小学奥数--几何--五大模型--燕尾模型(共边定理)

三角形中的模型（一）

知识点详解

1“燕尾模型”：面积比转化为边之比

D 是BC 上任意一点，1423:::S S S S BD DC

==

证明：法一：S 1与S 4共边ED,则S 1与S 4同高，令S 1：S 4=BD:DC=ma:mb ，

同理，令S △ABD ：S △ADC ＝BD:DC=na:nb 则S2:S3=(na-ma):(nb-mb)=a:b=BD:DC

法二：△BED 与△CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；

△ABE 与△EBD 同高，12::S S ED EA =；△ACE 与△CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.

2题目类型

(1)基础类型

可直接利用三角形三条边上的燕尾模型，由“底边之比决定面积之比”来解题。往往题目会只给出两条由定点出发的分先，需自己添加第三条分线为辅助线，即形成“”形状。

(2)拓展类型

利用“多于两条分先围成的面积不可直接求”先判断哪些部分可利用燕尾模型直接求解，然后制定求解策略、逐一求解。

例题详解

例

1

分析：份

为令△1BDF S 5

3231:1::62:1::31:1::22:1:+⇒==⇒==⇒==⇒=份

均为、份为份为份

为△△△△△△△△△△△S S EC AE S S S DC BD S S S EC AE S S S DC BD EFC AEF EFC AEF AFC AFC ABF ABF BFC ABF DFC

例2

分析：1

:8:1:8:8)31(21:2::33:1:1=∴==+×⇒==⇒=OE BO S S S DC BD S S S EC AE S AOE ABO AOB AOC AOB EOC AEO △△△△△△△∵份

为份

为份

为

令例3

分析：16

:27::16:124:3::27

:129:4::==∴======FB AF S S EC EA S S DC BD S S

BOC AOC BOC AOB AOC AOB

△△△△△△例5

分析：2

2963

2

123

2222112221121:1::21:1::11:1::1cm S ABCD AGCD S EB AE S S S FB CF S S S EB AE S S S

AGCD GCB GCB AGC AGC AGB AGC GEB GEB AGE AEG

=×==

×+++++++∴∴==∴==∴==）（的占正方形四边形份为，∵份为，∵份为，∵份

为令△△△△△△△△△

△例6

分析：135144135144648381262)216(45120)45(80)216(4040

8021645::4080

45216::==∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=−=−⎩⎨⎧+=+=+++=

⇒==++⇒

===AOE BOF BOC ABO COE AOE AOC ABO ODC OBD AOE BOF S S y x x y x y x y y x x

y S S S S y x S S S S y

S x S △△△△△△△△△△△△，解得整理得即∵∵

，例4

分析：△GHI 是由3条等分线围成的不可直接求，制定间接求解策略△AGC 是由两条等分线围成的可

用燕尾直接求解，其求解过程与△AHB 、△BIC 完全一样，即AGC

ABC GHI S S S △△△3−=求解AGC S △：设BGC S △看成1份，则AGC S △=1×2=2份，AGB S △=2×2=4份

7

1

3721724212=×−==++=∴

GHI AGC S S S S △△，则

家庭作业1分析：

7

2

216,218,722142,21186421182443121:2::12262:1::62)21(1:2::22:1::33:2:,1=

===+==++++=∴=×==÷=⇒===×⇒===×+⇒==⇒==⇒=ABF BFD EFDC AE FDC FDC FDC BFD BFC BFC ABF ABF AFC ABF EFC EFC AEF DFC AEF S S S S S S DC BD S S S EC AE S S S DC BD S S S EC AE S S S DC BD S △△△△△△△△△△△△△△△△△△份

份，份

为份为份

为份

为份为

令2分析：

7

317333117337

34:3:::11:3::31:1::31:3:,1 ,CE =

∴==++++

⇒===⇒==⇒==⇒=阴影△△△△△△△△△△△△△△∵面积的阴影部分占△份

为份

为份为份

为份为令S S ABC S FC AF S S S S S DC BD S S S DE AE S S S DC BD S ABC AEF BEC ABE EFC AEF AEC AEC ABE BED BED ABE BDE

CED 3

分析：2

:56:15::6

:103:5::15

:103:2::===∴======FB AF S S EC EA S S DC BD S S BGC AGC BGC ABC AGC ABG △△△△△△4

分析：△GHI 是由3条等分线围成的不可直接求，制定间接求解策略△AGC 是由两条等分线围成的可

用燕尾直接求解，其求解过程与△AHB 、△BIC 完全一样，即AGC

ABC GHI S S S △△△3−=求解AGC S △：设BGC S △看成9份，则AGC S △为9÷3×4=12份，AGB S △为12÷3×4=16份

237

1

7437133712137129161212=×=∴=×−==++=∴

GHI ABC GHI ABC AGC S S S S S △△△△△，则5

分析：2DFE 5

5224

5

2)21333(2332:1::31:1::3211:1:::22:1:: 1 S cm S ABCD S S EC DE S S S FC BF S S S FG DF S S S S S EC DE S S BFG BDF GHD BGH BHD BFC DFB FGC BFG DFB CFG DFC EFC EFC DEF =×

=∴=

×+++++∴==∴===+∴===∴==阴影△△△△△△△△△△△△△△△△面积的阴影部分占长方形份为、，∵份为，∵份为，∵份为，

∵E D B