

或02211=----n in i i i D a D a D a D b ).,,2,1(n i = 为此，将系数行列式D 添加一行一列，得1+n 阶行列式

nn

n n n

n n

in i i i a a a b a a a b a a a b a a a b D

2

1

222212

112111

210= ),,2,1(n i =. 把0D 按第一行展开，得

n

n n in i i i i D a D a D a D a D b D 1

1

13

2

4

13213

1212

111

10)

1()

1()1()

1()1()

1()

1()

1(-++++++--++--+--+-+-=

.2211n in i i i D a D a D a D b ----=

在0D 中有两行元素完全相同，所以.00=D 因此

2211=----n in i i i D a D a D a D b ).,,2,1(n i =

即(2)是(1)的解。

（二）证(2)是(1)的唯一解.

设i i c x =),,2,1(n i =是(1)的一个解，即

i n in i i b c a c a c a =+++ 2211

).,,2,1(n i =

因为

nn

j

nj n n j

j n j j j a c a a a c a a a c a a D c

122211111

=

)

列(111

2221212111111111j a c a c a c a a a c a c a c a a a c a c a c a a nn

n

nn j nj n n n n

n j j n n n j j

++++++++++++=

）

（列).

,,2,1(.

1

22211111j n j D a b a a b a a b a j nn

n

n n n

===

∴).,,2,1(n j D

D c j j ==

即(2)是(1)的唯一解。

注意：克拉默法则所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组，至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论。

例：解线性方程组

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧*=+-+-=+-=--=+-+)(0674522963852432143242

14321x x x x x x x x x x x x x x

解：方程组)(*的系数行列式

.0276

7

4

1

212060311512≠=-----=

D

由克拉默法则知方程组)(*有唯一解。 又因为

,816

74

0212560391518

1=------=

D ,10867012150609115822-=-----=

D

,276

41

2520693118123-=---=

D .2707

4

1

5120903185124=-----=D 所以方程组)(*的解是：

31=x ，42-=x ，13-=x ，.14=x

三、小结

在第一章第四节给出的二元与三元线性方程组的求解公式就是克拉默

法则的特例。克拉默法则的重要意义是在于它给出了线性方程组有解的一个充分条件，并且给出了解的表达式。不过这个求解公式的理论价值大于实用价值，因为克拉默法则进行计算是不方便的，按这一法则解一个n 个未知量n 个方程的线性方程组就要计算1+n 个n 阶行列式，这个计算量很大。

在下一章我们将学习线性方程组的另一种求解方法——消去法。

四、作业

P138—习题1（1）（4）.