高三数学一轮复习(集合的概念及运算)
高考数学一轮复习 1.1 集合的概念与运算
2.如果集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2n 个子集,2n-1 个真子集. 3.正确理解交、并、补集的含义是解决集合的运算问题的关键.数轴和 Venn 图是进行集合交、并、补运算的有力工具.
12
核心考点
(4)空集: 不含任何元素的集合
叫做空集,记作: ⌀
.
规定:空集是 任何集合的子集 .
4
知识梳理
双击自测
知识梳理
-5-
3.集合的基本运算
并集
符号 表示
A∪B
图形 表示
交集 A∩B
补集
设全集为 U,集合 A 的 补集∁UA
含义
A∪
B={x|x∈A,或 x∈B}
A∩B={x|x∈A,且 x∈B}
∁UA={x|x∈U,且 x∉ A}
-13-
考点一
考点二
考点三
考点一集合的基本概念
1.设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素的
个数为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
关闭
由题意知 x=a+b,a∈A,b∈B,则 x 的可能取值为 5,6,7,8.因此,集合 M 共有 4 个元素.故选 B.
关闭
B
13 解析 答案
核心考点
-14-
考点一
考点二
考点三
2.若集合 A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则 a=( )
(6)设全集为 R,函数 y= 1-������2的定义域为 M,则∁RM={x|x>1,或 x<1}.( )
高三数学一轮复习 第1单元 1.1 集合的概念与运算课件 理 新人教A版
1.集合元素的三个特征:确定性、互异性、 无序性 . 2.集合的表示法:列举法、 描述法 、图示法.
提示:(1)注意集合表示的列举法与描述法在形式上的区别,列举法一般适合 于有限集,而描述法一般适合于无限集.
(2)注意集合中元素的互异性:集合{x|x2-2x+1=0}可写为{1},但不可写为 {1,1}. 3.元素与集合的关系有:属于和不属于,分别用符号∈ 和 ∉ 表示.
结合思想方法的运用.
二、集合的运算 1.两个集合的交、并、补的运算分别与逻辑联结词且、或、非对应,但不能等同
和混淆. 2.数形结合的思想方法在集合的运算中也是常见的,对于一般的集合运算时可用
文氏图直观显示,例如若A⊆S,B⊆S,则全集S最多被四个集合A∩B,A∩(∁SB), B∩(∁SA)和∁U(A∪B)所划分;对于可以用区间表示的数集可以利用数轴进行集合 的运算.
【例2】 (2010·衡水中学调研)已知集合A={x|x2+ x+1=0},B={y|y=x2+a,
x∈R},若A∩B≠∅,则a的取值范围是( )
A.(-∞,- ] B.
C.
D.(-∞,-2]
解析:由x2+ x+1=0得(2x+1)(x+2)=0,则x=- ,或x=-2,
既A= ≤- .
. 又B={y|y=x2+a,x∈R}=[a,+∞).由A∩B≠∅,知a
1.已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩 (Venn)图是( )
解析:N={x|x2+x=0}={-1,0},则N M,故选B. 答案:B
2. 已知集合A={-1,2},B={x|mx+1=0},若A∩B=B,则所有实数m的值组 成的集合是( ) A.{-1,2} B.{1,- } C.{1,0,- } D.{-1,0, } 解析:∵A∩B=B,即B⊆A,若m=0,B=∅⊆A; 若m≠0,B={x|x=- };由B⊆A得:- =-1或- =2, ∴m=1或m=- .综上选C. 答案:C
第1章 第1讲集合的概念与运算-2021版高三数学(新高考)一轮复习课件共45张PPT
第一章 集合与常用逻辑用语
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[解析] (1)B={x|x∈A}={1,2,3}=A,故选 C.
(2)∵集合 A={x|x=sin n3π,n∈Z}={0, 23,- 23},且 B⊆A,∴集合 B 的个 数为 23=8,故选 C.
(3)解法一:(列举法),由题意知
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(2)(多选题)(2020·湖南长郡中学模拟改编)已知集合 M={y|y=x-|x|,x∈R},N
={y|y=(12)x,x∈R},则下列不正确的是(ABD )
A.M=N
B.N⊆M
C.M=∁RN
D.(∁RN)∩M=∅
(3)已知集合 A={x|x2-3x-10≤0},B={x|mx+10>0},若 A⊆B,则 m 的取值范
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(3)若 a+2=1,则 a=-1,A={1,0,1},不合题意;若(a+1)2=1,则 a=0 或-
2,当 a=0 时,A={2,1,3},当 a=-2 时,A={0,1,1},不合题意;若 a2+3a+3=1,
则 a=-1 或-2,显然都不合题意;因此 a=0,所以 2 0200=1.
∵1∉A,∴a+2≠1,∴a≠-1;(a+1)2≠1,解得 a≠0,-2;a2+3a+3≠1 解
A.(-1,1)
B.(1,2)
C.(-1,+∞)
D.(1,+∞)
[解析] 由题意得A∪B={x|x>-1},即A∪B=(-1,+∞),故选C.
第一章 集合与常用逻辑用语
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6. (2019·全国卷Ⅱ,5分)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合及其运算课件
(2)已知 a,b∈R,若a,ba,1={a2,a+b,0},则 a+b 为(
)
A.1 B.0 C.-1 D.±1
答案 C 解析 由已知得 a≠0,则ba=0,所以 b=0,于是 a2=1,即 a=1 或 a =-1,又根据集合中元素的互异性可知 a=1 应舍去,因此 a=-1,故 a +b=-1.故选 C.
1.若有限集 A 中有 n 个元素,则集合 A 的子集个数为 2n,真子集的个 数为 2n-1,非空真子集的个数为 2n-2.
2.A∪∅=A,A∪A=A,A⊆ (A∪B),B⊆ (A∪B). 3.A∩∅=∅,A∩A=A,A∩B⊆ A,A∩B⊆ B. 4.A∩B=A∪B⇔A=B.
5.A⊆ B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔(∁UA)⊇ (∁UB)⇔A∩(∁UB)=∅. 6.A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A. 7.(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B),(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B).
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 集合的基本概念 例 1 (1)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元 素的个数是( ) A.1 B.3 C.5 D.9
答案 C
解析 当 x=0 时,若 y=0,则 x-y=0;若 y=1,则 x-y=-1;若 y =2,则 x-y=-2.同理可得,当 x=1 时,x-y=1,0,-1;当 x=2 时,x -y=2,1,0.综上,根据集合中元素的互异性,可知 B 中元素有-2,-1, 0,1,2,共 5 个.
6.(2021·福建泉州质量检测(三))已知集合 A={(x,y)|x+y=8,x,y∈ N*},B={(x,y)|y>x+1},则 A∩B 中元素的个数为( )
集合课件高三数学一轮复习
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
主干知识·回顾
核心题型·突破
课时分层检测
3.设全集为 R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则∁R(A∪B)= ________,(∁RA)∩B=________.
答案 {x|x≤2 或 x≥10} {x|2<x<3 或 7≤x<10}
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
得 m>-6.]
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
主干知识·回顾
核心题型·突破
课时分层检测
题型三 集合的基本运算
命题点 1 集合的运算
[例 3] (2023·天津卷,5 分)已知集合 U=1,2,3,4,5 ,A=
1,3
,B={1,2,4},则(∁UB)∪A=(
)
A. 1,3,5
B. 1,3
__A_∩__B___ __∁_U__A___
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
主干知识·回顾
核心题型·突破
课时分层检测
【常用结论】 1.若集合 A 有 n(n≥1)个元素,则集合 A 有 2n 个子集,2n-1 个真子 集. 2.子集的传递性:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C. 3.等价关系:A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB.
所以 M∩N={-2}.故选 C. 方法二 因为 M={-2,-1,0,1,2},将-2,-1,0,1,2 代入 不等式 x2-x-6≥0,只有-2 使不等式成立,所以 M∩N={-2}.故选 C.]
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
主干知识·回顾
核心题型·突破
课时分层检测
跟踪训练 1 (1)(多选)集合 A={x|mx2+2x+m=0,m∈R}中有且只有 一个元素,则 m 的取值可以是( )
2023届高考数学一轮复习讲义:第1讲 集合的概念与运算
第1讲集合的概念与运算1.集合与元素(1)集合元素的三个特征:、、.(2)元素与集合的关系是或关系,用符号或表示.(3)集合的表示法:、、.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号[注意]N为自然数集(即非负整数集),包含0,而N*和N+的含义是一样的,表示正整数集,不包含0.2.集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,则x∈B)真子集 集合A 是集合B 的子集,且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中集合 相等集合A ,B 中元素相同A =B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形 语言符号 语言A ∪B =A ∩B =∁U A =➢考点1 集合的含义与表示[名师点睛]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合;然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的含义. (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合是否满足元素的互异性.2+y 2≤3,x ∈Z ,y ∈Z },则A 中元素的个数为( )A .9B .8C .5D .4(2)设A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫2,3,a 2-3a ,a +2a +7,B ={|a -2|,3},已知4∈A 且4∉B ,则a 的取值集合为________.[举一反三]1.(2022·江西·新余四中模拟预测(理))已知集合()(){}20A x a x x a =--<,若2A ∉,则实数a 的取值范围为( )A .()(),12,-∞+∞ B .[)1,2 C .()1,2D .[]1,22.(2022·菏泽模拟)设a ,b ∈R ,集合{1,a +b ,a }=⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,b a ,b ,则b -a =( ) A .1 B .-1 C .2D .-23.(多选)(2022· 广州一调)已知集合{x |mx 2-2x +1=0}={n },则m +n 的值可能为( )A .0B .12C .1D .24.(2022·福建·模拟预测)设集合{2,1,1,2,3}A =--,{}2|log ||,B y y x x A ==∈ ,则集合B 元素的个数为( )A .2B .3C .4D .55.(2022·武汉校级月考)已知集合A ={m +2,2m 2+m },若3∈A ,则m 的值为________.➢考点2 集合的基本关系R N )=( )A .∅B .MC .ND .R(2)[2022·广东阳江月考]已知集合A ={x |y =4-x 2},B ={x |a ≤x ≤a +1},若B ⊆A ,则实数a 的取值范围为( )A .(-∞,-3]∪[2,+∞)B .[-1,2]C .[-2,1]D .[2,+∞)[举一反三]1.(2022·广东广州·一模)已知集合{}11A x x =∈-≤≤Z ,{}02B x x =≤≤,则A B 的子集个数为( )A .2B .3C .4D .62.[2022·湖北武汉摸底]已知集合A ={x |x 2-3x +2=0,x ∈R },B ={x |0<x <5,x ∈N },则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A .1 B .2 C .3D .43.(2022·山东·潍坊一中模拟预测)已知集合M ,N 是全集U 的两个非空子集,且()U M N ⊆,则( )A .M N ⋂=∅B .M N ⊆C .N M ⊆D .()U N M U ⋃=4.[2021·湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A ={x ∈Z |x ≥a },集合B ={x ∈Z |2x ≤4}.若A ∩B 只有4个子集,则实数a 的取值范围是( )A .(-2,-1]B .[-2,-1]C .[0,1]D .(0,1]5.[2022·吉林辽源五校期末联考]已知集合M ={x |x -a =0},N ={x |ax -1=0},若M ∩N =N ,则实数a 的值是________.➢考点3 集合的基本运算[典例]1.(1)(2021·全国·高考真题)设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===,则()UAB =( )A .{3}B .{1,6}C .{5,6}D .{1,3}(2)(多选)[2022·湖南长沙模拟]已知全集U =R ,集合M ={x |-3≤x <4},N ={x |x 2-2x -8≤0},则( )A .M ∪N ={x |-3≤x <4}B .M ∩N ={x |-2≤x <4}C .(∁U M )∪N =(-∞,-3)∪[-2,+∞)D .M ∩(∁U N )=(-3,-2)2.(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ={x |x 2-4≤0},B ={x |2x +a ≤0},且A ∩B ={x |-2≤x ≤1},则a =( )A .-4B .-2C .2D .4(2)[2022·湖南六校联考]集合A ={0,2,a },B ={1,a 2},若A ∪B ={0,1,2,4,16},则a 的值为( )A .0B .1C .2D .4[举一反三]1.(2022·河北石家庄·二模)已知集合{3,2,1,0,1}A =---,301x B x Zx +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭,则A B =( )A .[3,1)-B .[3,1]-C .{3,2,1,0,1}---D .{2,1,0}--2.[2022·华南师范大学附属中学月考]已知集合A ={x |x <3},B ={x |x >a },若A ∩B ≠∅,则实数a 的取值范围为( )A .[3,+∞)B .(3,+∞)C .(-∞,3)D .(-∞,3]3.(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ={(x ,y )|x ,y ∈N *,y ≥x },B ={(x ,y )|x +y =8},则A ∩B 中元素的个数为( )A .2B .3C .4D .64.(2022·重庆·二模)已知集合{}{}21,3,5,6,7,8,9,14480A B xx x ==-+∣,则下图中阴影部分表示的集合为( )A .{}1,3,5,7,9B .{}1,3,5,9C .{}1,3,5D .{}1,3,95.(2021·全国·高考真题(理))已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ,{}41,T t t n n ==+∈Z ,则S T ( )A .∅B .SC .TD .Z6.[2021·豫北名校联考]设集合A ={x |x 2+2x -3>0},集合B ={x |x 2-2ax -1≤0,a >0},若A ∩B 中恰含有一个整数,则实数a 的取值范围是( )A .⎝⎛⎭⎫0,34 B .⎣⎡⎭⎫34,43 C .⎣⎡⎭⎫34,+∞ D .(1,+∞)7.(2020·浙江·高考真题)设集合S ,T ,S ⊆N *,T ⊆N *,S ,T 中至少有两个元素,且S ,T 满足:①对于任意x ,y ∈S ,若x ≠y ,都有xy ∈T ②对于任意x ,y ∈T ,若x <y ,则yx∈S ; 下列命题正确的是( )A .若S 有4个元素,则S ∪T 有7个元素B .若S 有4个元素,则S ∪T 有6个元素C .若S 有3个元素,则S ∪T 有5个元素D .若S 有3个元素,则S ∪T 有4个元素➢考点4 集合中的创新问题[典例] 1.(2022·北京房山·一模)已知U 是非实数集,若非空集合A 1,A 2满足以下三个条件,则称(A 1,A 2)为集合U 的一种真分拆,并规定(A 1,A 2)与(A 2,A 1)为集合U 的同一种真分拆 ①A 1∩A 2=0 ②A 1A 2=U③(1,2)i A i =的元素个数不是i A 中的元素.则集合U ={1,2,3,4,5,6}的真分拆的种数是( ) A .5B .6C .10D .152.[2022·广东六校联考]已知集合A 0={x |0<x <1}.给定一个函数y =f (x ),定义集合A n={y |y =f (x ),x ∈A n -1},若A n ∩A n -1=∅对任意的x ∈N *成立,则称该函数具有性质 “∅”. (1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________.(2)给出下列函数:①y =1x ;②y =x 2+1;③y =cos π2x +2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________.3.[2022·河北保定质检]现有100名携带药品出国的旅游者,其中75人带有感冒药,80人带有胃药,那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中,下列说法正确的是( ) A .最多人数是55 B .最少人数是55 C .最少人数是75 D .最多人数是80[举一反三]1.(2022·湖南·雅礼中学一模)已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈,{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈,定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为A .77B .49C .45D .302.[2021·四川成都联考]已知集合A ={1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B 1,B 2,B 3,…,B k ,k ∈N *.记b i 为集合B i (i =1,2,3,…,k )中的最大元素,则b 1+b 2+b 3+…+b k =( )A .45B .105C .150D .2103.[多选][2022·湘赣皖十五校第一次联考]已知集合M ,N 都是非空集合U 的子集,令集合S ={x |x 恰好属于M ,N 中的一个},下列说法正确的是( )A .若S =N ,则M =∅B .若S =∅,则M =NC .若S ⊆M ,则M ⊆ND .∃M ,N ,使得S =(∁U M )∪(∁U N )4.[2022·湖北华大新联盟考试]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题:今有物,不知其数.三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二.问:物几何?现有如下表示:已知A ={x |x =3n +2,n ∈N *},B ={x |x =5n +3,n ∈N *},C ={x |x =7n +2,n ∈N *},若x ∈(A ∩B ∩C ),则整数x 的最小值为( ) A .128 B .127 C .37D .235.[2022·山东省实验中学第二次诊断]若集合{a ,b ,c ,d }={1,2,3,4},且下列四个关系:①a =1;②b ≠1;③c =2;④d ≠4有且只有一个是正确的.请写出满足上述条件的一个有序数组(a ,b ,c ,d )=________,符合条件的全部有序数组(a ,b ,c ,d )的个数是________.6.[2022·山东潍坊重点高中联考]已知U ={a 1,a 2,a 3,a 4},集合A 是集合U 中的两个元素所组成的集合,且同时满足下列三个条件:①若a 1∈A ,则a 2∈A ;②若a 3∉A ,则a 2∉A ;③若a 3∈A ,则a 4∉A .求集合A .第1讲 集合的概念与运算1.集合与元素(1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N+)Z Q R [注意]N为自然数集(即非负整数集),包含0,而N*和N+的含义是一样的,表示正整数集,不包含0.2.集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⫋B(或B⫌A)集合 相等集合A ,B 中元素相同 A =B3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形 语言符号 语言A ∪B = {x |x ∈A 或x∈B }A ∩B = {x |x ∈A 且x ∈B }∁U A = {x |x ∈U 且 x ∉A }➢考点1 集合的含义与表示[名师点睛]与集合元素有关问题的解题策略(1)研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合;然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的含义. (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合是否满足元素的互异性.2+y 2≤3,x ∈Z ,y ∈Z },则A 中元素的个数为( )A .9B .8C .5D .4(2)设A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫2,3,a 2-3a ,a +2a +7,B ={|a -2|,3},已知4∈A 且4∉B ,则a 的取值集合为________.[解析] (1)将满足x 2+y 2≤3的整数x ,y 全部列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个.故选A.(2)因为4∈A ,即4∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫2,3,a 2-3a ,a +2a +7,所以a 2-3a =4或a +2a +7=4.若a 2-3a =4,则a =-1或a =4;若a +2a +7=4,即a 2+3a +2=0,则a =-1或a =-2.由a 2-3a 与a +2a +7互异,得a ≠-1.故a =-2或a =4.又4∉B ,即4∉{|a -2|,3}, 所以|a -2|≠4,解得a ≠-2且a ≠6. 综上所述,a 的取值集合为{4}. [答案] (1)A (2){4} [举一反三]1.(2022·江西·新余四中模拟预测(理))已知集合()(){}20A x a x x a =--<,若2A ∉,则实数a 的取值范围为( )A .()(),12,-∞+∞B .[)1,2C .()1,2D .[]1,2【答案】D【解析】因为2A ∉,所以()()2220a a --≥,解得12a ≤≤.故选:D .2.(2022·菏泽模拟)设a ,b ∈R ,集合{1,a +b ,a }=⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,b a ,b ,则b -a =( )A .1B .-1C .2D .-2解析:选C.因为{1,a +b ,a }=⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,b a ,b ,a ≠0,所以a +b =0,则ba =-1,所以a=-1,b =1.所以b -a =2.3.(多选)(2022· 广州一调)已知集合{x |mx 2-2x +1=0}={n },则m +n 的值可能为( )A .0B .12C .1D .2解析:选BD.因为集合{x |mx 2-2x +1=0}={n },所以⎩⎪⎨⎪⎧m =0,-2n +1=0或⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0,Δ=4-4m =0,n =--22m ,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =0,n =12或⎩⎨⎧m =1,n =1,所以m +n =12或m +n =2.故选BD.4.(2022·福建·模拟预测)设集合{2,1,1,2,3}A =--,{}2|log ||,B y y x x A ==∈ ,则集合B 元素的个数为( )A .2B .3C .4D .5【答案】B 【解析】当2x =±时,y =1;当1x =±时,y =0;当x =3时,2log 3y =.故集合B 共有3个元素.故选:B.5.(2022·武汉校级月考)已知集合A ={m +2,2m 2+m },若3∈A ,则m 的值为________. 解析:由题意得m +2=3或2m 2+m =3, 则m =1或m =-32.当m =1时,m +2=3且2m 2+m =3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意; 当m =-32时,m +2=12,而2m 2+m =3,符合题意,故m =-32.答案:-32➢考点2 集合的基本关系R N )=( )A .∅B .MC .ND .R(2)[2022·广东阳江月考]已知集合A ={x |y =4-x 2},B ={x |a ≤x ≤a +1},若B ⊆A ,则实数a 的取值范围为( )A .(-∞,-3]∪[2,+∞)B .[-1,2]C .[-2,1]D .[2,+∞)【解析】 (1)因为M ,N 均为R 的子集,且∁R M ⊆N ,所以N =∁R M ,所以M ∪(∁R N )=M .故选B.(2)集合A ={x |y =4-x 2}={x |-2≤x ≤2},因为B ⊆A ,所以有⎩⎨⎧a ≥-2,a +1≤2,所以-2≤a ≤1. 【答案】 (1)B (2)C [举一反三]1.(2022·广东广州·一模)已知集合{}11A x x =∈-≤≤Z ,{}02B x x =≤≤,则A B 的子集个数为( )A .2B .3C .4D .6【答案】C【解析】由题可知{}1,0,1A =-,所有{}0,1A B =,所有其子集分别是{}{}{},1,0,0,1∅,所有共有4个子集,故选:C2.[2022·湖北武汉摸底]已知集合A ={x |x 2-3x +2=0,x ∈R },B ={x |0<x <5,x ∈N },则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A .1 B .2 C .3D .4解析:选D 求解一元二次方程,得A ={x |x 2-3x +2=0,x ∈R }={x |(x -1)(x -2)=0,x ∈R }={1,2},易知B ={x |0<x <5,x ∈N }={1,2,3,4}.因为A ⊆C ⊆B ,所以根据子集的定义,集合C 必须含有元素1,2,且可能含有元素3,4,原题即求集合{3,4}的子集个数,即有22=4个,故选D.3.(2022·山东·潍坊一中模拟预测)已知集合M ,N 是全集U 的两个非空子集,且()U M N ⊆,则( )A .M N ⋂=∅B .M N ⊆C .N M ⊆D .()U N M U ⋃=【答案】A 【解析】UN 表示集合N 的补集,因为()U M N ⊆,所以M N ⋂=∅.故选:A4.[2021·湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A ={x ∈Z |x ≥a },集合B ={x ∈Z |2x ≤4}.若A ∩B 只有4个子集,则实数a 的取值范围是( )A .(-2,-1]B .[-2,-1]C .[0,1]D .(0,1][答案] D [解析] 本题考查根据集合的子集个数求参数的取值.集合A ={x ∈Z |x ≥a },集合B ={x ∈Z |2x ≤4}={x ∈Z |x ≤2},故A ∩B ={x ∈Z |a ≤x ≤2}.因为A ∩B 只有4个子集,所以A ∩B 中元素只能有2个,即A ∩B ={1,2},所以0<a ≤1,故选D.5.[2022·吉林辽源五校期末联考]已知集合M ={x |x -a =0},N ={x |ax -1=0},若M ∩N =N ,则实数a 的值是________.解析:由题易得M ={a }.因为M ∩N =N , 所以N ⊆M , 所以N =∅或N =M , 所以a =0或a =±1. 答案:0或1或-1➢考点3 集合的基本运算[典例]1.(1)(2021·全国·高考真题)设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===,则()UAB =( )A .{3}B .{1,6}C .{5,6}D .{1,3}【答案】B【解析】由题设可得{}U1,5,6B =,故(){}U 1,6A B ⋂=,故选:B.(2)(多选)[2022·湖南长沙模拟]已知全集U =R ,集合M ={x |-3≤x <4},N ={x |x 2-2x -8≤0},则( )A .M ∪N ={x |-3≤x <4}B .M ∩N ={x |-2≤x <4}C .(∁U M )∪N =(-∞,-3)∪[-2,+∞)D .M ∩(∁U N )=(-3,-2)【解析】 (1)方法一:由题意,得A ∪B ={-1,0,1,2},所以∁U (A ∪B )={-2,3},故选A.方法二:因为2∈B ,所以2∈A ∪B ,所以2∉∁U (A ∪B ),故排除B ,D ;又0∈A ,所以0∈A ∪B ,所以0∉∁U (A ∪B ),故排除C ,故选A.(2)由x 2-2x -8≤0,得-2≤x ≤4,所以N ={x |-2≤x ≤4},则M ∪N ={x |-3≤x ≤4},A 错误;M ∩N ={x |-2≤x <4},B 正确;由于∁U M =(-∞,-3)∪[4,+∞),故(∁U M )∪N =(-∞,-3)∪[-2,+∞),C 正确;由于∁U N =(-∞,-2)∪(4,+∞),故M ∩(∁U N )=[-3,-2),D 错误.故选BC.【答案】 (1)A (2)BC2.(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ={x |x 2-4≤0},B ={x |2x +a ≤0},且A ∩B ={x |-2≤x ≤1},则a =( )A .-4B .-2C .2D .4(2)[2022·湖南六校联考]集合A ={0,2,a },B ={1,a 2},若A ∪B ={0,1,2,4,16},则a 的值为( )A .0B .1C .2D .4【解析】 (1)方法一:易知A ={x |-2≤x ≤2},B ={x |x ≤-a2},因为A ∩B ={x |-2≤x ≤1},所以-a2=1,解得a =-2.故选B.方法二:由题意得A ={x |-2≤x ≤2}.若a =-4,则B ={x |x ≤2},又A ={x |-2≤x ≤2},所以A ∩B ={x |-2≤x ≤2},不满足题意,排除A ;若a =-2,则B ={x |x ≤1},又A ={x |-2≤x ≤2},所以A ∩B ={x |-2≤x ≤1},满足题意;若a =2,则B ={x |x ≤-1},又A ={x |-2≤x ≤2},所以A ∩B ={x |-2≤x ≤-1},不满足题意,排除C ;若a =4,则B ={x |x ≤-2},又A ={x |-2≤x ≤2},所以A ∩B ={x |x =-2},不满足题意.故选B.(2)根据集合并集的概念,可知{a ,a 2}={4,16},故a =4. 【答案】 (1)B (2)D [举一反三]1.(2022·河北石家庄·二模)已知集合{3,2,1,0,1}A =---,301x B x Zx +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭,则A B =( )A .[3,1)-B .[3,1]-C .{3,2,1,0,1}---D .{2,1,0}--【答案】D 【解析】因为30311x x x +<⇒-<<-,所以{}2,1,0B =--,而{3,2,1,0,1}A =---, 所以A B ={2,1,0}--,故选:D2.[2022·华南师范大学附属中学月考]已知集合A ={x |x <3},B ={x |x >a },若A ∩B ≠∅,则实数a 的取值范围为( )A .[3,+∞)B .(3,+∞)C .(-∞,3)D .(-∞,3]解析:选C 因为A ∩B ≠∅,所以结合数轴可知实数a 的取值范围是a <3,故选C. 3.(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ={(x ,y )|x ,y ∈N *,y ≥x },B ={(x ,y )|x +y =8},则A ∩B 中元素的个数为( )A .2B .3C .4D .6解析:选C.由题意得,A ∩B ={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},所以A ∩B 中元素的个数为4,选C.4.(2022·重庆·二模)已知集合{}{}21,3,5,6,7,8,9,14480A B xx x ==-+∣,则下图中阴影部分表示的集合为( )A .{}1,3,5,7,9B .{}1,3,5,9C .{}1,3,5D .{}1,3,9【答案】B【解析】由图可知,图中阴影部分表示()R A B ⋂,由214480x x -+≤,得68x ≤≤, 所以{}68B x x =≤≤,所以{R 6B x x =<或}8x >,因为{}1,3,5,6,7,8,9A =, 所以(){}R1,3,5,9AB =,故选:B5.(2021·全国·高考真题(理))已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ,{}41,T t t n n ==+∈Z ,则S T ( )A .∅B .SC .TD .Z【答案】C【解析】任取t T ∈,则()41221t n n =+=⋅+,其中n Z ∈,所以,t S ∈,故T S ⊆, 因此,S T T =.故选:C.6.[2021·豫北名校联考]设集合A ={x |x 2+2x -3>0},集合B ={x |x 2-2ax -1≤0,a >0},若A ∩B 中恰含有一个整数,则实数a 的取值范围是( )A .⎝⎛⎭⎫0,34 B .⎣⎡⎭⎫34,43 C .⎣⎡⎭⎫34,+∞D .(1,+∞)[答案] B [解析] A ={x |x 2+2x -3>0}={x |x >1或x <-3},设函数f (x )=x 2-2ax -1,因为函数f (x )=x 2-2ax -1图象的对称轴为直线x =a (a >0),f (0)=-1<0,根据对称性可知,若A ∩B 中恰有一个整数,则这个整数为2,所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0,f (3)>0,即⎩⎪⎨⎪⎧4-4a -1≤0,9-6a -1>0,所以⎩⎨⎧a ≥34,a <43,即34≤a <43.故选B. 7.(2020·浙江·高考真题)设集合S ,T ,S ⊆N *,T ⊆N *,S ,T 中至少有两个元素,且S ,T 满足:①对于任意x ,y ∈S ,若x ≠y ,都有xy ∈T ②对于任意x ,y ∈T ,若x <y ,则yx∈S ; 下列命题正确的是( )A .若S 有4个元素,则S ∪T 有7个元素B .若S 有4个元素,则S ∪T 有6个元素C .若S 有3个元素,则S ∪T 有5个元素D .若S 有3个元素,则S ∪T 有4个元素 【答案】A 【解析】 首先利用排除法:若取{}1,2,4S =,则{}2,4,8T =,此时{}1,2,4,8S T =,包含4个元素,排除选项 C ; 若取{}2,4,8S =,则{}8,16,32T =,此时{}2,4,8,16,32S T =,包含5个元素,排除选项D ; 若取{}2,4,8,16S =,则{}8,16,32,64,128T =,此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =,包含7个元素,排除选项B ;下面来说明选项A 的正确性:设集合{}1234,,,S p p p p =,且1234p p p p <<<,*1234,,,p p p p N ∈,则1224p p p p <,且1224,p p p p T ∈,则41p S p ∈, 同理42p S p ∈,43p S p ∈,32p S p ∈,31p S p ∈,21p S p ∈,若11p =,则22p ≥,则332p p p <,故322p p p =即232p p =,又444231p p p p p >>>,故442232p p p p p ==,所以342p p =, 故{}232221,,,S p p p =,此时522,p T p T ∈∈,故42p S ∈,矛盾,舍.若12p ≥,则32311p p p p p <<,故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==, 又44441231p p p p p p p >>>>,故441331p p p p p ==,所以441p p =, 故{}2341111,,,S p p p p =,此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈, 则31q S p ∈,故131,1,2,3,4i qp i p ==,故31,1,2,3,4i q p i +==,即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈,故{}3456711111,,,,p p p p p T =,此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选:A .➢考点4 集合中的创新问题[典例] 1.(2022·北京房山·一模)已知U 是非实数集,若非空集合A 1,A 2满足以下三个条件,则称(A 1,A 2)为集合U 的一种真分拆,并规定(A 1,A 2)与(A 2,A 1)为集合U 的同一种真分拆 ①A 1∩A 2=0 ②A 1A 2=U③(1,2)i A i =的元素个数不是i A 中的元素.则集合U ={1,2,3,4,5,6}的真分拆的种数是( ) A .5 B .6C .10D .15【答案】A 【解析】解:由题意,集合U ={1,2,3,4,5,6}的真分拆有{}{}125,1,2,3,4,6A A ==;{}{}121,4,2,3,5,6A A ==;{}{}123,4,1,2,5,6A A ==;{}{}124,5,1,2,3,6A A ==;{}{}124,6,1,2,3,5A A ==,共5种,故选:A.2.[2022·广东六校联考]已知集合A 0={x |0<x <1}.给定一个函数y =f (x ),定义集合A n={y |y =f (x ),x ∈A n -1},若A n ∩A n -1=∅对任意的x ∈N *成立,则称该函数具有性质 “∅”. (1)具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是________.(2)给出下列函数:①y =1x ;②y =x 2+1;③y =cos π2x +2.其中具有性质“∅”的函数的序号是________.[解析] (1)答案不唯一,合理即可.示例: 对于解析式y =x +1,因为A 0={x |0<x <1},所以A 1={x |1<x <2}, A 2={x |2<x <3},…,显然符合A n ∩A n -1=∅.故具有性质“∅”的一个一次函数的解析式可以是y =x +1. (2)对于①,A 0={x |0<x <1},A 1={x |x >1},A 2={x |0<x <1},…, 依次循环下去,符合A n ∩A n -1=∅.对于②,A 0={x |0<x <1},A 1={x |1<x <2},A 2={x |2<x <5},A 3={x |5<x <26},…,根据函数y =x 2+1的单调性得相邻两个集合不会有交集,符合A n ∩A n -1=∅.对于③,A 0={x |0<x <1},A 1={x |2<x <3},A 2={x |1<x <2},A 3={x |1<x <2}, 不符合A n ∩A n -1=∅.所以具有性质“∅”的函数的序号是①②. [答案] (1)y =x +1 (2)①②3.[2022·河北保定质检]现有100名携带药品出国的旅游者,其中75人带有感冒药,80人带有胃药,那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中,下列说法正确的是( ) A .最多人数是55 B .最少人数是55 C .最少人数是75D .最多人数是80解析:选B 设100名携带药品出国的旅游者组成全集I ,其中带感冒药的人组成集合A ,带胃药的人组成集合B .设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x ,则0≤x ≤20.设以上两种药都带的人数为y .由图可知,x +card(A )+card(B )-y =100.∴x +75+80-y =100,∴y =55+x .∵0≤x ≤20,∴55≤y ≤75,故最少人数是55. [举一反三]1.(2022·湖南·雅礼中学一模)已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈,{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈,定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,中元素的个数为则A BA.77 B.49 C.45 D.30【答案】C【解析】因为集合,所以集合中有5个元素(即5个点),即图中圆中的整点,集合中有25个元素(即25个点):即图中正方形中的整点,集合的元素可看作正方形中的整点(除去四个顶点),即个.2.[2021·四川成都联考]已知集合A={1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B1,B2,B3,…,B k,k∈N*.记b i为集合B i(i=1,2,3,…,k)中的最大元素,则b1+b2+b3+…+b k=()A.45 B.105C.150 D.210[答案]B[解析]本题考查集合的新定义问题.集合A的含有3个元素的子集共有C36=20个,所以k=20.在集合B i(i=1,2,3,…,k)中,最大元素为3的集合有C22=1个;最大元素为4的集合有C23=3个;最大元素为5的集合有C24=6个;最大元素为6的集合有C25=10个,所以b1+b2+b3+…+b k=3×1+4×3+5×6+6×10=105.故选B.3.[多选][2022·湘赣皖十五校第一次联考]已知集合M,N都是非空集合U的子集,令集合S={x|x恰好属于M,N中的一个},下列说法正确的是()A.若S=N,则M=∅B.若S=∅,则M=NC.若S⊆M,则M⊆ND.∃M,N,使得S=(∁U M)∪(∁U N)[答案] ABD [解析]本题考查Venn 图.用Venn 图表示,集合S 为如图1中的阴影部分,对于A 选项,若S =N ,利用S 的Venn 图观察,则有M ∩N =∅,M =∅,故A 选项正确;对于B 选项,若S =∅,则M =N ,故B 选项正确;对于C 选项,反例:如图集合S 为如图2中的阴影部分,N ⊆M ,故C 选项错误;对于D 选项,例如U ={1,2,3,4},M ={1,2,3},N ={4},S ={x |x 恰好属于M ,N 中的一个}={1,2,3,4}=U ,而(∁U M )∪(∁U N )={4}∪{1,2,3}={1,2,3,4}=S ,故D 选项正确,故选ABD.图1 图24.[2022·湖北华大新联盟考试]中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题:今有物,不知其数.三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二.问:物几何?现有如下表示:已知A ={x |x =3n +2,n ∈N *},B ={x |x =5n +3,n ∈N *},C ={x |x =7n +2,n ∈N *},若x ∈(A ∩B ∩C ),则整数x 的最小值为( ) A .128 B .127 C .37D .23解析:选D ∵求整数的最小值,∴先将23代入检验,满足A ,B ,C 三个集合,故选D.5.[2022·山东省实验中学第二次诊断]若集合{a ,b ,c ,d }={1,2,3,4},且下列四个关系:①a =1;②b ≠1;③c =2;④d ≠4有且只有一个是正确的.请写出满足上述条件的一个有序数组(a ,b ,c ,d )=________,符合条件的全部有序数组(a ,b ,c ,d )的个数是________. 解析:显然①不可能正确,否则①②都正确;若②正确,则⎩⎪⎨⎪⎧ a =2,b =3,c =1,d =4或⎩⎪⎨⎪⎧ a =3,b =2,c =1,d =4.若③正确,则⎩⎪⎨⎪⎧ a =3,b =1,c =2,d =4.若④正确,则⎩⎪⎨⎪⎧ a =2,b =1,c =4,d =3或⎩⎪⎨⎪⎧ a =3,b =1,c =4,d =2或⎩⎪⎨⎪⎧a =4,b =1,c =3,d =2.所以符合条件的数组共6个. 答案:(3,2,1,4)(填一个正确的即可) 66.[2022·山东潍坊重点高中联考]已知U ={a 1,a 2,a 3,a 4},集合A 是集合U 中的两个元素所组成的集合,且同时满足下列三个条件:①若a1∈A,则a2∈A;②若a3∉A,则a2∉A;③若a3∈A,则a4∉A.求集合A.解:假设a1∈A,则a2∈A.又若a3∉A,则a2∉A,∴a3∈A,与集合A中有且仅有两个元素不符,∴假设不成立,∴a1∉A.假设a4∈A,则a3∉A,则a2∉A,且a1∉A,与集合A中有且仅有两个元素不符,∴假设不成立,∴a4∉A.故集合A={a2,a3},经检验知符合题意.。
高三一轮复习集合知识点和题型
第一章 集合与常用逻辑用语1.1集合的概念知识点1.元素和集合的概念元素:一般地,我们把研究对象统称为元素集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)。
集合通常用大写的字母表示,如A B C 、、、……;元素通常用小写的字母表示,如a b c d 、、、……。
知识点2.集合中元素的特性(1)确定性:给定一个集合,它的元素必须是确定的。
设A 是一个给定的集合,x 是某一具体的对象,则x 或者是A 的元素,或者不是A 的元素,二者必居其一,不能模棱两可.(2)互异性: 给定一个集合,它的任意两个元素是互不相同的。
也就是说集合中的元素是不重复出现的。
集合中相同的元素只能算是一个。
(3)无序性:集合中的元素是不分先后顺序的.知识点3.元素与集合的关系一般地,如果a 是集合A 的元素,就说a 属于A ,记作a A ∈;如果a 不是集合的元素,就说a 不属于A ,记作A a ∉。
特别注意:(1)集合和元素是两个不同的概念,它们之间是个体与整体的关系,并且这种关系是相对的;(2)元素与集合之间不存在大小与相等的关系,只存在属于或不属于的关系。
如2与{}3,只能是{}23∉,不能写成{}23≠。
知识点4.集合的第一种表示方法自然语言和常用数集及记法上面举的例子:中国的直辖市组成的集合。
还比如:地球上的四大洋组成的集合;小于10的所有自然数组成的集合等等我们是可以用自然语言表示一个集合。
数学中有一些常用数集,就是自然语言表示的, 这些常用数集及记法如下: (1)全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N 。
(2)所有正整数组成的集合称为正整数集,记作*N 或+N 。
(3)全体整数组成的集合称为整数集,记作Z 。
(4)全体有理数数组成的集合称为有理数集,记作Q 。
(5)全体实数组成的集合称为实数集,记作R 。
知识点5.集合的表示方法 (1)自然语言 (2)列举法列举法概念:像这样把集合中的元素一一列举出来,并用大括号括起来表示集合的方法叫做列举法。
集合课件-2025届高三数学一轮复习
{| ∈ ,或 ⑱______________
{| ∈ ,且
符号语言 ⑰______________
∈
}
∈
}
______
______
∁ =
{| ∈ ,且 ∉
⑲________________
}
______
1.子集的传递性: ⊆ , ⊆ ⇒ ⊆ .
A. ≥
)
B. <
C. ≤
√
D. >
解析:因为 = {| < < },所以∁ = −∞, ] ∪ [, +∞ ,
因为 ∁ ∪ = ,所以 ≤ .
利用集合的运算求参数的方法
(1)与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值的取舍.
(2)若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到集合中元素之
2025届高考数学一轮复习讲义
集合、常用逻辑用语与不等式之集合
1.集合与元素
确定性
互异性
无序性
(1)集合元素的三个特性:①________、②________、③________.
∈
属于
不属于
(2)元素与集合的关系是④______或⑤________关系,用符号⑥___或⑦
∉
___表示.
列举法
描述法
间的关系,再列方程(组)求解.
在求出参数后,注意结果的验证(满足集合中元素的互异性).
角度3 集合的新定义问题
例5(1) 设是一个数集,且至少含有两个数,若对任意, ∈ ,都有
+ , − ,, ∈ (除数 ≠ ),则称是一个数域,则下列集合为数域
的是(
高三数学第一轮复习《第1课时 集合的概念及其基本运算》课件
探究提高 在解决两个数集关系问题时,避免出错的 一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解,另 外,在解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数 进行讨论.分类时要遵循“不重不漏”的分类原则, 然后对每一类情况都要给出问题的解答. 分类讨论的一般步骤:①确定标准;②恰当分类; ③逐类讨论;④归纳结论.
(2)当a=0时,显然B A;
当a<0时,若B A,如图,
4 则 a
1 a
1 2
2
,
a a
8 1.
2
1 2
a
0;
当a>0时,若B A,如图,
则4 a
1 a
2
1
2
,
a a
2 .0
2
a
2.
综上知,当B
A时,
1 2
a
2
(3)当且仅当A、B两个集合互相包含时,A=B.
由(1)、(2)知,a=2.
( B)
A.a<1 B.a≤1 C.a<2 D.a≤2
解析 由图象得a≤1,故选B.
明年目标
工作详情
题型一 集合的基本概念
【例1】 集合A={0,2,a},B={1,a2},
若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.4
思维启迪 根据集合元素特性,列出关于a的方程
则A∩( UB)等于 A.{x|0≤x<1}
(B) B.{x|0<x≤1}
C.{x|x<0}
D.{x|x>1}
解析 ∵B={x|x>1},
∴ UB={x|x≤1}. 又A={x|x>0},
∴A∩( UB)={x|0<x≤1}。
1.1集合的概念及运算(讲义)-2023届高考一轮复习
1.1集合的概念及运算【考试要求】.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系,能用集合语言描述不同的具体问题;1.理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;.在具体情境中,了解全集与空集的含义;2.理解两个集合的并集、交集与补集的含义,会求两个简单集合的并集、交集与补集,能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算。
【考点提示】.以选择题、填空题的形式考查集合的交集、并集、补集运算;1.以集合为载体,考查函数的定义域、值域、方程、不等式及曲线间的交点问题;.以考查集合含义及运算为主,同时考查集合语言和思想的运用。
【要点梳理】1.集合的含义与表示(1)集合的含义:指定某些对象的全体称为集合,集合的每个对象称为元素;(2)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性;(3)元素与集合的关系:属于记为,反4;不属于记为agA;(4)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法;(5)常用数集及其符号表示:自然数集:JV;正整数集:N*或"整数集:Z;有理数集:。
;实数集:区;(6)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集;.集合的基本关系(1)子集:一般地,对于两个集合A , B,集合A中任何一个元素均为集合「中的元素,那么称集合A是集合B的子集,记作:AqB或(2)相等:如果且那么A = B;(3)真子集:对于两个集合A, B,如果且AwB,那么称集合A是集合B的真子集,记作:A曙8或A;(4)空集:不含任何元素的集合,空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集,可以表示为:0GA或0思3 (B^0);(5)假设一个集合A中有〃个元素,那么集合A有2:个子集,2"-1个真子集。
2.集合的运算(1)集合的基本运算【基础自测】]假设集合 A = {2£ N IX W 12022 } , 贝 Ij()A. tzeAB. [a}eAC.[a}^AD. a^A答案:D2.(21•全国乙理)集合3 = {5|5 = 2〃 + 1,〃£2}, 2={Z|E=4〃+1/£Z},那么S"=()A. 0B. SC. TD. Z答案:c3.(21•全国甲理)设集合M={x[0<xv4}, N = {x|1wxW5}那么MAN=()A. {x|O<x<l}B. {x|-<x<4}C. {x|4<x<5}D. {x|0<x<5}答案:B4.(21 •全国乙文)全集。
集合专题讲义-高三数学一轮复习
集合一、知识点1、集合的定义:把某些能够确切指定的对象看做一个整体,这个整体就叫做集合,简称集,通常用大写字母A,B,C,D……来表示集合,集合中的各个对象叫做这个集合的元素,通常用小写字母a,b,c,d.……来表示元素。
如果说a是A中的元素,就说a属于A,记为a∈A;如果b不是B中的元素,就说b不属于B,记为b∉B。
2.集合中元素的特征(1)确定性(2)互异性(3)无序性(1)列举法(2)描述法{x∣x具有性质p}(3)韦恩图(文氏图)(1)有限集(2)无限集5.空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为φ(1)自然数集N(正整数集N+或N*)(2)整数集Z(正整数集Z+,负整数集Z)(3)有理数集Q(无理数集C R Q)(4)实数集R (5)复数集C7、区间的概念:通常把介于两个实数a,b(a<b)之间的实数集合称之为区间,并规定(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示[a,b];(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示﹙a,b﹚;(3)满足不等式a≤x<b,或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,表示[a,b﹚,﹙a,b].(4)满足不等式x>a或x<a的实数x的集合叫做无限区间,表示(a,+∞),(∞,a)(5)(+∞,∞)=R(实数集合)(1)子集:如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(任意a∈A则a∈B),那么集合A称为集合B的子集,记为A⊆B或 B⊇A,读作“集合A包含于集合B”或集合B包含集合A”。
(2)真子集:如果集合A是B的子集,且A≠B,即B中至少有一个元素不属于A,那么A就是B的真子集,可记作:A⊊B。
(3)子集、真子集的一些性质:①规定空集φ是任何集合的子集;②对于含n个元素的集合,它的子集个数为2n,真子集有2n1个,非空真子集有2n2个。
9.集合的运算(1)交集:由集合A和集合B的公共元素组成的集合,叫做集合A和集合B的交集,记作A∩B,读作A交B。
高三数学一轮复习(1)集合概念、子集
集合的概念及运算(1) 总第1个教案【复习目标】:准确理解和使用集合概念;理解元素与集合、集合与集合之间的关系,能识别给定集合的子集.学会对简单的含参变量的讨论. 【复习重点】:注重集合中元素的形式,集合元素的互异性、子集与真子集、空集的特殊性 【复习难点】:根据集合的含义求参数;分类讨论思想的培养 1、已知集合A ={}N a a a ∈<≤,40 ,用列举法能够表示为 2、已知集合A ={}m m m ++22,2,若A ∈3,则=m 3、下列集合表示同一集合的有(1)(){}2,3= M ,(){}3,2= N (2)(){}{}1,1,=+==+=y x y N y x y x M (3){}5,4 =M ,{}4,5 =N (4){}21,=M ,{}),(=21N 4、设集合A ={}R a a a x x ∈+-=,452,{}R b b b y y B ∈++==,2442 ,则A 、B 的关系是5、已知集合A =[)4,1,B =()a ,∞-,B A ⊆,则∈a 二、交流质疑 精讲点拔例1、 若R b a ∈,,集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a ba b a ,,,,01,求a b -的值. 变式训练:已知集合A ={}b a b a a 2,,++,B ={}2,,acac a .若A =B ,求c 的值例2、已知集合A ={}R a x ax x ∈=+-,0232.(1) 若A 是空集,求a 的取值范围;(2) 若A 中只有一个元素,求a 的值,并将这个元素写出来;(3) 若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围.变式练习:已知1≤a 时,集合[]a a -2,中有且只有3个整数,则a 的取值范围是_______.例3、(1)若集合{}{}01,062=+==-+ax x S x x x P =,且P S ⊆,求由a 的可取值组成的集合。
(2)集合{}52≤≤-x x A =,集合{}121-≤≤+m x m x B =.若A B ⊆,求实数m 的取值范围。
高三数学第一轮复习知识点
高三数学第一轮复习知识点高三数学第一轮复习集合知识点一、集合有关概念1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:{}如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1.用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2.集合的表示方法:列举法与描述法。
注意啊:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于属于的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A记作aA,相反,a不属于集合A记作a?A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法:例:不等式x-32的解集是{x?R|x-32}或{x|x-32}4、集合的分类:1.有限集含有有限个元素的集合2.无限集含有无限个元素的集合3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}二、集合间的基本关系1.包含关系子集注意:有两种可能(1)A是B的`一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.相等关系(55,且55,则5=5)实例:设A={x|x2-1=0}B={-1,1}元素相同结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B三、集合的运算1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作A交B),即AB={x|xA,且xB}.2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。
高三数学一轮复习集合的常用结论与考点归纳
高三数学一轮复习集合的常用结论与考点归纳一、基础知识
1.集合的有关概念
(1)集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性.
元素互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含参数的集合问题中.
(2)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.
(3)元素与集合的两种关系:属于,记为;不属于,记为.
(4)五个特定的集合及其关系图:
N*或N+表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集.
2.集合间的基本关系
(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,则称A是B的子集,记作A?B(或B?A).
(2)真子集:如果集合A是集合B的子集,但集合B中至少有一个元素不属于A,则称A是B的真子集,记作A B或B A.
二、常用结论
考点一集合的基本概念
考点二集合间的基本关系
考点三集合的基本运算。
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算习题理
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合及其运算习题理1.集合(1)集合的含义与表示①了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系.②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.②在具体情境中,了解全集与空集的含义.(3)集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.②理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.③能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.2.常用逻辑用语(1)理解命题的概念.(2)了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.(5)理解全称量词和存在量词的意义.(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定.§1.1 集合及其运算1.集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________,把一些元素组成的总体叫做________.(2)集合中元素的三个特性:________,________, ________.(3)集合常用的表示方法:________和________.2.常用数集的符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号3.元素与集合、集合与集合之间的关系(1)元素与集合之间存在两种关系:如果a是集合A中的元素,就说a________集合A,记作________;如果a不是集合A中的元素,就说a________集合A,记作________.(2)集合与集合之间的关系:表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同__________⇔A=B子集A中任意一个元素均为B中的元素________或________真子集A中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素________或________空集空集是任何集合的子集,是任何______的真子集∅⊆A,∅B(B≠∅)结论:集合{a1,a2,…,a n}的子集有______个,非空子集有________个,非空真子集有________个.集合的并集集合的交集集合的补集符号表示若全集为U,则集合A 的补集记为________Venn图表示(阴影部分)意义5.集合运算中常用的结论(1)①A∩B________A;②A∩B________B;③A∩A=________;④A∩∅=________;⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A; ②A∪B________B;③A∪A=________;④A∪∅=________;⑤A∪B________B∪A.(3)①∁U(∁U A)=________;②∁U U=________;③∁U∅=________;④A∩(∁U A)=____________;⑤A∪(∁U A)=____________.(4)①A∩B=A⇔________⇔A∪B=B;②A∩B=A∪B⇔____________.(5)记有限集合A,B的元素个数为card(A),card(B),则:card(A∪B)=____________________________;card[∁U(A∪B)]=________________________.自查自纠1.(1)元素集合(2)确定性互异性无序性(3)列举法描述法2.N N*(N+) Z Q R C3.(1)属于a∈A不属于a∉A(2)A⊆B且B⊆A A⊆B B⊇A A B B A非空集合2n2n-1 2n-24.A∪B A∩B∁U A{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A}5.(1)①⊆②⊆③A④∅⑤=(2)①⊇ ②⊇ ③A ④A ⑤= (3)①A ②∅ ③U ④∅ ⑤U (4)①A ⊆B ②A =B(5)card(A )+card(B )-card(A ∩B ) card(U )-card(A )-card(B )+card(A ∩B )(2015·安徽)设全集U ={1,2,3,4,5,6},A ={1,2},B ={2,3,4},则A ∩(∁UB )=( )A .{1,2,5,6}B .{1}C .{2}D .{1,2,3,4}解:∵∁U B ={1,5,6},∴A ∩(∁U B )={1}.故选B .(2015·陕西)设集合M ={x |x 2=x },N ={x |lg x ≤0},则M ∪N =( ) A .[0,1] B .(0,1] C .[0,1)D .(-∞,1]解:∵M ={x |x 2=x }={0,1},N ={x |lg x ≤0}={x |0<x ≤1},∴M ∪N =[0,1].故选A .(2015·全国Ⅱ)已知集合A ={-2,-1,0,1,2},B ={x |(x -1)(x +2)<0},则A ∩B =( )A .{-1,0}B .{0,1}C .{-1,0,1}D .{0,1,2}解:由已知得B ={x |-2<x <1},∴A ∩B ={-1,0}.故选A .已知集合A ={1,2,3},B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x +y ∈A },则B 中所含元素的个数为________.解:根据x ∈A ,y ∈A ,x +y ∈A ,知集合B ={(1,1),(1,2),(2,1)},有3个元素.故填3.设集合A ={x |x 2+2x -3>0},集合B ={x |x 2-2ax -1≤0,a >0}.若A ∩B 中恰含有一个整数,则实数a 的取值范围是________.解:A ={x |x 2+2x -3>0}={x |x >1或x <-3},设函数f (x )=x 2-2ax -1,则其对称轴x =a >0,由对称性知,若A ∩B 中恰含有一个整数,则这个整数为2,∴f (2)≤0且f (3)>0,即⎩⎪⎨⎪⎧4-4a -1≤0,9-6a -1>0, 得34≤a <43.故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫34,43.类型一 集合的概念(1)若集合A ={x ∈R |ax 2+ax +1=0}中只有一个元素,则a =( )A .4B .2C .0D .0或4解:由ax 2+ax +1=0只有一个实数解,可得当a =0时,方程无实数解; 当a ≠0时,Δ=a 2-4a =0,解得a =4.故选A .(2)已知集合A ={m +2,2m 2+m },若3∈A ,则m 的值为________.解:由题意得m +2=3或2m 2+m =3,则m =1或m =-32,当m =1时,m +2=3,2m 2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;当m =-32时,m +2=12,2m 2+m =3,综上知,m =-32.故填-32.【点拨】(1)用描述法表示集合,首先要弄清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合.(2)含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.(1)(2015·苏州一模)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *|12x∈Z 中含有的元素个数为( )A .4B .6C .8D .12解:令x =1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,代入验证,得x =1,2,3,4,6,12时,12x∈Z ,即集合中有6个元素.故选B .(2)已知a ∈R ,b ∈R ,若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ,b a,1={a 2,a +b ,0},则a 2 017+b 2 017=________.解:由已知得b a=0及a ≠0,∴b =0,于是a 2=1,即a =1或a =-1,又根据集合中元素的互异性可知a =-1,∴a2 017+b2 017=-1.故填-1.类型二 集合间的关系已知集合A ={x |x 2-3x -10≤0}.(1)若B ={x |m +1≤x ≤2m -1},B ⊆A ,求实数m 的取值范围; (2)若B ={x |m -6≤x ≤2m -1},A =B ,求实数m 的取值范围; (3)若B ={x |m -6≤x ≤2m -1},A ⊆B ,求实数m 的取值范围. 解:由A ={x |x 2-3x -10≤0},得A ={x |-2≤x ≤5}, (1)若B ⊆A ,则①当B =∅,有m +1>2m -1,即m <2,此时满足B ⊆A ;②当B ≠∅,有⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤2m -1,m +1≥-2,2m -1≤5,解得2≤m ≤3.由①②得,m 的取值范围是(-∞,3].(2)若A =B ,则必有⎩⎪⎨⎪⎧m -6=-2,2m -1=5, 解得m ∈∅,即不存在实数m 使得A =B .(3)若A ⊆B ,则⎩⎪⎨⎪⎧2m -1>m -6,m -6≤-2,2m -1≥5,解得3≤m ≤4.∴m 的取值范围为[3,4].【点拨】本例主要考查了集合间的关系,“当B ⊆A 时,B 可能为空集”很容易被忽视,要注意这一“陷阱”.集合A ={x |-2≤x ≤5},B ={x |m +1≤x ≤2m -1}.(1)若B ⊆A ,求实数m 的取值范围; (2)当x ∈Z 时,求A 的非空真子集的个数; (3)当x ∈R 时,若A ∩B =∅,求实数m 的取值范围.解:(1)①当m +1>2m -1,即m <2时,B =∅,满足B ⊆A .②当m +1≤2m -1,即m ≥2时,要使B ⊆A 成立,则⎩⎪⎨⎪⎧m +1≥-2,2m -1≤5, 可得2≤m ≤3.综上,m 的取值范围是(-∞,3].(2)当x ∈Z 时,A ={-2,-1,0,1,2,3,4,5}, ∴A 的非空真子集个数为28-2=254. (3)∵x ∈R ,且A ∩B =∅,∴当B =∅时,即m +1>2m -1,得m <2,满足条件; 当B ≠∅时,有⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤2m -1,m +1>5,或⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤2m -1,2m -1<-2, 解得m >4.综上,m 的取值范围是(-∞,2)∪(4,+∞).类型三 集合的运算(1)已知全集U =R ,集合A ={x |lg x ≤0},B ={x |2x ≤32},则A ∪B =( )A .∅ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,1 D .(-∞,1] 解:由题意知,A =(0,1],B =⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,13, ∴A ∪B =(-∞,1].故选D .(2)已知集合A ,B 均为全集U ={1,2,3,4}的子集,且∁U (A ∪B )={4},B ={1,2},则A ∩(∁U B )=________.解:∵U ={1,2,3,4},∁U (A ∪B )={4},∴A ∪B ={1,2,3}.又∵B ={1,2},∴{3}⊆A ⊆{1,2,3}.又∁U B ={3,4},∴A ∩(∁U B )={3}.故填{3}.(3)已知集合A ={x ∈R ||x +2|<3},集合B ={x ∈R |(x -m )(x -2)<0},且A ∩B =(-1,n ),则m =________,n =________.解:A ={x ∈R ||x +2|<3}={x ∈R |-5<x <1},由A ∩B =(-1,n ),可知m <1,由B ={x |m <x <2},画出数轴,可得m =-1,n =1.故填-1,1.【点拨】(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时需注意端点值的取舍.(2)在解决有关A ∩B =∅的问题时,往往忽略空集的情况,一定要先考虑A (或B )=∅是否成立,以防漏解.另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用.(1)已知集合A ={x |y =x },B ={x|12<2x<4},则(∁R A )∩B 等于( )A .{x |-1<x <2}B .{x |-1<x <0}C .{x |x <1}D .{x |-2<x <0}解:∵A ={x |y =x }={x |x ≥0},∴∁R A ={x |x <0}.又B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12<2x <4={x |-1<x <2},∴(∁R A )∩B ={x |-1<x <0}.故选B .(2)(2015·唐山模拟)集合M ={2,log 3a },N ={a ,b },若M ∩N ={1},则M ∪N =( ) A .{0,1,2} B .{0,1,3} C .{0,2,3}D .{1,2,3}解:∵M ∩N ={1},∴log 3a =1,即a =3,∴b =1.∴M ={2,1},N ={3,1},M ∪N ={1,2,3}.故选D .(3)设集合A ={x ||x -a |<1,x ∈R },B ={x |1<x <5,x ∈R },若A ∩B =∅,则实数a 的取值范围是( )A .{a |0≤a ≤6}B .{a |a ≤2或a ≥4}C .{a |a ≤0或a ≥6}D .{a |2≤a ≤4}解:|x -a |<1⇔-1<x -a <1⇔a -1<x <a +1,由A ∩B =∅知,a +1≤1或a -1≥5,解得a ≤0或a ≥6.故选C .类型四 Venn 图及其应用设M ,P 是两个非空集合,定义M 与P 的差集为:M -P ={x |x ∈M ,且x ∉P },则M -(M -P )等于( )A.P B.M∩P C.M∪P D.M解:作出Venn图.当M∩P≠∅时,由图知,M-P为图中的阴影部分,则M-(M-P)显然是M∩P.当M∩P=∅时,M-(M-P)=M-M={x|x∈M,且x∉M}=∅=M∩P.故选B.【点拨】这是一道信息迁移题,属于应用性开放问题.“M-P”是我们不曾学过的集合运算关系,根据其元素的属性,借助Venn图将问题简单化.已知集合A={-1,0,4},集合B={x|x2-2x-3≤0,x∈N},全集为U,则图中阴影部分表示的集合是________.解:B={x|x2-2x-3≤0,x∈N}={x|-1≤x≤3,x∈N}={0,1,2,3},图中阴影部分表示的为属于A且不属于B的元素构成的集合,该集合为{-1,4}.故填{-1,4}.类型五和集合有关的创新试题在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论:①2 017∈[2];②-3∈[3];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”.其中正确命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4解:∵2 017=403×5+2,∴2 017∈[2],结论①正确;-3=-1×5+2,∴-3∈[2],-3∉[3],结论②不正确;整数可以分为五“类”,这五“类”的并集就是整数集,即Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],结论③正确;若整数a,b属于同一“类”,则a=5n+k,b=5m+k,a-b=5(n-m)+0∈[0],反之,若a-b∈[0],则a,b被5除有相同的余数,故a,b属于同一“类”,结论④正确,综上知,①③④正确.故选C.【点拨】(1)以集合语言为背景的新信息题,常见的类型有定义新概念型、定义新运算型及开放型,解决此类信息迁移题的关键是在理解新信息并把它纳入已有的知识体系中,用原来的知识和方法来解决新情境下的问题.(2)正确理解创新定义,分析新定义的表述意义,把新定义所表达的数学本质弄清楚,转化成熟知的数学情境,并能够应用到具体的解题之中,这是解决问题的基础.设S为复数集C的非空子集,若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集,下列命题:①集合S={a+b i|a,b为整数,i为虚数单位}为封闭集;②若S 为封闭集,则一定有0∈S ; ③封闭集一定是无限集;④若S 为封闭集,则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号)解:①对,当a ,b 为整数时,对任意x ,y ∈S ,x +y ,x -y ,xy 的实部与虚部均为整数;②对,当x =y 时,0∈S ;③错,当S ={0}时,是封闭集,但不是无限集;④错,设S ={0}⊆T ,T ={0,1},显然T 不是封闭集.因此,真命题为①②.故填①②.1. 首先要弄清构成集合的元素是什么,如是数集还是点集,要明了集合{x |y =f (x )}、{y |y =f (x )}、{(x ,y )|y =f (x )}三者是不同的.2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性,特别是互异性,在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中,常因忽视互异性,疏于检验而出错.3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观.对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算,可借助Venn 图实施;对连续的数集间的运算,常利用数轴进行;对点集间的运算,则往往通过坐标平面内的图形求解.这在本质上是数形结合思想的体现和运用.4.空集是不含任何元素的集合,在未明确说明一个集合非空的情况下,要考虑集合为空集的可能.另外,不可忽视空集是任何元素的子集.5.五个关系式A ⊆B ,A ∩B =A ,A ∪B =B ,∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )=∅是两两等价的.对这五个式子的等价转换,常使较复杂的集合运算变得简单.6.正难则反原则对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论不明确、难以从正面入手的涉及集合的数学问题,在解题时要调整思路,考虑问题的反面,探求已知与未知的关系,化难为易、化隐为显,从而解决问题.例如:已知A ={x |x 2+x +a ≤0},B ={x |x 2-x +2a -1<0},C ={x |a ≤x ≤4a -9},且A ,B ,C 中至少有一个不是空集,求a 的取值范围.这个问题的反面即是三个集合全为空集,即⎩⎪⎨⎪⎧1-4a <0,1-4(2a -1)≤0,a >4a -9,解得58≤a <3,从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a <58或a ≥3.1.(2015·全国Ⅰ)已知集合A ={x |x =3n +2,n ∈N },B ={6,8,10,12,14},则集合A ∩B 中元素的个数为( )A .5B .4C .3D .2解:A ∩B ={x |x =3n +2,n ∈N }∩{6,8,10,12,14}={8,14}.故选D .2.设集合M ={-1,0,1},N ={x |x 2≤x },则M ∩N =( )A .{0}B .{0,1}C .{-1,1}D .{-1,0,1} 解:∵N ={x |0≤x ≤1},M ={-1,0,1},∴M ∩N ={0,1}.故选B .3.(2013·辽宁)已知集合A ={x |0<log 4x <1},B ={x |x ≤2},则A ∩B =( )A.()0,1B.(]0,2C.()1,2D.(]1,2解:易知A ={}x |1<x <4,∴A ∩B =(]1,2.故选D .4.(2013·山东)已知集合A ={0,1,2},则集合B ={x -y |x ∈A ,y ∈A }中元素的个数是( )A .1B .3C .5D .9解:由题意知,x -y =0,-1,-2,1,2.故B 中元素个数为5,故选C . 5.设全集U 为整数集,集合A ={x ∈N |y =7x -x 2-6},B ={x ∈Z |-1<x ≤3},则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( )A .3B .4C .7D .8 解:A ={x ∈N |y =7x -x 2-6}={x ∈N |7x -x 2-6≥0}={x ∈N |1≤x ≤6},由题意知,图中阴影部分表示的集合为A ∩B ={1,2,3},其真子集有:∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共7个.故选C .6.给定集合A ,若对于任意a ,b ∈A ,有a +b ∈A ,且a -b ∈A ,则称集合A 为闭集合,给出如下三个结论:①集合A ={-4,-2,0,2,4}为闭集合;②集合A ={n |n =3k ,k ∈Z }为闭集合;③若集合A 1,A 2为闭集合,则A 1∪A 2为闭集合.其中正确结论的个数是( )A .0B .1C .2D .3解:①(-4)+(-2)=-6∉A ,不正确;②设n 1,n 2∈A ,n 1=3k 1,n 2=3k 2,k 1,k 2∈Z ,则n 1+n 2∈A ,n 1-n 2∈A ,正确;③令A 1={n |n =5k ,k ∈Z },A 2={n |n =2k ,k ∈Z },则A 1,A 2为闭集合,但A 1∪A 2不是闭集合,不正确.故选B .7.(2014·重庆)设全集U ={n ∈N |1≤n ≤10},A ={1,2,3,5,8},B ={1,3,5,7,9},则(∁U A )∩B =________.解:∵U ={1,2,3,…,9,10},A ={1,2,3,5,8},∴∁U A ={4,6,7,9,10}.∴(∁U A )∩B ={7,9}.故填{7,9}.8.已知集合S ={0,1,2,3,4,5},A 是S 的一个子集,当x ∈A 时,若有x -1∉A ,且x +1∉A ,则称x 为A 的一个“孤立元素”,那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个.解:由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”,如{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5}这样的集合,共有6个.故填6.9.(2014·天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M ={0,1,2,…,q -1},集合A ={x |x =x 1+x 2q +…+x n qn -1,x i ∈M ,i =1,2,…,n },当q =2,n =3时,用列举法表示集合A .解:当q =2,n =3时,M ={0,1},A ={x |x =x 1+2x 2+4x 3,x i ∈M ,i =1,2,3}={0,1,2,3,4,5,6,7}.10.设全集是实数集R ,A ={x |2x 2-7x +3≤0},B ={x |x 2+a <0}.(1)当a =-4时,求A ∩B 和A ∪B ;(2)若(∁R A )∩B =B ,求实数a 的取值范围.解:(1)A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x ≤3, 当a =-4时,B ={x |-2<x <2},A ∩B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x <2,A ∪B ={x |-2<x ≤3}. (2)∁R A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x <12或x >3, 当(∁R A )∩B =B 时,B ⊆∁R A ,即A ∩B =∅.①当B =∅,即a ≥0时,满足B ⊆∁R A ;②当B ≠∅,即a <0时,B ={x |--a <x <-a },要使B ⊆∁R A ,只须-a ≤12,解得-14≤a <0. 综上可得,实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≥-14. 11.设集合A ={x |x 2+4x =0,x ∈R },B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2-1=0,a ∈R ,x ∈R },若B ⊆A ,求实数a 的取值范围.解:易知A ={0,-4},若B ⊆A ,则可分以下三种情况:①当B =∅时,Δ=4(a +1)2-4(a 2-1)<0,解得a <-1;②当∅≠B A 时,B ={0}或B ={-4},并且Δ=4(a +1)2-4(a 2-1)=0,解得a =-1,此时B ={0}满足题意;③当B =A 时,B ={0,-4},由此知0和-4是方程 x 2+2(a +1)x +a 2-1=0的两个根,由根与系数的关系, 得⎩⎪⎨⎪⎧Δ=4(a +1)2-4(a 2-1)>0,-2(a +1)=-4,a 2-1=0,解得a =1.综上所述,a 的取值范围为{}a |a ≤-1或a =1.(2015·杭州模拟)已知集合A ={x |x 2-3(a +1)x +2(3a +1)<0},B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x -2a x -(a 2+1)<0.(1)当a =2时,求A ∩B ;(2)求使B ⊆A 时实数a 的取值范围.解:(1)当a =2时,A ={x |x 2-9x +14<0}=(2,7), B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x -4x -5<0=(4,5),∴A ∩B =(4,5).(2)当a ≠1时,B =(2a ,a 2+1);当a =1时,B =∅. 又A ={x |(x -2)[x -(3a +1)]<0},①当3a +1<2,即a <13时,A =(3a +1,2),要使B ⊆A 成立,只须满足⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥3a+1,a 2+1≤2,解得a =-1;②当a =13时,A =∅,B =⎝ ⎛⎭⎪⎫23,109,B ⊆A 不成立;③当3a +1>2,即a >13时,A =(2,3a +1),要使B ⊆A 成立,只须满足⎩⎪⎨⎪⎧2a≥2,a 2+1≤3a +1,或a =1,a ≠1,解得1≤a ≤3.综上可知,使B ⊆A 的实数a 的取值范围为[1,3]∪{-1}.。
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(2)集合 A={1,4,7,10,13,16,19,21},则集合 A 有___2_8____个 子集、___2_8-__1__个真子集、__2_8_-__1__个非空子集、__2_8-__2___个非 空真子集.
解析:因为集合 A 中有 8 个元素,所以集合 A 有 28 个子集, 28-1 个真子集,28-1 个非空子集,28-2 个非空真子集.
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§1.1 集合及其运算
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考纲展示► 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系. 2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的 并集与交集. 4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集 的补集. 5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及运算.
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解析: 设 x∈∁U(A∪B),则 x∉A∪B,得 x∉A 且 x∉B,即 x ∈∁UA 且 x∈∁UB,即 x∈(∁UA)∩(∁UB),即∁U(A∪B)⊆(∁UA)∩(∁ UB);反之,当 x∈(∁UA)∩(∁UB)时,得 x∈∁UA 且 x∈∁UB,得 x∉ A 且 x∉B,则 x∉A∪B,所以 x∈∁U(A∪B),即∁U(A∪B)⊇(∁UA)∩(∁ UB).根据集合相等的定义,得∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).同理可 证另一结论.
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(2)已知集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}, 若 B⊆A,则实数 m 的取值范围为______(_-__∞__,__3_]______.
[解析] ∵B⊆A, ∴①若 B=∅,则 2m-1<m+1,此时 m<2.
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高三数学一轮复习(集合、常用逻辑用语01)
【复习课题】集合的概念及运算(1)
【复习要求】
1.了解集合的概念,理解子集、交集、并集、补集的概念;明确子集、真子集相等的定义及它们之间的区别与联系;弄清元素与集合、集合与集合的关系。
2.了解空集和全集的意义,了解属于、包含、相等关系的意义。
3.掌握有关的术语和符号,会用它们正确表示一些简单的集合。
【复习过程】
(1)一般地,我们把研究对象统称为,把一些元素组成的总体叫做,简称.
(2)集合中的元素有三个特点:①;②;③.
(3)集合中元素与集合的关系分为和两种,分别用和来表示.
集合有三种表示方法:、、。
注意:区分集合中元素的形式:如:A={x|y=2x+2x+1};B={y|y=2x+2x+1};C={(x,y)|y=2x+2x+1};D={x|x=2x+2x+1};E={(x,y)|y=2x+2x+1,x∈Z,y∈Z};F={(x,y)|y=2x+2x+1}
2.集合间的基本关系
(1)一般地,对于两个集合A、B,如,我们就说这两个集合有
包含关系,称集合A为集合B的子集,记作.
(2)对于两个集合A、B,若且,则称集合A与集合B相等.
(3)如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,我们称集合A是集合B的,
记作.
注意:条件为A⊆B,在讨论的时候不要遗漏了A=φ的情况.
(4)不含任何元素的集合叫做,记作,并规定:空集是任何集合的子集.
思考:{0}与φ有什么区别?
(5)若A含有n个元素,则A的子集个数为个,A的非空子集个数为个,A的非
空真子集个数为个.
3.集合的基本运算
(1)一般地,由所有的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集,
记作A∪B,即:A∪B=.
(2)一般地,由的所有元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作
A∩B,即:A∩B=.
(3)如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为,通常
记作.
(4)对于一个集合A,由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A
相对于全集U的补集,记作∁UA,即∁UA=.
(5)A∩B=A⇔,A∪B=A⇔.
4.集合的运算性质
A∪φ=,A∪A=,A∪B=,
A∩φ=,
A∩A=,A∩B=,
A∪(∁UA)=,A∩(∁UA)=,∁U(∁UA)=.
1.由实数33
2,
|,
|,
,x
x
x
x
x-
-组成的集合中,最多含有元素个
2.集合{x|x>1且x≤3,x∈N}中的元素有
3.已知集合S={x|x≤5
2},又a=3,则a与S的关系为
4.设集合A={x|x=2n+1,n∈Z},B={x|x=n+1,n∈Z},则集合A,B的关系是
5.已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5或x>5},则M∪N=________.
6.已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是
●课堂提升
例1:集合A={0,2,a},B={1,a2}.若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值是.
变式练习:
(1)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,
a
b
,b},则b-a等于
1
2
(2)已知集合A ={a ,a +b ,a +2b },B ={a ,ac ,ac 2}.若A =B ,求c 的值。
例2:S 为复数集C 的非空子集.若对任意x ,y ∈S ,都有x +y ,x -y ,xy ∈S ,则称S 为封闭集. 下列命题:
①集合S ={a +b i|a ,b 为整数,i 为虚数单位}为封闭集; ②若S 为封闭集,则一定有0∈S ; ③封闭集一定是无限集;
④若S 为封闭集,则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集. 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号). 变式练习: (1)若集合A ={-1,1},B ={0,2},则集合{z |z =x +y ,x ∈A ,y ∈B }中的元素的个数为________. (2)若A x ∈,则
A x
∈1
,就称A 是伙伴关系集合,集合}3,2,1,21,0,1{-=M 的所有非空子集
中,具有伙伴关系的集合个数为
例3:已知集合A ={x |-2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m -1},若B ⊆A ,求实数m 的取值范围.
变式练习:设U =R ,集合A ={x|x 2
+3x +2=0},B ={x|x 2
+(m +1)x +m =0}.若(∁UA)∩B =φ,
则m 的值是________.
●规律方法总结总结
●当堂反馈
1.(2008·江苏卷)若集合2
{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈,则A
Z 中有 个元素
2. (2010·江苏卷) 设集合A={-1,1,3},B={a+2,a 2+4},A ∩B={3},则实数a 的值为____________ 3.(2011·江苏卷)已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则_______,=⋂B A
4. (2012·江苏卷)已知集合A ={1,2,4},B ={2,4,6},则A ∪B =________. 5.(2013·江苏卷)集合}1,0,1{-共有 个子集
【巩固练习】
1.集合I={-3,-2,-1,0,1,2},A={-1,1,2},B={-2,-1,0},则A =)(B C I 。
2.集合A={0,1,
2
π
},B=},cos |{A x x y y ∈=,则=B A 。
3.已知集合M={-1,1,2},集合N=},|{2
M x x y y ∈=,则N M = 。
4.已知集合A={}4|2x x y x -=
,B=],(a -∞,若B A ⊆,则实数a 的取值范围 。
5.已知集合A=},3,1{],0,(a B =-∞若φ≠B A ,则实数a 的取值范围是 。
6.已知全集U={-2,-1,0,1,2},集合A=},1)2
1(log |{2
2R x x x ∈-=-,
},02234|{R x x B x x ∈=+⋅-=,则A )(B C U = 。
7.已知不等式0322
<--x x 的解集为A ,不等式062
<-+x x 的解集为B ,不等式
02<++b ax x 的解集为B A ,那么b a +等于 。
8.设函数152)(2+--=
x x x f ,集合A=)}(|{x f y x =,B=)}(|{x f y y =,则
B A = 。
9.已知集合A=}082|{2
=--x x x ,B=}012|{2
2
=-++m mx x x ,且A B A = 求实数m
的取值范围。
10.已知集合A=]}3,2[,2|{∈-=x y y x
,B=}033|{2
2
>--+a a x x x 。
(1)当4=a 时,求B A ;
(2)若B A ⊆,求实数a 的取值范围。