高中数学《二项式定理》公开课教案设计
《二项式定理》教学设计
《二项式定理》教学设计
一、教学目标
1、学习二项式定理的概念；
2、掌握二项式定理的证明方法；
3、熟练运用二项式定理计算阶乘。
二、课前准备
1、准备教学案例：“抛掷次数为n的骰子，其中点数之和为k，求出满足条件的概率”；
2、准备课堂活动：利用抽签游戏，引导学生理解二项式定理；
3、准备实物：骰子；
4、准备实践活动：利用抛掷骰子实验验证二项式定理。
三、课堂教学步骤
第一步、引入
1、介绍课题：二项式定理（一）；
2、简单介绍二项式定理的概念：其是指当抛掷次数为n的骰子时，点数之和为k的概率，可以表示为n个“1”和“0”的排列组合，其中“1”代表抛掷出的点数为6，“0”代表抛掷出的点数不为6第二步、活动
1、布置抽签游戏：将班上学生分成2组，每组各抽取一张纸片，纸
片上分别写有“1”和“0”，由学生们举手抽签，当每组中有n个学生均
抽出“1”或“0”时，分数比较高的组即为胜利组；
2、进行讨论：根据抽签游戏，引导学生们讨论，抛掷次数为n的骰子，其中点数之和为k，求出满足条件的概率；
第三步、演示
1、讲解二项式定理：说明抛掷次数为n的骰子，其中点数之和为k。
高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计三
[课题]二项式定理（一）教材：人教A版选修2-3第一章第三节［教学内容解析］在多项式的运算中，二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微积分学领域大门的一把金钥匙，只是在中学阶段还没有显示机会.本小节内容安排在计数原理之后，一方面是因为二项式定理的推导过程及证明要用到计数原理，另一方面二项式系数是一些特殊的组合数，因此本课的学习对排列组合部分知识的深化认识有好处.另外，二项式定理也为学习随机变量及其分布做准备.二项式定理还可以解决近似计算、整除、不等式证明等问题，有着综合性强、联系不同知识点的特点。
［教学目标设置］依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：（一）教学目标1、知识与技能：(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.2.过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．3. 情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．（二）重、难点分析重点：用计数原理分析4)(xa+的展开式，归纳得到二项式定理．1(x+、4)难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开式各项的形成规律．［学生学情分析］本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了计数原理和排列组合知识，具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但要把二项式定理与排列组合问题联系起来，还是比较困难的，因此需要创设一个环境，从语言感知，文字感知及图形感知等各个方面构建学生的思维认知。
［教学策略分析］为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略：1．教法分析新的数学课程标准提出：掌握数学知识只是结果，而掌握知识的活动过程才是途径，通过这个途径，来挖掘人的发展潜能才是目的，结果应让位于过程.因此，在教学中，必须贯彻好过程性原则.也就是说，在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者，在学习过程中，教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣，并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中，让学生在探究、发现中获取知识，发展能力.从而增强学生的主体意识，提高学生学习的效果.2．学法分析 根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主立足点”的教学理念，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建。
二项式定理教学设计教案
二项式定理教学设计教案第一章：导入1.1 教学目标让学生了解二项式定理的背景和意义。
引导学生通过实际例子发现问题，激发学习兴趣。
1.2 教学内容引入二项式定理的概念，解释其在数学中的重要性。
通过具体的例子，如完全平方公式，引导学生观察和总结一般规律。
1.3 教学活动利用多媒体展示完全平方公式的例子，引导学生观察和总结。
组织小组讨论，让学生分享自己的发现和思考。
1.4 教学评价通过小组讨论和问题解答，评估学生对二项式定理的理解程度。
第二章：二项式定理的表述2.1 教学目标让学生掌握二项式定理的表述和公式。
引导学生理解二项式定理的推导过程。
2.2 教学内容给出二项式定理的表述和公式，解释各项的系数和指数的含义。
通过示例，引导学生理解二项式定理的推导过程。
2.3 教学活动通过示例和练习，让学生熟悉二项式定理的表述和公式。
引导学生参与推导过程，加深对二项式定理的理解。
2.4 教学评价通过练习和问题解答，评估学生对二项式定理的掌握程度。
第三章：应用二项式定理3.1 教学目标让学生学会运用二项式定理解决实际问题。
引导学生运用二项式定理进行组合计数和概率计算。
3.2 教学内容解释二项式定理在组合计数和概率计算中的应用。
提供实际问题，引导学生运用二项式定理解决问题。
3.3 教学活动通过示例和练习，让学生掌握二项式定理在组合计数和概率计算中的应用。
组织小组讨论，让学生分享自己的解题方法和经验。
3.4 教学评价通过小组讨论和问题解答，评估学生对二项式定理应用的掌握程度。
第四章：拓展与深化4.1 教学目标让学生了解二项式定理的拓展和深化内容。
引导学生思考二项式定理在数学中的广泛应用和意义。
4.2 教学内容介绍二项式定理的拓展内容，如多项式定理和整数定理。
探讨二项式定理在数学中的广泛应用，如组合数学、概率论等领域。
4.3 教学活动通过示例和练习，让学生了解二项式定理的拓展内容。
组织小组讨论，让学生思考二项式定理在数学中的应用和意义。
人教版高中数学《二项式定理》教学设计(全国一等奖)
二项式定理（第 1 课时）一、容和容分析容：二项式定理的发现与证明．容分析：本节是高中数学人教 A 版选修 2－ 3 第一章第 3 节的容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延长，此容安排在组合数模型以后，随机变量及其分布以前，既是组共计数模型的一个应用，也是为学习二项散布作准备．此外，因为二项式系数是一些特别的组合数，由二项式定理能够导出一些组合数的恒等式，这对深入组合数的认识有利处。
因为二项式定理的发现，能够经过从特别到一般进行归纳归纳，在归纳归纳过程中还可以够用到组共计数模型，所以，这部分容关于培养学生数学抽象与数学建模修养有着不行忽视的价值．教课中应该惹起充足重视．二、学情剖析这一堂课是面对高二学生。
学生已经初步具备了多项式乘法，同类项归并，摆列计数原理，组合数计数原理以及归纳推理等知识贮备。
能够在教师的指引下理解并掌握本节课中的推理演绎过程。
可是，学生的自我研究，归纳，剖析的能力还有待提升。
三、课程学习目标（1）知识目标：使学生掌握二项式定理及推导方法，二项式睁开式、通项公式的特色，并能利用二项式定理计算或证明一些简单问题。
（2）能力目标：在学生对二项式定理形成的参加议论过程中，培养学生察看、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识及知识迁徙能力。
（3）感情目标：经过二项式定理的学习，培养学生解决数学识题的兴趣和信心，让学生感觉数学在的和睦、对称美及数学符号应用的简短美。
四、设计思想：本课采纳合作研究、自主学习、合作沟通的研究性学习方式，重点放在定理的形成、证明的研究及定理基本应用上，在知识的形成、发展过程中睁开思想，逐渐培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力和创建性思想的能力。
目标分析：（1）二项式睁开式是依多项式乘法获取的特别形式，所以从多项式乘法出发去发现二项式定理切合学生的认知规律．但归纳归纳的结论，假如不加以严格的证明不切合数学的基本要求．所以，在归纳归纳的过程中，用好组合模型不单能够更自然地获取结论，还可以为证明二项式定理供给方法．（2）因为二项睁开式是一个复杂的多项式．假如不把其当作一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期对定理有深入的认识．所以，经过一些特例，成立二项式睁开式与数列及数列和的联系，是达成教课目的的一个重要门路．（3）数学中心修养是数学教课的重要目标，但数学中心修养需要在每一堂课中找寻时机去落实．在二项式定理的教课中，从特别的二项式睁开式的特色归纳归纳一般二项式睁开式的规律是进行数学抽象教课的很好时机；同时利用组共计数模型证明二项式定理，以及利用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教课的好时机．鉴于上述剖析，本节课的教课重点定为：发现并证明二项式定理．五、教课重点与难点：重点： (1)使学生参加并深刻领会二项式定理的形成过程，掌握二项式定理；（2）能正确应用二项式定理解决一些简单的问题。
二项式定理教学设计高三
二项式定理教学设计高三一、教学目标1. 理解二项式定理的定义和基本性质。
2. 掌握二项式定理的运用方法。
3. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
4. 培养学生对数学问题的兴趣和探索精神。
二、教学重点1. 掌握二项式定理的展开和应用。
2. 培养学生的数学思维和运算能力。
三、教学难点1. 帮助学生理解二项式定理的证明过程。
2. 培养学生抽象思维和推理能力。
四、教学过程1. 导入（5分钟）教师通过提问和讲述引导学生回顾高中阶段已学习的数学知识，如排列组合、多项式等内容。
然后向学生介绍今天的学习内容：二项式定理。
2. 概念解释（10分钟）教师通过示意图和具体例子，向学生阐述二项式定理的概念和基本性质。
帮助学生理解二项式定理是将两个数相加或相乘的展开式。
3. 二项式定理的展开（15分钟）教师通过板书和示范展示如何将二项式展开。
先给出一个简单的二项式，并指导学生按照二项式定理的公式进行展开。
然后通过一些具体的例子，让学生逐步掌握二项式定理展开的方法和技巧。
4. 二项式定理的应用（20分钟）教师通过实际问题和应用题，引入二项式定理的应用领域。
如组合数学、概率统计等。
通过解答一些实际问题，让学生认识到二项式定理在数学和实际生活中的重要性和应用价值。
5. 二项式定理的证明（20分钟）教师通过逻辑推理和数学推导，带领学生理解和证明二项式定理。
可以使用归纳法和数学归纳法等方法，引导学生参与证明的过程，提高学生的抽象思维和逻辑推理能力。
6. 练习和巩固（15分钟）教师设计一些练习题，让学生巩固和应用所学知识。
通过学生的练习，检验学生对二项式定理的掌握程度和运算能力。
7. 总结和拓展（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并给出一些延伸阅读和学习资料，鼓励学生在课后继续学习和探索。
五、教学评价1. 教师通过课堂讨论、学生练习和问题解答等形式，对学生的学习情况进行评价和反馈。
2. 鼓励学生积极参与课堂活动，发表自己的观点和思考。
(完整版)二项式定理教案
二项式定理（第一课时）一、教课目的1、知识与技术（1）理解二项式定理，并能简单应用（2）可以划分二项式系数与项的系数2、过程与方法经过学生参加和研究二项式定理的形成过程，培育学生察看，剖析，概括的能力，以及转变化归的意识与知识迁徙的能力，领会从特别到一般的思想方式。
3、感情与态度价值观经过研究问题，概括假定让学生在学习的过程中养成独立思虑的好习惯，在自主学习中体验成功，在考虑中感觉数学的魅力，让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。
二、教课要点难点1、教课要点：二项式定理及二项式定理的应用2、教课难点：二项式定理中单项式的系数三、教课方案：教课过程设计企图师生活动一、新课讲解引入：睁开 (a b)2、 (a b)3XK]让学生写睁开式，回首学生写睁开式多项式乘法法例学生达成：(a b) 2a22ab b2利用摆列、组合理知识(a b) 3a33a2 b3ab 2b3剖析 (a b)2睁开式剖析 (a b) 2的睁开式：(a b) 2(a b)(a b) a22ab b2教课过程设计企图师生活动恰有 1 个因式选b的状况有C12种，因此ab的系数是C12；2 个因式选b的状况有C22种，因此b2的系数是C22；每个因式都不选 b 的状况有C02种，因此a2的系数是C02；(a b)2C02a2C12 ab C22b2类比睁开 ( a b)3(a b)3C03a3C13a2b C32ab2 C 33b3①睁开式有几项？思虑 3 个问题：②睁开式中 a ，b 的指 1. 项数 2. 每一数和有什么特色？项 a ，b的指数③各项的系数是什和 3.系数么？怎样用摆列、组合的知学生达成识解说ab2的系数？按照 a 的降幂摆列类比睁开 ( a b) 4(a b)4 C 04a4C14 a3b C 24a2 b2C 34ab3C44 a4概括、类比(a b) n?二、二项式定理：(a b)n C0n a n C1n a n 1b C2n a n 2b2L C k n a n k b k LC n n b n(n N* )这个公式叫做二项式定理, 左侧的多项式叫做二项式右侧的多项式叫做(a b)n的二项睁开式，此中各项的系数 C r n ( k 0,1,2,3,L n) 称为二项式系数，式中的 C k n a n k b k叫做二项睁开式的通项，它是二项睁开式的第k 1 项，记作：T k 1=C k n a n k b k从以下几方面重申：（1）项数：n 1项；（2）指数：字母a，b的指数和为n，字母a 的指数由n 递减至0，字母 b 的指数由0递加至n；（3）二项式系数：下标为n，上标由0递加至n；C n k （ 4）通项：第k1项：T k 1C n k a n k b k 让学生类比写睁开式，进一步稳固睁开式的特色经过前方详细的例子，让学生从项数、项、系数这三个方面来类比(a b) n?（1）项数：n 1项；（2）指数：字母a，b的指数和为 n ，字母 a的指数由 n 递减至0，字母 b 的指数由0递加至n ；（ 3）系数是C n0 ,C n1 ,C n2 ,L ,C n kL ,C n n (k {0,1,2,L , n})生：板演( a b) 4的睁开式师：展现通过前面几个例子，类比概括获得 (a b)n的睁开式，学生交流研究以下 3 个问题1.指数：2.项数3.系数教课过程设计企图师生活动三、典例剖析例例 1、求 (214差别：) 的睁开式x睁开式中第 2 项的系解：1)4C 40 24 C 41 23( 1) C 41 22( 1) 2 C 432 ( 1)3数，第 2 项二项式系数(2 C 44 ( 1)4xx x xx32 24 8 116 x x 2 x 3 x 4例 2（ 1）求 (12x) 53 项思虑：的睁开式中第解：(1 2x)53 项是 T 2 1 C 52 13 (2 x)240 x 3睁开式中第 3 项的系的睁开式的第 ，数，第 3 项二项式系数例 3. 求 ( x1)9 的睁开式中 x 3 的系数x经过例题让学生更好 解：∵ ( x1)9的睁开式的通项是的理解二项式定理xTk 1C 9r x9 k( 1) k C 9k x 9 2k，x重申：通项公式的应用∴ 92k3 ， k3 ，∴ x 3 的系数 C 9384讲堂检测：1. (2 a b)4 的睁开式中的第 2 项 .解： T 2 1 C 41 (2a)3 b 32a 3b ，2. (x 10的睁开式的第 6 项的系数（D ） 进一步稳固二项式定1)C 106C 106C. C 105C 105理A. B.D.3. (1x)5 的睁开式中 x 2 的系数为（ C ）25A.10B. 5C.D. 12四、小结学 生 应 用 二 项式定理明 确 通 项 的 作用五、作业 ：课本 37 页 A 组 2 、 3 题板书设计：二项式定理一 .二项式定理：(a b)n C0n a n C1n a n 1b L C k n a n k b k L C n n b n( n N * )1.项数：n1项；2.指数：字母a，b的指数和为n ，a的指数由 n 递减至0，b的指数由 0 递加至n；3.二项式系数：C n0 , C1n , C n2 ,L , C n k L , C n n (k {0,1, 2,L n})4.通项：第k 1 项：T k 1C n k a n k b k二.典例三 .作业。
高二数学《二项式定理》教案
高二数学《二项式定理》教案《高二数学《二项式定理》教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、教学设计思想目前教学的核心是“以学生的发展为本”，注重学生的学习状态和情感体验，注重教学过程中学生主体地位的凸现和主体作用的发挥，强调尊重学生人格和个性，鼓励发现、探究与质疑，鼓励培养学生的创新精神和实践能力.二项式定理这部分内容比较枯燥，是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等.如何发挥学生的主体作用，使学生自己探究学习知识、建构知识网络，是本节课教学设计的核心.正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，怎样使二项式定理的教学生动有趣?使得在这节课上学生获得主动?我采用启发探究式教学方式，遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教，学，研互相促进的规律”，在教学中追求简易，重视直观，并巧妙地在应用抽象使问题变得十分有趣，学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用.具体为：一是从名人、问题引入课题。
采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段.这里体现了新课程的数学应用意识的理念.让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，也让学生体会数学语言的简洁和严谨。
二是从特殊到一般。
观察发现二项式定理的基本内容.遵循学生的认知规律，由特殊到一般，由感性到理性.重视学生的参与过程，问题引导，师生互动.重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯.三是采用小组合作、探究的方式。
在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主作用;尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系;尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习.四是教师的启发与学生的探究恰当结合。
高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二.docx
二项式定理（第 1 课时）一、内容和内容解析内容：二项式定理的发现与证明．内容解析：本节是高中数学人教 A 版选修 2－3 第一章第 3 节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视．二、目标和目标解析目标：（1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理．（2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用．（3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养．目标解析：（1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法．（2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：发现并证明二项式定理．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：现在的学生字母运算能力普遍偏弱，多个多项式的乘法对运算要求又较高，而本节课又需要进行多个多项式的乘法去观察展开式的特征，因此，解决运算问题是本节课的第一个教学问题．解决方案：运用图形计算器的代数运算功能，可以让学生快速得到正确结果，让学生把主要精力用在观察、发现规律上．2．教学问题二：怎样发现二项式展开式的规律是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：通过比较多项式( a1b1)(a2b2 )( a3b3 ) 展开式中项与项的异同点，得出( a b) n的展开式的项的规律，从而得到二项式定理的内容．3．教学问题三：如何证明二项式定理是第三个教学问题．学生很容易把发现二项式展开式的过程就当成二项式定理的证明过程．二项式定理的证明可以用数学归纳法，但难度较大．较为恰当的选择是把发现二项式定理过程中用到的组合计数模型来证明．解决方案：通过对 (a b)3的展开式项的分析，并用组合数进行刻画，由此用组合数对一般的展开式进行刻画．基于上述情况，本节课的教学难点定为：发现及归纳二项式展开式系数的规律．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到二项式定理，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中使用TI -图形计算器．既可以解决多项式乘法的复杂计算问题，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视二项式定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学问题或任务环节[ 问题 1]有人说(1 x ) 70的展开式中有x47项，你认为对吗？若有，它的系数是多少？[问题 2]为了解决问题1，需要用到( a b) n的展开，你认为这个展开式式会怎样呢？回顾前知引出猜想师生活动设计意图教师 1：提出问题1．学生 1：学生思考．问题引入．教师 2：提出问题2．学生 2：学生思考．教师 3：观察( a b)1、 ( a b)2、 ( a b)3、(a b) 4、 (a b) 5的展开式，你能得到哪些规律？学生 3：利用图形计算器CAS 的 expand() 函数，提出问题．得出 (a b)3、 (a b)4、 ( a b)5的展开式．引导学生通过对特殊情形的观察，归纳猜想一般情形的基本特征．教师 4：根据你所计算的结果，填对应表格．教师引导，学生根据所得具体的展开式，从展开式中的项数、项的次数、项的系数等角度进行归纳，并根据归纳所得猜想一般学生4：发现项数、项的次数、项的系数并猜的展开式的结果．想：学生体会由n n n 1n k k n特殊到一般(a b)0a1a b k a b n b的归纳猜想的过程．[问题 3] 猜想一：( a b)n0a n1a n 1bk a n k b k n b n 中的k？教师 5：提出问题3．学生 5：引起思考，并提出想法．教师 6：提出问题：在 ( a b )30 a 31a 2b2 ab 23b 3一般问题回1 ，1 3 ，2到特殊情形中，为什么“0 3 ，进行研究．3 1 ”？学生 6：展开式计算，寻找答案．教师 7：提出问题：( a b )3与( a1b1 )( a2b2 )( a3b3 ) 是什么把问题回到已知的结构关系？进行处理．学生 6：当a1 a 2 a 3 a , b1b2b3 b时， ( a1 b1 )( a2b2 )( a 3b3 )( a b ) 3．教师 7：提出问题：探探究 ( a1 b1 )( a2b2 )(a3 b3 ) 展开式的特寻规点．学生通过计律学生 7 ：利用图形计算器的CAS功能中算器得到计expand()函数，得出 (a1b1 )( a2b2 )( a3b3 ) 的算结果．获得展开式．结论教师 8：引导学生分析(a1b1)( a2b2 )( a3b3 )展开式的各项，并提出问题在展开式中为什么没有 a1b1a2项， a1a2等项？学生 8：学生根据所得的计算结果，观察得到教师通过引导学生对展开式各项构成的观察，得到项的构成．展开式的项的特点：展开式中的每一项是由每个括号中“取且只取”一个字母相乘得到的．教师 9：通过表格呈现特殊( a b) 3与并提出问题：( a b ) 30 a 31 a 2 b2 ab 23b 3中，为什么1 3 ？学生 9：(a b) 3展开式中的项 3a2b 是由(a1 b1 )(a2b2 )( a3 b3 ) 展开式中的项 a1a2b3，通过特殊与一般的项的a1b2 a3，b1 a2 a3去掉足码得到aab ，aba ，baa关系对比，后合并同类项得到．从三个括号中的一个括号得到对系数意义的理选择“ b ”剩余两个括号选择“ a ”构成的，解．因为从三个括号中的一个括号选择“ b ”，一旦确定哪个括号选“ b ”，剩余两个括号选择也就确定了，因为“ b ”有三种选择，所以对应同类项的个数就为 3 ，即“a2b ”的系数为3．根据展开式教师 10：能否用计数模型进行解释？系数即同类学生 10：“a2b”可以看成是从三个括号中选项的个数这择一个括号选“ b ”，剩余两个括号选择“a”，一结论，引完成这件事的所有可能，要做这件是，我们可导同学们通分成两步来完成：第一、从三个括号中选择一过一般到特个括号选“ b ”，有C31种选择；第二、剩余两殊，用组合计数模型对个括号选择“ a ”就 C22 1 种选法，故有各项系数进行研究．C31 1 C31种选法，所以，1C31．依此可以得到其它系数的组合数形式：(a b) 3C30 a3C31 a2b C32 ab2C33 b3．教师 11：根据所得(a b) 3展开式的规律，你系数的猜能否得猜想 (a b )n的展开式中想．[问题 3] 你能证明( a b)nC n0 a n C1n a n 1bC n k a n k b k C n n b n( n N )吗？证明定理明晰概念0 , 1, , k ,, n的值？学生 11：(a b)n C n0 a n C n1a n 1 b C n k a n k b kC n n b n教师 12：提出问题3．学生 12：提出想法．教师 13：你认为证明问题3，关键是几步？学生 13：（1）项的结构；（2）项的系数．教师 14：证明：()n是 n 个 (a b) 相乘，a b根据多项式的乘法，展开式每一项都满足a n kb k（ k {0,1,, n} ）．对项a n k b k（ k{0,1,, n} ）看成问题：从n 个括号中选择 k 个括号选“b”，剩余括号选择“ a ”，相乘而成．可这样设计计数模型，要做这件事，可分成两步来完成：第一、从n个括号中选择 k 个括号选“b”，有C n k种选择；第二、剩余括号选择“ a ”就 C n n k k1种选法，根据分步计数原理有C n k1C n k种选法．所以，项a n k b k的同类项有C n k，故a n k b k的系数为 C n k（k{0,1, ,n} ）．所以， ()n k n k ka展开式每一项满足nbb C a由归纳猜想到理论证明．引导提炼学生提炼证明要点．强调规范表达．（ k {0,1,, n} ）．教师 15：上述公式叫二项式定理，展开式共有n 1 项，其中各项的系数C n k（ k {0,1, , n} ）[ 问题4] 从数列的角叫做二项式系数．度看二项式展开式，你教师 16：提出问题 4．能获得什么认识？学生 14：二项展开式可以看成是一个数列的和，数列的通项公式是C n k a n k b k，表示数列第k 1 项．教师 17：二项式展开式的通项是展开式中第学生从数列的角度获得对二项式展开式的再认识．k 1k n k k[问题 5]你能根据项： T k 1 C n a b ．( a b) n的展开式得出学生15：根据二项式定理，把( a b)n化成( a b) n[ a( b)] n“”的展开式吗？的形式，把此式子中的 b 看成二项式定理中的“b ”即可得到结论（写出具体展开式）．让学生体会利用二项式定理模型进行计算，感受数学模型的在数学应用中的价值．[课堂练习 1](1)求 (1 x)n的展开式；(2) 求(2 x1)6的展x开式．[课堂练习 2]求( x 1)9展开式中 x3 x的系数．[ 课堂练习1]教师 18：布置课堂练习1、 2．熟悉二项式学生 16：完成课堂练习，并通过计算器核对答定理模型．案．[课堂练习2]让学生体会用通项公式表示展开式的简洁性．[问题 6] 你从二项式教师 19：提出问题 6．定理的发现、证明与应学生 17：本节课获取二项式定理的过程：先由用的过程中体会到一特殊察 (a b)3、 (a b)4、 (a b)5的展开式猜些什么？想一般 (a b)n的展开式项的结构，再通过对特殊形式 ( a b)3展开式项的研究得到 (a b) n的师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课堂小结升[课后练习 ]华6的展开认1．写出( x 1)知式．2．写出( 3x1)n的2 3x展开式的第 r1项．[课后思考 ]1．(a b c)3的展开式为．2．请同学们观察下表（我国宋朝时期数学家杨辉所做的一个表），你有什么发现？展开式项的规律，最后进行理论证明；课堂展示了获取一个一般性结论的过程：首先要通过特殊到一般进行猜想结论，体现了数学抽象过程；其次，得到猜想后，要进行理论论证，体现了数学逻辑推理；最后，得到结论后，要以此为模型进行应用，体现了数学模型的应用．学生 18：学生课后进行思考，并完成课后练习．课后练习是对定理巩固，思考练习是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．知识落实为明线核心素养为暗线——课例《二项式定理》点评《二项式定理》是高中数学教学的一个难点. 此定理规律的发现与证明很好的体现了获取一个一般性的结论的基本过程.我们知道，学生在学习某一项知识之前，头脑里并非一片空白。
人教版高中数学《二项式定理》全国一等奖教学设计
⼈教版⾼中数学《⼆项式定理》全国⼀等奖教学设计《⼆项式定理（⼀）》教学设计⼀、教学内容解析《1.3.1⼆项式定理》是《普通⾼中课程标准实验教科书-数学》选修2-3第⼀章第三部分第⼀节的内容，这节课内容上只有⼀个⼆项式定理但它却是前⾯内容的继续，也是后⾯内容的开始。
在计数原理之后学习⼆项式定理，⼀⽅⾯是因为它的证明要⽤到计数原理，可以把它看做为计数原理的⼀个应⽤。
另⼀⽅⾯也是为后⾯学习随机变量及分布做准备。
⼆项式定理具有较⾼应⽤价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算问题的⼀种⽅法，并能解释集合的⼦集个数问题；再者，⼆项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它⼜是学⽣进⼀步学习数学分析中函数级数展开式的⼀个特例，在组合理论、开⾼次⽅、⾼阶等差数列求和中有⼴泛的应⽤，因此这节课在⾼中数学中有着⼗分重要的作⽤。
通过本课的教学，进⼀步提⾼学⽣的归纳演绎能⼒，让学⽣感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。
教材中的⼆项式定理主要包括：定理本⾝，通项公式，⼆项式系数的性质等．通过⼆项式定理的学习应该让学⽣掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等⽅⾯形成技能或技巧；进⼀步体会过程分析与特殊化⽅法等等的运⽤；重视学⽣正确情感、态度和世界观的培养和形成。
⼆项式定理本⾝是教学重点，因为它是后⾯各种应⽤的基础．通项公式，⼆项式系数的性质，特殊化⽅法等意义重⼤⽽深远，所以也应该是重点。
⼆项式定理的证明是⼀个教学难点．这是因为证明中符号⽐较抽象、需要恰当地运⽤组合数的性质。
⼆、学情分析学⽣已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了⼀定的归纳演绎和分析事件⽅法种数的能⼒。
但是学⽣对数学严谨性的把握还不够，研究问题的⽅法和能⼒有待提⾼，有些学⽣容易粗⼼，对细节知识的把握还不够好。
本节课⼆项式定理的推导运⽤了先猜想后证明，由特殊到⼀般的研究问题的思想⽅法。
因此本堂课采⽤⼩组讨论学习，让学⽣在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产⽣、发展和演变过程，提⾼学⽣分析解决问题的能⼒。
高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计一
高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计一高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计一、背景介绍二项式定理是高中数学中重要的内容之一，它涉及到组合数学和初等数论的知识，对于解决实际问题具有广泛的应用。
本公开课旨在帮助学生深入理解二项式定理，掌握其应用方法，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学目标1、理解二项式定理的基本概念和原理；2、掌握二项式定理的展开式和各项系数的规律；3、能够利用二项式定理解决实际问题；4、培养学生对数学的兴趣和团队合作精神。
三、教学内容和方法1、二项式定理的背景和基本概念：通过介绍二项式定理的历史背景和故事，激发学生的学习兴趣，引导他们进入本课的主题。
2、二项式定理的展开式和各项系数的规律：通过举例和推导，让学生理解二项式定理的展开式和各项系数的规律，并通过练习题巩固相关知识。
3、二项式定理的应用：通过实际案例和问题，让学生了解二项式定理的应用场景，掌握利用二项式定理解决实际问题的方法和技巧。
4、课堂互动和讨论：通过课堂互动和讨论，鼓励学生积极参与，分享自己的想法和见解，促进学生的合作学习和相互成长。
四、教学重点和难点1、教学重点：二项式定理的展开式和各项系数的规律，以及利用二项式定理解决实际问题的技巧和方法。
2、教学难点：理解二项式定理的原理和应用，解决复杂实际问题时需要用到组合数学和初等数论的知识。
五、教学资源1、教材和参考书：选用高中数学教材《高中数学必修二》中的相关章节作为主要教材，同时提供参考书目和资料。
2、多媒体教学：使用PPT和板书相结合的方式，展示教学内容和例题，同时利用多媒体设备进行演示和讲解。
3、网络资源：提供相关数学网站和在线资源，让学生可以通过在线学习加深对二项式定理的理解和应用。
六、教学评估1、课堂表现：观察学生的课堂参与度和表现，评估学生对二项式定理的理解和应用能力。
2、课后作业：布置相关题目和问题，要求学生进行课后复习和思考，通过作业评估学生对二项式定理的掌握程度。
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇1. 介绍本文档将介绍三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
这些教案从不同的角度和方法讲解了二项式定理，帮助学生更好地理解和应用该定理，提高数学解题能力。
2. 教案一：《二项式定理初步认识》2.1 教学目标•了解二项式的定义和性质•掌握二项式展开的基本方法•能够灵活应用二项式定理解决实际问题2.2 教学内容1.二项式的定义和性质–介绍二项式的概念和表达形式–讲解二项式的性质，如二项式系数的对称性等2.二项式展开的基本方法–介绍二项式在展开时的基本方法–给出一些例题进行演示和练习3.实际问题的应用–利用二项式定理解决实际问题，如排列组合问题等–给出一些实际问题的例题和练习2.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式的定义和性质，并用例题演示二项式展开的基本方法，加深学生对二项式定理的理解•提问与讨论：引导学生参与讨论，思考问题的解决方法，培养学生的分析和解决问题的能力•练习与巩固：给学生一定数量的练习题，巩固所学知识，并能够应用到实际问题中2.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上教师的观察、学生的表现及课后作业的完成情况，进行教学评价•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改正错误，提高学习效果3. 教案二：《二项式定理的证明与应用》3.1 教学目标•掌握二项式定理的证明方法•理解二项式定理的应用领域•提高数学推理和证明能力3.2 教学内容1.二项式定理的证明方法–讲解二项式定理的组合证明方法，如二项式系数的递推关系等–通过数学推理，证明二项式定理的正确性2.二项式定理的应用–介绍二项式定理在组合数学、概率论等领域的应用–给出一些应用题进行练习，提高学生的应用能力3.数学推理与证明–培养学生的数学推理和证明能力，通过解答证明题加深学生对二项式定理的理解3.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式定理的证明方法，并演示具体的证明过程，加强学生对二项式定理的理解•课堂讨论：引导学生进行证明题的讨论和分析，提高学生的数学推理能力•练习与应用：给学生一些练习题，加深学生对二项式定理的应用理解3.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上的表现、学生的参与情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进学习方法，提高学习效果4. 教案三：《二项式定理与三角恒等式》4.1 教学目标•掌握二项式定理与三角恒等式的联系和应用•理解二项式定理与三角恒等式在数学中的重要性•提高学生的综合应用能力4.2 教学内容1.二项式定理与三角恒等式的联系和应用–介绍二项式定理与三角恒等式之间的联系和应用–分析二项式展开式的三角形式及其与三角恒等式的关系2.二项式定理与三角恒等式的具体应用–给出一些具体的二项式展开题目，引导学生将其化简成三角恒等式形式–通过练习题，锻炼学生的综合应用能力4.3 教学方法•讲授与实例演示：通过讲解二项式定理与三角恒等式的联系，并给出具体的例题进行演示，加深学生对二项式定理和三角恒等式的理解•练习与应用：给学生一些练习题，锻炼学生将二项式展开式化简成三角恒等式形式的能力•问题探究与讨论：引导学生思考和探索二项式定理与三角恒等式之间的更多联系4.4 教学评价与反馈•教学评价：通过观察学生的课堂表现、参与讨论的情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进问题解决的方法，提高学习效果5. 总结本文档介绍了三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
高中高三数学《二项式定理》教案、教学设计
（二）讲授新知，500字
在讲授新知环节，我会按照以下步骤进行：
1.详细讲解二项式定理的基本形式，让学生理解二项式定理的构成要素。
2.通过几何图形和具体实例，引导学生探究二项式定理的推导过程，强调组合数公式的运用。
-例如：请简述二项式定理的推导过程，以及你在学习过程中遇到的问题和解决方法。
-要求：学生认真撰写，培养学生的学习反思能力。
5.课外阅读题：推荐学生阅读与二项式定理相关的数学历史资料，了解数学家们在二项式定理研究过程中的贡献。
-例如：阅读《数学家与二项式定理》的相关文章，了解二项式定理的发现和发展过程。
3.二项式定理在解决实际问题中的应用。
4.二项式定理与其他数学知识的联系。
在整个教学内容与过程中，我注重启发式教学，关注学生的主体地位，充分调动学生的积极性，提高学生的数学素养。
五、作业布置
为了巩固学生对二项式定理的理解和应用，确保学生能够熟练掌握本章节的知识点，我设计了以下几类作业：
1.基础知识巩固题：选取一些典型的题目，要求学生运用二项式定理的基本形式进行计算，巩固二项式系数的计算方法。
-例如：计算(x+y)^5展开式中x^3y^2的系数。
-要求：学生独立完成，注重解题过程的规范性和准确性。
2.应用题：设计一些实际问题，让学生运用二项式定理解决，提高学生分析问题和解决问题的能力。
-例如：一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机取出3个球，求取出2个红球和1个蓝球的概率。
-要求：学生通过小组合作完成，培养学生的团队协作能力。
4.教学策略：
二项式定理教学设计教案
二项式定理教学设计教案一、教学目标1. 让学生理解二项式定理的定义和背景。
2. 引导学生掌握二项式定理的证明过程。
3. 培养学生运用二项式定理解决实际问题的能力。
4. 提高学生对数学公式和定理的记忆和运用。
二、教学内容1. 二项式定理的定义及公式。
2. 二项式定理的证明。
3. 二项式定理的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：二项式定理的定义、公式及应用。
2. 教学难点：二项式定理的证明过程。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解二项式定理的定义、公式及证明。
2. 通过例题演示二项式定理的应用。
3. 引导学生进行小组讨论，培养合作精神。
4. 利用多媒体辅助教学，提高学生的学习兴趣。
五、教学过程1. 导入新课：回顾一元二次方程的解法，引导学生思考如何快速求解特定类型的一元二次方程。
2. 讲解二项式定理：介绍二项式定理的定义、公式及背景，讲解公式中的各项系数和指数的含义。
3. 证明二项式定理：引导学生跟随证明过程，理解二项式定理的推导过程。
4. 应用二项式定理：通过例题展示二项式定理在实际问题中的应用，引导学生学会运用定理解决问题。
5. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学内容。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对二项式定理的理解程度。
2. 练习批改：及时批改课后练习，了解学生对知识的掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解合作能力和思维过程。
七、课后作业1. 复习二项式定理的定义、公式及证明过程。
2. 完成课后练习题，包括简单应用和综合应用题。
3. 收集有关二项式定理的实际应用案例，进行拓展学习。
八、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、深入，是否符合学生的实际需求。
2. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
3. 反思教学效果：分析学生的学习情况，找出不足之处，为下一步教学提供改进方向。
九、课程拓展1. 引导学生关注二项式定理在实际生活中的应用，如概率计算、数据处理等。
高三数学教案《二项式定理》
高三数学教案《二项式定理》教案标题：二项式定理教案目标：1. 了解二项式定理的定义和基本性质2. 能够应用二项式定理计算特定的二项式表达式3. 了解二项式定理在数学和实际生活中的应用教学重点：1. 二项式定理的定义和基本性质2. 二项式定理的应用教学难点：1. 二项式定理的实际应用教学准备：1. 教材：高中数学教材2. 教具：黑板、粉笔教学过程：Step 1：导入通过一个简单的问题引入二项式定理的概念，如：「已知(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，求(a+b)^3是多少？」，让学生思考并回答问题。
Step 2：理论讲解1. 引导学生回顾二项式展开式的定义：对于任意非负整数n，二项式展开式的形式为(a+b)^n=a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+b^n。
2. 解释二项式展开式中的C(n,k)代表组合数，即从n个元素中取k个元素的组合数。
3. 引导学生理解二项式定理的基本性质：当n为非负整数时，有(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+C(n,n)b^n。
Step 3：例题演练1. 通过简单的例子演示如何应用二项式定理，如计算(a+b)^4。
2. 给学生提供一些练习题，让他们独立进行计算，如计算(a+b)^5。
Step 4：拓展应用1. 引导学生思考二项式定理在数学中的应用，如求整系数多项式的平方。
2. 引导学生思考二项式定理在实际生活中的应用，如概率论中的二项分布。
Step 5：小结归纳从理论和应用两个方面对二项式定理进行总结归纳，并帮助学生梳理知识点。
Step 6：课堂练习布置一些课堂练习题，鼓励学生独立完成。
Step 7：课堂总结对本节课的重点内容进行总结，并让学生提问和解答疑惑。
教学延伸：1. 鼓励学生进一步探究二项式定理的推广和应用。
2. 提供更多实际生活中的例子，引导学生思考和应用二项式定理。
二项式定理第一课时公开课讲课教案
展开式中项的形成规律：每个因式中取一项作乘积
自主学习 合作探究：
(a＋b)2 ＝ ( a ＋ b ) ( a ＋ b )
＝a2＋ab＋ba＋ b2
＝a2＋2ab＋b2＝C0 2Fra biblioteka2＋C
1 ab＋C
2
2 2
b2
能解释组合数 上标、下标的
含义吗？
两个因式中 两个因式中有 两个因式中有
二项式定理的公式特征：
1、项数：共有_n_+_1_项
2、次数：字母a按_降__幂_排列，次数由_n_递_减_到_0_ ； 字母b按_升__幂_排列，次数由__0递_增_到_n_；
各项的次数都等于__n__.
3、二项式系数：C
0、
n
C1n、
Cn2、
、C
n n
即
C
k n
(k=0,1,2,…,n)
4、二项展开式的通项：T K 1= Cnkankbk 展开式的
第k+1项
反馈练习
ab n = C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n k a n k b k C n n b n
变一变：
CCxCxCxCxCx 1 x5=
5 0 5 1 5 22 5 33 5 44 5 55
a b4 = CaCabCabCab C b 4 044 134 222 4 3 34 44 = a4 4 a3 b 6 a2 b2 4 a3 bb4
有0个选b
1个选b
2个选b
问题三：1、找出展开式中的同类项，并结合“乘法原理”
分析其如何形成？
2、三种项的个数怎样计算？
3、能用组合数表示系数吗？
二项式定理教案_高二数学《二项式定理》教学设计
1.3.1 二项式定理教学目标1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。
3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。
教学重点、难点重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别学习过程一、 旧知设疑：思考:今天是5月8号，星期四,31天后的这一天是星期几？396天后的这一天是星期几？试问 天后的这一天又是星期几呢？二、新课导学探究： 二项式定理()2a b +=问题1：展开后共几项？ 我们是怎样得到这几项的？问题2：每一项的能否用一个统一的形式表示？问题3：项、项、项前的系数能否用学过的组合知识分析，表示成组合数的形式？ 2a ab 2b = （系数用组合数表示）2)(b a +问题4：按同样的道理,展开 ()3a b +=()4a b +=猜想：= n)(b a +证明：是 个相乘，每个在相乘时，有两种选择，选或选，n b a )(+)(b a +)(b a +a b 由分步计数原理可知展开式共有 项（包括同类项），其中每一项都是 的形式，对于每一项，它是由 个选了， 个选了得r rn b a -)(b a +b )(b a +a 到的，它出现的次数相当于从个中取r 个b 的组合数 ，将它们合并同类n )(b a +项，就得 到展开式，这就是二项式定理． 1008二项式定理 右边的多项式叫做的二项展开式,共有___ ____项,n b a )(+其中各项的系数______ _ _____叫做二项式系数, 式中的______________叫做二项展开式的通项，它是展开式的第项，用 表示， 即思考：(1) 把代替， =b 用-b n()a b -（2）令， =1,a b x ==n (1)x +（3）当时，= 1,1a b ==n (11)+问题释疑：今天是星期四，那么 天后的这一天是星期几？三、典型例题 例1：的展开式共7项，n x x ）（12-（1）等于多少？ （2）求出二项展开式.n1008变式： 化简观察：例1中展开式常数项是多少？思考：你能否直接求出展开式的常数项？例2：对于二项式， 91⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x （1）、求展开式中第四项的二项式系数；（2）、求展开式中的系数。
高中数学《二项式定理》公开课教案设计
二项式定理公开课教案〔第一教时〕一、教学目标1、理解杨辉三角形。
其行为样例是：〔1〕能用不完全归纳法写出杨辉三角形；〔2〕能根据杨辉三角形对(a b) n (n 6) 的二项式进行展开。
2、掌握二项式定理。
其行为样例是：〔1〕能根据组合思想及不完全归纳法猜出二项展开式的系数r (r 0,1,2, , , ) r n rbr；(2) 能正确C n n n N 以及二项展开式的通项 T r 1 C n a区分二项式系数和某一项的系数；〔 3〕能应用定理对任意给定的一个二项式进行展开、并求出它特定的项或系数。
二、教学重点与难点1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。
2、难点：二项式定理的发现。
〔教具：多媒体课件〕三、教学过程1、情景设置问题 1：假设今天是星期一，再过30 天后是星期几？怎么算？预期答复：星期三，将问题转化为求“30 被 7 除后算余数〞是多少。
问题 2：假设今天是星期一，再过8n (n N ) 天后是星期几？怎么算？预期答复：将问题转化为求“8n (7 1)n被7除后算余数〞是多少，也就是研究( a b)n (n N ) 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。
〔设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。
奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。
〕2、新授第一步：让学生展开(a b)1 a b(a b) 2 a 2 2ab b2；(a b) 3 (a b) 2 ( a b) a 3 3a 2 b 3ab 2 b3；(a b) 4 ( a b) 3 (a b) a 4 4a3b 6a 2 b2 4ab3 b4(a b) 5 ( a b) 5 (a b) a 5 5a 4 b 10a3b 2 10a 2b3 5ab 4 b 5教师将以上各展开式的系数整理成如下模型1 112 1133 11464 11 5 10 10 5 11： 你找出以上数据上下行之 的 律。
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二项式定理公开课教案
（第一教时）
一、教学目标
1、理解杨辉三角形。
其行为样例是：（1）能用不完全归纳法写出杨辉三角形；（2）能根据杨辉三角形对)6()(≤+n b a n 的二项式进行展开。
2、掌握二项式定理。
其行为样例是：（1）能根据组合思想及不完全归纳法猜出二项展
开式的系数),,,2,1,0(*∈=N n n r C r n 以及二项展开式的通项r r n r n r b a C T -+=1；
(2)能正确区分二项式系数和某一项的系数；（3）能应用定理对任意给定的一个二项式进行展开、并求出它特定的项或系数。
二、教学重点与难点
1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。
2、难点：二项式定理的发现。
（教具：多媒体课件）
三、教学过程
1、情景设置
问题1：若今天是星期一，再过30天后是星期几？怎么算？
预期回答：星期三，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。
问题2：若今天是星期一，再过)(8*∈N n n 天后是星期几？怎么算？
预期回答：将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少，也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。
（设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。
奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。
）
2、新授
第一步：让学生展开
b a b a +=+1)(
2222)(b ab a b a ++=+；
32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+；
43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+
5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+
教师将以上各展开式的系数整理成如下模型
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
问题1：请你找出以上数据上下行之间的规律。
预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。
问题2：以5)(b a +的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1项；③展开式中第二项的系数等于乘方指数。
初步归纳出下式：
()()()()()n n n n n n b b a b a b a a b a +++++=+--- 33221)( （※）
（设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。
这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。
）
练习：展开7)(b a +
教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。
你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。
第二步：继续设疑
如何展开100)
(b a +以及)()(*∈+N n b a n 呢？ （设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的
方法的欲望。
）
继续新授
师：为了寻找规律，我们将))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+中第一个括号中的字母分别记成11,b a ；第二个括号中的字母分别记成22,b a ；依次类推。
请再次用多项式乘法运算法则计算： ))()()(()(443322114b a b a b a b a b a ++++=+
4321a a a a = ………4a 1432243134214321b a a a b a a a b a a a b a a a +++= ………b a 3 214331424132324142314321b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a +++++= ………22b a 3214421343124321b b b a b b b a b b b a b b b a +++= ………3ab 4321b b b b = ………4b
（设计意图：上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”，用以激活学生认知结构中已有的知识与经验，便于学生进行类比学习，用已有的知识与经验同化当前学习的新知识，并迁移到陌生的情境之中。
）
问题1：以22b a 项为例，有几种情况相乘均可得到2
2b a 项？这里的字母b a ,各来自哪个括号？
问题2：既然以上的字母b a ,分别来自4个不同的括号，22b a 项的系数你能用组合数来表示吗？
问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？
（预期答案： 有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a 、一个是b 。
每个括号只能取一个字母，任取两个a 、两个b ，然后相乘，问不同的取法有几种？） 问题4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其它各项系数，并将式子： ()()()()()4322344))()()(()(b ab b a b a a b a b a b a b a b a ++++=++++=+ 括号中的系数全部用组合数的形式进行填写。
呈现二项式定理——板书课题：
)()(222110*---∈++++++=+N n b C b a C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n n n 。
3、深化认识
请学生总结：
①二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？
②二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？
由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点。
（设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习。
）
4、巩固应用
【例1】展开①4)11(x + ②6)12(x
x - 【例2】①求7)21(x +的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。
②求9)1(x
x -的展开式中含3x 项的系数。
变式：在二项式定理中，令x b a ==,1，得到怎样的公式？
n n n r r n n n n x C x C x C x C x ++++++=+ 2211)1(
思考：?210=++++++n n r n n n n C C C C C 为什么？
?21=+++++n n r n n n C C C C
【例3】解决起始问题：n n
n n n n n n n n C C C C ++++=+=--777)17(81110 ， 前面是7的倍数，因此余数为1=n n C ，故应该为星期二。
说明：解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。
四、课堂小结
①本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。
②二项式定理的表达式以及展开式的通项，
③要正确区别“项的系数”和“二项式系数”，
④将二项式定理中的字母赋上适当的值，就可以求一些特殊的组合多项式的值。
五、布置作业（略）。