克拉默法则教案
克拉默法则
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7
7 5 13 2 1 2 c1 2c2
7 7 1 2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0 270
7 7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6 81
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 = 108
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8
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6 27
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0 27
x1
D1 D
81 27
3,
x2
D2 1084, D 27
x3
D3 D
271, 27
x4
D4 D
27 27
1.
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非零解的必要条件. 2. 在第三章还将证明这个条件也是充分的. 即： 齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零
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11
练习题：问 取何值时，齐次方程组
12x1x312xx2 24xx33
0, 0,
x1 x2 1 x3 0,
有非零解？
1 2 4 解 D 2 3 1 (2)(3)
我们关心的问题是齐次线性方程组除零解以外是否存11齐次线性方程组的相关定理定理5如果齐次线性方程组的系数行列式定理5如果齐次线性方程组有非零解则它的系数行列式必这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件
§7 克拉默法则
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1
二元线性方程组
a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
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6
例 解线性方程组
第4讲_克拉默法则
第4讲_克拉默法则克拉默法则，又称克拉默法则(Cramer's Rule)，是线性代数中一种求解线性方程组的方法。
它是基于行列式的性质推导而来的，可以通过求解方程组的系数矩阵的行列式和一系列的余子式来求解方程组的解。
设线性方程组为：a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3对应的系数矩阵为：A=，a1b1c1a2b2ca3b3c假设A的行列式，A，≠0，即A可逆。
克拉默法则的步骤如下：1.求出系数矩阵A的行列式，A。
2.将线性方程组中的常数项d替换成对应的常量向量i，并构成矩阵Ai，其中Ai的第i列替换为常量向量。
3.求出Ai的行列式，Ai。
4.解方程组的解向量为：x=，Ai，/，Ay=，Ai，/，Az=，Ai，/，A克拉默法则的优点是求解方便，特别适用于方程组的规模较小的情况。
然而，它的缺点是计算量较大，需要求系数矩阵和每个常量向量的行列式，不适用于大规模的方程组求解。
以下是一个数值例子来说明克拉默法则的应用：假设有方程组：2x+y-z=14x-6y=-2-2x+7y+2z=3我们可以转换为系数矩阵和常数向量的形式：A=，21-14-6-27d=，1-首先，计算系数矩阵A的行列式，A。
A，=2(-6)(2)+1(0)(-2)+(-1)(4)(7)=-12+0-28=-40然后，分别计算对应常量向量的行列式。
A1，=1(-6)(2)+1(0)(-2)+(-1)(-2)(7)=12+0+14=26A2，=2(0)(2)+1(4)(-2)+(-1)(-2)(7)=0-8+14=6A3，=2(-6)(-2)+1(4)(7)+(-1)(-2)(0)=24+28+0=52最后，根据克拉默法则的公式，我们可以得出解向量：x=，A1，/，A，=26/-40=-0.65y=，A2，/，A，=6/-40=-0.15z=，A3，/，A，=52/-40=-1.3因此，方程组的解为x=-0.65，y=-0.15，z=-1.3总结来说，克拉默法则是一种通过求解行列式的方法来求解线性方程组的解的方法。
克拉默(Cramer)法则
§7 克拉默(Cramer)法则现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.定理4 如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,, (1) 的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211(2) 的行列式0||≠=A d那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为dd x d dx d d x n n ===,,,2211 , (3) 其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21 所成的矩阵的行列式，即.,,2,1,1,1,121,221,22111,111,111n j a a b a a a a b a a a a b a a d nnj n nj n n n j j n j j j==+-+-+- (4)定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1. 把),,,(21dd d d d d n 代入方程组，验证它确是解. 2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出. 定理4通常称为克拉默法则. 例1 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+.0674,522,963,85243214324214321x x x x x x x x x x x x x x应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论.常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，因为)0,,0,0( 就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有定理5 如果齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (10) 的系数矩阵的行列式0||≠A ，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有0||=A .例2 求λ在什么条件下，方程组⎩⎨⎧=+=+0,02121x x x x λλ 有非零解.克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个n 个未知量n 个方程的线性方程组就要计算1+n 个n 级行列式，这个计算量是很大的.。
§7 克拉默法则
D1 x= = 1, D
D3 D2 = 1. y= = 2, z= D D三、重要定理
定理1 如果线性方程组(1)的系数行列式 D ≠ 0, 则(1)一定有解,且解是唯一的. 定理2 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.
四、齐次线性方程组的相关定理
齐次线性方程组
解
0 1 2 − 1 1 c1 − 2c3 0 13 − 3 − 5 D= 3 2 −5 c2 + c3 5 1 −2 1 3 −2
=
13 − 3 5 1
= 28 ≠ 0
2 0 1 0 −1 1 D1 = 1 2 − 5 = 13 , D2 = 3 1 − 5 = 47 , 1 4 −2 4 3 −2 2 −1 0 D3 = 3 2 1 = 21 , 1 3 4
(1)
a11 a12 a1 n 记其系数行列式为 D = a 21 a 22 a 2 n a n1 a n 2 a nn
当系数行列式 D≠0 时 , 线性方程组 (1) 有解，并 且解是唯一的，解可以表为
D1 D2 D3 Dn x1 = , x2 = , x3 = , , x n = . D D D D
若一组不全为0的数是 (2) 的解，称为齐次线性 方程组的非零解.
齐次线性方程组的相关定理 定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D ≠ 0, 则齐次线性方程组(2)只有零解.
定理4 如果齐次线性方程组(2)有非零解,则它 的系数行列式必为零.
例3 问 λ 取何值时，齐次方程组
(1 − λ ) x1 − 2 x2 + 4 x3 = 0, 2 x1 + (3 − λ ) x2 + x3 = 0, x + x + (1 − λ ) x = 0, 1 2 3
高等代数2.7 克拉默(Cramer)法则
an1 x1
a12 x2 a22 x2 an2 x2
a1n xn a2n xn ann xn
b1 b2 bn
(1)
若常数项 b1,b2 ,,bn 不全为零，则称（1）为
非齐次线性方程组．
简记为
n
aij x j bi ,
j1
i 1,2,,n.
j1
二、克拉默法则
如果线性方程组（1）的系数矩阵
a11 a12 a1n
A
a21 an1
a22 an2
a2n ann
的行列式 D | A | 0 ，则方程组(１)有唯一解
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,,
xn
Dn D
其中 Dj ( j 1,2,, n) 是把行列式 D 中第 j 列 的元素用方程组（1）的常数项 b1,b2 ,,bn 代换 所得的一个 n 阶行列式，即
若常数项 b1 b2 bn 0, 即
a11 x1 a21 x1 an1 x1
a12 x2 a22 x2 an2 x2
a1n xn a2n xn ann xn
0 0
0
(2)
则称（2）为齐次线性方程组．
n
简记为
aij x j 0, i 1, 2,, n.
4 5
142 0
3 1 2 11
5111
D1
2 2
2 3
1 1
克拉默法则(修改稿)
B1 B2 B3 B4 xij≥0
A1 x11 A2 x21 A3 x31 3
x12 x22 x32 6
x13 x23 x33 5
x14 7 x24 4 x34 9 6
minZ=3x11+11x12+3x13+10x14+x21+9x22+2x23+8x24 +7x31+4x32+10x33+5x34
D3=
3 1 0 0 0
3
2 3 1 0 0
2
1 0 0 0 1
0
0 0 2 3 1 0 2 3 1
0 0 0 =33 2 3 0 0 0 1
3 1 D4= 0 0 0
0 1
=32
=-33
1 D5= 0 0 0
3 1 0 0
2 3 1 0
D1 47 D2 39 13 x1 x2 D 63 D 63 21 D 32 D 33 11 x4 4 x5 5 D 63 21 D 63
则称线性方程组为
将线性方程组 系数组成的行 列式记为D，即
x1-2x2+2x3=1
a11 D a21 an1
a12 a1n
齐次线性方程组 (方程 组2）
a22 a2 n an 2 ann
？1、系数行列式D的元素位置如何确定?
2、如果方程组中某个方程比别的方程少了未知数 的系数，那么对应的系数是多少?（例1）
0X1+ x2+3x3 +2x4+0x5=0
0X1+0x2+ x3 + 3x4+2x5=0 0X1+0x2+ 0x3 + x4+3x5=1 -7 -6 0 1 3 2 0 0
(完整版)克拉默法则教案
克拉默法则教学目标1.线性方程的相关概念2.克拉默法则 教学重点克拉默法则及其应用 教学难点克拉默法则的证明 教学方法讲授法 教学过程一、导入前面我们学习了行列式的计算方法，我们也知道，二、三元线性方程组可以用二、三阶行列式求解。
在此基础上我们要研究用n 阶行列式来解含n 个未知量n 个方程的线性方程组。
二、新课n 个未知量n 个方程的线性方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=+++=+++12211222212111212111nn nn n n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a利用方程组（1）的系数构成一个n 阶行列式nnn n nna a a a a a a a a D212222111211=称为方程组(1)的系数行列式。
定理（克拉默法则） 若含有n 个未知量n 个方程的线性方程组(1)的系数行列式D 不等于零，则方程组(1)有且仅有一个解，且解为：()2.,,,2211DD x D Dx D D x n n =⋯==其中j D ),,2,1(n j =是把行列式D 的第j 列的元素换成以方程组(1)的常数项n b b b ,,,21 而得的n 阶行列式。
说明：定理中包含三个结论（1）方程组有解 （2）解是唯一的 （3）解由公式(2)给出这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1.把DD D D D D n ,,,21⋯代入方程组，验证它确是解 2.假如方程组有解，证明它的解必由公式(2)给出。
证明：（一）证明(2)是(1)的解，即i n in i i b DD a D Da D D a =+++ 2211),,2,1(n i = 或02211=----n in i i i D a D a D a D b ).,,2,1(n i = 为此，将系数行列式D 添加一行一列，得1+n 阶行列式 nnn n nn nini i i a a a b a a a b a a a b a a a b D 21222212112111210= ),,2,1(n i =. 把0D 按第一行展开，得nn n in i i i i D a D a D a D a D b D 11132413213121211110)1()1()1()1()1()1()1()1(-++++++--++--+--+-+-=.2211n in i i i D a D a D a D b ----=在0D 中有两行元素完全相同，所以.00=D 因此02211=----n in i i i D a D a D a D b ).,,2,1(n i =即(2)是(1)的解。
4.克拉默法则
a12 a22 an2
a1n a2n ann
三、重要定理
定理1 若线性方程组(1) 的系数行列式D≠0, 则(1)一定有解,且解是唯一的 . 定理2 若线性方程组 (1) 无解或解不唯一， 则它的系数行列式必为零. 定理3 若齐次线性方程组(2) 的系数行列式 D≠0， 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理4 若齐次线性方程组（2）有非零解， 则它的系数行列式必为零.
b1 A1 j b2 A2 j bn Anj
证
用D中第j列元素的代数余子式A1 j , A2 j , , Anj 依次乘方程组 1的n个方程 , 得
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n A1 j b1 A1 j a x a x a x A b A 21 1 22 2 2n n 2j 2 2j a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n Anj bn Anj
于是
Dx j D j j 1,2,, n.
*
当 D 0 时,方程组
*有唯一的一个解
Dn D1 D2 x1 , x2 , , xn . D D D 由于方程组 (*) 与方程组(1)等价, 故 Dn D1 D2 x1 , x2 , , xn . D D D
再把 n 个方程依次相加，得
n n n x1 x2 xn a A a A a A k 1 kj k 2 kj kn kj k 1 k 1 k 1
bk Akj ,
k 1
思考 n个方程n个未知数的线性方程组的求解问题
克拉默(Cramer)法则
(1)
a11 a12 a1 n a 21 a 22 a 2 n 0 的系数行列式不等于零，即 D a n1 a n 2 a nn
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解 可以表为
D1 D2 D3 Dn x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
定理4 如果线性方程组（1）的系数行列式 D 0
则（1）一定有惟一解。
推论 如果线性方程组（1）无解或有两个不同 的解，则它的系数行列式一定为零。
定义
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0
第七节
克拉默（Cramer)法则
一、克拉默法则 二、重要定理
三、小结、思考题
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a11 a1 , j 1 b1 a1 , j 1 a1 n D j a n 1 a n , j 1 bn a n , j 1 a nn
二、重要定理
2 5 λ 6 λ 4 λ 8 5 λ 5 λ λ 10 λ 16
5 λ λ 2 λ 8
由于 1 5, 2 2, 3 8 所以当
克拉默法则
金融. 克拉默法则 二. 小结
定理1.3.1（克拉默法则）
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 , a x a x a x b , 22 2 2n n 2 设线性方程组 21 1 a n 1 x1 a n 2 x 2 a nn x n b n ,
1 1 1 2
142, D 2
1 2 3
2 2 0
.
142,
于是 x 1
D1 D
1, x 2
D2 D
2, x 3
D3 D
3, x 4
D4 D
1.
说明:
用Cramer法则求解系数行列式不等于零的n元非齐次
线性方程组, 需要计算n+1个n阶行列式, 它的计算工作量很大. 实际上关于数字系数的线性方程组(包括系数行列式等于零及 方程个数和未知量个数不相同的线性方程组)的解法, 一般都采用 第2章中介绍的高斯消元法. Cramer法则主要是从理论上具有重要 意义, 特别是它明确地揭示了方程组的解和系数之间的关系.
行列式按行(列)展开的若干技巧：
１．选择零元素较多的行（列）展开； ２．有时需要利用性质得到尽可能多的零，再展开；
３．如果有几行（列）非零元素个数同样少，则需考虑
展开后的低阶行列式是否容易处理；
４．展开时最好能删掉复杂的行（列）；
５．有时需要展开两次或三次，再多可能不适用；
a1, j 1 a n , j 1 a1 n . a nn
a1, j 1 a n , j 1
b1 bn
所成的行列式, 即 D j
a n1
克莱姆法则的两个适用条件:
线性代数1.5-克拉默法则
ai 1 a11 ai 1 an1
ai 2 a12 ai 2 an 2
ain bi a1n b1 0, ain bi ann bn
ai 1 a11 ai 1 an1
ai 2 a12 ai 2 an 2
本次课[3]的教学要求
1、理解克拉默法则，会使用克拉默法则求解 线性方程组。
2、通过练习巩固行列式的性质和运算。
第五节 克拉默法则
方形非齐次线性方组与方形齐次线性方程组的概念
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 设线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零, 则称此方程组为方形
非齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零, 此时称方程组为方形齐次线性方程组.
一、克拉默(Cramer)法则 如果方形线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
于是
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D ,
Dx j D j j 1,2,, n.
D1 D2 D3 Dn x1 , x2 , x3 , , x n , D D D D
3
当 D 0 时, 方程组3 有唯一的一个解
Dj D1 Dn 另外，可以证明 ai 1 aij ain bi D D D Dj D1 Dn x1 , , x j , , x n D D D
2.4 克拉默法则
问 λ , µ 取何值时,齐次线性方程组 取何值时,
λx1 x1 x 1 + + x2
有非零解? 有非零解?
µx 2 x3 + 2 µx 2 + x 3 = 0
+ +
x3
= 0 = 0
有非零解的充分必要条件 解 有非零解的充分必要条件 D = 0
λ
D= 1 1 1 1
λ −1
0 0
0 1 2 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 . 0 1 5
1 0 = 0 0 0
例
1 2 3 1 3 2 1 , C = 2 0 , 设 A = 2 2 1 , B = 5 3 3 4 3 3 1
det A, i = j ai1Aj1 +L+ ainAjn = i≠ j 0,
a11 L a1n
证
M M ai1 L ain i行 行 M 设i ≠ j : ai1Aj1 +LainAjn = M ai1 L ain j行 行 M M an1 L ann
=0
引理2 引理2 设A为n阶矩阵，则 AA* = A* A = (det A)I , A21 L An1 其中： A 其中 11 A22 L An2 12 A * A = M M M （称为A的伴随矩阵） A n A2n L Ann 1 证
x1 1 2 3 3 ⇒ x 2 = 2 2 1 0 , x 3 4 3 1 3
−1
x1 1 2 3 3 ⇒ x2 = 2 2 1 0 x 3 4 3 1 3
第18 讲克拉默法则
解
,
，
,
,
. 因为
,所以原方程组有唯一解： ， ， ， .
例2 在数域 中解方程组
. 解 系数行列式
. 1）当 且 时
，方程组有唯一解
2）当 时，方程组事实上只含一个方程 任取 ，都可得到方程组的一个解：
当 取遍
（1）
中所有数时，（1）式给出原方程组在
中的一切解。 3）当
时，同理可得原方程组的解为
第18 讲
§7 克拉默法则
教学目的和要求ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 掌握克拉默法则的使用条件； 2 初步了解系数矩阵为方阵的齐次线性方程组有无非零 解与系数行列式是否等于零之间的关系。
点 用克拉默法求解系数矩阵为方阵的线性方程组。 点 系数含有参数的线性方程组解的情况的讨论。 教学过程 我们先来复习一下二元一次方程组（称为二元线性方程组）的解 法：
口述：在2）、3）两种情况并没用到克拉默法则，其思想方法将在下 章详细介绍。
作业 19 1），4）；20.
习题选讲
12 解 1）由行列式的定义，
. 当 时 ， 能且只能从自己所在列的第 行中取元素，所以 的展开式中，含有 的项的系数为范德蒙行列式
. 因为当
时 ，所以 ， 是 次多项式。
2）由行开式的性质4知，当 ， 时 ，而 至多有 个根，所以 ， 就是 的全部根。
得：
（3） 得：
（4） 记
，称为方程组的系数行列式；
；
.
则当 时，由（3）、（4）知方程组有唯一解：
. 对于
元线性方程组（口头详释）
（Ⅰ） 我们记
，称为方程组的系数矩阵，
，称为（Ⅰ）的常向量。 定理（克拉默法则）如果线性方程组（Ⅰ）的系数行列式
1-3克拉默法则
齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零 , 此时称方程组为齐次线性方程组.
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1
2. 齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a x a x a x 0 n1 1 n2 2 nn n
(1)
a12 a1n a 22 a 2 n
的系数行列式不等于零，即D
a11 a 21
a n1 a n 2 a nn
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那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解 可以表为
x1 D1 D D D , x2 2 , x3 2 , , xn n . D D D D
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注：
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导. 一些实际求解方法将在第四章中详讲。
二、重要定理
1. 非齐次与齐次线性方程组的概念
定理 定理
2
例2 问 , ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ取何值时，齐次方程组 x1 x 2 x 3 0 , x1 x 2 x 3 0 , x 2x x 0, 2 3 1 有非零解？ 解
D 1 1 1 1 1 1 r3 r2 1 1 1 2 1 0 0 1 3 2 ( 1) ( 1) 0 1 1
第1章 7节 克拉默法则
方程组有非零解，则D=0.于是=3或 =0.
例3 求平面上经过两点 P1 ( x1 , y1 )、P2 ( x2 , y2 )的直线方程 .
解 设其方程为ax by c 0, (a , b不全为0)，若P ( x , y ) 为直线上任一动点， 则P、P1、P2三点的坐标满足： ax by c 0，ax1 by1 c 0，ax 2 by2 c 0， xt1 yt 2 t 3 0 可见方程组 x1 t1 y1 t 2 t 3 0 有非零解(a , b, c )， x 2 t1 y 2 t 2 t 3 0 x y 1
a11 a21 的系数行列式 D a12 a1n a22 a2 n 0,
(1)
an1 an 2 ann
则方程组有解且有惟一解
Dn D1 D2 x1 , x2 , xn D D D
( 2)
其中Dj(j=1,2,…,n)是把系数行列式D中第j列的元素
换成方程组的常数项b1,b2,…,bn所构成的n级行列式,
1 x1 x 2 x 3 0 例2 若齐次线性方程组 x 1 (1 ) x 2 x 3 0 x x (1 ) x 0 2 3 1
有非零解，求值. 解 系数行列式
1 D 1 1 ( 3 )2 1 1 1 1 1 1 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (3 ) 1 1
的系数行列式D0，则方程组只有零解;而若方程组 有非零解，则D=0. 可以证明,系数行列式D=0，是上述方程组有非 零解的充分必要条件.
例1 解线性方程组 x1 ax2 a 2 x3 a 3 x4 1 2 3 x bx b x b x4 1 1 2 3 (a , b, c , d为互不相同的常数 ) 2 3 x1 cx2 c x3 c x4 1 x dx d 2 x d 3 x 1 2 3 4 1 解 系数行列式
克拉默法则
0
i j.
●定义法
●递推法
●加边法
计
●数学归纳法
算
●公式法
●拆项法
应
●克拉默法则
用
●齐次线性方程组有非零解的充要条件
3
二、主要定理
1、行列式的展开定理.
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
= ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin
定理 如果齐次线性方程组 2 有非零解,则它
的系数行列式必为零.
系数行列式 D 0
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1 a22 x2 a2n xn 0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零，即D a21 a22 a2n 0
an1 an2 ann
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x1D1 D Nhomakorabea,
x2
D2 D
,
x3
n-1
1
2
x n-1 n
例题：请问三阶行列式
a1 x b1 x c1 x
f x a2 x b2 x c2 x
a3 x b3 x c3 x
x 作为 的多项式，是几次多项式？
分析：根据行列式定义，是取自不同行不同列元素乘 积的代数和，所以化简后可知其最高次数是一次。
克拉默法则教案范文
克拉默法则教案范文克拉默法则是一种用于解线性方程组的方法，它也被称为克拉默公式。
通过克拉默法则，我们可以求出未知数的值，而无需对方程组进行消元或使用矩阵求逆的方法。
克拉默法则非常适用于小规模的线性方程组，因为其计算方法相对容易理解和操作。
以下是一个克拉默法则的教案，是为一个高中数学课程设计的。
该教案旨在帮助学生理解和运用克拉默法则来解决线性方程组。
时间：1节课（45分钟）教学目标：1.理解和掌握克拉默法则的概念及应用；2.能够使用克拉默法则解决简单的线性方程组；3.能够分析并评估使用克拉默法则的优缺点。
教学资源：1.黑板和白板笔；2.幻灯片或教学软件。
教学步骤：步骤1：导入（5分钟）教师通过回顾之前的内容，提问学生对线性方程组的解法是否还记得，引出新的解法，克拉默法则。
步骤2：概念讲解（10分钟）教师通过讲解克拉默法则的概念和基本原理，向学生介绍其计算步骤：1.对于一个包含n个未知数的线性方程组，使用克拉默法则时，需要计算n+1个行列式；2.每个行列式的元素是方程组中的系数，除了当前行对应的未知数的系数，其他位置都是不变的；3.计算每个行列式的值，然后将其依次除以一个参照行列式的值，即可得到各个未知数的值。
步骤3：示例演练（15分钟）教师以一个简单的线性方程组为例，通过克拉默法则进行计算，强调每个步骤的重要性和具体操作方法。
教师需要与学生一起完成计算，以便学生能够更好地理解和掌握克拉默法则的应用。
步骤4：练习（10分钟）教师提供几个简单的线性方程组问题，要求学生使用克拉默法则解答。
教师可以组织学生进行小组讨论，鼓励学生互相交流和合作。
教师需要在练习过程中进行指导和引导，确保学生正确地运用克拉默法则。
步骤5：讨论和总结（5分钟）教师组织学生对使用克拉默法则解决线性方程组的优缺点进行讨论，并总结出以下结论：1.克拉默法则适用于小规模的线性方程组，因为它的计算步骤较复杂且计算量相对较大；2.克拉默法则更适用于教学和理论研究，而不太适用于实际问题的解决，因为它在实践中的运用存在时间和计算资源的限制。
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克拉默法则
教学目标
1.线性方程的相关概念
2.克拉默法则 教学重点
克拉默法则及其应用 教学难点
克拉默法则的证明 教学方法
讲授法 教学过程
一、导入
前面我们学习了行列式的计算方法，我们也知道，二、三元线性方程组可以用二、三阶行列式求解。
在此基础上我们要研究用n 阶行列式来解含n 个未知量n 个方程的线性方程组。
二、新课
n 个未知量n 个方程的线性方程组
()⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧=+++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=+++=+++12211222212111212111n n nn n n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a
利用方程组（1）的系数构成一个n 阶行列式
nn
n n n n a a a a a a a a a D
2
1
2222111211
=
称为方程组(1)的系数行列式。
定理（克拉默法则） 若含有n 个未知量n 个方程的线性方程组(1)的系数行列式D 不等于零，则方程组(1)有且仅有一个解，且解为：
()2.
,,,2211D D x D
D x D D x n n =
⋯=
=
其中j D ),,2,1(n j =是把行列式D 的第j 列的元素换成以方程组(1)的常数项
n b b b ,,,21 而得的n 阶行列式。
说明：定理中包含三个结论
（1）方程组有解 （2）解是唯一的 （3）解由公式(2)给出
这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：
1.把
D
D D D D D n ,,,2
1⋯代入方程组，验证它确是解 2.假如方程组有解，证明它的解必由公式(2)给出。
证明：
（一）证明(2)是(1)的解，即
i n in
i i b D
D a D
D a D D a =+++ 22
11
),,2,1(n i =
或02211=----n in i i i D a D a D a D b ).,,2,1(n i = 为此，将系数行列式D 添加一行一列，得1+n 阶行列式
nn
n n n
n n
in i i i a a a b a a a b a a a b a a a b D
2
1
222212
112111
210= ),,2,1(n i =. 把0D 按第一行展开，得
n
n n in i i i i D a D a D a D a D b D 1
1
13
2
4
13213
1212
111
10)
1()
1()1()
1()1()
1()
1()
1(-++++++--++--+--+-+-=
.2211n in i i i D a D a D a D b ----=
在0D 中有两行元素完全相同，所以.00=D 因此
2211=----n in i i i D a D a D a D b ).,,2,1(n i =
即(2)是(1)的解。
（二）证(2)是(1)的唯一解.
设i i c x =),,2,1(n i =是(1)的一个解，即
i n in i i b c a c a c a =+++ 2211
).,,2,1(n i =
因为
nn
j
nj n n j
j n j j j a c a a a c a a a c a a D c
122211111
=
)
列(111
2221212111111111j a c a c a c a a a c a c a c a a a c a c a c a a nn
n
nn j nj n n n n
n j j n n n j j
++++++++++++=
）
（列).
,,2,1(.
1
22211111j n j D a b a a b a a b a j nn
n
n n n
===
∴).,,2,1(n j D
D c j j ==
即(2)是(1)的唯一解。
注意：克拉默法则所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组，至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论。
例：解线性方程组
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧*=+-+-=+-=--=+-+)(0674522963852432143242
14321x x x x x x x x x x x x x x
解：方程组)(*的系数行列式
.0276
7
4
1
212060311512≠=-----=
D
由克拉默法则知方程组)(*有唯一解。
又因为
,816
74
0212560391518
1=------=
D ,10867012150609115822-=-----=
D
,276
41
2520693118123-=---=
D .2707
4
1
5120903185124=-----=D 所以方程组)(*的解是：
31=x ，42-=x ，13-=x ，.14=x
三、小结
在第一章第四节给出的二元与三元线性方程组的求解公式就是克拉默
法则的特例。
克拉默法则的重要意义是在于它给出了线性方程组有解的一个充分条件，并且给出了解的表达式。
不过这个求解公式的理论价值大于实用价值，因为克拉默法则进行计算是不方便的，按这一法则解一个n 个未知量n 个方程的线性方程组就要计算1+n 个n 阶行列式，这个计算量很大。
在下一章我们将学习线性方程组的另一种求解方法——消去法。
四、作业
P138—习题1（1）（4）.。