角动量习题
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终通过O点(有心力) 由质点角动量守恒
r1
o
r2
r1 v2 v1 ( ) v2 v1 r2
2
mv1r1 mv2 r2
F
r
A
r2
r1 r2
v2 F dr ( F Fn m )
m v1r1 2 [ ] dr r r
2 2 m v1 r1 r1 r3 r2
dL L2 L1 L
角动量定理积分形式
L2 L1 恒矢量
说明
1 角动量守恒条件：合外力矩为零. 合外力为零, 力矩不一定为零, 反之亦然. 3 角动量守恒定律是独立于牛顿定律的 自然界中更普适的定律之一.
2 守恒指过程中任意时刻.
4 角动量守恒定律只适用于惯性系.
Sun
r1
3. 一般定义：
对O点的角动量：
z
L
L mrv sin
L r p r ( mv ) m( r v)
方向： x
v
y
O
r
说明：
1 .角动量是矢量(kg· m2· s-1).
a (b c ) b (a c ) c (a b ) 3 . 角动量的方向： 2 L r p r (mv) mr ( r ) mr L与 同方向 等于零 吗？？？ 4 .质点直线运动对某定点的角动量： o' L r p mr v v m 大小 L mvr sin mvd d r 方向：
5-2-4 质点在有心力作用下的运动
M r F
v1
v2 r1
o
r2
有心力 对力心 的力矩 恒为零
F
例:半径为R的光滑圆环铅直放臵，质量为m的小球穿在
圆环上，开始小球静止于A点并下滑. 求:小球滑至B点时（ ）对 O 点的角动量和角速度 . 解：分析力 N G N 对O点力矩为零 方法1: 重力矩: M r G 方向:
dL 由角动量定理 (mB m A ) gR dt d L mB >mA L0 0 L0 0 dt L m Av A R mBvB R 0 m Av A R mBvB R
v A vB
轻者先登顶！
例：在光滑水平桌面上一质量为M的木块A与劲度系数
为 k的轻质弹簧相连, 弹簧另一端固定在O点. 一质量为 m的子弹 B 以速度v0(v0 l0) 射向木块A并嵌在其中. 当 木块A由点 a 运动到点 b 时, 弹簧的长度由原长 l0 变为l . 试求：木块A在点b时的速度的大小和方向. v2 子弹射入木块前后 动量守恒. 解： l 木块连同子弹由a点
T
C
mg
O C'
说明
1 角动量守恒条件：合外力矩为零. 合外力为零, 力矩不一定为零, 反之亦然. 3 角动量守恒定律是独立于牛顿定律的 自然界中更普适的定律之一.
2 守恒指过程中任意时刻.
4 角动量守恒定律只适用于惯性系.
5-2-5 质点系的角动量定理
一、 一对力对定点的力矩 f 2 M1 r1 f1 M2 r2 f2 r2 r M1 M2 r1 f1 r2 f2 f1 o f1 f2 r1
M mgR sina mgR cos dL d L 由: M mgR cos dt dt
O
N
R
A B
dL mgR cosdt (1) L=L( ) v 2 2 d L m r v L mR mR
mR dt d L
2
r
G
i
[ mi ri ] J J mi ri
i i 2
i
i 2
i
转动惯量
转动惯性的量度
5-1-3 角动量守恒定律
L Li 恒矢量
i
d d ( L) ( Li ) 0 dt dt i
§5-2 力矩 角动量定理
5-2-1 力 矩
M Fd Fr sina
2
5-2-2 质点角动量定理
r
O z
方向用右手螺旋 右手系
x
M r F
1
角冲量
5-2-3 角动量守恒定律
例：
dL M dt
M 0
角动量守恒
L
L 恒矢量
v
a
m
r
r
行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相 等的面积. —–开普勒第二定律 Kepler laws
O
系统机械能守恒，
且对O点的角动量守恒
运动到b点.
l0
v0
还有守恒量吗？
v1
b
a
设: 子弹与木块共同速度为v1
m v0 (m M ) v1
1 1 1 2 2 2 ( M m )v1 ( M m )v2 k ( l l0 ) 2 2 2
( M m)l0v1 ( M m)lv2 sin
[2 g sin ] 2g 2 L mR [ sin ]1/ 2 R
3/ 2
2g 2 1/ 2 L mR ( sin ) R
例: 质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔缓 慢下拉，水平面光滑，开始小球作圆周运动( r1,v1) 然后向下拉绳，使小球的运动轨迹为r2的圆周. 求： v2 =？ (2)由r1r2时，F 做的功. v2 v1 解：1 作用在小球的力始
第五章 角动量守恒定律
§5-1 角动量守恒定律 5-1-1 质点的角动量
5-1-1 质点的角动量
1.质点的圆周运动 平动动量： p m v
对圆心的角动量： (对某定点,定轴)
L
O
m
大小: L mrv 方向:满足右手关系,向上. L
L r p r ( mv ) m( r v )
l0v1 sin lv2
解得
1 2 2 2 v2 m v 0 ( M m )k ( l l 0 ) M m l
O
v2
b
l0
v0
v1
a
守恒定律 习题课
31
7 .如图 为弧形槽B的1/4光滑圆弧,臵于光滑桌面C 上. 当质量为m的物体A沿 下滑过程中B将向左运动.若 A滑到d点时相对于B的速度为v12,此时B相对于桌面的速 度为v2,方向水平向左,试求:p6-7 (1)该时刻物体A相对于桌面的速度的水平分量与竖直分量; (2)写出A相对于桌面的动能的表达式; m 0 (3)写出A相对于桌面的动量的表达式. v 解: 2 R
r1
dr
例:一质量为 m的质点沿一条二维曲线运动 其中a,b, 为常数 r a cos t i b sin t j
试求:该质点对原点的角动量矢量 . dr 解： v a sint i b cost j dt L mr v m(a costi b sintj )
回忆中学的表达式？ M 对O点的力矩
M
dp F dt
M r F
o
r
d
F
a
dL M dt
dL d ? ( r p) v p r F r F M dt dt dL ——质点角动量定理 M L y dt 积分形式? 类比 t2 L M r F F dL 冲量矩 t1Mdt L
角动量守恒的几种可能情况：
1 孤立系.
2 有心力场,对力心角动量守恒.
即：虽然 M i 0,但对某轴外力矩为零,则总角
3 由分量式：
M
ix
0 ; Lx 常量
动量不守恒,但对这轴的角动量是守恒的.
为什么星系是扁状，盘型结构？
引力使星团压缩,角动量守恒
1 v r 2 1 v 惯性离心力 m 3 r r
一 对 内 力 结论：一对作用力、反作用力对定点 (定轴)的 合力矩等于零.
M1 M2 r1 f1 r2 f2 (r2 r1 ) f2 r f2 0
质点系角动量 L ri Pi
dL
i
二、质点系的角动量定理
L
v
a
r
m
r
行星受力方向与矢径在一条直线（有心力）， 故行星对太阳的角动量守恒.
L
v
r
a
m
r
2 2m
r m r sina t 1 r r sina S
t
2m t
L m vr sina
质点在有心力场中,它对力心的角动量守恒.
行星的动量时刻在变,但其角动量可维持不变. 在研究质点受有心力作用的运动时,角动量将代替 动量起着重要的作用.
mab k dL M 0! dt
( a sinti b costj ) 2 2 m(ab cos tk ab sin tk )
(恒矢量)
或由 M r F
判断下列情况角动量是否守恒：
圆锥摆运动中,做水平匀速 圆周运动的小球m. (1)对C点的角动量 (2)对O点的角动量 (3)对竖直轴CC'的角动量
如何使 L=0？
O
2 .角动量对不同点(轴)一般是 不同的 .
5-1-2 质点系的角动量
( r ) Li ri pi ri (mi vi ) mi ri i 2 m r i i L Li
共轴
L Li mi ri vi mi ri ( ri )
i i
i f · · i· fj · ri · · j
P i·
rj
三、质点系的角动量守恒定律 牛二 + 牛三
合外力矩为零，质点系总角动量守恒
M 0
dL ri F外i M dt i
t2 t1
角动量定理
Mdt
L2 L1
离心力与引力达到平衡,r 就一定了.
mvr c
而与角动量平行方向无限制,最终 压缩成铁饼状.
例: 半径为r 的轻滑轮的中心轴O水平地固定在高处,其
上穿过一条轻绳,质量相同的两人A、B 以不同的爬绳速 率vA、vB从同一高度同时向上爬,试问谁先到达O处.
解:对象: 滑轮+绳+A+B, z轴正向: O点向外 . 受外力:mAg =mBg =mg, N, 对z 轴的合力为0. 对z轴,系统角动量守恒, A 、 B对O点速率v'A, v'B 初始时刻系统角动量为零,则:
Fi d d [ ri Pi ] ri Pi dt dt i d t i o ri F外i f ij(内) i ji ri F外i ri [ f ij(内) i j i M i外 M i内 M 外
2
r
m
v
I
L mr v mr(r ) (mr ) J
J — 转动惯量 转动惯性
2. 行星在绕太阳公转时的椭圆轨道运动 对定点(太阳)的角动量：
大小：L mrv sin 方向：
L r p m( r v)
v1
v2
r2
rmvA rmv B 0
则
vA v B
可见,不论A、B对绳的速率vA、vB如何, 二人对O的速率相同, 故将同时到达O点.
若两人质量不相同……?
两人质量不相同.
mB >mA 方向：向里
系统对O轴合外力矩 M (mB m A ) gR
v 均对地 L m Av A R mBvB R
a
dt
(2)
(2)代入(1) : dL mgR cos dt 得 LdL m 2 gR 3 cos )
0 LdL m
L mR
由
L
2
gR
3
0
cos d
1/ 2
方法2: 由机械能守恒 1 1 2 2 m ( R ) mgR sin mv 2 2
r1
o
r2
r1 v2 v1 ( ) v2 v1 r2
2
mv1r1 mv2 r2
F
r
A
r2
r1 r2
v2 F dr ( F Fn m )
m v1r1 2 [ ] dr r r
2 2 m v1 r1 r1 r3 r2
dL L2 L1 L
角动量定理积分形式
L2 L1 恒矢量
说明
1 角动量守恒条件：合外力矩为零. 合外力为零, 力矩不一定为零, 反之亦然. 3 角动量守恒定律是独立于牛顿定律的 自然界中更普适的定律之一.
2 守恒指过程中任意时刻.
4 角动量守恒定律只适用于惯性系.
Sun
r1
3. 一般定义：
对O点的角动量：
z
L
L mrv sin
L r p r ( mv ) m( r v)
方向： x
v
y
O
r
说明：
1 .角动量是矢量(kg· m2· s-1).
a (b c ) b (a c ) c (a b ) 3 . 角动量的方向： 2 L r p r (mv) mr ( r ) mr L与 同方向 等于零 吗？？？ 4 .质点直线运动对某定点的角动量： o' L r p mr v v m 大小 L mvr sin mvd d r 方向：
5-2-4 质点在有心力作用下的运动
M r F
v1
v2 r1
o
r2
有心力 对力心 的力矩 恒为零
F
例:半径为R的光滑圆环铅直放臵，质量为m的小球穿在
圆环上，开始小球静止于A点并下滑. 求:小球滑至B点时（ ）对 O 点的角动量和角速度 . 解：分析力 N G N 对O点力矩为零 方法1: 重力矩: M r G 方向:
dL 由角动量定理 (mB m A ) gR dt d L mB >mA L0 0 L0 0 dt L m Av A R mBvB R 0 m Av A R mBvB R
v A vB
轻者先登顶！
例：在光滑水平桌面上一质量为M的木块A与劲度系数
为 k的轻质弹簧相连, 弹簧另一端固定在O点. 一质量为 m的子弹 B 以速度v0(v0 l0) 射向木块A并嵌在其中. 当 木块A由点 a 运动到点 b 时, 弹簧的长度由原长 l0 变为l . 试求：木块A在点b时的速度的大小和方向. v2 子弹射入木块前后 动量守恒. 解： l 木块连同子弹由a点
T
C
mg
O C'
说明
1 角动量守恒条件：合外力矩为零. 合外力为零, 力矩不一定为零, 反之亦然. 3 角动量守恒定律是独立于牛顿定律的 自然界中更普适的定律之一.
2 守恒指过程中任意时刻.
4 角动量守恒定律只适用于惯性系.
5-2-5 质点系的角动量定理
一、 一对力对定点的力矩 f 2 M1 r1 f1 M2 r2 f2 r2 r M1 M2 r1 f1 r2 f2 f1 o f1 f2 r1
M mgR sina mgR cos dL d L 由: M mgR cos dt dt
O
N
R
A B
dL mgR cosdt (1) L=L( ) v 2 2 d L m r v L mR mR
mR dt d L
2
r
G
i
[ mi ri ] J J mi ri
i i 2
i
i 2
i
转动惯量
转动惯性的量度
5-1-3 角动量守恒定律
L Li 恒矢量
i
d d ( L) ( Li ) 0 dt dt i
§5-2 力矩 角动量定理
5-2-1 力 矩
M Fd Fr sina
2
5-2-2 质点角动量定理
r
O z
方向用右手螺旋 右手系
x
M r F
1
角冲量
5-2-3 角动量守恒定律
例：
dL M dt
M 0
角动量守恒
L
L 恒矢量
v
a
m
r
r
行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相 等的面积. —–开普勒第二定律 Kepler laws
O
系统机械能守恒，
且对O点的角动量守恒
运动到b点.
l0
v0
还有守恒量吗？
v1
b
a
设: 子弹与木块共同速度为v1
m v0 (m M ) v1
1 1 1 2 2 2 ( M m )v1 ( M m )v2 k ( l l0 ) 2 2 2
( M m)l0v1 ( M m)lv2 sin
[2 g sin ] 2g 2 L mR [ sin ]1/ 2 R
3/ 2
2g 2 1/ 2 L mR ( sin ) R
例: 质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔缓 慢下拉，水平面光滑，开始小球作圆周运动( r1,v1) 然后向下拉绳，使小球的运动轨迹为r2的圆周. 求： v2 =？ (2)由r1r2时，F 做的功. v2 v1 解：1 作用在小球的力始
第五章 角动量守恒定律
§5-1 角动量守恒定律 5-1-1 质点的角动量
5-1-1 质点的角动量
1.质点的圆周运动 平动动量： p m v
对圆心的角动量： (对某定点,定轴)
L
O
m
大小: L mrv 方向:满足右手关系,向上. L
L r p r ( mv ) m( r v )
l0v1 sin lv2
解得
1 2 2 2 v2 m v 0 ( M m )k ( l l 0 ) M m l
O
v2
b
l0
v0
v1
a
守恒定律 习题课
31
7 .如图 为弧形槽B的1/4光滑圆弧,臵于光滑桌面C 上. 当质量为m的物体A沿 下滑过程中B将向左运动.若 A滑到d点时相对于B的速度为v12,此时B相对于桌面的速 度为v2,方向水平向左,试求:p6-7 (1)该时刻物体A相对于桌面的速度的水平分量与竖直分量; (2)写出A相对于桌面的动能的表达式; m 0 (3)写出A相对于桌面的动量的表达式. v 解: 2 R
r1
dr
例:一质量为 m的质点沿一条二维曲线运动 其中a,b, 为常数 r a cos t i b sin t j
试求:该质点对原点的角动量矢量 . dr 解： v a sint i b cost j dt L mr v m(a costi b sintj )
回忆中学的表达式？ M 对O点的力矩
M
dp F dt
M r F
o
r
d
F
a
dL M dt
dL d ? ( r p) v p r F r F M dt dt dL ——质点角动量定理 M L y dt 积分形式? 类比 t2 L M r F F dL 冲量矩 t1Mdt L
角动量守恒的几种可能情况：
1 孤立系.
2 有心力场,对力心角动量守恒.
即：虽然 M i 0,但对某轴外力矩为零,则总角
3 由分量式：
M
ix
0 ; Lx 常量
动量不守恒,但对这轴的角动量是守恒的.
为什么星系是扁状，盘型结构？
引力使星团压缩,角动量守恒
1 v r 2 1 v 惯性离心力 m 3 r r
一 对 内 力 结论：一对作用力、反作用力对定点 (定轴)的 合力矩等于零.
M1 M2 r1 f1 r2 f2 (r2 r1 ) f2 r f2 0
质点系角动量 L ri Pi
dL
i
二、质点系的角动量定理
L
v
a
r
m
r
行星受力方向与矢径在一条直线（有心力）， 故行星对太阳的角动量守恒.
L
v
r
a
m
r
2 2m
r m r sina t 1 r r sina S
t
2m t
L m vr sina
质点在有心力场中,它对力心的角动量守恒.
行星的动量时刻在变,但其角动量可维持不变. 在研究质点受有心力作用的运动时,角动量将代替 动量起着重要的作用.
mab k dL M 0! dt
( a sinti b costj ) 2 2 m(ab cos tk ab sin tk )
(恒矢量)
或由 M r F
判断下列情况角动量是否守恒：
圆锥摆运动中,做水平匀速 圆周运动的小球m. (1)对C点的角动量 (2)对O点的角动量 (3)对竖直轴CC'的角动量
如何使 L=0？
O
2 .角动量对不同点(轴)一般是 不同的 .
5-1-2 质点系的角动量
( r ) Li ri pi ri (mi vi ) mi ri i 2 m r i i L Li
共轴
L Li mi ri vi mi ri ( ri )
i i
i f · · i· fj · ri · · j
P i·
rj
三、质点系的角动量守恒定律 牛二 + 牛三
合外力矩为零，质点系总角动量守恒
M 0
dL ri F外i M dt i
t2 t1
角动量定理
Mdt
L2 L1
离心力与引力达到平衡,r 就一定了.
mvr c
而与角动量平行方向无限制,最终 压缩成铁饼状.
例: 半径为r 的轻滑轮的中心轴O水平地固定在高处,其
上穿过一条轻绳,质量相同的两人A、B 以不同的爬绳速 率vA、vB从同一高度同时向上爬,试问谁先到达O处.
解:对象: 滑轮+绳+A+B, z轴正向: O点向外 . 受外力:mAg =mBg =mg, N, 对z 轴的合力为0. 对z轴,系统角动量守恒, A 、 B对O点速率v'A, v'B 初始时刻系统角动量为零,则:
Fi d d [ ri Pi ] ri Pi dt dt i d t i o ri F外i f ij(内) i ji ri F外i ri [ f ij(内) i j i M i外 M i内 M 外
2
r
m
v
I
L mr v mr(r ) (mr ) J
J — 转动惯量 转动惯性
2. 行星在绕太阳公转时的椭圆轨道运动 对定点(太阳)的角动量：
大小：L mrv sin 方向：
L r p m( r v)
v1
v2
r2
rmvA rmv B 0
则
vA v B
可见,不论A、B对绳的速率vA、vB如何, 二人对O的速率相同, 故将同时到达O点.
若两人质量不相同……?
两人质量不相同.
mB >mA 方向：向里
系统对O轴合外力矩 M (mB m A ) gR
v 均对地 L m Av A R mBvB R
a
dt
(2)
(2)代入(1) : dL mgR cos dt 得 LdL m 2 gR 3 cos )
0 LdL m
L mR
由
L
2
gR
3
0
cos d
1/ 2
方法2: 由机械能守恒 1 1 2 2 m ( R ) mgR sin mv 2 2