2019-2020年高一下学期第二次月考数学答案
【2019-2020】高一数学下学期第二次月考试题(含解析)
教学资料参考范本【2019-2020】高一数学下学期第二次月考试题（含解析）撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________高一年级数学试卷一、选择题（每题只有一个选项正确，每题4分，共48分）1. 下列命题正确的是（）A. 若a、b都是单位向量，则a=bB. 若，则四点A、B、C、D构成平行四边形C. 若两向量a、b相等，则它们是始点、终点都相同的向量D. 与【答案】D【解析】分析：逐一分析即可.详解：A，单位向量长度相等，但方向不一定相同，故A不对；B，A，B，C，D四点可能共线，故B不对；C，只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终点无关，故C不对；D，因与方向相反，是平行向量，故D对故选：D.点睛：本题考查了向量相等和平行向量的定义，考查了对向量基础概念的理解和应用.2. 若是第二象限角，则化简的结果是（【答案】A【解析】分析：根据的范围，利用同角三角函数的基本关系化简所给的式子可得结果详解：故选：A.点睛：本题考查同角三角函数的基本关系的应用.3. 已知输入实数，执行如图所示的流程图，则输出的是（【答案】C【解析】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件，可得详解：初始化数值判断不成立，输出故选C.4. 已知为圆上的三点，若，圆的半径为，则（【答案】D【解析】分析：根据题意画出图形，结合图形得出四边形是菱形，且一内角为，由此求出的值详解：如图所示：又圆O的半径为2，故选：D.点睛：本题考查了平面向量的数量积应用问题.5. 设向量，且，则的值为（A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】，那么，解得，故选D6. 在中，，，，则在方向上的投影是（A. 4B. 3C. -4D. -3【答案】D【解析】分析：根据平面向量的数量积可得，再结合图形求出与方向上的投影即可详解：如图所示：故选：D.点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.7. 的单调递减区间为（【答案】C【解析】分析：利用诱导公式可得本题即求函数的单调递增区间.....................故选：C.点睛：本题主要考查诱导公式、正弦函数的增区间，体现了转化的数学思想.8. 将四位八进制中的最小数转化为六进制数为( )A. 2120(6)B. 3120(6)C. 2212(6)D. 4212(6)【答案】C【解析】四位八进制中的最小数为9. 已知则等于（【答案】C【解析】分析：首先根据条件得出，然后根据三角恒等变换公式即可.详解：点睛：本题考查三角恒等变换等知识，在解题的过程中关键在于角的拼凑，把用和来表示，体现了整体的思想10. 函数 ,若在区间上是单调函数,且则的值为（A. B. 或 C. D.【答案】B【解析】分析：由在区间是有单调性，可得范围，从而得；由，可得函数关于对称，又，有对称中心为；讨论与是否在同一周期里面相邻详解：因为在单调，∴，即，而；若，则；若，则是的一条对称轴，故选B.点睛：本题考查三角函数的周期性及其求法，确定与是否为同一周期11. 在中，，， .若，（），且，则的值为（【答案】A【解析】分析：根据题意画出图形，根据向量的加减的几何意义，再根据平面向量的数量积列出方程求出的值详解：如图所示：在中，，，（故选：A.点睛：(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算的目的．12. 已知向量与的夹角为，．若向量满足，则的最大值为（【答案】B【解析】设，由于与的夹角为，则可设，设，则，故向量的终点在以为圆心，为半径的圆上，的最大值为圆心到原点的距离加上半径，即，故选B【名师点睛】本题可根据已知条件构造坐标系，从而可求得的终点的二、填空题（每题5分，共20分）13. 在区间内任取两个数分别记为,则函数至少有一个零点的概率为【答案】【解析】分析：设区间内随机取两个数分别记为，对应区域为边长为的正方形，而使得函数有零点的范围是判别式，求出由几何概型的概率公式得到使得函数有零点的概率为：故答案为：点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．14. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点，则__________【答案】10.【解析】分析：首先利用三角函数的定义式，结合题中所给的角的终边所过的点的坐标求得，之后借助于同角三角函数关系式，将关于正余弦分式形式的式子上下同除，得到关于切的式子，代入求值即可得结果详解：根据角的终边过，利用三角函数的定义式，可以求得，所以有，故答案是点睛：该题考查的是有关利用角的正切值来求关于正余弦的分式形式的式子的值的问题，在解题的过程中，需要注意利用角的终边所过的点，结合三角函数的定义式求得正切值，之后对分式的分子分母上下同除，将其化为切的式子求解即可15. 如图，已知中，点在线段上，点在线段上，且满足，若，，则的值为__________【答案】-2.【解析】分析：利用数量积运算性质可得：利用向量共线定理及其三角形法则可得，再利用数量积运算性质即可得出详解：故答案为：-2.点睛：本题考查了数量积运算性质、向量共线定理及其三角形法则，考查了推理能力与计算能力.16. 给出下列命题：④设，若是平行四边形(为原点),其中正确命题的序号为__________．【答案】③④.【解析】分析：对选项逐一判断即可.对②，向量与的夹角是钝角，，即，解得，又，得，此时与反向，应对③，函数，，，当时，，所以③正确；对④，由题意得，，四边形是平行四边形，,，,，又，，，，所以④正确故答案为：③④.点睛：本题考查命题的真假判断与应用.三、解答题（共52分）17. 已知：三点,其中【答案】【解析】分析：（1）先求出的坐标，再根据向量共线得到的值；(2)，（Ⅱ）由得又1）本题主要考查向量的线性运算，考查向量共线和垂直的坐标表示，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2) 如果=,=，则||的充要条件是,则18. 已知（1（2【答案】（1）sin α·cos α.（2）【解析】试题分析：（1）利用三角函数的诱导公式，即可化简得到；（2）由（1试题解析：(1)f(α)＝＝sin α·cos α.(2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝又∵＜α＜，∴cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0.∴cos α－sin α＝19. 已知函数的部分图像如图所示（1（2）若函数在上取得最小值时对应的角度为，求半径为2，圆心角为的扇形的面积【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由图象观察，最值求出，周期求出，特殊点求出，所以；（2试题解析：(1)∵，∴根据函数图象，得又周期满足，∴.解得∴.故(2)∵函数的周期为，∴在上的最小值为由题意，角满足，即.解得∴半径为220. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象（Ⅱ）若对任意，【答案】（1）（【解析】分析：（1）根据图像变换得函数的解析式；（2）先求在值域，再转化研究对应二次不等式在恒成立，结合二次函数图像可得，解不等式可得实数的取值范围；(3)转化研究对应函数图像在一个周期详解：（Ⅰ）（Ⅱ）设设，所以的取值范围是. 注：该小题也可采用分离参数求解点睛：本题主要考查函数的图象变换规律，函数的恒成立问题21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，三点满足（1）求证：（2）已知，，，且函数的最小值为，求实数的值【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）证明三点共线，只需证明由三点中，任意两点形成的两个向量共线即可，原等式可转化为，可证明共线及求得比值；（2）利用向量的坐标运算，求得函数，对进行换元，利用一元二次函数的单调性可求得最小值为，得到关于的方程，解得的详解：（1）证明：又因为有公共点B， A,B,C三点共线（2设，②当③当，意.综上可知，点睛：考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，共线向量基本定理，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算.。
学2019-2020学年高一数学下学期第二次月考试题(含解析) 2)
学2019-2020学年高一数学下学期第二次月考试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.一元二次不等式的解集为（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果.【详解】由得，解得.故选A【点睛】本题主要考查解不含参数的一元二次不等式，熟记一元二次不等式的解法即可，属于基础题型.2.设等差数列的前项为，若，则( )A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质得出，解出，即可求出.【详解】设等差数列的公差为解得故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.3.已知非零向量，的夹角为，且，，则（）A B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】【分析】根据模长的性质和向量的数量积公式，即可求解.【详解】，整理得.故选:A【点睛】本题考查向量的数量积运算，属于基础题.4.在△ABC中，若，则∠A=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】即：则，，，选C.5.已知等比数列，满足，且，则数列的公比为（）A. 4B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】利用对数运算公式和对数定义可由得到，由等比数列的下标性质和等比数列各项正负性的性质，可由得到，最后可以求出等比数列的公比.【详解】等比数列中，①，，由等比数列各项正负性的性质可知：同号，故②，②除以①，得：等比数列的公比，故本题选B.【点睛】本题考查了对数的运算性质及对数的定义，考查了等比数列的下标性质，考查了求等比数列的公比，考查了数学运算能力.6.若不等式对于一切成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题即可求解.【详解】对于一切成立，对于一切成立，对于一切成立，在区间上是增函数，，．故选：C．【点睛】本题以不等式恒成立为平台，考查学生会求一元二次不等式的解集，要求学生掌握不等式恒成立时所取的条件，是基础题．7.在中，角，，所对的边分别为，，，若是和的等比中项，则（）A. 1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】切化弦得，通分,结合两角和的正弦公式及正弦定理求解即可【详解】由题意有，.故选A【点睛】本题考查等比中项的应用，两角和的正弦公式及正弦定理边角互化的应用，切化弦是突破点，是中档题8.若点是的重心，分别是，，的对边，且.则等于（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】D【解析】【分析】由点是的重心可得,即,代入中可得,由不共线可得,即可求得的关系,进而利用余弦定理求解即可【详解】因为点是的重心,所以,所以,代入可得因为不共线,所以,即所以,故,故选:D【点睛】本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角9.数列满足，则数列的前20项的和为( )A. 100B. -100C. -110D. 110【答案】B【解析】【分析】数列{an}满足，可得a2k﹣1+a2k＝﹣（2k﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{an}满足，∴a2k﹣1+a2k＝﹣（2k﹣1）．则数列{an}的前20项的和＝﹣（1+3+ (19)100．故选B．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.在锐角中，若，则的范围（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由正弦定理得=2cosB，∵△ABC是锐角三角形，∴三个内角均为锐角，即有 0＜B＜， 0＜C=2B＜，0＜π-A-B=π-3B＜，解得＜B＜，余弦函数在此范围内是减函数．故＜cosB＜．∴，故选A．考点：本题主要考查正弦定理的应用，余弦函数的性质．点评：典型题，本题综合考查正弦定理的应用，余弦函数的性质，易因为忽视角的范围，而出错．11.如图，点是半径为1的扇形圆弧上一点，，，若，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将两边同时平方可得，令，，利用辅助角公式可得，再利用三角函数的性质即可求解.【详解】是半径为1的扇形圆弧上一点，，，，，两边同时平方可得，，则令，，，则，其中，，，，即所求的最大值为.故选：B【点睛】本题主要考查向量数量积的运算性质和三角函数的性质，属于基础题.12.若正实数、满足，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1"的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题.【详解】设，，所以，因为，当且仅当时取等号.所以.故选：B【点睛】本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化是中档题.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知向量且则实数_______.【答案】1【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标公式、两向量垂直的性质,可得一个方程,解这个方程即可求出实数的值.【详解】因为所以.故答案为：1【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标公式,考查了两平面垂直的性质,考查了数学运算能力.14.一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮继续沿正西方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，则货轮的速度为______海里/时．【答案】20【解析】【分析】根据题意，画出示意图，利用正弦定理求出MN的长，即可求解货轮的速度，得到答案．【详解】由题意，如图所示，可知∠SMN=15°+90°=105°，∠SNM=45°，SM=20，∴∠NSM=30°，在△SMN中，由正弦定理可得：，即，解得：MN=，∴货轮的速度为=海里/时．故答案为．【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中根据题设条件画出示意图，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．15.已知为直线上的不同三点，为外一点，存在实数，使得成立，则的最小值为__________．【答案】16【解析】【分析】由条件可得，巧用“1”结合均值不等式得到最小值.【详解】∵为直线上的不同三点，且，∴，又，∴，当且仅当即时等号成立，∴的最小值为16，故答案为：16【点睛】本题考查向量共线定理，考查了均值不等式求最值，属于常考题型.16.我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足，设表示向量与的夹角，若对任意正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________【答案】【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积可得，即可得，进而可得，求出的最小值后，利用对数函数的性质即可得解.【详解】由题意可得，当时，，，，，当且仅当时，等号成立，，由可得，，解得，综上，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量、数列及对数函数的综合应用，考查了运算求解能力和恒成立问题的解决，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分, 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知，为单位向量，．（1）求；（2）求与的夹角的余弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)平方后再求解即可.(2)根据向量夹角的公式求解即可.【详解】（1）由题意得.（2）由题意得与的夹角的余弦值为.【点睛】本题主要考查了向量的数量积与模长的公式以及向量夹角的运算等.属于基础题型.18.已知等差数列，等比数列满足．（1）求，的通项公式；（2）求的前项和．【答案】(1) ；(2)【解析】【分析】（1）由等差数列通项公式与等比数列通项公式即可求解（2）利用分组求和即可求解．【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，所以，即，所以；（2）记前项和为.所以【点睛】本题考查等差数列、等比数列的通项公式以及求和公式，比较基础．19.在中，角所对的边分别为，的面积为，若．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）3【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理及三角形面积公式得，因此，再根据三角形内角范围得（Ⅱ）将条件，代入得，再根据余弦定理得，所以，因此试题解析：（Ⅰ）因为，所以化简得：，又，．（Ⅱ），，，①又，，即②联立①②可得，又，．考点：正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果．20.如图，在△ABC中，∠ACB＝，AC＝3， BC＝2，P是△ABC内的一点．（1）若△BPC是以BC为斜边的等腰直角三角形，求PA长；（2）若∠BPC＝，求△PBC面积的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，在三角形中，利用余弦定理求出的长即可；(2)在三角形中,由的度数表示出的度数，利用正弦定理表示出与 ,进而表示出三角形面积,利用正弦函数的值域确定出面积的最大值即可.【详解】（1）由题设，∠PCA＝，PC＝，在△PAC中，由余弦定理得PA2＝AC2＋PC2－2AC·PCcos＝5，于是PA＝．（2）∠BPC＝，设∠PCB＝θ，则θ∈(0，)．△PBC中，∠PBC＝－θ．由正弦定理得＝＝，得PB＝sinθ，PC＝sin(－θ)．所以△PBC面积S＝PB·PCsin＝sin (－θ)sinθ＝sin(2θ＋)－．当θ＝∈(0，)时，△PBC面积的最大值为．【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.21.已知正项数列的前n项和满足（1）求数列的通项公式；（2）若（n∈N*），求数列的前n项和;（3）是否存在实数使得对恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根据与的关系，即可求出的通项公式；（2）由，可采用裂项相消法求数列的前n项和；（3）假设存在实数λ，使得对一切正整数恒成立，即对一切正整数恒成立，只需满足即可，利用作差法得出其单调性，即可求解．【详解】（1）当n=1时，a1=2或-1（舍去）．当n≥2时，，整理可得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，可得an-an-1=1，∴{an}是以a1=2为首项，d=1为公差的等差数列．∴．（2）由（1）得an=n+1，∴．∴．（3）假设存在实数λ，使得对一切正整数恒成立，即对一切正整数恒成立，只需满足即可，令，则当故f（1）=1，f（2）=，f（3）=，＞f（5）＞f（6）＞…当n=3时有最小值，所以．【点睛】本题主要考查利用与的关系求通项公式，裂项相消法求数列的前n项和，以及不等式恒成立问题的解法应用，综合性较强，属于较难题．22.在中，满足：，M是的中点.（1）若O是线段上任意一点，且，求的最小值：（2）若点P是内一点，且，，，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设，则，根据向量加法的平行四边形法则可得，再利用向量数量积定义可得，配方即可求最值.（2）设，由题意根据向量数量积的定义可得，，将两边平方展开，利用基本不等式即可求解.【详解】（1），，设，则，而，，当且仅当时，的最小值是.（2）设，，，，，同理：，当且仅当时，所以.【点睛】本题考查了向量数量积的定义、向量模的运算、基本不等式求最值，考查了考生的运算求解能力，属于中档题.学2019-2020学年高一数学下学期第二次月考试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.一元二次不等式的解集为（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果.【详解】由得，解得.故选A【点睛】本题主要考查解不含参数的一元二次不等式，熟记一元二次不等式的解法即可，属于基础题型.2.设等差数列的前项为，若，则( )A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质得出，解出，即可求出.【详解】设等差数列的公差为解得故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.3.已知非零向量，的夹角为，且，，则（）A B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】【分析】根据模长的性质和向量的数量积公式，即可求解.【详解】，整理得.故选:A【点睛】本题考查向量的数量积运算，属于基础题.4.在△ABC中，若，则∠A=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】即：则，，，选C.5.已知等比数列，满足，且，则数列的公比为（）A. 4B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】利用对数运算公式和对数定义可由得到，由等比数列的下标性质和等比数列各项正负性的性质，可由得到，最后可以求出等比数列的公比.【详解】等比数列中，①，，由等比数列各项正负性的性质可知：同号，故②，②除以①，得：等比数列的公比，故本题选B.【点睛】本题考查了对数的运算性质及对数的定义，考查了等比数列的下标性质，考查了求等比数列的公比，考查了数学运算能力.6.若不等式对于一切成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题即可求解.【详解】对于一切成立，对于一切成立，对于一切成立，在区间上是增函数，，．故选：C．【点睛】本题以不等式恒成立为平台，考查学生会求一元二次不等式的解集，要求学生掌握不等式恒成立时所取的条件，是基础题．7.在中，角，，所对的边分别为，，，若是和的等比中项，则（）A. 1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】切化弦得，通分,结合两角和的正弦公式及正弦定理求解即可【详解】由题意有，.故选A【点睛】本题考查等比中项的应用，两角和的正弦公式及正弦定理边角互化的应用，切化弦是突破点，是中档题8.若点是的重心，分别是，，的对边，且.则等于（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】D【解析】【分析】由点是的重心可得,即,代入中可得,由不共线可得,即可求得的关系,进而利用余弦定理求解即可【详解】因为点是的重心,所以,所以,代入可得因为不共线,所以,即所以,故,故选:D【点睛】本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角9.数列满足，则数列的前20项的和为( )A. 100B. -100C. -110D. 110【答案】B【解析】【分析】数列{an}满足，可得a2k﹣1+a2k＝﹣（2k﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{an}满足，∴a2k﹣1+a2k＝﹣（2k﹣1）．则数列{an}的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）100．故选B．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.在锐角中，若，则的范围（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由正弦定理得=2cosB，∵△ABC是锐角三角形，∴三个内角均为锐角，即有 0＜B＜， 0＜C=2B＜，0＜π-A-B=π-3B＜，解得＜B＜，余弦函数在此范围内是减函数．故＜cosB＜．∴，故选A．考点：本题主要考查正弦定理的应用，余弦函数的性质．点评：典型题，本题综合考查正弦定理的应用，余弦函数的性质，易因为忽视角的范围，而出错．11.如图，点是半径为1的扇形圆弧上一点，，，若，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将两边同时平方可得，令，，利用辅助角公式可得，再利用三角函数的性质即可求解.【详解】是半径为1的扇形圆弧上一点，，，，，两边同时平方可得，，则令，，，则，其中，，，，即所求的最大值为.故选：B【点睛】本题主要考查向量数量积的运算性质和三角函数的性质，属于基础题.12.若正实数、满足，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1"的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题.【详解】设，，所以，因为，当且仅当时取等号.所以.故选：B【点睛】本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化是中档题.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知向量且则实数_______.【答案】1【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标公式、两向量垂直的性质,可得一个方程,解这个方程即可求出实数的值.【详解】因为所以.故答案为：1【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标公式,考查了两平面垂直的性质,考查了数学运算能力.14.一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮继续沿正西方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，则货轮的速度为______海里/时．【答案】20【解析】【分析】根据题意，画出示意图，利用正弦定理求出MN的长，即可求解货轮的速度，得到答案．【详解】由题意，如图所示，可知∠SMN=15°+90°=105°，∠SNM=45°，SM=20，∴∠NSM=30°，在△SMN中，由正弦定理可得：，即，解得：MN=，∴货轮的速度为=海里/时．故答案为．【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中根据题设条件画出示意图，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．15.已知为直线上的不同三点，为外一点，存在实数，使得成立，则的最小值为__________．【答案】16【解析】【分析】由条件可得，巧用“1”结合均值不等式得到最小值.【详解】∵为直线上的不同三点，且，∴，又，∴，当且仅当即时等号成立，∴的最小值为16，故答案为：16【点睛】本题考查向量共线定理，考查了均值不等式求最值，属于常考题型.16.我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足，设表示向量与的夹角，若对任意正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________【答案】【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积可得，即可得，进而可得，求出的最小值后，利用对数函数的性质即可得解.【详解】由题意可得，当时，，，，，当且仅当时，等号成立，，由可得，，解得，综上，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量、数列及对数函数的综合应用，考查了运算求解能力和恒成立问题的解决，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分, 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知，为单位向量，．（1）求；（2）求与的夹角的余弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)平方后再求解即可.(2)根据向量夹角的公式求解即可.【详解】（1）由题意得.（2）由题意得与的夹角的余弦值为.【点睛】本题主要考查了向量的数量积与模长的公式以及向量夹角的运算等.属于基础题型. 18.已知等差数列，等比数列满足．（1）求，的通项公式；（2）求的前项和．【答案】(1) ；(2)【解析】【分析】（1）由等差数列通项公式与等比数列通项公式即可求解（2）利用分组求和即可求解．【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，所以，即，所以；（2）记前项和为.所以【点睛】本题考查等差数列、等比数列的通项公式以及求和公式，比较基础．19.在中，角所对的边分别为，的面积为，若．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）3【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理及三角形面积公式得，因此，再根据三角形内角范围得（Ⅱ）将条件，代入得，再根据余弦定理得，所以，因此试题解析：（Ⅰ）因为，所以化简得：，又，．（Ⅱ），，，①又，，即②联立①②可得，又，．考点：正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果．20.如图，在△ABC中，∠ACB＝，AC＝3， BC＝2，P是△ABC内的一点．（1）若△BPC是以BC为斜边的等腰直角三角形，求PA长；（2）若∠BPC＝，求△PBC面积的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，在三角形中，利用余弦定理求出的长即可；(2)在三角形中,由的度数表示出的度数，利用正弦定理表示出与 ,进而表示出三角形面积,利用正弦函数的值域确定出面积的最大值即可.【详解】（1）由题设，∠PCA＝，PC＝，在△PAC中，由余弦定理得PA2＝AC2＋PC2－2AC·PCcos＝5，于是PA＝．（2）∠BPC＝，设∠PCB＝θ，则θ∈(0，)．△PBC中，∠PBC＝－θ．由正弦定理得＝＝，得PB＝sinθ，PC＝sin(－θ)．所以△PBC面积S＝PB·PCsin＝sin (－θ)sinθ＝sin(2θ＋)－．当θ＝∈(0，)时，△PBC面积的最大值为．【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.21.已知正项数列的前n项和满足（1）求数列的通项公式；（2）若（n∈N*），求数列的前n项和;（3）是否存在实数使得对恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根据与的关系，即可求出的通项公式；（2）由，可采用裂项相消法求数列的前n项和；（3）假设存在实数λ，使得对一切正整数恒成立，即对一切正整数恒成立，只需满足即可，利用作差法得出其单调性，即可求解．【详解】（1）当n=1时，a1=2或-1（舍去）．当n≥2时，，整理可得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，可得an-an-1=1，∴{an}是以a1=2为首项，d=1为公差的等差数列．∴．（2）由（1）得an=n+1，∴．∴．（3）假设存在实数λ，使得对一切正整数恒成立，即对一切正整数恒成立，只需满足即可，令，则当故f（1）=1，f（2）=，f（3）=，＞f（5）＞f（6）＞…当n=3时有最小值，所以．【点睛】本题主要考查利用与的关系求通项公式，裂项相消法求数列的前n项和，以及不等式恒成立问题的解法应用，综合性较强，属于较难题．22.在中，满足：，M是的中点.（1）若O是线段上任意一点，且，求的最小值：（2）若点P是内一点，且，，，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设，则，根据向量加法的平行四边形法则可得，再利用向量数量积定义可得，配方即可求最值.（2）设，由题意根据向量数量积的定义可得，，将两边平方展开，利用基本不等式即可求解.【详解】（1），，设，则，而，，当且仅当时，的最小值是.（2）设，，，，，同理：，当且仅当时，所以.【点睛】本题考查了向量数量积的定义、向量模的运算、基本不等式求最值，考查了考生的运算求解能力，属于中档题.。
2019学年黑龙江省高一下学期第二次月考数学试卷【含答案及解析】
2019学年黑龙江省高一下学期第二次月考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若集合，则（）A. B. C. D.2. 已知 {an} 中， a1 ＝ 1 ，，则数列 {an} 的通项公式是 ( )A. B. C. D.3. 数列{ a n }中， a 1 ＝3， a 2 ＝6， a n ＋2 ＝ a n ＋1 － a n ，那么这个数列的第5项为( )A. 6B. －3C. －12D. －64. 等差数列中，，那么（）A. B. C. D.5. 已知向量 a ＝(1, 1)， b ＝(2,0)，则向量 a ， b 的夹角为( )A. B. C. D.6. 在△ ABC ，已知∠ A ＝45°， AB ＝， BC ＝2，则∠ C 等于( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 30°或150°7. 已知等比数列满足则（）A. 21B. 42C. 63D. 848. 设函数若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）（A）________________________ （B）（C）________________________ （D）9. 设，，，则 ( )A. a<b<cB. a<c<bC. b<c<aD. b<a<c10. 已知函数的图象过点(4,2)，令 .记数列的前项和为，则＝( )A. B. C. D.11. △ ABC 中， AC ＝， BC ＝2， B ＝60°，则 BC 边上的高等于 ( )A. B. C. D.12. 已知表示大于的最小整数，例如．下列命题中正确的是（）① 函数的值域是；② 若是等差数列，则也是等差数列；③ 若是等比数列，则也是等比数列；④ 若，则方程有个根.A. ②④B. ③④C. ①③D. ①④二、填空题13. 若，则 _____________ ．14. 设等差数列的前项和为，若 ,则 =__________ ．15. 已知等比数列满足，且，则当时， __________________ ．16. 已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足．若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值为 ______ ．三、解答题17. 已知数列满足，，．（1）证明数列为等差数列；（2）求数列的通项公式．18. 如图， A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内， B ， D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。
2019-2020学年高一数学下学期第二次月考试题(含解析)
2019-2020学年高一数学下学期第二次月考试题（含解析）一、单选题（共40分，每小题4分，共10小题）1.函数（）的图象的大致形状是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.【详解】【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．2.用二分法求函数零点的近似值时，如果确定零点所处的初始区间为，那么的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由零点存在性定理，可知，即，解得．考点：函数零点存在性定理的应用．3.已知二次函数f（x）＝x2+bx+c，若对任意的x1，x2∈[-1，1]，有|f（x1）-f（x2）|≤6，则b的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，当x1，x2∈[﹣1，1]，函数值的极差不大于6，进而可得答案．【详解】∵二次函数f（x）＝x2+bx+c＝+c﹣，对称轴x ＝﹣，①﹣＜﹣1即b＞2时，函数f（x）在[﹣1，1]递增，f（x）min＝f（﹣1）＝1﹣b+c，f（x）max＝f（1）＝1+b+c，故f（﹣1）﹣f（1）＝﹣2b，|f（1）﹣f（﹣1）|＝|2b|≤6得，②﹣＞1时，即b＜﹣2时，|f（1）﹣f（﹣1）|＝|2b|≤6得，③当﹣1≤﹣≤1，即﹣2≤b≤2时，函数f（x）在[﹣1，-]递减，函数f（x）在[﹣，1]递增，|f（1）﹣f（﹣）|≤6，且|f（﹣1）﹣f（﹣）|≤6，即|+b+1|≤6，且|﹣b+1|≤6，解得：﹣3≤b≤3，又﹣2≤b≤2，故b的取值范围是故选C．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题.4.若集合，，则（）A. B. C. D.【解析】【分析】先求得，然后求两个集合的交集.【详解】依题意，故，故选B.【点睛】本小题主要考查补集、交集的概念和运算，属于基础题.5.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数有意义，则：，求解不等式组可得：，据此可得函数的定义域为.本题选择B选项.6.设集合P＝{m|－1＜m≤0}，Q＝{m R|mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列说法正确的是A. P是Q 的真子集B. Q是P的真子集C. P＝QD. P∩Q＝【答案】C【解析】分析】根据不等式的恒成立，分类讨论，确定集合，在根据集合之间的关系，即可求解.【详解】当m＝0时，－4＜0对任意实数x恒成立；当m≠0时，由mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立可得，解得－1＜m＜0．综上所述，Q＝{m|－1＜m≤0}，所以P＝Q，故选C．【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的恒成立问题的求解及集合关系的判定，其中分类讨论求解一元二次不等式的恒成立问题，得到集合是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和推理、运算能力，属于中档试题.7.已知是第二象限的角，角终边经过点，则为第几象限的角：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】先根据所在的象限，判断出的符号，由此判断出点所在象限，进而求得终边所在象限.【详解】由于是第二象限角，所以，所以在第四象限，故为第四象限角，故选:D.【点睛】本小题主要考查三角函数在各个象限的符号，属于基础题.8.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先将表示为对数的形式，判断出，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较与的大小，即可得到的大小关系.【详解】因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.9.已知正实数，满足，则的最小值（）A. B. 3 C. D.【答案】C【解析】【分析】化简，再利用基本不等式求解.【详解】当且仅当时取等.故选：C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1＋S2等于( )A. 6B. 5C. 4D. 3【解析】【分析】根据反比例函数的解析式可得，由此求得两个矩形的面积，用总面积减去叠加起来的两个阴影部分的面积，求得的值.【详解】∵点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向轴、轴作垂线段，则根据反比例函数的图像的性质得两个矩形的面积都等于，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查反比例函数的图像与性质，考查矩形面积的计算，属于基础题.二、填空题（共25分，每小题5分，共5小题）11.已知向量，且与共线，则x的值为【答案】【解析】试题分析：，由与共线得，解得．考点：向量的共线．12.若a10=，am=，则m=______．【答案】513.如图①是反映某条公交线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）与乘客量之间关系的图像．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示：给出下列说法：（1）图②的建议：提高成本，并提高票价；（2）图②的建议：降低成本，并保持票价不变；（3）图③的建议：提高票价，并保持成本不变；（4）图③的建议：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是______．【答案】（2）（3）【解析】【分析】根据题意知图像反应了收支差额与乘客量的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当的点说明公司的成本情况，再结合图像进行说明．【详解】根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变，故（2）正确；由图③看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故（3）正确.故答案为（2）（3）【点睛】本题考查用函数图像说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想，解题关键是对图形的理解．14.复数的值是____________.【答案】-1.【解析】【分析】利用多项式乘法化简复数的分子，即可得出结果．【详解】复数故答案为-1【点睛】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．15.已知函数（且）恒过定点，则________________.【答案】【解析】【分析】当时，函数值域与没有关系，由此求得恒过的定点，并求得表达式的值.【详解】当，即时，函数值域与没有关系，此时，故函数过定点，即，，所以.【点睛】本小题主要考查指数函数横过定点的问题，当指数函数底数为的时候，，由此求得恒过的定点，属于基础题.三、解答题（共6小题，共85分）16.设为常数．（1）若为奇函数，求实数的值；（2）判断在上单调性，并用单调性的定义予以证明;（3）求在上的最小值．【答案】（1）（2）函数在上是减函数，证明见解析（3）【解析】试题分析：（1）由，函数为奇函数，则，或根据奇函数的定义可求实数的值；（2）利用函数单调性的定义，计算，判断其符号正负，即可判断并证明在上的单调性；（3）由（2）易得在上的最小值．试题解析：（1）法一：由函数为奇函数，得即，所以法二：因为函数为奇函数，所以，即∴，所以（2）证明：任取，且则有∵，∴，∴，∴，，即所以，对任意的实数，函数在上是减函数（3）∵函数在上为减函数，∴函数在上为减函数，∴当时，考点：函数的单调性，奇偶性，以及函数的最值17.有一块铁皮零件，其形状是由边长为的正方形截去一个三角形所得的五边形，其中，如图所示.现在需要用这块材料截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边分别落在上，另一顶点落在边或边上.设，矩形的面积为.（1）试求出矩形铁皮的面积关于的函数解析式，并写出定义域；（2）试问如何截取（即取何值时），可使得到的矩形的面积最大？【答案】（1），定义域（2）先在DE上截取线段，然后过点M作DE的垂线交BA于点P，再过点P作DE的平行线交DC于点N，最后沿MP与PN截铁皮，所得矩形面积最大.【解析】【分析】（1）分类讨论,当点分别落在线段或线段上.根据矩形面积即可求得关于的函数解析式及其定义域.（2）根据（1）由分段函数,结合二次函数的性质可求得面积的最大值.求得取最大值时的值,即可知截取矩形的方式.【详解】（1）依据题意并结合图形,可知：①当点落在线段上即时,；②当点在线段上,即时,由,得.于是.所以定义域.（2）由（1）知,当时,；当时,当且仅当时,等号成立.因此,y的最大值为.答：先在DE上截取线段,然后过点M作DE的垂线交BA于点P,再过点P作DE的平行线交DC于点N,最后沿MP 与PN截铁皮,所得矩形面积最大,最大面积为.【点睛】本题考查了分段函数在实际问题中的应用,根据二次函数的性质求得最大值,属于基础题.18.已知函数.（I）求的值和函数的最小正周期；（II）求的单调递减区间及最大值，并指出相应的x的取值集合.【答案】（I）；（II），.【解析】【分析】(Ⅰ)利用二倍角公式,以及两角和的正弦函数,化简函数为一个角的一个三角函数的形式,然后利用正弦函数的周期公式求出最小正周期；(Ⅱ)根据正弦函数函数的图象和性质,即可求函数的最大值,利用正弦函数的单调性，解不等式可得单调增区间.【详解】（I），,函数的最小正周期；（II）由（I）知，函数的最大值为2，相应x的集合为,，∴的单调递减区间为.【点睛】本题主要考查三角函数的最值,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性,考查计算能力,此类题目的解答,关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度.19.解关于不等式.【答案】当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【解析】【分析】将原不等式因式分解化为，对参数分5种情况讨论：，，，，，分别解不等式．【详解】解：原不等式可化为，即，①当时，原不等式化为，解得，②当时，原不等式化为，解得或，③当时，原不等式化为.当，即时，解得；当，即时，解得满足题意；当，即时，解得.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【点睛】本题考查含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对分类时要做到不重不漏的原则，同时最后记得把求得的结果进行综合表述.20.已知，函数．（1）求函数的定义域；（2）求函数的最大值及此时的值．【答案】（1）；（2）时，函数有最大值．【解析】【分析】（1）由已知的定义域及复合函数的定义域的求解可知，，解不等式可求（2）由已知可求，结合二次函数的性质可求函数的最值及相应的x．【详解】解：（1），．由题意可得，，解可得，即函数的定义域；（2），设，则，而在单调递增，当，即时，函数有最大值．【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，本题中的函数的定义域是容易出错点．21.设“关于的不等式的解析为”，“函数在区间上有零点”.（1）若为真，求的取值范围；（2）若为假，为真，求的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：（1）由命题为真，则，即可求解实数的取值范围.（2）根据为假，为真，得中一真一假，分类讨论即可求解实数的取值范围.试题解析：（1）函数是增函数，所以若为真，则，解得.（2）若为真，则，即，解得，因为为假，为真，所以中一真一假，若真假，则；若假真，则，综上，的取值范围是.2019-2020学年高一数学下学期第二次月考试题（含解析）一、单选题（共40分，每小题4分，共10小题）1.函数（）的图象的大致形状是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.【详解】故选C．【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．2.用二分法求函数零点的近似值时，如果确定零点所处的初始区间为，那么的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由零点存在性定理，可知，即，解得．考点：函数零点存在性定理的应用．3.已知二次函数f（x）＝x2+bx+c，若对任意的x1，x2∈[-1，1]，有|f（x1）-f（x2）|≤6，则b 的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得，当x1，x2∈[﹣1，1]，函数值的极差不大于6，进而可得答案．【详解】∵二次函数f（x）＝x2+bx+c＝+c﹣，对称轴x＝﹣，①﹣＜﹣1即b＞2时，函数f（x）在[﹣1，1]递增，f（x）min＝f（﹣1）＝1﹣b+c，f（x）max＝f（1）＝1+b+c，故f（﹣1）﹣f（1）＝﹣2b，|f（1）﹣f（﹣1）|＝|2b|≤6得，②﹣＞1时，即b＜﹣2时，|f（1）﹣f（﹣1）|＝|2b|≤6得，③当﹣1≤﹣≤1，即﹣2≤b≤2时，函数f（x）在[﹣1，-]递减，函数f（x）在[﹣，1]递增，|f（1）﹣f（﹣）|≤6，且|f（﹣1）﹣f（﹣）|≤6，即|+b+1|≤6，且|﹣b+1|≤6，解得：﹣3≤b≤3，又﹣2≤b≤2，故b的取值范围是故选C．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题.4.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得，然后求两个集合的交集.【详解】依题意，故，故选B.【点睛】本小题主要考查补集、交集的概念和运算，属于基础题.5.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数有意义，则：，求解不等式组可得：，据此可得函数的定义域为.本题选择B选项.6.设集合P＝{m|－1＜m≤0}，Q＝{m R|mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列说法正确的是A. P是Q 的真子集B. Q是P的真子集C. P＝QD. P∩Q＝【答案】C【解析】分析】根据不等式的恒成立，分类讨论，确定集合，在根据集合之间的关系，即可求解.【详解】当m＝0时，－4＜0对任意实数x恒成立；当m≠0时，由mx2＋4mx－4＜0对任意实数x恒成立可得，解得－1＜m＜0．综上所述，Q＝{m|－1＜m≤0}，所以P＝Q，故选C．【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的恒成立问题的求解及集合关系的判定，其中分类讨论求解一元二次不等式的恒成立问题，得到集合是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和推理、运算能力，属于中档试题.7.已知是第二象限的角，角终边经过点，则为第几象限的角：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】先根据所在的象限，判断出的符号，由此判断出点所在象限，进而求得终边所在象限.【详解】由于是第二象限角，所以，所以在第四象限，故为第四象限角，故选:D.【点睛】本小题主要考查三角函数在各个象限的符号，属于基础题.8.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先将表示为对数的形式，判断出，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较与的大小，即可得到的大小关系.【详解】因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.9.已知正实数，满足，则的最小值（）A. B. 3 C. D.【答案】C【解析】【分析】化简，再利用基本不等式求解.【详解】当且仅当时取等.故选：C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1＋S2等于( )A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数的解析式可得，由此求得两个矩形的面积，用总面积减去叠加起来的两个阴影部分的面积，求得的值.【详解】∵点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向轴、轴作垂线段，则根据反比例函数的图像的性质得两个矩形的面积都等于，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查反比例函数的图像与性质，考查矩形面积的计算，属于基础题.二、填空题（共25分，每小题5分，共5小题）11.已知向量，且与共线，则x的值为【答案】【解析】试题分析：，由与共线得，解得．考点：向量的共线．12.若a10=，am=，则m=______．【答案】5【解析】13.如图①是反映某条公交线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）与乘客量之间关系的图像．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示：给出下列说法：（1）图②的建议：提高成本，并提高票价；（2）图②的建议：降低成本，并保持票价不变；（3）图③的建议：提高票价，并保持成本不变；（4）图③的建议：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是______．【答案】（2）（3）【解析】【分析】根据题意知图像反应了收支差额与乘客量的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当的点说明公司的成本情况，再结合图像进行说明．【详解】根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变，故（2）正确；由图③看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故（3）正确.故答案为（2）（3）【点睛】本题考查用函数图像说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想，解题关键是对图形的理解．14.复数的值是____________.【答案】-1.【解析】【分析】利用多项式乘法化简复数的分子，即可得出结果．【详解】复数故答案为-1【点睛】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．15.已知函数（且）恒过定点，则________________.【答案】【解析】【分析】当时，函数值域与没有关系，由此求得恒过的定点，并求得表达式的值.【详解】当，即时，函数值域与没有关系，此时，故函数过定点，即，，所以.【点睛】本小题主要考查指数函数横过定点的问题，当指数函数底数为的时候，，由此求得恒过的定点，属于基础题.三、解答题（共6小题，共85分）16.设为常数．（1）若为奇函数，求实数的值；（2）判断在上单调性，并用单调性的定义予以证明;（3）求在上的最小值．【答案】（1）（2）函数在上是减函数，证明见解析（3）【解析】试题分析：（1）由，函数为奇函数，则，或根据奇函数的定义可求实数的值；（2）利用函数单调性的定义，计算，判断其符号正负，即可判断并证明在上的单调性；（3）由（2）易得在上的最小值．试题解析：（1）法一：由函数为奇函数，得即，所以法二：因为函数为奇函数，所以，即∴，所以（2）证明：任取，且则有∵，∴，∴，∴，，即所以，对任意的实数，函数在上是减函数（3）∵函数在上为减函数，∴函数在上为减函数，∴当时，考点：函数的单调性，奇偶性，以及函数的最值17.有一块铁皮零件，其形状是由边长为的正方形截去一个三角形所得的五边形，其中，如图所示.现在需要用这块材料截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边分别落在上，另一顶点落在边或边上.设，矩形的面积为.（1）试求出矩形铁皮的面积关于的函数解析式，并写出定义域；（2）试问如何截取（即取何值时），可使得到的矩形的面积最大？【答案】（1），定义域（2）先在DE上截取线段，然后过点M作DE的垂线交BA于点P，再过点P作DE的平行线交DC于点N，最后沿MP与PN截铁皮，所得矩形面积最大.【解析】【分析】（1）分类讨论,当点分别落在线段或线段上.根据矩形面积即可求得关于的函数解析式及其定义域.（2）根据（1）由分段函数,结合二次函数的性质可求得面积的最大值.求得取最大值时的值,即可知截取矩形的方式.【详解】（1）依据题意并结合图形,可知：①当点落在线段上即时,；②当点在线段上,即时,由,得.于是.所以定义域.（2）由（1）知,当时,；当时,当且仅当时,等号成立.因此,y的最大值为.答：先在DE上截取线段,然后过点M作DE的垂线交BA于点P,再过点P作DE 的平行线交DC于点N,最后沿MP与PN截铁皮,所得矩形面积最大,最大面积为.【点睛】本题考查了分段函数在实际问题中的应用,根据二次函数的性质求得最大值,属于基础题.18.已知函数.（I）求的值和函数的最小正周期；（II）求的单调递减区间及最大值，并指出相应的x的取值集合.【答案】（I）；（II），.【解析】【分析】(Ⅰ)利用二倍角公式,以及两角和的正弦函数,化简函数为一个角的一个三角函数的形式,然后利用正弦函数的周期公式求出最小正周期；(Ⅱ)根据正弦函数函数的图象和性质,即可求函数的最大值,利用正弦函数的单调性，解不等式可得单调增区间.【详解】（I），,函数的最小正周期；（II）由（I）知，函数的最大值为2，相应x的集合为,，∴的单调递减区间为.【点睛】本题主要考查三角函数的最值,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性,考查计算能力,此类题目的解答,关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度.19.解关于不等式.【答案】当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【解析】【分析】将原不等式因式分解化为，对参数分5种情况讨论：，，，，，分别解不等式．【详解】解：原不等式可化为，即，①当时，原不等式化为，解得，②当时，原不等式化为，解得或，③当时，原不等式化为.当，即时，解得；当，即时，解得满足题意；当，即时，解得.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【点睛】本题考查含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对分类时要做到不重不漏的原则，同时最后记得把求得的结果进行综合表述.20.已知，函数．（1）求函数的定义域；（2）求函数的最大值及此时的值．【答案】（1）；（2）时，函数有最大值．【解析】【分析】（1）由已知的定义域及复合函数的定义域的求解可知，，解不等式可求（2）由已知可求，结合二次函数的性质可求函数的最值及相应的x．【详解】解：（1），．由题意可得，，解可得，即函数的定义域；（2），设，则，而在单调递增，当，即时，函数有最大值．【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，本题中的函数的定义域是容易出错点．21.设“关于的不等式的解析为”，“函数在区间上有零点”.（1）若为真，求的取值范围；（2）若为假，为真，求的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：（1）由命题为真，则，即可求解实数的取值范围.（2）根据为假，为真，得中一真一假，分类讨论即可求解实数的取值范围.试题解析：（1）函数是增函数，所以若为真，则，解得.（2）若为真，则，即，解得，因为为假，为真，所以中一真一假，若真假，则；若假真，则，综上，的取值范围是.。
2019-2020年高一下学期第二次月考数学(理)试题 含答案
2019-2020年高一下学期第二次月考数学（理）试题 含答案一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 直线1x =的倾斜角和斜率分别是A.45,1B.00，C.90，不存在D.180，不存在2. 下列结论正确的是A.若,a b c d >>，则a c b d ->-B. 若,a b c d >>，则a d b c ->-C.若,a b c d >>，则ac bd >D. 若,a b c d >>，则a b d c> 3. 不等式0121≥+-x x的解集是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,1 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛-21,1 C.()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∞-,211,D.(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∞-,211,4. 已知等比数列{}n a 中，12340a a a ++=，45620a a a ++=，则前9项之和等于 A ．50 B ．70 C ．80 D ．905. 在△ABC 中，若22222222a c b b c a b a -+-+=，则△ABC 是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6. 两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ） A.47. 设x,y 满足约束条件260,260,0,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =+的最大值是（ ）A.3B.4C. 6D.88. 在等比数列{a n }中,1234,n a a a +=·164,n a -=且前n 项和62n S =,则项数n 等于（ ） A ．4B ．5C ．6D ．79. 若点A （2，-3）是直线0111=++y b x a 和0122=++y b x a 的公共点，则相异两点),(11b a 和),(22b a 所确定的直线方程为（ ）A.0132=+-y xB.0123=+-y xC.0132=--y xD. 0123=--y x10. 已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为 ( ) A ．5B ．4C ．2D ．111. 在区间)2,1(上,不等式042<---mx x 有解，则m 的取值范围为（ ） A.4->m B. 4-<m C.5->m D. 5-<m12. 设x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ,若目标函数z ax by =+)0,0(>>b a ,最大值为12,则b a 32+ 的最小值为（ ） A ．724 B ．625C ．5D ．4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 若直线l 与两直线1=y ，07=--y x 分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是)1,1(-P ，则直线l 的斜率是 ；14. 过点P (2,3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程为 ； 15. 设直线(1)*)nx n y n N ++=∈与两坐标轴围成的三角形的面积为n S ,则2013321S S S S ++++ 的值为 ；16. 已知点),(y x P 满足⎩⎨⎧≤+≤≤≤2010y x x ，则点),(y y x Q +构成的图形的面积为 。
2019-2020学年高一数学下学期第二次月考试题(含解析)_3
2019-2020学年高一数学下学期第二次月考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.＋sin30＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用诱导公式，将＋sin30，转化为再求解.【详解】＋sin30，，.故选：B【点睛】本题主要考查诱导公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知平行四边形中，向量，，则向量的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量加法的平行四边形法则，结合平面向量坐标的加法运算可求得向量的坐标.【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可得.故选：D.【点睛】本题考查平面向量加法的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.3.下列各式化简正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根据向量的加减运算，逐个进行判断即可求解结论．【详解】解：因为，故错误；，故正确；，故错误；，故错误.故选：B．【点睛】本题考查平面向量的加减法基本运算，属于基础题．4.下列命题正确的是（）A. 单位向量都相等B. 若与共线，与共线，则与共线C. 若，则D. 若与都是单位向量，则【答案】C【解析】分析】题设条件简单，本题的解题需要从选项入手，逐一进行验证排除得解．【详解】A，向量有大小、方向两个属性，向量的相等指的是大小相等方向相同，故不对；B，选项对三个非零向量是正确的，若是零向量，是非零向量时，显然与共线，与共线，则与共线不一定成立．故选项B错误；C，由题得，所以，故选项是正确的．D，若与都是单位向量，则不一定成立，当两者垂直时，数量积为零．所以选项D错误.故选：．【点睛】本题考点是向量的共线与相等，考查向量的数量积，属于对基础概念考查的题目，解答此类题需要对相关的概念熟练掌握才能正确作答．5.若向量，，则（）A. B. C. 8 D. 9【答案】D【解析】【分析】根据向量的数量积的坐标运算公式，即可求解.【详解】由题意，向量，，则，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.6.在中，是的中点，，若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的运算法则计算得到答案.【详解】.故选：.【点睛】本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.7.工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为，外圆半径为，内圆半径为.则制作这样一面扇面需要的布料为（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料.【详解】解：根据题意，由扇形的面积公式可得：制作这样一面扇面需要的布料为.故选：B.【点睛】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题.8.函数的图像（）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】B【解析】【分析】根据关于点对称,关于直线对称来解题.【详解】解：令,得,所以对称点为.当,为,故B正确；令,则对称轴为,因此直线和均不是函数的对称轴.故选B【点睛】本题主要考查正弦函数的对称性问题.正弦函数根据关于点对称,关于直线对称.9.将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数，则的单调递增区间为（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】C【解析】【分析】利用平移变换，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，再令求解即可.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数：，令，解得，所以的单调递增区间为，，.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10.函数的图象如图所示，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据图象的最值求出A、周期求出、代入特殊点求出即可求得函数解析式，令即可得解.【详解】根据图象可得，，即，根据，，得，∴，又的图象过点，∴，即，，∴，，又因，∴，∴，.故选：B【点睛】本题考查由的图象确定解析式，属于基础题.11.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦函数的单调性，结合在区间上单调递增，建立不等式关系，即可求解．【详解】函数在区间上单调递增，当时，，当时，，由于函数在区间上单调递增，所以，，解得，，所以，，因此，的取值范围是.故选：A．【点睛】本题考查了正弦函数的图象及性质、单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中等题．12.已知A，B是半径为的⊙O上的两个点，·＝1，⊙O 所在平面上有一点C满足｜＋｜＝1，则｜｜的最大值为（）A. ＋1B. ＋1C. 2＋1D. +1【答案】A【解析】【分析】先由题意得到，根据向量的数量积求出，以O为原点建立平面直角坐标系，设A（，）得到点B坐标，再设C（x，y），根据点B的坐标，根据题中条件，即可求出结果.【详解】依题意，得：，因为，所以，＝1，得：，以O为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，设A（，），则B（，）或B（，）设C（x，y），当B（，）时，则＝（＋－x，＋－y）由｜＋｜＝1，得：＝1，即点C在1为半径的圆上，A（，）到圆心的距离为：＝｜｜的最大值为＋1当B（，）时，结论一样．故选A【点睛】本题主要考查向量模的计算，熟记向量的几何意义，以及向量模的计算公式，即可求解，属于常考题型.二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.求使得成立的的集合________.【答案】【解析】【分析】作出余弦函数的图象，结合图象可求得使得不等式成立的的集合.【详解】作出余弦函数的图象如下图所示：由图象可知，使得不等式成立的的集合为.故答案为：.【点睛】本题考查余弦不等式的求解，考查余弦函数图象的应用，属于基础题.14.已知向量（m，3），（m，m﹣1）.若//.则m=_____.【答案】2【解析】【分析】根据两个向量共线的坐标表示列方程，解方程求得的值.详解】由于//，所以，即，.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量共线的坐标表示，属于基础题.15.已知，则向量在上的射影为_____________.【答案】【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义：在上的射影为（为的夹角），代入计算即可求解.【详解】因为在上的射影为（为的夹角），又，所以，即在上的射影为-3.故答案为：-3.【点睛】本题考查向量数量积的几何意义：投影的概念，考查计算能力，属于基础题.16.关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②在区间单调递增；③在有4个零点；④的最大值为2；其中所有正确结论的编号是_________.【答案】①④【解析】【分析】结合题意，得出函数的奇偶性，根据奇偶性研究函数在时的性质对结论逐一判断即可．【详解】解：∵，定义域为，∴，∴函数是偶函数，故①对；当时，，∴由正弦函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，故②错；当时，由得，，根据偶函数的图象和性质可得，在上有1个零点，∴在有3个零点，故③错；当时，，根据奇偶性可得函数的图象如图，∴当时，函数有最大值，故④对；故答案为：①④．【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．三.解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，求的值.【答案】2【解析】【分析】根据三角函数定义得到三角函数值，利用诱导公式化简代入数据得到答案.【详解】终边与单位圆的交点为，则.原式.【点睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式化简，意在考查学生的计算能力和应用能力.18.已知，且.求：（1）；（2）.【答案】（1）12；（2）【解析】【分析】（1）根据题意计算得到，展开式子化解得到答案.（2）计算，得到答案.【详解】（1）,，故.（2），故.【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力和转化能力.19.已知向量，，.（1）若，求实数，的值；（2）若，求与的夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量的数乘运算及坐标加法运算,可得方程组,解方程组即可求得,的值.（2）根据向量坐标的加减法运算,可得结合向量垂直的坐标关系,即可求得的值.进而表示出,即可由向量的坐标运算求得夹角的余弦值.【详解】（1）由,得,即,解得.（2）,.因为,所以,即.令,则.【点睛】本题考查了向量坐标的数乘运算和加减运算,向量垂直时的坐标关系,根据向量数量积求夹角的余弦值,属于基础题.20.已知函数.（1）求的最大值和最小值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）最大值3，最小值为2（2）【解析】【分析】（1）根据，得到，再由正弦函数的性质，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，得到使在上恒成立，只需，求解即可得出结果.【详解】（1）∵，∴，∴，∴，故的最大值为3，最小值为2；（2）由（1）知，当时，，要使在上恒成立，只需，解得，∴实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查求正弦型三角函数的最值，以及由三角函数的范围求参数的问题，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.21.在直角梯形ABCD中,,,,,P是线段AD上(包括端点)的一个动点.(Ⅰ)当时,(i)求的值;(ⅱ)若,求的值;(Ⅱ)求的最小值.【答案】(Ⅰ)（i）2 （ⅱ）(Ⅱ)最小值为5【解析】【分析】建立平面直角坐标系.（I）当时，（i）利用向量数量积的坐标运算，求得.（ii）设得出点坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合，求得，也即求得的值.（II）设、，而，根据向量坐标的线性运算以及模的坐标运算，求得的表达式，由此求得的最小值.【详解】以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.（Ⅰ）当时,（i）,,因此;（ⅱ）设,即点P坐标为,则,,当时,,即;（Ⅱ）设、,又则,,当时取到等号,因此的最小值为5【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量模运算，解决方法是坐标法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.22.已知函数，（其中，，）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为．（1）求的解析式；（2）先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，试写出函数的解析式．（3）在（2）的条件下，若存在，使得不等式成立，求实数的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）依题意知，由此可求得；又函数图象上一个最高点为，可知，，结合可求得，从而可得的解析式；（2）利用函数的图象变换可求得函数的解析式；（3），则，，依题意知，，从而可求得实数的最小值．【详解】（1）∵，∴，解得；又函数图象上一个最高点为，∴，，∴，又，∴，∴；（2）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即；（3）∵，∴，，依题意知，，∴，即实数的最小值为．【点睛】本题考查由的部分图象确定其解析式，考查函数的图象变换，属于中档题．2019-2020学年高一数学下学期第二次月考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.＋sin30＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用诱导公式，将＋sin30，转化为再求解.【详解】＋sin30，，.故选：B【点睛】本题主要考查诱导公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知平行四边形中，向量，，则向量的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量加法的平行四边形法则，结合平面向量坐标的加法运算可求得向量的坐标.【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可得.故选：D.【点睛】本题考查平面向量加法的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.3.下列各式化简正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根据向量的加减运算，逐个进行判断即可求解结论．【详解】解：因为，故错误；，故正确；，故错误；，故错误.故选：B．【点睛】本题考查平面向量的加减法基本运算，属于基础题．4.下列命题正确的是（）A. 单位向量都相等B. 若与共线，与共线，则与共线C. 若，则D. 若与都是单位向量，则【答案】C【解析】分析】题设条件简单，本题的解题需要从选项入手，逐一进行验证排除得解．【详解】A，向量有大小、方向两个属性，向量的相等指的是大小相等方向相同，故不对；B，选项对三个非零向量是正确的，若是零向量，是非零向量时，显然与共线，与共线，则与共线不一定成立．故选项B错误；C，由题得，所以，故选项是正确的．D，若与都是单位向量，则不一定成立，当两者垂直时，数量积为零．所以选项D 错误.故选：．【点睛】本题考点是向量的共线与相等，考查向量的数量积，属于对基础概念考查的题目，解答此类题需要对相关的概念熟练掌握才能正确作答．5.若向量，，则（）A. B. C. 8 D. 9【答案】D【解析】【分析】根据向量的数量积的坐标运算公式，即可求解.【详解】由题意，向量，，则，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.6.在中，是的中点，，若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的运算法则计算得到答案.【详解】.故选：.【点睛】本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.7.工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为，外圆半径为，内圆半径为.则制作这样一面扇面需要的布料为（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料.【详解】解：根据题意，由扇形的面积公式可得：制作这样一面扇面需要的布料为.故选：B.【点睛】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题.8.函数的图像（）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】B【解析】【分析】根据关于点对称,关于直线对称来解题.【详解】解：令,得,所以对称点为.当,为,故B正确；令,则对称轴为,因此直线和均不是函数的对称轴.故选B【点睛】本题主要考查正弦函数的对称性问题.正弦函数根据关于点对称,关于直线对称.9.将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数，则的单调递增区间为（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】C【解析】【分析】利用平移变换，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，再令求解即可.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数：，令，解得，所以的单调递增区间为，，.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10.函数的图象如图所示，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据图象的最值求出A、周期求出、代入特殊点求出即可求得函数解析式，令即可得解.【详解】根据图象可得，，即，根据，，得，∴，又的图象过点，∴，即，，∴，，又因，∴，∴，.故选：B【点睛】本题考查由的图象确定解析式，属于基础题.11.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦函数的单调性，结合在区间上单调递增，建立不等式关系，即可求解．【详解】函数在区间上单调递增，当时，，当时，，由于函数在区间上单调递增，所以，，解得，，所以，，因此，的取值范围是.故选：A．【点睛】本题考查了正弦函数的图象及性质、单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中等题．12.已知A，B是半径为的⊙O上的两个点，·＝1，⊙O所在平面上有一点C满足｜＋｜＝1，则｜｜的最大值为（）A. ＋1B. ＋1C. 2＋1D. +1【答案】A【解析】【分析】先由题意得到，根据向量的数量积求出，以O为原点建立平面直角坐标系，设A（，）得到点B坐标，再设C（x，y），根据点B的坐标，根据题中条件，即可求出结果.【详解】依题意，得：，因为，所以，＝1，得：，以O为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，设A（，），则B（，）或B（，）设C（x，y），当B（，）时，则＝（＋－x，＋－y）由｜＋｜＝1，得：＝1，即点C在1为半径的圆上，A（，）到圆心的距离为：＝｜｜的最大值为＋1当B（，）时，结论一样．故选A【点睛】本题主要考查向量模的计算，熟记向量的几何意义，以及向量模的计算公式，即可求解，属于常考题型.二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.求使得成立的的集合________.【答案】【解析】【分析】作出余弦函数的图象，结合图象可求得使得不等式成立的的集合.【详解】作出余弦函数的图象如下图所示：由图象可知，使得不等式成立的的集合为.故答案为：.【点睛】本题考查余弦不等式的求解，考查余弦函数图象的应用，属于基础题.14.已知向量（m，3），（m，m﹣1）.若//.则m=_____.【答案】2【解析】【分析】根据两个向量共线的坐标表示列方程，解方程求得的值.详解】由于//，所以，即，.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量共线的坐标表示，属于基础题.15.已知，则向量在上的射影为_____________.【答案】【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义：在上的射影为（为的夹角），代入计算即可求解.【详解】因为在上的射影为（为的夹角），又，所以，即在上的射影为-3.故答案为：-3.【点睛】本题考查向量数量积的几何意义：投影的概念，考查计算能力，属于基础题.16.关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②在区间单调递增；③在有4个零点；④的最大值为2；其中所有正确结论的编号是_________.【答案】①④【解析】【分析】结合题意，得出函数的奇偶性，根据奇偶性研究函数在时的性质对结论逐一判断即可．【详解】解：∵，定义域为，∴，∴函数是偶函数，故①对；当时，，∴由正弦函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，故②错；当时，由得，，根据偶函数的图象和性质可得，在上有1个零点，∴在有3个零点，故③错；当时，，根据奇偶性可得函数的图象如图，∴当时，函数有最大值，故④对；故答案为：①④．【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．三.解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，求的值.【答案】2【解析】【分析】根据三角函数定义得到三角函数值，利用诱导公式化简代入数据得到答案.【详解】终边与单位圆的交点为，则.原式.【点睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式化简，意在考查学生的计算能力和应用能力. 18.已知，且.求：（1）；（2）.【答案】（1）12；（2）【解析】【分析】（1）根据题意计算得到，展开式子化解得到答案.（2）计算，得到答案.【详解】（1）,，故.（2），故.【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力和转化能力.19.已知向量，，.（1）若，求实数，的值；（2）若，求与的夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量的数乘运算及坐标加法运算,可得方程组,解方程组即可求得,的值.（2）根据向量坐标的加减法运算,可得结合向量垂直的坐标关系,即可求得的值.进而表示出,即可由向量的坐标运算求得夹角的余弦值.【详解】（1）由,得,即,解得.（2）,.因为,所以,即.令,则.【点睛】本题考查了向量坐标的数乘运算和加减运算,向量垂直时的坐标关系,根据向量数量积求夹角的余弦值,属于基础题.20.已知函数.（1）求的最大值和最小值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）最大值3，最小值为2（2）【解析】【分析】（1）根据，得到，再由正弦函数的性质，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，得到使在上恒成立，只需，求解即可得出结果.【详解】（1）∵，∴，∴，∴，故的最大值为3，最小值为2；（2）由（1）知，当时，，要使在上恒成立，只需，解得，∴实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查求正弦型三角函数的最值，以及由三角函数的范围求参数的问题，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.21.在直角梯形ABCD中,,,,,P是线段AD上(包括端点)的一个动点.(Ⅰ)当时,(i)求的值;(ⅱ)若,求的值;(Ⅱ)求的最小值.【答案】(Ⅰ)（i）2 （ⅱ）(Ⅱ)最小值为5【解析】【分析】建立平面直角坐标系.（I）当时，（i）利用向量数量积的坐标运算，求得.（ii）设得出点坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合，求得，也即求得的值.（II）设、，而，根据向量坐标的线性运算以及模的坐标运算，求得的表达式，由此求得的最小值.【详解】以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.（Ⅰ）当时,（i）,,因此;（ⅱ）设,即点P坐标为,则,,当时,,即;（Ⅱ）设、,又则,,当时取到等号,因此的最小值为5【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量模运算，解决方法是坐标法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.22.已知函数，（其中，，）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为．（1）求的解析式；（2）先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，试写出函数的解析式．（3）在（2）的条件下，若存在，使得不等式成立，求实数的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）依题意知，由此可求得；又函数图象上一个最高点为，可知，，结合可求得，从而可得的解析式；（2）利用函数的图象变换可求得函数的解析式；（3），则，，依题意知，，从而可求得实数的最小值．【详解】（1）∵，∴，解得；又函数图象上一个最高点为，∴，，∴，又，∴，∴；（2）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即；（3）∵，∴，，依题意知，，∴，即实数的最小值为．【点睛】本题考查由的部分图象确定其解析式，考查函数的图象变换，属于中档题．。
2019-2020学年高一数学下学期第二次月考试题(含解析)_1
2019-2020学年高一数学下学期第二次月考试题（含解析）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式得出，然后利用两角差的余弦公式可得出结果.【详解】.故选：C.【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式求值，涉及诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题.2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用两角和的正弦公式, 将化简,利用特殊角的三角函数值代入即可求得.【详解】法一：.法二：故选:.【点睛】本题考查两角和的正弦公式,关键在于熟记公式,准确化简,难度较易.3.下列说法正确是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则不是共线向量【答案】C【解析】【分析】利用向量概念判断A,利用共线向量判断B,C,D【详解】向量不能比较大小，所以A不正确；需满足两个条件：同向且，所以B不正确；C正确；若是共线向量，则方向相同或相反，D不正确.故选：C【点睛】本题考查向量的基本概念，向量共线的判定，是基础题4.已知角α终边上一点M的坐标为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根据题意，结合所在象限，得到和的值，再根据公式，求得答案.【详解】由角终边上一点M的坐标为，得，，故，故选D.【点睛】本题考查已知角的终边求对应的三角函数值，二倍角公式，属于简单题.5.在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6.若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，又，，则，故选7.已知，则的值是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】．故选B．8.已知两个非零单位向量的夹角为，则下列结论不正确的是（）A. 不存在，使B.C. ，D. 在方向上的投影为【答案】D【解析】【分析】A中，由平面向量数量积的定义，判断即可；B中，由平面向量模长的定义，判断即可；C中，根据平面向量数量积与垂直的定义，判断即可；D中，根据单位向量以及向量投影的定义，计算即可；【详解】对于A，因为两个非零单位向量所以＝1×1×cosθ＝cosθ≤1，∴A正确．对于B，因为两个非零单位向量＝1，B正确；对于C，因为两个非零单位向量且，所以∴C正确；对于D，因为两个非零单位向量，所以在方向上的投影为||cosθ＝cosθ，D错误；故选D．【点睛】本题考查了平面向量的数量积与单位向量的定义和应用问题，也考查了模长与投影问题，属于基础题．9.在中，角的对边分别为，已知，则的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，又，∴，又为三角形的内角，所以，故．选C．10.已知函数，则的最大值为( )A. 3B. 1C.D.【答案】A【解析】函数.当时有最大值3.故选A.11.已知奇函数满足，则的取值可能是（）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】B【解析】【分析】由是奇函数知,可得,由知关于对称, 即可得出,进而解得,根据选项即可的出答案.【详解】由是奇函数得，所以，又因为得关于对称，所以，解得.所以当时，得.故选:.【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质,着重考查在已知的奇偶性,对称轴时求的问题,难度较易.12.在中，角，，所对的边分别为，，，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：通过表达式并结合余弦定理，可求得；利用同角三角函数关系式，求出；根据即可求得三角形的面积．详解：由余弦定理可知而所以得，所以又因为所以所以选C点睛：本题考查了余弦定理的综合应用，同角三角函数关系式、三角形面积公式的应用，各公式间相互交错，熟练掌握每个式子的用法，是简单题．二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的周长等于，则其外接圆直径等于__________．【答案】3【解析】【分析】根据正弦定理求解.【详解】因为的周长等于，所以，因此由正弦定理得，即外接圆直径等于3.【点睛】本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.14.已知，，实数满足，则________.【答案】1或【解析】【分析】根据向量模的坐标计算，可得结果.【详解】由题意可得：,,解得或.故答案为：1或【点睛】本题主要考查向量模的坐标计算，属基础题.15.__________.【答案】1【解析】，.故答案为1点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.16.在中，内角所对的边分别为，是的中点，若且，则面积的最大值是___【答案】【解析】【分析】由题意及正弦定理得到，于是可得，；然后在和中分别由余弦定理及可得．在此基础上可得，再由基本不等式得到，于是可得三角形面积的最大值．【详解】如图，设，则,在和中，分别由余弦定理可得，两式相加，整理得，∴．①由及正弦定理得，整理得，②由余弦定理的推论可得，所以．把①代入②整理得，又，当且仅当时等号成立，所以，故得．所以．即面积的最大值是．故答案为．【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力．三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.四边形中，，，．（1），试求与满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有，求的值和四边形的面积．【答案】(1) (2) 或；．【解析】【分析】（1）利用向量的加法求出的坐标，再根据得到与满足的关系式；（2）根据得到的关系，结合（1）中的关系，得到的两种取值，再分求出代入面积公式，求得四边形的面积.【详解】（1）依题意：∵∴，即：，得；（2），当时，，得：，代入，解方程得：或，故或；当时，则，此时求得：；②当时，则，此时求得：；∴．【点睛】本题考查向量平行、向量垂直的坐标运算及对角线互相垂直的四边形的面积求法，考查基本的运算求解能力，注意求解过程中有两组解，所以求面积时要分情况讨论.18.已知是第三象限角，.（1）化简；（2）若，求值；（3）若，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用三角函数的诱导公式进行化简，即可得到答案；（2）由诱导公式，化简得，进而利用三角函数的基本关系式，求得的值，即可求解；（3）利用诱导公式，化简，即可求解，得到答案.【详解】（1）由题意，利用三角函数的诱导公式，化简得.（2）由诱导公式，得，且，所以，又因为是第三象限角，所以，所以.（3）因为，则.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）若在区间上的最小值为，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】(1)根据题意利用降幂公式与和差角公式将函数化简为,再求解单调区间即可.(2)根据三角函数图像求解分析即可.【详解】（1）由题意知：化简得：当单调递减时，解得：即函数的单调递减区间为.（2）当在区间上的最小值为时，存在，使得，即，解得：，则时，存在.【点睛】本题主要考查了三角函数的公式运用以及图像的性质,属于中等题型.20.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin B＝－bsin.(1)求A；(2)若△ABC的面积S＝c2，求sin C的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式即得A=.(2)先根据△ABC的面积S＝c2得到b＝c，再利用余弦定理得到a＝c，再利用正弦定理求出sin C的值．【详解】(1)因为asin B＝－bsin，所以由正弦定理得sin A＝－sin，即sin A＝－sin A－cos A，化简得tan A＝－，因为A∈(0，π)，所以A＝.(2)因为A＝，所以sin A＝，由S＝c2＝bcsin A＝bc，得b＝c，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，则a＝c，由正弦定理得sin C＝.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.21.在锐角三角形中，角所对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由正弦定理转化为关于边的条件，再由余弦定理，求角即可；（2）利用二倍角公式化简，得到正弦型三角函数，分析角的取值范围，即可求出三角函数的取值范围.试题解析：（1）因为，由正弦定理得，即，则根据余弦定理得又因为，所以（2）因为，所以则因为三角形为锐角三角形且，所以则所以，所以即的取值范围为点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.22.某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形的半径为200米，圆心角，点在上，点在上，点在弧上，设.（1）若矩形是正方形，求的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从点处向修建两条观赏通道和（宽度不计），使，，其中依而建，为让市民有更多时间观赏，希望最长，试问：此时点应在何处？说明你的理由.【答案】（1）矩形是正方形时，（2）当是的中点时，最大【解析】试题分析：（1）因为四边形是扇形的内接正方形，所以，注意到，代入前者就可以求出. （2）由题设可由，，利用两角差的正弦和辅助角公式把化成的形式，从而求出的最大值.解析：（1）在中，，，在中，，所以，因为矩形是正方形，，所以，所以，所以．（2）因为所以，，．所以, 即时，最大，此时是的中点．答：（1）矩形是正方形时，；（2）当是的中点时，最大．2019-2020学年高一数学下学期第二次月考试题（含解析）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式得出，然后利用两角差的余弦公式可得出结果.【详解】.故选：C.【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式求值，涉及诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题.2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用两角和的正弦公式, 将化简,利用特殊角的三角函数值代入即可求得.【详解】法一：.法二：故选:.【点睛】本题考查两角和的正弦公式,关键在于熟记公式,准确化简,难度较易.3.下列说法正确是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则不是共线向量【答案】C【解析】【分析】利用向量概念判断A,利用共线向量判断B,C,D【详解】向量不能比较大小，所以A不正确；需满足两个条件：同向且，所以B不正确；C正确；若是共线向量，则方向相同或相反，D不正确.故选：C【点睛】本题考查向量的基本概念，向量共线的判定，是基础题4.已知角α终边上一点M的坐标为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根据题意，结合所在象限，得到和的值，再根据公式，求得答案.【详解】由角终边上一点M的坐标为，得，，故，故选D.【点睛】本题考查已知角的终边求对应的三角函数值，二倍角公式，属于简单题.5.在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6.若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，又，，则，故选7.已知，则的值是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】．故选B．8.已知两个非零单位向量的夹角为，则下列结论不正确的是（）A. 不存在，使B.C. ，D. 在方向上的投影为【答案】D【解析】【分析】A中，由平面向量数量积的定义，判断即可；B中，由平面向量模长的定义，判断即可；C 中，根据平面向量数量积与垂直的定义，判断即可；D中，根据单位向量以及向量投影的定义，计算即可；【详解】对于A，因为两个非零单位向量所以＝1×1×cosθ＝cosθ≤1，∴A正确．对于B，因为两个非零单位向量＝1，B正确；对于C，因为两个非零单位向量且，所以∴C正确；对于D，因为两个非零单位向量，所以在方向上的投影为||cosθ＝cosθ，D错误；故选D．【点睛】本题考查了平面向量的数量积与单位向量的定义和应用问题，也考查了模长与投影问题，属于基础题．9.在中，角的对边分别为，已知，则的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，又，∴，又为三角形的内角，所以，故．选C．10.已知函数，则的最大值为( )A. 3B. 1C.D.【答案】A【解析】函数.当时有最大值3.故选A.11.已知奇函数满足，则的取值可能是（）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】B【解析】【分析】由是奇函数知,可得,由知关于对称, 即可得出,进而解得,根据选项即可的出答案.【详解】由是奇函数得，所以，又因为得关于对称，所以，解得.所以当时，得.故选:.【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质,着重考查在已知的奇偶性,对称轴时求的问题,难度较易.12.在中，角，，所对的边分别为，，，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：通过表达式并结合余弦定理，可求得；利用同角三角函数关系式，求出；根据即可求得三角形的面积．详解：由余弦定理可知而所以得，所以又因为所以所以选C点睛：本题考查了余弦定理的综合应用，同角三角函数关系式、三角形面积公式的应用，各公式间相互交错，熟练掌握每个式子的用法，是简单题．二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的周长等于，则其外接圆直径等于__________．【答案】3【解析】【分析】根据正弦定理求解.【详解】因为的周长等于，所以，因此由正弦定理得，即外接圆直径等于3.【点睛】本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.14.已知，，实数满足，则________.【答案】1或【解析】【分析】根据向量模的坐标计算，可得结果.【详解】由题意可得：,,解得或.故答案为：1或【点睛】本题主要考查向量模的坐标计算，属基础题.15.__________.【答案】1【解析】，.故答案为1点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.16.在中，内角所对的边分别为，是的中点，若且，则面积的最大值是___【答案】【解析】【分析】由题意及正弦定理得到，于是可得，；然后在和中分别由余弦定理及可得．在此基础上可得，再由基本不等式得到，于是可得三角形面积的最大值．【详解】如图，设，则,在和中，分别由余弦定理可得，两式相加，整理得，∴．①由及正弦定理得，整理得，②由余弦定理的推论可得，所以．把①代入②整理得，又，当且仅当时等号成立，所以，故得．所以．即面积的最大值是．故答案为．【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力．三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.四边形中，，，．（1），试求与满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有，求的值和四边形的面积．【答案】(1) (2) 或；．【解析】【分析】（1）利用向量的加法求出的坐标，再根据得到与满足的关系式；（2）根据得到的关系，结合（1）中的关系，得到的两种取值，再分求出代入面积公式，求得四边形的面积.【详解】（1）依题意：∵∴，即：，得；（2），当时，，得：，代入，解方程得：或，故或；当时，则，此时求得：；②当时，则，此时求得：；∴．【点睛】本题考查向量平行、向量垂直的坐标运算及对角线互相垂直的四边形的面积求法，考查基本的运算求解能力，注意求解过程中有两组解，所以求面积时要分情况讨论.18.已知是第三象限角，.（1）化简；（2）若，求值；（3）若，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用三角函数的诱导公式进行化简，即可得到答案；（2）由诱导公式，化简得，进而利用三角函数的基本关系式，求得的值，即可求解；（3）利用诱导公式，化简，即可求解，得到答案.【详解】（1）由题意，利用三角函数的诱导公式，化简得.（2）由诱导公式，得，且，所以，又因为是第三象限角，所以，所以.（3）因为，则.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）若在区间上的最小值为，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】(1)根据题意利用降幂公式与和差角公式将函数化简为,再求解单调区间即可.(2)根据三角函数图像求解分析即可.【详解】（1）由题意知：化简得：当单调递减时，解得：即函数的单调递减区间为.（2）当在区间上的最小值为时，存在，使得，即，解得：，则时，存在.【点睛】本题主要考查了三角函数的公式运用以及图像的性质,属于中等题型.20.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin B＝－bsin.(1)求A；(2)若△ABC的面积S＝c2，求sin C的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式即得A=.(2)先根据△ABC的面积S＝c2得到b＝c，再利用余弦定理得到a＝c，再利用正弦定理求出sin C的值．【详解】(1)因为asin B＝－bsin，所以由正弦定理得sin A＝－sin，即sin A＝－sin A－cos A，化简得tan A＝－，因为A∈(0，π)，所以A＝.(2)因为A＝，所以sin A＝，由S＝c2＝bcsin A＝bc，得b＝c，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，则a＝c，由正弦定理得sin C＝.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.21.在锐角三角形中，角所对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由正弦定理转化为关于边的条件，再由余弦定理，求角即可；（2）利用二倍角公式化简，得到正弦型三角函数，分析角的取值范围，即可求出三角函数的取值范围.试题解析：（1）因为，由正弦定理得，即，则根据余弦定理得又因为，所以（2）因为，所以则因为三角形为锐角三角形且，所以则所以，所以即的取值范围为点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.22.某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形的半径为200米，圆心角，点在上，点在上，点在弧上，设.（1）若矩形是正方形，求的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从点处向修建两条观赏通道和（宽度不计），使，，其中依而建，为让市民有更多时间观赏，希望最长，试问：此时点应在何处？说明你的理由.【答案】（1）矩形是正方形时，（2）当是的中点时，最大【解析】试题分析：（1）因为四边形是扇形的内接正方形，所以，注意到，代入前者就可以求出. （2）由题设可由，，利用两角差的正弦和辅助角公式把化成的形式，从而求出的最大值.解析：（1）在中，，，在中，，所以，因为矩形是正方形，，所以，所以，所以．（2）因为所以，，．所以, 即时，最大，此时是的中点．答：（1）矩形是正方形时，；（2）当是的中点时，最大．。
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2019-2020年高一下学期第二次月考数学答案
【答案】
1.C
2.D
3.B
4.C
5.C
6.D
7.A
8.
D 9.B 10.A 11.C 12.C
13.-
14.
15.2：3
16.（7，13]
17.解：（1）∵角α终边上一点P（-4，3），∴x=-4，y=3，r=|OP|=5，sinα==，cosα==-，∴====-．（2）因为
原式==-1
18.解：(1)证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABE，AD⊥AE．
∵AD∥BC，则BC⊥AE．(3分)
又BF⊥平面ACE，则BF⊥AE．
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE．(7分)
(2)设AC∩BD=G，连接FG，易知G是AC的中点，
∵BF⊥平面ACE，则BF⊥CE．
而BC=BE，∴F是EC中点．(10分)
在△ACE中，FG∥AE，
∵AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，
∴AE∥平面BFD．(14分)
19.解：f（x）=y=cos2x-asinx+b=-sin2x-asinx+b+1=-+
令t=sinx,,则y=-（t+)+，（i）当，即时，
,解得
（ii）当，即0a<2时
解得（舍去）或（舍去）
（iii）当，即-2<a<0时，
解得
（iv）当，即时,y max=f（-1）=a+b=0，y min=f（1）=b-a=-4
解得,
综上，,
∴当a=2,b=-2时，f（x）=cos2x-2sinx-2=-（sinx+1）2，若时，y取得最小值；若时，y取得最大值.
当a=-2,b=-2时，f（x）=cos2x+2sinx-2=-（sinx-1）2，若，y取得最小值；若时，y取得最
大值.
20.解：(1)令x=y=1，则可得f(1)=0，
再令x=2，y=，得f(1)=f(2)+f()，故f()=-1
(2)设0＜x1＜x2，则f(x1)+f()=f(x2)
即f(x2)-f(x1)=f()，
∵＞1，故f()＞0，即f(x2)＞f(x1)
故f(x)在(0，+∞)上为增函数
(3)由f(x2)＞f(8x-6)-1得f(x2)＞f(8x-6)+f()=f[(8x-6)]，故得x2＞4x-3且8x-6＞0，解得解集为{x|＜x＜1或x＞3}．21.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，
∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，
又∵圆C：（x+1）2+（y-2）2=2，
∴圆心C（-1，2）到切线的距离等于圆的半径，
即，
解得：a=-1或a=3，
当截距为零时，设y=kx，
同理可得或，
则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y-3=0或或．
（2）∵切线PM与半径CM垂直，
∴|PM|2=|PC|2-|CM|2．
∴（x1+1）2+（y1-2）2-2=x12+y12．
∴2x1-4y1+3=0．
∴动点P的轨迹是直线2x-4y+3=0．
∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．
而|PO|的最小值为原点O到直线2x-4y+3=0的距离，
∴由，可得
故所求点P的坐标为．
22.解：（1）当a=1时，f（x）=1++，
令t=t＞1，
则f（x）=g（t）=t2+t+1=+，
∵g（t）在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1），
即f（x）在（-∞，0）上的值域为（3，+∞），
故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，
所以函数f（x）在（-∞，1）上不是有界函数．
（2）由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．
∴-3≤f（x）≤3，-4-≤a•≤2-，
∴-4•2x-≤a≤2•2x-在[0，+∞）上恒成立，
即[-4•2x-]max≤a≤[2•2x-]min，
设2x=t，则-4t-≤a≤2t-，
设h（t）=-4t-，p（t）=2t-，
由x∈[0，+∞）得t≥1．设1≤t1＜t2，
则h（t1）-h（t2）=＞0，
p（t1）-p（t2）=＜0，
所以，h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，
故h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1，所以，实数a的取值范围为[-5，1]。