高一数学课件 正弦函数
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正弦函数、余弦函数的性质(三课时)课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
上的函数
f
(x) 满足
f
x
f
x 2
，且
f
1 2
1 ，则
f
10.5
（
）
A．-1
B．-0.5
C．0.5
D．1
3．设函数 f (x) 的定义域为 R，满足 f (x 1) f (x) ，且当 x (0,1] 时 f (x) x(x 1) .
则当 x (2, 1] ， f (x) 的最小值是（ ）
（
）
A． 7
B．1
C． 0
D． 1
6．已知奇函数 f (x) 满足 f (x 2) f (x)，且当 x 0,1 时，
f
x
log2
x
，则
f
7 2
的值为_______
常见函数性质隐藏了周期性
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),
(2)若f(x+a)= 1 ,.
变式2：求函数y sin( 1 x )的单调增区间
23
练习：（1）y cos(2x ) （2）y cos(-3x )
3
6
类型四：周期、奇偶性
1.下列函数中周期是 ，且为偶函数的是（）
2
A.y sin 4x
B.y cos 1 x 4
C.y sin(4x )
2
D.y cos(1 x )
）
A．
x
π 6
B． x 0
C．
x
π 6
D．
x
π 2
2．设函数
y
sin( x
π 6
)(0
5)
图像的一条对称轴方程为
x
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(共2课时课件)(人教A版2019高一数学必修第一册)
2
,
3
2
,
5
2
2
2k
,
3
2
2k
,
k
Z
周 期
减区间：
3
2
,
2
,
2
,
3
2
,
5
2
,
7
2
2
2k ,
2
2k
,
k
Z
性
2 正弦函数、余弦函数的性质
-3 5 -2 3
2
2
-
2
y
1
o 2
-1
3 2
y=sinx
2
5 2
x
3
7 2
4
5.正弦函数有多少个增区间和减区间？观察正弦函数的
各个增区间和减区间，函数值的变化有什么规律？
3 典型例题
（3）因为
2
sin
1 2
x
4
6
2
sin
(
1 2
x
6
)
2
2sin(1 x ), 26
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.
练一练
求下列函数的周期：
(1)y 1 cos x, x R; 2
(2)y sin(1 x ), x R. 34
解：(1) 1 cos x 1 cos(上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0， 试判断f(x)是否为周期函数.
解：由已知有：f(x＋2)= -f(x), 所以f(x+4)= f[(x＋2)+2]= -f(x＋2) =-[-f(x)]= f(x), 即f(x＋4)=f(x), 所以由周期函数的定义知，f(x)是周期函数.
5.4.2正弦余弦函数的性质课件(1)高一上学期数学人教A版
2
6
变式训练：求下列函数的最小正周期:
+
(1)y=sin
(x∈R);
+
(2)y=3cos -
(x∈R);
(3)y=|cos x|(x∈R).
解:(1)令 y=f(x)=sin
+ +
因为 sin
所以 sin ( + ) +
+
,
=sin
+
,
=sin
+
,
即 f(x+π)=f(x).
所以函数 f(x)=sin
问题提出
问题二：图象具有周期性，函数的横、纵坐标有何特点？
2
2
32
2
A1
·
·
1 B
1
y
y
x
O
1
由正弦函数的诱导公式：
2
sin(x+2kπ) = sinx
可得：sin(2π+x)=sinx
2
·
·
B2
பைடு நூலகம்
3
2
A2
2x+2π5
2
5
sin sin
sin(2 )
=-f -
=-sin -
=sin =
.
• 反思感悟
•
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的
方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的
函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到x与x的函数值的关系,从而解决求值问题.
目标检测
1.(多选题)下列是定义在R上的四个函数图象的
一部分,其中是周期函数的是(
6
变式训练：求下列函数的最小正周期:
+
(1)y=sin
(x∈R);
+
(2)y=3cos -
(x∈R);
(3)y=|cos x|(x∈R).
解:(1)令 y=f(x)=sin
+ +
因为 sin
所以 sin ( + ) +
+
,
=sin
+
,
=sin
+
,
即 f(x+π)=f(x).
所以函数 f(x)=sin
问题提出
问题二：图象具有周期性，函数的横、纵坐标有何特点？
2
2
32
2
A1
·
·
1 B
1
y
y
x
O
1
由正弦函数的诱导公式：
2
sin(x+2kπ) = sinx
可得：sin(2π+x)=sinx
2
·
·
B2
பைடு நூலகம்
3
2
A2
2x+2π5
2
5
sin sin
sin(2 )
=-f -
=-sin -
=sin =
.
• 反思感悟
•
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的
方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的
函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到x与x的函数值的关系,从而解决求值问题.
目标检测
1.(多选题)下列是定义在R上的四个函数图象的
一部分,其中是周期函数的是(
5.4.1正弦函数余弦函数的图象课件-高一上学期数学人教A版
34 （2） T = 2π = π ．
42
（4） T = 2π = 6π ． 1 3
3、下列函数中定义在 R 上，哪些是奇函数？哪些是偶函数？
（1） f(x)= 2sin x ； f(-x)= 2sin(-x)= -2sin x = - f(x)
奇函数
（2） f(x)= 1 cos x ； f(-x)= 1- cos(-x)= 1- cos x = f(x)
正弦函数五个关键点:
图像的最高点
(
2
,1),
与x轴的交 (0, 0), ( , 0), (2 , 0)
点图像的最低 点
(
3
2
, 1).
余弦函数五个关键点:
图像的最高点 (0,1), (2 ,1)
与x轴的交 点图像的最低
(2 , 0),
(
3 2
,
0)
( , 1).
点
y＝cos x
y＝sin x
f (x) sin x
A.
3
2k
,
3
2k
（k∈Z）
B.
3
2k , 2 3
2k
（k∈Z）
C.
3
2k , 5 3
2k
（k∈Z）
D.
2 3
2k ,
4 3
2k
（k∈Z）
2. ［2019·江苏无锡高二检测］若函数f（x）的定义域为［0，1］，
则函数f（cos x）的定义域为
.
利用正弦曲线求解sin x≥a或sin x≤a（|a|<1）的步骤 1.作出正弦函数在一个周期内的图象（选取的一个周期不一定是［0，2π］，应 根据不等式来确定）； y＝a与其图象相交； x的取值范围； 4.根据周期性确定最终的范围. 求解cos x≥a或cos x≤a （|a|<1）的步骤同上.
42
（4） T = 2π = 6π ． 1 3
3、下列函数中定义在 R 上，哪些是奇函数？哪些是偶函数？
（1） f(x)= 2sin x ； f(-x)= 2sin(-x)= -2sin x = - f(x)
奇函数
（2） f(x)= 1 cos x ； f(-x)= 1- cos(-x)= 1- cos x = f(x)
正弦函数五个关键点:
图像的最高点
(
2
,1),
与x轴的交 (0, 0), ( , 0), (2 , 0)
点图像的最低 点
(
3
2
, 1).
余弦函数五个关键点:
图像的最高点 (0,1), (2 ,1)
与x轴的交 点图像的最低
(2 , 0),
(
3 2
,
0)
( , 1).
点
y＝cos x
y＝sin x
f (x) sin x
A.
3
2k
,
3
2k
（k∈Z）
B.
3
2k , 2 3
2k
（k∈Z）
C.
3
2k , 5 3
2k
（k∈Z）
D.
2 3
2k ,
4 3
2k
（k∈Z）
2. ［2019·江苏无锡高二检测］若函数f（x）的定义域为［0，1］，
则函数f（cos x）的定义域为
.
利用正弦曲线求解sin x≥a或sin x≤a（|a|<1）的步骤 1.作出正弦函数在一个周期内的图象（选取的一个周期不一定是［0，2π］，应 根据不等式来确定）； y＝a与其图象相交； x的取值范围； 4.根据周期性确定最终的范围. 求解cos x≥a或cos x≤a （|a|<1）的步骤同上.
5.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
y
2
y=1+sinx，x∈[0,2π]
1
3π
将y＝sin x，x∈[0,2π]图象上的每一个点都
π
2
2π
O
π
x
向上平移1个单位长度，即可得到函数y＝1
2
-1
＋sin x，x∈[0,2π]的图象．
y=sinx，x∈[0,2π]
y
y=-cosx，x∈[0,2π]
1
3π 2
O
π
π
2π x
2
-1 y=cosx，x∈[0,2π]
sin(x+k·2π)=sinx
不断向左、向右平移 （每次移动2π个单位长度）
正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
探究二：五点画图法
思考4：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点呢？ 视察函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象：
在精确度要求不太高时，我们常常用“五点法”画 函数的简图.
3.用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些 有关问题。
正弦函数、余弦函数图象的作法
定义法
五点法
平移法
课后练习
1.以下对正弦函数y=sinx的图象的描述不正确的是（ C ）
A.在x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z上的图象形状相同；
B.介于直线y=1与y=-1之间
C.关于x轴对称
总结：用“五点画图法”作出函数y =sinx，x∈[0,2π]的图象
y
1
●
●
0
●
●
x
-1
●
探究三：余弦函数图象
思考5：想得到余弦函数的图象，都有哪些方法呢？
5.4.1正弦函数余弦函数的图象课件高一上学期数学人教A版
sin,0 ≤ ≤ 2π.
再将x∈[0,2π]上的图象作出关于y轴对称的图象,即得所求图象,如图.
探究点三
正弦(余弦)函数图象的综合应用
角度1.图象法判断方程解的个数
【例3—1】 方程lg x=sin x的解的个数为( D )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 作出函数 y=lg x 与 y=sin x 的图象,如图所示.
2.正弦函数图象的画法
(1)几何法:
①在单位圆上,将点A绕着点O旋转x0弧度至点B,根据正弦函数的定义,点B
的纵坐标y0=sin x0.由此,以x0为横坐标,y0为纵坐标画点,即得到函数图象上
的点T(x0,sin x0).②将函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平行移
动(每次移动2π个单位长度).
<<
3
π.
2
π
2
3
或 π
2
≤ ≤ 2π,
故选 D.
1 2 3 4 5
4.函数y=x2-cos x的零点个数为
2
.
解析 在同一平面直角坐标系中,作出函数y=x2,y=cos x的图象,如图所示.
由图可知两个函数图象有两个交点,故函数y=x2-cos x的零点个数为2.
1 2 3 4 5
5.用“五点法”作出函数y=1+2sin x,x∈[0,2π]的简图.
当
5π
5π
5π
x= 2 时,y=lg 2 <1,y=sin 2 =1;
当
9π
9π
x= 2 时,y=lg 2 >1,y=lg
x 与 y=sin x 的图象无交点.
由图可知,两函数的图象有三个交点,故方程有三个解.
再将x∈[0,2π]上的图象作出关于y轴对称的图象,即得所求图象,如图.
探究点三
正弦(余弦)函数图象的综合应用
角度1.图象法判断方程解的个数
【例3—1】 方程lg x=sin x的解的个数为( D )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 作出函数 y=lg x 与 y=sin x 的图象,如图所示.
2.正弦函数图象的画法
(1)几何法:
①在单位圆上,将点A绕着点O旋转x0弧度至点B,根据正弦函数的定义,点B
的纵坐标y0=sin x0.由此,以x0为横坐标,y0为纵坐标画点,即得到函数图象上
的点T(x0,sin x0).②将函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平行移
动(每次移动2π个单位长度).
<<
3
π.
2
π
2
3
或 π
2
≤ ≤ 2π,
故选 D.
1 2 3 4 5
4.函数y=x2-cos x的零点个数为
2
.
解析 在同一平面直角坐标系中,作出函数y=x2,y=cos x的图象,如图所示.
由图可知两个函数图象有两个交点,故函数y=x2-cos x的零点个数为2.
1 2 3 4 5
5.用“五点法”作出函数y=1+2sin x,x∈[0,2π]的简图.
当
5π
5π
5π
x= 2 时,y=lg 2 <1,y=sin 2 =1;
当
9π
9π
x= 2 时,y=lg 2 >1,y=lg
x 与 y=sin x 的图象无交点.
由图可知,两函数的图象有三个交点,故方程有三个解.
5.3.1.1正弦函数余弦函数的图象课件高一上学期数学
课堂十分钟 1．(多选)以下对正弦函数y＝sin x的图象描述正确的是( ) A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同 B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间 C．关于x轴对称 D．与y轴仅有一个交点
答案：ABD
解析：由正弦函数图象可知，A正确；由正弦函数的图象可知B正确；由正弦函 数的图象，知正弦函数的图象不关于x轴对称，关于原点对称，故C错误；由正弦 函数图象，知D正确．
答案：B 解析：由y＝sin x在[0，2π]的图象可得．故选B.
3．下列图象中，是y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是( )
答案：D 解析：函数y＝－sin x的图象与函数y＝sin x的图象关于x轴对称，故选D.
4．用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的 五个点的横坐标是__________________．
第1课时 正弦函数、余弦函数的图象
新知初探 课前预习
题型探究 课堂解透
新知初探 课前预习
学科核心素养 1. 掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象的方法．(直观想象) 2．了解周期函数、周期、最小正周期的定义．(数学抽象) 3．掌握函数y＝sin x，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇 偶性．(逻辑推理、数学运算) 4．会求正弦、余弦、正切函数的单调区间、最大值与最小值．(数学 运算、逻辑推理)
故选ABD.
2．函数y＝cos (－x)，x∈[0，2π]的简图是( )
答案：B 解析：由y＝cos (－x)＝cos x知，其图象和y＝cos x的图象相同． 故选B.
答案：C
x
0
π
2π
cos x
1 0 －1 0
1
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质-高一数学同步精讲课件(人教A版必修第一册)
1
3 5
2
2 3
2
2
O
1
2
3
2
2
5
2
3
x
函数
y＝sin x(x∈R)
y＝cos x (x∈R)
图像
·
最
值
·
周期
T=2
奇偶性
对称轴
对称中心
增区间
减区间
最值
=
奇函数
π
2
+ , ∈ Z
(, 0) ∈ Z
π
π
[− + 2, + 2], ∈ Z
典 型 例 题 1
正弦、余弦（型）函数的单调性
例1 (1)函数 = (2
(2)函数 = (2
(3)函数 =
(
6
− )的单调递减区间为___________________
6
− )， ∈ [0,2]的单调递减区间为_____
6
− 2)的单调递增区间为___________________
跟 踪 训 练 1
正弦、余弦（型）函数的单调性
(1)函数 = 2(
− )，
3
∈ [−, 0]的单调递增区间是(
5
A.[−, − ]
6
5
B.[− , − ]
6
6
C.[− , 0]
3
D.[− , 0]
6
(2)函数 =
3(
3
− 2)的单调递减区间为_________________
(1) 函数() = (2 − Nhomakorabea)，
3 5
2
2 3
2
2
O
1
2
3
2
2
5
2
3
x
函数
y＝sin x(x∈R)
y＝cos x (x∈R)
图像
·
最
值
·
周期
T=2
奇偶性
对称轴
对称中心
增区间
减区间
最值
=
奇函数
π
2
+ , ∈ Z
(, 0) ∈ Z
π
π
[− + 2, + 2], ∈ Z
典 型 例 题 1
正弦、余弦（型）函数的单调性
例1 (1)函数 = (2
(2)函数 = (2
(3)函数 =
(
6
− )的单调递减区间为___________________
6
− )， ∈ [0,2]的单调递减区间为_____
6
− 2)的单调递增区间为___________________
跟 踪 训 练 1
正弦、余弦（型）函数的单调性
(1)函数 = 2(
− )，
3
∈ [−, 0]的单调递增区间是(
5
A.[−, − ]
6
5
B.[− , − ]
6
6
C.[− , 0]
3
D.[− , 0]
6
(2)函数 =
3(
3
− 2)的单调递减区间为_________________
(1) 函数() = (2 − Nhomakorabea)，
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 课件(人教A版必修4)
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π ＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
变式训练
3.求函数 y＝2sin(x＋π4)的单调区间． 解：y＝sinx 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋ 2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]， k∈Z. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
栏目 导引
第一章 三角函数
由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z， 得－π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z； 由π2＋2kπ≤x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z， 得34π＋2kπ≤x≤74π＋2kπ，k∈Z. 所以函数 y＝sin(x－π4)的单调增区间为[－π4 ＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)；
∴y＝sin12x 的周期是 4π.
(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6， 即 2sin13（x＋6π）－π6
栏目 导引
＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
(3)y＝|sinx|的图象如图所示．
第一章 三角函数
∴周期T＝π.
∴|φ|的最小值|φ|min＝2π＋π2－83π＝π6.
栏目 导引
归纳总结
第一章 三角函数
栏目 导引
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
y= cosx 第(k一∈章z) 三角函数
定义域 值域
最值及相应的 x的 集合
单调性
对称轴 对称中心
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π ＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
变式训练
3.求函数 y＝2sin(x＋π4)的单调区间． 解：y＝sinx 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋ 2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]， k∈Z. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
栏目 导引
第一章 三角函数
由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z， 得－π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z； 由π2＋2kπ≤x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z， 得34π＋2kπ≤x≤74π＋2kπ，k∈Z. 所以函数 y＝sin(x－π4)的单调增区间为[－π4 ＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)；
∴y＝sin12x 的周期是 4π.
(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6， 即 2sin13（x＋6π）－π6
栏目 导引
＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
(3)y＝|sinx|的图象如图所示．
第一章 三角函数
∴周期T＝π.
∴|φ|的最小值|φ|min＝2π＋π2－83π＝π6.
栏目 导引
归纳总结
第一章 三角函数
栏目 导引
函 数 y= sinx (k∈z)
性质
y= cosx 第(k一∈章z) 三角函数
定义域 值域
最值及相应的 x的 集合
单调性
对称轴 对称中心
5.4.1正弦函数、余弦函数的图像课件-高一上学期数学人教A版必修第一册(1)
y=sin x，x∈R的图象吗？
y
1
你还能举出一些这样的例子吗？
o
2
2
1
y=sin x x[0,2]
y
y=sin x xR
1
-4 -3
-2
- o
-1
3
2
2
正弦曲线
2
3
4
x 正弦函数的图象叫做 正弦曲线，是一条 “波浪起伏”的连续光 滑曲线.
5 6 x
探究三：如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不
牛刀小试
2．用“五点法”作函数 y＝cos x，x∈R 的图象时，首先应
A 描出的五个点的横坐标是( )
A．0，π2，π，32π，2π
B．0，π4，π2，34π，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，π，π，π，2π 632 3
例题讲授
例1（2）画出函数y= －cosx，x[0, 2]的简图：
你x还能举0出一些这2 样的例 子吗？32
π
2π x
y
-
-
-
4 3
2
1
-
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象
正弦曲线 形状完全一
y=cosx=sin(x+ 2), xR 样只是位置
余弦函数的图象
y
0,1 1
,1
不同
2 ,1
余弦曲线
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
2
,
0
2
,
05 6 xFra bibliotek yy cos x x [0, 2 ]
5.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
2
3
2
12Leabharlann 01-10
2
0
1
y
步骤：
1.列表
2.描点
3.连线
2
y=1+sinx，x[0, 2]
1
2
o
-1
2
3
2
2
x
y=sinx，x[0, 2]
函数值加减，图像上下移动
（2） 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
x
0
cosx
1
-1
- cosx
2
3
2
0
此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简
图．
这种近似的“五点（画图）法”是非常实用的．由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联
的函数．下面我们利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象．
如何利用列表描点连线画正弦函数图像.（五点作图）
2
y
y=cosx，x[0, 2]
1
2
o
-1
2
3
2
2
y=sinx，x[0, 2]
x
课堂小结
y
1. 正弦曲线、余弦曲线作法
几何作图法
描点法（五点法）
图象变换法
y=cosx，x[0, 2]
1
2
o
2
-1
3
2
2
x
y=sinx，x[0, 2]
2.正弦曲线和余弦曲线之间的区分与联系；
高一数学必修第一册正弦函数、余弦函数的性质课件
上都单调递减，其值从1减小到-1.
最大值与最小值
【整理】从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：
+ ( ∈ ) 时取得最大值1，
当且仅当 = − + ( ∈ ) 时取得最小值-1；
①正弦函数当且仅当 =
②余弦函数当且仅当 = ( ∈ ) 时取得最大值1，
【1】周期性：观察正弦函数的图像，可以发现，在图像上，横坐标每隔2π个单位
长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的
变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自
变量 的值加上2π的整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等.数学
上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.
如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？
事实上，令 = + ，那么由 ∈ 得 ∈ ，且函数 = , ∈ 及函数
= , ∈ 的周期都是.
因为 + = + + = +
+ ，所以自变量增加 ，函数值
+ ,
+ ( ∈ ) 上都单调递减，其值从1减小到-1.
单调性
−
−
−
同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：
余弦函数在每一个闭区间
在每一个闭区间
− + , ( ∈ ) 上都单调递增，其值从-1增大到1；
, + ( ∈ )
关于y轴对称.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
7.3.1正弦函数的性质与图象课件高一下学期数学人教B版
2
2
3π
π
差的绝对值为 − =π,故选
2
2
B.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
正弦函数的值域、最值
【例1】 (1)(多选题)已知函数f(x)=2asin x+a+b的定义域是[0,
π
],值域为[2
5,-1],则a,b的值为( AC)
A.a=2,b=-7
B.a=-2,b=2
C.a=-2,b=1
D.a=1,b=-2
分析 根据正弦函数的值域,分情况表示出最大值和最小值,通过解方程组
求a,b.
解析 因为 f(x)=2asin x+a+b
π
的定义域是[0,2],所以
+ = -1,
当 a<0 时,由题意
解得
3 + = -5,
+ = -5,
当 a>0 时,由题意
解得
3 + = -1,
= -2,
最值;
(2)二次式:如果是关于正弦函数的二次式,则通过换元转化为一元二次函
数配方求最值.
变式训练1(1)函数f(x)=1-2sin2x+2sin x的最大值与最小值的和是( C )
A.-2
B.0
3
C.-2
1
D.-2
解析 令 t=sin x,则 t∈[-1,1],y=-2t
当 t=-1 时,y
1 2 3
π
x=6时,y
1
取得最小值2,所以
y 的取值范围
2.[北师大版教材习题]当x∈[-π,π]时,函数y=3sin x( B )
A.在区间[-π,0]上单调递增,在区间[0,π]上单调递减
2
3π
π
差的绝对值为 − =π,故选
2
2
B.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
正弦函数的值域、最值
【例1】 (1)(多选题)已知函数f(x)=2asin x+a+b的定义域是[0,
π
],值域为[2
5,-1],则a,b的值为( AC)
A.a=2,b=-7
B.a=-2,b=2
C.a=-2,b=1
D.a=1,b=-2
分析 根据正弦函数的值域,分情况表示出最大值和最小值,通过解方程组
求a,b.
解析 因为 f(x)=2asin x+a+b
π
的定义域是[0,2],所以
+ = -1,
当 a<0 时,由题意
解得
3 + = -5,
+ = -5,
当 a>0 时,由题意
解得
3 + = -1,
= -2,
最值;
(2)二次式:如果是关于正弦函数的二次式,则通过换元转化为一元二次函
数配方求最值.
变式训练1(1)函数f(x)=1-2sin2x+2sin x的最大值与最小值的和是( C )
A.-2
B.0
3
C.-2
1
D.-2
解析 令 t=sin x,则 t∈[-1,1],y=-2t
当 t=-1 时,y
1 2 3
π
x=6时,y
1
取得最小值2,所以
y 的取值范围
2.[北师大版教材习题]当x∈[-π,π]时,函数y=3sin x( B )
A.在区间[-π,0]上单调递增,在区间[0,π]上单调递减
正弦函数、余弦函数的图像课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
1
1－ cos x 的图象，如图所示.
3
训练3
方程sin x＝lg x的实根个数有
A.1个
B.2个
C.3个
√
D.无穷多个
在同一直角坐标系中作函数y＝sin x与y＝lg x的图象.
由图中可以看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1，10)(i＝1，2，3)
是方程sin x＝lg x的解.
y
1
-4
-3
-2
-
o
-1
2
3
4
5
6
= , ∈
左移
y
x
= = +
, ∈
1
-4
-3
-2
-
o
-1
2
3
4
5
6
x
余弦函数的图象 = , ∈
余弦函数 = , ∈ 的图像叫余弦曲线，是和
弦函数值0 ，并准确找到点(0 , 0 )的位
置呢？
探究新知（一）：正弦函数的图象 = , ∈
探究新知（一）：正弦函数的图象 = , ∈
问 题 4 ：你会选 , 上的哪些 0 来画正弦函数的图像？
结论： 在 , 内取等分的点，最简便准确
这些点用光滑的曲线连接起来，得到比较精确的函数
= , ∈ , 的图像
函数 = , ∈ , 的图像
探究新知（一）：正弦函数的图象 = , ∈
问 题 5 ：根据函数 = , ∈ , 的图像，你能想
象正弦函数 = , ∈ 的图像吗？依据是
什么？请画出该图像
y
1－ cos x 的图象，如图所示.
3
训练3
方程sin x＝lg x的实根个数有
A.1个
B.2个
C.3个
√
D.无穷多个
在同一直角坐标系中作函数y＝sin x与y＝lg x的图象.
由图中可以看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1，10)(i＝1，2，3)
是方程sin x＝lg x的解.
y
1
-4
-3
-2
-
o
-1
2
3
4
5
6
= , ∈
左移
y
x
= = +
, ∈
1
-4
-3
-2
-
o
-1
2
3
4
5
6
x
余弦函数的图象 = , ∈
余弦函数 = , ∈ 的图像叫余弦曲线，是和
弦函数值0 ，并准确找到点(0 , 0 )的位
置呢？
探究新知（一）：正弦函数的图象 = , ∈
探究新知（一）：正弦函数的图象 = , ∈
问 题 4 ：你会选 , 上的哪些 0 来画正弦函数的图像？
结论： 在 , 内取等分的点，最简便准确
这些点用光滑的曲线连接起来，得到比较精确的函数
= , ∈ , 的图像
函数 = , ∈ , 的图像
探究新知（一）：正弦函数的图象 = , ∈
问 题 5 ：根据函数 = , ∈ , 的图像，你能想
象正弦函数 = , ∈ 的图像吗？依据是
什么？请画出该图像
y
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第二课时)高一数学(人教A版必修第一册)课件
求的是x的范围
∈
[−, ]的单调递增区间是[− , ].
小结
正弦函数 = ( ∈ )的单调性、最值
∈
∈
− + ， +
+ ， +
−
上单调递增;
上单调递减
当 = + ，取到最大值：1
当 =
+ ，取到最小值：-1
第五章 三角函数
5.4.2正弦函数、余弦函
数的性质（第二课时）
课程标准
借助单位圆理解三角函数的定义，能画出三角
函数的图像，了解三角函数的周期性、奇偶性、
单调性、最大（小）值。
复习回顾
回顾1 正弦函数、余弦函数的图像是怎样的？请大家在草稿纸上画
出简图。
复习回顾
回顾2 什么是周期函数？正弦函数、余弦函数的周期是多少？它们
∴∈
∈
− + ， + 上单调递增;
+ ， + 上单调递减
最大值：1
最小值：-1
概念生成
正弦函数 = ( ∈ )的单调性
∴∈
∈
− + ， + 上单调递增;
+ ， + 上单调递减
正弦函数 = ( ∈ )的最值
2
是使 = ， ∈ 取得最小值的的集合{| = − + 2, ∈ }.由
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（法二） y=sinx
将图象上所有点的横坐y标=s变in为2x原来1/2倍 将图象上所有的点向左平移π/6个单位长度 y=sin（2x+ π/3）
将图象上所有点的纵坐标变为原来2倍 y=2sin（2x+ π/3）
(三)基本训练
1、将函数y=sinx的图象作关于x轴的对称变换，再向下
平移1个单位，所得图象的函数解析式是
一、积极的态度 二、灵活的思维 三、动手的过程
一、学习目标
1、掌握y=Asinx、y=sin（x+φ）、y=sinωx 与 y=sinx的关系 。
2、掌握y=Asin（ωx+φ）与y=sinx的关系， 会按不同的步骤顺序由y=sinx变换到 y=Asin（ωx+φ）。
二 探究学习 (一)规律总结 1、y=sinx 2、y=sinx 3、y=sinx 4、(1)y=sinx
(二)典型例题 1、说明y=2sin（2x+ π/3）的图象可由y=sinx的图象经怎样变换而得到。
解：（法一）
y=sinx
y=sin（x+ π/3） 将图象上所有的点向左平移π/3个单位长度
将图象上所有点的横坐标变为原来1/2倍 y=sin（2x+ π/3）
将图象上所有点的纵坐标变为原来2倍 y=2sin（2x+ π/3）
（7π）/12时，取得最小值-2，则函数解析式是
。
y=2sin(2x+ π/3)
(四)能力提升
1、把函数y=sin（ωx+φ）（其中ω>0,|φ|<π）的图象向左平移π/3，再将图象上的所
有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的解析式是y=sinx，则
y=sinx，ω=
， φ=
。 2
2
将图象上所有点的横坐y标=s变inω为x原来1/ω倍
纵坐标不变
将图象上所有y=的si点n（(φx>+0时φ）)向左
或(φ<0时)向右平移|φ|个单位长度
将图象上所有点的横坐标变为原来1/ω倍 y=sin（ωx+φ）
将图象上所有点的纵坐标变为原来A y=Asin（ωx+φ） 倍 将图象上所有点的横坐y标=s变inω为x原来1/ω倍
(2)y=sinx
将图象上所有点的纵y坐=A标si变nx为原来A倍
横坐不变
将图象上所有的点y=(sφin>0（时x)+向φ左）
或(φ<0时)向右平移|φ|个单位长度
将图象上所有点的横坐y标=s变inω为x原来1/ω倍
纵坐标不变
将图象上所有y=的si点n（(φx>+0时φ）)向左
或(φ<0时)向右平移|φ|个单位长度
解析式。
y
y=2sin(x+ )
2
2
2
3 x
2
2
-2
五 规律总结
1、y=sinx 2、y=sinx 3、y=sinx 4、(1)y=sinx
(2)y=sinx
将图象上所有点的纵y坐=A标si变nx为原来A倍
横坐标不变
将图象上所有的点y=(sφin>0（时x)+向φ左）
或(φ<0时)向右平移|φ|个单位长度
4 -2
1
3
2
3 3 9 x 4 24
(四)达标检测
1、把函数y=sinx的图象向右平移π/3，再将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2
倍，纵坐标不变，然后,将函数图象向上平移1个单位,所得图象的解析式是
y=
Sin(
x 1-
。 π/3)+1
2
2、已知函数y=Asin（ωx+φ）（A>0, ω>0）在一个周期内的图象如图所示,求函数的
将图象上所有点的横坐标变为原来1/ω倍 y=sin（ωx+φ）
将图象上所有点的纵坐标变为原来A y=Asin（ωx+φ） 倍 将图象上所有点的横坐y标=s变inω为x原来1/ω倍
将图象上所有的点(φ>0时)向左
或(φ<0时)向右平移|φ|/ω个单位长度
将图象上所有点的纵坐标变为原来A 倍
y=sin（ωx+φ） y=Asin（ωx+φ）
3
2、已知函数y=Asin（ωx+φ）（A>0, ω>0）在一个周期内的图象如图所示,求函数的
解析式。
y
解: 通过观察可知A=2,T= 3π 则ω= (2π)/ T=2/3 那么解析式为y=2sin（ x+φ） 将( ,0)代入上式得φ=
所以,函数解析3式为y=2sin（ x
4
2 ）3
2
3
2
1 2
将图象上所有的点(φ>0时)向左
或(φ<0时)向右平移|φ|/ω个单位长度
将图象上所有点的纵坐标变为原来A 倍
y=sin（ωx+φ） y=Asin（ωx+φ）
。
y=-sinx-1
2、将函数y=sin2x的图象
将图，象上所有的点向右平移π/6个单位长度
得到函数y=sin（2x-π/3）的图象。
3、将函数y=sinx的图象向左平移π/3个单位，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来
的2倍，则所得图象的解析式是
。
y=sin(x/2+ π/3)
4、已知函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内，当x=π/12时，取得最大值2，当x=